(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质
2020年高考数学压轴题专题复习： 函数的图象与性质及其应用【解析版】
专题 函数的图象与性质及其应用纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有： 1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借助导数这一工具进行研究；2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．函数零点问题常常涉及零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过化归与转化灵活转化问题；3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题；4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握与刻画是解决函数综合题目的必然要求；5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数（范围）问题.函数的图象与不等式，往往涉及数形结合思想、转化与化归思想；6.函数中的新定义问题.【压轴典例】例1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.例2.【2016·全国卷Ⅱ】已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B 【解析】法一：利用函数的对称性由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：构造特殊函数由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0. 令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件． 此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2， i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B. 答案：B 【思路点拨】(1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关． (2)易知函数y ＝x ＋1x关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解． 例3. 【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 ∵对任意的，都有；∴函数是4为周期的周期函数， ∵函数的图象关于轴对称 ∴函数函数）的关于对称，∵且，都．∴此时函数在上为增函数， 则函数在上为减函数， 则，，，则， 即，故选C ． 【规律总结】1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.2.解决抽象函数问题常用的结论 (1)函数y ＝f(x)关于x ＝2a b对称⇔f(a ＋x)＝f(b －x)⇔f(x)＝f(b ＋a －x)． 特例：函数y ＝f(x)关于x ＝a 对称⇔f(a ＋x)＝f(a －x)⇔f(x)＝f(2a －x)； 函数y ＝f(x)关于x ＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y ＝f(x)关于点(a ，b)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝2b ⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝2b. 特例：函数y ＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝0⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝0； 函数y ＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f(x ＋a)是偶函数⇔函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 对称；y ＝f(x ＋a)是奇函数⇔函数y ＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x ： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ； ②若f(x ＋a)＝1()f x ，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－1()f x ，则T ＝2a ；(a>0) ④若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a≠b)，则T ＝|a －b|；⑤若f(2a －x)＝f(x)且f(2b －x)＝f(x)(a≠b)，则T ＝2|b －a|.（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．例4.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【方法总结】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例5.【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1，可得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =， ∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 例6.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222(,)y xx y x y -++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．例7.【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤， 即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【压轴训练】1．【2018·全国卷Ⅰ】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【答案】D【解析】法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D.2.【2018年全国卷II 理】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为是定义域为的奇函数，且， 所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.【2018年理新课标I 卷】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.4.【甘肃省兰州市第一中学2019届9月月考】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（）A． 0 B． C． 1 D．【答案】A【解析】若，则，可得，若，，则有，取，则有：∵是偶函数，则，由此得，于是，，故选A.5.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。
(2021年整理)2019-2020年高考数学一轮复习函数及性质
（完整）2019-2020年高考数学一轮复习函数及性质编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2019-2020年高考数学一轮复习函数及性质）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）2019-2020年高考数学一轮复习函数及性质的全部内容。
2019-2020年高考数学一轮复习函数及性质一。
【复习目标】1.理解函数单调性的概念,理解函数的周期性。
2。
会利用函数的性质描绘函数的图象，讨论函数、方程、不等式相关问题。
3。
体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.二、【课前热身】1．函数y=的反函数 ( )A.是奇函数，它在（0,+）上是减函数。
B.是偶函数，它在(0，+)上是减函数。
C.是奇函数，它在(0，+上是增函数。
D.是偶函数，它在（0，+上是增函数。
2．若定义在R上的偶函数f（x）在（-，0）上是减函数，且=2。
那么不等式的解集为（）（A）（0。
5,1）（B）(0，0.5）.（C）(0，0。
5) （D)(2，+）3．已知函数f（x)是定义在R上的奇函数，且对一切x,总有f（x+4）=f(x），若f（63）=2，则f(5)与f（7）的大小关系是 ---—--—-—-——-—--—--4．已知f（x）=8+2x-x2,如果g（x）=f（2—x2）,那么g（x）（）（A）在区间（-2，0）上是增函数. (B）在区间（0，2）上是增函数. （C）在区间（-1，0）上是减函数. （D）在区间(0,1)上是减函数。
三。
【例题探究】例1．设函数12(1)()lgx x xn n af xn+++-+=，其中a是实数，n是自然数，且n，若f(x)当x时有意义,求a的取值范围。
(完整word版)2019年高考数学专题13函数函数的图象理
13函数函数的图象【考点讲解】一、具本目标：会运用函数图象理解和研究函数的性质.考点透析：1.函数图象的辨识；2.函数图象的变换.3.备考重点：函数图象在两图象交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等方面的应用二、知识概述：1.函数图象的辨识从以下几方面入手：(1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)从函数的周期性判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等.函数的图象必须与函数的性质有机结合起来，实现“数”与“形”的完美结合，不要将二者割裂开来.3.识图：通过对函数图象观察得到函数定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点等.合理处理好识图题：对于给定的函数图象，要从图象的左右、上下范围，端点、特殊点情况，以及图象所反映出的定义域、值域、极值、单调性、奇偶性、对称性、周期性等函数性质多方面进行观察分析，结合题给条件，进行合理解答.4.用图：利用函数的图象可以讨论函数的性质，求最值，确定方程的解的个数，解不等式等•数形结合，直观方便•充分用好图：数形结合是重要的数学思想方法，函数图象形象地显示了函数性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性.它是探求解题途径，快速获取结果的重要工具，特别是对解答填空选择题、方程根的个数等方面，很有效.因此，一定要注意数形结合，及时作出图象，借用图象帮助解题5.图象的变换类型有：1)左右平移变换：平移变换又包括左右平移变换(针对自变量)和上下平移变换(针对函数值整体).① 左右平移变换(左加右减)，具体方法是: y f(x)图象向左平移b(b 0)个单位，得y f (x)图象向右平移b(b 0)个单位，得2 )上下平移变换：②上下平移变换(上正下负)，具体方法是:y f(x)图象向上平移h(h 0)个单位得到y f (x)图象向下平移h(h 0)个单位得到3)伸缩变换：1y f (x)纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到ay f (x)横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，得到6.中心对称和轴对称：对称变换包括中心对称和轴对称①y f (x)与y f (x)关于对称；(关于x轴的对称)②y f (x)与y f ( x)关于对称；(关于y轴的对称)③y f (x)与y f( x)关于对称；(关于原点对称)④y f(x)与关于对称：(关于直线x a对称)⑤y f (x)与y | f(x)|，保留x轴上方的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，x轴下方图象删去；⑥y f (x)与y f(|x|)，保留y轴右方的图象，将y轴右方的图象沿y轴翻折到左边，y轴左方原图象删去.【温馨提示】1.函数图象是函数性质的具体体现，它是函数的另一种表示形式，因此对基本初等函数的图象必须熟记•2.掌握好函数作图的两种方法：描点法和变换法，作图时要注意定义域，并化简解析式3.变换法作图时，应先选定一个基本函数，通过变换，找出所求的图象和这个基本函数图象间的关系，再分步画出图形.4.在图象变换中，写函数解析式，也要分步进行，每经过一个变换，对应一个函数解析式【真题分析】1.【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为(A. AB. BC. CD. D对函数求导可得：,所以选项C 不合题意•因此选 B. 【答案】 B【变式】已知定义在区间 [0,2]上的函数y f(x)的图象如图所示，则 解法二：当x 0时，，当X 1时，•观察各选项，故选 B.【答案】B2.【优选题】已知命题 P ：函数yC X12 a 的图象恒过定点1,2 ；命题q : 函数为偶函数，则函数y f X 的图象关于直线 X 1对称，则下列命题为真命题的是( )A . p qB. PqC .p qD.p q解析：因为函数y 2 a x 1的图象恒过定点(1,1),所以命题p 为假命题，若函数为偶函数,则函数y f x 的图象关于直线x 1对称，所以命题q 也为假命题，所以 q 为真命题•【答案】D11 3.【优选题】把函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的丄倍，再向右平移-个单位长度22所得图象的函数式为()A.的图象为 ( )B.【答案】D.4.【2018年新课标I卷文】设函数是（）A. , 1B. 0,C. 1,0D.【解析】本题考点是利用函数图象确定函数的性质解不等式，则满足的X的取值范围,0.按照所给的函数形式在平面直角坐标系中画出函数的图象，观察图象可知会有范围是，0 .【答案】D，可得x 0，所以满足的x的取值【提示】本题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题,在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组, 从而求得结果.5.【2018年全国卷川文】下列函数中，其图象与函数y In X的图象关于直线X 1对称的是（）A. B. C. D.【答案】B6.【2016高考北京理】设函数 .① 若a 0 ,则f (x)的最大值为 ____________________ ； ② 若f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是 ___________【解析】本题考点是函数的单调性、极值与图象的综合问题.如图作出函数 ①当a 0时，，因此f (x)的最大值是 f( 1) 2;②由图象知当a 1时, f(x)有最大值是f( 1) 2 ；只有当 a 1时，由，因此f (x)无最大值，.••所求 a 的范围是(,1)，故填：2 ,(,1)【答案】2, ( , 1).7.【2016江苏】定-义在区间［0 , 3 ］上的函数y sin 2x 的图象与y cosx 的图象的交点个数是 .【解析】本题考点是三角函数图象 •，因为x ［0,3 ］，所以故两函数图象的交点个数是7.与直线y 2x 的图象，它们的交点是A( 1,2)，0(0,0) , B(1, 2)，由，知X 1是函数g(x)的极大值【答案】78.【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系 xOy 中，若直线y 2a 与函数 个交点，则a 的值为由题意，可知1【答案】丄2【模拟考场】A. AB. BC. CD. D【解析】本题考点是函数的图象，禾U 用函数的导数判断单调性，确定函数的图象，可由特殊值排除即可1.【2018年全国卷川文】函数的图像大致为（ ）的图像只有当x 0时，y 2，排除A,B.时,y 0 ,排除C.故正确答案选D.在2,2的图象大致为( ) 2.【2016高考新课标1卷】函数【答案】DA. B. C. D.【答案】D,则y f(x 1)的图象大致是()【解析】作出的图象，如图.再把y f (x)的图象向左平移一个单位，可得到y f(x 1)的图象.故选B.【答案】B4.将函数y f x 的图象 先向右平移a 个单位，然后向下平移b 个单位 y f x 的图象上，那么 P 点移动到点()A .2a,0 B • 2a,2b C . (0,2b) D .0,0【解析】将函数 y f (x)的图象先向右平移 a 个单位，然后向下平移 b 个单位，这里a 0,b 把函数图象上的点，按向量c (a, b)进行平移，设点(a,b)移动后的坐标为 Q (x,y ),则 【答案】A5 .已知函数y 乜一U 的图象与函数y kx 2的图象恰有两个交点，则实数kx 1是 ___________________.【解析】因为函数 f(x)的图象关于直线 x 1对称，所以，设点P a,b 在0 是指的的取值范围【答案】6.若函数的图象关于直线x1对称，则f X 的最大值为即 8.已知函数 ，给出下列命题:所以则令 f (X ) 0，解得 x 1 或 x 1 , 5 ,易知函数f (x)在x 1 . 5处取得极大值，又 ，所以 f(X )max 4 •7.已知定义在 区间0,1上的函数y f x 图象如图所示，对于满足结论：① ② ③其中正确结论的序号是 ________ •(把所有正确结论的序号都填写在横线上)【答案】②③b 0 的任意x 1, x 2结出下列①a R，使f (x)为偶函数；②若，则f (x) 的图象关于x 1对称；③若a 2 b0，则f (x)在区间［a,)上是增函数；④若，则函数有2个零点．其中正确命题的序号为a 0时，显然是偶函数，故①正确.【解析】①当②由，则，而,••• f (x)的图象不关于x 1对称，故②错误.③在区间［a,)上是增函数，故③正确.④有4个零点，故④错误，故填：①③.【答案】①③.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破理
专题02 函数的图象与性质1．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2 B ．y ＝2||C ．y ＝2－2－D ．y ＝2＋2－解析：因为y ＝2为增函数，y ＝2－为减函数，所以y ＝2－2－为增函数，又y ＝2－2－为奇函数，所以选C. 答案：C2．函数y ＝lg x ＋1x －2的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎨⎧ x －2≠0，x ＋1>0即－1<<2或>2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.答案：C3．下列函数中，图象是轴对称图象且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝－2＋1C ．y ＝2D ．y ＝log 2||解析：因为函数的图象是轴对称图象，所以排除A ，C ，又y ＝－2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2||在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.答案：B4．设函数f ()＝⎩⎨⎧ 1＋log 22－x x <1，2x －1，x ≥1，f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.优解 由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)>3排除A.由于log 212>1，要用f ()＝2－1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C.答案：C5．已知函数f ()的定义域为(－1,0)，则函数f (2＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由已知得－1<2＋1<0，解得－1<<－12，所以函数f (2＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B. 答案：B6．已知f ()是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (－1)≤f (2)的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 7．函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos 的图象的大致形状是( )解析：∵f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos ，∴f (－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·cos(－)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos ＝－f ()，∴函数f ()为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e>e 0＝1，21＋e x －1<0，cos>0，∴f ()<0，可排除选项D ，故选B.答案：B8．已知f ()是R 上的奇函数，且y ＝f (＋1)为偶函数，当－1≤≤0时，f ()＝22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：因为函数f ()为奇函数，所以f (－)＝－f ()，又y ＝f (＋1)为偶函数，所以f (＋1)＝f (－＋1)，则f ()＝f (－＋2)＝－f (－2)＝－f (－＋4)＝f (－4)，所以函数f ()的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝12，故选A.答案：A9．现有四个函数：①y ＝·sin ，②y ＝·cos ，③y ＝·|cos|，④y ＝·2的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①解析：函数①y ＝·sin 为偶函数，图象关于y 轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C ，D ；对于函数④y ＝·2，y ′＝2(1＋ln2)，>0时，y ′>0，函数单调递增，所以函数④y ＝·2对应的是第二个函数图象；又>0时，函数③y ＝·|cos|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B ，故选A. 答案：A10．若函数f ()同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀∈R ，都有f (－)＋f ()＝0；(2)∀1，2∈R ，且1≠2，都有f x 1f x 2x 1－x 2<0. ①f ()＝sin ；②f ()＝－23；③f ()＝1－；④f ()＝ln(x 2＋1＋)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由条件(1)，得f ()是奇函数，由条件(2)，得f ()是R 上的单调减函数．对于①，f ()＝sin 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f ()＝－23既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f ()＝1－不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f ()在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.答案：B11．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( )A ．y ＝xB ．y ＝－3C ．y ＝12log xD ．y ＝＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B. 12．已知函数f ()＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( ) A ．－13 B ．3C ．－13或3 D.13或313．函数f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x (0<a <1)的图象的大致形状是()答案 C解析 f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x＝⎩⎪⎨⎪⎧ －log a x x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log a x ，x >0.故选C.14．已知函数f ()＝1－2x1＋2x，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2B ．a ＋2b >2C ．b －a >2D ．a ＋2b <2 答案 C解析 由题意得f (－)＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x ＋1＝－f ()，故函数f ()为奇函数． 又f ()＝－2x －11＋2x ＝－2x ＋121＋2x＝－1＋21＋2x ， 故函数f ()在R 上单调递减．∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)，∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.15．已知f ()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15(log 3)f ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 C解析 ∵f ()是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴a ＝15(log 3)f ＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35，0<0.20.5＝55<12，∴0.20.5<log 53<log 35，∵f ()在(－∞，0]上是增函数，f ()是定义在R 上的偶函数，∴f ()在[0，＋∞)上为减函数，则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c ，故选C.16．若函数f ()＝⎩⎨⎧ 2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为() A ．[2,3] B ．[2，＋∞) C ．[1,3] D ．[1，＋∞)答案 A解析 由题意得⎩⎨⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.17．函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f ()＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin ，由1＋ln||≠0，得≠±1e ，则函数f ()的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.∵f (－)＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－)＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin ＝－f ()，∴函数f ()为奇函数，排除D.又1>1e ，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2＝121－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e 2<0，故可排除C.故选A.18．已知log 2＝log 3y ＝log 5<0，则2x ，3y ，5z 的大小排序为() A.2x <3y <5z B.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 ，y ， 为正实数，且log 2＝log 3y ＝log 5<0，令log 2＝log 3y ＝log 5＝(<0)，∴x 2＝2－1，y 3＝3－1，z 5＝5－1， 可得2x ＝21－，3y ＝31－，5z＝51－， 又1－>0，∴函数f ()＝1－在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A. 19．已知奇函数f ()满足f (＋1)＝f (1－)，若当∈(－1,1)时，f ()＝lg 1＋x 1－x，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( )A.911B.119C ．－911D ．－119 20．函数f ()＝2－2ln 的单调递减区间是________．解析：函数f ()＝2－2ln 的定义域为(0，＋∞)，令f ′()＝2－2x ＝2x ＋1x －1x <0，得0<<1，∴f ()的单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)21．已知f ()是定义在R 上的函数，且满足f (＋2)＝－1f x ，当2≤≤3时，f ()＝，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 解析：∵f (＋2)＝－1f x，∴f (＋4)＝f ()， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤≤3时，f ()＝，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 答案：52B 组 能力提高9．(2017·全国Ⅲ)设函数f ()＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f ()＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的的取值范围是______________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，对不等式分≤0,0<≤12，>12三段讨论． 当≤0时，原不等式为＋1＋＋12>1， 解得>－14， ∴－14<≤0. 当0<≤12时，原不等式为2＋＋12>1，显然成立． 当>12时，原不等式为2＋122x ->1，显然成立． 综上可知，的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 10．已知定义在R 上的函数f ()满足：①函数f ()的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为＝－1；②当∈[－1,1]时，f ()＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________. 答案 －32 解析 由题意作出f ()的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32. 11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f ()＝ln(1＋x 2－)＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案 －2解析 ∵f ()＋f (－)＝ln(1＋x 2－)＋1＋ln(1＋x 2＋)＋1＝ln(1＋2－2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f ()是奇函数，当<0时，f ()＝－2＋.若不等式f ()－≤2log a (a >0且a ≠1)对∀∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f ()＝22 019x ＋1＋sin ，其中f ′()为函数f ()的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0答案 A解析 由题意得f ()＋f (－)＝2，∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f ()＋f (－)＝2可得f ()－1＋f (－)－1＝0，∴y ＝f ()－1为奇函数，∴y ＝f ()－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′()为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f ()，∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af ()＝f (＋T )恒成立，此时T 为f ()的类周期，函数y ＝f ()是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当∈[0,2)，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2， 函数g ()＝－2ln ＋122＋＋m ，若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)使g (2)－f (1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数f ()，当∈[0,2)时，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2，分析可得：当0≤≤1时，f ()＝12－22， 此时f ()的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32， 当1<<2时，f ()＝f (2－)，函数f ()的图象关于直线＝1对称，则此时有－32<f ()<12， 又由函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2，则在∈[6,8)上，f ()＝33·f (－6)，则有－812≤f ()≤272， 则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812， 则函数f ()在区间[6,8]上的最大值为812， 最小值为－812； 对于函数g ()＝－2ln ＋122＋＋m ，g ′()＝x －1x ＋2x .分析可得：在(0,1)上，g ′()<0，函数g ()为减函数，在(1，＋∞)上，g ′()>0，函数g ()为增函数，则函数g ()在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ， 若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)，使g (2)－f (1)≤0成立，必有g ()min ≤f ()ma ，即32＋m ≤812， 得m 的取值范围为(－∞，39]15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f ()和偶函数g ()满足12f ()－g ()＝x －1x 2＋1，若g (＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1<g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则的取值范围是____________________． 答案 {|>－2且≠0且≠1}解析 因为12f ()－g ()＝x －1x 2＋1， 所以12f (－)－g (－)＝－x －1x 2＋1， 即－12f ()－g ()＝－x －1x 2＋1， 因此g ()＝1x 2＋1. 因为g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x 2＋1＝1， 所以由g (＋5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1<g ()＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 得1x ＋52＋1＋x －121x －12<1， 即1x ＋52＋1<11x －12，解得>－2，结合分母不为零得的取值范围是{|>－2且≠0且≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f ()＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意∈[－3，＋∞)，f ()≤||恒成立，则a 的取值范围是_______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 解析 如图所示，若对任意∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f ()的图象恒在y ＝||图象的下方，则必有⎩⎨⎧ f 33， ①f 00， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝与y ＝－2＋2－2a 相切或相离，所以＝－2＋2－2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程2－＋2a ＝0，Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2.综上，18≤a ≤2.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破文
专题函数的图象与性质．下列函数中既是奇函数，又在区间(，＋∞)上是减函数的为( )
．＝．＝－
．＝．＝＋
答案
解析由题意得，对于函数＝和函数＝都是非奇非偶函数，排除，.
又函数＝＋在区间()上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，排除，故选.
．已知函数()＝是奇函数，则()的值等于( )
．－．
．－或或
答案
解析函数()为奇函数，则(－)＝－()，
即＝－在定义域内恒成立，
整理可得＝，
即＝恒成立，∴＝±，
当＝时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝－，
当＝－时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝.
综上可得的值为－或.
．函数()＝(<<)的图象的大致形状是( )
答案
解析()＝
＝
错误!故选.
．设函数()＝(＋)＋，则使得()≤(－)成立的的取值范围是( )
．(－∞，] ．[，＋∞)
∪
答案
．已知函数()＝＋，若＝()，＝()，＝，则，，的大小关系为( )
．<< ．<<
．<< ．<<
答案
解析由于(－)＝－()，且定义域为，
故函数()为奇函数，
由于′()＝＋≥，
故函数()为定义域上的增函数，
而<<，所以<<，故选.
．若函数()＝(\\(＋，≥，,－＋＋，<))在上是增函数，则的取值范围为( ) ．[] ．[，＋∞)
．[] ．[，＋∞)
答案
解析由题意得(\\(()≥，,－＋＋≤＋，))
∴∈[]，故选.
．函数＝的图象大致为( )。
2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题6 第1讲 函数图象与性质
第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解+析 f (x )＝e x －e －x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解+析 法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A.f (x )在(0，2)上单调递增B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解+析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解+析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0， 所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案 22考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ).②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一 函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( ) A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解+析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0. 答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解+析式的函数的定义域是使解+析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解+析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1.答案 (1)D (2)1热点二 函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解+析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解+析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解+析式，判断其图象的关键是由函数解+析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解+析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D(2)C热点三函数的性质与应用考法1函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解+析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2(2)6考法2函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是()A.1B.12 C.14 D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b <a <cD.b <c <a解+析 (1)f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.(2)法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解+析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则 f (g (－3))＝( )A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解+析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2.(2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3.答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解+析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8解+析 由已知得a >0，∴a ＋1>1，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e－x 的图象是( )解+析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x 为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足.答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x ) 解+析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解+析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( ) A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解+析 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2.答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A.7B.8C.9D.10解+析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案 C二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解+析 由题意得：⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解+析 ∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又2>0，∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3.答案 39.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________.解+析 在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x ∈(－1，1]时，y ＝f (x )的图象在y ＝log 2(x ＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案 (－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点， 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。
(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质
2019-2020年高考数学小题高分突破13函数的图像与性质1 11 .已知实数x, y满足2 x< 2 y，则下列关系式中恒成立的是（）A . tan x>tan y B. ln(x2 + 2)>ln (y2+ 1)J 1 c.—>x y D. x3>y3答案D1 1解析 2 x< 2 y ? x>y,对于A，当x= 3n, y=—竽寸，满足x>y,但tan x>tan y不成立.4 4对于B，若ln(x2+ 2)>ln(y2+ 1)，则等价于x2+ 1>y2成立，当x= 1, y= —2 时，满足x>y, 但x2 + 1>y2不成立.1 1对于C,当x= 3, y = 2时，满足x>y,但対不成立.对于D，当x>y时，x3>y3恒成立.x2—x, x>0,2 .已知函数f(x)= 是奇函数，则g(f( —2))的值为()g x , x<0A. 0B.—1C. —2D. —4答案Cx2—x, x>0,解析•••函数f(x)= 是奇函数，g x , x<0••• f( —2) = —f(2) = —(4 —2) = —2,g(f( —2)) = g(—2) = f(—2) =—2.e x+ 13 .函数f(x)= x —1 (其中e为自然对数的底数)的图象大致为()x e 1答案Ax+ 1解析f(-Xpx-e x+ 1 e x+ 1-x 1 - e x =xe X- 1 = f(X)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称,又当X T 0时，f(x)i + g，故选A.54 .已知f(x)为定义在R上周期为2的奇函数，当一K x<0时，f(x)= x(ax+ 1),若=- 1, 则a等于( )14A. 6B. 4C.- 25 D . - 6答案A解析因为f(x)是周期为2的奇函数，5 1 1所以fq = f 2 =_ f -21 1 =——2 —2a +1 = —1,解得a= 6.1 —x+ 1|, x<1 ,5.已知函数f(x)=则函数g(x) = 2|x|f(x) —2的零点个数为() ')x2—4x+ 2, x> 1,A. 1B. 2C. 3D. 4答案B1 —|x+ 1|, x<1,解析画出函数f(x)=- 的图象如图，x2—4x+ 2, x> 12 1 —X +1|, x<1 , 2 由g(x)= 2|X f(x)—2= 0可得f(x)=弼，则问题化为函数f(x) = 2 4x+ 2 x> 1与函数丫 =列=21—|x|的图象的交点的个数问题•结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选 B.x—a 2—1, x< 1,6 .设函数f(x) = 若f(x) >f(1)恒成立，则实数a的取值范围为()In x, x>1,A • [1,2]B • [0,2]C. [1 ,+s )D.[2,+s )答案Ax—a 2—1, x w 1,解析T f(x) =ln x, x>1 ,若f(x) > f(1)恒成立，则f(1)是f(x)的最小值,由二次函数性质可得对称轴 a > 1,由分段函数性质得(1 — a )2— 1 < in 1，得O w a w 2, 综上，可得1 w a w 2,故选A. 7.已知定义在 R 上的函数f(x)在[1 ,+^ )上单调递减，且f(x + 1)是偶函数，不等式f(m + 2)>f(x —1)对任意的x € [— 1, 0]恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A. ( —m ，— 4] U [2,+s )B.[ — 4, 2]C. ( —m ，— 3] U [1 ,+s )D. [ - 3, 1] 答案 D解析因为f(x + 1)是偶函数， 所以 f(— x + 1) = f(x + 1),则函数f(x)的图象关于直线 x = 1对称，由f(m + 2)》f(x — 1)对任意x € [ —1,0]恒成立，得|(m + 2) — 1|w |(x — 1)— 1|对任意 x € [ — 1,0]恒成立， 所以|m + 1|w 2，解得—3w m W 1•故选D.18. ----------------------------------------------- 已知函数f(x)满足f(x) + 1 = f ,当x € [0, 1]时,f(x)= x ,若在区间(一1, 1]上方程f(x)f x ~H 1一 m x --m = 0有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是()1 1A . 0,2 B. 2, + 811C . 0, 1D 0, 2答案 D解析 当 x € (— 1,0]时，x + 1€ (0,1],在同一坐标系内画出 y = f(x), y = mx + m 的图象如图,f(x)= fx + 1 — 11 x + 1X x + 1,动直线y= mx+ m过定点(—1,0),1当过点(1,1)时，斜率m=-,1由图象可知，当0<m w 2时，两图象有两个不同的交点，从而g(x)= f(x)—mx —m有两个不同的零点.9. 定义：如果函数f(x)的导函数为f' (x),在区间［a, b］上存在X1, x2(a<X1<x2<b),使得=f b—f a, f' (X2)=f b—f a，则称f(x)为区间［a, b］上的“双中值函数”.已知函数b—a b—a=3x3—mx2是［0,2］上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是()3 2m 4 8B. 3, 3答案B1 m解析由题意可知，g(x)= ~x3—^x2,••• g ' (x)= x2—mx在区间［0,2］上存在x〔, x2(0<X1<X2<2),g 2 —g 0 4满足g (X1)= g' (x2) = 2 —0 = 3—m,4 (X1) g(x)4 83，34C. 4 -pm•••方程x2—mx+ m —- = 0在区间(0,2)上有两个不相等的解,3△= m2— 4 m—>0,m0<2<2，则4m—3>°，44—2m + m —§>0, 解得4<m<8,则实数m的取值范围是3, 8 .10. 已知函数y= f(x)为R上的偶函数，且满足f(x+ 2) = —f(x)，当x€ [0, 1)时，f(x)= 1—x2.给出下列四个命题：p i: f(1) = 0;xp2：2是函数y= f 2的一个周期；p a：函数y= f(x—1)在(1,2)上单调递增；1 1p4：函数y= f(2x—1)的增区间为2k—2，2k + °, k€ Z.其中真命题为()A . p1, p2B . p2, p3C . p1, p4D . p2 , p4答案C解析f(x+ 2) = —f(x)中，令x=—1可得f(1) = —f( —1) = —f(1),据此可得f(1) = 0,命题P1正确；由题意可知f(x+ 4) = —f(x+ 2) = f(x),则函数f(x)的周期为T = 4,则函数y= f 2的一个周期为8,命题P2错误；由f(x+ 2) = —f(x)可知，函数f(x)关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示.将函数图象向右平移一个单位可得函数y= f(x—1)的图象，则函数y= f(x—1)在(1,2)上单调递减，命题P3错误；P4：函数y= f(2x—1)的增区间满足：4k—2< 2x—1 <4k(k€ Z),求解不等式组可得增区间为2k— 2 2k+1 , k€ Z ,命题P4正确. 综上可得真命题为P1, p4.111. 若y= 8x—log a x2(a>0且a M 1)在区间0, 3上无零点，则实数a的取值范围是()1A . (1 ,+s ) B. 0, 3 U (1 , )1C. 3，1 U (1,+^ ) D . (0,1) U (4 ,+^ )答案C解析令y= 8x—log a x2= 0,则8x= log a x2,设f(x) = 8x, g(x)= log a x2,1于是要使函数y= 8x—log a x2(a>0且a M 1)在区间0,才上没有零点，1只需函数f(x)与g(x)的图象在区间0, 1上没有交点，3当a>1时，显然成立；当0<a<1时，f(x)= 8x单调递增，一 1 1 1且f 3 =83= 2,此时，要使函数f(x)与g(x)的图象在区间0,-上没有交点，1 1 1则需g 3 = log a9>f 3 = 2 ,1 即 log a §>2 = log a a 2,1 1于是a 2>9，解得3<a<1,1故实数a 的取值范围是a>1或-<a<1，故选C.3—x 2 + 4x , 2< X W 3,12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x + 2) = 2f(x),且当 x € [2,4]时，f(x)= x 2 + 2,3<x < 4, xg(x) = ax + 1，对？ X 1€ [ — 2,0], ? X 2€ [ — 2,1]，使得 g(X 2)= f(x”，则实数 a 的取值范围为( )1 1A . ——OO —8 u 8, + O11 B . —4 0 u 0, 8C.(0,8]11D ———u+48—x — 2 2+ 4, 2W x W 3, 集.当x € ［2,4］时，f(x)=2由二次函数及对勾函数的图象及性质,x + 一，3<x < 4,x9 1 1得 f(x)€ 3, ，由 f (x + 2) = 2f(x)，可得 f(x)= 2f(x + 2) = ]f(x + 4)，当 x € [ — 2, 0]时，x + 3 94 € [2,4].贝U f(x)在[ — 2,0]上的值域为 R 8 .3—2a + 1W 3,4当 a>0 时，g(x) € [ — 2a + 1, a +1]，则有9a+ 1》8’3a+ 2 W 4, 不符合题意；当 a<0时，g(x)€ [a + 1,— 2a + 1]，则有2 1综上所述，可得a 的取值范围为 —8,—才u 孑‘+^ .13. __________________________________________________________ 函数f(x) = a x 2 015 + 2 017(a>0且a * 1)所过的定点坐标为 __________________________________ 答案(2 015,2 018) 解析当x = 2 015时, f(2 015) = a 2 015— 2 015+ 2 017 = a 0+ 2 017 = 2 018 ,答案 D解析由题意知问题等价于函数f(x)在［—2,0］上的值域是函数 g(x)在［—2,1］上的值域的子1解得a 》；；当a = 0时，g(x) = 1,89—2a + 1> 9,8••• f(x) = a x x2015+ 2 017(a>0 且1)过定点(2 015, 2 018).14. 已知函数f(x) = (x+ 2 012)(x+ 2 014)(x + 2 016)(x+ 2 018), x€ R，则函数f(x)的最小值是答案 -16解析设t= x+ 2 015, t€ R ,则f(x) = (x+ 2 012)(x+ 2 014)(x+ 2 016)(x+ 2 018), x€ R，化为g(t)= (t- 3)(t- 1)(t + 1)(t + 3) =(t2-1)(t2- 9) = t4- 10t2+ 9=(t2-5)2- 16,当t2= 5 时，g(t)有最小值—16,即当x=- 2 015 土. 5时，函数f(x)的最小值是一16.15. 若函数f(x)对定义域内的任意X1, X2，当f(X1)= f(X2)时，总有X1= X2,则称函数f(x)为单纯函数，例如函数f(x)= X是单纯函数，但函数f(x)= X2不是单纯函数，下列命题：IOg2X, x> 2 ,①函数f(x)= y是单纯函数；x- 1, x<2x2+ ax + 1②当a>-2时，函数f(x)= - 在(0,+^ )上是单纯函数；X③若函数f(x)为其定义域内的单纯函数，X1M X2,则f(X1)工f(X2)；④若函数f(x)是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在X0使其导数f (X0)=0，其中正确的命题为 ___________ .(填上所有正确命题的序号)答案①③解析由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数.因为当x>2时，f(x) = Iog2X单调，当x<2时，f(x) = x- 1单调，结合f(x)的图象可知f(x)是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f(x)= x+ - + a,由f(2) = f 1但2丰J可知f(x)不是x 2 2单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当X1工X2时，f(X1)工f(X2), 即命题③正确；对于命题④，例如，f(x)= X是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在X0,使f'(X0)= 0,故④错误，答案为①③.X2-X+ 5, X>0,16. 已知函数f(x) = x3-3x2+ 1, g(x)= 4若方程g[f(x)] - a = 0(a>0)有6—x2—6x- 8, x< 0,个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是__________ .答案1, 5解析作出函数f(x)和g(t)的图象如图.由g[f(x)]— a = 0(a>0)，得g[f(x)] = a(a>0).设t = f(x)，贝U g(t) = a(a>0).由y= g(t)的图象知，①当0<a<1时，方程g(t)= a有两个根，一4<t i< —3,—3<t2< —2,由t= f(x)的图象知，当一4<t i< —3 时,t= f(x)有1 个根，当—3<t2< —2 时,t = f(x)有3 个根，此时方程g[f(x)] —a = 0(a>0) 有4个根，1②当a= 1时，方程g(t) = a有两个根，t i = —3, t2 = ?，由t = f(x)的图象知，当t i = —3时，t =f(x)有2个根，当t2 = 1时，t= f(x)有3个根，此时方程g[f(x)] — a = 0(a>0)有5个根；5 1 1 1③当1<a<4时，方程g(t) = a有两个根，。
2019年高考数学高分突破复习 专题六 第1讲
第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析 f (x )＝e x －e －xx 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e>2，排除C ，D ，只有B 项满足. 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析 法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案22考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一 函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)函数有意义，则⎩⎨⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0.答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]， 由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1. 答案 (1)D (2)1热点二 函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D (2)C热点三函数的性质与应用考法1 函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2 (2)6考法2 函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是( )A.1B.12C.14D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析(1)f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(32a－1)≥f(－3)＝f(3)，∴32a－1≤3，则2a－1≤12，∴a≤34.故a 的最大值是34.(2)法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， ∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8， 从而可得c >a >b . 答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－3))＝( ) A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2. (2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3. 答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 由已知得a >0，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e －x的图象是( )解析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足. 答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( )A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解析 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2. 答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( ) A.7B.8C.9D.10解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9. 答案 C 二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解析由题意得：⎩⎨⎧2x－12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析∵奇函数f(x)满足f(log124)＝－3，而log124＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)＝3，又∵当x>0时，f(x)＝a x(a>0且a≠1)，又2>0，∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝ 3.答案 39.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________.解析在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案(－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x ，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。
函数的性质—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)
狂刷04 函数的基本性质1．下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．函数3e e x xy x x--=-的图象大致是A ．B ．C ．D ．3．函数y =21xx -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）.C ．[1，2）D ．[–1，2）4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是 A ．图象关于1x =对称B ．最小值为1-C ．图象关于点()11-，对称D ．在(]0-∞，上单调递减 8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=A ．－1B ．1C ．－5D ．59．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．2019B ．0C ．1D ．−110．定义运算：x ▽y ＝,0,0x xy y xy ≥⎧⎨<⎩，例如：3▽4＝3，(－2)▽4＝4，则函数f (x )＝x 2▽(2x －x 2)的最大值为_______________．11．已知函数|4|y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增 ，则m 的取值范围为_______________． 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．13．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]01，上单调递增的是 A ．cos y x =B ．sin y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =-14．若函数(2()sin ln 14f x x ax x=⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±15．已知()fx 为定义在()0,+∞上的函数，若对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则 A ．a b c ＜＜ B ．b a c ＜＜ C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜16．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a << D ．13()()(3)32f f a f a a << 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=A ．3B ．2C ．2-D ．3-18．已知函数)32()log12f x x x x =++，若()7()f a a =∈R ，则()f a -=_______________．19．已知函数31()=2+e exxf x x x --，其中e 是自然数对数的底数，若()()21+20f a f a -≤，则实数a 的取值范围是_______________．20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()11f =，且对任意x ∈R 都有：()()55f x f x +≥+与()1f x +≤()1f x +成立，若()()1g x f x x =+-，则()2017g =_______________．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．22．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则2sin cos ++x xx xA ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为25．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．26．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．5027．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．29．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B ．函数2()1f x x x =-C ．函数2211,02()11,02x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩是偶函数D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数．对于B ，2()1f x x x =-2()1f x x x -=--对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，关于原点对称．当0x >时，21()()12f x x -=---= 21(1)()2x f x -+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-．综上可知，函数()f x 是奇函数．对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数． 故选B.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数．2．函数3e e x xy x x--=-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令()3e e x x f x x x --=-，则()()f x f x -=，故函数()3e e x xf x x x--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 选项；由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±，()0.50.51e e 0.500.1250.5f -=<-，排除D 选项； ()10101e e 101100010f -=>-，故可排除B 选项. 所以本小题选A.【名师点睛】本小题主要考查函数图象的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，属于基础题.求解时，根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 3．函数y =21xx -+，x ∈（m ，n ]最小值为0，则m 的取值范围是 A ．（1，2） B ．（–1，2）.C ．[1，2）D ．[–1，2）【答案】D 【解析】函数y =2313111x x x x x ---==+++–1，且在x ∈（–1，+∞）时，函数y 是单调递减函数，在x =2时，y 取得最小值0；根据题意x ∈（m ，n ]时y 的最小值为0，∴m 的取值范围是–1≤m <2． 故选D ．4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-【答案】A【解析】本题主要考查函数的性质．因为()f x 为定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()()()()4422f f f f -=-=，，又0234<<<，所以()()()234f f f <<，所以()()()234f f f -<<-． 故选A ．5．若()f x ，()g x 均是定义在R 上的函数，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若()f x 和()g x 都是偶函数，则()()()() f x f x g x g x -=-=，，()()()() f x g x f x g x -⋅-=⋅，即()()f x g x ⋅是偶函数，充分性成立；当()f x x =，()2g x x =时，()()f x g x ⋅是偶函数，但是()f x 和()g x 都不是偶函数，必要性不成立，∴“()f x 和()g x 都是偶函数”是“()()f x g x ⋅是偶函数”的充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，利用奇偶性的定义证明充分性成立，利用特殊函数证明必要性不成立，从而可得结果.属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质判断,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--，又0x <时，()2f x x ax =-+，2a ∴=-.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.根据函数为奇函数，求得当0x <时()f x 的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.7．关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是 A ．图象关于1x =对称B ．最小值为1-C ．图象关于点()11-，对称 D ．在(]0-∞，上单调递减 【答案】C【解析】由题意可得：()21111x x f x x x x -≥⎧=--=⎨-<⎩，，， 绘制函数图象如图所示，观察函数图象可得：图象关于1x =对称，选项A 正确； 最小值为1-，选项B 正确；图象不关于点()11-，对称，选项C 错误； 在(]0-∞，上单调递减，选项D 正确. 故选C.【名师点睛】本题主要考查分段函数的性质，函数图象的应用，函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图象考查函数的性质即可.8．设函数e ()(12e 1)x x f x g x -++=+，若()f x 是奇函数，(3)1g =，则(3)g -=A ．－1B ．1C ．－5D ．5【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以e 1e 122e ()()1e 1x x x x g x g x ----+=++-+---，所以g (－x )＝－g (x )－4，所以g (－3)＝－g (3)－4＝－5， 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性的定义求函数值． 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=A ．2019B ．0C ．1D ．−1【答案】B【解析】由()()()42f x f x f x +=-+=得：()f x 的周期为4. 又()f x 为奇函数，()11f ∴=，()()200f f =-=，()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==，∴()()()()12340f f f f +++=.()()()()()()()()()123201*********f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=⨯+++-⎡⎤⎣⎦0=.本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用问题，关键是能够得到函数的周期，利用周期性和奇偶性求解出一个周期内的函数值的和.即根据()()2f x f x +=-可先推导出()f x 的周期为4，再利用函数为奇函数且周期为4求出()()()()12340f f f f +++=，最后根据周期性可求解出结果.10．定义运算：x ▽y ＝,0,0x xy y xy ≥⎧⎨<⎩，例如：3▽4＝3，(－2)▽4＝4，则函数f (x )＝x 2▽(2x －x 2)的最大值为_______________． 【答案】4【解析】依题意得，当x 2(2x －x 2)≥0，即0≤x ≤2时，f (x )＝x 2的最大值是22＝4； 当x 2(2x －x 2)＜0，即x ＜0或x ＞2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1＜0． 因此，函数f (x )的最大值是4．故填4．【名师点睛】本题主要考查不等式的解法与函数的性质等基础知识，意在考查考生的运算求解能力与推理能力．11．已知函数|4|y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增 ，则m 的取值范围为_______________．【答案】(,4]-∞【解析】由于4()44=4()4mx m x y x m m m x x ⎧-≥⎪⎪=-⎨⎪-<⎪⎩，则函数4y x m =-的增区间为,4m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为,4m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，所以要使函数4y x m =-在区间[)1,+∞上单调递增，则14m≤，解得：4m ≤， 故m 的取值范围为(,4]-∞.【名师点睛】本题主要考查分段函数的单调性，关键是掌握初等函数单调性的判断，属于基础题.求解时，先去绝对值，得到函数|4|y x m =-为分段函数，求出单调区间，即可得到m 的取值范围. 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是_______________．【答案】(,5]-∞-【解析】本题考查函数的性质．当0x ≥时，()2f x x =，此时()f x 单调递增；而()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上单调递增；若()()31f x a f x +≥+，则31x a x +≥+，即21a x ≥+在[2]x a a ∈+,上恒成立，即()221a a ≥++恒成立，解得5a ≤-，故实数a 的取值范围是(,5]-∞-．13．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]01，上单调递增的是 A ．cos y x =B ．sin y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =-【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，cos y x =，为余弦函数，在[]01，上为减函数，不符合题意； 对于B ，sin y x =，为偶函数，且在[]01，上，其解析式为sin y x =，单调递增，符合题意； 对于C ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为偶函数，且在[]01，上，其解析式为12x y =（），单调递减，不符合题意； 对于D ，3y x =-，为奇函数，不符合题意. 故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的定义，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．判断函数的奇偶性，首先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，此时不必求f (－x )．当定义域关于原点对称时，若证明函数具有奇偶性，应运用定义，将f (－x )与f (x )进行比较，有时不易变形时，可直接计算f (－x )±f (x )，判断其是否为零；若证明函数不具有奇偶性，只需找到一组相反量的函数值，不满足f (－a )＝f (a )和f (－a )＝－f (a )即可． 14．若函数(2()sin ln 14f x x ax x=⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】C【解析】依题意，函数()f x 为偶函数.由于()sin m x x =为奇函数，故(2()ln 14g x ax x =++也为奇函数. 而(2()ln 14g x ax x-=-+，故((22()()ln 14ln 140g x g x ax x ax x -+=-+++=，即()222ln 140x a x +-=，解得2a =±.故选C.【名师点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查两个函数相乘的奇偶性判断，属于基础题.求解时，根据函数()f x 为偶函数，sin x 为奇函数，判断出(2()ln 14g x ax x =++为奇函数，根据奇函数的定义列方程，求得a 的值即可.15．已知()f x 为定义在()0,+∞上的函数，若对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则A ．a b c ＜＜B ．b a c ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜【答案】B【解析】因为()f x 是定义在()0,+∞上的函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x --＜，故()()121221011f x f x x x x x -<-，∴函数()f x x 是()0,+∞上的增函数， ∵0.222122,00.21,log 52＜＜＜＜＞，∴20.220.22log 5＜＜，∴b a c ＜＜. 故选B.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，由()()2112120x f x x f x x x --＜可知函数()f x x是()0,+∞上的增函数，结合自变量的大小比较函数值(即实数a ，b ，c 的大小)即可.16．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a << D ．13()()(3)32f f a f a a << 【答案】A【解析】若(1)f x +为偶函数，则(1)(1)f x f x -+=+，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称． 又函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，则32321a a -+-=⨯，解得12a =， 故当5(1,)2x ∈时，()1()2xf x =单调递减，又()33()2f a f =，1224()()(2)()3333f f f f a ==-=，3335()()(2)()2444f a f f f ==-=， 所以345()()()234f f f <<，即13(3)()()32f a f f a a <<，故选A ． 17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】C【解析】由()()21f x f x +=-得：()()3f x f x +=，即()f x 是周期为3的周期函数，()()()()()()2018201967331673310f f f f f f ∴+=⨯-+⨯=-+， ()f x Q 为R 上的奇函数，()()211log 42f f ∴-=-=-=-且()00f =， ()()201820192f f ∴+=-.本题正确选项为C.【名师点睛】本题考查利用抽象函数的周期性和奇偶性求解函数值的问题，关键是能够将自变量通过周期性和奇偶性转化为已知区间内的值，从而利用已知区间的解析式来进行求解.求解时，根据()()21f x f x +=-可得函数周期为3，从而将所求式子变为()()10f f -+，利用函数的奇偶性的性质和在30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的解析式即可求得结果. 18．已知函数)32()log12f x x x x =++，若()7()f a a =∈R ，则()f a -=_______________．【答案】7【解析】易知f （x ）的定义域为R ，且关于原点对称， ∵f （﹣x ）)32()log()12x x x =--++32log 21x x x ⎛⎫=-+++ ()32log12x x x =++=f （x ），∴f （x ）是R 上的偶函数， ∴f （﹣a ）＝f （a ）＝7． 故答案为7．【名师点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，关键是对对数式的真数分子有理化，属基础题．求解时，先求出f （x ）的定义域，然后判断f （x ）的奇偶性，根据奇偶性可得答案． 19．已知函数31()=2+e exxf x x x --，其中e 是自然数对数的底数，若()()21+20f a f a -≤，则实数a 的取值范围是_______________． 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()()312e ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f x x x --'=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又()()2120f a f a -+≤，即()()221f a f a ≤-，所以221aa ≤-，即2210a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()11f =，且对任意x ∈R 都有：()()55f x f x +≥+与()1f x +≤()1f x +成立，若()()1g x f x x =+-，则()2017g =_______________．【答案】1【解析】本题考查函数的性质与求值．因为()()1g x f x x =+-，所以()()1g x x f x +-=． 所以()()()()()()5515515g x x f x f x g x x +++-=+≥+=+-+，()()()()()()1111111g x x f x f x g x x +++-=+≥+=+-+，所以()()5g x g x +≥，()()1g x g x +≤，所以()()()()()()54321g x g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤+≤+， 所以()()1g x g x +=，所以()g x 是以1为周期的周期函数． 所以()()()201711111g g f ==+-=．【解题技巧】推出()g x 是以1为周期的周期函数，是解决此题的关键．21．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．2sin cos ++x xx x22．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．23．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．24．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 25．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．26．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=，因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L .故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．27．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3].故选D.【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.28．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．29．【2019年高考北京理数】设函数()e e x xf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1;,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 若函数()e e xx f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立， 即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.。
2019-2020年高三数学函数图象及其应用选讲
2019-2020年高三数学函数图象及其应用选讲【知识要点】函数图象，就是“满足函数的有序数对（，）的集合”在直角坐标系下“对应的点的集合”。
它直观地反映了函数值随自变量的变化而变化的规律，是研究函数的有力工具，也是高考的重点内容。
其基本知识如下：1．常见函数的图象规律主要指一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的图象以及正弦曲线、余弦曲线和正切曲线等。
请同学们自己总结。
2．函数图象的图象变换规律⑴平移变换左右平移：将函数的图象向左或向右平移个单位（）后得到函数和的图象；上下平移：将函数的图象向上或向下平移k个单位（）后得到函数和的图象。
⑵伸缩变换横向伸缩（纵坐标不变）：将函数的图象上所有点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的倍得到函数的图象；纵向伸缩（横坐标不变）：将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的A 倍后得到函数的图象。
⑶对称变换函数的图象与函数、、的图象分别关于x轴、y轴、原点对称。
⑷翻转变换将函数的图象在x轴上方的部分不面，下方的部分翻转到x轴上方得到函数的图象；将函数的图象在y轴右方的部分不变，左方的部分图象由右方的图象沿y轴翻转，得到函数的图象。
3．分清两类对称性⑴函数图象自身的对称性①函数的图象关于原点对称函数是奇函数对定义域内任意的，恒成立一般地：函数的图象关于点（，）对称对定义域内任意的，恒成立②函数的图象关于轴对称函数是偶函数对定义域内任意的，恒成立一般地：函数的图象关于直线对称对定义域内任意的，恒成立对定义域内任意的，恒成立③对定义域内任意的，恒成立函数的图象关于直线对称⑵两个函数图象之间的对称性①函数与函数关于直线对称【题型分析】有关函数图象的问题可归结为作图、变图、识图和用图等几种类型。
一．作图例1．分别作下列函数的图象⑴．⑵．⑶．【小结】1．作函数图象的基本方法是描点作图法。
2．作函数图象的常见方法有：（1）转化为常见函数的图象分段作图。
专题01 函数的图像与性质(解析版)
专题01 函数的图像与基本性质1、（2019年江苏卷）.函数y =_____. 【答案】[1,7]-.【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.2、（2019年江苏卷）.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()gx 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 3【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（ ）A. 233231(log )(2)(2)4f f f -->> B. 233231(log )(2)(2)4f f f -->>C. 233231(2)(2)(log )4f f f -->> D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案：C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221log 4--<<<<；所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>；故选C.4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】Ba b c <<a c b <<c a b <<b c a <<【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．5、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= （ ） A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．6、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．7、【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .8、【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减， 函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.9、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+， 可知应为D 选项中的图象． 故选D ．10、【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮2sin cos ++x xx x度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.11、【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是（ ）【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.12、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则（ ）A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．13、【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ） A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.一、函数的性质 1、求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质. 2、复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减. 3、正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.4、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.5、判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.6、判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0).对于偶函数的判断以此类推.7、分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 二、抽象函数的问题：我们把没有给出具体 解析式的函数称为抽象函数。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破理
1专题02函数的图象与性质1 •下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是 ( )A • y = 2xB • y = 2|x|_x — xx — xC. y = 2 — 2 D • y = 2 + 2解析：因为y = 2x 为增函数，y = 2—x 为减函数，所以y = 2x — 2—x 为增函数，又y = 2x — 2—x 为奇函数，所以选C. 答案：C 2 •函数y =笔 的定义域是( )x — 2A . ( — 1 ,+^)B • [ — 1 ,+^)C. ( — 1,2) U (2 ,+^) D • [ — 1,2) U (2 ,+^)x — 2工 0,解析：由题意知，要使函数有意义，需 <即一1<x <2或x >2,所以函数的定义域为(一1,2) U (2 ,x + 1>0+ m ).故选C. 答案：Cx __C. y = 2 D . y = log 2| x |解析：因为函数的图象是轴对称图象，所以排除 在(0 ,+^)上单调递增，所以排除 D.故选B.答案：B了 1 + log 2 2 — x , x <1,4 •设函数 f (x ) =5 x —1f ( — 2) + f (log 212)=( )I 2 , x 》1,A . 3B . 6 C. 9 D . 12 解析：T — 2<1 ,•••f( — 2) = 1 + log 2[2 — ( — 2)] = 3;•••log 212>1 ,• f (log 212) = 2log 212— 1 = 2log 26 = 6. • f ( — 2) + f (log 212) = 9.优解 由 f ( — 2) = 3,「. f ( — 2) + f (log 212)>3 排除 A.3.下列函数中，图象是轴对称图象且在区间(0，+m )上单调递减的是(22 一A . y = -B • y =— x + 1 x由于 log 212>1，要用 f (x ) = 2xT 计算，则 f (log 212)为偶数，••• f ( — 2) + f (log 212)为奇数，只能选 C. 答案：C5 .已知函数f (x )的定义域为(一1,0)，则函数f (2x + 1)的定义域为( )A . ( — 1,1) B. i - 1，— 2 C. ( — 1,0) D. 2，11 f 1 \解析：由已知得一1<2x + 1<0,解得一1<x < — 2所以函数f (2x + 1)的定义域为 一1，— 2，故选B. 答案：B6 .已知f (x )是定义在［—2b, 1 + b ］上的偶函数，且在［—2b,0］上为增函数，则 f (x — 1) < f (2 x )的解集为( )A !-1，3'B . ］-1,3］ C. ［ — 1,1］ D. g, 1 I解析：；函数皿虚定义在［-边1十可上的偶函数…A+1十0=1,函数/W 的定义域为Lm 又的数血)在［-2:0］±单调递増…1的数金)在叩］上单调递减，二仪-1)虫2环1 02x|), \ — — 1<2^ | 一 >［x- 1 > 2x j L|x — 1 > j答案：BA C,又y = —•函数cos x>0,• f (x)<0，可排除选项D,故选B.答案：B8. 已知f(x)是R上的奇函数，且y= f(x + 1)为偶函数，当一K x W0时，f(x) = 2x2,贝U f1 1A. 2 B .—2C. 1 D . —1解析：因为函数f (x)为奇函数，所以f ( —x) =—f (x)，又y = f (x +1)为偶函数，所以f(x+1) = f ( —x+1)，贝y f (x) = f( —x+ 2) =—f (x —2) =—f( —x+ 4) = f(x —4)，所以函数f (x)的周期为4,所以f£；= f 4—2 =f —2 = 2X —1 2= 2 故选A.答案：A9. 现有四个函数：① y = x • sin x，②y = x • cos x，③y = x • |cos x|，④y=x・2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A.①④②③ B .①④③②C.④①②③ D .③④②①解析：函数①y = x • sin x为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C, D;对于函数④y = x・2x, y z= 2x(1 + x ln2) , x>0时，y' >0,函数单调递增，所以函数④ y = x ^2'对应的是第二个函数图象；又x>0时，函数③y= x • |cos x| >0,对应的是第四个函数图象，从而排除选项B,故选A.答案：A10. 若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1) ? x € R,都有f( —x) + f(x) = 0;r +亠f X1 —f X23⑵？X1, X2€ R,且X1^X2,都有<0.X1—X2①f (x) = sin x；② f( x) =—2x3:③ f (x) = 1 —x:④f (x) = ln( x2+ 1 + x).以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A. 0 B . 1C. 2 D . 3解析：由条件(1)，得f(X)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数.对于①，f(x) = sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x) = —2X3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x) = 1 —x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”.故选 B.45答案：B11 •下列函数中既是奇函数，又在区间(0 ,+s )上是减 函数的为(A . y = xB .叫xC. y = 2D . y = x +1x答案 Blog-, x2都是非奇非偶函数，排除A, C.解析 由题意得，对于函数 y = x 和函数y =1又函数y = x + -在区间(0,1)上单调递减，在区间(1 ,+^)上单调递增，排除 D,故选B.x12.已知函数 f (x ) = a ^^是奇函数，则f (a )的值等于()A .B . 3 C.1 D.§或 3答素解析 函数兀门为奇函数』则笊一 A-)= -Ax), 命在定义域內恒趁/Jr J*— I — 7*整理可得奈石占即川=1恒成立…：尸±1, 当尸1时，函数貝◎的解析式为当片—1时'函数卫工)的解析式为—1 —聲—1 —貞.^=<-1)=^7+3^=3 综上可得血的值为-殳it父(6a ,b 满足不等式f (2 a + b ) + f (4 — 3b )>0 ,贝U 下列不等式恒成立的是 ()A . b — a <2B . a + 2b >2 C. b — a >2 D . a + 2b <2 答案 C1 —2解析由题意得f (— x ) = 1^2丁+1 —2 2x = — 1 + x , 1 + 2 1+ 2' 故函数f (x )在R 上单调递减.•/ f (2a + b ) + f (4 — 3b )>0 ,••• f (2a + b )> — f (4 — 3b ) = f (3b — 4),2a + b <3b — 4,• b — a >2.故选 C.f(log 13)15.已知f (x )是定义在(—a, +s )上的偶函数，且在(—g,0］上单调递增，若a =5,b = f (log 35),c = f (0.2 0.5)，贝U a , b , c 的大小关系为()A . a <b <cB . c <a <bC. b <a <cD. c <b <a答案 C解析 T f (x )是定义在(—g,+a )上的偶函数,f(log 13)•- a =5= f ( 一 log 53) = f (log 53),解析 f (x )lOg a | x || x + 1| y 1 1—x , x < —1,「— log a =」lOg a ( — x ) , — 1<x <0,故选C.log a x , x >0. 14.已知函数f (x )=帛,实数-x= 2—1 =— 幷 =—f (x )，故函数f (x )为奇函数.x .2 — 1 又 f ( x ) =一 x =1 +2 答案 C••• 1= log 5 5<log 53<1,1 = log 33<log 35,78答案 A1 — ln| x |解析设 f (x ) = 1 + 呵 x | • sin x , , 1/• 0.2 0.5<log 53<log s 5,••• f (x )在(—g,0]上是增函数，f (x )是定义在R 上的偶函数，••• f (x )在[0，+g )上为减函数， 则 f (0.2 0.5)>f (log 53) >f (log 35), 即b <a <c ，故选C.2x + 1, x > 1,16 .若函数 f (x ) = * 2—x + ax + 1, x <1 在R 上是增函数,a 的取值范围为(A . [2,3]B . [2 ,+g )C . [1,3]D . [1 ,+g) 答案 A解析由题意得庐1，—1 + a +K 2+ 1,• a € [2,3]，故选 A.1 — l n | x l17.函数y = 十 • sin x 的部分图象大致为()1 + ln| x |由1+ ln| x| 丰0,得X M土一，e则函数f (x)的定义域为910则实数a 的值可以是( ) 11 B・ 6119u o, e u e.1 — ln| — x |f( — x) =1 + ln| — x | sin( — x)=—；-件 x| • sin x =— f (x ),1 + ln| x |•••函数f (x )为奇函数，排除D.1又1> ,且f (1) = sin 1>0，故可排除 e1 — —2 1 1 匸厂•sin 尹―3・sin 尹°,2x = log 3y = log 5z = k ( k <0),3 1 — k 5 1 — k厂3 ， z =5 ，又 1— k >0.2 3 5< < .故选A.x y z1 + x19.已知奇函数 f (x )满足 f (x + 1) = f (1 — x )，若当 x € ( — 1,1)时，f (x ) = lg ，且 f (2 018 — a ) = 1, i x•函数f (x ) =x 1—k 在(0,+^)上单调递增, 1 ——OO—— 一B.1— ln 1-2e 1 1+ ln re故可排除 C.故选A.18已知 log _ 3 52x = log 3y = log 5Z <0，则一，一，一的大小排序为(2 3 5 A. << x y z5 2 3 C. <3 2 5 B. <一<一y x z5 3 2答案解析 x ,z 为正实数，且 log 2x = log 刮=log 5z <0,令log k ，A 3k — 1 z k — 1 '，5= 52 1—k可得x =2 1 1 0<眾，且f-sin解析：：7U+1)=7U —d 心)三心―◎又的数金)为奇的数二g, 二贝一 Q 二一 yp —◎二用+町二一贝环. . [+ X Q「._心+4)=—加+丄)=血)，二|2^盘)为周期函数，周期为4一当x€ I, - 1J)时，令％x}=lgj7T^=l 』得”=TP 又R2 018-应)=贝2 — 6=夬4),二。
2019-2020(-1)(1-1)高考数学试题分项版解析 专题10 三角函数图象与性质 理(含解析)
专题10三角函数图象与性质考纲解读明方向分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间. 3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.4．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。
2017年高考全景展示1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D.【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.2.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】试题分析：函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数()f x 的一个周期为2π- ，选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确；()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Zππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确； 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调，选项D 错误；故选D .【考点】 函数()cos y A x ωϕ=+ 的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式.(2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可.3.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 4.【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-13(sin cos )22x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 2.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.3.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象． 4.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．5.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A.考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换6.【2016高考山东理数】函数f （x ）=sin x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.7.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．。
2019年高考数学(文)考点一遍过考点14三角函数的图象与性质(含解析)
Z ) 来确定，单调递减区间由不等式
kπ k Z 时为奇函数， 当且仅当
kπ
π k
Z 时为偶函数；
2
kπ π k Z 时为奇函数， 当且仅当 2
kπ k Z 时为偶函数；
π k k Z 时为奇函数．
2
0 的单调递增区间由不等式 2kπ π x 2
2kπ π(k 2
π
2 kπ
x
2
3π
2kπ
k Z 来确定；函数
（ 3）利用三角函数的单调性求值域（或最值） ．形如 y=Asin （ ω x＋ φ ）＋ b 或可化为 y=Asin （ ω x＋ φ ）＋ b
的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决
.
4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
（ 1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为
（3）单调性：根据 y=sin t 和 t = x
的单调性来研究，由
+2 k 2
间；由 +2 k
x
2
2k , k Z 得单调减区间 . 2
（ 4）对称性：利用 y=sin x 的对称中心为 (k ,0)( k Z ) 求解，令 x
x
2k , k Z 得单调增区
2
k k Ζ ，求得 x.
利用 y=sin x 的对称轴为 x k
2
y A cos x
A 0 , 0 的单调递增区间由不等式 2kπ π x
2kπ k Z 来确定，单调
递减区间由不等式 2kπ x
2kπ π k Z 来确定；函数 y A tan x
A 0 , 0 的单调
递增区间由不等式
π kπ
x
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质教学案文.pdf
专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。
【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.【题型示例 】题型 一、函数的性质及其应用【例1】（2018年江苏卷）函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.【变式探究】【2017北京，文5】已知函数，则1()3(3x x f x =-()f x （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数【答案】B【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5((1)2f f -+= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)(()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5((1)22f f -+=-.【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝Error!若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3 B ．－1或3C ．1D ．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子π2都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型 2、函数的图象及其应用【例2】（2018年全国III 卷）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D 【答案】D 【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C ，故正确答案选D.【变式探究】【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为sin21cos xy x=-A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B ；当时， ，故排除D ；当时，sin21cos xy x=-πx =0y =1x =，故排除A ．故选C ．sin201cos2y =>-【举一反三】【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x=++A BD ．C D 【答案】D【解析】当时， ，故排除A,C ；当时， ，故1x =()111sin12sin12f =++=+>x →+∞1y x →+排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探究】【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e x f x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。
(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破3复数与程序框图
2019-2020年高考数学小题高分突破3 复数与程序框图1．若实数x ，y 满足x 1＋i＋y ＝2＋i(i 为虚数单位)，则x ＋y i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为x 1＋i ＋y ＝2＋i ， 所以x ＋y ＋y i ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，因为x ，y 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝3，解得x ＝－2，y ＝3， 所以复数x ＋y i ＝－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，位于第二象限．2．在如图所示的复平面内，复数z ＝2＋3i i对应的点为( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D答案 D解析 ∵z ＝2＋3i i ＝(2＋3i )(－i )－i 2＝3－2i ， ∴z 在复平面内对应点的坐标为(3，－2)，观察图象，对应点为点D .3．已知i 为虚数单位，复数z ＝(a －i)2，a ∈R ，若复数z 是纯虚数，则|z |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 z ＝(a －i)2＝a 2－2a i －1，若复数z 是纯虚数，则a 2－1＝0，且a ≠0，所以a 2＝1.因为z ＝－2a i ，所以|z |＝4a 2＝2.4．设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足z ＝z ，则z ∈R ；p 2：若复数z 1，z 2满足||z 1＝||z 2，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2；p 3：若复数z 1＝z 2，则z 1·z 2∈R ；p 4：若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R ，其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 A解析 由z ＝z ，可知复数的虚部为0，所以有z ∈R ，从而得p 1是真命题；由复数的模的几何意义，可知p 2是假命题；由z 1＝z 2，可知z 1，z 2互为共轭复数，所以p 3是真命题；复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，只能说明两个复数的虚部互为相反数，所以p 4是假命题．5．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( )A ．－15－75i B ．－15＋75i C ．－125－725i D ．－125＋725i 答案 D解析 由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i 25， 所以z ＝－125＋725i. 6．执行如图所示的程序框图，则S 的值为( )A．16 B．32 C．64 D．128答案 D解析模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1，执行循环体，S＝2，i＝2，满足条件i≤4，执行循环体，S＝8，i＝4，满足条件i≤4，执行循环体，S＝128，i＝8，此时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为128.7．执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M为()A．k≥16 B．k<8 C．k<16 D．k≥8答案 A解析根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是S＝1＋2＋4＋8＋…，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，可知选A.8．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将πi 2e 表示的复数记为z ，则z ·(1＋2i)的值为( ) A ．－2＋i B ．－2－iC ．2＋iD ．2－i答案 A解析 由题意得z ＝πi 2e ＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z (1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i.9．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则下列结论错误的是( )A ．z 1·z 2是实数 B.z 1z 2是纯虚数C.||z 41＝2||z 22 D ．z 21＋z 22＝4i答案 D解析 z 1·z 2＝(1＋i)(1－i)＝1－i 2＝2，是实数，故A 正确，z 1z 2＝1＋i 1－i ＝1＋2i ＋i 22＝i ，是纯虚数，故B 正确，|z 41|＝|(1＋i)4|＝|[(1＋i)2]2|＝|(2i)2|＝4，2|z 22|＝2|(1－i)2|＝2|－2i|＝4，故C 正确，z 21＋z 22＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i 2＝0，所以D 不正确．10．运行如图所示程序框图，若输入的t ∈⎣⎡⎦⎤－12，3，则输出s 的取值范围为()A ．[1－3，3]B.⎣⎡⎦⎤12，8 C ．[1－3，8]D ．[0,8]答案 C解析 由程序框图可知，该程序表示分段函数， s ＝⎩⎨⎧ 2cos 2πt 2＋3sin πt ，－12≤t <1，⎝⎛⎭⎫1222t t －，1≤t ≤3，当－12≤t <1时，解析式化为s ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πt ＋π6＋1， πt ＋π6∈⎣⎡⎭⎫－π3，7π6，s ∈[]1－3，3， 当1≤t ≤3时，－3≤2t －t 2≤1，s ∈⎣⎡⎦⎤12，8，综上所述，s 的取值范围是[]1－3，8.11．中国南宋数学家秦九韶(公元1208～1268)在《数书九章》中给出了求n 次多项式a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0在x ＝t 处的值的简捷算法，例如多项式a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0可改写为()(a 3x ＋a 2)x ＋a 1x ＋a 0后，再进行求值．如图是实现该算法的一个程序框图，该程序框图可计算的多项式为( )A．x4＋x3＋2x2＋3x＋4B．x4＋2x3＋3x2＋4x＋5C．x5＋x4＋2x3＋3x2＋4x＋5D．x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6答案 C解析依次运行程序可得①i＝1，P＝x＋1，满足条件，继续运行；②i＝2，P＝(x＋1)x＋2＝x2＋x＋2，满足条件，继续运行；③i＝3，P＝(x2＋x＋2)x＋3＝x3＋x2＋2x＋3，满足条件，继续运行；④i＝4，P＝(x3＋x2＋2x＋3)x＋4＝x4＋x3＋2x2＋3x＋4，满足条件，继续运行；⑤i＝5，P＝(x4＋x3＋2x2＋3x＋4)x＋5＝x5＋x4＋2x3＋3x2＋4x＋5，不满足条件，停止运行，输出x5＋x4＋2x3＋3x2＋4x＋5.12．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若a ＝32，b ＝12，则输出的n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 记执行第n 次循环时，a 的值为a n ，则有a n ＝32⎝⎛⎭⎫32n ；记执行第n 次循环时，b 的值为b n ，则有b n ＝12×2n .令32⎝⎛⎭⎫32n ≤12×2n ，则有⎝⎛⎭⎫34n ≤38，故n ≥4. 所以输出的n 等于4.13．若复数z 满足i·z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________；|z |＝________. 答案 3 13解析 ∵i·z ＝－3＋2i ，∴z ＝－3＋2i i ＝()－3＋2i i i 2＝－3i －2－1＝2＋3i ， ∴复数z 的虚部为3，|z |＝22＋32＝13.14．在复平面内复数z ＝a i 1＋i对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 在复平面内复数z ＝a i 1＋i ＝a i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12a ＋12a i ，对应的点⎝⎛⎭⎫12a ，12a 位于第三象限，∴12a <0，解得a <0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)．15．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．答案 －12解析 运行程序如下：1≤2 018，s ＝－3，n ＝2；2≤2 018，s ＝－12，n ＝3；3≤2 018，s ＝13，n ＝4；4≤2 018，s ＝2，n ＝5，所以s 的周期为4，因为2 018除以4的余数为2，所以输出s ＝－12. 16．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 1 009解析 执行程序框图：S ＝0＋1·sin π2＝0＋1，i ＝3,3≤2 018； S ＝0＋1＋3·sin 3π2＝0＋1－3，i ＝5,5≤2 018； S ＝0＋1－3＋5·sin5π2＝0＋1－3＋5，i ＝7,7≤2 018； ……S ＝0＋1－3＋…＋2 017·sin 2 017π2＝0＋1－3＋…＋2 017，i ＝2 019,2 019>2 018. 输出S ＝0＋1－3＋5－7…－2 015＋2 017＝()0＋1＋()－3＋5＋()－7＋9＋…＋()－2 015＋2 017＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1 009.。
(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破10立体几何
i2019-2020 年高考数学小题高分突破 10 立体几何1.已知 a b 为异面直线 下列结论不正确的是 （ ）答案 C显可以作出两条.过角平分线且与平面 a 垂直的平面使得a , b '与该平面所成角相等，角平 分线有两条 所以有两个平面都可以.故 B 正确；在 C 中 当 a b 不垂直时 不存在平面 a,使得a? a, b ± a,故C 错误；在D 中，过异面直线 a , b 的公垂线的中点作与公垂线垂 直的平面a,则平面a 使得a , b 与a 的距离相等，故 D 正确.故选C.2 .设m , n 是两条不同的直线,a, B 是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的个数为 （ ） ① 若m 丄a, a 丄贝U m / 3；② 若m 丄a, a// 3, n? 3贝U m 丄n ；③ 若 m? a n? 3 m / n 则 a/3；④ 若n 丄a, n 丄3 m ± 3,贝U m ± aA . 1B . 2C . 3D . 4答案 B解析 对于①，若m 丄a , a 丄3,则m // 3或m? 3,所以不正确； 对于②，若m 丄a, all 3贝U m 丄3又由n? 3所以 m 丄n 正确； 对于③，若m? a, n? 3, m // n ,贝U all 3或a 与3相交， 所以不正确； 对于④，若n 丄a , n 丄3,贝U a// 3,又由 m 丄3 ,所以 m 丄a 是正确的,综上可知 正确命题的个数为 2.3 .如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，E 为棱BB i 的中点，用过点 A , E , C i 的平面截去 该正方体的下半部分 贝剩余几何体的正 （主）视图是（ ）A •必存在平面 a,使得 a / a b / aB •必存在平面 a,使得a ，b 与a 所成角相等 C .必存在平面 a,使得 a? a, b 丄 aD .必存在平面a,使得 a ，b 与a 的距离相等 解析 由 a ， b 为异面直线知，在 A 中，在空间中任取一点 0（不在a , b 上），过点0分别作 a ，b 的平行线，则由过点0的a ， b 的平行线确定一个平面 a,使得a // a, b // a ,故A 正确; 在B 中，平移b 至b '与a 相交, 因而确定一个平面 a 在 a 上作a , b '夹角的平分线，明答案A解析取DD i的中点F，连接AF , C i F ,平面AFC i E为截面.如图所示，所以上半部分的正（主）视图，如A选项所示，故选 A.4 .某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（）A . 3 n+ 4 2-2B . 3 计2,2 —2C.3n+ 2 ,2— 2D.^ 2 ,2 + 2答案A解析由三视图还原出原几何体是一个半圆柱挖去一个三棱柱，尺寸见三视图,S= nX 1 X 2 + 2 X 丁X nX 12—|x 2 X 1 + 2 X _2X 2 = 3 n—2 + 4 2.5 •已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是8 20A.3 B • 8 C."3 D • 6答案A解析如图所示，在棱长为2的正方体中,题图中的三视图对应的几何体为四棱锥P—ADC I B I ,其中P为棱A I D I的中点，则该几何体的体积VP—ADC i B i = 2VP —DB i C i = 2VD —PB i C i1 8 =2 X 3X S A PB1C1X DD i = 3.图2、图3，则6 .现有编号为①，②，③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A .①B .①②C .②③D .①②③答案 B 解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD , ADC 与底面垂直,7 .在直三棱柱 A i B i C i — ABC 中，A i B i = 3, 球的表面积的比值为（）29 i9 29A . 4 B.y C.y D . 29 答案 A解析如图i ，分别取AC , A i C i 的中点G , 取GH的中点O ,连接OA ,由题意，得 A i B 2+ B i C 2= A i C i ,由图二可得面 ACE 垂直于底面，由图三可知, 无侧面与底面垂直.B iC i = 4, A i C i = 5, AA i = 2，则其外接球与内切 H ，连接GH ,即△ A I BQ I 为直角三角形，则点0为外接球的球心，0A 为半径，则R = 0A = ：1 +务乎；如图2,作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心, 因为 R ： r = 29 : 2,则其外接球与内切球的表面积的比值为8 .在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，M , N 分别是BC i , CD i 的中点，贝U ()A . MN // C i D iB . MN 丄 BC i C . MN 丄平面 ACD iD . MN 丄平面 ACC i 答案 D 解析 对于选项A ，因为M , N 分别是BC i , CD i 的中点，所以点 N €平面CDD i C i ,点M? 平面 CDD i C i , 所以直线MN 是平面CDD i C i 的斜线，又因为直线 C i D i 在平面CDD i C i 内，故直线MN 与直线C i D i 不可能平行，故选项 A 错；对于选项B ,正方体中易知 NB M NC i ,因为点M 是BC i 的中点，所以直线 MN 与直线BC i 不垂直，故选项 B 错；对于选项 C ,假设MN 丄平面ACD i ，可得MN 丄CD i .中截面三角形的内切圆的半径3+ 4— 5 2 =1，也是内切球的半径,4 n 2 = 294 n 2 = 4 .因为N是CD i的中点，所以MC = MD i，这与MC工MD i矛盾.故假设不成立.所以选项C错；对于选项D，分别取B i C i，C1D1的中点P，Q,连接PM，QN，PQ. 因为点M是BC i的中点，1所以PM // CC i 且PM = 2CC i.1同理QN // CC i 且QN = 2CC1.所以PM // QN 且PM = QN,所以四边形PQNM为平行四边形，所以PQ // MN .在正方体中，CC i丄PQ , PQ丄AC ,因为AC n CC i = C, AC?平面ACC i, CC i?平面ACC i, 所以PQ丄平面ACC i.因为PQ / MN，所以MN丄平面ACC i.9 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. i36 n B . i44 n C. 36 n D. 34 n答案D解析由三视图可知几何体为四棱锥 E —ABCD，直观图如图所示.其中，BE 丄平面 ABCD , BE = 4, AB 丄 AD , AB = 2,C 到AB 的距离为2, C 到AD 的距离为2 2, 以A 为原点，分别以 AD , AB 所在直线及平面 ABCD 过A 的垂线为x 轴，y 轴，z 轴，建立 空间直角坐标系A — xyz ,则 A(0,0,0), B(0, 2, 0), C(2,2,2, 0), D(4,0,0), E(0, 2 , 4).设外接球的球心为 M(x , y , z),则 MA = MB = MC = MD = ME ,二 x 2 + y 2 + z 2= x 2 + (y — ,2)2+ z 2=(x — 2)2 + (y — 2 2)2+ z 2=(x — 4)2 + y 2+ z 2= x 2+ (y — ,2)2+ (z — 4)2 , 解得 x = 2 , y=¥，z = 2.•••外接球的表面积 S = 4 n 2= 34 n.10.如图,在直三棱柱 ABC — A i B 1C 1 中,已知/ BCA = 90 ° ° / BAC = 60 ° ° AC = 4 , E 为 AA i 的中点，点F 为BE 的中点，点H 在线段CA 1上，且A 1H = 3HC ,则线段FH 的长为( )•••外接球的半径A . 2,3B . 4 C. .13D . 3答案 C解析 由题意知，AB = 8,过点F 作FD // AB 交AA i 于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，1FD = 2AB = 4,又耦=AF = 3，所以 DH // AC , / FDH = 60° HC DA3DH = 4AC = 3，由余弦定理得FH = ^42 + 32 - 2 X 4 X 3X cos 60 =航，故选 C.11.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆径•“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一近似公式中最精确的一个是 （ ）个近似公式".'■yV ，人们还用过一些类似的近似公式，根据n= 3.141 59…判断，下列解析 根据球的体积公式 V = 4n R 3=2 3, 33 2 a ，则 兀= 6b a ， 得d = 设选项中的常数为选项A 代入得n= 31莘=3.1, 60选项B 代入得n= 2 = 3,选项C 代入得n= 6^8 = 3.2, 1511 X 6选项D 代入得 冗=—2：厂=3.142 857 ,D 选项更接近n 的真实值，故选D.12 .在棱长为1的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1内有两个球 01, 02相外切，球 01与面ABB 1A 1、 面ABCD 、面ADD 1A 1相切，球02与面BCC 1B 1、面CC 1D 1D 、面B 1C 1D 1A 1相切，则两球表 面积之和的最大值与最小值的差为 ( )— 2 一 ■- 3 nA . (2 — .3) nB. ㊁一答案 A解析 设球01, 02的半径分别为r 1, r 2,由题意得 3r 1 +门+寸3r 2+ r 2= 3, 所以卄「2=宁，令a =寸.表面积和为S ,所以S = 4祈+ 4 n 2,所以 ~ =「1+「2=「2+ (a —「1)2= 2「1一a 2+ ~,4 n 2 2又r 1最大时，球01与正方体六个面相切，且(r1)max = 2 , (r1)min =— 1 = 2-肝1 2 , 2 . a — 12 = 2—V" 2 = 4 所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2 — 3) n.2 —、，3 a 12 <2<2,_S _S a! 1 4 n max 一 4 n min = 2一 a + 2所以 C . (3— , 3) n3 — ■ 3D .—T" 7t 所以当r 1 =；时, min =max = a 2 — a + 当r 1 = S 4 n13. _______________________________________________ 如图所示，AB是O O的直径，PA丄O O所在的平面，C是圆上一点，且/ ABC= 30° PA =AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________________________________________________________ .答案2解析因为PA丄平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以/ PCA即为PC1 1与平面ABC所成的角•在Rt△ FAC中，AC = qAB = "FA,PA所以tan/ PCA = -- = 2.AC14. 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB = CD , AC = BD, AD = BC,给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分.其中正确结论的序号是_________ .答案②④解析①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的面对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体.由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直，①错误；②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的，②正确；③由②可知，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°，③错误；④四面体ABCD棱的中点即为长方体侧面的中心，所以对棱中点连线都过长方体的中心且相互垂直平分，④正确.15. 已知正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底边长分别为3.3, 4,3，高为7,若该正三棱台的六个顶点均在球0的球面上，且球心0在正三棱台ABC —A1B1C1内，则球0的表面积为答案100 n解析因为正三棱台ABC —A1B1C1的上、下底边长分别为 3 . 3, 4.3,取正三棱台的上、下底面的中心分别为E, E1,则正三棱台的高为h= EE1=乙在上下底面的等边三角形中，2 2可得AE = ^AD = 3, A1E1=尹心=4,则球心O在直线EE1上，且半径为R= OA= OA1,所以OE2+ 32= OE2+ 42,且OE+ OE1=乙解得0E= 4，所以R=・_OE2+ 32= 5,所以球0的表面积为S= 4 n R2= 100 n.16. 已知三棱锥O—ABC中，A, B, C三点均在球心为O的球面上，且AB= BC = 1,Z ABC256 n=120°,若球O的体积为-56-n则三棱锥O —ABC的体积是______________ .3答案54解析三棱锥O —ABC中，A, B, C三点均在球心为O的球面上，且AB= BC = 1, / ABC =120° 则AC= 3,S^ABC = -X 1 X 1 X sin 120 =亠3，设球半径为R,由球的体积V1 = 3 n R3=-号：解得R= 4.2 43 3设厶ABC外接圆的圆心为G,.外接圆的半径为GA='注=1,2sin 120.OG = R2-GA2= 42- 12= 15,.三棱锥O —ABC的体积为V2= 3SA ABC OG = g x-^3X ,15=严.3 34 ^4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高考数学小题高分突破13 函数的图像与性质1．已知实数x ，y 满足⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan x >tan y B ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1 C.1x >1y D ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y 不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－4 答案 C解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2， g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.3．函数f (x )＝e x ＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x ＋1(－x )(e －x －1) ＝e x ＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x －1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.4．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝⎛⎭⎫52＝－1，则a 等于( )A ．6B ．4C ．－1425 D ．－6答案 A解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎝⎛⎭⎫－12⎝⎛⎭⎫－12a ＋1＝－1， 解得a ＝6.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D.[)2，＋∞答案 A解析 ∵ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立， 则f (1)是f (x )的最小值，由二次函数性质可得对称轴a ≥1，由分段函数性质得()1－a 2－1≤ln 1，得0≤a ≤2， 综上，可得1≤a ≤2，故选A.7．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[]－1，0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－4∪[)2，＋∞ B.[]－4，2C.(]－∞，－3∪[1，＋∞)D.[]－3，1 答案 D解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 由f (m ＋2)≥f (x －1)对任意x ∈[－1,0]恒成立， 得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|对任意x ∈[－1,0]恒成立， 所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选D. 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[]0，1时，f (x )＝x ，若在区间(]－1，1上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 答案 D解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， f (x )＝1f (x ＋1)－1 ＝1x ＋1－1 ＝－xx ＋1， 在同一坐标系内画出y ＝f (x )，y ＝mx ＋m 的图象如图，动直线y ＝mx ＋m 过定点(－1,0)， 当过点(1,1)时，斜率m ＝12，由图象可知，当0<m ≤12时，两图象有两个不同的交点，从而g (x )＝f (x )－mx －m 有两个不同的零点．9．定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤43，83 B.⎝⎛⎭⎫43，83 C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ，∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫43，83. 10．已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[)0，1时，f (x )＝1－x 2.给出下列四个命题： p 1：f (1)＝0；p 2：2是函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2的一个周期； p 3：函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递增；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间为⎣⎡⎦⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z . 其中真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 4答案 C解析 f (x ＋2)＝－f (x )中，令x ＝－1可得 f (1)＝－f (－1)＝－f (1)，据此可得f (1)＝0，命题p 1正确； 由题意可知f ()x ＋4＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则函数f (x )的周期为T ＝4，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 2的一个周期为8，命题p 2错误；由f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数f (x )关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示．将函数图象向右平移一个单位可得函数y ＝f (x －1)的图象， 则函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递减，命题p 3错误； p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间满足： 4k －2≤2x －1≤4k (k ∈Z )，求解不等式组可得增区间为⎣⎡⎦⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z ， 命题p 4正确．综上可得真命题为p 1，p 4.11．若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x ，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎦⎤0，13上没有零点， 只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝⎛⎦⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x 单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫13＝138＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝⎛⎦⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝⎛⎭⎫13＝log a 19>f ⎝⎛⎭⎫13＝2，即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x ，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－18∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤0，18 C ．(0,8]D.⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x ，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎡⎦⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎡⎦⎤34，98.当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎨⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎨⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14.综上所述，可得a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞. 13．函数f (x )＝a x－2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时， f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝a x－2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．14．已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是________． 答案 －16解析 设t ＝x ＋2 015，t ∈R ，则f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，化为g (t )＝(t －3)(t －1)(t ＋1)(t ＋3) ＝(t 2－1)(t 2－9)＝t 4－10t 2＋9＝(t 2－5)2－16，当t 2＝5时，g (t )有最小值－16， 即当x ＝－2 015±5时，函数f (x )的最小值是－16.15．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.16．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x >0，－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，54 解析 作出函数f (x )和g (t )的图象如图．由g [f (x )]－a ＝0(a >0)，得g [f (x )]＝a (a >0)． 设t ＝f (x )，则g (t )＝a (a >0)．由y ＝g (t )的图象知，①当0<a <1时，方程g (t )＝a 有两个根，－4<t 1<－3，－3<t 2<－2，由t ＝f (x )的图象知，当－4<t 1<－3时，t ＝f (x )有1个根，当－3<t 2<－2时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有4个根，②当a ＝1时，方程g (t )＝a 有两个根，t 1＝－3，t 2＝12，由t ＝f (x )的图象知，当t 1＝－3时，t＝f (x )有2个根，当t 2＝12时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有5个根；③当1<a <54时，方程g (t )＝a 有两个根，0<t 1<12，12<t 2<1，由t ＝f (x )的图象知，当0<t 1<12时，t＝f (x )有3个根，当12<t 2<1时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个根；11 ④当a ＝54时，方程g (t )＝a 有1个根，t ＝1，由t ＝f (x )的图象知，当t ＝1时，t ＝f (x )有2个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有2个根；⑤当a >54时，方程g (t )＝a 有1个根t >1， 由t ＝f (x )的图象知，当t >1时，t ＝f (x )有1个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有1个根．综上可得，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54.。