通信原理课程研讨-窄带&宽带调角波信噪比增益的推导

（因为 FM (t ) A0 kFM m(t )dt 0）

2 A 2 解调输入信号功率： Si sNBFM (t ) 0 2
窄带调角时 B 2 f m
解调输入噪声功率： 解调输出信号功率：
Ni n0 BNBFM 2n0 f m
2 2 A k So so 2 (t ) 0 FM m2 (t ) 4
宽带单音调频信噪比增益为： GFM
且对单音调频，有： FM
kFM Am
So / No 3kFM 2 Am 2 ( FM 1) 2 Si / Ni m
m
则宽带单音调频非相干解调时的信噪比增益为：
GFM 3FM (FM 1)
2
GFM 3FM
3
宽带调相非相干解调时输出信号与噪声的分析
宽带调频非相干解调时输出噪声的分析
解调输出噪声为：
no (t ) kd
nQ (t ) A0
参照窄带调角相干解调时对噪声功率谱的分析，可得宽带调频解调输出
噪声功率谱为：
kd Pn ( ) n0 2 4 A0
m
m
则输出噪声功率为：
1 No 2
2 3 kd k n 2 d 0 m n d m 4 A0 0 A02 3
这是一个反向正弦型的调频-调幅波，可以使用包络检波，可以得到：
(t ) A0 0 kFM m(t )
隔去直流分量之后就可以得到输出信号：
so (t ) kd kFM m(t )
因此宽带调频解调输出信号功率为：
So so 2 (t ) kd 2 kFM 2 m2 (t )
分析宽带调角非相干解调的信噪比时，将信号与噪声分开考虑。
宽带调角非相干解调时输出信号的分析
不考虑噪声影响时，宽带调频波解调输入信号为：
sFM (t ) A0 cos t k m( t ) dt 0 FM
经过微分网络后可得：
sFM (t ) A0 0 kFM m(t ) sin 0t kFM m(t )dt
(t ) arctan
nQ (t ) A0

nQ (t ) A0
宽带调频非相干解调时输出噪声的分析
则输入信号可以近似为：
nQ (t ) x(t ) A0 nI (t ) cos 0t A0
nQ (t ) x (t ) A0 cos 0t A 0
则解调输入信号为窄带调角信号与窄带高斯白噪声的叠加，以调频为例：
c(t ) sin 0t 之后得： A0 nI (t ) 1 yp (t ) sin 20t [ A0 kFM m(t )dt nQ (t )](1 cos 20t ) 2 2
乘以相干载波
si (t ) ni (t ) [ A0 nI (t )]cos 0t [ A0 k FM m(t )dt nQ (t )]sin 0t
宽带调频非相干解调时信噪比增益的分析
综上所述，整理得：
2
宽带调角时 B 2 f m ( 1)
A0 2 解调输入信号功率： Si sFM (t ) 2 宽 解调输入噪声功率： Ni n0 BFM 2(FM 1)n0 f m
2 2 2 2 Am 解调输出信号功率： So so (t ) kd kFM 2 2 3 k n 解调输出噪声功率： No d 0 m A0 2 3
窄带调角的相干解调
乘以相干载波
c(t ) sin 0t 之后得：
A0 nI (t ) 1 yp (t ) sin 20t [ A0 kFM m(t )dt nQ (t )](1 cos 20t ) 2 2
经过低通滤波器，滤除高频分量：
1 yd (t ) A0 kFM m(t )dt nQ (t ) 2
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
窄带单音调频信噪比增益为： GNBFM
且对单音调频，有： FM
kFM Am
So / No 3kFM 2 Am 2 Si / Ni m 2
m
则窄带单音调频相干解调时的信噪比增益为：
GNBFM 3FM
2
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
再讨论窄带单音调相的情况：
限幅后消除了噪声同相分量对幅度的影响，得到：
经过微分网络，得：
nQ (t ) nQ (t ) sin 0t x(t ) A0 0 A A 0 0 nQ (t ) 取包络并隔去直流之后，得： no (t ) k d A0
(t ) 0 cos[ (t )] 1 sin[ (t )] (t )
以窄带调相为例：
PM (t ) A0kPM m(t )
FM (t ) A0 kFM m(t )dt
sNBPM (t ) A0 cos 0t A0kPM m(t )sin 0t
2 且微分系统的传递函数是 H ( ) j ，功率传递函数是 H ( )
2
则输出噪声的功率谱为： Pn ( )
1 n0 2 4
m
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
输出噪声的功率谱为： Pn ( )
1 n0 2 4
m
3 n 1 2 0 m n d m 4 0 12
窄带调相在解调时不需要经过微分网络，所以调相时输出噪声功率谱为：
即： Pn ( )
1 n0 4
m
n0m 1 1 m 4 n0 d 4 2 n0 BNBPM
m
输出噪声功率为：
1 No 2
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
其他输入输出功率均与调频相同，整理得：
m m
窄 带 调 频
2 A 单音调频时： m 2 (t ) m 2
可得输入输出信噪比分别为：
So 3 A02 kFM 2 Am2 No 2n0m3 So / No 3kFM 2 Am 2 则窄带单音调频信噪比为：GNBFM Si / Ni m 2
Si A0 2 Ni 4n0 f m
解调输入信号功率： Si sNBPM 解调输入噪声功率：
2
A0 2 (t ) 2
Ni n0 BNBFM 2n0 f m
2
A0 2 kPM 2 2 m (t ) 解调输出信号功率： So so (t ) 4 n0m 1 m 1 N n d 解调输出噪声功率： o 0 2 m 4 4
sFM (t ) A0 cos 0t (t ) A0 cos 0t cos(FM sin mt ) sin 0t sin(FM sin mt)
展开可得到幅度为由各阶贝塞尔函数构成的傅里叶级数：
sFM (t ) A0

n
J

n

( ) cos(0 nm )t
窄 带 调 相
可得输入输出信噪比分别为：
Si A0 2 Ni 4n0 f m
So A0 2 kPM 2 Am 2 No 2n0m
则窄带单音调相信噪比为：
GNBPM
So / N o kPM 2 Am 2 Si / N i
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
窄带单音调相信噪比增益为：
宽带调角非相干解调时输出噪声的分析
讨论输出噪声功率时，设调制信号为0，即解调输入信号为：
x(t ) si (t ) ni (t ) [ A0 nI (t )]cos 0t nQ (t )sin 0t
nQ (t ) [ A0 nI (t )] nQ (t ) cos 0t arctan A0 nI (t )
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
解调输出： yo (t )
1 A0 kFM m(t ) nQ (t ) 2
解调输出噪声以正交分量微分的形式存在，求功率时根据解调过程中噪 声正交分量的频谱求解。如下图：
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
窄带高斯噪声进入解调器后，首先乘以相干载波，功率谱被线性搬移：
由贝塞尔函数的性质：
n

J n 2 ( ) 1
2 A 2 0 J n ( ) 2 n
2 A 2 0 S s 可得宽带单音调频的信号功率为： i FM (t ) 2
宽带调角的非相干解调
因为宽带调角波的频谱是非线性的，无法进行相干解调。 解调时采用先微分再取包络的特殊非相干解调方式，也称鉴频。 非相干解调的模型如下图：
讨论宽带调相的情况，在解调时使用鉴相器，与鉴频器类似，但在输出
经过微分电路，得到解调输出：
yo (t )
1 A0 kFM m(t ) nQ (t ) 2
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
解调输入：
sNBFM (t ) A0 cos 0t A0kFM m(t )sin 0t
解调输出：
1 yo (t ) A0 kFM m(t ) nQ (t ) 2
2 2
即输入信号的包络和相位分别为：
(t ) [ A0 nI (t )] nQ (t )
2 2
(t ) arctan
nI 2 (t ) nQ 2 (t )
nQ (t ) A0 nI (t )
在信噪比很大时，有： A0
可以将输入信号的包络和相位近似为：
(t ) A0 nI (t )
m m
窄 带 调 频
窄带调角的相干解调输入输出信噪比
解调输入信号功率： Si sNBFM 解调输入噪声功率：
2
A0 2 (t ) 2
Ni n0 BNBFM 2n0 f m