大学 物理学 第五版 马文蔚 答案上下册第十二章

第十二章气体动理论

12-1 温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV,气体的温度需多高？

解：=

1ε2

31

kT ＝5.65×21

10

-J ，

=2ε2

32kT ＝7.72×2110-J

由于1eV=1.6×19

10

-J , 所以理想气体对应的温度为：T=2ε/3k =7.73×310 K

12-2一容器中储有氧气，其压强为0.1个标准大气压，温度为27℃，求：(1)氧气分子的数密度n ；(2)氧气密度

ρ；(3)氧气分子的平均平动动能k ε？

(1)由气体状态方程

nkT p =得，24

23

51045.2300

1038.110013.11.0⨯=⨯⨯⨯⨯==-kT p n 3m - (2)由气体状态方程

RT M M

pV mol

=

(M ，

mol M 分别为氧气质量和摩尔质量) 得氧气密度：

13.0300

31.810013.11.0032.05mol =⨯⨯⨯⨯===RT p M V M

ρ 3m kg -⋅ (3) 氧气分子的平均平动动能21231021.63001038.12

3

23--⨯=⨯⨯⨯==

kT k ε 12-3 在容积为2.0×33

m 10

-的容器中，有内能为6.75×210J 的刚性双原子理想气体分子，求（1）气

体的压强；（2）设分子总数5.4×22

10个，求气体温度；（3）气体分子的平均平动动能？

解：（1）由2

iRT

M m =

ε 以及RT M m pV =

, 可得气体压强p =iV

ε2=1.35×5

10 Pa

（2）分子数密度V

N

n =

, 得该气体的温度62.3===

Nk

pV nk p T

×210K (3)气体分子的平均平动动能为

=

ε2

3kT

=7.49×2110-J 12-4 2

10

0.2-⨯kg 氢气装在3

10

0.4-⨯m 3

的容器内，当容器内的压强为5

1090.3⨯Pa 时，氢气分子

的平均平动动能为多大？

解：由

RT M

m

pV =

得 mR MpV T =

所以221089.32323-⨯=⋅==

mR

MpV

k kT εJ 12-5 1mol 刚性双原子气体分子氢气，其温度为27℃，求其对应的平动动能、转动动能和内能各是多少?

（求内能时可不考虑原子间势能） 解：理想气体分子的能量为RT i

n E

2

=，所以氢气对应的平动动能为（3=t ）

5.373930031.82

3

1=⨯⨯⨯=t

εJ

转动动能为（

2=r ） 249330031.82

21=⨯⨯⨯=r εJ

内能5=i 5.623230031.82

5

1=⨯⨯⨯=i ε J

12-6 设有N 个粒子的系统，其速率分布如图所示，求：(1)分布函数

)(v f 的表达式； (2)速度

在1.50v

到2.00v 之间的粒子数；(3) N 个粒子的平均速率；(4) 0.50v 到10v 区间内粒子的平均速率？ 解：(1)从上图所给条件得：

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥=≤≤=≤≤=)

2(0)()2()()0(/)(00000v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf 由此可得分布函数表达式为：

⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)

2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v N

a v v Nv av v f 类似于概率密度的归一化条件，故

)(v f 满足

⎰

+∞

∞

-1d )(＝v v f ,即

⎰

⎰=+0

00

20,1d d v v v v a v v av 计算得0

32v N a =

，带入上式得分布函数

)(v f 为：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≤≤≤≤=)

2(0)2(32)0(3/2)(000002

0v v v v v v v v v v v f (2)该区间对应的

)(v f 为常数

32v N ，所以可通过计算矩形面积得该区间粒子数为：

N v v v N N 3

1

)5.12(32000=-=

∆ (3) N 个粒子平均速率

⎰⎰

⎰⎰

+===∞

∞

+∞

-00

20

2020

d 32d 32d )(d )(v v v v v v v v v v v vf v v vf v 0911v = (4)同理05.0v 到01v 区间内粒子平均速率

v v v v v vf v v v v v d 32d )(0

00

5.020

2

5.0⎰⎰

===0367v 12-7 设N 个粒子系统在各速率区间对应的粒子数变化率为：

Kdv dN = （为常量K v V ,0>>），0=dN （V v >）

（1） 画出速率分布函数图；（2）用N 和V 表示常量K ；（3）用V 表示出平均速率和方均根速率。 解：（1）因为Kdv dN = 所以有：N

K

dv N dN v f =⋅=

)( （

0>>v V ）

0)(=v f （V v >）故速率函数分布图如右图所示。

（2） 由归一化条件：

1)(0

==⎰

⎰

+∞

∞

-dv N K

dv v f V

可得：V N K = （3V V N K vdv N

K dv v vf v

V

V 2

121)(20

=⋅=

=

=⎰

⎰

V V N K dv v f v v V

3

3)31()

)((2132

1

2

2

===⎰ 12-8 某些恒星的温度可达到约8

100.1⨯k ，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：（1）151007.22

3

-⨯==

kT ε

J （质子i=3, 只有平动动能） （2）

621058.133⨯===

m

kT

M RT v m.s 1-（质子质量为2710675.1-⨯kg ） 12-9、图中Ⅰ、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的

最概然速率；（2）两种气体所处的温度。解：（1）

M

RT

v P 2=

温度相同时，

P v 与M

成反比

∵22

o H M M <,∴2

2)()(o P H P v v >. 故从图

知，Ⅱ图线对应的P v 值应为氢气的。

O

v

V

N

K

)(v f