九年级数学下册第3章圆3.9弧长及扇形的面积导学案新版北师大版
九年级数学下册 第三章 圆 3.9 弧长及扇形的面积教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年
9 弧长及扇形的面积【教学目标】知识技能目标:让学生通过自主探索来认识扇形,掌握弧长和扇形面积的计算公式,并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.过程性目标:让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程,培养学生自主探索的能力;在利用弧长和扇形面积公式解题中,培养学生应用知识的能力,空间想象能力和动手画图能力.情感态度目标:通过对弧长和扇形面积公式的自主探究,让学生获得亲自参与研究探索的情感体验.【重点难点】重点:探索n°的圆心角所对的弧长l=,扇形面积S=和S=l R的计算公式.难点:应用公式解决相关问题【教学过程】一、创设情境在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的一端拴着一只狗.(1)这只狗的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少?(2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角,那么它的最大活动区域有多大?这个区域的边缘长是多少?二、探究归纳探索弧长公式提出以下3个问题:如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?探索扇形面积公式(1)观察与思考:怎样的图形是扇形?(2)扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢?(3)讨论如何求扇形的面积?圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少?圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少?例题学习例:制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果用含π的式子表示).问题:比较扇形面积与弧长公式,你能用弧长表示扇形面积吗?三、交流反思师生以谈话交流的形式,围绕如何推导弧长和扇形面积公式这两个问题,共同总结本节课的学习收获.另外也可以从知识、方法、情感三方面加以小结,特别是适当的鼓励和评价,体现教师与学生的情感交流.四、检测反馈1.已知扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120°,则此扇形的弧长为________cm.2.已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB为120°,弓形的弦AB长为12,则这个弓形的面积为________.3.已知,如图,AC是☉O的直径,AB,BD是弦,AC⊥BD于F,∠A=30°,OF=cm,求图中阴影部分的面积.五、布置作业课本P102 习题3.11 1,2,3六、板书设计9 弧长及扇形的面积1.问题探究:2.归纳公式:3.应用练习:例题七、教学反思本课是一节新授课,在教学中不能把知识的结果强加于学生,虽然应用直观形象的手段,让学生经历了知识的生成过程,但因学生水平的差异,在应用弧长和扇形面积公式时有部分人混淆方法.在结论的应用上,设计了例题和练习.练习仅仅是两个扇形面积公式的简单应用,例题对扇形面积公式的应用加深了一点难度,但经过教师的指导,学生的分组讨论,都得到了圆满的解决.另外还需注意引导学生把实际问题抽象成数学问题,渗透数学建模思想;解题时,不能写出完整的解题过程,不会用几何语言进行描述.在以后的教学中要有意的进行培养和加强练习.。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.9弧长和扇形的面积 精品导学案(附答案)
九年级数学下册第三章3.9弧长和扇形的面积导学案班级：_____________姓名：_____________家长签字：_____________一、学习目标1．认识扇形，理解弧长和扇形面积公式，会准确计算弧长和扇形的面积。
2．通过弧长和扇形面积公式的发现与推导，培养探究新知的能力。
3、运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积二、温故知新1、小学里学习过圆周长的计算公式、圆面积计算公式，那公式分别是什么？2、如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做__________ 下图中扇形有几个？__________三、自主探究：阅读课本p100—101探究（一）弧长公式1、在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？2、在半径为R的圆中，圆周长C=______,圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
……n°的圆心角所对的弧长是_______。
归纳：在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:_____________.探究（二）扇形面积公式在半径为R的圆中，圆面积S=___________,圆的面积可以看作______度圆心角所对的扇形的面积；1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
归纳：在半径为R的圆中, 圆心角为n°的扇形面积的计算公式为:_____________比较扇形面积公式和弧长公式,如何用弧长表示扇形的面积?归纳：用弧长l 与半径R 表示扇形的面积S=___________例1. 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的周长和面积四、随堂练习1.已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
北师大版初中数学九年级下册3.9弧长及扇形的面积导学案
16题图课题9弧长及扇形的面积基础知识1. 弧长公式 圆心角为半径为R 的弧长为： .1. 扇形定义：由组成圆心角的和圆心角所对的 所围成的图形叫做扇形.3.扇形面积公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：= .基础训练1.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则的长为 ．2.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留）3.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是_____4.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．5.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB 的面积为．6.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)．7.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．8.如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，弧AB的度数与弧CD 的度数和是180°，那么图中阴影部分的总面积是多少？AB9.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 是边AC 上的一点，连接BD ，使∠A =2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D .（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A =60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）10.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为多少？A.6B.7C.8D.9第22题图。
北师大版九年级下册数学3.9《弧长及扇形的面积》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用软尺和圆规测量并计算一个给定圆心角的弧长。
举例：
难点1：当给出一个圆和其上的一个圆心角时，学生需要理解如何计算这个圆心角所对的弧长。
难点2：在计算扇形面积时，学生需要理解如何的计算公式。
难点3：在解决实际问题，如计算一段河流的弯曲长度或计算不规则图形的面积时，学生需要学会如何将问题简化为弧长或扇形面积的求解问题，并正确运用相关公式。
其次，在讲授弧长和扇形面积的计算公式时，我尽量用简洁明了的语言进行解释，并通过举例来帮助学生理解。但实践证明，仍有部分学生在运用这些公式时出现错误。我意识到，除了讲解公式推导过程外，还需要加强学生的实际操作练习，让他们在实际问题中反复运用这些公式，从而提高他们的计算准确性和解题能力。
此外，在课堂讨论环节，我发现学生们对于弧长和扇形面积在实际生活中的应用表现出浓厚的兴趣。他们积极思考，提出了很多有创意的想法。这说明学生们对于数学知识的应用有着很高的热情。在今后的教学中，我应多设置一些与实际生活紧密相关的题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.9《弧长及扇形面积》是本节课的主要内容。
教材从学生已有的知识出发，通过引入实际问题，引导学生探究弧长和扇形面积的计算方法。
本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，不仅为学生学习圆的周长和面积打下基础，而且对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析和动手操作来理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.难点：理解弧长和扇形面积的计算原理，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关实例和图形。
2.练习题：准备一些有关弧长和扇形面积的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：圆规、直尺等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与圆相关的实际问题，如自行车轮子的周长、篮球场的半径等，引导学生思考这些问题与弧长和扇形面积的关系。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍弧长和扇形面积的计算方法。
引导学生观察和分析弧长和扇形面积的计算过程，让学生动手操作，加深对知识的理解。
北师大版九年级数学下册精品教案 3.9 弧长及扇形的面积
3.9弧长及扇形的面积1．了解扇形的概念，理解n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR 180和扇形面积S 扇＝n πR 2360的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)一、情境导入如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3.14)?我们容易看出这段铁轨是圆周长的14，所以铁轨的长度l ≈2×3.14×1004＝157(米).如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？二、合作探究探究点一：弧长公式【类型一】求弧长如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为()A.π4cmB.7π4cmC.7π2cm D ．7πcm 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得R ＝72cm ，则“蘑菇罐头”字样的长＝90π×72180＝7π4(cm)．故选B.方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用弧长公式求半径或圆心角(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π2，则该扇形的半径是________；(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π3，那么此扇形的圆心角的大小为________．解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π2，解得R ＝2；(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题与第4题【类型三】圆的切线与弧长公式的综合如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)当BC ＝4，AB ＝8时，求劣弧AC 的长．解析：(1)连接BC ，由AB 是⊙O 的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB ＝90°，又由∠EAC ＝∠D ，则可得AE 是⊙O 的切线；(2)首先连接OC ，易得∠ABC ＝60°，则可得∠AOC ＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC 的长．(1)证明：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.又∵∠EAC ＝∠D ，∠B ＝∠D ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线；(2)解：如图，连接OC ，∵△ABC 是直角三角形，∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝48＝12，∴∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠AOC ＝120°.∴劣弧AC 的长＝120·π×4180＝8π3.方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．探究点二：扇形的面积公式【类型一】求扇形面积一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π360＝3π.故答案为3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】求阴影部分的面积如图，扇形AOB 中，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分的面积是()A.4π3－23B ．2π－23C.4π3－3D.2π3－3解析：连接OC ，过O 作OM ⊥AC 于M ，∵∠AOB ＝120°，C 为AB ︵中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ＝2，∴△AOC 、△BOC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝OA ＝2，AM ＝1，∴△AOC 的边AC 上的高OM ＝22－12＝3，△BOC 边BC 上的高为3，∴阴影部分的面积是(60π×22360－12×2×3)×2＝4π3－2 3.故选A.方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】求不规则图形的面积如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为()A ．4π－2B ．2π－2C ．4π－4D ．2π－4解析：连接AB ，由题意得阴影部分面积＝2(S 扇形AOB －S △AOB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.故选D.方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题三、板书设计弧长及扇形的面积1．弧长公式：l ＝n πR 1802．扇形的面积公式：S 扇形＝n πR 2360＝21lR本节课的授课思路是：复习圆周长公式，推出弧长公式，由圆面积公式类比导出扇形面积公式．使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的主动发展.。
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教案1
北师大版九年级数学下册：3.9《弧长及扇形面积》教案1一. 教材分析《弧长及扇形面积》是北师大版九年级数学下册第3.9节的内容。
本节主要让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，理解弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
这一内容在数学中占有重要地位，对于学生理解圆的相关概念和解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的相关概念有一定的了解。
但是在计算弧长和扇形面积方面，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对不同程度的学生进行引导和帮助。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的计算方法。
2.掌握弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
3.能够运用弧长和扇形面积的计算方法解决实际问题。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.弧长和扇形面积的计算方法。
2.理解弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备课件和教学素材。
3.准备练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些与圆相关的实际问题，引导学生思考弧长和扇形面积的概念及计算方法。
2.呈现（10分钟）讲解弧长和扇形面积的计算方法，引导学生理解弧长和半径、圆心角之间的关系，以及扇形面积和半径、弧长之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析案例，运用弧长和扇形面积的计算方法解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对弧长和扇形面积计算方法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）引导学生思考弧长和扇形面积在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案1 (新版)北师大版
课题：3.9.弧长及扇形的面积教学目标：1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.培养学生的探索能力.2．理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．训练学生的数学应用能力.3.使学生了解计算公式的同时，体会公式的变式，使学生养成独立思考、合作交流的良好学习习惯,形成良好的数学品质.教学重点和难点：重点：会利用弧长及扇形面积公式解决问题．难点：探索弧长及扇形面积计算公式；利用公式解决问题．教具准备：老师制作多媒体课件．教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1：同学们，春天到了，春季运动会也将在近期举行．很多同学是不是跃跃欲试呢．在运动会中你认为最精彩，最让人兴奋的项目是什么？（赛跑、掷铅球、跳高等）问题2：在田径200米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？（学生疑惑不解）带着这样的疑问，让我们一起走进今天的学习．（教师板书课题:3.9弧长及扇形面积）设计意图：从学生熟悉的200米运动员的起点位置引入本课，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会到生活处处有数学，数学来源于生活这一事实．这也为新课的学习做好铺垫．二、探究学习，感悟新知复习回顾：（多媒体出示问题）1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？2.什么叫圆心角？圆的圆心角多少度？学生思考后回答：1.若圆的半径为R，则周长l＝2πR，面积S＝πR2;2.圆的圆心角是360°．我们知道弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算呢?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?下面我们就来一起探索弧长及扇形的面积公式，并应用它们来解决一下简单的实际问题.探究活动1：弧长的计算公式（多媒体出示问题）如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．(2) 因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的1360.所以，传送带上的物品A 被传送2036018ππ=cm ． (3) 转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送转l°时传送距离的n 倍．所以， 传送带上的物品A 被传送n ×2036018n ππ=cm ． 根据上面的计算，你能探讨出在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．学生讨论交流,各抒己见.然后总结得出：360°的圆心角对应圆周长为2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为2360180R R ππ=，n °的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即n ×180180Rn R ππ=．也就是，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式我们发现，弧长公式与半径R 、圆心角n 有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流,然后尝试回答).因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.这样我们将“200米弯道跑”的问题就转化长为“弧长”的问题了，请同学们认真体会这种转化思想的应用.处理方式：学生讨论交流，在练习本上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时予以引导，让学生通过自主探究、合作交流归纳总结出弧长的计算公式，并通过对问题情境例子的解释，加深对公式的理解.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对弧长计算公式从感性认识上升到理性认识．先从一般到特殊，再从特殊到一般，利用圆的周长公式推导出弧长的计算公式，在这一过程中让学生再次感受弧长与圆的周长公式的密切关系．下面我们来看弧长计算公式的运用（多媒体出示例1）．例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB 的长(结果精确到0．1 mm)．分析：要求管道的展直长度．可以将实际问题转化成数学问题.管道的展直长度即弧AB 的长，已知R ＝40mm ，n =110°，因此根据弧长公式l ＝180n R π，可求得弧AB 的长．（ 学生板书计算过程）解：∵R ＝40mm ，n =110°．∴弧AB 的长l =180n πR =110180×40π≈76．8 mm ． 因此，管道的展直长度约为76．8 mm ．巩固训练一：1.在直径为24cm 的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）A.24πcmB.12πcmC.10πcmD.5πcm2.若圆的半径为6cm ，长为8π的弧长所对的圆心角为_______度.3.长为6.28cm 的弧所对的圆心角是60°，则该弧所在圆的半径为_______.（π取3.14） 设计意图：让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系密切，熟练公式的应用．实物投影展示解题过程的同时，规范学生的书写．探究活动2：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大?（学生先独立思考，然后讨论交流,最后由各组的组代表展示讨论的成果．教师予以鼓励和肯定.）解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π.(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应圆面积的1360，即1360×9π=40π，n °的圆心角对应的圆面积为n ×40π=40n π． 由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？学生讨论交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，1°的圆心角对应的扇形面积为2360R π，n °的圆心角对应的扇形面积为n ·2360R π=2360n R π．R 为扇形的半径，n 为圆心角． 下面我们就来利用扇形的面积计算公式解决一些简单的问题. （多媒体出示例2） 例2 扇形AOB 的半径为12 cm ，∠AOB ＝120°，求弧AB 的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)（4分钟时间思考并板书，加强对公式的记忆与应用）安排学生独立在练习本上完成题目，并安排一名学生板演.学生完成后，老师予以讲评. 解：弧AB 的长l =120180π×12=8π≈25.1cm ： S 扇形=120360π×122=48π≈150.7 cm 2． 因此，弧AB 的长约为25.1 cm ，扇形AOB 的面积约为150.7 cm 2．巩固训练二：1．已知扇形的圆心角为120°且半径为3，则弧长=_____，扇形面积=_______.2．如图，纸扇的最大张角为120°，尺寸如图所示，制作这样的纸扇至少要多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果用π表示）3．如图，正三角形ABC 的边长为2，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，以A 、B 、C 三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是_______.(2)题图4．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π处理方式：让学生先根据多媒体展示的例2解题过程，理解弧长及扇形面积计算公式.然后让四名同学板演巩固训练的题目，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时强调，如：第2题纸扇有两面算时忘了乘以2了；弧长及扇形面积计算公式中n 不带单位“度”了等．设计意图：引导学生自己根据已有的知识推导公式．通过引例初步掌握如何解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示课本问题，让学生及时巩固解决实际问题的方法.并能积极进入探究过程．第4题第3题 第2题探究活动3：扇形面积计算公式（多媒体出示问题）上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n°的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n 和半径R ，因此，l 和S 之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．（学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流）解∵l =180n πR ，S 扇形=360n πR 2， ∴360n πR 2=12R ·180n πR ．由此，你能发现扇形面积类似于三角形的面积的计算公式吗？（能）若已知圆心角和半径，选择S 扇形＝360n πR 2，若知道弧长和半径，选择S 扇形=12lR ． 在例2中，计算出弧AB 的长后，我们还可以选择S 扇形=12lR 计算扇形AOB 的面积, 即S 扇形=12lR =12×8π×12≈150.7 cm 2． 巩固训练3：(1)已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为 ．(2)已知扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为_______.处理方式：让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，通过整体代入的方法推导出扇形的第二个面积计算公式，并让学生类似于三角形的面积的计算公式加以记忆.对于巩固训练可以让两名同学板演，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时予以强调．设计意图：由于少部分学生对扇形的第二个公式的掌握仍有些困难，因此，在探讨公式后，让学生直接再利用公式确定问题的答案，这样可以让部分学生恢复解题的自信心，从而提高解题的积极性和主动性.五、回顾反思，提炼升华同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、达标检测，反馈提高通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请迅速完成本节课的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1．已知扇形的圆心角为60°，且半径为5，则扇形的弧长为（ ）A ．5πB ．53πC ．πD ．56π 2．如果一个扇形的半径是2，弧长等π，那么此扇形的圆心角的大小是（ ）A ． 45°B ． 60°C ．90°D ．120°3．已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm ，则扇形的面积为 ．4.如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）4题图4题图 5题图5．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠AC B=90°，AB=2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 . B 组：6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2.将△ABC 绕顶点A顺时针方向旋转至△AB ′C ′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为 .6题图 7．如图所示，AC 与O ⊙相切于点C ，线段AO 交O ⊙于点B ．过点B 作BD AC∥7题图 D C E O交O ⊙于点D ，连接CD OC 、，且OC 交DB 于点E ．若30CDB DB ∠=︒=，．（1）求O ⊙的半径长；（2）求由弦CD BD 、与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，课堂延伸必做题：课本第102页，习题3.11 第1题 第2题 第3题 第4题．选做题：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 ．【分析】先作出辅助线，即连接OD ．然后根据题意利用等积转化将△OD F 的面积转化为△BCD 的面积，将弓形DE 的面积转化为弓形BC 的面积，从而将阴影部分的面积转化为扇形BOD 面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．解：连接OD ，根据题意可知S △OD F=S △BCD, S 弓形DE=,S 弓形BC,∴S 阴影=S 扇形BOD =π．【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是利用等积转化将阴影部分的面积转化为扇形BOD 面积，然后利用扇形的面积公式即可求得阴影部分的面积．题目比较好，难度适中．设计意图：必做题供全体学生巩固弧长及扇形面积公式；选做题供学有余力的学生完成，训练学生灵活运用公式解决实际问题的能力，拓宽学生的知识面．板书设计：。
九年级数学下册第3章圆3.9弧长及扇形的面积教案新版北师大版
《弧长及扇形的面积》◆模式介绍“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．探究式教学通常包括以下五个教学环节：创设情境启发思考探究问题形成结论巩固提高◆设计说明首先通过问题1回顾圆的周长和面积公式以及圆心角的概念，为本节探究弧长及面积公式打下知识基础；问题2通过拴狗这个实际问题来激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望；问题3层层推进的问题串，引导学生得出弧长公式；问题4让学生初步感知扇形的面积与扇形所在的圆的半径和扇形的圆心角的定性关系，为进一步探究扇形的面积公式作准备．问题5设计的引导问题逐步探究得出扇形的面积公式．最后通过例、习题的巩固，突出了弧长和扇形面积公式的运用．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第9节《弧长及扇形的面积》的教学内容，是在学生学习了圆的有关性质、与圆有关的位置关系、圆内接正多边形的相关知识之后继续学习《圆》这章的最后一部分内容．在此之前，学生已经掌握了弧、圆心角等圆的相关概念以及圆的周长和面积公式等知识，这些知识为本节课探究圆的弧长公式及扇形的面积公式打下了坚实的基础．弧长和扇形面积是在小学学过的圆周长、圆的面积公式的基础上推导出来的，应用这些公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积．这些计算是几何中中基本的计算，在日常生活中也经常用到，运用这些知识可以解决生产和生活中的许多实际问题．本节内容是圆的有关计算中的一个重要问题，是学习圆锥的侧面展开图的基础，也是高中进一步学习弧长公式和扇形面积公式的基本内容.◆教学目标知识与能力目标1、探索并掌握弧长的计算公式和扇形的面积计算公式；2、会计算圆的弧长和扇形的面积，并会应用公式解决问题．过程与方法经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．情感态度与价值观引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生的空间观念，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．◆ 教学重难点教学重点弧长及扇形的面积公式．教学难点探索弧长及扇形面积的计算公式．◆ 课前准备多媒体课件、教具等．◆ 教学过程创设情境问题1 ⑴若圆的半径为r ，则圆的周长等于什么？⑵若圆的半径为r ，则圆的面积等于什么？⑶什么叫圆心角？一个圆的圆心角是多少度？归纳：⑴若圆的半径为r ，则周长2l r π=；⑵若圆的半径为r ，面积2S r π=；⑶顶点在圆心，两边都与圆相交的角称之为圆心角，圆的圆心角是360°．问题2 在一块空旷平坦的草地上拴着一只狗，拴狗的绳长为3m .(1)这只狗的最大活动区域呈什么图形？它的面积是多少？这个图形的周长是多少？ ⑵如果这只狗拴在夹角为90°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？设计意图：通过问题1回顾圆的周长和面积公式以及圆心角的概念，为本节探究弧长及面积公式打下知识基础；问题2通过拴狗这个实际问题来激发学生学习兴趣，引发学生进一步探究的欲望．启发思考问题3 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm .(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米?(3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米?答案：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送的长度是一个圆周长，即10220ππ⨯⨯=(厘米)；(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送一个圆周长的三百六十分之一，即2036018ππ=（厘米）； (3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送的长度是18n π（厘米）． 结论：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长R C π2=，所以1°的圆心角所对的弧长是3602R π，即180R π．于是n °的圆心角所对的弧长为180R n l π=． 设计意图：通过问题3层层推进的问题串，引导学生得出弧长公式.问题4 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．观察图形，回答下列问题：(1)扇形所在的圆的半径越大，扇形面积将怎样变化？(2)扇形的圆心角越大，扇形面积又将怎样变化？(3)由此可知，扇形面积与哪些因素有关？设计意图：通过问题4让学生初步感知扇形的面积与扇形所在的圆的半径和扇形的圆心角的定性关系，为进一步探究扇形的面积公式作准备．探究问题问题5 怎样计算圆半径为R ，圆心角为n °的扇形面积呢？引导：想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n °的圆心角呢？在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2S R π=，所以1°的扇形面积是2360R π，于是圆心角为n °的扇形面积是2360n R S π=扇形． 设计意图：通过问题5的引导逐步探究得出扇形的面积公式．形成结论圆的弧长公式：n °的圆心角所对的弧长为180R n l π=． 扇形的面积公式：圆心角为n °的扇形面积是2360n R S π=扇形． 半径为R 的圆的弧长l 及对应扇形面积S 之间的关系：2lR S =． 巩固提高 例1 制造弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ）．解：R =40mm ，n =110，所以AB 的长1104076.8180180n R ππ⨯⨯==≈（mm ）． 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．例2 扇形AOB 的半径为12cm ，∠AOB ＝120°，求AB 的长(结果精确到0.1cm )和扇形AOB 的面积(结果精确到0.12cm )解：AB 的长＝120180π×12≈25.1cm ． 212012150.7360S π⨯=≈扇形（2cm ）． 因此，AB 的长约为25.1cm ，扇形AOB 的面积约为150.72cm ．学生练习 课本101页随堂练习第1题、第2题．课堂小结：今天学习了什么？有什么收获？本节课应该掌握：1、弧长的计算公式．2、扇形的面积公式．3、弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．布置作业：1、教科书习题3.11第1题、第2题．（必做题）2、教科书习题3.11第3题、第4题．（选做题）◆教学反思略．。
3 9弧长和面积导学案 北师大版数学九年级下册
第三章圆3.9 弧长及扇形的面积【学习目标】：1.让学生通过自主探索来认识扇形，掌握弧长和扇形面积的计算公式，并学会运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.2.让学生经历弧长和扇形面积公式的推导过程，培养学生自主探索的能力.【学习重点】：掌握弧长和扇形面积的计算公式.【学习难点】：运用弧长和扇形面积公式解决一些实际问题.【学习过程】：一、预学：1、提出问题，创设情境问题（1）：半径为R的圆，周长是多少？面积是多少？2、目标导引，预学探究问题（2）：在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为扇形面积的计算公式是：问题（X）：二、研学（合作发现，交流展示）探究一：弧长的计算1.如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?（2）转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?（3）转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?2.归纳：在半径为R的圆中, n°的圆心角所对的弧长的计算公式为3. 制作弯形管道时,需要先按中心计算“展开长度”再下料.试计算图所示的管道的展直长度,即弧AB的长(结果用含π的式子表示).探究二：扇形面积的计算1.在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m 的绳子，绳子的一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗拴在夹角为1°的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？（3）如果这只狗拴在夹角为n °的墙角 ，那么它的最大活动区域有多大？2.归纳：如果扇形的半径为R , 圆心角为n °，那么扇形面积的计算公式为3.比较扇形面积与弧长公式, 你能用弧长表示扇形面积吗？4. 扇形AOB 的半径为12cm, ∠AOB=120°,求AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)。
探究X ：总结归纳：1. 弧长和扇形面积公式是什么？ 2.分析用公式计算时需要知道的量。
北师大版九年级下册数学第三章 圆3.9 弧长及扇形的面积导学案
3.9 弧长及扇形的面积目标导航1、 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题．2、弧长计算公式及理解，弧长公式180n Rl π=，其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是3601×2πR ，即180R π，可得半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长180n Rl π=．3、圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的3601，所以圆心角是n °的扇形面积是S 扇形=360n πR 2．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R 带平方，分母为360；而弧长公式中半径R 不带平方，分母是180）．已知S 扇形、l 、n 、R 四量中任意两个量，都可以求出另外两个量．扇形面积公式S 扇=12lR ，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了． 基础过关1．半径为9cm 的圆中，长为12πcm 的一条弧所对的圆心角的度数为______；60°的圆心角所对的弧的长为________．2．弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料． 根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为_______．（单位：mm ，精确到1mm ）．100︒R120180CBA 'C 'CBA2题图 3题图 5题图 3．设计一个商标图形（如图所示），在△ABC 中，AB =AC =2cm ，∠B =30°，以A 为圆心，AB 为半径作BEC ，以BC 为直径作半圆BFC ，则商标图案面积等于________cm 2． 4．扇形的弧长为20cm ，半径为5cm ，则其面积为_____．5．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC △ABC 绕点B 旋转至△A ′BC ′的位置，且使点A ，B ，C ′三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是______cm ． 6．如图，扇形AOB 的圆心角为60°，半径为6cm ，C 、D 分别是AB 的三等分点， 则阴影部分的面积是________．OCDBAGA 32A 1F E CD BA6题图 8题图 9题图7．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，一小朋友荡该秋千时， 秋千最高处踩板离地面2米（左，右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（ ）A ．π米B ．2π米C ．43π米D ． 32π米8．如图的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只上虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行， 则下列结论正确的是（ ）A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定 9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm ，当重物上升10cm 时， 滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（ ）A ．115°B ．60°C ．57°D ．29°10．一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2，那么扇形的圆心角是（ ）A ．120°B ．150°C ．210°D ．240°11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为（0，，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA =30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2π-B．4πC．4π-D．2πx11题图 12题图 12．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2，以BC 为直径的圆交AC 于点D ， 则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．12π+C ．1D ．24π-13．已知，一条弧长为cm，它所对的圆心角为120°，求这条弧所对的弦长．14．如图是一把绸扇，线段AD、BC所在的直线相交于点O，AB与CD是以点O为圆心、半径分别为10cm，20cm的圆弧，且∠AOB=150°，这把绸扇的绸布部分ADCB的面积是多少?（不考虑绸布的折皱，结果用含π的式子表示）CDBA能力提升15．如图，已知⊙O半径为8cm，点A为半径OB延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，BC的长为209πcm，求线段AB的长（精确到0.01cm）．OCBA16．如图是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并与外圆交于A、B两点，测量结果为AB=30cm，求管道阴影部分的面积．BA17．一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料，如图所示，现找出其中一种，测得∠C =90°，AC =BC =4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成形状不同的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切， 请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并直接写出扇形的半径．C A聚沙成塔如图，正△ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120 °至AP 1， 形成扇形D 1；将线段BP 1绕点B 顺时针旋转120°至BP 2，形成扇形D 2；将线段CP 2绕点C 顺时针旋转120°至CP 3，形成扇形D 3；将线段AP 3绕点A 顺时针旋转120°至AP 4，形成扇形D 4，…… 设n l 为扇形n D 的弧长（n =1，2，3…），回答下列问题： （1）按要求填表：（2）根据上表所反映的规律，试估计n 至少为何值时，扉形n D 的弧长能绕地球赤道一周?（设地球赤道半径为6400km ）．D 4D 3D 2D 1P 4P 3P 2P 1CBA。
九年级数学下册第三章圆3.9弧长及扇形的面积教案新版北师大版
3.9 弧长及扇形面积教学目标1．知识与技能：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．2．过程与方法：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力；了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．3．情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．教学重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．教学难点探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题．教学设计一、创设问题情境，引入新课如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗？上面求的是的圆心角90°所对的弧长，若圆心角为n°，如何计算它所对的弧长呢？本节课我们将进行探索．二、新课讲解1．复习（1）圆的周长如何计算？（2）圆的面积如何计算？（3）圆的圆心角是多少度？（若圆的半径为r，则周长l=2πr，面积S=πr2，圆的圆心角是360°．）2．探索弧长的计算公式根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：下面我们看弧长公式的运用．3．例题讲解例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算下图中管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）．4．解决问题如右图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？（2）转动轮转l°，传送带上的物品A被传送多少厘米？（3）转动轮转°，传送带上的物品A被传送多少厘米？三、探索研究1．想一想在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．（1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过°角，那么它的最大活动区域有多大？得结论：如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径是r，那么扇形面积计算公式为2．弧长与扇形面积的关系我们探讨了弧长和扇形面积的公式．在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为，°的圆心角的扇形面积公式为，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角．半径R有关系，因此和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．得结论：扇形的面积公式还尅表示为：3．扇形面积的应用例2：扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求的长（结果精确到0.1 cm）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1cm）．4．随堂练习：（1）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是12cm，其中水面高6cm，求截面上有水部分的面积．（精确到0.01cm）．变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积．（精确到0.01cm）．（2）如图某田径场的周长（内圈）为400m 其中两个弯道内圈（半圆形）共长200m 直线段共长200m 而每条跑道宽为1m（共6条跑道）①内圈弯道的半径为多少米？（结果精确到0.1m）②一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？（结果精确到0.1米）（3）如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC∥OA，连结AC，则阴影部分面积等于．四、课时小结本节课学习了如下内容：1、探索弧长的计算公式，并运用公式进行计算；2、探索扇形的面积公式，并运用公式进行计算；3、探索弧长及扇形的面积公式时所运用的方法五、反思与提高。
九年级数学下册3.9弧长及扇形的面积课时教案新版北师大版2
3.9 弧长及扇形的面积一、教学目标1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力.二、课时安排1课时三、教学重点经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.四、教学难点了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力.五、教学过程（一）导入新课1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？2.什么叫圆心角？（二）讲授新课探究1：我们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m.这个圆的周长与面积是多少呢？（结果精确到0.01）答案：周长约是6.71m，面积约是3.58㎡（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是多少？ 1°的圆心角所对的弧长是（）。
（2）n°的圆心角所对的弧长是多少？答案：（1）2360180R R ππ=；（2）n °的圆心角所对的弧长是2360180R n Rn ππ⋅= 探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗. （1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？揭示新知：如果扇形的半径为R ，圆心角为n °，那么扇形面积的计算公式为S 扇形= . 比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？S 扇形= l , 明确：2360n R π；180n l R π= 活动2：探究归纳在进行弧长或扇形面积计算时要注意下列问题： （1）公式中n 表示1°的圆心角的倍数；（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算. （3）题设没有标明精确度的，结果可以用π表示. （三）重难点精讲例1.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长(结果精确到0.1mm).解：R=40mm ， n=110， ∴ AB 的长=n R 180π11040180π=⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm.例2.扇形AOB 的半径为12cm ，∠AOB= 120°，求AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2).解：AB 的长=12012180π⨯≈25.1（cm ）. S扇形=212012360π⨯≈150.8（cm 2）.因此，AB 的长约为25.1cm ，扇形AOB 的面积约为150.8cm 2. （四）归纳小结1.弧长计算公式是什么？180nl R π=2.扇形的面积计算公式是什么？2360n S R π=扇形；12S lR =扇形 3.较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形的面积的和或差进行计算. （五）随堂检测1.（常德·中考）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”. 则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A ．πB ．1C ．2D ．23π2.（杭州·中考）如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（ ）A ．48πB ．24πC ．12πD ．6π3.如图，⊙O 及两个半径为1的⊙O 1和⊙O 2两两外切，切点分别为 A ，B ，C ，且∠O=90°，则AB BC CA ++的长为 （ ）2π B.22 C.2214π D.2π4．（聊城·中考）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（ ）对应的圆心角（∠AOB ）为120º，AO 的长为4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．16(2)3π+cm 2 B ．8(2)3π+ cm 2 C ．16(23)3π+ cm 2 D ．8(23)3π+ cm 25.（临沂·中考） 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 【答案】 1. 答案：C 2. 答案：B 3. 答案：B 4. 答案：C 5. 答案：A 六．板书设计3.9 弧长及扇形的面积1.弧长计算公式是180nl R π=2.扇形的面积计算公式是2360n S R π=扇形；12S lR =扇形例题1：例题2：七、作业布置课本P101练习1、2练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角【答案】C【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．故选C．2．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞0【答案】C【解析】利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．故选：C．3．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144【答案】D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 4．已知5a =，27b =，且a b a b +=+，则-a b 的值为（ ） A ．2或12 B ．2或12-C ．2-或12D ．2-或12-【答案】D【解析】根据a =5，2b =7，得a 5,b 7=±=±，因为a b a b +=+，则a 5,b 7=±=，则-a b =5-7=-2或-5-7=-12. 故选D.5．如图，点A 是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是（ ）A ．3B ．﹣3C ．6D ．﹣6【答案】D【解析】试题分析：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB =S △CAB =3，而S △OAB =|k|，∴|k|=3，∵k ＜0，∴k=﹣1．故选D ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．6．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．y=2n+1B ．y=2n +nC ．y=2n+1+nD ．y=2n +n+1【答案】B【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n ， 右边三角形的数字规律为：2，，…，，下边三角形的数字规律为：1+2，，…，，∴最后一个三角形中y 与n 之间的关系式是y=2n +n. 故选B ． 【点睛】考点：规律型：数字的变化类．7．如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解，且关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣2 B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】解关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程1311a xx x --=++有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，可整理得242y a y +⎧⎨<-⎩ ∵该不等式组解集无解， ∴2a+4≥﹣2 即a≥﹣3 又∵1311a x x x --=++得x ＝42a -而关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解 ∴a ﹣4＜1 ∴a ＜4于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数 ∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3 则符合条件的所有整数a 的和为1． 故选B ． 【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．8．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而将3x=4y 代入即可得．【详解】解：∵原式=223x y y x y-•+ =()()3x y x y y x y+-•+=33x yy-∵3x-4y=0， ∴3x=4y 原式=43y yy-=1 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 9．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A ．对角相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线相等D ．对边相等【答案】C【解析】试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可． 解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等， 故选C ．10．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，M 为EF 的中点，连接DM ，若O 的半径为2，则MD 的长度为( )A ．7B ．5C ．2D ．1【答案】A【解析】连接OM 、OD 、OF ，由正六边形的性质和已知条件得出OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，由三角函数求出OM ，再由勾股定理求出MD 即可． 【详解】连接OM 、OD 、OF ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点， ∴OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°， ∴∠MOD=∠OMF=90°， ∴OM=OF•sin ∠MFO=2×32=3， ∴MD=()2222327OM OD +=+=，故选A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在正六边形ABCDEF 的上方作正方形AFGH ，联结GC ，那么GCD ∠的正切值为___．【答案】31+【解析】延长GF 与CD 交于点D ，过点E 作EM DF ⊥交DF 于点M,设正方形的边长为a ，则,CD GF DE a ===解直角三角形可得DF ,根据正切的定义即可求得GCD ∠的正切值 【详解】延长GF 与CD 交于点D ，过点E 作EM DF ⊥交DF 于点M,设正方形的边长为a ，则,CD GF DE a ===AF //CD ,90,CDG AFG ∴∠=∠= 1209030,EDM ∠=-=3cos30,2DM DE =⋅=23,DF DM a ∴==()331,DG GF FD a a a ∴=+=+=)3131tan .aGD GCD CD a ∠===3 1.【点睛】考查正多边形的性质，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键.12．如果a 是不为1的有理数,我们把11a -称为a 的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推,则 2019a =___________ ．【答案】34. 【解析】利用规定的运算方法，分别算得a 1，a 2，a 3，a 4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a 1=4a 2=11111143a ==---， a 3=211311413a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭=---， a 4=31143114a ==--， …数列以4,−1334，三个数依次不断循环， ∵2019÷3=673，∴a 2019=a 3=34， 故答案为：34. 【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm ，则截面圆的半径为 cm ．【答案】1【解析】过点O 作OM ⊥EF 于点M ，反向延长OM 交BC 于点N ，连接OF ，设OF=r ，则OM=80-r ，MF=40，然后在Rt △MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可．【详解】过点O 作OM ⊥EF 于点M ，反向延长OM 交BC 于点N ，连接OF ，设OF=x ，则OM=80﹣r ，MF=40，在Rt △OMF 中，∵OM 2+MF 2=OF 2，即（80﹣r ）2+402=r 2，解得：r=1cm ．故答案为1．14．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________【答案】m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.15．如图，ABC ∆中，∠BAC 75=︒，7BC =，ABC ∆的面积为14，D 为BC 边上一动点（不与B ，C 重合），将ABD ∆和ACD ∆分别沿直线AB ，AC 翻折得到ABE ∆和ACF ∆，那么△AEF 的面积的最小值为____．【答案】4.【解析】过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，由折叠可得∠EAG ＝30°，而当AD ⊥BC 时，AD 最短，依据BC ＝7，△ABC 的面积为14，即可得到当AD ⊥BC 时，AD ＝4＝AE ＝AF ，进而得到△AEF 的面积最小值为：12AF×EG ＝12×4×2＝4. 【详解】解：如图，过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，由折叠可得，AF ＝AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠FAC ，∵∠BAC ＝75°，∴∠EAF ＝150°，∴∠EAG ＝30°，∴EG ＝12AE ＝12AD ， 当AD ⊥BC 时，AD 最短，∵BC ＝7，△ABC 的面积为14，∴当AD ⊥BC 时，1142BC AD ⋅=， 即：14274AD =⨯÷=AF AE ==，∴114222EG AE ==⨯=. ∴△AEF 的面积最小值为：12AF×EG ＝12×4×2＝4， 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用对应边和对应角相等．16．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．【答案】15【解析】分析：设输出结果为y ，观察图形我们可以得出x 和y 的关系式为：32y x =-，将y 的值代入即可求得x 的值．详解：∵32,y x =-当y=127时，32127,x -= 解得：x=43；当y=43时，3243,x -=解得：x=15；当y=15时,3215,x -= 解得17.3x =不符合条件． 则输入的最小正整数是15.故答案为15.点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.17．若x 2+kx+81是完全平方式，则k 的值应是________．【答案】±1 【解析】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．解：∵x 2+kx+81是完全平方式，∴k=±1．故答案为±1． 考点：完全平方式．18．抛物线y=﹣x 2+4x ﹣1的顶点坐标为 ．【答案】（2，3）【解析】试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=﹣x 2+4x ﹣1转化为顶点式解析式y=﹣（x ﹣2）2+3，然后求其顶点坐标为：（2，3）．考点：二次函数的性质三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF ，再证明EB=ED ，即可解决问题．试题解析：∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE=CF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，∴EB=CF ． 考点：平行四边形的判定与性质．20．解分式方程：12x -=3x 【答案】x=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程两边都乘以x （x ﹣2），得：x=1（x ﹣2），解得：x=1，检验：x=1时，x （x ﹣2）=1×1=1≠0，则分式方程的解为x=1．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．已知m 是关于x 的方程2450x x -=+的一个根，则228m m +=__【答案】10【解析】利用一元二次方程的解的定义得到245m m +=，再把228m m + 变形为()224m m +，然后利用整体代入的方法计算 ．【详解】解：m 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根，2450m m ∴+-=，245m m ∴+=，()2228242510m m m m ∴+=+=⨯=．故答案为 10 ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ． 22．作图题：在∠ABC 内找一点P ，使它到∠ABC 的两边的距离相等，并且到点A 、C 的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．【详解】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；②分别以D、E为圆心，以大于12DE为半径画圆，两圆相交于F点；③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于12AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．【点睛】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．23．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB 于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；连接BD，求证：BD平分∠CBA．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）分别以A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．【详解】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠CBA．【点睛】考查线段的垂直平分线的作法以及角平分线的判定，熟练掌握线段的垂直平分弦的作法是解题的关键. 24．已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．25．手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷•某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为14a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．【答案】（1）7000辆；（2）a的值是1．【解析】（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，根据损坏率不低于10%，可得不等量关系：一月初投入的自行车-一月底可用的自行车≥一月损坏的自行车列不等式求解；（2）根据三月底可使用的自行车达到7752辆，可得等量关系为：（二月份剩余的可用自行车+三月初投入的自行车）×三月份的损耗率=7752辆列方程求解.【详解】解：（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，x﹣（7500﹣110）≥10%x，解得x≥7000，答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆；（2）由题意可得，[7500×（1﹣1%）+110（1+4a%）]（1﹣14a%）=7752，化简，得a2﹣250a+4600=0，解得：a1=230，a2=1，∵1%20%4a ，解得a＜80，∴a=1，答：a的值是1．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，根据一月底的损坏率不低于10%找出不等量关系式解答（1）的关键；根据三月底可使用的自行车达到7752辆找出等量关系是解答（2）的关键. 26．某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：m=；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为；已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动．【答案】（1）150，（2）36°，（3）1．【解析】（1）根据图中信息列式计算即可；（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；（4）根据题意计算即可．【详解】（1）m=21÷14%=150，（2）“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图如图所示；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15150=36°；（4）1200×20%=1人，答：估计该校约有1名学生最喜爱足球活动．故答案为150，36°，1．【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先解不等式得到x ＜-1，根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边．【详解】5+1x ＜1，移项得1x ＜-4，系数化为1得x ＜-1．故选C ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．2．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．4【答案】B 【解析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC=,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC =，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=42故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．3．下列长度的三条线段能组成三角形的是A ．2，3，5B ．7，4，2C ．3，4，8D ．3，3，4【答案】D【解析】试题解析：A ．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A 错误；B ．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B 错误；C ．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C 错误；D ．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D 正确；故选D ．4．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）A ．30°B ．50°C ．40°D ．70°【答案】A【解析】利用三角形内角和求∠B ，然后根据相似三角形的性质求解.【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°，根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°. 故选：A.【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.5．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为( )A ．8×1012B ．8×1013C ．8×1014D ．0.8×1013 【答案】B【解析】80万亿用科学记数法表示为8×1． 故选B ．点睛：本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯ 的形式,其中110a ≤< ,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.6．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别AB 、AC 是上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由题意得到DA′＝DA ，EA′＝EA ，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC 的周长即可解决问题． 【详解】如图，由题意得：DA′＝DA,EA′＝EA ，∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB ＋CE ＋BG ＋GF ＋CF＝(DA ＋BD)＋(BG ＋GF ＋CF)＋(AE ＋CE)＝AB ＋BC ＋AC＝1＋1＋1＝3(cm)故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.7．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】C【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．8．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b a ＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．故选C ．9．81的算术平方根是（ ）A ．9B ．±9C ．±3D ．3 【答案】D【解析】根据算术平方根的定义求解.【详解】∵81=9，又∵（±1）2=9， ∴9的平方根是±1，∴9的算术平方根是1．即81的算术平方根是1．故选:D ．【点睛】考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.10．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接MM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）A．13 B．13 C ．23 D．13【答案】B【解析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF中，BE =∴cos BF EBF BE ∠=== 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．二、填空题（本题包括8个小题）11．若关于x 的方程x 2-2x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．【答案】30°【解析】试题解析：∵关于x 的方程22sin 0x x α-+=有两个相等的实数根，∴()2241sin 0，α=--⨯⨯= 解得：1sin 2α=， ∴锐角α的度数为30°；故答案为30°．12．如图，在边长为1正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，将△PAB 沿直线BP 翻折，点A 的对应点为点Q ，连接BQ 、DQ ．则当BQ+DQ 的值最小时，tan ∠ABP ＝_____．【答案】2﹣1【解析】连接DB ，若Q 点落在BD 上，此时和最短，且为2，设AP ＝x ，则PD ＝1﹣x ，PQ ＝x ．解直角三角形得到AP ＝2﹣1，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】如图：连接DB ，若Q 点落在BD 2设AP ＝x ，则PD ＝1﹣x ，PQ ＝x ．∵∠PDQ ＝45°，∴PD 2，即1﹣x 2∴x 21，∴AP 21，∴tan ∠ABP ＝AP AB ＝2﹣1， 故答案为：2﹣1．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．13．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是______．【答案】36【解析】利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE 长，求比值.【详解】解：如图所示，设BC=x ，∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x ，AB=3BC=3x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=3x ，如图，作EM ⊥AD 于M ，则AM=12AD=12x ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAD=3263XAM AE x==， 故答案为：3 6.【点睛】特殊三角形：30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是1：3：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.14．某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是_____．【答案】12 x【解析】通过找到临界值解决问题．【详解】由题意知，令3x-1=x，x=12，此时无输出值当x＞12时，数值越来越大，会有输出值；当x＜12时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值故x≤12，故答案为x≤12．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是理解题意，学会找到临界值解决问题．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE．延长AF交边BC于点G，则CG为_____．【答案】4 5【解析】如图，作辅助线，首先证明△EFG≌△ECG，得到FG＝CG（设为x ），∠FEG＝∠CEG；同理可证AF＝AD＝5，∠FEA＝∠DEA，进而证明△AEG为直角三角形，运用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】连接EG ；∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝∠C ＝90°，DC ＝AB ＝4；由题意得：EF ＝DE ＝EC ＝2，∠EFG ＝∠D ＝90°；在Rt △EFG 与Rt △ECG 中，EF EC EG EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFG ≌Rt △ECG （HL ），∴FG ＝CG （设为x ），∠FEG ＝∠CEG ；同理可证：AF ＝AD ＝5，∠FEA ＝∠DEA ，∴∠AEG ＝12×180°＝90°， 而EF ⊥AG ，可得△EFG ∽△AFE,∴2EF AF FG =∴22＝5•x ，∴x ＝45， ∴CG ＝45， 故答案为：45. 【点睛】此题考查矩形的性质，翻折变换的性质，以考查全等三角形的性质及其应用、射影定理等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．16．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____． 【答案】512【解析】随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．。
北师大版九年级数学下册 3.9 弧长及扇形面积 导学案(无答案)
有一定的关系，∵180
n R
l π=
，2
=
360
n R S π，
∴
2
3602180
n R S R
n R l ππ==。
∴12S lR =】即12
S lR =
例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)。
分析：要求管道的展直长度，即求
的长，
根根弧长公式l ＝
180
n R
π可求得的长，其中n 为圆心角，R 为半径。
解：R ＝40mm ，n ＝110。
∴
的长＝180
n πR ＝110180
×40π≈76.8mm 。
因此，管道的展直长度约为76.8mm 。
例2、 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L （结果取整数）。
解：由弧长公式，得的长 ＝500π≈1 570（mm ） 因此所要求的展直长度
L ＝2×700＋1 570＝2 970（mm ）
AOB=60°，求的长（•结果
例3、如图，已知扇形AOB 的半径为10，∠精确到0.1）和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角， 半径的已知量便可求，本题已满足。
解：
的长=
5.103
101018060≈=⨯π
π 3.526
10010360602≈=⨯=ππ扇形
S。
九年级数学下册 3.9 弧长及扇形的面积教案2 (新版)北师大版
课题：3.9 弧长及扇形的面积教学目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．2、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养探索能力，训练数学运用能力。
3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，提高学习积极性，同时提高对知识的运用能力。
教学重点与难点：重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。
难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。
课前准备：直尺、圆规、多媒体课件。
教学过程：一、创设情境，引入新课：师：同学们，还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》这首诗吗？白日依山尽,黄河入海流。
欲穷千里目,更上一层楼。
你能求出这幢楼至少该有多高吗？生活中有没有这样的楼？让我们拭目以待。
（板书课题：弧长及扇形的面积）【设计意图】通过诗情画意的展示，调动学生学习的积极性，激发起进一步学习的兴趣，吸引学生的注意力，为新课的学习做铺垫。
二、自主先学, 合作探究：【自主先学一】【多媒体展示】：问题：（1）圆的圆心角（圆周角）是多少度?（2）圆的周长公式是什么?【合作探究一】弧长的计算公式：你能探讨出在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流：360°的圆心角对应圆周长为2πR ，那么1°的圆心角对应的弧长为______，n °的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n 倍，即_________。
师生归纳：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为： 180R n l π=。
【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师解答释疑。
【友情提示】在应用弧长公式l=180R n π进行计算时，要注意公式中n 的意义，n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。
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3.9 弧长及扇形的面积
预习案
一、预习目标及范围：
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.
2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题；训练学生的数学运用能力.
预习范围：P99-101
二、预习要点
1.在半径为R 的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为__________________________
2.比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？S 扇形= ___
3.因此扇形面积的计算公式为S 扇形= 或S 扇形= ___
三、预习检测
1.半径为10厘米的圆,60°的圆心角所对的弧长是_________.
2.如图，同心圆中，大圆半径OA ，OB 交小圆于C ，D ，
且OC ∶OA=1∶2，则弧CD 与弧AB 长度之比为（ ）
A.1∶1
B.1∶2
C.2∶1
D.1∶4
3.一个扇形的圆心角为90o ，半径为2，则弧长=_____，扇形面积=_______.
4.一个扇形的弧长为20πcm ，面积是240πcm 2，则该扇形的圆心角为_______.
5.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长
是（ ）
A. 3π
B.4π
C.5π
D.6π
6.如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿
,
路线爬行，乙虫沿 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A.甲先到B 点
B.乙先到B 点
C.甲、乙同时到B点
D.无法确定
探究案
一、合作探究
活动内容1：
探究1：我们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m.这个圆的周长与面积是多少呢？（结果精确到0.01）
答案：周长约是6.71m，面积约是3.58㎡
（1）已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是
多少？ 1°的圆心角所对的弧长是（）。
（2）n°的圆心角所对的弧长是多少？
答案：（1）；（2）n°的圆心角所对的弧长是
探究2：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？。