非线性动力系统之二阶系统习题
非线性动力学导论讲义02(二阶系统简介)-岳宝增 (1)
的单参数曲线族；称为系统的相图，这些曲线称为相轨线。
此外，(5b)式还表示系统有如图所示的2 π 周期性；还有
.
轨线的方向性(后面讨论)。给定一对值（x,y）或（x,x ） 则对应相图上的某一点P,称为系统的一个状态。某一状态 给出了某一特定摆角为x时其角速度为x =y，这两个变量 正是我们某一特定时刻观察摆的摆动时所感知的对象的量 化表示。对给定的一对值（x,x ）亦可以作为微分方程的 初始时刻；因此，任一给定的状态可以确定所有其后续的 状态,而这些状态都位于通过P（x,y)点（初始状态）的相 轨线上。上图中用箭头标定了随着时间的变化，轨线应行 进的方向；该方向可由方程（5a）确定： 当y>0时，则x >0,所以x必然随着t的增加而增大；这表明 在上半平面轨线的方向必须是从左到右；同理，在下半平
关于x积分得：
2 2
2
cos x C x
（3）
其中C是任意的常数。注意到，上面的方程表示系统任 一特定运动的能量守恒关系；这是因为，如果将（3） 两端乘以mʟ2，则： 1 2 2
2
mgl cos x E ml x
其中E是另一任意的常数，上式符合如下形式： E=m的动能+m的势能； 并且任意特定的E值对应于一特定的自由（单摆）运动。 由（3）式中的x 可由x表出：
.
2 x 2(C cos x)
（4）
这是关于x(t)的一阶微分方程。该方程的解不能用初等 直接揭示其解的特性。引入新的变量y，定义如下：
函数表示；我们下面将不通过求解方程而是由方程（4）
yy sin x x
2
（5a） （5b）
则由方程（4）可表示为：
y 2(C 2 cos x）
(完整版)自动控制原理课后习题及答案
第一章 绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点.解答：1开环系统(1) 优点:结构简单，成本低，工作稳定。
用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。
(2) 缺点：不能自动调节被控量的偏差。
因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2 闭环系统⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调节的控制系统。
在实际中应用广泛。
⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。
1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。
闭环控制系统常采用负反馈。
由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。
例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？（1）22()()()234()56()d y t dy t du t y t u t dt dt dt ++=+（2）()2()y t u t =+（3）()()2()4()dy t du t ty t u t dt dt +=+ （4）()2()()sin dy t y t u t tdt ω+=（5）22()()()2()3()d y t dy t y t y t u t dt dt ++= （6）2()()2()dy t y t u t dt +=（7）()()2()35()du t y t u t u t dt dt =++⎰解答： （1）线性定常 （2）非线性定常 （3）线性时变 （4）线性时变 （5）非线性定常 （6）非线性定常 （7）线性定常1-4 如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。
考研必备之自动化专业 自控原理第八章 非线性系统部分习题答案
2. 一非线性系统前向通道中有一描述函数214)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A a A b A N π的非线性元件，线性部分传递函数为)1)(18.0(3)(++=s s s s G ，为使系统不产生自激振荡，试利用描述函数法确定继电特性参数b a ,的值。
解:画)(1A N -曲线: 214)(1⎪⎭⎫⎝⎛--=-A a b AA N π当a A →时,-∞→-)(1A N ;∞→A 时,-∞→-)(1A N所在存在极值点:222223)(24))(1((aA a A Aa A b dA A N d ---⋅-=-π=0 得a A 2=, ba A N 2)(1π-=-画)(jw G 曲线: ()w w w w w w w w j w w w w jw G arctan 8.0arctan 9011)8.0(3)164.164.0(1)8.01(3)164.164.0(32224224---∠++=++--++=02700)(90)0(-∠=∞-∞∠=j G j G,180)( -=jw G 25.1=w 得3/4)(=jw G若不振荡,则baA N 2)(1π-=-<34-,即b a >π34 3.某单位反馈系统，其前向通道中有一描述函数214)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A a A b A N π的非线性元件，线性部分的传递函数)1)(15.0(2)(++=s s s s G ，为使系统不产生自激振荡，试利用描述函数法确定继电特性参数b a ,的值。
解：画)(1A N -曲线:214)(1⎪⎭⎫⎝⎛--=-A a b AA N π当a A →时,-∞→-)(1A N ;∞→A 时,-∞→-)(1A N所在存在极值点:222223)(24))(1((a A a A Aa A b dA A N d ---⋅-=-π=0 得a A 2=, ba A N 2)(1π-=-画)(jw G 曲线:()w w w w w jw G arctan 5.0arctan 9011)5.0(222---∠++=， 002700)(90)0(-∠=∞-∞∠=j G j G ,180)( -=jw G 05.012=-w ，2=w 得32)(2==w jw G若不振荡,则baA N 2)(1π-=-<32-,即>b a 34π4. 已知非线性系统的结构图如图所示非线性系统图中非线性环节的描述函数为N A A A A ()()=++>62试用描述函数法确定：（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。
非线性物理 习题部分答案
由图可能进入混沌状态了 -------------------------------------------------------------
dU 0 2 x 3 2 x 0 （丢掉常系数） x x 0 dx
-------------------------------------------------------------------------------3. （照猫画虎；照虎画猫？）
2 )x x0 x ( x2 x
2 2 2 x 1 x y 1 (1 x y ) bxn n+2 n 1 n+1 n n 2 yn+2 bxn+1 b(1 xn yn ) 2 2 xn+2 xn 1 (1 xn yn ) bxn 2 y y b (1 x n n yn ) n+2 2 2 x 1 (1 x y ) bxn n n n 2 yn b(1 xn yn )
x0 0 ac x0 a0 ab
a. 在 x 0 平衡点附近做微扰，坐标有偏离，偏离量为
x x0 x ； x 代入方程
dx x(a c abx) dt
d (a c ab ) （丢掉常系数）得到 dt d (a c) ab 2 ，忽略二阶小量得到 dt d d dt (a c) ；分离变量积分得到 (a c) dt d (a c)dt
d ln (a c)dt ln (a c)t A e( a c )t A
e( a c )t A Ae( a c )t
二阶非线性微分方程求解例题
二阶非线性微分方程求解例题例：求y ′ ′ + y = c o s 2 x + 2 s i n x 的通解例：求y''+y= cos{2x}+2sinx 的通解例：求y′′+y=cos2x+2sinx的通解解：∵β 1 ̸= β 2 解：\because \beta_1ot= \beta_2 解：∵β1=β2∴将方程式y ′ ′ + y = c o s 2 x + 2 s i n x \therefore 将方程式 y''+y= cos{2x}+2sinx ∴将方程式y′′+y=cos2x+2sinx拆成y ′ ′ + y = c o s 2 x 与y ′ ′ + y = 2 s i n x 两个二阶常系数非齐次微分方程。
拆成y''+y= cos{2x} 与 y''+y=2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。
拆成y′′+y=cos2x与y′′+y=2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。
⇒其特征方程 r 2 = 1 = 0 的根为 ± i \Rightarrow 其特征方程r^2=1=0的根为\pm i ⇒其特征方程r2=1=0的根为±i易知：y ′ ′ + y = 0 的通解为： Y = C 1 c o s x + C 2 s i n x 易知：y''+y= 0的通解为：Y=C_1cosx+C_2sinx 易知：y′′+y=0的通解为：Y=C1cosx+C2sinx1 ) 1) 1) y ′ ′ + y = c o s2 x y''+y= cos{2x} y′′+y=cos2x⇒ α = 0 ; β = 2 ; s = m a x [ m , n ] = 0 \Rightarrow \alpha=0; \beta=2; s=max[m,n]=0 ⇒α=0;β=2;s=max[m,n]=0∵ α ± β i = ± 2 i 不是特征方程的根 \because \alpha \pm \beta i=\pm2i不是特征方程的根∵α±βi=±2i不是特征方程的根∴令 : y ∗ = a 0 c o s 2 β + b 0 s i n 2 β \therefore令 :y*=a_0cos2\beta+b_0sin2\beta ∴令:y∗=a0cos2β+b0sin2βy ∗ ′ = − 2 a 0 s i n 2 β + 2 b 0 c o s 2 β y*'=-2a_0sin2\beta+2b_0cos2\beta y∗′=−2a0sin2β+2b0cos2βy ∗ ′ ′ = − 4 a 0 c o s 2 β − 4 b 0 s i n 2 β y*''=-4a_0cos2\beta-4b_0sin2\beta y∗′′=−4a0cos2β−4b0sin2β⇒将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ 代入原方程求解得： a 0 = 1 3 ; b 0 = 0 \Rightarrow 将y*,y*',y*'' 代入原方程求解得：a_0=\frac{1}{3}; b_0=0 ⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=31;b0=0∴ y ∗ = 1 3 c o s 2 x \therefore y*=\frac{1}{3}cos{2x}∴y∗=31cos2x2 ) y ′ ′ + y = 2 s i n x 2) y''+y= 2sinx 2)y′′+y=2sinx⇒ α = 0 ; β = 1 ; s = m a x [ m , n ] = 0 \Rightarrow \alpha=0; \beta=1; s=max[m,n]=0 ⇒α=0;β=1;s=max[m,n]=0∵ α ± β i = ± i 是特征方程的一对单共轭复根\because \alpha \pm \beta i=\pm i是特征方程的一对单共轭复根∵α±βi=±i是特征方程的一对单共轭复根∴令 : y ∗ = x ( a 1 c o s β + b 1 s i n β ) \therefore令 :y*=x(a_1cos\beta+b_1sin\beta) ∴令:y∗=x(a1cosβ+b1sinβ)⇒将 y ∗ , y ∗ ′ , y ∗ ′ ′ 代入原方程求解得：a 0 = − 1 ; b 0 = 0 \Rightarrow 将y*,y*',y*'' 代入原方程求解得： a_0=-1; b_0=0 ⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=−1;b0=0∴ y ∗ = − x c o s x \therefore y*=-xcosx ∴y∗=−xc osx综上：y ′ ′ + y = c o s 2 x + 2 s i n x 的通解为综上：y''+y= cos{2x}+2sinx 的通解为综上：y′′+y=cos2x+2sinx的通解为y = C 1 c o s x + C 2 s i n x + 1 3 c o s 2 x + − x c o s x y= C_1cosx+C_2sinx+\frac{1}{3}cos{2x}+-xcosx y=C1cosx+C2 sinx+31cos2x+−xcosx。
应用数学方向,动力系统第三章非线性微分方程动力系统的简化
第三章非线性微分方程动力系统的简化在非线性微分方程动力系统研究中，很自然地期望有一些有效的方法使原系统降阶或简化，井能保持原系统的动态特性。
目前，现有的知识主要有中心流形、范式、奇异摄动及精确线性化等。
本章将简要地叙述相关方面的基本内容3.1中心流形3.1.1中心流形的基本定理本节考虑以下形式非线性微分方程系统Equation Section 3(3.1) 其中，假定和是具有相应维数的常数矩阵，并且的所有特征值具有零实部，的所有特征值具有负实部。
函数和关于其变元皆二阶连续可微，且；(注：f'和是它们各自的雅可比矩阵)。
定义3.1一个集合（流形）被称为系统(3.1)的局部不变流形(Local invariant manifold)是指，对任何的系统(3.1)的初值为的解始终在集合S内，其中，为某正数。
进而，如果，，那么S就称为不变流形(invariant manifold)。
定义3.2如果是系统(3.1)的一个不变流形，并且为光滑函数，，，那么它被称为中心流形（centre manifold）。
对于系统(3.1)，我们有，定理3.1 对系统(3.1)而言，若，，和满足假设条件，那么存在一个中心流形，其中(δ为某一个正数)，且。
证今为函数，取值为又设其中。
首先，将证明系统(3.2)有一个中心流形，充分小。
让为一类李氏函数的集合：该类函数具有李氏常数，和。
于是，在采用上确界范数时，是一个完备空间。
对，，设是以下方程的解：(3.3) 同时，定义一个新的函数如下(3.4)于是，如果是(3.4)的一个不动点的话，就是(3.2)的一个中心流形。
为证明(3.4)不动点的存在，可以从求证对和充分小的，是上的压缩映射而得到。
根据与G的定义，存在一个连续函数，且，使得(3.5) 对所有成立。
因为所有特征值具有负实部，所以存在正常数和C：同样，由于的所有特征具有零实部，对每个常数总存在常数，使得且如果那末就可以利用(3.4)来估计G和类似项，以下总假设。
非线性物理试题及答案
非线性物理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 非线性光学中，光的二次谐波产生属于：A. 线性效应B. 非线性效应C. 量子效应D. 热效应答案：B2. 以下哪项不是非线性动力学系统的特点？A. 存在混沌现象B. 系统行为对初始条件敏感C. 系统行为可预测D. 存在分叉现象答案：C3. 非线性系统方程中，以下哪项是正确的？A. \( \frac{dx}{dt} = ax \)B. \( \frac{dx}{dt} = ax^2 \)C. \( \frac{dx}{dt} = ax + bx^2 \)D. \( \frac{dx}{dt} = ax + bx^3 \)答案：D4. 非线性系统中，孤立波解是指：A. 波形随时间不变B. 波形随时间变化C. 波形随空间变化D. 波形随时间和空间变化答案：A5. 非线性物理中，Bose-Einstein凝聚态描述的是：A. 电子气B. 费米子气C. 光子气D. 玻色子气答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 在非线性光学中，光的____效应可以产生频率为原始光频率两倍的光。
答案：二次谐波2. 非线性动力学系统中的____现象是指系统在某些参数变化时，会出现多种可能的行为模式。
答案：分叉3. 非线性系统的方程通常包含____项，这使得系统的行为复杂化。
答案：非线性4. 非线性系统中的____波是一种在传播过程中保持形状不变的波。
答案：孤立5. 在非线性物理中，____凝聚态是一种在低温下，玻色子粒子聚集在最低能态的现象。
答案：Bose-Einstein三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述非线性物理中孤子的概念及其物理意义。
答案：孤子是一种在非线性介质中传播的波，它能够保持其形状和速度不变，即使在与其他孤子相遇时也不会发生能量交换。
孤子的物理意义在于它们展示了非线性系统中的局部化波解，这在光学、流体力学等领域有重要的应用。
2. 解释非线性动力学系统中的混沌现象及其特点。
非线性控制系统分析(第八章)
c(t ) c10 e c20 e 由初始条件决定。当取初始条件使 或 ， c10 , c 20 c10 0 则相轨迹为 或 ；而在其它情况下，由于特征 c20 0 根 远离虚轴，故第二项很快衰减，系统运动过程特别是过 c s2 c c s c 1 渡过程的后期主要取决于第一项。这一结果与相平面分析的 s2 结果一致。
s1
s2
a a 4b 2
0
a a2 4b 2
0
s1 , s 2 为两个符号相反的互异实根，系统相平面图见下张图。
13
Байду номын сангаас
三、相平面法（17）
由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨 迹的渐近线，此外作为相平 面的分隔线，还将相平面划 分为四个具有不同运动状态 的区域。当初始条件位于 c s2 c 对应的相轨迹，系 统的运动将趋于原点，但只 要受到极其微小的扰动，系 统的运动将偏离该相轨迹， 并最终沿着c s1 c对应的相 轨迹的方向发散 至无穷。 因此 b 0 时，线性二阶系统的运动是不稳定的。 14
15
dc
a
三、相平面法（19）
3）b 0 。取 a /(2 b ) ，并分以下几种情况加以分析： ① 0 1 。系统特征根为一对具有负实部的共轭复根。 系统的零输入响应为衰减振荡形式。取 ＝0.5, n 1， 运用等倾线法绘制系统的 相轨迹如右图所示。相 轨迹为向心螺旋线，最 终趋于原点。
f ( x, x ) a x
7
三、相平面法（11）
4）一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。 但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使 作图产生的积累误差增大。为提高作图精度，可采用 平均斜率法，即取相邻两条等倾线所对应的斜率的平 均值为两条等倾线间直线的斜率。
第8章-非线性系统分析
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
第8章非线性系统分析参考答案汇总
参照答案一、填空题1. 非实质；实质2. 自持振荡3. 初始条件；输入信号大小4. 饱和非线性；死区非线性；空隙非线性；继电器非线性5.不稳固 6. 稳固；不稳固；半稳固 7. 自左向右；自右向左 二、剖析与计算题1. 求 y(t )ax 3 (t ) 的描绘函数。
解：因为 y(t ) 3A 0 =0、 A 1=0、φ1=0 ，ax (t ) 是单值奇函数，所以其傅里叶级数睁开式中 将 x( t) Asin t 代入 B 1 的计算公式，可得1 B 112y(t )sin td t 02 3 sin 3 t sin td taA 02aA 3 sin 4 td t2 aA3( 1 cos2t) 2 d t22 aA 31 2cos2 t cos 2 2 td t42 aA 31 2cos2 t 1 cos4 t2d t42 aA3(3 1cos2 t 1cos4 t )d t2 aA 30 8 2 83 1 sin 2 t1 t )( 4 0 sin 4832 0 3aA 34所以N(A)B 13aA 3 3 aA 2A4 A 42．设拥有滞环继电器非线性特征的非线性系统构造如题图 8.1 所示，已知 b=1，a=0.3， 试判断系统能否存在自持振荡，若存在，则求出自持振荡的幅值和频次。
ybr=0xy10c+-a 0 a x--b(2 s 1)(0.4s 1)题图 8.1解：拥有滞环的继电器非线性特征的描绘函数为4b a 2 j 4abN(A) 1 ( )2 ( A a) A A A其描绘函数负倒数特征为1A 1 ( a )2ja( A a)N ( A)4bA4b可见，描绘函数负倒数特征的虚部为常数1曲线为一条虚部为a的直线。
a，即4bN(A)4b因为 G(s)10，所以(2 s1)(0.4s 1)G(j )101)(0.4j 1)(2j 10(1 2j )(1 0.4j )(1 4 2 )(1 0.16 2)10(1 2.4j 0.8 2)(14 2 )(1 0.16 2)1082j24(1 4 2 )(1 0.16 (1 4 2 )(1 0.16 2 )2) 由以上可知，1 ) 必有交点，并且交点为稳固的，所以会产生自持振荡。
非线性系统例题
第十章非线性系统§ 10.1与线性系统的差异线性系统与非线性系统的不同之处在于：1 •非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。
2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。
3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。
4. 非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。
5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。
6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。
7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。
8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。
§10.1定性分析状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的尖系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示图 10.1§ 10.3达芬方程达芬方程是一个无量纲方程。
它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。
如果 ；为正， 则表示一个硬弹簧的响应；如果；为负，则表示一个软弹簧系统的响应。
一个系统自 由振动的振幅尖系由达分方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：3 A 2 0( 2) 8 其中㊂是固有频率的无量纲化(对于线性系统®=1), A 是振幅，分析共振附近 达芬方程的受迫响应可以设：：：；,2」；彳=F sin rt(10.1)(10.2)稳定节点(a)不稳定焦点2)(10.3)则稳态振幅的定义方程就可近似表示为4A2〔」2—叭2〔二F2(10.4)I 8丿」方程(70・4在图10.2中的尖系曲线表示为；• 0时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的二值，方程(704有三个正实解，因为A2引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。
非线性系统之Backstepping反步法
α1 = −k1 z1 − f1
这里 k1 为大于 0 的常数。 将(3)带入(2)可得 = V −k1 z12 + z1 z2 1 第二步，考虑 Lyapunov 函数 V2 = V1 + 0.5 z2 2 ，则有
(3)
(4)
= V +z z V 2 1 2 2 1 ) + V = z2 (u + f 2 − α 1
将(11)带入(12)可得 = z (u + f − α 1 ) − k1 z12 + z1 z2 V 2 2 2 这时，我们
1 − z1 u= − k 2 z2 − f 2 + α
这里 k2 为大于 0 的常数。 将设计的控制(15)带入(14)，不难得到 = V −k1 z12 − k2 z2 2 ≤ 0 2 到此，系统输出跟踪控制器设计完毕。
(9)
这时，可设计如下虚拟控制函数 α1
d α1 = −k1 z1 − f1 + y
这里 k1 为大于 0 的常数。 将(10)带入(9)可得 = V −k1 z12 + z1 z2 1 第二步，考虑 Lyapunov 函数 V2 = V1 + 0.5 z2 2 ，则有
(10)
(11)
= V +z z V 2 1 2 2 1 ) + V = z2 (u + f 2 − α 1
非线性系统控制方法之 Backstepping 反步法 郑晓龙 考虑如下二阶系统：
= x2 + f1 ( x1 ) x 1 2= u + f 2 ( x1 , x2 ) x y = x 1
(1)
其中 x1 ， x2 为系统状态， y 为系统输出， u 为系统控制输入， f1 , f 2 为光滑 的非线性函数。要求设计 Backstepping 控制器，使系统稳定。 注 1：系统(1)称为严格反馈系统或者下三角系统或者倒三角系统，是实际 生活中非常常见的系统类型， 一般含有电机的控制系统都会出现严格反馈这种系 统形式，比如直流电机调速系统，四旋翼飞行器控制系统等等，所以研究这种系 统的控制方法十分重要， 而反步法或者反推法就是专门用来为这种系统设计控制 器的。 注 2：在设计 Backstepping 控制器的时候，思路是非常重要的，第一点就 是要把系统分成一个一个子系统，如系统(1)就由两个子系统构成，第一个子系 统不直接含有控制器，第二个子系统直接含有控制器，那么对于第一个子系统咱 们就要虚拟一个控制器出来，我们把它叫做虚拟控制函数，用于使第一个子系统 稳定的，所以第一步就是要设计出虚拟控制器。 注 3：对于系统(1)，我们除了考虑它在平衡点（零点）的稳定性（即 x1 , x2 收 敛到零） ， 还要考虑系统的输出跟踪性能， 所谓输出跟踪， 就是要让系统输出 y 跟 踪一个给定的时变参考信号 yd (t ) 。咱们的目标当然是希望误差 y − yd 趋于零。 下面我们将分别考虑两类控制器的设计方法，第一类是系统镇定控制器，第 二类是系统输出跟踪控制器。 一、系统镇定控制器设计过程如下：
自动控制原理王划一7
式中dx 为相轨迹在某一点的切线的斜率
dx
令 dx dx ，则
f (x, x) x
I
满足此方程的点(x, x) 出的斜率必为 ，有上式确定的x x 关系曲线称为
等倾线。相轨迹必然以 的斜率经过等倾线
步骤：
a.根据等倾线方程式I，做出不同 值的等倾线 b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点 c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等 于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交
（1）稳定极限环 在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相 轨迹均收敛与该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。
（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。 在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极 限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无 穷远。
x f
(
x,
x)
dt
（2）
用第一个方程除第二个方程有
dx dx
f (x, x) x
（3）
这是一个以 x 为自变量，以 x 为因变量的方程，如果能解出该方程，则 可以用（2）式把x,t 的关系计算出来。因此对方程（1）的研究，可以 用研究方程（3）来代替。如果把方程（1）看作质点的运动方程，则 x 代表质点的位置， x 代表质点的速度（因而也代表了质点的
（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限 环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环; 或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起 始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。
一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不 同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的， 因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区 域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转
经典控制理论习题解答（3）
§3 时域分析法3.1 重点知识一、一、二阶系统的动态响应1、一阶系统设一阶系统的传递函数为：()1Ks Ts Φ=+，则一阶系统的单位阶跃响应为： /()(1)t T h t K e -=-其中，T 为一阶系统的时间常数。
2、二阶系统设二阶系统的传递函数为：222()2n n ns s s ωξωωΦ=++，则二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应为：()1)n t d h t t ξωωβ-=-+其中，ξ-阻尼比，n ω-无阻尼振荡频率，d ω-阻尼振荡频率，n σξω=衰减系数，且d ωω=arccos βξ=。
二、二阶系统运动形态三、一、二系统的动态性能四、系统的稳定性1、概念：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它受到某一扰动作用而偏离原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。
反之，系统为不稳定2、稳定性条件1、必要条件：系统特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数”。
2、充要条件：1）脉冲响应函数收敛；2）闭环特征方程式的根需都位于S 的左半平面。
3、劳斯判据如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S 的左半平面，相应的系统是稳定的。
4、劳斯判据特殊情况1）劳斯表某一行中的第一项等于零 2）劳斯表中出现全零行 五、系统稳态误差1、定义：稳定系统误差的最终值。
稳态误差表示系统的控制精度。
2、计算：0()lim ()lim ()ss ss t s e e t sE s →∞→∞==系统稳态误差：1lim ()lim ()()lim v s ssvs s s R s esG s H s K s+→→→⎡⎤⎣⎦==+表3.3 一、二阶系统稳态性能3.2 基本要求1、了解一阶系统的数学模型和典型响应的特点，会计算一阶系统动态性能指标。
2、理解二阶系统的数学模型和典型响应的特点，熟练掌握二阶欠阻尼系统动态性能指标的计算和系统特征参数确定。
习题pdf
习 题 77-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+−=&试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并绘出系统的相轨迹。
7-2 已知非线性系统的微分方程为(1) &&(&.)&x xx x x +−++=30520； (2) &&&x xxx ++=0； (3) &&sin x x +=0。
试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。
7-3 已知二阶线性系统有两个实特征根：。
试证明直线0x ax bx ++=&&&12,s s 1x s x =&和2xs x =&是系统相轨迹场中的两根相轨迹。
7-4 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) &&&x xx ++=0 (2)⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x&& 7-5 非线性系统的结构图如图7-38所示。
系统开始是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
)(14)(t t r ×=图7-38 题7-5图 图7-39 题7-5图7-6 某控制系统采用非线性反馈改善系统性能，系统结构图如图7-39所示。
试绘制系统单位阶跃响应的相轨迹图。
7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-40所示。
试用相平面法分析： （1）当T d =0时系统的运动；（2）当T d =05.时系统的运动，并说明比例-微分控制对改善系统性能的作用； （3）当T d =2时系统的运动特点。
图7-40 具有理想继电器的非线性系统 图7-41 题7-8图7-8 非线性系统结构图如图7-41所示，其中，非线性特性参数0.5,8a K ==。
要求：（1）当开关打开时，绘制初始条件为(0)2,(0)0e e==&的相轨迹； （2）当开关闭合时，绘制相同初始条件的相轨迹，并说明测速反馈的作用。
非线性电路习题解答提示
非线性电路习题习题解答提示第2章2-1以下给出二端元件的赋定关系，试判断该元件属于哪类元件。
（写出判断过程）（1）i e πiu 2+sin =；电阻元件，非线性时不变（2）t u u q sin 2+=2； 电容元件，非线性时变 （3）3+cos =q q ψ忆阻元件，非线性时不变（4）+=+=3i i u biaT dt dT；电阻型动态元件，非线性（5）332=+dt id E u u高阶非线性代数元件，）（)()(i u 302-2已知某二端元件的赋定关系为22dt ud i(t)=K ,其中K 为常数，试讨论其类型、性质，并写出其交流阻抗的表达式。
二阶线性代数元件，设221sin 1sin K ωωt,Z(jω)=ωK ωt,i=u=--，频变反比负电阻2-3一个二端电阻元件和二端电容元件串联后所形成的动态二段元件是代数元件还是动态元件？ 动态元件2-4试仅用二端线性电阻元件和线性受控源实现下列矩阵描述的二端网络。
（1）3125Z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 31001510Z ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，第一项可用无源T 型二端口等效，第二项为受1I 控制的受控源，在输出端口看进去串联叠加。
（2）3215Y -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；31011500Y --⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，第一项可用无源∏型二端口等效，第二项为受2U 控制的受控电流源，在输入端口看进去并联叠加。
（3）25122H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦； 112225122U I I U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，输入端为电阻串联2U 控制的电压源，输出端为电导并联由1I 控制的电流源。
（4）0011A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦12120011U U I I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，输入端为两个受控电流源并联，仅可求得电流，电压与输出端无关，与输入端外接电路相关。
因此，此等效电路仅能看出输出对输入端的影响，无法给出输入对输出影响的等效电路。
自动控制原理(胥布工)第二版9章习题及详解(骄阳书苑)
第9章习题及详解9-1 试分别写出图9-41中所列典型非线性特性的数学描述式。
)(x f 0xMM- )(x f 0x MM-kkd d - )(x f 0xMM-∆∆-（a ）（b ）（c ）)(x f 0x ∆∆-k)(x f 0xMM-d d -（d ）（e ） 图9-41 习题9-1图解：(a)⎩⎨⎧<->=0,0,)(x M x M x f ；(b) ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=-<≥==d x kd M d x kx d x kd M x f ,,,)(；(c)⎪⎩⎪⎨⎧∆-<-∆<∆>=x M x x M x f ,,0,)(； (d)⎪⎩⎪⎨⎧∆-≤∆+∆<∆≥∆-=x x k x x x k x f ,)(,0,)()(；(e) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<<<-><<-->=dx M x d x d M xd x d M dx M x f ,0,,0,,,)( 或者（e ） 当0>x ，⎩⎨⎧<->=d x M d x M x f ,,)(；当0<x ，⎩⎨⎧-<-->=,,,,)(d x M d x M x f9-2 试用解析法求下列系统相轨迹方程的解。
（1）122=+x x（2）0sin =-+x x x 解：（1）相变量方程为⎩⎨⎧-==221x x x x0))0(())0((32))0((21)(32)(212)12(3322003020020020=---+-=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x dx x d x d dx dx x x d x dx x x d x t t t tt t t t相轨迹方程的解为)0(6)0(4)0(36433232x x x x x x-+=-+ （2）相变量方程为⎩⎨⎧-==x x x x xsin0))0((21))0(cos (cos ))0((21)(21)(cos )(21)(sin 22220200200=-----=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x d x d x d x dx x x x d xt t t tt相轨迹方程的解为)0()0(cos 2)0(cos 22222x x x x x x--=--9-3 考虑系统02=+x x ω，其中，1<ω，试用解析法求该系统的相平面图。
2024年考研高等数学二动力系统理论的进阶研究历年真题
2024年考研高等数学二动力系统理论的进阶研究历年真题动力系统理论是数学中的一个重要分支，主要研究物体运动过程中的规律和特性。
在考研高等数学二科目中，动力系统理论是一个重要的考点。
本文将围绕2024年考研高等数学二动力系统理论的进阶研究历年真题展开讨论，探索其中的难点和解题技巧。
一、初步回顾在深入研究历年真题之前，首先需要对动力系统理论的一些基本概念进行回顾。
动力系统理论主要研究的是物体在运动过程中的状态变化，通过建立数学模型，描述系统的演化行为。
常见的数学模型包括微分方程、差分方程和离散映射等。
在解决动力系统问题时，常常需要利用线性化、平移和对称等技巧来简化问题的复杂度。
此外，一些基本的理论和定理，如不动点定理、稳定性理论和拟周期解等，也是解题的重要工具。
二、历年真题精选2.1 2019年考研高等数学二真题考试时间：2019年12月考试形式：闭卷笔试题目要求：解答以下问题题目内容：已知微分方程组如下：\[ \begin{cases}\frac{dx}{dt}=x-y+xy \\\frac{dy}{dt}=x+y+xy\end{cases}\](1) 确定方程组的平衡点，并分析其稳定性。
(2) 判断方程组中是否存在极限周期解，若存在，请给出证明。
解题思路：首先，我们需要求解微分方程组的平衡点。
由题可得：\[ \begin{cases}x-y+xy=0 \\x+y+xy=0\end{cases}\]通过求解上述方程组，可以得到平衡点为：$(x,y)=(0,0)$和$(x,y)=(-1,-1)$。
接下来，我们需要对平衡点的稳定性进行分析。
为了简化问题，我们将方程组进行线性化处理：\[ \begin{bmatrix}\frac{dx}{dt} \\\frac{dy}{dt}\end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}\]其中，\[ A = \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix}_{(x,y)=(0,0)}\]通过计算可得：\[ A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\1 & 1\end{bmatrix}\]求解矩阵 $A$ 的特征值，可以得到两个特征值：$\lambda_1=1+\sqrt{2}$ 和 $\lambda_2=1-\sqrt{2}$。
哈尔滨石油学院 第五章计算题
1、某一力传感器，经简化后为一个二阶系统。
已知其固有频率Hz 1000f n =，阻尼比7.0=ζ，若用它测量频率分别为600Hz 的正弦交变力时，问输出与输入的幅值比和相位差各为多少，传感器的滞后时间为多少？ 解：当输入信号的频率f ＝600Hz 时，6.01000600f f n ==，则()[]()95.06.07.046.011)A(2222=⨯+-=ω()()rad92.07.526.016.00.72arctg)(2-=-=-⨯-= ωϕ可见，用该传感器测试6.0n≤ωω这一频率段的信号时，幅值误差最大不超过5％。
该传感器的输出信号相对于输入信号的滞后时间为ms 24.0ms 6002920)(T 600f =⨯===πωωϕ2、用电阻应变片及双臂电桥测量悬臂梁的应变ε。
其贴片及组桥方法如下图所示。
已知图中Ω=='=='=1202211R R R R R ，上、下贴片位置对称，应变片的灵敏度系数k=2。
应变值31010-ε=⨯，电桥供桥电压V u i 3=。
试分别求出图（b ）、图（c ）组桥时的输出电压?0=uRR解：如图（b ）组桥时的输出电压为111122111212210.03()2o i ii i ii R R Ru u u R R R R R RR R R u u u R R R k u V +∆=⋅-⋅+∆+-∆++∆∆ =⋅-⋅=⋅+ =⋅ε⋅=如图（c ）组桥时的输出电压为''1111''''1111222222142110.03()22o i ii ii i R R R R Ru u u R R R R R R R R R R R R u u R R u k u V R +∆++∆=⋅-⋅+∆++∆++-∆-∆++∆ =⋅-∆ =⋅=⋅ε⋅=3、以阻值R=120Ω，灵敏度S=2的电阻应变片与阻值R=120Ω的固定电阻组成的电桥，供桥电压为3V ，并假定负载为无穷大，当应变片的应变值为με2和με2000时，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的电桥的灵敏度。