矩阵的逆及其应用教学内容

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②对于分块矩阵 例２、 已知Ａ＝ 解：∵｜Ａ｜＝２≠０
∴Ａ可逆，由已知得
㈢ 、行（列）初等变化法 设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等
变换，若把子块Ａ变为 ，则子块 将变为 ，即初等变 换［Ｅ， ］。
注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换 求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时， 只允许施行初等行变换。 ②也可以利用
Y，既 Y=AX，再将 Y 发送，信息端接受到 Y 后，则利用
密钥矩阵
。
②加密通信模型
基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文
数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对
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6、 矩阵的逆是唯一的； 证明：运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都 是 A 的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝Ｂ Ｅ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ 矛盾），所以是唯一的。
㈡ 逆矩阵的定理 １、 初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、 ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵 等 价。 ３、 ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等 矩阵的乘积。 ４、 ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行 变换便可化成单位矩阵。 ５、 ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
负单位矩阵-E，再在 A 的右下方补加上一个零矩阵 0，从而得到一
个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-
E 化为零矩阵，那么原来的零矩阵 0 所化得的矩阵就是所要求的那
逆矩阵 。
四、 矩阵的逆的应用
(1) 逆矩阵在解线性方程组中的应用
设用矩阵表示的方程组为ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ＝
X=
的系数行列式Ｄ＝
，则此方程组有唯一的一组解
，这里 是将Ｄ中的第ｉ列
换成
得到的行列式。
㈦ 、恒等变形法求逆矩阵
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的
逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，
且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。
㈧、用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵 Hamilton-Caley 定理：设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶矩阵
，求 。
Ａ＝
＝
其中
可求得
＝
㈤ 解方程组求逆矩阵 根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上 （下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的 主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由 两端对应元素相等，依次可得 只含有一个待求元素的方程，因 而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆 矩阵。
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③当矩阵Ａ可逆时，可以利用
初等变换，即求出了
例３、 用初等行变换求矩阵Ａ＝
解：
＝
求得 仅通过
的逆矩阵。
→ → ㈣ 、用分块矩阵求逆矩阵 设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：
＝
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例４、 已知Ａ＝ 解：将Ａ分块如下：
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则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)
n 阶矩阵 A 的秩为 n→|A|≠0→A 可逆。
(3) 逆矩阵在信息科学中的应
① 算法的加密原理
信息发送端首先根据密钥矩阵 A 的阶数（||A||=n）,将
明文转换为 n 维数向量 X，然后将 X 与 A 相乘得到密文
矩阵的逆及其应用
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矩阵的逆及其应用
姓名：刘欣
班级：14 级数计 1 班
专业：数学与应用数学
学号：1408020129
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一、 矩阵的逆的概念
对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得
ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为
Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作 。
二、 逆矩阵的性质和定理
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例５、 求Ａ＝
的逆矩阵。
解：设
，先求出
下的次对角线上的元素
最
后求 ，设Ｅ为４阶单位矩阵，比较
素，得到 ０ １ ０ １
的两端对应元 ；
；
于是，所求的逆矩阵为： ㈥ 、用克莱姆法则求解
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若线性方程组
㈠ 逆矩阵的性质
1、 若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆矩阵为
，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的
逆。
若
都是ｎ阶可逆矩阵，则
也可逆，且
＝
.
2、 若 A 可逆，则 也可逆，且
=A；
3、 若 A 可逆，实数λ≠0，则λA 可逆，且
=；
4、 若 A 可逆，则 也可逆，且
=
；
5、
=
；
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B=
若 A 可逆→X=
注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且
矩阵 A 可逆，否则此法失效。而 Gauss 消元法对方程组个
数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无
穷多个解）。且 Gauss 消元法特别适合于计算机计算。
(2) 逆矩阵在求矩阵的秩中的应用
设 A 是 m×n 矩阵，P 和 Q 分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，
；
故
㈡ 、伴随矩阵法
ｎ阶矩阵Ａ＝（ ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当 ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，
注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余 子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意
元素的位置及符号。特别对于２阶方阵
Ａ＝
，其伴随矩阵
，即伴随矩阵具有“主对角元素互 换，次对角元素变号”的规律。
ｆ(λ)=| λＥ－Ａ|＝
为Ａ的特征多
项式，则：ｆ(A)=| λE-A|=
+ =0
于是－
因此 ㈨ 、三角矩阵的一种求逆法
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如果ｎ阶矩阵Ｔ＝ 的逆矩阵是 T=
可逆，那么他 其中
㈩ 、拼接新矩阵
在可逆矩阵 A 的右方补上一个单位矩阵 E，在 A 的下方补加上一个
三、 逆矩阵的计算方法 ㈠ 定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那 么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为 。
例１、 求矩阵Ａ＝ 解：∵｜Ａ｜≠０
∴ 存在
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的逆矩阵。
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设＝ ∴ 由矩阵乘法得
，由定义知
，
由矩阵相乘可解得
；