量子力学§3.2一维方势阱

1、偶宇称态 2 ( x) ~ cos kx
x ( x ) A e 1 1 2 ( x) B2 cos kx x ( x ) C e 3 2
a | x | 2
a x 2 a a x 2 2 a x 2
a 由于这里内外解 ( x)和 '( x)在 | x | 处是连续的， 2
i En t
( n 1,2,3,)
考虑到振动因子
e
n x,t n
i Ent ( x)e
2 nπ sin x a a
i Ent e
( n 1,2,3,)
薛定谔方程的一般解：......
讨论 1、能量
（1）、能量量子化
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2 a
令

2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
0 xa xa
1 ( x) A1sinkx+A2coskx x x ( x ) B e B e 2 1 2
Asin ka 0
B已经为零了 即 A≠0 要求 A不能再为零了
只能sin ka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 由上式 n π 2 mE 2 n 但 k＝ 2 2 a
π 2 n (n 1,2,3,) 故能量可能值 En 2 2 a
ka a ， 2 2
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
(x) A sin kx B cos kx
波函数的连续性。
ⅰ解的形式
B0 x 0时， (0) 2 (0) 0
解的形式为 ( x) A sin kx
ⅱ能量取值
x a时 (a) 2 (a) 0
Asin ka 0
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
x a x a
当
n 为偶数时， n ( x) n ( x)
，即 n ( x) 具有奇宇称。
当 n 为奇数时， n ( x) n ( x) ，即 n ( x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U ( x) U ( x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
符合玻尔对应原理
0, x a 3、若势阱为 ： V ( x) , x a
1 n sin ( x a ), n ( x) a 2a 0
n 2 2 2 n 2 2 2 En 2 2(2a ) 8a 2
( n 1,2,3,...)
波函数的连续性。
x 0 , (0) 1 (0) 0
1 ( x) A1 sin kx
波函数的有限性。
2 ( x ) B 2e
x
1 ( x) A1 sin kx
2 ( x ) B 2e x
kctgka
x a时 1 (a) 2 (a) ( a) 1(a) 2
与（2）式联立，可确定 参数 和，从而确定能 量本征值。如右图。
V0 a 2 2
2 2
2
对奇宇称态则不同，只当
V0 a / 2 / 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 2 2 a 才可能出现最低的奇宇称能级。
ka k tan 2
令
ka a ， 2 2
tan
V0 a 2 2
2 2 2

2 (V0 E )
2 E , k
以上两式是 和所满足的超越方程组， 可用数值计算或图解法求解。 结果如右图所示：
在右图中，数值V0 a 2 给定，曲线（1）（ , 2） 的交点给出，的解， 由此求出E，
2
n4
3 Fra Baidu bibliotek
2 x
3 x
2
n3
E3
E2
2 x
2
n2
2 a
1 2a
1 x
E1
2 1 x
n1
o
a
o
a
对于不同的量子数，在阱 内某一特定的点，粒子出 现的概率是不同的。
2 Ψn | | n很大
n 时，
量子经典
En 0
a
平均效应明显
2 2
ⅲ本征函数系
( x) A sin kx
n x， 0 xa An sin n a x 0, x a 0
由归一化条件确定常数 A
( x)
0
a
*
( x)dx 1
2 An a
•本征函数 定态波函数
2 nπ (x) sin x n a a
§3.2一维方势阱

求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解

（4）定归一化系数
一、一维无限深方势阱
V(x)
粒子在阱内自由运动
V→∞
V→∞
不能到阱外 势函数
E
0
V=0 a
x
阱内
V ( x) 0
( 0 x a)
x a x a
1 n sin x n 2,4,6 2a a n 1 n (x) cos x n 1,3,5, 2a a 0
x a x a
x a
或表示 为
n 1 sin (xa) 2a n( x ) a 0
即 n 0 的点且除去两端点） ； n 有 n 个极大值，两极大值之间有一零点， 共 n 1 个零点。
波函数与横轴相交次数（不含两端）称为节点数，显然为n-1
（2）、一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x)
4 x
E4
a 4 2
2a 3 3
4 x
2
(2)
令

2 (V0 E )
2 E k
方程(1)、（2）变为
1 '' 1 0
2
2 ' 'k 2 0
2
x x ( x ) A e A e 1 1 2 2 ( x) B1 sin kx B2 cos kx x x ( x ) C e C e 3 1 2
x a, x 0
阱内
2 d 2 (x) E (x) 2 2 dx
(为了方便将波函数脚标去掉)
•令
k2
2 E 2
2 E k= 2
将方程写成 •通解
( x) k 2 (x) 0
(x) A sin kx B cos kx
式中 A 和 B 是待定系数
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
第一、确定粒子势能表达式（有的问题直接给出）；
第二、写出定态薛定谔方程，引入参数，把方程化为 标准的微分方程，写出通解； 第三、利用波函数满足的标准条件（单值、有限、 连续），求能量本征值和本征函数。 第四、利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。
二、一维有限深方势阱
0 | x | a / 2 V ( x) V0 | x | a / 2
a x 2 a a x 2 2 a x 2
有限性：
A2=0，C1=0。
考虑到空间反射不变性，即V ( x) V ( x)，
按照上节定理，其束缚态能量E的本征函数不简并，
且必有确定的宇称，因此 2 x 只能取
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
tan
V0 a 2 2
2 2 2
由图可见，对偶宇称态，无论V0 a 的值多 么小 （ , 1） (2)方程组至少有一个根，即至少存 在一偶宇称的束缚态（基态） .
2
当V0 a 增大，使 ，
2 2 2 2
不仅会出现偶宇称的基态， 还会出现其第一激发态（仍
E n 2 0 所以当n 时，相邻能级的相对间距： En n
当 n 很大时，能级可视为连续，这是经典极限时的情况， 即经典物理可以看成是量子物理中量子数 n 时的近似。
2、波函数 （1）驻波解。
nπ k a
2 2a k n
2
即：a n
2
n 有 n 1 个节点（与 x 轴的交点，
每个可能的值叫能量本征值，束缚态粒子能量取值分立 (能级 概念)。 能量量子化。 体系最低能量的态称为基态。其他态称为激发态。 基态能量不为零——量子效应，
2 2
（2）、当n 趋于无穷时,能量趋于连续（对应原理）。
能量是分立的，相邻能级间距：
(2n 1) 2 2 En En1 En 2 a 2
V0→∞时，结果与无限深势阱的奇宇称态能量一致。
三、一维半壁无限高方势阱
讨论束缚态，即0 E V0
( x) 0
d2 2 E 1 2 1 0 2 dx (0 x a)
x 0
d 2 2 2 (V0 E ) 2 0 2 dx
2
（x a)
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx