量子力学§3.2一维方势阱
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
一维方势阱
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
2020高中物理竞赛-量子力学-波函数：一维方势阱(共24张PPT)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)
一维方势阱偶宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱§2.来自 一维方势阱➢ 一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
一维方势阱波函数图象
一维方势阱波函数图象
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题:
• 将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是足 够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数和能 级怎么变?
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
a)偶宇称 波函数为 cos(kx)
关键:用
在
连续以代替波函数
以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响
§2.4 一维方势阱
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一维方势阱
2.6一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。若在一维空间运动的粒子，其势能为
(2.165)
式中m为粒子的质量， 为振动频率，则这种运动粒子就叫做一维谐振子，一般说来，任何一个在平衡位置附近作往返运动的粒子都可以近似地视为一维谐振子。
(2.180)
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)
（3）正交归一性：
(2.193)
能量最低的状态叫做基态，一维谐振子处于基态（n=0）时的能量值为
(2.194)
叫做零点能量，其余的状态叫做激发态。
图2.14一维谐振子能级图
最低的三个振动能级上的谐振子波函数为
(2.195)
(2.196)
(2.197)
这三个波函数的图形如图2.15所示，相应的模仿则如图2.16所示。
图2.15一维谐振子 的波函数
(2.88)
从而求得其反射系数R与透射系数T分别为
（2.89）
（2.90）
由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T小于1，而反射系数R则大于零，二者之和也是等于1。
显然，在 的特定情形下，其透射系数T等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有
(2.91)
量子力学§3.2一维方势阱
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱是一个理想的物理模型，它可以帮助我们理解量子力学的基本概念。
在这个模型中，粒子被限制在一个无限深的平方势能盒子中运动，它们的能量和波函数是离散的，具有不同的量子态。
对于一维无限深方势阱，我们可以推导出力公式。
根据量子力学的基本原理，粒子在势阱中运动时，受到的力是由势能的梯度决定的。
在一维无限深方势阱中，粒子受到的力是一个恒定的值，它的大小等于势阱两侧之间的势能差。
因此，力公式可以表示为： F = -dE/dx
其中，F是受力大小，E是能量，x是位置。
这个公式告诉我们，粒子受到的力和它的能量密切相关，而且在势阱两侧之间的能量差越大，受到的力就越大。
在费米气体中，一维无限深方势阱的力公式可以应用于描述粒子之间的相互作用。
费米气体是由费米子组成的系统，如电子、质子、中子等。
在这种气体中，费米子具有反对称的波函数，遵循泡利不相容原理，因此它们不能占据同一量子态。
这种排斥力可以通过一维无限深方势阱的力公式来描述，它可以帮助我们理解费米气体的行为和性质。
总之，一维无限深方势阱的力公式可以帮助我们理解量子力学的基本概念，而在费米气体中的应用则可以帮助我们理解费米子之间的相互作用和排斥力。
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。
1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。
在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。
定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。
- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。
- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。
- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。
2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。
该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。
定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。
- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。
- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。
比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。
但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。
- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。
它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。
- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。
而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。
综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。
量子力学 一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿
(7)
由此得到，
Asin a 0,
B cos a 0
(8)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
A 和 B 不能同时为零，否则 y 处处为零。因此，
A 0, B 0, cos a 0 sin a 0
(9) (10)
由此可求得：
n a , 2
(2n 1) 2 h2 En En1 En ， 8ma 2
a)、 En µ n 2 ，当 n ® ¥时，
DEn 1 n®¥ ~ ¾ ¾¾ ®0 En n
正如对应原理所示大量子数极限下量子理论将逐渐 逼近经典理论。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
b)、 DEn µ
第二章 波函数和薛定谔方程 2.6、 一维无限深方势阱
一维无限深势阱的能量本征函数一维无限深势阱中粒子位置几率密度分布
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.1、谐振子模型
2.7、 线性谐振子 2.7.1、谐振子模型 经典力学中，当质量为 m 的粒子受到弹性力 F kx 作 用，其运动方程为，
考察上式解的渐进行为，当
很大时， 与 相比可
以忽略，方程（4）可以近似表示为：
d 2 2 0 2 d
(5)
第二章 波函数和薛定谔方程 2.7、 线性谐振子
2.7.2、 线性谐振子的能量本征值问题
不难证明，
时， ~ e
2
/2
，
~ e
第二章 波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程
第三部分、一维无限深方势阱，线性谐振子，势垒贯穿
第二章 波函数和薛定谔方程 引言
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
量子力学基本概念之一维无限深势阱
一维无限深势阱的实际模型
• • • • • • • • • 自由电子在一块金属中的运动相当于在势阱中的 运动。在阱内，由于势能为 零，粒子受到的总的力为零， 其运动是自由的。在边界上 x=0或x=a处，由于势能突然 增加到非常大，粒子受到非 常大指向阱内的力。因此，粒 子的位置不可能到达0<x<a 的范围以外。图像如右图所示。
量力学基本概念 之
一维无限深势阱
史英娜 103797
一维无限深势阱的定义
• • • • • • • • • 粒子在一种简单外力场中做一维运动，其势能 函数为U(X)=0 （0<x<a)； U(x)=∞ (x≥a或x≤0)。 由于其函数图形像阱， 且势能在一定区域为0， 而在此区域外势能为无 穷大，所以这种势能 分布叫做一维无限深势阱， 图像如右图所示。
一维无限深势阱的波函数和概率密度
波函数
概率密度
一维无限深势阱总结
• 一维无限深势阱是一种理想模型。 • 一维无限深势阱是自由电子的实际模型的极端化和简化。 • 图形表示为
极限
一维无限深势阱中粒子运动的波函数为 Ψ (x)=√(2/a)·sin(nπx/a) (0<x<a)
thank you!
§第三章 一维问题 §31 一维定态的一些特例 1, 一维方势阱问题
§第三章 一维问题§3.1 一维定态的一些特例1, 一维方势阱问题，Landau 与Pauli 的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。
但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。
研究一维 Schrodinger 方程，其中位势为(3.1a) 于是定义在整个x 轴上的 Schrodinger 方程现在分为三个区域：第I 区a x -≤，第II 区a x <，第III 区a x ≥。
由于I 区和III 区中()+∞=x V （无穷位势问题见讨论i,），为使 Schrodinger 方程成立，这两个区域中的波函数()x ψ必须为零 —— 即有边界条件()0=x ψ()a x ≥。
说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。
于是坐标波函数求解只须对第II 区进行，(3.1b)有时，这里的边界条件被简单地写作()()ψx =0x =a 1。
但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。
参见下面有关讨论。
显然，在第II 区x <a 内方程通解为1 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v 的脚注。
()()122ψx =Asin kx +α2mE k =⎧⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩这里出现两个待定系数A 、α和一个待定参数k （它的数值将决定阱中粒子的能量）。
为了确定它们，利用两个边界条件()ψ±a =0（加上总几率归一条件，一共也是三个），即()()sin ka +α=0sin -ka +α=0⎧⎪⎨⎪⎩ 由此得n α=ka =π2，n =1,2,3, 。
最后，阱中粒子的能级和波函数分别为(3.2a)(3.2b)这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。
因为第一，介质中势能不可能真是无限大；第二，势函数也不可能是严格的阶跃。
高二物理竞赛课件：一维无限深方势阱
得
Hˆ (x, y, z) i
1
df (t)
=E
(x, y, z)
f (t) dt
i
1 df (t) E, f (t) dt
其解
f
(t)
e
i
Et
Hˆ
2
2 U
另一方程: Hˆ (x, y, z) E (x, y, z) 2m
2 2 (x, y, z) U (x, y, z) E (x, y, z) (17-32)
2m
若势能U不显含时间t ,则
(x, y, z,t) (x, y, z) f (t)
Hˆ (x, y, z,t) i (x, y, z,t)
t
Hˆ (x, y, z) f (t) i (x, y, z) f (t)
t
将上式两端除以 (x, y, z) f (t), 并注意到
Hˆ 2 2 U 2m
2m
上式称为定态薛定谔方程。
波函数：
(
x,
y,
z,
t
)
(
x,
y,
z)e
i
Et
概率密度： (x, y, z,t) 2 (x, y, z) 2
概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,即为 定态。
0 0xa
U(x)
U (x)
x 0, x a
o
ax
图17-3
2 2m
d
2 (x)
dx2
U
(x)
Ψ(r, , ) =R(r)()Φ()
(17-47)
在E<0(束缚态)的情况下求解上述方程，可得如下 结论：
1. 能量量子化 为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原 子)的能量只能是
3-2 方势肼
§3.2 方势阱3.2.1 一维无限深势阱一维无限深势阱的势能函数是：0,(),-<<⎧=⎨+∞<->⎩或a x a V x x a x a 它的物理图像是：在x a =和x a =-处放有两块无限刚性（不可穿透）的平行板，粒子在两板之间自由运动，运动方向与板面垂直。
从方程来看，在势阱外V =+∞，必有：()0.()ψ≡<->或x x a x a直观地说，由于平行板是不可穿透的，所以粒子不可能跑出势阱之外。
在势阱内，ψ()x 满足方程2222()0.()d mE x a x a dxψψ+=-<< 显然E 必须>0，所以记k=那么方程变成： d dxk x 2220ψψ+=(). 它的一般解是：ψ()cos sin .()x A kx B kx a x a =+-<<这三段),,(a x a x a a x ><<--<的解必须在x a =±处衔接起来。
在势能有无限大跳跃的地方，衔接条件只有ψ本身的连续性。
所以现在cos sin 0,()cos sin 0,()+==⎧⎨-==-⎩当当A ka B ka x a A ka B ka x a 因而⎩⎨⎧==.0sin ,0cos ka B ka A 有两种情形的解：(1)0,cos 0B ka ==，所以12,(0,1,2,)n k n aπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭== 22221,22E n ma π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 1()cos .2x x A n a πψ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (偶宇称) (2)0,sin 0A ka ==，所以,(1,2,3,)n k n a π== 222,2E n ma π= ()sin.n x x B aπψ= (奇宇称) 二者合起来可以写为：,(1,2,3,)2n n k n aπ== 2222,8n E n ma π=ψπn n x A n a x a ()sin().='+2 波函数的归一化条件是：-⎰=a ax dx ψ(),21计算得 '=A an 1, (与n 无关) 最后，波函数是： ψπn x a n a x a ()sin ().=+12分析。
量子力学PPT专业知识
d dx
i
]
k1
|
A |2
JD
k1
| c |2 ,
JR
k1
|
A |2
透射系数与反射系数为：
D
JD J
4k12
k
2 2
(k12
k
2 2
)
2
sin 2
k2a
4k12 k 22
R
JR J
(k12 k22 )2 sin 2 k2a (k12 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
显而易见： D R 1
由此可得
c
4k1k2e ika1
A
(k1 k2 ) 2 eik2a (k1 k2 ) 2 eik2a
A
2i(k12 k22 ) sin k2a
A
(k1 k2 ) 2 eik2a (k1 k2 ) 2 eik2a
易得到入射波、透射波和反射波旳几率流密度为：
J
i
2
[
i
d dx
* i
* i
1 n
sin ( x a). a 2a
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本旳问题，它 是物体在势（或势场）旳稳定平衡位置附近作小振动此类常见 问题旳普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本旳问题，甚至更为基本。因为它不但是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题旳普遍概 括，而且更是将来场量子化旳基础。
这里 k1 2mE ，k 2 2m(E V0 ) 。考虑到时间
因子 e iEt / e it ，所以 e ikx代表向右运动旳 波数为K旳平面波，eikx 则是向左运动旳平面波。在I、II两
一维方势阱中粒子的能量本征值
王雅楠
赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000
摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子，
关键词：
1一维势场中粒子的能量本征态的一般性质
设质量为m的粒子在一维势场 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为
（1）
在上式中， （实数值）； 为能量本征； 为相应的能量本征态。
由此可解得：
对于第一组解， 为偶数；对于第二组解， 为奇数。由此可得体系的能量为：
3.2理论推导并计算一维有限深方势阱的能量本征值
3.3理论推导并计算一维不对称方势阱的能量本征值
3.4理论推导并计算半壁无限高势场的能量本征值
结论
参考文献：
定理四：设 ，则对应于任何一个能量本征值 ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值 的任何解，都可用它们来展开。
定理五：对于 有限的阶梯形方位势 能量本征函数 及其导数 必定是连续的（但如果 ，则定理不成立）。
定理六：对于一维粒子，设 与 均为方程（１）的属于同一能量 的解，则 － ＝常数（与 无关）。
3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值
所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大
一种情况是一维非对称无限深方势阱，即
质量为 的粒子只能在 的区域内自由运动，势能函数为：
定态薛定谔方程为：
当 和 时，
；
当 时，
令
代入薛定谔方程得：
此方程的通解为：
由于阱壁无限高，所以
定理七：设粒子在规则势场 中运动（ 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。
2方势
方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值 , , ，…的波函数 ， ，
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ka k tan 2
令
ka a ， 2 2
tan
V0 a 2 2
2 2 2
2 (V0 E )
2 E , k
以上两式是 和所满足的超越方程组， 可用数值计算或图解法求解。 结果如右图所示：
在右图中，数值V0 a 2 给定，曲线（1）（ , 2） 的交点给出，的解， 由此求出E，
与（2）式联立，可确定 参数 和，从而确定能 量本征值。如右图。
V0 a 2 2
2 2
2
对奇宇称态则不同，只当
V0 a / 2 / 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 2 2 a 才可能出现最低的奇宇称能级。
x a, x 0
阱内
2 d 2 (x) E (x) 2 2 dx
(为了方便将波函数脚标去掉)
•令
k2
2 E 2
2 E k= 2
将方程写成 •通解
( x) k 2 (x) 0
(x) A sin kx B cos kx
式中 A 和 B 是待定系数
x a x a
1 n sin x n 2,4,6 2a a n 1 n (x) cos x n 1,3,5, 2a a 0
x a x a
x a
或表示 为
n 1 sin (xa) 2a n( x ) a 0
2 2
ⅲ本征函数系
( x) A sin kx
n x， 0 xa An sin n a x 0, x a 0
由归一化条件确定常数 A
( x)
0
a
*
( x)dx 1
2 An a
•本征函数 定态波函数
2 nπ (x) sin x n a a
a x 2 a a x 2 2 a x 2
有限性：
A2=0，C1=0。
考虑到空间反射不变性，即V ( x) V ( x)，
按照上节定理，其束缚态能量E的本征函数不简并，
且必有确定的宇称，因此 2 x 只能取
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
2
n4
3 x
2 x
3 x
2
n3
E3
E2
2 x
2
n2
2 a
1 2a
1 x
E1
2 1 x
n1
o
a
o
a
对于不同的量子数，在阱 内某一特定的点，粒子出 现的概率是不同的。
2 Ψn | | n很大
n 时，
量子经典
En 0
a
平均效应明显
每个可能的值叫能量本征值，束缚态粒子能量取值分立 (能级 概念)。 能量量子化。 体系最低能量的态称为基态。其他态称为激发态。 基态能量不为零——量子效应，
2 2
（2）、当n 趋于无穷时,能量趋于连续（对应原理）。
能量是分立的，相邻能级间距：
(2n 1) 2 2 En En1 En 2 a 2
x a x a
当
n 为偶数时， n ( x) n ( x)
，即 n ( x) 具有奇宇称。
当 n 为奇数时， n ( x) n ( x) ，即 n ( x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U ( x) U ( x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
பைடு நூலகம்
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
符合玻尔对应原理
0, x a 3、若势阱为 ： V ( x) , x a
1 n sin ( x a ), n ( x) a 2a 0
n 2 2 2 n 2 2 2 En 2 2(2a ) 8a 2
( n 1,2,3,...)
Asin ka 0
B已经为零了 即 A≠0 要求 A不能再为零了
只能sin ka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 由上式 n π 2 mE 2 n 但 k＝ 2 2 a
π 2 n (n 1,2,3,) 故能量可能值 En 2 2 a
ka a ， 2 2
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
i En t
( n 1,2,3,)
考虑到振动因子
e
n x,t n
i Ent ( x)e
2 nπ sin x a a
i Ent e
( n 1,2,3,)
薛定谔方程的一般解：......
讨论 1、能量
（1）、能量量子化
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2 a
第一、确定粒子势能表达式（有的问题直接给出）；
第二、写出定态薛定谔方程，引入参数，把方程化为 标准的微分方程，写出通解； 第三、利用波函数满足的标准条件（单值、有限、 连续），求能量本征值和本征函数。 第四、利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。
二、一维有限深方势阱
0 | x | a / 2 V ( x) V0 | x | a / 2
2
(2)
令
2 (V0 E )
2 E k
方程(1)、（2）变为
1 '' 1 0
2
2 ' 'k 2 0
2
x x ( x ) A e A e 1 1 2 2 ( x) B1 sin kx B2 cos kx x x ( x ) C e C e 3 1 2
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
0 xa xa
1 ( x) A1sinkx+A2coskx x x ( x ) B e B e 2 1 2
V0→∞时，结果与无限深势阱的奇宇称态能量一致。
三、一维半壁无限高方势阱
讨论束缚态，即0 E V0
( x) 0
d2 2 E 1 2 1 0 2 dx (0 x a)
x 0
d 2 2 2 (V0 E ) 2 0 2 dx
2
（x a)
波函数的连续性。
x 0 , (0) 1 (0) 0
1 ( x) A1 sin kx
波函数的有限性。
2 ( x ) B 2e
x
1 ( x) A1 sin kx
2 ( x ) B 2e x
kctgka
x a时 1 (a) 2 (a) ( a) 1(a) 2
即 n 0 的点且除去两端点） ； n 有 n 个极大值，两极大值之间有一零点， 共 n 1 个零点。
波函数与横轴相交次数（不含两端）称为节点数，显然为n-1
（2）、一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x)
4 x
E4
a 4 2
2a 3 3
4 x
tan
V0 a 2 2
2 2 2
由图可见，对偶宇称态，无论V0 a 的值多 么小 （ , 1） (2)方程组至少有一个根，即至少存 在一偶宇称的束缚态（基态） .
2
当V0 a 增大，使 ，
2 2 2 2
不仅会出现偶宇称的基态， 还会出现其第一激发态（仍
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
§3.2一维方势阱
求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解
（4）定归一化系数
一、一维无限深方势阱
V(x)
粒子在阱内自由运动
V→∞
V→∞
不能到阱外 势函数
E
0
V=0 a
x
阱内
V ( x) 0
( 0 x a)
由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
(x) A sin kx B cos kx