关于热传导问题
五年级上册科学教材中问题解答-第2单元《热传递》苏教版
苏教版科学五年级上册教材中问题解答第2单元《热传递》第5课热传导1、他们是怎么让身体暖和起来的?(P14)答∶暖手宝传热让手暖和是固体与固体接触;哈气使手暖和是气体与固体接触;泡温泉使身体暖和是液体与固体接触;喝热水使身体暖和也是液体与固体接触。
2、热是怎么传到衣物、板栗上的?(P14)答∶熨衣服时，加热电熨斗的金属底板，金属底板的热量传递给与其接触的衣服，使衣服变热，变得平整。
炒板栗时，沙子吸收大量的热量，再把热均匀地传给板栗，板栗很快就被炒熟了。
3、下图中，烧杯里的热水温度会怎样变化?水槽里的冷水温度又会怎样变化?(P15 )答︰热水的温度越来越低，冷水的温度越来越高，当温度差不多时，热水和冷水的温度变化很慢，最后二者温度达到一致。
4、生活中有许多热传导的事例，你能说说它们的传热过程吗?(P16) 答∶烙饼、量体温、电烙铁作画、吹头发、冷敷或热敷等都是生活中常见的热传导现象。
第6课热对流1、将一小瓶红色热水放到冷水里，会出现什么现象?(P17 )答∶红色的热水会上升，到达冷水顶部会向四周流动，然后沿着水槽壁向下流动。
2、在研究热在水中的传递和研究热在空气中的传递这两个实验中，实验现象有什么相同之处?( P18 )答︰水和空气受热之后都上升，遇冷下降。
第7课热辐射1、夏天，站在烈日下你有什么感觉﹖在哪些情况下还会有类似的感觉﹖(P19 )答︰夏天，站在烈日下会感觉很热。
当人的身体或身体的某个部分(如手）靠近篝火、燃烧的蜡烛（或火柴）热水袋、火炉等也会有类似的感觉。
2、怎样才能使太阳灶的加热速度变快? (P20 )答∶可以通过改变受热物体颜色的深浅、太阳灶的材料、形状、大小，反光板聚焦的位置等使太阳灶的加热速度变快。
3、说说这些产品运用了哪种热的传递方式，它们是如何传热的。
(P21)答∶电烙铁是运用热传导的方式传热。
电水壶是运用热传导、热对流两种方式传热。
烤箱、电暖器是运用热对流和热辐射两种方式传热。
热传导问题的边界条件
热传导问题的边界条件
1. 嘿，你知道吗，绝热边界条件就像给热传导围了一道墙！比如说，冬天你穿着厚厚的棉袄，那棉袄就相当于绝热边界，热量很难跑出去呀。
2. 恒温边界条件呀，就好比是给热传导设定了一个固定的温度关卡呢！就像你在恒温游泳池里，水温一直保持不变。
3. 对流边界条件，这可不得了，就像热在和空气“打架”一样！比如吹风扇的时候，风带走热量不就是这样嘛。
4. 周期性边界条件，哇哦，这不就像钟表的指针一样有规律地循环嘛！像四季的更替，热传导也在这样有规律地变化呢。
5. 辐射边界条件，嘿呀，这不就是热在“放光”嘛！太阳光照在大地上就是个很好的例子呀。
6. 混合边界条件，哎呀呀，这就像是各种情况的大杂烩呀！比如一个物体一部分绝热，一部分又有对流，不就是混合边界条件嘛。
7. Neumann 边界条件，这就好像是给热传导规定了一个特定的流动方向呢！想想水流沿着一定方向流，差不多就是这样啦。
8. Dirichlet 边界条件，这简直就是给热传导一个明确的目标呀！就像你要去一个特定的地方一样。
9. 第三类边界条件，哇塞，这感觉就像是综合了前面几种呢！像在一个复杂的环境中，热传导有多种情况交织在一起。
10. 移动边界条件，哈哈，这就像热在跟着什么东西跑一样！比如一辆移动的汽车，它周围的热传导情况不就一直在变嘛。
我的观点结论就是：这些边界条件真的太有意思啦，它们让我们对热传导有了更深入的理解和认识呀！。
热传导中的常见难题与挑战
热传导中的常见难题与挑战热传导是热力学领域中的一个重要概念，它描述了热量在物质间传播的过程。
在实际应用中，热传导常常涉及到一些常见的难题和挑战，这些问题的解决对于优化能源利用和设计高效的热管理系统至关重要。
首先，热界面热阻是研究热传导过程中常见的问题之一。
在实际传导中，往往存在不同材料的接触，例如热管中的蒸发段和冷凝段。
由于接触面之间存在微观间隙和表面粗糙度，这会导致热传导的阻力增加，从而影响整个系统的热传导效率。
为了解决这个问题，科学家们采用了各种方法，如使用导热接触剂来填充界面间隙和增加接触面积，以降低热阻。
其次，热传导中常见的难题之一是非均匀性。
在许多实际应用中，热传导常常发生在非均匀的材料中，例如复合材料和多相材料。
因此，在这些复杂的材料中，热传导的分析和建模变得困难。
为了解决这个问题，研究者采用了各种方法，如有效介质理论和多尺度分析方法，来描述和预测非均匀材料中的热传导行为。
此外，远距离热传导也是一个常见的挑战。
在传统的导热材料中，热量通常通过晶格振动的方式传导，这种方式的传导距离有限。
然而，在某些特殊情况下，需要在长距离内实现热量的传导，如太阳能电池板和热电发电机，这就需要突破远距离热传导的难题。
为了解决这个问题，研究者采用了各种方法，如使用纳米结构和界面工程来增强材料的热导率，以实现更远距离的热传导。
此外，热传导中的常见挑战还涉及到界面热传导和界面热阻。
在许多热管理系统中，界面热传导是一个关键问题。
例如，散热器和电子元器件之间的接触热阻可以导致温度升高，从而影响系统的性能和可靠性。
为了解决这个问题，研究者采用了各种方法，如表面处理和界面改性，以减小界面热阻，提高热传导效率。
总之，热传导中存在许多常见的难题和挑战，这些问题的解决对于优化能源利用和设计高效的热管理系统具有重要意义。
通过不断的研究和创新，我们可以更好地理解和控制热传导过程，提高热管理系统的性能。
随着科技的进步，相信在未来我们可以克服这些难题，实现更加高效和可持续的能源利用。
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》范文
《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》篇一一、引言热传导现象是物理学中常见的问题，正问题求解涉及到在给定热源、边界条件和材料属性的情况下，计算物体的温度分布。
而反问题则是在已知物体温度分布的情况下，推断出热源、边界条件或材料属性等未知参数。
本文将探讨求解热传导正问题和反问题的数值方法，并分析其优缺点。
二、热传导正问题的数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的求解热传导正问题的数值方法。
该方法通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，从而求解出温度分布。
有限差分法的优点是计算简单、速度快，但需要合适的网格划分和步长选择，否则可能导致解的精度不高。
2. 有限元法有限元法是一种更为精确的数值方法，适用于复杂的几何形状和材料属性。
该方法将物体划分为有限个单元，每个单元内温度分布近似为线性，通过求解线性方程组得到温度分布。
有限元法的优点是精度高、适用范围广，但计算量相对较大。
三、热传导反问题的数值方法1. 优化算法反问题的求解常采用优化算法。
其中，最常用的算法包括梯度法、牛顿法和遗传算法等。
这些算法通过不断迭代优化目标函数（如误差函数），从而得到未知参数的估计值。
优化算法的优点是通用性强，但需要合适的初始参数和迭代策略，否则可能导致解的不稳定或收敛速度慢。
2. 贝叶斯推断法贝叶斯推断法是一种基于概率论的反问题求解方法。
该方法通过利用已知的先验信息和新的观测数据，推算出未知参数的后验概率分布。
贝叶斯推断法的优点是可以充分利用先验信息，提供更多的信息性结果，但需要较多的先验信息输入和假设条件。
四、应用实例分析以某金属板热传导问题为例，通过对比有限差分法和有限元法求解正问题的结果，分析两种方法的优劣；然后采用优化算法和贝叶斯推断法求解反问题，对比两种方法的精度和效率。
实验结果表明，在已知热源和初始温度的情况下，有限元法求解正问题的精度更高；而优化算法在反问题的求解中表现更佳，能较快地收敛到最优解。
但贝叶斯推断法能提供更多的不确定性信息，对实际应用有更好的指导意义。
热传导练习题
热传导练习题热传导是热量在物体之间通过分子或原子之间的碰撞传递的过程。
熟悉热传导的概念和理论是理解热力学以及热学相关问题的关键。
下面是一些热传导练习题，旨在帮助你加深对热传导的理解以及应对不同场景的热传导问题。
练习题1：热传导方程问题：某一绝缘材料的热传导方程为：∂T/∂t = α∇²T其中，T是温度分布随时间的变化，α是绝缘材料的热传导率。
请问，在给定初始温度分布和边界条件的情况下，如何求解上述热传导方程？练习题2：导热系数问题问题：某实验室进行了一次关于导热系数的实验，结果如下：- 热流量：10W- 温度差：5℃- 材料厚度：0.5m- 材料面积：2m²请问，该材料的导热系数是多少？练习题3：多层传导问题问题：一个复合材料由三层材料构成，每层厚度相同。
已知各层的导热系数分别为k₁、k₂和k₃（k₁ > k₂ > k₃），且顶部和底部的温度分别为T₁和T₃，中间层的初始温度分布为T₂(x) = 100x²，其中x为距离。
请问，当时间趋向于无穷大时，中间层的温度分布如何？练习题4：水的热传导问题问题：一杯热水温度为70℃，在室温下放置一段时间后，温度降到了40℃。
已知水的热传导系数k = 0.6 W/m·K，容器底面积为0.1m²，容器的热导率可以忽略不计。
请问，若在温度降到40℃后，将水杯置于温度为20℃的环境中，请问多久后水的温度会降到20℃？练习题5：电子器件的散热问题问题：一台电脑处理器的表面温度为80℃，其热传导面积为0.05m²，热传导系数为20 W/m·K。
假设环境温度为25℃，请问多久后处理器的温度会降到40℃？以上是一些关于热传导的练习题，通过解答这些问题，可以加深对热传导理论的理解，并学会应用热传导方程来解决实际问题。
热传导是热学中的重要概念，在工程领域和日常生活中都有许多实际应用，例如散热器、绝缘材料和冷却系统。
热传导实验中的常见问题及解决方法
热传导实验中的常见问题及解决方法在热传导实验中，我们常常会遇到一些问题，这些问题可能会干扰我们的实验结果或者影响我们的研究进展。
本文将介绍一些常见问题，并提供解决方法，帮助读者更好地开展热传导实验。
问题一：温度测量不准确在热传导实验中，准确测量温度是十分重要的。
如果温度测量不准确，将直接影响实验结果的可信度。
导致温度测量不准确的因素有很多，例如测温仪器的不准确、环境温度波动、热辐射等。
解决这个问题的方法有：1. 使用高精度的温度仪器：选择精度高、稳定性好的温度计或者热电偶来进行温度测量，以尽量减小仪器误差。
2. 校准测温仪器：定期对温度测量仪器进行校准，将测得的温度与标准温度进行比对，纠正温度仪器的偏差。
3. 控制环境温度：在实验过程中，尽量维持实验环境的稳定，减小环境温度的波动对温度测量的影响。
问题二：材料的热散尽在热传导实验中，材料的热散尽是一个重要的问题。
如果材料的热散尽较快，会导致热传导过程无法达到稳态，影响实验结果。
解决这个问题的方法有：1. 选择低热散尽材料：选择热散尽较慢的材料，如具有较低热导率的绝缘材料，以减小热散尽的影响。
2. 增大实验时间：由于热散尽是一个随时间逐渐减小的过程，延长实验时间可以减小热散尽对实验结果的影响。
3. 增大测量点数量：在材料中设置更多的测温点，以便更全面地探测材料的温度分布，避免因局部热散尽导致实验结果不准确。
问题三：热边界条件的确定在热传导实验中，热边界条件的确定对于实验结果的准确性至关重要。
如果热边界条件设定不当，会导致实验结果与实际情况不符。
解决这个问题的方法有：1. 参考文献和已有研究：通过查阅相关文献和已有研究，了解研究对象的热边界条件，参考已有研究方法进行实验。
2. 进行预实验：在进行正式的实验前，进行预实验来确定最佳的热边界条件，以确保实验结果的准确性。
3. 推导计算模型：根据实验对象的特点和结构，利用热传导理论推导相应的计算模型，以确定热边界条件。
热传导问题分析
热传导问题分析热传导是热能从高温区域向低温区域传递的过程。
它在我们日常生活和工业生产中都起着至关重要的作用。
了解热传导问题的原理和机制，有助于我们更好地理解热的传导过程，并为解决相关问题提供指导。
热传导的机制热传导是通过分子之间的热振动实现的。
物质内部的能量传递通过分子之间的碰撞和传输完成。
热量在材料中传递的速度取决于材料的物理特性，例如导热系数、材料的密度和比热容。
导热系数是一个重要的参数，它描述了材料传导热量的能力。
导热系数越高，材料传热能力越强。
不同材料的导热系数相差很大。
比如金属具有较高的导热系数，而绝缘材料则具有较低的导热系数。
影响热传导的因素除了材料的导热系数之外，还有一些其他因素会影响热传导的过程。
1.温度差异：热从高温区域向低温区域传递，温度差异越大，传导速度越快。
2.材料的导热性能：材料的导热系数决定了热量传递的速度和能力。
3.材料的物理结构：不同材料的物理结构也会对热传导过程产生影响。
例如，金属的结晶结构导致其较高的导热能力。
4.材料的厚度：传热过程中，材料的厚度也会影响热传导的速度。
应用和问题热传导机制广泛应用于各个领域，从我们日常生活中的热水器、电磁炉到工业生产中的冷却系统和热交换器。
然而，在某些情况下，热传导可能会导致问题。
例如，在一些绝热材料的设计中，我们希望尽量减少热传导。
但是，由于材料的导热系数无法完全为零，热传导仍然会发生并可导致能量损失。
在工业生产中，一些设备因为热传导而产生过热问题。
这不仅会降低设备的效率，还可能导致设备的损坏。
因此，针对这些问题，需要采取一些措施，如加装绝缘层、改进传热结构，以降低热传导。
随着科技的发展，我们对热传导问题的理解也越来越深入。
热传导模型的建立和计算方法的改进，使得我们能够更准确地预测和控制热传导过程。
因此，研究热传导问题在发展新材料、设计新设备和改进生产工艺方面具有重要意义。
总结热传导是热能从高温区域向低温区域传递的过程，通过分子之间的热振动实现。
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
热传导方程的cauchy问题
热传导方程的Cauchy问题1. 引言热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的偏微分方程。
它在各个领域中都有广泛应用，如材料科学、工程学和天文学等。
本文将介绍热传导方程的基本概念以及与之相关的Cauchy问题。
2. 热传导方程热传导方程描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
在一维情况下，热传导方程可以写作：∂u(x,t)∂t =α∂2u(x,t)∂x2其中，u(x,t)表示位置x和时间t处的温度，α为热扩散系数。
在二维或三维情况下，热传导方程可以推广为：∂u(x,t)∂t=α∇2u(x,t)其中，x=(x,y,z)表示空间位置。
3. Cauchy问题Cauchy问题是指给定一个偏微分方程及其边界条件，在某个初始时刻t0时给定初始条件，求解在整个时间区间t>t0内的解。
对于热传导方程的Cauchy问题，我们需要给定初始条件和边界条件。
3.1 初始条件初始条件是指在某个初始时刻t0时，系统内各点的温度分布。
一般情况下，我们可以用一个函数u(x,t0)来表示初始时刻的温度分布。
3.2 边界条件边界条件是指在系统的边界上给定的额外限制条件。
根据具体情况，边界条件可以有多种形式。
常见的边界条件有：•第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：在边界上给定温度值。
u(x,t)=f(x,t)•第二类边界条件（Neumann边界条件）：在边界上给定热通量密度。
∂u(x,t)=g(x,t)∂n表示法向导数。
其中，∂u∂n4. 解法与数值模拟对于简单的几何形状和边界条件，热传导方程可以通过解析方法求解。
然而，在实际应用中，往往需要考虑复杂的几何形状和非线性边界条件，此时解析方法往往不再适用，需要借助数值模拟的方法求解。
常见的数值模拟方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法将空间离散化为一系列节点，并通过近似求解偏微分方程的离散形式来得到温度分布随时间变化的数值解。
5. 应用案例热传导方程及其Cauchy问题在各个领域中都有广泛应用。
热传导的数学模型与实际问题解析
热传导的数学模型与实际问题解析热传导是一个关于热能在物质中传递的过程的基本概念。
在许多实际问题中，热传导的数学模型可以帮助我们理解和解决各种与热相关的工程和科学问题。
本文将就热传导的数学模型及其在实际问题中的应用展开详细讨论。
一、一维热传导模型对于一维热传导，可以使用傅立叶热传导定律来描述。
该定律表达了热传导速度与温度梯度的关系，即热流密度等于热导率乘以温度梯度。
根据这一定律，我们可以推导出一维热传导方程，即热传导问题的基本方程。
二、热传导方程的解析解热传导方程是一个偏微分方程，可以使用分离变量法、拉普拉斯变换等方法求解。
在某些特殊情况下，我们可以得到热传导方程的解析解。
例如在均匀介质中的稳态热传导问题中，可以得到温度分布的解析解为线性函数。
这些解析解为我们解决实际问题提供了方便。
三、数值解法与计算模拟然而，大多数情况下，热传导方程很难得到解析解。
这时我们可以使用数值解法来求解热传导问题。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
这些数值方法可以得到近似解，帮助我们揭示实际问题中的热传导机理。
另外，计算模拟也是解决热传导问题的重要方法。
通过建立复杂的数值模型，我们可以模拟热传导在不同材料、结构和边界条件下的行为。
这种模拟方法在工程设计和科学研究中发挥着重要作用。
四、热传导问题的应用热传导问题在许多领域都有重要应用。
例如，在建筑工程中，我们需要了解建筑物的保温性能，来设计合适的隔热材料和结构。
在电子设备设计中，我们需要研究电子元件的散热问题，以确保设备的正常运行。
在材料科学中，了解材料的热传导性能对材料的性能和应用具有重要影响。
五、热传导过程中的优化与控制最后，热传导问题还可以通过优化与控制方法得到更好的结果。
例如，在工业生产中，我们需要优化工艺条件以提高热传导效率和能源利用率。
此外，在实际工程中，我们还可以通过控制边界条件、热源位置等手段来实现精确的温度控制。
综上所述，热传导的数学模型在解决实际问题中起着重要作用。
机械设计与仿真中的热传导问题分析
机械设计与仿真中的热传导问题分析在机械设计与仿真领域中，热传导问题是一个重要的研究方向。
在许多机械设备和系统中，热传导会产生很大的影响，并且在设计和优化过程中需要考虑到热传导的效应。
本文将探讨机械设计与仿真中的热传导问题，并深入分析其影响因素和解决方法。
1. 热传导的基本原理热传导是指热量在物质中由高温区传递到低温区的过程。
它是由分子的热运动引起的，热量通过分子之间的碰撞和传递来传导。
在机械系统中，热传导通常会导致温度的变化和热应力的产生，这对系统的性能和稳定性有重要影响。
2. 影响热传导的因素热传导的效果受到多个因素的影响，其中包括材料的热导率、温度梯度、几何形状和界面接触等。
（1）材料的热导率：材料的热导率决定了热量在其内部传递的速度。
不同材料具有不同的热导率，例如金属通常具有较高的热导率，而绝缘材料则具有较低的热导率。
（2）温度梯度：温度梯度是指在空间中不同位置之间的温度差。
较大的温度梯度意味着更大的热传导效应。
（3）几何形状：几何形状对热传导的效果有很大影响。
例如，薄壁结构可以更快地传导热量，而厚壁结构则会造成热阻。
（4）界面接触：界面接触是指两个不同材料之间的接触区域。
界面接触的质量和形状会影响热传导的效果，例如接触面积的大小和接触压力的大小。
3. 热传导问题的模拟和仿真在机械设计与仿真中，模拟和仿真方法被广泛应用于热传导问题的研究和分析。
（1）有限元法：有限元法是一种常用的数值计算方法，可以用于求解热传导问题。
通过将连续的物体划分为离散的有限元单元，并在每个单元中建立热传导方程，可以得到热传导过程的数值解。
（2）计算流体力学（CFD）：CFD方法常用于模拟流体和气体中的热传导问题。
通过对流体中流动和热传导的数学建模，可以得到热传导过程的数值解。
（3）传热学软件：传热学软件是专门设计用于模拟和分析热传导问题的软件。
这些软件通常提供了各种热传导模型和求解方法，可以方便地进行热传导问题的仿真和优化。
热传导问题的模拟与数值计算
热传导问题的模拟与数值计算热传导问题又叫做热传递问题，是指物质内部由于温度存在差异而引起的热量传递现象。
它在工业生产和科学研究中都具有重要的意义，因此研究热传导问题的模拟和数值计算方法也成为了一个热门的研究方向。
首先，我们需要了解一些基本概念。
热传导是在固体、液体、气体等物质中传递热能的一种方式。
在一个物体内部，由于温度差异，热量会沿着温度梯度的方向从高温区传递到低温区。
而远离温度梯度的地方，则不会发生热量的传递现象。
而热传导问题的模拟和数值计算则是在实际的生产和研究中用到的一种方法。
这种方法可以帮助我们更加清晰地了解物质内部的热传递过程，有助于我们更好地设计工业设备，提高生产效率，同时也有助于科学家们更好地理解一些热学现象。
下面，我们来探讨一下热传导问题的模拟和数值计算方法。
首先是热传导的模拟。
热传导的模拟通常可以通过计算机模拟来实现。
在模拟的过程中，研究人员需要确定模拟的范围和模拟参数，比如说模拟区域的大小、模拟的时间段、物质的热导率等。
然后，通过运用数值计算方法，对物质的热传递过程进行模拟。
这种方法可以帮助我们更好地理解物质内部的热传递过程，并能够得到一些有价值的结果和数据。
其次是热传导问题的数值计算。
针对具体问题的数值计算方法有很多种，例如有限元法、有限差分法等等。
其中，有限元法是一种比较常用的数值计算方法。
在有限元法中，研究人员需要将物质进行网格划分，然后通过计算热传导方程来得到物质内部温度的分布情况。
这种方法可以帮助我们更加精确地计算物质内部的温度分布，以及随着时间的推移温度分布的变化情况。
总之，热传导问题的模拟和数值计算方法是一种很有价值的研究手段。
通过这种方法，我们可以更好地理解物质内部的热传递过程，以及其中的一些变化规律。
这些研究成果对于工业生产、科研探索等方面都具有重要意义，未来这种方法也将会继续得到普及和应用。
热学中的热传导问题及计算练习
热学中的热传导问题及计算练习热学是物理学中的一个重要分支，研究物体热平衡、热传导、热辐射等现象。
热传导问题是热学中的一个基本概念，指的是热量在物体中的传递过程。
在本文中，我们将探讨热传导问题，并进行一些计算练习。
一、热传导的基本原理热传导是指物体内部或不同物体之间由于温度差异而引起的热量传递现象。
热能会从高温区域自动流向低温区域，直到温度达到均衡。
这个过程可以用热传导方程描述：q = -kA(dT/dx)其中，q是单位时间内通过物体的热量，k是材料的热导率，A是传热截面积，dT是温度差，dx是传热距离。
二、热传导的应用1. 热传导在工程领域中的应用热传导在工程领域中有广泛的应用，比如在建筑设计中，需要考虑墙体、屋顶等材料的热传导性能，以确保室内温度的稳定性。
此外，在电子设备中，散热器的设计也需要考虑材料的热传导性质，以保持设备的正常工作。
2. 热传导在自然界中的应用自然界中的很多现象也与热传导有关。
例如，地球上的温度分布不均匀就是因为热量的传导引起的，导致地球表面出现了不同的气候区域。
同时，在生物体内也存在热传导现象，人体通过皮肤散发热量，保持体温的稳定。
三、热传导计算练习1. 热传导计算实例一现有一个长为2.5m、宽为1.8m、厚度为0.15m的木质板材，其热导率为0.15 W/(m·K)，一侧温度为200℃，另一侧温度为80℃，求在平衡状态下，单位时间内通过板材的热量。
解：根据热传导方程，我们可以计算出温度差：dT = 200℃ - 80℃ = 120℃板材的传热截面积可以计算如下：A = 2.5m × 1.8m = 4.5m²传热距离为板材的厚度：dx = 0.15m将上述数值代入热传导方程，可计算出单位时间内通过板材的热量：q = -0.15 W/(m·K) × 4.5m² × (120℃/0.15m)2. 热传导计算实例二现有两个金属棒，棒A的热导率为100 W/(m·K)，长度为1.2m，棒B的热导率为50 W/(m·K)，长度为0.8m。
热力学练习题热容和热传导
热力学练习题热容和热传导热力学练习题：热容和热传导热容和热传导是热力学中的重要概念。
热容指物体在吸热或放热过程中的温度变化，而热传导则是指热量在物体中的传递过程。
本文将通过几个实际问题的例子，来详细解释热容和热传导的概念和计算方法。
1. 问题一：一个100克的铝杯中装有80度的热水，它与环境的温度为20度。
铝杯的热容为0.9 J/g℃，环境对铝杯的热容可忽略不计。
求热水冷却到60度时，铝杯的温度变化。
首先，我们可以使用以下公式来计算物体的热容变化：ΔQ = mcΔT其中，ΔQ表示吸热或放热的量，m表示质量，c表示热容，ΔT表示温度变化。
在这个问题中，我们需要计算铝杯的温度变化，可以将热水和铝杯看作一个整体，质量为100克 + 80克 = 180克。
∆Q = mc(∆T)∆Q = 180g * 0.9J/g℃ * (60℃ - 80℃)∆Q = -360J根据能量守恒定律，铝杯放出的热量等于热水吸收的热量，所以∆Q = -360J 即为铝杯吸热的量。
由于环境对铝杯的热容可忽略不计，所以完全可以将问题看作是铝杯从80℃降到60℃的过程。
所以铝杯的温度变化为：60℃ - 80℃ = -20℃。
2. 问题二：一块铜板的面积为0.1平方米，厚度为2毫米，其热传导系数为400 W/(m℃)。
当铜板的两侧温差为80℃时，求在1分钟内通过铜板的热量。
热传导的公式可以表示为：Q = kA(ΔT/Δx)t其中，Q表示热量，k表示热传导系数，A表示面积，ΔT表示温差，Δx表示距离，t表示时间。
在这个问题中，我们需要计算通过铜板的热量，可以将时间单位换算为秒：1分钟 = 60秒Q = (400 W/(m℃)) * 0.1m^2 * (80℃ / 0.002m) * 60sQ = 960,000 J所以在1分钟内通过铜板的热量为960,000焦耳。
通过以上两个问题的解答，我们对热容和热传导有了更深入的理解。
热容描述了物体在吸热或放热过程中的温度变化，而热传导描述了热量在物体中的传递过程。
有限元第12章 热传导问题
第12章热传导问题1. 引言2. 稳态热传导问题33. 瞬态热传导问题一般格式直接积分法模态叠加法解的稳定性与时间步长选择44. 热应力的计算1.1 典型加工方法中的传热问题焊接汽车各个典型部件的加工方法注塑冲压铸造1.1典型加工方法中的传热问题焊接注塑铸造锻压1.1 典型加工方法中的传热问题注塑1.1 典型加工方法中的传热问题焊接1.1 典型加工方法中的传热问题铸造1.1 典型加工方法中的传热问题锻压冷冲热冲1.1 典型加工方法中的传热问题⏹传热问题广泛出现在材料加工领域⏹温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切1.2 温度场基本方程微分方程边界条件初始条件1.2 温度场基本方程退化为二维问题1.2 温度场基本方程退化为稳态问题稳态热传导问题以前各章所讨论的弹性静力学问题相同，采用C0型插值函数的有限单元进行离散以后，可以直接得到有限元求解方程。
瞬态热传导问题，在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程组，不能对它直接求解。
如何进行求解，原则上和下—章将讨论的动力学问题类同，可以采用模态叠加法或直接积分法。
热能传递的三种基本方式：1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
热对流仅能发生在流体中。
包括自然对流与强制对流，前者是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的；括自然对流与强制对流前者是于流体冷热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。
Th q ∆=牛顿冷却公式为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等，还与流体速度有密切关系。
h1.2 温度场基本方程1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。
物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
Stefan-Boltzmann定理其中为热力学温度（K），为环境温度，为Stefan-Boltzmann常量i i it)理想黑体其值等于般量。
热力学热传导与导热系数问题
热力学热传导与导热系数问题热力学热传导是热量通过固体、液体和气体等物质内部的传递过程。
导热系数是衡量材料导热性能的一个重要参数。
本文将介绍热力学热传导的基本原理，探讨导热系数的定义和影响因素。
一、热力学热传导的基本原理热力学热传导是由高温区到低温区的热量传递过程。
它依赖于物质的分子振动和碰撞，其传导方式主要有以下三种：1. 导热：通过直接的分子碰撞传递热量，主要发生在固体中。
2. 对流传热：热量通过流体的运动传递，主要发生在液体和气体中。
3. 辐射传热：通过电磁波的辐射传递热量，既可以发生在固体、液体，也可以发生在气体中。
在本文中，我们主要关注导热这一传导方式。
二、导热系数的定义导热系数是衡量物质导热性能的参数，通常用λ表示。
它定义为单位面积上，单位时间内，单位温度梯度下热量通过的量。
导热系数大小与物质的导热性能正相关。
导热系数一般与物质的性质有关，如晶格结构、组分、密度等，也与温度有关。
在常温常压下，不同物质的导热系数差异较大。
典型的热导体如铜和铝具有较高的导热系数，而绝缘体如木材则具有较低的导热系数。
三、导热系数的影响因素导热系数的数值受多种因素影响，下面将介绍几个主要因素：1. 物质的热导特性：不同的物质热导特性存在差异，所以导热系数会有所不同。
2. 温度：在温度变化的过程中，物质的导热系数也会发生变化。
一般来说，温度越高，分子振动越剧烈，导热能力也越强。
3. 导热介质的状态：对于固体材料来说，不同晶格结构、结晶度以及杂质等因素都会影响导热系数的数值。
4. 材料的密度：密度对导热系数也有一定的影响。
通常情况下，密度越高，导热系数越大。
5. 界面接触情况：当热量传导发生在两种不同材料之间时，界面接触情况也会影响导热系数的数值。
四、应用与实际问题热力学热传导和导热系数在工程、材料科学等领域有着广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 材料选择：在工程设计中，根据需要选择导热系数合适的材料，以满足热传导的要求。
热量传递计算问题的解题技巧
热量传递计算问题的解题技巧热量传递计算问题是热力学中的重要内容，它涉及到热量的流动与转移，是解决实际热力学问题的基础。
本文将介绍热量传递计算问题的解题技巧，帮助读者在解决这类问题时能够更加得心应手。
一、热传导问题的解题技巧热传导是通过固体等物质的直接接触而实现的热量传递方式。
在解决热传导问题时，我们需要根据题目所给条件，采用以下的技巧进行计算：1. 热传导定律的运用热传导定律表明，热传导的速率与热传导物质的导热系数、传热截面积和温度梯度之间的关系。
因此，在解题过程中，我们需要根据所给条件计算出各个参数的数值，并利用热传导定律来求解所需的热传导速率。
2. 热传导方程的运用热传导方程描述了热传导过程中热量的传递规律。
在解决特定情况下的热传导问题时，我们需要根据热传导方程的表达式，结合所给边界条件和初始条件，进行适当的变量代换和积分运算，最终得出结果。
二、热对流问题的解题技巧热对流是通过流体介质的流动而实现的热量传递方式。
在解决热对流问题时，我们需要考虑以下的技巧：1. 尺度分析的运用尺度分析是一种常用的工程方法，用于评估主要参数对问题结果的影响程度。
在解决热对流问题时，我们可以通过尺度分析来确定哪些参数是主导的，从而简化计算过程，使问题更易于解决。
2. 强迫对流热传递的计算技巧对于强迫对流热传递问题，我们通常可以利用流体力学中的相关公式来计算传热速率。
例如，在解决流体在管内流动的问题时，我们可以利用纳维-斯托克斯方程和恒温边界条件来求解问题。
三、热辐射问题的解题技巧热辐射是一个特殊的热量传递方式，它不需要介质的存在，可以在真空中传递热量。
在解决热辐射问题时，我们需要注意以下技巧：1. 斯特藩-玻尔兹曼定律的运用斯特藩-玻尔兹曼定律表明，单位面积的物体辐射热量与物体的辐射率和温度的四次方成正比。
因此，在解决热辐射问题时，我们需要根据该定律计算所需的热辐射速率。
2. 辐射传热问题的方法选择对于不同形状和结构的物体，我们需要选择合适的方法来计算辐射传热问题。
热物理学中的热传导问题
热物理学中的热传导问题热传导是热物理学中一个非常重要的研究领域，它关注的是热量在物质中传播的过程。
在我们的日常生活中，热传导现象无处不在，如何理解和控制热传导对于各个领域的科学家和工程师来说都具有重要意义。
热传导的基本理论可以追溯到几个世纪前，当时科学家们对热传导现象进行了初步研究。
然而，热传导问题的完全解决一直是一个困扰着科学家们的难题。
这是因为热传导问题本质上是一个非线性的、复杂的过程，其涉及到热量在物质中的传播、物质的性质以及温度梯度等多个因素。
一种常见的热传导问题是热量在固体中的传导。
当我们将一个物体置于不同温度的环境中时，物体内部不同位置的温度会逐渐趋于均衡。
这个过程可以通过热传导方程来进行描述，该方程考虑了物质的导热系数、温度梯度以及时间等因素。
解决这个方程可以得到物体内部温度分布随时间的变化情况，从而对热传导进行有效的预测和控制。
在实际应用中，我们经常需要了解材料的导热性能，以便设计出更高效的热传导器件。
这需要通过实验手段来测量材料的导热系数。
一种常用的方法是热导率测试，该方法利用热传导方程对材料进行热量传递实验。
通过测量材料两侧的温度变化以及施加的热通量，可以计算出材料的导热系数。
这一系列实验可以为我们提供关于材料导热性能的重要信息。
除了固体中的热传导，热传导问题在液体和气体中也起着重要作用。
传统的热传导方程对这两种情况并不适用，而是需要采用更为复杂的模型来描述热传导过程。
在气体中，分子的运动与碰撞对于热量的传播起着重要作用，我们需要考虑分子的速度分布、平均自由程等因素来描述热传导现象。
对于液体中的热传导问题，由于液体分子之间的相互作用较强，我们需要进一步研究液体中各种类型的热传导机制，如对流传导、辐射传导等。
在热传导问题的研究中，人们也提出了许多创新的理论和技术。
其中之一是纳米材料的热传导研究，纳米材料具有独特的性质和结构，对于热传导的研究提供了新的认识。
纳米材料的热传导性能通常比传统的材料要好得多，这是由于纳米颗粒之间的界面效应和声子湮灭等因素的影响。
利用热传导定律解决问题
利用热传导定律解决问题热传导定律是研究热量传导的基本规律，它在解决各种热力学问题中起到了重要的作用。
利用热传导定律，我们可以计算物体的温度分布、热量传递速率等相关参数，从而解决各种与热传导有关的问题。
热传导定律是基于热量从高温区向低温区传递的物理现象。
根据定律，热量的传递速率与温度差、传导介质的热导率以及传导距离有关。
公式表达为：Q = -kA(dT/dx)其中，Q表示单位时间内传导的热量，k为热导率，A为传导面积，dT/dx表示单位长度内的温度梯度。
该公式说明了热量传递速率与温度差成正比，与传导介质的热导率成反比，与传导距离成反比。
利用热传导定律，我们可以解决很多实际问题。
例如，我们可以利用这个定律计算房间中不同位置的温度分布。
假设房间内一侧的墙壁保持恒定温度，并且其他墙壁都是绝热的，那么我们就可以利用热传导定律计算其他墙壁的温度分布。
通过将整个墙壁划分成若干小区域，我们可以计算每个区域的温度，并绘制温度等高线图。
此外，利用热传导定律也可以解决材料的导热问题。
例如，我们可以计算导热材料的热传导速率，以便选择适合的材料用于热传导要求较高的应用。
对于导热材料而言，热传导定律告诉我们如何通过控制材料的热导率和传导距离来实现所需的热传导速率。
另一个应用热传导定律的例子是解决散热问题。
在电子设备中，由于长时间工作会产生大量热量，为了保持设备的正常工作温度，我们需要设计散热系统。
通过应用热传导定律，我们可以计算散热系统的散热速率，从而确定散热器的大小和形状。
除了上述应用，热传导定律还可以在其他领域中发挥重要作用。
在建筑工程中，我们可以利用该定律计算房屋的保温性能，为节能设计提供依据。
在地质勘探中，热传导定律可以用于测量土壤或岩石的热导率，从而了解地下介质的性质。
总之，热传导定律是解决与热传导相关问题的重要工具。
通过应用该定律，我们可以计算温度分布、热传递速率等参数，为各种工程问题提供科学依据。
无论是在建筑、材料、电子设备还是其他领域，热传导定律都发挥着不可替代的作用。
焦耳效应中的热传导问题
焦耳效应中的热传导问题热传导是物理学中的一个基本概念，它描述了热量从一个物体或一个系统传递到另一个物体或系统的过程。
其中，焦耳效应是热传导中非常重要的一种现象，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨焦耳效应中的热传导问题，从基本原理到实际应用，深入探究热传导相关的物理规律和技术方法。
1. 热传导的基本原理在物理学中，热传导是热量从高温区域向低温区域传递的过程。
热能从高温物体传递到低温物体是因为高温物体的分子运动更剧烈，分子间的碰撞而导致部分热能被传递到低温物体。
热能传递的速度取决于材料的导热性质和温度差异的大小。
在大多数情况下，传递热能的过程可以用四个基本参数来描述：热传导系数、热传导长度、温度差和传热时间。
热传导系数描述了一个材料的导热性能。
它是一个常数，与材料的物理性质、温度和压力等因素相关。
通常，金属和陶瓷等导热性好的材料具有较高的热传导系数，而木材和塑料等导热性较差的材料则具有较低的热传导系数。
热传导系数越高，材料传热速度越快。
热传导长度描述了传热的距离。
热传导长度等于传热时间乘以热传导系数。
当热传导长度很短时，传热速度很快，反之则很慢。
通常情况下，材料厚度越小，传热速度越快。
温度差是指高温区域和低温区域之间的温度差异。
温度差越大，传热速度也越快。
传热速度与温度差的平方成正比，表示为Q=tKAΔT/L。
传热时间是指传热发生的时间。
传热时间越长，传热效率越高。
2. 焦耳效应的概念焦耳效应是热传导中的一种重要现象。
当一束电流通过一个导体时，导体内会产生热量。
这是由于电流能量转化为导体内分子的热能。
这种现象称为焦耳效应。
焦耳效应可以用以下公式来描述：Q=I^2RT其中，Q是导体内部产生的热量，I是电流强度，R是导体的电阻，T是电流通过导体所需的时间。
可以看到，热量与电流强度的平方成正比。
焦耳效应可以用于制造加热器、电熨斗、其他加热设备以及一些量测设备。
3. 焦耳效应中的热传导问题焦耳效应产生的热量需要通过材料逐渐传递到周围环境中。
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本科毕业论文论文题目：关于热传导问题学生姓名：姜丽丽学号：200600910058专业：物理学指导教师：李健学院：物理与电子科学学院2010年5月20日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题目关于热传导问题选题时间2010.1.10 完成时间2010.05.20 论文（设计）字数8000关键词热传导，热量，温度论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源：基础研究。
理论和实践意义：在了解热传导的概念基础之上，通过系统地分析热传导的过程，得出热传导的微分方程，从量上对热传导过程有了一个深刻的认识；并且将热传导微分方程应用于解决各种几何形状的固体材料，得出温度分布的情况，以及简单的应用于气体、液体。
热传导是深入学习和研究各种传热现象乃至工程热物理各学科的重要基础之一。
论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：本文主要通过对热传导过程的理论分析，总结出热量与温度的关系，然后分析各种热传导现象温度的变化规律。
创新点：1、总结了不同传热条件下热传导过程中热量与温度的关系；2、分析了不同条件下热传导温度的变化规律。
附：论文（设计）本人签名：2010年5月20日目录摘要 (1)ABSTRACT (1)一、引言 (2)二、热传导理论基础 (2)（一）热传导的概念 (2)（二）温度场与温度梯度 (3)（三）热传导方程 (4)三、固体、液体、气体热传导及热源的影响 (8)（一）无源热传导温度的变化规律 (8)（二）有源热传导温度的变化规律 (10)四、影响热传导的因素 (12)五、热传导的应用 (12)六、总结 (13)参考文献 (13)关于热传导问题姜丽丽（山东师范大学物理与电子科学学院济南250014）摘要：传热是普遍的自然现象。
只要有温差的存在，热量的传递就是不可避免的。
或者有热量输入或输出时，总会引起温度响应，造成温度的不均匀分布。
热传导的基本理论就是确定介质内的温度分布。
分析求解所提供的结果有助于人们去理解影响传热过程的各种因素。
本文主要通过对热传导过程的理论分析，总结出热量与温度的关系，然后分析热传导温度的变化规律。
关键词：热传导，热量，温度Problems on the heat conductionJiang Lili(College of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan, 250014) Abstract: Heat is a common natural phenomenon. As long as the existence of temperature, the heat transfer is inevitable. Or a heat input or output, will cause the temperature response, causing the temperature of the uneven distribution. Heat conduction of the basic theory is to determine the temperature distribution within the solid. Analysis of the results provided by the solution helps people to understand the impact of heat transfer process of the role of various factors. In this paper, the heat conduction through the process of theoretical analysis, summed up the relationship between heat and temperature, and then analysis the changing law of temperature.Keywords: heat conduction; calories; temperature一、引言热传导研究介质内部的热量传输，主要是固体内的热量传输，分析固体表面与环境进行热交换时，其内部的温度变化规律。
研究各种导热现象的规律与发展国民经济有着直接的联系。
例如，研究大地的温度变化，食品的冷冻过程，金属材料在铸造, 焊接，锻压等热加工过程中内部温度分布；材料结构热应力计算等。
学习与研究导热的重要意义还在于：它是深入学习与研究各种导热现象乃至工程热物理各专门学科的重要基础之一。
为了对热传导中热量和温度之间的关系有一个更深刻的认识，本文从理论方面给出一些分析。
热量传递是在温差作用下出现的能量转移现象。
自然界中到处都存在着温差,因此传热现象随时随地都可能发生。
众多的传热现象中,热量传递被归纳为热传导、热对流和热辐射三种基本方式。
热传导是热量传递的基础,热传导理论在科学研究与工程技术各领域有着广泛的应用。
它的重要意义在于：通过对各类热传导问题的求解，可得到有实用价值的结果。
热传导理论最基本的任务就是确定介质内的温度分布。
这就需要一个可求解的方程，而确定的这个方程要想有解必须有确定的边界条件。
对于一个给定的问题，我们可以先确定边界条件，然后代入热传导方程，进而求出温度的宏观分布情况。
这些问题包括齐次非齐次问题等。
将这些结果应用于一维，二维等实际情况，从而解决实际中遇到的问题。
二、热传导理论基础（一）热传导的概念1.由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。
热传导是热传递三种基本方式之一。
它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中层层传递，在流动情况下往往与对流同时发生。
2.固体、液体以及气体热传导热传导实质是由大量物质的分子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传给低温物体的过程。
在固体中，热传导的微观过程是：在温度高的部分，晶体中结点上的微粒振动动能较大。
在低温部分，微粒振动动能较小。
因微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生微粒的振动，动能由动能大的部分向动能小的部分传递。
在固体中热的传导，就是能量的迁移。
在金属物质中，因存在大量的自由电子，在不停地作无规则的热运动。
自由电子在金属晶体中对热的传导起主要作用。
在液体中热传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比较强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层层传递，引起了热传导现象。
由于热传导系数小，传导的较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规则热运动以及分子间的碰撞，在气体内部发生能量迁移，从而形成宏观上的热量传递。
（二）温度场与温度梯度物体或系统内各点间的温度差的存在是产生热传导的必要条件。
由热传导方式引起的传热速率（称为导热速率）决定于物体内温度的分布情况。
1、温度场：任一瞬间物体或系统内各点的温度分布总和。
一般),,,(θz y x t =,即某点的温度是空间和时间的函数。
稳定温度场 ),,(z y x t t =，0=∂∂θt不稳定温度场 ),,,(θz y x t =一维稳定温度场 ）x t (=， 0=∂∂θt ，0=∂∂=∂∂z ty tt 仅沿等温面：温度场中同一时刻下相同温度各点所组成的面，彼此不相交。
（同一瞬间内空间任一点不可能同时有二个不同的温度值）。
2、温度梯度Δt —两面温差 Δn —两面间垂直距离n t n t gradt n ∂∂=∆∆=→∆ρ0lim （2-1）温度梯度是矢量，既有大小，又有方向（正法线方向，即指向温度增加的方向） 对于一维稳定温度场：dx dt gradt = （2-2） （三）热传导方程热传导的起源是温度的不均匀，温度不均匀可用温度梯度表示。
对均匀的各向同性材料，在热稳定条件下，根据实验结果，Fourider 定律是T k q ∇-=ρ （2-3）其中k 热传导系数。
热传导系数是材料固有的属性。
在热力学第一定律基础上，结合Fourider 定律，即可得到导热方程式，介质内部导热过程中的热力学第一定律可写成简明的数学形式：321Q Q Q =+ （2-4）其中1Q 为单位时间体系通过界面获得的热量，2Q 为单位时间体系内部产生的热量，3Q 为单位时间体系内能的变化量。
⎰⎰-=-=11S 1S 11..s d q ds n q Q ρρρρ⎰''=112V dV q Q1V 3V 1⎰∂∂=cTd Q ρτ将Q 1，2Q ，3Q 分别代入热力学第一定律可得1V 3V 1⎰∂∂=cTd Q ρτ（2-5） 运用高斯定理，⎰1S 1.s d q ρρ=⎰1V 1dv )q (div ρ 则2-5式可改为：-⎰1V 1dv )q (div ρ+⎰''11V dV q =1V V 1⎰∂∂cTd ρτ （2-6）由于1V 不随时间τ而变化，2-6式可写为1V V 1⎰∂∂cTd ρτ=1V 0])cT ()cT [(1lim 1dV ττττρρτ-∆∆+→∆⎰ （2-7）根据微分的中值定理（Lagrange 定理）可知：cT cT cT ρττρρτττ∂∂∆=-∆+)()( （2-8）代入2-7式即得：11V 11V cTdV cTd V ρτρτ⎰⎰∂∂=∂∂可写为： 1V V 1V 1111dv q dv )q (div cTdV ρτ⎰⎰⎰∂∂=''+-ρ （2-9）再根据积分的中值定理，上式可写成：0V ]cT q )q (div [1=∂∂-''+-ρρτρ 即：ρρρτ]cT []q )q (div [∂∂=''+-ρ （2-10）在各向同性物体内、温度场连续的点上，Fourier 定律成立，将Fourier 公式代入，得：cT q )div(kgradT ρτ∂∂=''+ 对一般固体材料而言，ρ与c 影响远小于k 因此，方程可简写成：τρ∂∂=''+T c q )div(kgradT （2-11）当导热系数随温度不很敏感的条件下，才能近似地认为导热系数在整个区域内为常数，所以上式可以写成：τρ∂∂=''+T c q )kdiv(gradT 或τα∂∂=''+∇T k q T 12 （2-12）其中α=k c ρ 在稳定导热问题中，物性量α失去了作用：02=''+∇kq T ，若温度场内没有热源，0=''q ，则式可进一步化简成： 02=∇T （2-13）称为Laplace 方程。