(优选)第七讲无理数与算术平方根
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请判断下列各数是有理数还是无理数 1)5.010101…… 2)5.01001…（两个1之间依次多1个0） 3)3.1415926 ……(即π的值) 4) 5
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判断一个数是无理数的条件
• 是小数 • 是无限小数 • 是无限不循环小数 • （三者缺一不可）
对比与区别
1)5.010101……是_无__限___(有限/无 限)_循__环__(循环/不循环)小数；
2)5.010010001……是_无__限___(有限/无 限)_不_循__环__(循环/不循环)小数.
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫
做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0） 非负数
又∵ 1.96 2 2.25
∴ 1.42 a2 1.52
∴a的十分位为4.
试一试
• 若 a2 5 ，求a的整数位和十分位各为多少？
（写清楚过程）
定义：
1)__无__限__不__循__环__小__数__称作无理数
2)__有__限__小__数__或__无__限__循__环__小__数___称作有理数
（优选）第七讲无理数与算术 平方根
地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称 为数学史上的第一次危机，对以后 2000 多年数学的发展产生 了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明， 推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思 想萌芽。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不 到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理 喻的数。15 世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”， 17 世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而， 真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人 们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不 可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．
复习 所有的分数都是有理数。
什么是有理数？
正整数
整数 0
有理数
负整数 正分数
分数 负分数
有理数可以表示成小数吗？
把下列各数转化成小数，你有什么发现呢？
3, 4 , 5 , 8 , 2 .
59
45 11
有理数总可以用有限小数或无
限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限 循环小数也都是有理数。
是否所有的小数都是有理数呢？ 有限小数
算术平方根具有双重非负性
• 例题1. 如图所示 •பைடு நூலகம்（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的
面积是多少？
• （2）设该正方形的边长为，则应满足什么 条件？
• （3）是有理数吗？
• 变式练习：如图是由16个边长为1的正方形 拼成的，连接这些小正方形的若干顶点， 得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF， 其中长度不是有理数的有 条。
例题2
2. 面积为2的正方形边长a究竟是多少？
a2 =2
估算a的整数部分是多少？
• 首先，距离2比较近的平方数有哪些？ ∵1<2<4
∴ 12 a2 22
∴ 1 a 2
∴a的整数部分是1.
a2 =2
估算a的十分位是多少？
∵ 1.12 1.21 1.22 1.44 1.32 1.69 1.42 1.96 1.52 2.25
小数
无限循环小数
无限小数
无限不循环小数
1.怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大 正方形？
（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）a可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a可能是分数吗？说说你的理由。
归纳：在等式a2 =2中，a既不是整数， 也不是分数，所以a不是有理数。
那么a到底是一个怎么样的数呢？
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判断一个数是无理数的条件
• 是小数 • 是无限小数 • 是无限不循环小数 • （三者缺一不可）
对比与区别
1)5.010101……是_无__限___(有限/无 限)_循__环__(循环/不循环)小数；
2)5.010010001……是_无__限___(有限/无 限)_不_循__环__(循环/不循环)小数.
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫
做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0） 非负数
又∵ 1.96 2 2.25
∴ 1.42 a2 1.52
∴a的十分位为4.
试一试
• 若 a2 5 ，求a的整数位和十分位各为多少？
（写清楚过程）
定义：
1)__无__限__不__循__环__小__数__称作无理数
2)__有__限__小__数__或__无__限__循__环__小__数___称作有理数
（优选）第七讲无理数与算术 平方根
地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称 为数学史上的第一次危机，对以后 2000 多年数学的发展产生 了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明， 推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思 想萌芽。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不 到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理 喻的数。15 世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”， 17 世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。然而， 真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人 们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不 可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．
复习 所有的分数都是有理数。
什么是有理数？
正整数
整数 0
有理数
负整数 正分数
分数 负分数
有理数可以表示成小数吗？
把下列各数转化成小数，你有什么发现呢？
3, 4 , 5 , 8 , 2 .
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有理数总可以用有限小数或无
限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限 循环小数也都是有理数。
是否所有的小数都是有理数呢？ 有限小数
算术平方根具有双重非负性
• 例题1. 如图所示 •பைடு நூலகம்（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的
面积是多少？
• （2）设该正方形的边长为，则应满足什么 条件？
• （3）是有理数吗？
• 变式练习：如图是由16个边长为1的正方形 拼成的，连接这些小正方形的若干顶点， 得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF， 其中长度不是有理数的有 条。
例题2
2. 面积为2的正方形边长a究竟是多少？
a2 =2
估算a的整数部分是多少？
• 首先，距离2比较近的平方数有哪些？ ∵1<2<4
∴ 12 a2 22
∴ 1 a 2
∴a的整数部分是1.
a2 =2
估算a的十分位是多少？
∵ 1.12 1.21 1.22 1.44 1.32 1.69 1.42 1.96 1.52 2.25
小数
无限循环小数
无限小数
无限不循环小数
1.怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大 正方形？
（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）a可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a可能是分数吗？说说你的理由。
归纳：在等式a2 =2中，a既不是整数， 也不是分数，所以a不是有理数。
那么a到底是一个怎么样的数呢？