质点、刚体角动量

§6－1力矩

一、力对点的力矩：

如图所示，定义力F 对O 点的力矩为：F r M ⨯=

大小为：θsin Fr M ＝

力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋

法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲

的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，

拇指指向的方向就是力矩的方向。

二、力对转轴的力矩：

力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为：Fd M ＝

或：θsin Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方

向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。

三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力∑=i F F 合外力矩∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M

＝ 即∑i M M ＝

四、单位：m N ⋅

注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。

（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；

（2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；

§6－2质点的角动量定理及角动量守恒定律

在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。

在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚

体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。

本节将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。

一、 质点的角动量定理和角动量守恒定律

1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量

1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量为r ，

定义质点对坐标原点O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，

即 v m r P r L ⨯=⨯=

角动量是矢量，大小为

L=rmv sin α

式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。

角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。

角动量的单位：kg.m 2.s -1

2）说明：

（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从18世

纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。

例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。

（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。因此在说明一个质点的角动量时，

必须指明是相对于哪一个参考点而言的。 （3）角动量的定义式v m r P r L ⨯=⨯=与力矩的定义式F r M ⨯=形

式相同，故角动量有时也称为动量矩——动量对转轴的矩。 （4）若质点作圆周运动，r v ⊥，且在同一平面内，则角动量的大小为L=mrv=mr 2ω，写成矢量形式为ω 2mr L = （5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r 变化，但是质点的角动量L 保持不变。

L=rmv sin α=mvd

2．质点的角动量定理（Theorem of Angular Momentum ）

（1）质点的转动定律

问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。 设质点的质量为m ，在合力F 的作用下，运动方程为 ()t v m t v m a m F d d d d === 用位置矢量r 叉乘上式，得 ()t

v m r F r d d ⨯=⨯ 考虑到 ()()v m t

r v m t r v m r t ⨯+⨯=⨯d d d d d d

和0d d =⨯=⨯v v v t

r 得()v m r t F r ⨯=⨯d d

由力矩F r M ⨯＝ 和角动量的定义式()v m r t L ⨯=d d 得t L M d d ＝ 表述：作用于质点的合力对参考点O 的力矩，等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律（或角动量定理的微分形式）。 这与牛顿第二定律t P F / =在形式上是相似的，其中M 对应着F ，L 对应着P 。

（2）冲量矩和质点的角动量定理 把上式改写为L t M = dt M 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得

122

1L L t M t t -=⎰

式中1L 和2L 分别为质点在时刻t 1和t 2的角动量，⎰21

t t t M 为质点在时间间隔t 2- t 1内所受的冲量矩。

质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。

成立条件：惯性系

3．质点的角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum ）

若质点所受的合外力矩为零，即M=0，则 ＝恒矢量＝v m r L ⨯

这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。

说明：

(1)质点的角动量守恒定律的条件是M =0，这可能有两种情况：

● 合力为零；

● 合力不为零，但合外力矩为零。

例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点O ，则行星的角动量是守恒的。

特例：（1）在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的；

（2）匀速直线运动。

（2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒定律都起着重要作用。