全概率公式与贝叶斯公式解题归纳

全概率公式与贝叶斯公式解题归纳

来源：文都教育

在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果”，还是“由果索因”，因为全概率公式是计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率.

它们的定义如下：

全概率公式：设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个划分，如果()0,i P B > 1,2,,i n =，则对任一事件A 有

)|()()(1

i n

i i B A P B P A P ∑==.

贝叶斯公式 ：设n ,B ,,B B 21 是样本空间Ω的一个划分，则

.,,2,1,)|()()

|()()|(1n i B A P B P B A P B P A B P n j j

j i i i ==∑=

例1 从数字1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ，则(2)P Y == .

解 由离散型随机变量的概率分布有：

(1)(2)(3)(4)14P X P X P X P X ========.

由题意，得

(21)0,(22)12,P Y X P Y X ======

(23)13,(24)14P Y X P Y X ======,则根据全概率公式得到

(2)(1)(21)(2)(22)P Y P X P Y X P X P Y X =====+===

(3)(23)(4)(24)P X P Y X P X P Y X +===+===

111113(0).423448

=⨯+++= 例2 12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，求先取1件为次品的概率.

解 令A={先取的1件为次品}，则,A A 为完备事件组，12(),(),33

P A P A =

=令B={后取的2件皆为正品}，则2821128(),55C P B A C ==2721121(),55C P B A C == 由贝叶斯公式得

128()()()2355().128221()()()()()5

355355

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ⨯====+⨯+⨯ 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.