高数第十章习题课 (3)

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高等数学(下)课件D10_习题课

1 2 2 x − x2 2− x
f ( x, y )dy
(2) I= ∫1 dy ∫1 f ( x, y )dx + ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
2 y 1 y
2
2
2
2
解：根据积分限可得积分区域
1 1 D = {( x, y ) | ≤ y ≤ 1, ≤ x ≤ 2} 2 y U{( x, y ) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ 2}
2 2 1 1 D − x 1
1 1 1[+−)1x 1(|−x 2 2 2 d − | 31 = ∫( x y ] = ∫ x ) − 1 d x − − 1 1 3 3 1 2 x1 = =∫3 ) 1 − ( −x . d 0 3 2 3
D 直x 及 2 3 ∫ y ,其是 =2 物线线例算 σ 中由y − 抛yx 计x = d ∫
6、会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯量等。 7、掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。 8、对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大的帮助。 9、还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。
xσ [ xx d ∫ y = yy] ∫ d ∫∫ dy 1
22 D
3 4 2 x2y 2 yyd [2 y2 9 = y ] = 2 ) = −] . [ ( y 1 ∫ ⋅2d ∫ − y y 8= 1 1 8 2 2
D 直1 = 2 ∫ +−d 其是 = x 1 线 − 例算12 yσ 中由y 、计y x 2 , ∫

高数第10章经典类型题参考答案

第十章经典类型题一、二重积分的计算（1）直角坐标系1.画出积分区域，并计算二重积分2+1x D e dxdy ⎰⎰（），其中D 是由x 轴，x y =及1x =所围成的闭区域。

解：2+1x D e dxdy ⎰⎰（）1=.2e 2.计算二重积分D σ⎰⎰，其中D 是由2与1y x y ==所围成区域。

解：D σ⎰⎰4=-.153.计算二重积分2Dx dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,3,y x y x ===所围成的闭区域. 解：83.12D xdxdy =⎰⎰ 4. 计算二重积分sin d d ,D x x y x ⎰⎰其中D 是直线2,y x x π==及x 轴所围成的闭区域. 解:sin d d =4.D x x y x ⎰⎰5.计算二重积分22D x dxdy y⎰⎰，其中D 是直线12,,2y y x x x ===所围成的闭区域。

解： 22=3.D x dxdy y⎰⎰ （2）极坐标系6.计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰,其中D 是由中心在原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解：222+(1).x y a D edxdy e π-=-⎰⎰7. 计算二重积分Dx σ⎰⎰2d ，其中D 是圆x y +=221所围成的闭区域。

解: 1.4D x σπ⎰⎰2d =22arctan,1D y dxdy D x y x+=⎰⎰8. 计算其中是由直线y=x,x 轴和围成的在圆周第一象限的闭区域。

. 解：2arctan .64Dy dxdy x π=⎰⎰ 9.计算二重积分cos()D x σ⎰⎰22+y d ，其中D是由直线,y x =轴和圆4x y +=22所围成的在第一象限的闭区域。

解: 2cos(D x σ⎰⎰2+y )d sin 4π6=. 二、三重积分的计算10.计算()⎰⎰⎰++V dxdydz z y x sin ，其中V 是平面2π=++z y x 和三个坐标平面所围成的区域。

《高等数学》第十章习题课

2 x2 y2 a2
4
2d 2a2
x2 y2 a2
原式 a4 2 a2.
4
4
例 2 计算 I x ln( y 1 y2 )dxdy，其中，D由 y 4 x2，
D
y 3x，x 1所围成(如图所示).
y
y 4 x2
解：令 f (x, y) x ln( y 1 y2 )，
e z dv 2 ezdv
上
1
2 [
dxdy]e z dz
0
D(z)
2 1 (1 z2 )e zdz 2. 0
18
解 x2 y2 d
D
a(1cos )
2 2 d
0
a
r rdr
2
2 a3[(1 cos )3 1]d
30
a3 ( 22 ).
92
17
例：计算 e z dv，：x2 y2 z2 1.
解被积函数仅为z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
D
x2d
y2
2
dx
1
xx 2
1 x
y2
dy
D
2
(
1
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(
x3
x)dx
9
.
1
4
13
例计算 y x2 d，其中，D：1 x 1，0 y 1.
D
解先去掉绝对值符号，如图
y x2 d
D
D1
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
1
x2
1
1
dx ( x2 y)dy dx ( y x2 )dy

高等数学下第十章练习题答案.ppt

33
简便方法：
M
1 3
x2 y2 dS
y2 z2 dS
z2
x2
dS
2 x2 y2 z2 dS 3
2 3
a2
dS
2 a2 4a2 8 a4 .
3
3
六、计算
xdydz x2
y
z
2
2dxdy z2
,
是由曲面
x2 y2 R2 , z R, z R (R 0) 所围的立体表面的外侧.
直接用格林公式
D
C
ydx (e y2 x)dy L
D
Q x
P y
dxdy
oA B
x
2 dxdy 212 2
D
4 ．
(e x sin y y 1)dx (e x cos y x)dy,
L
L
是以点
A(1,0), B(5,0) 为直径的两端点的下半圆周，且从 A
到 B 为正方向.
y
高等数学第十章自测题解答
一、计算下列曲线积分
1． L (3 y x)ds, L 是连接点 A(3,3) 和点 B(3,1)
的直线段.
直线方程： y 3 1 ( x 3) 3
ds 1 y2 dx 1 1 2 dx 10 dx,
3
3
原式
3
(9 ( x 3) x)
10 dx 12 10.
2 24 16
又 x2z2dxdy x2dxdy
1
1
Dxy
4
2 d
1 r 3 cos 2 dr 4 1 1 ,
0
0
22 4 4
原式 5 9 .
1 1
16 4 16

高等数学课后习题答案第十章

习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而0l n ()1x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y +≥+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2 从而 ln(x+y)>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y +<+ 所以2l n ()d [l n ()]dDDx y x yσσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}DI x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（3）2222(49)d ,{(,)|4}DI x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰.解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而04xy ≤≤.从而2≤≤故2d DD σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而d Dσσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积），由σ=4得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d DDDx y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即220sin sin d d DDx y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰而2πσ=所以2220sin sin d πDx y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤故229d (49)d 25d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰而2π24πσ=⋅=所以 2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）222(,{(,)|};Da D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,Da σ-⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3D a a σ=⎰⎰（2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰4. 设f(x ，y)为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f(x ，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x0，y0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r→时，00(,)(,),x y ξη→于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为累次积分：（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x =≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yDy f x y y f x y xσ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y Dyf x y y f x y xσ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y=2x 与曲线2y x =的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线2y x =与x=2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x ≤≤≤≤图10-5所以2221(,)d d (,)d xDxf x y x f x y yσ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：（1）2220d (,)d yy y f x y x⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y⎰⎰;(3)1320d (,)d y y f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y-⎰⎰;(5)123301d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D：1e,0ln.x y x≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：01,e e,yy x≤≤≤≤所以e ln1e100ed(,)d d(,)dyxx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：201,0,x y x≤≤≤≤D2：113,0(3).2x y x≤≤≤≤-所以2113213(3)200010d(,)d d(,)d d(,)dy x xy f x y x x f x y y x f x y y--=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D为：0π,sin sin.2xx y x≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：10,2arcsinπ;y y x-≤≤-≤≤D2：01,arcsinπarcsin.y y x y≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx yyx f x y y y f x y x y f x y x----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D1与D2两部分组成，其中 D1：01,02,y x y ≤≤≤≤ D2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤-所以()123323012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 求下列立体体积：（1）旋转抛物面z=x2+y2,平面z=0与柱面x2+y2=ax 所围；（2）旋转抛物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所围. 解：（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V=22()d d Dx y x y+⎰⎰其中D ：22{(,)|}x y x y ax +≤由被积函数及积分区域的对称性知，V=2122()d d D x y x y+⎰⎰，其中D1为D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得cos πππcos 344442220001132d d 2d cos d π4232a a V r r r a a θθθθθθ====⎰⎰⎰⎰.(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积22()d d ,DV x y x y =+⎰⎰其中积分区域D 为xOy 面上由曲线y=x2及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.图10-11D 可表示为：211, 1.x x y -≤≤≤≤所以21122221()d d d ()d DxV x y x y x x y y-=+=+⎰⎰⎰⎰2111232461111188d ()d .333105x x y y x x x x x --⎡⎤=+=+--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 8. 计算下列二重积分：（1）221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x ≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；（3）d ,x y ⎰⎰D 是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4)cos()d d ,{(,)|0π,π}Dx y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx Dx xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()xx x y y y y yD xx y y x y y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21111ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图10-13所示.图10-13 D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxx x y x y x y xx --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x xx x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224sin (1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d xx x ⎰求不出来，故应改变积分次序。

大一高数课件第十章10-习题

习题4
添加标题
题目：求函数y=sin(x+π/4)在[0,π]上的最大值和最小值
添加标题
解题思路：利用正弦函数的性质，将函数化为标准正弦函数形式，再利用正弦函数的单调性求解。
Байду номын сангаас
添加标题
解题步骤：将函数y=sin(x+π/4)化为标准正弦函数形式y=sin(x+π/4)=sinx*cosπ/4+cosx*sinπ/4，再利用正弦函数的单调性，当x=π/4时，y取得最大值1；当x=3π/4时，y取得最小值-1。
• 结论：函数y=sin(x+π/4)在[-π/2,π/2]上的最大值为1，最小值为-1
习题2
单击此处添加标题
题目：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1的单调区间
单击此处添加标题
解题思路：首先求导数，然后判断导数的正负性，从而确定函数的单调区间。
单击此处添加标题
具体步骤：对函数f(x)求导得到f'(x)=3x^2-12x+9，解不等式f'(x)>0得到x<1或x>3，解不等式f'(x)<0得到1<x<3，所以函数f(x)在区间(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在区间(1,3) 上单调递减。
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大一高数课件第十章10-习题
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高数下课件 ch10习题课

∫ I =
( x + y)dx − ( x − y)dy
C
x2 + y2
1 2π
∫ a2 0 [a(cos t + sin t) ⋅ (−a sin t) − a(cos t − sin t) ⋅ a cos t]dt 2π = −∫0 dt = −2π .
∫ I =
( x + y)dx − ( x − y)dy
令 y = 2a sin t， (0 ≤ t ≤ 2π )
3
x + 1 y =1a cos t= ⇒ x a (cos t − 1 sin t)，
22
2
3
z =−( x + y) ⇒ z =− a (cos t + 1 sin t)，
2
3
ds= x′2(t ) + y′2(t ) + z′2(t )dt = adt，
L1
+
=
L2
x 2x⋅0 1 x4 + 02 dx +
y
−
0
x2 x4 +
y2 dy
=
−
arctan
y x2
y 0
=
y − arctan x2 .
∫ 例9 计算 I =
− ydx + xdy C 4x2 + y2 ，其中 C 为圆周
( x − 1)2 + y=2 R2 (R > 0 且 R ≠ 1)，取逆时针方向.
f [ϕ ,ψ ]
ϕ′2 +ψ ′2 dt
β
∫α [P(ϕ ,ψ )ϕ′ + Q(ϕ ,ψ )ψ ′]dt
空间
Pdx + Qdy + Rdz =

《高数》第十章习题课-线面积分的计算

12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L

2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy

a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线所作的
功, 其中为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算重心公式
20
例4. 设为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS

高数第十章答案

高数第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解 ?f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值m?14?x?y?0?，最小值m?1?5?x?1,y?2? 故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）??(x2?y2)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；d（2）??sinyd?，其中d是由y?x,y2?x所围成的闭区域. dy解：??sinyd??dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）??ex?yd?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d（2）22(x?y?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。

??d3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：（1）由直线y?x及抛物线y2?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。

x4.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1?2dxxfdy；【篇二：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m??x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。

高数第十章曲线积分与曲面积分

曲线积分
计算
定积分
计算
Stokes公式计算曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系

定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题：如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I

L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭

( y 2 z 2 ) dS; I z

( x 2 y 2 ) dS
曲面质心：曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y

ydS ydS

dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS

15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中，，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条件等

高数第十章测试题及答案

高等数学第十章《重积分》测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1记21()DI x y d σ=+⎰⎰，32()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:(2)(1)1D x y -+-≤，则（）（Ａ）12I I =；（Ｂ）12I I >；（Ｃ）12I I <；（Ｄ）无法比较12,I I 的大小。

2设(,)f x y 连续，且2(,)(,),Df x y xy f x y dxdy D =+⎰⎰由21,0,x y y x === 所围，则(,)f x y =（）（Ａ）218xy +；（Ｂ）2138xy +；（Ｃ）21316xy +；（Ｄ）2116xy +. 3 设0a b <<，222221:(0)V a x y z b z ≤++≤≥，222222:V a x y z b ≤++≤(0,0,0)x y z ≥≥≥为两个空间区域，则（）（Ａ）124V V xdv xdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｂ）124V V ydv ydv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｃ）124V V zdv zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｄ）124V V xyzdv xyzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4 ⎰⎰=θπρρθρθρθcos 02)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标系下的二次积分为（）（A ）⎰10dy ⎰-20),(y y dx y x f ；（B ）⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f ；（C ）⎰1dx ⎰1),(dx y x f ；（D ）⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f ．5 设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=⎰⎰⎰成立的充分条件是（）（Ａ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=-；（Ｂ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=；（Ｃ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=-；（Ｄ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=。

高等数学-电子课件05第十章习题课

使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于 z的偶函数，则三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
y2
D
x
围成．
解 X-型 D:1yx,1x2. x
x2
d y2
D
x 2
x2
1dx1 x
dy y2
D
2 1
(
x2 y
)
x 1 x
dx
2
(x3 x)dx
1
9. 4
23
例2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
解先去掉绝对值符号，如图
yx2d
ezdv2ezdv
上
1
20[dxd]eyzdz D(z)
21(1z2)ezdz2. 0
28
例7 计算三重积分 (y2 z2)dv其中是由 xoy 平面
上曲线 y2 2x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x 5
所围成的闭区域。 x x
提示：
利用柱坐标
y
cos
:
1 2
2
x5
0 10
z sin
yy(x,y,z)dxdyd, zz (x,y,z)dxdydz
z(x,y,z)dxdydz (x,y,z)dxdydz
当 (x,y,z) 常数时, 则得形心坐标：
x
xdxd
yd ,
z
y ydxdyd,z

高数第十章习题课

熟练运用极限的四则运算法则，以及复合函数的极限运算法则。
两个重要极限
无穷小量的比较
掌握两个重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$和$lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$的应用。
理解无穷小量的概念，掌握无穷小量比较的方法，会用等价无穷小量替换求极限。
知识点回顾与总结
高数第十章核心知识点
01
02
03
04
多元函数微分学
包括多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等基本概念和性质。
多元函数微分法
包括复合函数、隐函数的求导法则，以及多元函数的极值和最值问题。
方向导数与梯度
理解方向导数的概念，掌握梯度及其几何意义，了解梯度与方向导数的关系。
多元函数的泰勒公式
忽视多元函数极限的存在性
在求解多元函数极限时，需要注意极限的存在性，不能简单地通过代入法求解。
忽视方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度在某一方向上的投影，因此方向导数与梯度密切相关。
03
典型例题解析与讨论
例题一：求解极限问题
极限概念的理解
极限的运算法则
通过具体例子加深对极限概念的理解，掌握求极限的基本方法。
理解多元函数的泰勒公式及其几何意义，掌握利用泰勒公式求多元函数的极值方法。
常见题型及解题方法
求多元函数的极限
通过消元法、等价无穷小替换等方法求解。
求多元函数的偏导数、全微分
掌握偏导数、全微分的定义及计算方法，注意复合函数、隐函数的求导法则。
判断多元函数的单调性、极值、最值
通过求一阶、二阶偏导数，判断函数的单调性，利用极值的必要条件和充分条件判断极值，通过比较法或拉格朗日乘数法求最值。

高等数学课件--D10-习题课

其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A
[5 (1) 3 2] A 9 π
2013-8-9 同济版高等数学课件
形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D
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t f (t ) f (r )r (t r ) d r
2 2 0
t
0 f (r 2 )r d r 2
t
f (x) 恒大于零, 在 (0,) 上 F (t ) 0,
2 2 D
y 1
D1 D2
yx
作辅助线 y x 将D 分成
D1 , D2 两部分
2
D2
O
D
1 x
( x y )d xd y 2 d xd y
2 π ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
2013-8-9 同济版高等数学课件
0 yd x d y
D
R
R
d x
R2 x2
b
yd y
2 3 R R b2 3 2 由此解得 b R 3
2013-8-9
y
b?
y R2 x2
R O D
b
R x
同济版高等数学课件
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例1. 计算二重积分 I ( x x ye
原式
2013-8-9
2π
0
d
0
10 3
250 r dr r 2 d x π 3 2 同济版高等数学课件
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《高等数学》(北大第二版 )第10章习题课

L
⋅
D
L-
∂Q ∂P ∫ = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = 2∫∫ dxdy = 8 D L− + 0 B D ∂Q ∂P − )dxdy − ∫ ) ∴ ∫ = -( ∫ − ∫ ) = -(∫∫ ( ∂x ∂y D 0B L 0B L +0 B
B(4,0)
⋅
x
= −8 + 0 = −8
B0
比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之.
例 4 计算 ∫ x 2 + y 2 dx + y[ xy + ln( x + x 2 + y 2 )]dy
其中L为曲线y=sinx (0 ≤ 解应用格林公式
L
x ≤ π ) 按x增大方向 .
y
∂Q ∂P y 2 =y + , = 2 2 ∂y ∂x x +y
L
解1 I = ∫ (2 x ⋅ x 2 − x 2 )dx + [ x + ( x 2 ) 2 ]2 xdx
0
0 1
+ ∫ [2 y 2 ⋅ y − ( y 2 ) 2 ]2 ydy + ( y 2 + y 2 )dy
Y=x2
7 17 1 0 x = − = . 6 15 30 y = ϕ ( x) (0 ≤ x ≤ 1). ∂Q ∂P 解2 I = ∫∫ ( − )dxdy x = ψ ( y ) (1 ≥ y ≥ 0). ∂x ∂y D 1 x 1 = ∫∫ (1 - 2x) dxdy = ∫ dx ∫ 2 (1 − 2 x)dy = . 0 x 30 D
Γ为球面上的三角形x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)围线的正向.

2019年-第十章高数下册习题课-PPT精选文档

解利用两类曲面积分之间的关系
z
1
的法n 向 {1, 1 量 ,1}, 为
co s1,co s1,co s1.1
3
3
3
o
1
x
y
23
I{
1 [f(x, y,z)x] 3
1[2f(x,y,z)y] 1[f(x,y,z)z]}ds
3
3
13(xyz)ds
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
L : xa 2(1cot)s(0t2)
ya2sint
ds x2y2dt a d t
16
2
2 计算 (2ay)dxxd,y其中L为摆线 L xa(tsitn ), ya(1cot)s
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
2
原式 = a 2 t sin t d t
曲面积分
计算
Guass公式
计算重积分
7
积分概念的联系
n
f(M )dl i0m f(M )i,f(M )点函数 i 1
定积分当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x

a
二重积分当R2上区D时域,
f(M)df(x,y)d. D
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲元 ))