同济大学版概率统计习题答案3-1
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
同济大学概率论与数理统计第三章
定 义： 称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A P B ， P BC P B P C ， P AC P A P C ，
P ABC P A P B P C
四个等式都成立。
定义可以推广到n个事件上去
由题意 1-(0.4)n ≧0.99
解出n ≧5.027,即至少需要6门炮才能以 99%的把握命中敌机。
三 独立性在可靠性问题中的应用
一个产品或一个元件、一个系统的可靠 性可以用可靠度来刻划，所谓可靠度指的是 产品能正常工作的概率。 以下讨论中，假定一个系统中的各个元 件能否正常工作都是相互独立的。
例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其 中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个 红色7个兰色。现从中任取一球，记 A={取到玻璃球}，B={取到兰色球} 则 P（A）=6/16，P（B）=11/16。 AB={取到兰色玻璃球}， P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
例 3 中， P A2 B 0.4138
例4． 某厂生产的产品不合格率为 0.1%， 但是没有适当的仪器进行检验。有人声称 发明了一种仪器可以用来检验，误判的概 率仅 5%，试问厂长能否采用他发明的仪器？
定义 设Ａ１，Ａ２，…Ａn满足下面的 条件： （１）Ａ１，Ａ２，…Ａn两两互不相容； （２）Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａn=Ω 则称Ａ１，Ａ２，…Ａn构成样本空间Ω的一 个划分（或称构成一个完备事件组）．
全概公式：如果随机事件 A1 , A2 ,
, An 构成
完备事件组，且都具有正概率，则对任一 事件 B 皆有
P B P Ai P B Ai
概率论与数理统计---同济大学第二版练习册答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
同济大学版概率论和数理统计_修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A {抽到的三个产品全是合格品}2A {抽到的三个产品全是废品}（B ）1B {抽到的三个产品全是合格品} 2B {抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C {抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C {抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D {抽到的三个产品中有2个合格品} 2D {抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B 不等价的是[ C ]（A ）A AB （B ）()A B B（C ）A B（D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B 表示 [ C]（A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x Bx x ，则AB表示 [ A]（A ）{|01}xx （B ）{|01}x x（C ）{|12}x x（D ）{|0}{|1}x xx x 7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为[ A]（A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）CAB CB A BCA ；（D ）A BC .8、设随机事件,A B 满足()0P AB ，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件(B),A B 互不相容(C)AB 一定为不可能事件(D)AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB，则称A 与B互不相容或互斥。
同济大学第二版概率论课后习题答案
习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}；(7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ;(3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率论与数理统计课后习题答案 (3)
概率论与数理统计课后习题答案一、概率论1.1 基础概念题目1.什么是随机试验？试举例子。
2.什么是样本空间和事件？回答1.随机试验是指具备以下特征的实验：可以在相同条件下重复进行，每次试验的结果不确定，但可能结果（事件）集合已经确定。
例如，抛一枚硬币的结果是正面或反面，掷一个骰子的结果是1、2、3、4、5或6等等。
2.样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
事件是指样本空间中的一个或多个结果组成的子集。
例如，抛一枚硬币的样本空间是{正面，反面}，事件可以是{正面}或{反面}，或者样本空间本身。
1.2 概率公理题目1.什么是频率概率和主观概率？2.概率公理中的三条公理是什么？回答1.频率概率是由大量重复试验的结果所呈现的相对频率给出的概率。
它基于频率的思想，认为某个事件发生的概率等于该事件在大量试验中出现的频率。
主观概率是由个人主观判断给出的概率。
它基于主观认知和经验，认为某个事件发生的概率取决于主观评估和信念。
2.概率公理是指概率理论的基本公理系统，包括以下三条公理：–非负性公理：对于任意事件A，其概率P(A)大于等于0。
–规范性公理：样本空间S的概率为1，即P(S) = 1。
–可列可加性公理：对于任意互不相容的事件A1，A2，…，An，即这些事件两两不相容（即任意i≠j，Ai∩Aj=∅），则它们的并事件A=A1∪A2∪…∪An的概率等于各事件概率之和，即P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 条件概率与独立性题目1.什么是条件概率？给出计算条件概率的公式。
2.什么是独立事件？给出判断两个事件独立的条件。
回答1.条件概率是指事件A在另一个事件B已经发生的条件下发生的概率。
条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) /P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交集的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.事件A和事件B是独立事件，指的是事件A的发生与事件B的发生无关。
概率统计简明教程(同济大学第四版)课后答案
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U ⎨ x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 2⎬ = ⎨ x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 1或 < x ≤ 2⎬ 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ； (6) 不多于一个事件出现（记为 E 6 ） ； (7) 不多于两个事件出现（记为 E 7 ） ； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为 E8 ） 。 解 (1) E1 = AB C ； (3) E3 = ABC ； (2) E 2 = ABC ； (4) E 4 = A U B U C ；
(5) E5 = A B C ；
(6) E 6 = A B C U AB C U A BC U A B C ；
(7) E 7 = ABC = A U B U C ；(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品 i 次 抽到废品”， i = 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) (2) (3) (4) (2) 解 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； 只有第一次抽到废品； 三次都抽到废品； 至少有一次抽到合格品； 只有两次抽到废品。 (1) A1 U A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ；
(4) A1 U A2 U A3 ； (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={第 i 次射击命中 } ， i = 1,2,3 ， B = { 三次射击恰好命中二次 } ，
概率论与数理统计同济大学出版社习题一答案
习 题 一1．下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。
两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ⨯=种。
（2）观察三粒不同种子的发芽情况。
解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。
三粒种子发芽共有8121212=⨯⨯C C C 种不同情况。
（3）从五人中任选两名参加某项活动。
解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。
（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。
解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。
（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。
解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。
a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。
b 球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有212=C 个。
c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。
三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=⨯⨯C C 种。
2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。
此随机试验E 的样本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =,A B S ∴=φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。
[笔记]概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
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第三章1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。
设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果：1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩，第次取到次品（=1,2,3,4,5)，第次取到合格品则有12345X X X X X X =++++易知，X i 有相同的分布律：14109951001{1}10i C P P P X ⨯===， 19{0}11010i X P ==-=则911()01101010i X E =⨯+⨯= ，于是51234511()()()50.510i i E X E X X X X X E X ==++++==⨯=∑ 。
注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。
为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。
2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)13 4X B ，那么3人中生日在第一季度的平均人数为().130754E X np ==⨯=。
3．略。
4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22D X E X E X =-，可求得()()[()]222E X D X E X λλ=+=+。
由数学期望的性质，有[()()][]()()22221232 32 32 22E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+则可得到关于λ的方程2221λλ-+=亦即2210λλ-+=容易求得1λ=。
5．解：（1）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)20 001X B ，由于20n =较大，.001p =较小，因此(.)02X P 近似。
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计---同济大学第二版练习册答案
概率论与数理统计---同济大学第二版练习册答案概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] （A ）C A C B ；（B ）C AB ；（C ）C AB C BA BC A ；（D ）ABC .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ] （A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥。
工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件 A = {两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件 A = { 寿命在2000 到2500 小时之间}. 解(1) = {( +,+), (+,), (,+), (,)} , A = {(+,+), (,)} . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则= { X = k | k = 0,1,2,LL} , A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时) ,则= { X ∈(0, + ∞)} , A = { X ∈(2000, 2500)} . 2. 袋中有10 个球, 分别编有号码 1 至10, 从中任取 1 球, A = {取得球的号码是偶数}, = {取设 B 得球的号码是奇数}, C = {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B = 是必然事件; (2) AB = φ 是不可能事件; (3) AC = {取得球的号码是2,4}; (4) AC = {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C = {取得球的号码为奇数,且不小于5} = {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 1 1 3 3. 在区间[0 ,2] 上任取一数,记 A = x < x ≤ 1 , B = x ≤ x ≤ ,求下列事件的表达式: 2 2 4 (1) A UB ;(2) A B ;(3) AB ;(4) A U B . 1 3 解(1) A U B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 ≤ x < 或< x ≤ 2 = x 0 ≤ x < 或< x ≤ 1或< x ≤ 2 4. 用事件A, B,C 2 2 4 4 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现, B, C 都不出现(记为E1 ) ; (2) A, B 都出现, C 不出现(记为 E 2 ) ; (3) 所有三个事件都出现(记为E3 ) ; (4) 三个事件中至少有一个出现(记为 E 4 ) ; (5) 三个事件都不出现(记为E5 ) ; (6) 不多于一个事件出现(记为 E 6 ) ; (7) 不多于两个事件出现(记为 E 7 ) ; (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8 ) . 解(1) E1 = AB C ; (3) E3 = ABC ; (5) E5 = A B C ; (2) E 2 = ABC ; (4) E 4 = A U B U C ; (6) E6 = A B C U AB C U A BC U A B C ; ww (7) E 7 = ABC = A U B U C ;(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai 表示事件"第i 次w. kh 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A B ,所以AB = φ ; da w.1 x ≤ x ≤ 4 1 U x1 < x ≤2 co3 ; 2 m 抽到废品" i = 1,2,3 ,试用Ai 表示下列事件: , (1) 第一次,第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品. 解(1) A1 U A2 ;(2) A1 A2 A3 ; (3) A1 A2 A3 ; (4) A1 U A2 U A3 ; (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击,设Ai ={第i 次射击命中}, i = 1,2,3 , B = {三次射击恰好命中二次}, C = {三次射击至少命中二次};试用Ai 表示 B 和 C . 解 B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3习题二解答w. 1.从一批由45 件正品,5 件次品组成的产品中任取 3 件产品,求其中恰有 1 件次品的概率. 50 解这是不放回抽取,样本点总数n = ,记求概率的事件为 A ,则有利于 A 的样本点数 3 45 5 k = . 于是 2 1 45 5 45 × 44 ×5 × 3! 99 k 2 1 P( A) = = = = 50 × 49 × 48 × 2! 392 n 50 3 2.一口袋中有 5 个红球及 2 个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后, 再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同.求(1) 第一次,第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红,白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率. 解本题是有放回抽取模式, 样本点总数n = 7 2 . 记(1)(2)(3)(4) 题求概率的事件分别为A, B, C , D . kh 25 5 P( A) = = 49 7 5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数k B = 5× 2 ,故P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数k C = 2 × 5 × 2 ,故P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于D 的样本点数k D = 7 × 5 ,故P( D) = 2 = 49 7 7 3.一个口袋中装有 6 只球,分别编上号码 1 至6,随机地从这个口袋中取2 只球,试求:(1) 最小号码是 3 的概率;(2) 最大号码是 3 的概率. 解本题是无放回模式,样本点总数n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6 这四个球中取 2 只,且有一次抽到3,因而有利2×3 1 样本点数为 2 × 3 ,所求概率为= . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3 号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为 2 × 2 , (ⅰ)有利于 A 的样本点数k A = 5 2 ,故ww da w. 2 2× 2 2 = . 6 × 5 15 4.一个盒子中装有 6 只晶体管,其中有 2 只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取 2 次, 每次取 1 只,试求下列事件的概率: (1) 2 只都合格; (2) 1 只合格,1 只不合格; (3) 至少有 1 只合格. 解分别记题(1),(2),(3)涉及的事件为A, B, C ,则 4 2 4 × 3 × 2 2 P( A) = = = 6 6 × 5× 2 5 2 4 2 1 1 4 × 2 × 2 8 P( B) = = = 6×5 15 6 2 注意到 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C ) = P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率: (1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数. 解分别记题(1),(2),(3)的事件为A, B, C ,样本点总数n = 6 2 (ⅰ) A 含样本点(2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 ∴P ( A) = 2 = 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 ∴P( B) = 2 = 18 6 ( ⅲ) C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18 个样本点. 18 1 ∴P(C ) = = 36 2 6.把甲,乙,丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8 人, 试求这三名学生住不同宿舍的概率. 解记求概率的事件为 A , 样本点总数为53 , 而有利 A 的样本点数为 5 ×4 ×3 , 所以 5 × 4 × 3 12 P ( A) = = . 25 53 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: "其中恰有一位精通英语" ; (1) 事件 A : (2) 事件B : "其中恰有二位精通英语" ; (3) 事件 C : "其中有人精通英语" . 5 解样本点总数为 3 所求概率为2 3 1 2 2 × 3 × 3! 6 3 (1) P( A) = = = = ; 5 × 4 × 3 10 5 5 3 (3) 因 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 8.设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴, y 轴及直线x + y = 1 所围成的三角形内,而落在这三SA 1 角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线x = 1 / 3 的左边的概率. y 解记求概率的事件为 A ,则S A 为图中阴影部分,而| |= 1 / 2 , 1 1 2 1 5 5 | S A |= = × = 2 2 3 2 9 18 最后由几何概型的概率计算公式可得| S | 5 / 18 5 O P( A) = A = = . || 1/ 2 9 9. (见前面问答题 2. 3) 10.已知 A B , P( A) = 0.4 , P( B) = 0.6 ,求 2 2 3 2 1 3 × 3! 3 (2) P( B) = = ; = 5 × 4 × 3 10 5 3 1/3 图 2.3 ww 1.已知随机事件 A 的概率P( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率P( B) = 0.6 ,条件概率P( B | A) = 0.8 , 试求P( AB ) 及P( A B ) . 解P( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.5 × 0.8 = 0.4 P ( A B ) = P ( A U B ) = 1 P ( A U B ) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( AB ) = 1 0.5 0.6 + 0.4 = 0.3 2.一批零件共100 个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个) ,求第三次才取得正品的概率. 10 × 9 × 90 81 9 = = 解p= . 100 × 99 ×98 99 × 98 1078 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少? 解记 A = {基金}, B ={股票},则P( A) = 0.58, P( B) = 0.28, P( AB ) = 0.19 w. kh (4) P( B A) = P( A B) = P(φ ) = 0 , P( A B ) = P( A U B) = 1 P( A U B) = 1 0.6 = 0.4 ; (5) P( A B) = P( B A) = 0.6 0.4 = 0.2. 11. A, B 是两个事件, 设已知P( A) = 0.5 ,P( B) = 0.7 ,P( A U B) = 0.8 , 试求P( A B) 及P( B A). 解注意到P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) , 因而P( AB ) = P( A) + P( B) P( A U B) = 0.5 + 0.7 0.8 = 0.4 . 于是, P( A B) = P( A AB ) = P( A) P( AB) = 0.5 0.4 = 0.1 ; P( B A) = P( B AB) = P( B) P( AB) = 0.7 0.4 = 0.3 . da w. 习题三解答课后答案(1) P( A ) , P(B ) ;(2) P( A U B) ;(3) P( AB ) ;(4) P( B A), P( A B ) ;(5) P( A B) . 解(1) P( A ) = 1 P( A) = 1 0.4 = 0.6 , P( B ) = 1 P( B) = 1 0.6 = 0.4 ; (2) P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) = P( A) + P ( B) P( A) = P( B) = 0.6 ; (3) P( AB ) = P( A) = 0.4 ; 网co 1 m x. (1) (2) P( B | A) = P( A | B) = P( AB) 0.19 = = 0.327. P( A) 0.58 co P( AB) 0.19 = = 0.678 . P( B) 0.28 4.给定P( A) = 0.5 , P( B) = 0.3 , P( AB ) = 0.15 ,验证下面四个等式: P( A | B) = P( A), P( A | B ) = P( A), P( B | A) = P( B) , P( B | A ) = P( B). P( AB) 0.15 1 = = = P( A) 解P( A | B) = P( B) 0.3 2 P( AB ) P( A) P( AB ) 0.5 0.15 0.35 = P( A | B ) = = = = 0.5 = P( A) P( B ) 1 P( B) 0.7 0.7 P( AB) 0.15 P( B | A) = = = 0.3 = P( B) P( A) 0.5 P( A B) P( B) P( AB ) 0.3 0.15 0.15 P( B | A ) = = = = = P( B) 1 P ( A) 0.5 0.5 P( A ) 5.有朋自远方来,他坐火车,船,汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车, 迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到.求他最后可能迟到的概率. m 网解且按题意则 B = {迟到},A1 = {坐火车},A2 = {坐船},A3 = {坐汽车}, A4 = {乘飞机}, B = U BAi , 4 P( B | A1 ) = 0.25 , P( B | A2 ) = 0.3 , P( B | A3 ) = 0.1 , P( B | A4 ) = 0 . 由全概率公式有: 4 i =1 6.已知甲袋中有 6 只红球,4 只白球;乙袋中有8 只红球,6 只白球.求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球. 解(1) 记 B = {该球是红球}, A1 = {取自甲袋}, A2 = {取自乙袋},已知P( B | A1 ) = 6 / 10 , P( B | A2 ) = 8 / 14 ,所以1 6 1 8 41 P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) = × + × = 2 10 2 14 70 14 7 = (2) P( B) = 24 12 7.某工厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%, 40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率. 解0.25 ×0.05 ×+0.35 ×0.04 + 0.4 ×0.02 = 0.0125 + 0.0140 + 0.008 = 0.0345 = 3.45% 8.发报台分别以概率0.6,0.4 发出" " 和" " ,由于通信受到干扰,当发出" " 时,分别以概率0.8 和0.2 收到" " 和" " ,同样,当发出信号" " 时,分别以0.9 和0.1 的概率收到" " 和" " . 求(1) 收到信号" " 的概率;(2) 当收到" " 时,发出" " 的概率. 解记 B = {收到信号" " }, A = {发出信号" " } (1) P( B) = P( A) P( B | A) + P( A ) P ( B | A ) = 0.6 × 0.8 + 0.4 ×0.1 = 0.48 + 0.04 = 0.52 P( A) P( B | A) 0.6 × 0.8 12 = = . (2) P( A | B) = P ( B) 0.52 13 9.设某工厂有A, B, C 三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%, 40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次ww w. kh 课后P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 0.3 ×0.25 + 0.2 ×0.3 + 0.1 ×0.1 = 0.145 da w. i =1 答案 For evaluation only. 后再由P( A B ) = 1 / 9 ,有 1 / 9 = P( A ) P ( B ) = (1 P( A))(1 P( B)) = (1 P( A)) 2 所以 1 P( A) = 1 / 3 .最后得到P( B) = P( A) = 2 / 3. 12.甲,乙,丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率. da w. 答案网11.已知A, B 独立,且P( A B ) = 1 / 9, P( AB ) = P( A B) ,求P( A), P( B ) . 解因P( AB ) = P( A B) ,由独立性有P( A) P( B ) = P( A ) P( B ) 从而P( A) P( A) P( B) = P( B) P( A) P( B) 导致P( A) = P( B) co B = U Ai ,因i =1 3 P ( A U B ) = P ( AB ) = 1 P ( A) P ( B ) = 1 pq 而ww 3 4 则 A = A1 A2 U A3 A4 U A5 A6 , 所以 5 6 P( A) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 ) 图 3.1 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A3 A4 A5 A6 ) P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 p) 2 3(1 p ) 4 + (1 p) 6 14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率. 5 解p = (0.2) 3 (0.8) 2 = 0.0512 . 3 15.灯泡耐用时间在1000 小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 3 3 解p =(0.2) 3 + × 0.8 × (0.2) 2 = 0.008 + 0.096 = 0.104 . 3 2 16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于19/27, 求事件 A 在每次试验中出现的概率P( A) . w. 3 2 1 1 1 8 P( B) = 1 P I Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 × × = 1 = 3 2 3 9 9. i =1 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这个装置通达的概率.假定各个元件通达与否是相互独立的. 1 2 解记 A = {通达}, Ai = {元件i 通达}, i = 1,2,3,4,5,6 课解记B = {命中目标}, A1 = {甲命中}, A2 = {乙命中}, A3 = {丙命中},则m 品,求它依次是车间A, B,C 生产的概率. 解为方便计,记事件A, B, C 为A, B, C 车间生产的产品,事件D = {次品},因此P( D) = P( A) P( D | A) + P( B) P( D | B) + P(C ) P( D | C ) = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345 P( A) P( D | A) 0.25 × 0.05 P ( A | D) = = = 0.362 P ( D) 0.0345 P( B) P( D | B) 0.35 × 0.04 P ( B | D) = = = 0.406 P ( D) 0.0345 P(C ) P( D | C ) 0.4 × 0.02 P (C | D ) = = = 0.232 P( D ) 0.0345 10. A 与 B 独立, P( A) = p, P( B) = q , 设且求下列事件的概率:P( A U B) ,P( A U B ) ,P( A U B ) . 解P( A U B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) = p + q pq P( A U B ) = P( A) + P( B ) P( A) P( B ) = p + 1 q p(1 q) = 1 q + pq 解依假设记Ai = { A 在第i 次试验中出现}, i = 1,2,3. 3 19 = P U Ai = 1 P( A1 A2 A3 ) = 1 (1 p) 3 27 i =1 8 , 此即p = 1 / 3 . 所以, (1 p ) 3 = 27 17.加工一零件共需经过 3 道工序,设第一,二,三道工序的次品率分别为2%,3%,5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率. 解注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3 道工序中至少有一道出现次品.记Ai = {第i 道工序为次品}, i = 1,2,3. 则次品率 3 p = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 0.98 × 0.97 × 0.95 = 1 0.90307 ≈ 0.097 i =1 18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率. 解记 A = {译出密码}, Ai = {第i 人译出}, i = 1,2,3. 则 3 P( A) = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) i =1 = 1 0.75 × 0.65 × 0.6 = 1 0.2925 = 0.7075 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10 次,恰有 5 次出现正面的概率是多少?有 4 次至 6 次出现正面的概率是多少? 10 10 1 63 解(1) = ; 5 2 256 10 10 1 . ∑ k 2 k =4 20.某宾馆大楼有 4 部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75, 6 p = P( A)求: 81 3 (3) (0.75) = = 256 4 4 (1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率. 255 解(1) 1 (1 0.75) 4 = 1 (0.25) 4 = 256 2 2 4 27 3 1 2 2 (2) (0.75) (0.25) = 6 × × = 2 128 4 4 1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由. i (1) pi = , i = 0,1,2,3,4,5 ; 15 5 i2 , i = 0,1,2,3 ; (2) pi = 6 1 (3) pi = , i = 2,3,4,5 ; 4 i +1 , i = 1,2,3,4,5 . (4) pi = 25 ( ) kh 课后(2) da w.习题四解其一条件为pi ≥ 0, i = 1, 2, L ,其二条件为∑ pi = 1 . i 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证pi 是否满足下列二个条件: 依据上面的说明可得(1) 中的数列为随机变量的分布律; (2)中的数列不是随机变量的分布律, 59 4 = < 0; 因为p3 = (3) 中的数列为随机变量的分布律; (4) 中的数列不是随机变量的分布律, 6 6 5 20 这是因为∑ pi = ≠ 1. 25 i =1 c 使并求:P( X ≤ 2 ) ; 2. 试确定常数 c , P( X = i ) = i , (i = 0,1,2,3,4) 成为某个随机变量X 的分布律, 2 5 1 P < X < . 2 2 4 c c 16 ; 解要使i 成为某个随机变量的分布律,必须有∑ i = 1 ,由此解得 c = 31 2 i =0 2 (2) P( X ≤ 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1) + P( X = 2) 16 1 1 28 = 1 + + = 31 2 4 31 5 16 1 1 12 1 (3) P < X < = P ( X = 1) + P ( X = 2) = + = . 2 31 2 4 31 2 3. 一口袋中有 6 个球,在这 6 个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2 这样的数字.从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数. 1 1 1 解X 可能取的值为-3,1,2,且P( X = 3) = , P( X = 1) = , P( X = 2) = ,即X 的分布律为 3 2 6 X -3 1 2 1 1 1 概率 3 2 6 X 的分布函数0 x < 3 1 F (x ) = P( X ≤ x ) = 3 ≤ x <1 3 5 1≤ x < 2 6 1 x≥2 4. 一袋中有 5 个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取 3 个,以X 表示取出的 3 个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数. 解依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{X = 3} 表示随机取出的 3 个球的最大号码为3, w. 则另两个球的只能为 1 号,2 号,即P( X = 3) = 3 1×2 3 号码为4,因此另外 2 个球可在1,2,3 号球中任选,此时P( X = 4) = = ;同理可得10 5 3 4 1×2 6 = . P( X = 5) = 10 5 3 X 的分布律为kh da w. 课后答案网 1 1 = ;事件{X = 4}表示随机取出的 3 个球的最大 5 10 3 3 6 概率X 3 4 5 10 10 10 X 的分布函数为0 F (x ) = 1 10 4 10 x<3 3≤ x <4 4≤ x<5 1 x≥5 5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击, 每次射击时击中目标的概率为0.6, 求击中目标的次数X 的分布律. 解依题意X 服从参数n = 5, p = 0.6 的二项分布,因此,其分布律具体计算后可得X 概率0 32 3125 48 625 144 625 216 625 P( Ai ) = 课10 , i = 1, 2, L 而13 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 ( ) ( ) 即X 服从参数p = P( X = 1) = 10 的几何分布. 13 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4, X 的分布律为w. X 10 3 × 10 5 , P( X = 2) = = , 13 13 × 12 26 3 × 2 ×10 5 3 × 2 × 1 × 10 1 = , P(X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 12 × 11 143 13 × 12 × 11 ×10 286 kh X 1 10 13 ww 概率(3)X 可能取到的值为1,2,3,4, 10 3 × 11 33 , P( X = 2) = = , 13 13 × 13 169 3 × 2 × 12 72 3 × 2 ×1 6 = , P( X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 13 × 13 2197 13 × 13 × 13 2197 P( X = 1) = 所求X 的分布律为 1 10 13 概率由于三种抽样方式不同,导致X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处. 7. 设随机变量X ~ B(6, p ) ,已知P( X = 1) = P( X = 5) ,求p 与P( X = 2) 的值. da w. ( ) 3 P( Ak ) = 13 k 1 后 6. 从一批含有10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取.设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律. (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品. 解(1)设事件Ai , i = 1,2, L 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, A1 ,L , An , L 相互独立,且答案网10 , k = 1, 2, L 13 2 5 26 3 5 143 2 33 169 3 72 2197 co 162 625 243 3125 1 2 3 4 4 1 286 4 6 2197 m 5 5 P( X = k ) = 0.6 k 0.4 5 k , k = 0,1, L ,5 , k For evaluation only. 解由于X ~ B(6, p ) ,因此P( X = 6) = p k (1 p )6 k , k = 0,1, L ,6 . 5 P( X = 1) = 6 p(1 p ) , P( X = 5) = 6 p 5 (1 p ), 1 5 即解得p = ; 6 p(1 p ) = 6 p 5 (1 p ), 2 2 6 2 6 6 1 1 6×5 1 15 × = 此时, P( X = 2) = = . 2 2 64 2 2! 2 6 k 由此可算得8. 掷一枚均匀的硬币 4 次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数. 解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为,因此X 服从n = 4, p = 的二项分布,即k 4 k 1 2 1 2 4 1 1 P( X = k ) = k 2 2 , k = 0,1,2,3,4 x<0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 由此可得X 的分布函数0, 1 , 16 5 , 16 11 , 16 15 , 16 F (x ) = k =0 k! 4 k 4 e ≥ 0.99 k = 0 k! 查泊松分布表可求得n = 9 . P( X ≤ n ) = ∑ n ww 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000 辆汽车通过,求事故次数不少于 2 的概率. 解设X 为1000 辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从n = 1000, p = 0.0001 的二项分布,即X ~ B(1000,0.0001) ,由于n 较大, p 较小,因此也可以近似地认为X 服从λ = np = 1000 × 0.0001 = 0.1 的泊松分布,即X ~ P (0.1) ,所求概率为11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X 的分布律. 解设事件Ai 表示第i 次试验成功,则P( Ai ) = 0.75 ,且A1 ,L , An , L 相互独立.随机变量X 取k 意味着前k 1 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 P( Ak ) = 0.25 k 10.75 w. ≈1 P( X ≥ 2) = 1 P( X = 0) P( X = 1) 0.10 0.1 0.11 0.1 e e 0! 1! = 1 0.904837 0.090484 = 0.004679. kh ( ) ( ) 2 0.25 × 0.75 即P( X ≤ n 1) = ∑ n 1 4 k 课P( X ≤ n 1) < 0.99, P( X ≤ n ) ≥ 0.99, e 4 < 0.99 后1, x≥4 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X 服从参数λ = 4 的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解设至少要进n 件物品,由题意n 应满足所求的分布律为X 概率da w. 3≤ x <4 答案网2≤ x<3 ( ) 1 0.75 … … co k 0.25 k 1 × 0.75 m … … For evaluation only. 12. 设随机变量X 的密度函数为 f (x ) = 2x , 0<x< A 0, 其他, 试求: (1)常数 A ; (2)X 的分布函数. 解(1) f (x ) 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为 f (x ) ≥ 0 ;其二为+∞ A ∫∞ f ( x )dx = 1 ,因此有∫0 2 xdx = 1 ,解得 A = ±1 ,其中 A = 1 舍去,即取 A = 1 . (2)分布函数 F (x ) = P ( X ≤ x ) = ∫∞ f (x )dx x ∫∞ 0dx = x x<0 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx 0 1 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx + ∫1 0dx 0 0 ≤ x <1 x ≥1 0 ≤ x <1 x = x 1 2 解得 A = ;11 1 2 = ∫∞ 2 e 0 x 1 1 课(3) F (x ) = ∫∞ x 后(2) P(0 < X < 1) = ∫0 e x dx = ∫0 e x dx = 11 2 f (x )dx 2 x dx ∫∞ 2 e = kh x x1 x dx + ∫0 e dx 2 w. = = 1 x e 2 1 1 + 1 e x 2 2 1 x e 2 1 1 e x 2 1 x e dx ∞ 2 0 1 x1 x x ∫∞ 2 e dx + ∫0 2 e dx ∫ x ww ( ) 14. 证明:函数 f (x ) = x 2c e c 0 x2 为某个随机变量X 的密度函数. 证由于 f (x ) ≥ 0 ,且∫∞ f (x )dx = ∫∞ e +∞ +∞ x c da w. 1 1 e 1 ; 2 +∞ +∞ +∞ x x x ∫∞ Ae dx = 2 ∫0 Ae dx = 2∫0 Ae dx =1 答案网X 的分布函数. +∞ x 解(1)系数 A 必须满足∫∞ Ae dx = 1 ,由于e x 为偶函数,所以( ) x<0 x≥0 x<0 x≥0 x<0 x≥0 x<0 x≥0 x≥0 ( c 为正的常数) x<0 x2 2 c dx x2 2c d x2 = e 2c 2c x2 +∞ = ∫0 e +∞ co =1, 0 x ≥1 13. 设随机变量X 的密度函数为 f (x ) = Ae ,∞ < x < +∞ ,求: (1)系数 A ; (2)P(0 < X < 1) ; (3) m 0 x<0 因此 f (x ) 满足密度函数的二个条件,由此可得 f (x ) 为某个随机变量的密度函数. 15. 求出与密度函数x≤0 0< x≤2 x>2 x f (x ) = 0.5e x 0.25 0 对应的分布函数 F (x ) 的表达式. 解x 当0 < x ≤ 2 时, F (x ) = ∫ ∞ f ( x )dx = ∫ ∞ 0.5e x dx + ∫0 0.25dx = 0.5 + 0.25 x 0 x 当x ≤ 0 时, F (x ) = ∫∞ f ( x )dx = ∫∞ 0.5e x dx = 0.5e x x 0 2 x 当x > 2 时, F (x ) = ∫∞ 0.5e x dx + ∫0 0.25dx + ∫2 0dx = 0.5 + 0.5 = 1 综合有0.5e x , x ≤ 0; F (x ) = 0.5 + 0.25 x, 0 ≤ x ≤ 2; 1, x ≥ 2. 16. 设随机变量X 在(1,6 ) 上服从均匀分布,求方程t 2 + Xt + 1 = 0 有实根的概率. 解X 的密度函数为 f (x ) = 2 17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为(x + 100 )3 , 解(1) F (x ) = ∫∞ f (x )dx = x kh ∫ (x + 100) dx, 0 3 x 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200 天有效期的概率. 0, x < 0; 课后 f (x ) = 20000 答案 4 61 P X 2 ≥ 4 = P( X≤ 2或X ≥ 2) = P( X ≤ 2) + P( X ≥ 2) = 0 + ∫2 dx = . 5 5 x>0; ( ) 0, w. = 0, 1 (1 + x )e , x 1 (2) P( X > 200) = 1 P( X ≤ 200) = 1 F (200) = 1 1 ww 18. 设随机变量X 的分布函数为x≤0 x>0 F (x ) = 求X 的密度函数,并计算P( X ≤ 1) 和P( X > 2) . 解由分布函数 F (x ) 与密度函数 f (x ) 的关系,可得在 f (x ) 的一切连续点处有 f (x ) = F ′(x ) ,因此 f (x ) = xe x , 0, 1 所求概率P( X ≤ 1) = F (1) = 1 (1 + 1)e = 1 2e 1 ; 19. 设随机变量X 的分布函数为 F (x ) = A + B arctan x,∞ < x < +∞ ,求(1) 常数A, B ;(2) P ( X < 1) ; (3) 随机变量X 的密度函数. P ( X > 2 ) = 1 P ( X ≤ 2 ) = 1 F (2 ) = 1 1 (1 + 2 )e 2 = 3e 2 . da w. 20000 x ≥ 0. x < 0; x ≥ 0. 10000 1 = . 9 10000 , (x + 100)2 x>0 其他网其他. 方程t + Xt + 1 = 0 有实根的充分必要条件为X 2 4 ≥ 0 ,即X 2 ≥ 4 ,因此所求得概率为1 , 5 0, 1< x < 6; (200 + 100)2 ( ) co m 解: (1) 要使 F (x ) 成为随机变量X 的分布函数, 必须满足lim F (x ) = 0, lim F ( x ) = 1 , 即x → ∞ x → +∞x → ∞ x → +∞ lim ( A + B arctan x ) = 0 lim ( A + B arctan x ) = 1 A B=0 π π 2 计算后得A+ 解得 B =1 2 1 A= 2 1 B= π = 1 π 1 π π = π 4 π 4 2 1 ,∞ < x < +∞ . π 1 + x2 答案( 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从λ = 的指数分布,其密度函数为 f (x ) = 1 5 e , 5 0 x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开. kh +∞ (1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率. 解(1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从λ = 的指数分布, 且顾客等待时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为P( X ≥ 10) = ∫10 1 5 e dx = e 2 ; 5 x 课其他后x>0 da w. ) 2 5 f (x ) = F ′(x ) = 网(3)X 的密度函数co 1 5 1 5 = 1 1 1 1 + arctan1 + arctan( 1) 2 π 2 π (2)设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y服从n = 5, p = e 2 的二项分布,所求概率为ww w. 5 = e 2 0 0 P(Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P(Y = 1) ( ) (1 e ) )( ) 21. 设X 服从Ν (0,1) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算: 1 ) P( X < 2.2) ; 2 ) ( ( P ( X > 176 ) ; (3) P( X < 0.78) ; (4) P ( X <1.55) ; (5) P ( X >2.5) . 解查正态分布表可得(1) P( X < 2.2) = Φ(2.2) = 0.9861 ;(2) P( X > 1.76) = 1 P( X ≤ 1.76 ) = 1 Φ (1.76 ) = 1 0.9608 = 0.0392 ; (3) P( X < 0.78) = Φ ( 0.78) = 1 Φ(0.78) = 1 0.7823 = 0.2177 ; (4) P ( X < 1.55) = P( 1.55 < X < 1.55) = Φ (1.55) Φ( 1.55) ( 5 ) = Φ (1.55) (1 Φ (1.55)) = 2Φ (1.55) 1 = 2 × 0.9394 1 = 0.8788 = 1 + 4e 2 1 e 2 ( 5 + e 2 1 e 2 1 ( ) 4 4 m 1 1 1 1 时, F (x ) = + arctan x 也满足分布函数其余的几条性质. 2 π 2 π (2) P ( X < 1) = P( 1 < X < 1) = F (1) F ( 1) 另外,可验证当 A = , B = P( X > 2.5) = 1 P( X ≤ 2.5) = 1 [2Φ(2.5) 1] For evaluation only. 22. 设X 服从Ν ( 1,16) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算:1) ( X < 2.44) ;2) ( X > 1.5) ; ( P ( P (3) P( X < 2.8) ; (4) P ( X < 4) ; (5) P( 5 < X < 2 ) ; (6) P ( X 1 > 1) . 解当X ~ Ν ( , σ 2 ) 时, P(a ≤ X ≤ b ) = Φ b a Φ ,借助于该性质,再查标准正态分布函σ σ= 2 2Φ (2.5) = 2(1 0.9938) = 0.0124 . 数表可求得 2.44 + 1 = Φ (0.86) = 0.8051 ; 4 1.5 + 1 (2) P( X > 1.5) = 1 Φ = 1 Φ( 0.125 ) 4 = 1 (1 Φ (0.125)) = Φ(0.125) = 0.5498 ; (1) P( X < 2.44) = Φ (5) P( 5 < X < 2) = Φ (6) P ( X 1 > 1) = 1 P( X 1 ≤ 1) = 1 P(0 ≤ X ≤ 2 ) = 1 Φ 门,求: (1)某天迟到的概率; (2)一周(以 5 天计)最多迟到一次的概率. 解(1)由题意知某人路上所花时间超过40 分钟,他就迟到了,因此所求概率为40 30P( X > 40) = 1 Φ = 1 Φ(1) = 1 0.8413 = 0.1587 ; 10 (2)记Y为 5 天中某人迟到的次数,则Y服从n = 5, p = 0.1587 的二项分布,5 天中最多迟到一ww 次的概率为w. = 0.9332 1 + 0.9938 = 0.927 24. 某人上班所需的时间X ~ Ν (30,100 ) (单位:min)已知上班时间为8:30,他每天7:50 出 5 5 0 5 4 P(Y ≤ 1) = (0.1587 ) × (0.8413) + 0.1587 × (0.8413) = 0.8192 . 1 1 kh 2.2 2.05 1.8 2.05 P(2 0.2 ≤ X ≤ 2 + 0.2 ) = Φ Φ 0.1 0.1 = Φ(1.5) Φ( 2.5) = Φ (1.5) 1 + Φ(2.5) 课23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布Ν (2.05,0.01) ,合格品的规格规定为 2 ±0.2 ,求该厂滚珠的合格率. 解所求得概率为 2 + 1 0 + 1 Φ 4 4 = 1 Φ(0.75) + Φ(0.25) = 1 0.7724 + 0.5987 = 0.8253 . 1. 二维随机变量( X , Y ) 只能取下列数组中的值: (0,0), ( 1,1), 1, , (2,0) ,且取这些组值的概率依次为, , 1 1 1 5 , ,求这二维随机变量的分布律.6 3 12 12 解由题意可得( X , Y ) 的联合分布律为da w.习题五解答 1 3 后答案网 2 + 1 5 + 1 Φ = Φ(0.75) Φ( 1) 4 4 = Φ (0.75) Φ (1) + 1 = 0.7734 0.8413 + 1 = 0.9321 ; co m (3) P( X < 2.8) = Φ 2.8 + 1 = Φ( 0.45) = 1 Φ(0.45) = 1 0.6736 = 0.3264 ; 4 4 + 1 4 + 1 (4) P ( X < 4) = Φ Φ = Φ(1.25) Φ ( 0.75 ) 4 4 = Φ (1.25) 1 + Φ (0.75) = 0.8944 1 + 0.7734 = 0.6678 ;. X\Y 1 3 1 -1 0 0 1 12 1 3 1 0 0 6 5 2 0 0 12 2. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字1, 2,2,3 .从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一,二次取到的球上标有的数字,求( X , Y ) 的分布律及P( X = Y ) . 解X 可能的取值为1, 2,3 ,Y可能的取值为1, 2,3 ,相应的,其概率为1× 2 1 1× 1 1 = , P( X = 1, Y = 3) = = , 4×3 6 4 × 3 12 2 ×1 1 2 ×1 12 ×1 1 P( X = 2, Y = 1) = = , P ( X = 2, Y = 2 ) = = , P ( X = 2 , Y = 3) = = , 4×3 6 4×3 6 4×3 6 1 1× 2 1 P( X = 3, Y = 1) = , P( X = 3, Y = 2) = = , P ( X = 3, Y = 3) = 0. 12 4×3 6 P( X = 1, Y = 1) = 0, P( X = 1, Y = 2) = 或写成X\Y 1 2 3 1 2 1 6 1 6 1 6 3 网P( X = 0, Y = 0 ) = ww 8×8 16 8× 24 = , P( X = 0, Y = 1) = = , 10 × 10 25 10 ×10 25 2×8 4 2×2 1 P( X = 1, Y = 0 ) = = , P ( X = 1, Y = 1) = = , 10 × 10 25 10 × 10 25 或写成w. 3. 箱子中装有10 件产品,其中 2 件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取 2 次,定义随机变量X,Y如下: X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品. 分别就下面两种情况求出二维随机变量( X , Y) 的联合分布律: (1)放回抽样; (2)不放回抽样. 解(1)在放回抽样时,X 可能取的值为0,1 ,Y可能取的值也为0,1 ,且kh X\Y0 1 课P( X = Y ) = P ( X = 1, Y = 1) + P ( X = 2, Y = 2 ) + P( X = 3, Y = 3) = (2)在无放回情形下,X,Y可能取的值也为0 或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为P( X = 0, Y = 0 ) = 8 × 7 28 8× 2 8 = , P( X = 0, Y = 1) = = , 10 × 9 45 10 × 9 45 2×8 8 2 ×1 1 P( X = 1, Y = 0) = = , P( X = 1, Y = 1) = = , 10 × 9 45 10 × 9 45 或写成. 16 1 12 0 1 12 1 6 0 1 . 6 0 16 25 4 25 1 4 25 1 25 X\Y 0 1 0 1 4. 对于第 1 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,写出关于X 及关于Y的边缘分布律. 解把第 1 题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为X -1 0 2 概率按列相加得Y的边缘分布律为Y概率07 12 1 3 1 12 5 12 1 6 5 12 28 45 8 45 8 45 1 45 1 Y 的边缘分布律为在无放回情况下X 的边缘分布律为Y的边缘分布律为kh Y概率 1 2 其他x 2 x +1 2 ww 易算得 D 的面积为S = × 1 ×= f ( x, y ) = 4, 0, ( X , Y ) 的分布函数y x F (x, y ) = ∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy w. 2 6. 求在 D 上服从均匀分布的随机变量( X , Y) 的密度函数及分布函数,其中 D 为x 轴,y 轴及直线y = 2 x + 1 围成的三角形区域. 解区域 D 见图 5.2. 1 1 ,所以( X , Y ) 的密度函数 2 4 ( x, y ) ∈ D y 1 1 2 1 当≤ x < 0,0 ≤ y < 2 x + 1 时, 2 y x F (x, y ) = ∫0 dy ∫ y 1 4dx = 4 xy + 2 y y 2 ; 当x < 或y < 0 时, F (x, y ) = 0 ; da w. Y 0 4 5 概率答案网 4 5 1 5 1 概率X 后 1 5 课0 4 5 1 概率 1 5 0 4 5 1 1 5 -1 1 0 2 图 5.2 当≤ x < 0, y ≥ 2 x + 1 时, F (x, y ) = ∫ 1 dx ∫0 2 1 4dy = 4 x 2 + 4 x + 1 ; co 1 x 5. 对于第 3 题中的二维随机变量( X , Y) 的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X 及关于Y的边缘分布律. 解在有放回情况下X 的边缘分布律为X 0 1 m 1 3. 当x ≥ 0,0 ≤ y < 1 时, F (x, y ) = ∫ 0 0 dy y 1 4dx 0 2 2 x +1 y ∫ = 2y y 2 ; 当x ≥ 0, y ≥ 1 时, F (x, y ) = ∫ 1 dx ∫0 2 4dy = 1 综合有0, 4 xy y 2 + 2 y, F ( x, y ) = 4 x 2 + 4 x + 1, 2y y2, 1, = ∫0 2 x +1 4dy , 0, 1 < x<0 2 其他= 4(2 x + 1), 0, = ∫ y 1 4dx, 2 0 0 < y <1 其他0, 16 4 4 16 , 而P( X = 0)P (Y = 0) = × = ,即25 5 5 25 P( X = 0, Y = 0) = P( X = 0)P(Y = 0 ) ;容易验证P( X = 0, Y = 1) = P( X = 0)P(Y = 1), 解 1 1 1 4 1 1 1 1 1 f , = 4 ,而 f X = 2, f Y = ,易见 f , ≠ f X f Y ,所以X 与Y不相 4 3 3 3 4 4 3 4 3 ww 互独立. 10. 设X,Y相互独立且分别具有下列的分布律: X -2 -1 0 0.5 概率写出表示( X , Y ) 的分布律的表格. 解由于X 与Y 相互独立,因此 1 4 1 3 1 12 1 3 w. 9. 在第 6 题中,X 与Y是否独立,为什么? kh ) ( ) 1 4 P( X = 1, Y = 0 ) = P( X = 1)P(Y = 0), P( X = 1, Y = 1) = P( X = 1)P(Y = 1) ,由独立性定义知X 与Y相互独立. 28 4 4 16 , 而P( X = 0)P (Y = 0) = × = ,易见在无放回情况下, 由于P( X = 0, Y = 0 ) = 45 5 5 25 P( X = 0, Y = 0) ≠ P ( X = 0 )P(Y = 0) ,所以X 与Y 不相互独立. 课解在有放回情况下, 由于P( X = 0, Y = 0 ) = 后8. 在第 3 题的两种情况下,X 与Y是否独立,为什么? da w. = 2(1 y ), 0, 答案 f Y ( y ) = ∫ ∞ f ( x, y )dx +∞ 网Y的边缘密度函数为0 < y <1 其他Y概率P X = x i , Y = y j = P ( X = x i )P Y = y j , i = 1,2,3,4, j = 1,2,3, ( 例如P( X = 2, Y = 0.5) = P ( X = 2 )P (Y = 0.5) = ×= 1 2 1 8 其余的联合概率可同样算得,具体结果为X\Y -0.5 -2 1 8 1 1 16 3 1 16 co 1 < x<0 2 其他 f X (x ) = ∫∞ f (x, y )dy +∞ -0.5 1 2 m 1 1 4 7. 对于第 6 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数. 解X 的边缘密度函数为 1 x < 或y < 0 2 1 ≤ x < 0且0 ≤ y < 2 x + 1 2 1 ≤ x < 0且y ≥ 2 x + 1 2 x ≥ 0且0 ≤ y < 1 x ≥ 0且y ≥ 1 3 1 4 For evaluation only. -1 6 12 12 1 1 1 1 1 48 48 1 1 0.5 12 12 11. 设X 与Y是相互独立的随机变量, 服从[0,0.2] 上的均匀分布, 服从参数为 5 的指数分布, X Y 0 1 24 1 6 求( X , Y ) 的联合密度函数及P( X ≥ Y ) . 解. 由均匀分布的定义知 f X (x ) = 5, 0, 0 < x < 0.2 其他y >0 其他y 由指数分布的定义知fY (y) = 5e 5 y , 0, 因为X 与Y独立,易得( X , Y ) 的联合密度函数0, 概率P( X ≥ Y ) = ∫∫ f (x, y )dxdy , G 其他0.2 x 0.2 (3)关于X 的边缘密度函数 f X (x ) = ∫ ∞ f (x, y )dy = +∞ kh 0, (2) P(0 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 2) = ∫0 dy ∫0 12e (3x + 4 y ) dx = (1 e 3 )(1 e 8 ) ; 2 1 +∞ (3 x + 4 y ) dy, ∫0 12e 课解(1) k 必须满足∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1 ,即∫0 dy ∫0 ke (3 x + 4 y ) dx = 1 ,经计算得k = 12 ; +∞ +∞ +∞ +∞ 后其他0, 求: (1)系数k ; (2) P(0 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 2 ) ; (3)证明X 与Y相互独立. f ( x, y ) = ke (3 x + 4 y ) , w. = 4e 4 y , k (1 x ) y, 0, +∞ 3e 0, 同理可求得Y的边缘密度函数为fY (y) = x>0 ww 13. 已知二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) = 其他其他0, 易见 f (x, y ) = f X (x ) f Y ( y ),∞ < x < +∞,∞ < y < +∞ ,因此X 与Y相互独立. 0 < x < 1,0 < y < x (1)求常数k ; (2)分别求关于X 及关于Y的边缘密度函数; (3)X 与Y是否独立? +∞ +∞ 1 x 解(1) k 满足∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1 ,即∫0 dx ∫0 k (1 x ) ydy = 1 解得k = 24 ; (2)X 的边缘密度函数 f X (x ) = ∫ ∞ f (x, y )dy = ∫0 24(1 x ) ydy , x 0, = 12 x 2 (1 x ), 0, da w. x > 0, y > 0 x>0 其他x>0 其他3x 答案P( X ≥ Y ) =∫0 dx ∫0 25e 5 y dy = ∫0 5 1 e 5 x dx = e 1 . 12. 设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为( ) , 网其中区域G = {( x, y ) | x ≥ y}见图 5.3,经计算有图 5.3 0 < x <1 其他0 < x <1 其他co 0.2 x f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = 25e 5 y , 0 < x < 0.2, y > 0 m For evaluation only. Y 的边缘密度函数为fY (y) = 1 y y < 1 0< ∫ 24(1 x ) ydx, 0, 其他 2 0 < y <1 12 y (1 y ) , 其他0, 1 1 3 1 9 27 1 1 1 1 1 ( 3 ) f , = 24 × × = , 而 f X (x ) = 12 × × = , f Y ( y ) = 12 × × = 4 2 2 4 16 16 2 4 3 2 4 1 1 1 1 f , ≠ f X f Y ,因此X 与Y不相互独立. 2 4 2 4 = , 易见14. 设随机变量X 与Y的联合分布律为X\Y 0 1 2 3 5 0 2 25 1 b a 1 25 且P(Y = 1 | X = 0) = , (1) 求常数a, b 的值; (2)当a, b 取(1)中的值时,X 与Y是否独立?为什解(1) a, b 必须满足∑ ∑ p ij = 1 ,即j =1 i =1 2 3 概率定义及已知的条件得P(Y = 1 | X = 0) = ww 因此,X 与Y不独立. 15. 对于第 2 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,求当Y = 2 时X 的条件分布律. 解易知p2 = P(Y = 2) = ,因此Y = 2 时X 的条件分布律为 1 2 w. 4(2 x + 1), 0, 3 P ( X = 0, Y = 1) b = = 2 5 P( X = 0) +b 25 3 17 14 由此解得 b = ,结合 a + b = 可得到 a = , 25 25 25 14 a= 25 即 3 b= 25 14 3 5 17 (2)当 a = , b = 时,可求得P( X = 0) = , P(Y = 0 ) = ,易见25 25 25 25 2 P( X = 0, Y = 0) = ≠ P ( X = 0 )P(Y = 0 ) 25 kh X|Y=2 概率 1 p12 1 = p 2 3 16. 对于第 6 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,求当X = x, 解X 的边缘密度函数为(由第7 题所求得) f X (x ) = 1 < x<0 2 其他da w. 2 p 22 1 = p2 3 课后答案 2 3 1 2 17 ,另外由条件+b+a+ + + = 1 ,可推出 a + b = 25 25 25 25 25 网么? co 3 p32 1 = p 2 3 3 25 2 25 1 < x < 0 时Y 的条件密度函数. 2 m For evaluation only. 由条件密度函数的定义知当X = x, f (x, y ) f Y |X ( y | x) = = f X (x ) 1 Y 的条件密度函数为< x<0 时 2 4 , 4(2 x + 1) 0, 0 < y < 2x + 1 其他= 1 , 2x + 1 0, 0 < y < 2x + 1 其他习题六解答 1. 设X 的分布律为X -2 1 8 -0.5 1 4 0 1 8 2 4 解由X 的分布律可列出下表概率X X +2 X +1 X2 1 8 1 4 1 8 后由此表可定出(1) X + 2 的分布律为课X +2 概率(2) X + 1 的分布律为kh X +1 (3) X 2 的分布律为w. ) 概率ww 1 8 1 1 7 2 其中P X = 4 = P ( X = 2 ) + P( X = 2) = + = . 8 6 24 概率( 2. 设随机变量X 服从参数λ = 1 的泊松分布,记随机变量Y= 由于X 服从参数λ = 1 的泊松分布,因此1k 1 e 1 , k = 0,1,2, L , e = k! k! e 1 e 1 + = 2e 1 ; 0! 1! da w. 0 1 8 3 2 1 4 答案-2 0 3 4 网-0.5 1.5 1.5 0.25 0 2 1 0 2 4 -1 4 2 4 1 8 1 6 -3 1 3 -1 1 6 1 4 1 4 1 1 8 3 2 1 4 X2 0 4 7 24 布律. 解P( X = k ) = 而P(Y = 0 ) = P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P ( X = 1) = P(Y = 1) = P( X > 1) = 1 P ( X ≤ 1) = 1 2e 1 . co 1 6 1 3 1 1 概率 6 3 求出:以下随机变量的分布律. (1) X + 2 ; (2) X + 1 ;(3) X 2 . 4 6 -3 16 6 1 3 3 1 8 16 1 3 0, 若X ≤ 1; 1, 若X > 1, m 试求随机变量Y 的分 For evaluation only. 即Y的分布律为Y0 1 概率2e 1 1 2e 1 2x, 0, 0 < x < 1; 其他, 3. 设X 的密度函数为 f (x ) = 求以下随机变量的密度函数: (1)2 X ; (2) X + 1 ; (3) X 2 . 解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求密度函数.如果y = g (x ) 为单调可导函数,则也可利用性质求得. (1)解法一:设Y = 2 X ,则Y的分布函数y FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P(2 X ≤ y ) = P X ≤ 2 0 y <0 2 y y 0 ≤ <1 = ∫02 2 xdx 2 y ≥1 1 2 ∫0 2 xdx 0 y2 4 1 y<0 0≤ y<2 y≥2 = 解法二: y = 2 x , x = f Y ( y ) = f X (h( y )) h ′( y ) 1。
同济大学概率论与数理统计
条件概率也是概率，满足概率的公理化 定义中的三条公理，即
公理1. P（A│B）≥0； 公理2. P（Ω│B）=1； 公理3. P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）
且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。
比如：
1. P A B 1 P A B
2. P A B C P A C P AB C
P(AB)=P(A)P(B)
思考： 相互独立与互不相容有何区别？
上式即等价于
PB A PB，（当P A 0）
它的直观意义是一个事件的发生不影响另一 个事件发生的概率。上式也等价于
P A B P A，（当 p(B)>0）
.
独立性往往蕴涵在事物的内部。
一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张， A={抽到K}，B={抽到红桃}，可以验证事件A,B 是相互独立的.
定理：若下列四对事件 A与B； A与B；A与B；A与B 中有一对相互独立，则另外三对也独立。
例1中我们也可以这样来求：
P AU B 1 P A U B 1 P AB
1 P A P B 1 0.4 0.5 0.8
定义：称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A PB ， PBC PB PC， P AC P A PC ， P ABC P A PB PC
A={取到玻璃球}，B={取到兰色球}
则
P（A）=6/16，P（B）=11/16。
AB={取到兰色玻璃球}，
P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
上述概率可以记为P（A│B） P（A│B）=4/11
事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为{11个兰色球}，n=11
概率统计课后习题答案
概率统计课后习题答案概率统计是一门研究随机现象的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。
课后习题是巩固和检验学生对课堂知识掌握程度的重要手段。
以下是一些概率统计课后习题的答案示例：习题1：抛一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。
答案：抛一枚均匀硬币，有两种可能的结果：正面朝上和反面朝上。
由于硬币是均匀的，这两种结果发生的概率是相等的。
因此，正面朝上的概率 P(正面) = 1/2。
习题2：一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：袋子里总共有5个球，其中3个是红球。
抽到红球的概率是红球数量除以总球数。
所以，P(红球) = 3/5。
习题3：连续抛两次骰子，求至少出现一次6点的概率。
答案：首先，计算不出现6点的概率。
每次抛骰子，不出现6点的概率是5/6。
连续两次都不出现6点的概率是 (5/6) * (5/6) = 25/36。
因此，至少出现一次6点的概率是 1 - 25/36 = 11/36。
习题4：一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择3名学生，求至少有1名男生的概率。
答案：首先，计算没有男生的概率。
从15名女生中选择3名，组合数为C(15,3)。
班级中所有可能的3人组合数为 C(30,3)。
没有男生的概率是 C(15,3) / C(30,3)。
至少有1名男生的概率是 1 - C(15,3) /C(30,3)。
习题5：一个工厂生产的产品中有2%是次品。
一批产品中有100件，求至少有5件次品的概率。
答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。
使用二项分布公式计算至少有5件次品的概率，即P(X ≥ 5) = 1 - P(X < 5)。
这需要计算从0到4件次品的概率之和，然后从1中减去这个值。
结束语：概率统计的习题答案需要根据具体的题目条件来计算。
上述答案仅供参考，实际解题时需要根据题目给出的详细条件进行计算。
希望这些示例能够帮助你更好地理解和掌握概率统计的知识。
同济大学版概率论与数理统计——修改版答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。