考虑摩擦时物体的平衡问题
平衡摩擦力的正确方法
平衡摩擦力的正确方法1.确定物体的质量和施加力的方向：在考虑平衡摩擦力之前，首先需要确定物体的质量和施加力的方向。
物体的质量可以通过称重或估算获得，而施加力的方向可以通过观察力的作用点和物体的接触面得知。
2.理解摩擦力的原理：摩擦力是由两个物体之间的接触面之间的相互作用力产生的。
摩擦力的大小取决于物体的性质和它们之间的接触面。
摩擦力的方向与施加力的方向相反，这是由牛顿第三定律决定的。
3.调整施加力的大小和方向：为了平衡摩擦力，需要调整施加力的大小和方向。
当物体施加的力小于或等于摩擦力时，物体将保持静止或匀速运动。
如果想增加施加力的大小以克服摩擦力，可以通过增加施加力的幅度或增加施加力的方向来实现。
如果想减小施加力的大小以减小摩擦力，可以通过减小施加力的幅度或改变施加力的方向来实现。
4.考虑倾斜面和斜面上的摩擦力：当物体位于倾斜面上时，摩擦力的方向将发生变化。
在倾斜面上，有两种类型的摩擦力，分别是平行于倾斜面的平行摩擦力和垂直于倾斜面的法向摩擦力。
平行摩擦力的大小可以通过摩擦系数和物体在倾斜面上的重力分量计算得到。
如果需要平衡这些摩擦力，可以通过调整施加力的方向来实现。
5.使用合适的工具和设备：为了准确地测量和平衡摩擦力，可能需要使用合适的工具和设备。
例如，如果需要测量物体的质量，可以使用天平或砝码。
如果需要测量施加力的大小，可以使用力计。
这些工具和设备可以提供准确的测量结果，从而实现平衡摩擦力的正确方法。
总之，平衡摩擦力的正确方法包括确定物体的质量和施加力的方向，理解摩擦力的原理，调整施加力的大小和方向，考虑倾斜面和斜面上的摩擦力，以及使用合适的工具和设备。
通过遵循这些方法，可以实现物体在接触面上的平衡摩擦力。
如何解决物体在重力和摩擦力下的平衡问题
如何解决物体在重力和摩擦力下的平衡问题如何解决物体在重力和摩擦力下的平衡问题在我们日常生活中，物体的平衡问题是一个非常常见的现象。
无论是建筑物的结构设计，还是平衡秤的使用，我们都离不开对物体平衡的探讨和研究。
物体在重力和摩擦力作用下的平衡问题，是一个具有一定深度和难度的话题。
本文将探讨如何解决物体在重力和摩擦力下的平衡问题。
重力是地球对物体的吸引力，而摩擦力则是物体与接触表面之间的相互作用力。
要解决物体在这两种力下的平衡问题，我们首先需要了解物体所受到的力的大小和方向。
而要确定物体所受力的大小和方向，我们需要运用牛顿力学中的平衡原理。
平衡原理的基本思想是：当物体处于平衡状态时，受力之和为零。
具体而言，对于在水平表面上放置的物体，如果物体不会移动，那么重力和摩擦力之间必须达到平衡。
这意味着重力和摩擦力的大小必须相等。
重力是由物体的质量决定的，而摩擦力则取决于接触表面的性质和物体相对运动的状态。
为了使物体在重力和摩擦力下达到平衡，我们可以通过调整以下因素来解决问题：1. 质量的变化：根据牛顿第二定律，物体受到的重力与其质量成正比。
通过增加或减少物体的质量，可以改变重力的大小。
如果重力过大，可以考虑减少物体的质量，例如通过去除一部分物体或使用轻质材料。
相反，如果重力不足以满足平衡条件，可以考虑增加物体的质量。
2. 表面性质的改变：摩擦力取决于物体与接触表面之间的相互作用力。
通过调整表面的性质，可以改变物体与接触表面之间的摩擦系数。
例如，如果物体需要更大的摩擦力来达到平衡，可以增加接触表面的粗糙程度或使用有粘性的材料。
如果物体需要减小摩擦力，可以使用光滑的材料或在接触表面之间加入润滑剂。
3. 借助外力的作用：除了重力和摩擦力以外，物体还可以受到其他外力的作用，如拉力、推力等。
可以通过调整这些外力的大小和方向，使物体在重力和摩擦力的作用下达到平衡。
例如，通过施加一个向上的拉力，可以抵消物体受到的重力，并使物体保持平衡。
6-4 考虑滑动摩擦时的物体平衡问题
•b
Gr
RL
a fs
b
3
三.平衡范围分析法
W
W
a
例3：梯子
FN A
已知： a，G，W，fs
a
FfA
Gα
求：人能安全地爬到梯顶， o
o
α应满足的条件？
由 mA 0 得：
a
a
Gα
FN
FfB
B
解：取梯子为研究对象
F NB • 2a cos F fB • 2a sin G • a cos 0 (8)
由式(2)、(8)得：
F fA f s • F NA (1)
(2F NB G)a cos f sF NB • 2a sin 0 (9)
F fB f s • F NB (2)
由 F x 0 得：F NA F fB 0 (3) 由 F y 0 得：F fA F NB G W 0 (4)
5
问题1
已知: W=25kN, G=100kN, fs=0.5 求： 摩擦力FfA=?
6
G
W
答案： FfA=15kN
问题2
粗糙
G
F
光滑
当水平力F逐渐增大 且物块B平衡时， 杆OA对物块B的压力 FNA如何变化？
7
G
FN A
FfA
Ff'A FN'A
F FN B
答案： FNA由大变小
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由式(5)、(6)得：
F
NB
G W
1
f
2 s
(7)
4
tan1 G(1 f 2s) 2W
2 f s(G W )
2
例4：
F
第五章 考虑摩擦的平衡方程
NB
FSA 0
FSB f s FNB
2.两根相同的运至杆 AB 和 BC， 在端点 B 用光滑铰链连接， A， C 端放在不光滑的水平面上， 如图所示。当 ABC 成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求杆端与水平面 间的摩擦因数。
【知识要点】 平面一般力系的平衡方程，摩擦定律。 【解题分析】由对称性可知两点同时达到临界状态。 【解答】以整体为研究对象，受力如图 a 所示，设每根杆长为 L，重为 P，由平衡方程
4.当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力 Fs 的大小（ ） A.与物体的质量成正比； B.与物体的重力在支承面的法线方向的大小成正比； C.与相互接触的物体之间的正压力大小成正比； D、有力系的平衡方程来确定。 5.物块重为 P，受水平力 F 作用，已知 P=F，摩察角φ=20°，则（ ）。 A.物体向上滑动 B.静止 C.临界平衡状态 D.物块向下滑动
三、计算题
1.梯子 AＢ靠在墙上，其重为Ｐ＝200Ｎ，如图所示。梯长为 L，并与水平面交角θ＝６０°。 已知接触面间的静摩擦因数均为 0.25.今有一重 650Ｎ的人沿梯上爬， 问人所能达到的最高点 Ｃ到Ａ的距离ｓ应为多少？
[知识要点] 平面一般力系的平衡方程，摩擦定律。 [解题分析] Ａ，Ｂ两点同时达到临界状态。 [解答]以梯子ＡＢ为研究对象，受力如图，设Ｃ点为极限位置，由平衡方程
【只是要点】 考察摩擦的平衡问题 【解题分析】 分别研究 AGB 和砖，根据摩擦定律求解 b。 【解答】一整体为研究对象，见图（a）。 可知 F=P 以砖为研究对象，受力如图（b）所示。 由∑MO(F)=0：FSA·OA－FSD·OD=0 可得 FSA= FSD 由∑Fy=0：P－FSA－FSD=0 ∑Fx=0：FNA－FND=0 解得 FSA=FSD=P/2，FNA=FND 再以曲杆 AGB 为研究对象，受力如图（c）所示。 由 MG(F)=0：95F+30F/SA－bF/NA=0 解得 b=220FSA/ FNA 砖块不下落，需满足 FSA≤fs FNA 由上两式可知 b≤110mm
考虑摩擦时物体的平衡问题
以产生一个全约束反力FRm 与力FR 构成平衡而使物体保持静止。这 种只须主动力的合力FR 的作用线在摩擦角(锥)的范围内，物体依靠 摩擦总能静止而与主动力大小无关的现象称为自锁现象。
正切等于静摩擦系数。利用此关系，可由实验的方法测出摩擦角φm之后， 由式(3-21) 计算出摩擦系数 f 值。
图3-34
3. 自锁
(1) 摩擦锥的概念 作用在物体上主动力的合力FR 方向改变时，全约束反力FRm 的方位也随 之改变。在法线各侧都可作出摩擦角，将全约束反力FRm 的作用线画出一个以 与主动力合力FR 的作用线交点A 为顶点的锥面，称为摩擦锥。若物体与支承面 沿任何方向的摩擦系数都相同，则此摩擦锥将是一个顶角为2φm 的圆锥。如图 3-35a 所示。
根据大量的实验可得出动滑动摩擦定律：动摩擦力的大小与两物体间的
正压力(或法向反力)成正比。即
F ' f ' FN
(3-19)
式中：f '为动滑动摩擦系数，简称动摩擦系数。其值与接触物体的材料及
接触面情况有关，在滑动速度不大时，可认为与速度无关。f ' 略小于 f ， 在工 程计算中，通常近似地认为二者 相同。
0 F Fm
大量的实验证明，最大静滑动摩擦力Fm 与两物体间的法向反力成正比， 其方向与相对滑动趋势的方向相反，与两接触面的面积大小无关，而与两接触
面的材料有关，即
Fm f FN
(3-18)
上述结论称为静滑动摩擦定律。该定律由法国物理学家库仑提出，故又称 为库仑定律。
Fm f FN
(3-18)
摩擦第二版专题知识讲座
[例1] 重为W 旳物体放在倾角为旳斜面上。已知：
=30º，W=100N，fs =0.2。求：（1）物体静止时，
水平力P 旳大小。（2）当水平力P= 60N时，物体能 否平衡？
解：（1）以物块为研究对象
① 先求使物体不致于上滑时 旳Pmax 。
Fmax FN
Fx 0, Pmaxcos Wsinα Fmax 0
这是因为解题中引用了补充方程 Fmax fs FN，因为f s
为正值，Fmax与FN 必须有相同旳符号。法向约束力 FN 旳方向总是拟定旳，FN 值永为正，因而Fmax也应 为正值，即摩擦力Fmax旳方向不能假定，必须按真实 方向给出。
[例2] 梯子长AB=l，重为W，若梯子与墙和地面旳
静摩擦系数f =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
R r
o
A
b W
解：以鼓轮为研究对象
MO 0, FR Wr 0
再以手柄为研究对象
R Yo F
o r Xo
FN
M A 0, Pl Fb FN a 0
当鼓轮处于临界平衡状态时，
WP B PB
有：P=Pmin，
R
F F Fmax fs FN
r o
联立求解上述三个方程，得：
FN
F
解：考虑到梯子有下滑趋势，画 受力图。
Fx 0 : FNB FA 0
Fy 0 : FNA FB W 0
MA 0:
W
l 2
cosmin
FB
l
cosmin
FN B
lsinmin
0
梯子在将要下滑旳临界平衡状态时有：
FA f FNA
FB f FNB
解得：
FN A
第3节 考虑摩擦时物体系统的平衡问题
平衡方程的应用
第三节
考虑摩擦时物体系统的平衡问题
摩擦：一个物体沿另一个物体接触表面有相对运动 或相对运动趋势时而受到阻碍的现象，称为摩擦现 象，简称为摩擦。 摩擦分类：静摩擦和动摩擦。 静摩擦 研究表明，当物体处于相对静止时，静摩擦力 由平衡方程确定，其大小随主动力的变化而变化， 并且在如下范围之内：
(2)
列摩擦力的补充方程
F1 f F N1 F N1 tan m (3)
联立 (1)、(2)、(3) 得
F P1 G tan f 1 f tan G tan( m )
第三章
平衡方程的应用
2）求FP的上限FPmax：设FPmax = FP2，这时静摩擦力 F2 的方向应沿斜面向下，取坐标轴如图，列平衡方程
2）取杠杆OAB为研究对象，受力分析，列平衡方程：
M O ( Fi ) 0
i 1
n
F P a F c F N b 0
FP
Gr b ( c) 解得 aR f FP是按临界状态求得的最小值， Gr b FP ( c) 制动鼓轮的力必须满足的条件为 aR f
第三章
平衡方程的应用
1）求FP的下限FPmin：设FPmin = FP1，这时静摩擦力 F1 的方向应沿斜面向上，取坐标轴如图，列平衡方程
F ix 0
n
F iy 0
i 1
i 1 n
F P1 cos G sin F1 0
(1)
F P1 sin G cos F N1 0
F ix 0
n
F iy 0
i 1
i 1 n
F P2 cos G sin F 2 0
摩擦力与重力平衡问题研究物体在竖直方向上受到摩擦力和重力时的平衡条件
摩擦力与重力平衡问题研究物体在竖直方向上受到摩擦力和重力时的平衡条件摩擦力与重力在物体的平衡问题中起着至关重要的作用。
无论是日常生活中的物体放置，还是工程设计中的结构承载，都离不开对物体在竖直方向上的平衡条件的研究。
本文将从摩擦力、重力和物体平衡的角度，对物体在竖直方向上受到摩擦力和重力时的平衡条件进行探讨。
首先，我们来了解摩擦力和重力这两个概念。
摩擦力是由物体接触面之间的相互作用力引起的，它的存在会使物体在运动或停止时受到阻碍。
而重力是地球或其他天体对物体吸引的力，其大小与物体的质量成正比。
在竖直方向上，重力向下作用，摩擦力的方向与运动方向相反。
当物体受到摩擦力和重力时，要实现平衡条件，摩擦力必须等于或大于重力的大小。
如果摩擦力小于重力，物体将受到重力的主导，向下加速运动；如果摩擦力等于重力，物体保持静止；如果摩擦力大于重力，物体受到摩擦力的主导，向上运动。
因此，我们可以总结出物体在竖直方向上受到摩擦力和重力时的平衡条件为：摩擦力≥ 重力接下来，我们来具体分析在不同情况下的物体平衡条件。
一种常见情况是物体放置在斜面上，该情况下物体受到重力和斜面的支撑力，以及摩擦力的作用。
在斜面上，摩擦力的大小与斜面的倾角、物体与斜面间的摩擦系数有关。
当物体受到的斜面支撑力等于或大于重力的分力时，物体将保持平衡。
换句话说，斜面支撑力的大小要大于或等于重力的分力。
另一种情况是物体被挂在绳子上。
在这种情况下，物体受到绳子的拉力，重力和摩擦力（如果存在）。
如果摩擦力存在，平衡条件要求绳子拉力的大小要大于或等于重力和摩擦力的合力。
如果没有摩擦力，则绳子拉力只需大于重力即可实现平衡。
最后，我们来讨论物体受到空气阻力的情况。
当物体在空气中自由下落时，除了重力以外，还有来自空气的阻力作用。
阻力的大小与物体的速度、形状和空气密度有关。
当物体速度足够小，阻力相对较小时，物体受到重力的主导，向下加速运动；当物体速度增大，阻力也随之增大，最终与重力平衡，物体达到稳定速度。
摩擦力对物体的平衡和不平衡力作用
摩擦力对物体的平衡和不平衡力作用摩擦力作为一种重要的力学现象，对物体的平衡和不平衡力起着关键作用。
在本文中，我们将探讨摩擦力的定义、原理以及它对物体平衡和不平衡力的影响。
一、摩擦力的定义和原理摩擦力是指物体相对运动时接触表面之间的相对运动阻力。
它是由于表面粗糙度和分子间吸附力造成的。
摩擦力的大小与物体之间的压力以及材料之间的摩擦系数有关。
摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力两种。
当物体相对运动前，两个接触表面之间的摩擦力被称为静摩擦力；当物体开始相对运动时，两表面之间的摩擦力被称为动摩擦力。
二、摩擦力对物体平衡的作用在物体处于平衡状态时，摩擦力起着平衡力的作用。
当施加的力小于或等于物体所受的摩擦力时，物体将保持静止。
以一个静止的箱子为例，当我们施加一个小于或等于静摩擦力的水平推力时，箱子将保持静止。
这是因为静摩擦力与施加的力力大小相等，使箱子能够保持平衡。
然而，当我们施加一个超过静摩擦力的推力时，物体将开始移动。
这是因为动摩擦力小于静摩擦力，使物体能够克服摩擦力开始移动。
三、摩擦力对物体不平衡力的作用当物体处于不平衡状态时，摩擦力起着重要的作用。
当施加的力大于摩擦力时，物体将受到加速度的影响。
举个例子，当我们推动一个静止的汽车时，摩擦力阻止了汽车的运动。
然而，一旦我们施加足够大的力，超过了静摩擦力，汽车将开始移动，并且当施加的力大于动摩擦力时，汽车将加速。
摩擦力还对物体的运动方向起着影响。
当物体受到一个相对方向相反的力时，称之为逆向的力。
摩擦力可以防止物体在施加力的方向上滑动。
这一点在许多日常生活的场景中也得到了验证，例如开车刹车时车轮的摩擦力将车辆减速。
四、如何减小摩擦力减小摩擦力对许多工程和日常生活中的问题都非常重要。
为了减小摩擦力，可以采取以下方法：1. 使用润滑剂：在两个表面之间加入一些润滑剂可以减少物体之间的摩擦力。
2. 平滑表面：通过磨光或涂覆来使表面变得更加光滑，可以降低物体之间的摩擦力。
昆明理工大学理论力学B练习册题+解答
第一章 静力学公理和物体的受力分析一、是非判断题1.1.1 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ∨ ) 1.1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( × ) 1.1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( × ) 1.1.4 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ∨ ) 1.1.5 两点受力的构件都是二力杆。
( × ) 1.1.6 只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( × ) 1.1.7 力的平行四边形法则只适用于刚体。
( × ) 1.1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ∨ ) 1.1.9 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( × ) 1.1.10 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( × ) 1.1.11 合力总是比分力大。
( × ) 1.1.12 只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( × ) 1.1.13 若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ∨ ) 1.1.14 当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( × ) 1.1.15 静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ∨ ) 1.1.16 静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
( ∨ )1.1.17 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
( × ) 1.1.18 如图1.1所示三铰拱，受力F ，F 1作用，其中F 作用于铰C 的销子上，则AC 、BC 构件都不是二力构件。
( × )二、填空题1.2.1 力对物体的作用效应一般分为 外 效应和 内 效应。
1.2.2 对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ；约束力由 主动 力引起，且随 主动 力的改变而改变。
静力学中的摩擦力与平衡条件
静力学中的摩擦力与平衡条件在我们日常生活和工程领域中，静力学的知识无处不在。
而其中，摩擦力与平衡条件是两个至关重要的概念，它们对于理解物体的静止状态和运动趋势起着关键作用。
首先，让我们来聊聊摩擦力。
简单来说，摩擦力就是当两个物体相互接触并试图相对运动时产生的阻碍这种相对运动的力。
摩擦力的大小和方向取决于多种因素。
摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是指物体还没有开始相对运动时所受到的摩擦力。
它的大小会随着外力的增大而增大，直到达到一个最大值，这个最大值被称为最大静摩擦力。
比如，当我们试图推动一个放在地面上的重物时，如果施加的力较小，重物不会移动，此时物体受到的就是静摩擦力，而且这个静摩擦力的大小与我们施加的力相等，方向相反，从而使物体保持静止。
只有当我们施加的力超过了最大静摩擦力，物体才会开始运动。
动摩擦力则是物体在相对运动时所受到的摩擦力，它的大小通常比最大静摩擦力要小，而且相对稳定。
例如，一个在桌面上滑动的木块，所受到的就是动摩擦力。
那么，摩擦力的大小到底是由什么决定的呢？这主要取决于接触面的粗糙程度、物体之间的压力大小以及材料的性质等。
接触面越粗糙，摩擦力往往越大；物体之间的压力越大，摩擦力也会相应增大。
接下来，我们谈谈平衡条件。
平衡条件是指物体在静止或者匀速直线运动状态下所满足的条件。
在静力学中，一个物体要处于平衡状态，必须满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
合力为零意味着物体所受到的所有力在水平和垂直方向上的分力之和都必须为零。
比如说，一个放在水平地面上的箱子，受到重力竖直向下，地面的支持力竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
如果还有水平方向的拉力或者推力，那么这些力在水平方向上的合力也必须为零，箱子才能保持静止。
合力矩为零则是指对于任何一个点，物体所受到的所有力产生的力矩之和为零。
力矩可以理解为力使物体绕某一点转动的效果。
如果物体受到的力矩不平衡，就会产生转动。
在实际问题中，我们经常需要综合考虑摩擦力和平衡条件来分析物体的状态。
理论力学(哈尔滨工业大学)课件9.3 考虑摩擦的平衡问题(解析法)
3、考虑摩擦的平衡问题 （解析法）
思考：
解有摩擦的平衡问题时，摩擦力是否一定要给出真实的方向？
答案 ：考虑有摩擦的物体平衡问题时，按摩擦力的性质可分为两类
（1）一般平衡问题：摩擦力未达到最大值，可以假定方向。 （2）临界平衡问题：必须给出摩擦力方向。
滑动摩擦和考虑摩擦题，即主动力未知，计算系统平衡（不平衡）
时，主动力需要满足何种条件的问题。通常这类问题的解法是，取系统的临界平衡状
态（考虑摩擦时摩擦力对应的为最大静摩擦力），计算此时的主动力大小，得到主动
力的边界值，然后根据实际情况确定主动力范围，其解通常是在某个范围内。
滑动摩擦和考虑摩擦的平衡问题
D d
FN P A
Fs
FN = 4500N Fs = 866N d = 0.171m
而 Fmax = fsFN = 1800N
故木箱不会滑动；
>
Fs
d >0,
木箱平衡
故又木因箱为不会翻倒。
这一类问题，我们称之为一般平衡问题，即主动力已知，判断系统是否平衡的问 题。通常这类问题的解法是，假设系统平衡，此时物体所受摩擦力为静摩擦力，可 列平衡方程求解，然后验证结果是否与假设相符，相符的话则假设正确；不相符则 说明假设有误，系统处于非平衡态，需要按照非平衡态对应的情况来计算。
y
应该介于二者之间，关键是找出这两个临界值。
解：取重物为研究对象，建立如图坐标系。 假设物块处于往上滑动的临界状态，此时的水平 作用力大小为F1，对应的摩擦力为最大静摩擦力
FN
F1 F max1
O
x
Fmax1，方向斜向下，画出物块受力。
θ P
列平衡方程：
∑ Fx = 0
考虑摩擦时的平衡问题
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 由上可知，静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，大
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.2 滑动摩擦
1. 静滑动摩擦
将重W的物块放在水平面内，并 施加一水平力F（如图）。当力F较小 时，物块虽有沿水平面滑动的趋势， 但仍保持静止状态，这是因为接触面 间存在一个阻碍物块滑动的力Ff 。它 的大小由平衡方程求得，Ff ＝F ，方 向与相对滑动趋势的方向相反。这个 力就是水平面施加给物体的静滑动摩
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题 自锁在工程中有广泛的应用。例如螺旋千斤顶举起重物后不会
自动下落就是一种自锁现象。而在另一些问题中，则要设法避免产 生自锁现象。例如工作台在导轨中要求能顺利滑动，不允许发生卡 死现象（即自锁）。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.4 考虑摩擦时物体平衡问题的解法
方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正 压力（即法向反力）FN成正比，即
Ff ＝ f FN
这就是动滑动摩擦定律，简称动摩擦定律。式中比例常数f称为动摩 擦因数，它的大小除了与接触面的材料性质和物理状态等有关外， 还与物体相对滑动的速度有关。通常不考虑速度变化对f的影响，而 将f看作常量。一般情况下,动摩擦因数f略小于静摩擦因数fs。在精
度要求不高时，可近似认为f≈fs。
目录
平面力系\考虑摩擦时的平衡问题
1.3 摩擦角和自锁
如何分析考虑摩擦时物体的平衡问题
不考虑摩擦力的存在 。但在诸如闸瓦制动 、摩擦轮传动 、螺纹连 接 等 一些 实 际 问题 中 ，摩擦 却 是我 们必 须 要考 虑 的非 常 重要 的 因 素。高等教育出版社出版的中等职业学校新编教材 《 机械工程力
学 》” 就 介 绍 了考 虑 摩擦 时的 平 衡 问题 ，这也 成 为 中职 生 的 一 个
学 术 研 讨
南缸科 技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
０ 年 、１ 年 、２ 年 、３ 年 、４ ｇ五种方案 ，累积产油量与注热水
时 间关 系 曲线 如 图４ 所示 。
改善致密油藏开发效果起到一定作用，但效果不明显。分析原因 认为 ，致密油藏渗透率低 ，热水注不进去，导致温度场波及范围
较 小 如 图６ 所示。
图４ 累积产 油 量与 注热 水 时 间关 系 曲线
由图４ 可 以看 出，随着注热水量的递增 ，累积产油量也是递 增的。当注热水量大于２ 年 时，油量增 加趋于缓慢 。所以最佳注
热 水 量可 选 择 ２ 年 左 右 。分 析 可 知 当注 热 量 较 少 时 ，地 层 热 量 不 能得 到 充 足 的补 充 ，热 水波 及 范 围小 ，达 不到 理 想 的注热 效 果 ， 而注 热 水 量过 多 时 ，注热 效 果提 高 不 明显 。 因此 ，注 热 水 的时长 也有 一 个 最优 值 。
图１
力偶 矩Ｍ 。
学生的解题思路是这样的 ，取物块Ｂ 为研究对 象，画受 力图
如 图２ 所示。
４
这 也 是 一个 临 界 平衡 问题 ，大 多数 学 生 的思 路 是 这 样 的 ： 圆柱 放在 ｖ 形 槽 上 ，转 动 的阻 力 只 有摩 擦 力 ，因此 能转 动 圆 柱 的
考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例1: 小物体A重G =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间
的静摩擦因数fs= 0.3。今在小物体A上施加F =4 N的力,α =30°，试求 作用在物体上的摩擦力。
F
解: 1. 取物块A为研究对象，受力分析如图。
A Ff x
FNAFRA
由式（a）和（d）得 FNB ≤
同时满足条件
Ff ≤ fs FNA （d）
由式（b）和（c）得
FNA
l cos a sin
FNB
fs FNA ,
FNB
≤
fs
l cos a sin
FNB 或
a tan ≤
l
fs
（e）
因 0≤a≤l， 当 a=l 时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯 子不下滑，则人在梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶 端时而梯子不下滑，只需以a = l 代入式（e），得
理论力学
第十讲： 考虑摩擦时物体的平衡问题
主 讲： 王 辉
授课班级：材料成型及控制工程
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前情回顾
平面简单桁架的内力计算（主要的求解方法）
1.节点法：依次选取各节点为研究对象，运用平面汇交力系的平
衡条件求解的方法。（适用于要求求出桁架全部杆件的内力）
例 如图，求桁架各杆的内力。
F
FE
F/2 C
A 30o 30o
B d
F
FA
x
F
作用于支架的主
A
FNA
h
FB
O B FNB
C 动力F 的作用线距圆 柱中心线至少多远
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1. 平衡的临界平衡状态分析
●应用 Fmax= fs FN 作为补充方程 。 ●根据物体的运动趋势来判断其接触处的摩擦力方向，不能任意假设。
在许多情况下其结果是一个不等式或范围。 2.非临界平衡状态分析（平衡范围分析） ● 应用 F ≤fs FN 作为补充方程 。 ● 当物体平衡时，摩擦力F 和支承面的正压力FN彼此独立。
α A
2. 列平衡方程。
y
Fx 0
F cos Ff 0
Ff 3.46 N
FG
Fy 0
FN G F sin 0 FN G F sin
α
Ff
Ax
FN
最大静摩擦力 Fmax fsFN fs G F sin 3.6 N
因为
Ff Fmax
所以作用在物体上的摩擦力为
Ff 3.46 N
摩擦力F的指向可以假定，大小由平衡方程决定。
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例1: 小物体A重G =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间
的静摩擦因数fs= 0.3。今在小物体A上施加F =4 N的力,α =30°，试求 作用在物体上的摩擦力。
F
解: 1. 取物块A为研究对象，受力分析如图。
解得使物块不致下滑的F值
F ≥ tan fs G 1 f tan
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
2.设F 值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax， 受力分析如图。
列平衡方程
Fx 0, F cos Ff Gsin 0
Fy 0, FN G cos F sin 0
Ff Gsin F cos FN G cos F sin
掌握滑动摩擦、滚动摩阻的平衡问题
重点： 考虑滑动摩擦和滚动摩阻平衡问题的求解 难点：考虑滑动摩擦平衡问题的求解 学时安排：2
Theoretical Mechanics
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦时，求解平衡问题的步骤与以前相同，但要特别注意摩擦力的分 析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。
在平衡范围内 0≤ Ff≤ fs FN G sin F cos fs (G cos F sin )
解得使物块不致上滑的力F值
F
将 fs tan f 代入上式得
≤
tan fs 1 fs tan
G
F≤
tan fs 1 fs tan
G
G
tan
f
（b）
3.综合条件（a）和（b），得所求为了维持这物块在斜面上静止不动，在物
维持平衡的最小值Fmin，受力 分析如图。 列平衡方程
Fx 0
Fy 0
F cos Ff Gsin 0 FN G cos F sin 0
Ff Gsin F cos FN G cos F sin
在平衡范围内 0≤ Ff≤ fs FN Gsin F cos fs (G cos F sin)
202.5≥195.5 成立
所以最多可以托住21本书。
F1=fbF F
F1=fkF
mgs mg n
F1=fbF F
F1=fkF
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
思考题 两块相同的竖直板A、B间有质量为m的4块相同的砖，用两个大小均为F的水 平力压住木板，使砖静止不动，则第2块砖对第3块砖的摩擦力为多少？
F
F
1 2 34
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例3一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = 20 cm。假设支架和圆柱之间
的静摩擦因数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力F 的作用线距圆柱中心线至少多 远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
讨论
若 fs = 0.2 , 动摩擦因数 fd= 0.19。求作用在物体 上的摩擦力。
由
Fx 0, F cos Ff 0
得 Ff 4cos30 3.46 N
Fmax fsFN fs G F sin 2.4 N
比较得
Ff Fmax
物体不再处于平衡状态，将水平向右滑动。
Fmax=fs FN
4.总反力
5. 摩擦角
摩擦角的正切=静摩擦因数
6. 摩擦锥
7.自锁 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，则不论这个力
多大，物体总能平衡。
8.滚动摩阻定律
Mr,max=FNδ
第10讲 目录
第四章 摩擦
§4-3考虑摩擦时物体的平衡问题
第10讲的内容、要求、重难点
教学内容：考虑摩擦时物体的平衡问题 教学要求：
a
D
F
F/2 G
30o 30o
B
a
前情回顾 2.截面法：适当的选取一截面，假想把桁架截开，再考虑其中一
部分的平衡，求出这些被截杆件的内力。（适用于计算桁架内某几 个杆件所受的内力）
例 已知：如图，h，a，P，求：4，5，6杆的内力。
1
1
前情回顾
摩擦
1.滑动摩擦
2.极限摩擦
3. 静摩擦力极限摩擦定律
y
FG
α
A
x
Ff
FN
作用在物体上的动摩擦力为
Fd fd FN 0.1912 2.28N
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
例2 在倾角α大于摩擦角f 的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块
在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值的范围。
y
x
解: 取物块为研究对象。
1.设 F 值较小但仍大于
块上所作用水平力F的容许值范围 G tan f ≤ F≤ G tan f
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
讨论题
用双手托一叠书。手施加给书的水平力为F =225 N，手与书之间的摩擦系数 fk=0.45，书与书之间的摩擦系数fb=0.4。如果每本书的重量为0.95 kg，试求最多 能托住几本书。
F
F
考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
解：从外面数第二本书和第一本书之间最可能先滑落，取中间 s = n-2本
书为研究对象。
临界平衡条件：
2fb× F= mg×s
2×0.4×225=0.95×9.8×s
F
F
s=19.33 取s=19本
最后还要验算。加上外面两本书，考虑 手和书之间是否滑落，即：
2fk×F≥21×mg 2×0.45×225≥21×0.95×9.8
理论力学
第十讲： 考虑摩擦时物体的平衡问题
主 讲： 王 辉
授课班级：材料成型及控制工程
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前情回顾
平面简单桁架的内力计算（主要的求解方法）
1.节点法：依次选取各节点为研究对象，运用平面汇交力系的平
衡条件求解的方法。（适用于要求求出桁架全部杆件的内力）
例 如图，求桁架各杆的内力。
F
FE
F/2 C
A 30o 30o