二次型及其标准型

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二次型及其标准形(精)

则得二次型的标准形
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标），因而非零项的个数固定(称为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形，就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。

二次型及其标准形

例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.

《二次型及其标准型》课件

任意二次型都可以表示成矩阵的形式。
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变换达到规范形式，其中自变量部分是平方项相加的形式，而系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到一种快速求解带权重线性最小二乘问题的方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您能够收获满满。
一、二次型的概念

第五章二节二次型的标准形和规范形

T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏犏2 犏犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏犏 2 犏犏犏0 犏臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏犏 0 -1 1 臌而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。解由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有

Ch5-5线性代数二次型及其标准型

2 01
0
0 0 1
可得
f
的规范形：f
=
－z
2 1
+
z
2 2
+
z
2 3
.
用正交阵将二次型化为标准形的步骤:
正交变换法
(i) 写出 f 的矩阵 A,并求出 A所有相异特征值 1, , m;
它们的重数依次为 r1, r2 , rm ( r1 r2 rm n )
(ii) 对每个重特征值i , 求出对应的 ri 个线性无关的特征向量
二次曲线
旋转变换
ax2 bxy cy2 1
令
x y

x cos x sin

y sin y cos
, ,
二次齐次多项式
m x2 n y2 1
不改变长度、夹角
可逆线性变换正交变换
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个可逆的线性变换将其变为只含平方项的二次齐次多项式
求可逆矩阵 C 使得 C TAC B , 称为将 A 合同(变换)为 B .
简单性质:
10 矩阵的合同关系是等价关系;
20 合同矩阵CT必A等C 秩 B; , 而 C 可逆，
30 与对称矩阵合同的矩阵也是对称阵.
A AT , C TAC B BT CT ATC CT AC B
从合同的角度看二次型的变换问题:
二次型 f xTAx 经可逆变换 x C y化成二次型 f yTB y
存在可逆阵 C 将矩阵 A合同为B, 即 A, B 满足CTAC =B, 且 B仍为对称阵,二次型 f 的秩不变.
能将二次型 f = xTA x 经过可逆线性变换化成标准形

二次型及其标准型

其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1，，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx

线性代数§5.5二次型及其标准形

i , j 1 n
总有正交变换 y=Px, 使 f 化为标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2,
其中1, 2, · · · ,n 是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · Байду номын сангаас · , xn) =a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · · · · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.

6.1二次型及其标准形

1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）．例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.

线性代数二次形及其标准型

f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半，的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则，令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变的特点，使其易于识别。，。线性代数的特点使其易于识别第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法用满秩线性变换化二次型为标准形配方法例2 化二次型

二次型的标准型和规范型

例1 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 化为标准形.

问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q, 使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形, 则P即为所求.
矩阵 A 的正、负惯性指数

定理5.4（惯性定理）任一二次型都可经可逆的线性变换化为
规范形，且规范性唯一.
推论1任一实对称矩阵A合同于对角矩阵 Ep Er p
.

O
推论2设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵,则A与B合同二者有相同的
秩和正惯性指数.
推论3设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵,则A与B合同二者的正、负

小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.

2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.

2. 正交变换法正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.

17二次型及其标准型-线性代数

一、二次型及其标准形：定义1：的二次齐次多项式个变量含有n x x x n ,,,21 nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++= nn x x a x x a x a 223223222222++++ n n x x a x a 3323332++++2n nn x a +型。

元二次型，简称为二次称为n 定义2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n x c x c x c y x c x c x c y x c x c x c y 22112222121212121111若线性变换的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n c c c c c c c c c C 212222111211可逆，则称线性变换为可逆线性变换；正交，则称线性变换为正交变换。

定义3：222221121),,,(nn n x d x d x d x x x f +++= 只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准形（或法式）。

二、二次型的矩阵表示法：，则设ji ij a a =nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121),,,(++++= nn x x a x x a x a x x a 22322322221221+++++ 2332211nnn n n n n n n x a x x a x x a x x a +++++ +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211),,,(21n x x x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 221122221211212111),,,(21n x x x =AXX T =二次型的矩阵表示式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21二次型的矩阵（显然这是实对称阵）定义4：),,,(21n x x x f AX X T =设二次型则称对称矩阵A的秩为二次型f 的秩。

二次型与标准型

当1= -7时：
解方程
(2 I A) X 0
x 1 x 1 3 2 , x2 x3
得
f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 – 2y32 —为f(X)的标准形.
y z 1 1 （是可逆变换）令 y2 z 2 则 f (x1, x2 , x3) = z12 + z22 – z32 1 —— 为f(X)的规范形. y3 z3 正惯性指数为2，负惯性指数为1 2
1 2 1 2 则xy=1化为： x y 1 2 2
——为双曲线
即
X CY 1 x2 1 y2 xy
2 2
返回
对于n元二次型 f ( x1，x2，，xn ) X AX ，变换
T
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
2 1 A 1 3 3 0 2
则
0 —— f (x , x , x ) 的矩阵 1 2 3 3 2 2 1 0 4 注意：若令 B 1 3 0 ,
0 3 4
X AX
f (x1, x2 , x3) = 2x12 – 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3 = XTBX 但 BT≠ B, 故 B 不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵！
返回
二次型
一一对应
对称矩阵
若 f (X) = X TAX. 则A 的秩称为二次型 f (X)的秩
在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵

第四讲：二次型及其标准型

则，其正惯性指数是多少？解法二：由于
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法（1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12

5x
2 2

x
2 3

2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化二次型为标准型等基本定理.

二次型及其标准型

λ1 ,L , λ
n
P = ( e1 e2 L en )
x = Py
2 1 2 2 2 n
f = λ1 y + λ 2 y + L + λ n y
例
将二次型
2 2 2 f = 17 x1 + 14 x2 + 14 x3 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
通过正交变换 x = Py , 化成标准形 .
f ( x1, x2 ,L xn ) = a x + 2a12 x1x2 + L + 2a1n x1xn
2 11 1
2 + a22 x2 + L + 2a2n x2 xn
叫做二次型。叫做二次型。二次型
+L+ a x
2 nn n
如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型实二次型。如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。例如
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵， 17 − 2 − 2 A = − 2 14 − 4 − 2 − 4 14 −2 −2 17 − λ 2 A − λE = − 2 14 − λ − 4 = (λ − 18) (λ − 9) −2 − 4 14 − λ
●将二次型化为标准形的实质问题一般形式
f ( x1, x2 ,L xn ) = x′Ax
x = Py
经可逆变换化为标准形式
f ( y1, y2 ,L yn ) = y′Λy
本质问题：寻找可逆矩阵，本质问题：寻找可逆矩阵P，使得
P′AP = Λ
回顾上一章知识，能否解决？如何解决？回顾上一章知识，能否解决？如何解决？

第6章二次型及其标准型

推论任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.
黄凤英二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 写出二次型 f 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
对 2 = 3= 5,
对 1= 4,
4 2 4 由A 5 E 2 1 2 4 2 4
黄凤英二次型
1 r 0 0
1 1 2 0 0 , 0 0
1 0 得 : 2 2 , 3 2 , 0 1 1 2 2 2 , 正交化得： 0 4 1 3 2 5 5
2 2 2
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中取值，则称之为规范形.
二次型的秩的意义：一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
黄凤英二次型
合同矩阵
定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
可逆矩阵C称为合同变化矩阵.
二次型及其标准形
主要内容
二次型的概念
合同矩阵
化二次型为标准型
黄凤英二次型
二、二次型的概念
定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式
f(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · · · + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an-1,nxn-1xn 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成

线性代数第6章二次型及其标准形

~y
x x~
定义含有n个变量 x1, x2 ,, xn 的二次齐次函数
f x1, x2,, xn a11x12 2a12x1x2 2a1n x1xn
a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
ann xn2
称为n维(或n元)的二次型.
关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1,2 ,,n是 f 的矩阵A (aij )的特征值.
P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交的单位特征向量。
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
即
⑵ 只含交叉项
的情形。
例3 用配方法化二次型
为标准形,并求出所作的可逆线性变换.
解令
令
即
则二次型的标准形为
所用的可逆线性变换为
以上说明：
二次型 f X T AX 经过可逆线性变换X CY，化为标准形的过程寻找一个与对称矩阵A 合同的对角矩阵B CT AC, 且二次型 f 的秩不变.
r( f ) r( A) 2
问：在二次型 f xT Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义只含平方项的二次型 f k1 x12 k2 x22 kn xn2
k1
x1
[ x1,, xn ]
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2

二次型的正定性与标准型

二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。

在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。

本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。

一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。

二次型具有以下性质：1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。

2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域$\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。

3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。

4. 可加性：$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。

在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。

二、正定性的定义与性质正定性是指一个二次型的取值范围。

一个二次型$Q(x)$具有以下性质：1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。

2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。

3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。

4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。

正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。

第六章二次型

第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。