(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质

2019-2020年高考数学小题高分突破13 函数的图像与性质

1．已知实数x ，y 满足⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y

，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan x >tan y B ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1 C.1x >1y D ．x 3>y 3

答案 D

解析 ⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y

⇔x >y ，

对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π

4

时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．

对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．

对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1

y 不成立．

对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．

2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－x ，x ≥0，

g (x )，x <0

是奇函数，则g (f (－2))的值为( )

A ．0

B ．－1

C ．－2

D ．－4 答案 C

解析 ∵函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－x ，x ≥0，

g (x )，x <0是奇函数，

∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2， g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.

3．函数f (x )＝e x ＋1

x (e x －1)

(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )

答案 A

解析 f (－x )＝e －

x ＋1

(－x )(e －

x －1) ＝e x ＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x －1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.

4．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝⎛⎭⎫

52＝－1，则a 等于( )

A ．6

B ．4

C ．－14

25 D ．－6

答案 A

解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，

所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－1

2a ＋1＝－1， 解得a ＝6.

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，

则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 B

解析 画出函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1－|x ＋1|，x <1，

x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，

由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1

与函数y ＝2

2|x |

＝21

－|x |

的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.

6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，

若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )

A ．[1,2]

B ．[0,2]

C ．[1，＋∞) D.[)2，＋∞

答案 A

解析 ∵ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

(x －a )2－1，x ≤1，

ln x ，x >1，

若f (x )≥f (1)恒成立， 则f (1)是f (x )的最小值，

由二次函数性质可得对称轴a ≥1，

由分段函数性质得()1－a 2－1≤ln 1，得0≤a ≤2， 综上，可得1≤a ≤2，故选A.

7．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[]－1，0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－4∪[)2，＋∞ B.[]－4，2

C.(]－∞，－3∪[1，＋∞)

D.[]－3，1 答案 D

解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，

则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 由f (m ＋2)≥f (x －1)对任意x ∈[－1,0]恒成立， 得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|对任意x ∈[－1,0]恒成立， 所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选D. 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝

1

f (x ＋1)

，当x ∈[]0，1时，f (x )＝x ，若在区间(]－1，1上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦

⎤0，1

2 答案 D

解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， f (x )＝

1f (x ＋1)－1 ＝1x ＋1－1 ＝－x

x ＋1

， 在同一坐标系内画出y ＝f (x )，y ＝mx ＋m 的图象如图，