南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷 数学(含附加题)数学参考答案及评分标准

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷

数学试题参考答案及评分标准

第Ⅰ卷（必做题，160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．[]2,4- 2．二 3．6 4．5

5．()2,0 6．

58 7．3

8．252 9．12 10．120,

5⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

11．[)4,+∞ 12．19 13．[]1,11- 14．3ln 2,02⎛⎫

-

- ⎪⎝⎭

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分） 解：（1）由正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入a cos B ＋b cos A ＝c cos A

cos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分

即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．

因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分

因为C 是ⅠABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．

又因为A ，C 是ⅠABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分

（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2

a 2．…………8分

因为BA →·BC →

＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分 所以cos B ＝1

3

．…………12分

因为B Ⅰ(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝22

3．…………14分

16．（本小题满分14分）

解：（1）因为AD Ⅰ平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ， 所以AD ⅠBC ．…………4分

又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC Ⅰ平面ADD 1A 1．…………6分

（2）由（1）知AD ⅠBC ，因为AD ⅠDB ，所以BC ⅠDB ，…………8分 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1Ⅰ平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1ⅠBC ，…………10分

又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ， 所以BC Ⅰ平面BDD 1B 1，…………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1，

所以平面BCC 1B 1Ⅰ平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）

解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，

所以10OA OB AB ===，则3

AOB π

∠=

，所以»10

3

AB π=

，…………2分

所以广场的面积为2211050(1010)10100233

π

π⋅

⋅+=+-

答：广场的面积为

501003

π

+-6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=， 则2220sin AD DG OK α===，…………8分 由余弦定理得2

2

2

2cos OD OA AD OA AD α=+-⋅

221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22

α

αααα-=+-⨯⨯=+⨯

-

230045)1)α=-+≥o ，…………12分

所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o

时取等号，

所以201)OA OB OC OD +++≤+=

因此求4条小路的总长度的最小值为

答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）

解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)． 依题意，c a ＝12，且a 2

c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．

故b 2＝a 2－c 2＝3．

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1．…………4分

（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 22

3

＝1．

两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2

x 1＋x 2＝0，

所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝3

2

． …………8分

（3）由题意，S 1S 2＝32，即1

2·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝1

2

，…………10分

所以→NF ＝2→FM ．

代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1

y 2＝－2y 1

．…………12分

又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧

x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)2

3

＝1

，解得⎩

⎨⎧x 1＝7

4

y ＝38 5．

所以M 的坐标为(74，35

8)．…………16分

19．（本小题满分16分）

解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1

x ＋1，

此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)， 代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分

（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －a

x 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．

Ⅰ当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，1

2)上为增函数，

则g (x )在区间(0，1

2

)上无最小值．…………4分