拉冬变换

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Radon变换资料讲解

二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理，常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作为MA过程，使用高阶统计量方法对模型参数进行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF，通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图像域来求得原图像。

Radon变换综述

Radon变换综述研究背景Radon变换是一种投影方法,其基本思想是对某个被积函数在给定的路径上进行积分运算[1]。

当被积函数的积分路径是直线时,则称,,p为线性Radon变换,又称为变换或倾斜叠加,,当被积函数的积分路径不是直线时,则称为非线性Radon变换,或广义Radon变换。

,,q常见的非线性Radon变换有,抛物线Radon变换,又称为变换,,双曲Radon 变换(又称为速度叠加),多项式Radon变换。

这两种类型的Radon 变换实质上是统一的,它们可以用一个统一的公式表述。

Radon变换自建立起相应的理论之日起就为图像重构问题提供了一个统一的数学基础,Fourier投影定理证明Radon 变换和Fourier 变换有明确的对等关系,即凡能用Fourier 变换解决的问题都能用Radon变换解决,这又为Radon变换的快速求解提供了手段。

但是Radon变换本身的特点决定了Radon变换域中场的物理特征更为直观明确,有利于对比分析,易于为人们所接受和使用,所以Radon换在包含更多场的物理特征的地震勘探领域,如波场模拟、速度分析、偏移成像、平面波分解、噪声衰减、数据插值补道拓道、多次波衰减等方面得到广泛的应用。

由于Radon变换算子是非正交的,这也就导致了直接进行Radon正反变换能量的不对等性,于是提出了基于最小范数反演的Radon变换,这在一定程度上减少了拖尾现象,但是最小范数约束将会产生平滑效应,不能保证能量足够集中,所以不能在Radon域获得期望的分辨率。

因此要想获得高分辨率的Radon变换结果,消除平滑效应,必须采用新的方法改进反演约束的方式。

首次提出高分辨率Radon变换方法是在频率空间域,是一种稀疏约束反演算法,得到频率域的稀疏解。

对应于Radon变换在频率域的Toeplitz结构[2],求解方法有,Levinson递推算法、Cholesky分解法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法等。

二章2拉氏变换ppt课件

五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2

拉冬变换

1.合成的地震记录横坐标为偏移距，纵坐标为时间
2.做RADON变换后，纵坐标为时间，横坐标为把抛物线校平所需要的时间，从图中可以看出第一个倾斜抛物线弧度较陡，说明其速度较低，把其较平所需要的时间多，第二个抛物线弧度较缓，把其较平所需要的时间短一些。

两条平的抛物线不需要校正时间，因为他们本身已经是平的了。

这样四条抛物线变换到拉冬域为下图所示。

3 很明显如果平的为有效波，则在拉冬域很容易把有效波和多次波分开下图为估算出的多次波。

4.从最初的图中减去估算出来的多次波则得到一次波。

5.以上分析可能有不对的地方，本人从F-K滤波的方法依葫芦画瓢得出的结论，敬请指正。

以上方法不是很严谨，只用来说明具体算法原理
具体参考地震资料分析伊尔马滋著中的拉冬变换
本图来源于SU。

拉氏变换终值定理

拉氏变换终值定理
我先给你们讲个小故事吧。

想象一下，你有一个小盒子，这个小盒子就像一个神秘的机器。

你往这个小盒子里放进一些特别的东西，然后小盒子会给你吐出另外一些东西。

这个小盒子就有点像拉氏变换做的事情呢。

那终值定理又是什么呢？就好比你在看一个小虫子爬呀爬。

这个小虫子一开始爬得很慢，然后速度有点变化，但是你想知道这个小虫子最后会停在哪里。

终值定理就像是能告诉你这个小虫子最后停下来的位置的魔法。

比如说，我们有一个小风扇。

小风扇刚打开的时候，它转得慢慢的，然后越转越快。

我们可以用一些数字和规则来表示小风扇转动速度的变化，就像拉氏变换那样。

那终值定理呢，就可以让我们知道这个小风扇最后会以多快的速度一直转下去，是会一直转得超级快，还是会慢慢稳定下来，有一个固定的速度。

再举个例子，你在玩一个弹弹球。

你把弹弹球扔出去，它会跳呀跳。

弹弹球每次跳的高度会慢慢变低，一开始跳得很高，后来越来越低。

我们可以用拉氏变换的东西来表示弹弹球高度的变化。

终值定理就能告诉我们，这个弹弹球最后会停在地上，高度变成零。

就像我们在学校跑步比赛的时候。

每个小朋友开始跑的速度可能不太一样，有的小朋友一开始就冲得特别快，有的小朋友慢慢加速。

如果我们把每个小朋友跑步速度的变化用拉氏变换来表示，那终值定理就可以告诉我们，最后哪个小朋友会先跑到终点，哪个小朋友会在后面。

Fourier变换与Laplae变换简介

§6.1 Fourier 变换一、背景介绍1. 周期函数的Fourier 级数展开一个以T 为周期的函数)(t f T ，如果在]2,2[TT -上满足Dirichlet 条件，那么)(t f T 在]2,2[TT -上可以展成Fourier 级数，即在)(t f T 的连续点处有三角形式表示 ∑∞=++=10)s i n c o s (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω （1）其中T πω2=，⎰-=220)(2TT T dt t f T a ，⎰-=22cos )(2T T T n dt t n t f T a ω，⎰-=22sin )(2TT T n dt t n t f T b ω， ,2,1=n注：函数)(t f T 在]2,2[T T -上满足Dirichlet 条件是指)(t f T 在]2,2[TT -上满足：⑴ 连续或只有有限个第一类间断点；⑵只有有限个极值点。

利用Euler 公式θθθsin cos i e i +=把（1）式写成指数形式即把2cos t in t in e e t n ωωω-+=，22sin tin t in t in t in e e i i e e t n ωωωωω----=-=代入（1）式，得∑⎰+∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n t i TT ui T T n n e du e u f T t f ωω22)(1)( （2）式（2）中ωωn n =.2. 非周期函数的Fourier 积分一个非周期的函数)(t f 可以看成是某个以T 为周期的函数)(t f T 当+∞→T 时的极限,即有指数形式表示∑⎰+∞-∞=--∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n t i TT ui T T n n e du e u f T t f ωω22)(1lim )( （3）注意到n ω所对应的点均匀地分布在整个数轴上，两相邻点的距离Tn πω2=∆，从而n ti TT ui Tt i TT u i T T n n n n n e du e u f e du e u f T ωπωωωωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰--→∆--∞→22022)(21lim )(1lim记t i TT ui T n T n n e du e u f ωωπω⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ⎰--22)(21)(，则)(:)(21)(lim 0n t i ui n T n n n e du e u f ωπωωωωΦ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ⎰+∞∞--→∆故式（3）化为⎰∑∞+∞-+∞-∞=→∆Φ=∆Φ=ωωωωωd t f n n n T n )()(lim)(0其中t i ui e du e u f ωωπω⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ⎰+∞∞--)(21)(.Fourier 积分定理：若函数)(t f 在),(∞+-∞上满足下列条件：⑴)(t f 在任一有限区间上满足Dirichlet 条件；⑵)(t f 在),(∞+-∞上绝对可积（即∞<⎰+∞∞-dt t f |)(|），则在)(t f 的连续点处有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωπωωd e du e u f t f t i u i )(21)( Fourier 积分（4）成立，左端的)(t f 在它的间断点t 处，应以2/)]0()0([-++t f t f 来代替.二、Fourier 变换由（4）式⎰+∞∞--=du e u f F u i ωω)(:)(，则⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t i )(21)(1. 定义Fourier 变换式： )]([:)()(t f dt e t f F t i F ==⎰+∞∞--ωωFourier 逆变换式： )]([:)(21)(ωωωπωF d e F t f t i 1-F ==⎰+∞∞-称)(ωF 为)(t f 的象函数，)(t f 为)(ωF 的象原函数. 在谱分析中，)(ωF 也称为)(t f 的频谱函数，其模|)(|ωF 称为)(t f 的（振幅）频谱.例1 求指数衰减函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(t t e t f t β )0(>β的Fourier 变换及其积分表达式.解：2201)]([)(ωβωβωβωωβ+-=+===⎰+∞--i i dt e e t f F t i t F .⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-===ωωβωβπωωπωωωd e i d e F F t f ti ti 2221)(21)]([)(1-F⎰⎰+∞+∞∞-++=++=02222sin cos 1sin cos 21ωωβωωωβπωωβωωωβπd tt d t t .注：⎪⎩⎪⎨⎧<===-++>==++-∞+⎰0,0)(0,2/2/)]0()0([0,)(sin cos 022t t f t f f t e t f d t t t πππππωωβωωωββ. 例2 求矩形单脉冲⎩⎨⎧≥-≤<<-=2/2/,02/2/,)(ττττt t t E t f 或的Fourier 变换.解：2sin2cos 2)(2/02/2/ωτωωωτττωEtdt E dt Ee F t i ===⎰⎰--.特别地，取2,21==τE ，有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-=11,011,21)(t t t t f 或，ωωsin )]([=t f F .例3 求单位脉冲函数δ (也称Dirac 函数，满足⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(t t t δ且1)(=⎰+∞∞-dt t δ）的Fourier变换.注：⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(t t t δ可看成⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0,00,/10,0)(t t t t εδε（满足1)(=⎰+∞∞-dt t εδ）的弱极限. 它具有下面的筛选性质：如果)(t f 无穷次可微，那么)0()()(f dt t t f =⎰+∞∞-δ，)()()(00t f dt t t t f =-⎰+∞∞-δ.解：1|)()]([)(0=====-+∞∞--⎰t t i t i e dt e t t F ωωδδωF .例4 证明单位阶跃函数⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 的Fourier 变换为)(1ωπδω+i . 证明：⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ωωπδωπωπδωωd e i i ti )(121)(11-F ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=ωωπδπωωπωωd e d i e t i t i )(212121sin 1⎰+∞+=ωωωπd t⎪⎩⎪⎨⎧<=+->=+=0,021)2(10,12121t t ππππ注：⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=⎰∞+0,2/0,00,2/sin 0t t t d t ππωωω. 例5 利用逆Fourier 变换验证)(2]1[ωπδ=F ，)(2][00ωωπδω-=ti e F .2. 性质 1）线性性质如果函数)(1t f 和)(2t f 是象原函数，α和β是任意两个常数，则有)]([)]([)]()([2121t f t f t f t f F F F βαβα+=+如果函数)(1ωF 和)(2ωF 是象函数，则)]([)]([)]()([2121ωβωαωβωαF F F F -1-1-1F F F +=+例6 求正弦函数t t f 0sin )(ω=的Fourier 变换. 解：由线性性质及例5]}[][{21][21sin ][sin 000000t i t i ti t i t i t i e e idt e e e i dt te t ωωωωωωωω-+∞∞---+∞∞---=-==⎰⎰F F F )]()([)}(2)(2{210000ωωδωωδπωωπδωωπδ--+=+--=i i类似可证 )]()([][cos 000ωωδωωδπω++-=t F 2）位移性质)]([)]([00t f e t t f t i F F ω±=±，)]([)]([00ωωωωF e F t i -1-1F F ±=事实上，⎰⎰∞+∞--±=∞+∞--=±=±du e u f dt et t f t t f t u i t t u ti )(0000)()()]([ ωωF)]([)(00t f e du e u f et i u i t i F ωωω±+∞∞--±==⎰例7 求单矩形脉冲⎩⎨⎧≥≤<<=ττt t t E t f 或0,00,)(1的Fourier 变换.解：记⎩⎨⎧≥-≤<<-=2/2/,02/2/,)(ττττt t t E t f 或，则)2()(1τ-=t f t f由例2知2sin2)]([ωτωEt f =F ，故2sin2)]([)]2([)]([221ωτωττωτωi i eEt f et f t f --==-=F F .3）微分性质象原函数的微分性质如果函数)(t f 在),(∞+-∞上连续或只有有限个可去间断点，且当+∞→||t 时0)(→t f ，则)]([)]([t f i t f F F ω='.证明：)]([)()(|)()()]([t f i dt e t f i e t f dt e t f t f t i t i t i F F ωωωωω=--='='⎰⎰+∞∞--∞+∞--+∞∞--一般地，若n k t f k ,,2,1),()( =在),(∞+-∞上连续或只有有限个可去间断点，且当+∞→||t 时0)()(→t f k ，1,,1,0-=n k ，则有 )]([)()]([)(t f i t f n n F F ω=.象函数的微分性质若)()]([ωF t f =F ，则)]([)()(t f t i F d d n n nnF -=ωω. 自证.例8 由例4，单位阶跃函数⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 的Fourier 变换为)(1ωπδω+i . 即=)]([t u F )(1ωπδω+i ，由象函数的微分性质得 )]([)()(1t tu i i d d F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ωπδωω 故)(1)(1)]([2ωδπωωπδωω'+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i i d d i t tu F . 4）积分性质如果函数当+∞→||t 时0)(→⎰∞-du u f t，则)]([1])([t f i du u f tF F ω=⎰∞-. 事实上，由象原函数的微分性质有下面等式])([])([)]([du u f i du u f dt d t f t t⎰⎰∞-∞-==F F F ω例9 求解方程)()()()(t h du u x ct bx t x a t=++'⎰∞-，其中c b a ,,为常数.解：记)]([)()],([)(t h H t x X F F ==ωω，在方程两边取Fourier 变换，得到代数方程)()()()(ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得 )()()(ωωωωca ib H X -+=再对上式求Fourier 逆变换，即得⎰+∞∞-==ωωπωωd e X X t x t i )(21)]([)(1-F .如常微分方程)()()(t t x t x δ=+'为例9中取)()(,0,1t t h c b a δ====的情形，ωωi X +=11)(，由例1得⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(t t e t x t .5）乘积定理如果)()]([11ωF t f =F ，)()]([22ωF t f =F ，则⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==ωωωπωωωπd F F d F F dt t f t f ________212________121)()(21)()(21)()(此处________1)(ωF 为)(1ωF 的共轭函数. 证明：dt d e F t f dt t f t f t i ⎰⎰⎰+∞∞-∞∞-∞∞-=ωωπω)(21)()()(2121⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞+∞--∞∞-+∞∞-∞∞-===ωωωπωωπωωπωωd F F d dt et f F dtd e t f F ti t i )()(21)()(21)()(212________1____________________1212第二式可类似证明. 6）能量积分若)()]([ωF t f =F ，则⎰⎰∞∞-∞∞-=ωωπd F dt t f 22|)(|21)]([ Parseval 等式其中2|)(|)(ωωF S =称为能量谱密度，它可以决定函数)(t f 的能量分布规律. 把)(ωS 对所有频率积分就得到)(t f 的总能量⎰⎰∞∞-∞∞-=dt t f d S 2)]([)(21ωωπ.例10 求⎰∞+∞-dx x x22sin . 解：由例2 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<<-=11,011,21)(t t t t f 或，)(sin )]([ωωωF t f ==F . πππωωωωω=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-∞+∞-∞+∞-112222222212)]([2|)(|sin sin dt dt t f d F d dx x x . 7）卷积定理如果函数)(1t f 和)(2t f 满足Fourier 积分定理中的条件，且)()]([11ωF t f =F ，)()]([22ωF t f =F ，则)()()](*)([2121ωωF F t f t f =F ，)(*)()]()([2121t f t f F F =ωω-1F其中τττd t f f t f t f )()()()(2121-=*⎰∞∞-是)(1t f 和)(2t f 的卷积.另外，)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f =F . 自证.例11 求函数t t u t f 0cos )()(ω=的Fourier 变换.解：由于)]()([][cos 000ωωδωωδπω++-=t F (例6)，=)]([t u F )(1ωπδω+i (例4) 注意到)]}([]1[{)(*100ωωδωωωδω±⋅=±F F F 1-i i }]1[{0t i e i ωω±⋅=F F 1- )(1]})(1[{00ωωωω±=±=i i F F 1-)()]}([{)]}([)]([{)(*)(0000ωωδωωδωωδωδωωδωδ±=±=±⋅=±F F F F F -1-1利用)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f =F 以及卷积满足对加法的分配率且具有线性性质，得到 ][cos *)]([21]cos )([00t t u t t u ωπωF F F =)]()([*)(12100ωωπδωωπδωπδωπ++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-++=)()()(1)(1210000ωωπδωωπδωωωωi i )]()([20020ωωδωωδπωωω++-+-=i 类似可得 =]sin )([0t t u ωF )]()([20020ωωδωωδπωωω+--+-i i 三、应用见课件Fourier变换简表§6.2 Laplace 变换一、背景介绍 Fourier 变换的缺陷：⑴ 函数)(t f 必须在整个数轴上有定义，而在物理、无线电等实际应用中许多以时间为自变量的函数往往在0<t 是无意义或不需要考虑；⑵)(t f 需在),(∞+-∞上满足绝对可积的条件，这一条件是比较强的，许多很简单的函数，如单位阶跃函数、正弦、余弦以及线性函数等都不满足这一条件. 由于上述缺陷，Fourier 变换的应用范围受到极大限制.由于单位阶跃函数⎩⎨⎧<>=0,00,1)(t t t u 乘以)(t f 可以使积分区间由),(∞+-∞变成),0(∞+，而用求指数衰减函数t e β-)0(>β乘以)(t f 可以使其变得绝对可积，因而我们想到用t e t u β-)(来乘以)(t f ，只要0>β选择适当，函数t e t u t f β-)()(的Fourier 变换总是存在的，即⎰⎰⎰+∞-+∞+-+∞∞---===0)()()()()()(dt e t g dt e t g dt e e t u t f F st t i t i t ωβωββω其中ωβi s +=，)()()(t u t f t g =.二、Laplace 变换 1. 定义设函数)(t f 是定义于[0，∞]上的实变量函数，如果含参变量s 的无穷积分⎰+∞-0)(dt t f e st ⎰-+∞→=Tst T dt t f e 0)(lim存在，则称函数⎰+∞-=)()(dt t f e s F st 为)(t f 的拉普拉斯变换.并称)(t f 为原函数,)(s F 为象函数.通常用符号L 来表示拉普拉斯变换：当变换L 作用于)(t f 时，便得到)(s F ，即)]([)(t f L s F =.2．存在定理当函数)(t f 满足下列两条件时，其拉普拉斯变换⎰+∞-=0)()(dt t f e s F st 在半平面c s >Re 上一定存在 .1）在0≥t 的任一有限区间上分段连续；2）当+∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数0,0≥>c M ，使得 0,)(≥<t Me t f ct 成立 .（其中c 为)(t f 的增长指数）3. 反演定理若)(s F 是)(t f 的拉普拉斯变换，则有⎰∞+∞-=i c i c st ds e s F it f )(21)(π)]([:1s F L -=, )0(>t称之为)(s F 的拉普拉斯逆变换. c s >Re .即已知象函数，可以通过拉普拉斯逆变换求出原函数.例1 求函数1)(=t f 的拉普拉斯变换 . 解：⎪⎩⎪⎨⎧≤∞+>=-==∞+-∞+-⎰00,11]1[0s s se sdt e L stst.例2 求函数n t t f =)(的拉普拉斯变换（n 是正整数）. 解：.0,)(01>=Γ⎰+∞--αααdt t e t.)21(,1)1(),()1(πααα=Γ=ΓΓ=+Γ!)1(0n dt t e n n t ==+Γ⎰+∞-.0,!)1(11)()(1][111010>=+Γ====++∞+-+>=+∞-++∞-⎰⎰⎰s s n n s du u e sst d st e sdt t e t L n n n u n s st u n st n n st n例3 求函数ate tf =)(的拉普拉斯变换 . 解： ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][dt e dt e e e L t a s atst at+∞----=0)(1t a s e as ⎪⎩⎪⎨⎧≤∞+>-=as a s a s ,1 . 4. 性质 1) 线性性质如果函数)(t f 和)(t g 是原函数，α和β是任意两个常数，则有)]([)]([)]()([t g L t f L t g t f L βαβα+=+;例4 求函数 t t ωωsin ,cos 的拉普拉斯变换 . 解： ]sin [cos ][sin ][cos t i t L t iL t L ωωωω+=+⎰⎰+∞--+∞-===0)(0][dt e dt e e e L t i s ti st ti ωωω+∞----=0)(1t i s e i s ωω⎪⎩⎪⎨⎧≤>++=-=00,122s s s i s i s 无定义ωωω .0,][sin ,][cos 2222>+=+=∴s s t L s s t L ωωωωω. 2) 原函数的微分性质如果函数)(t f 及其直到n 阶导数)()(t f n 都是原函数，则有 )0()]([)]([f t f sL t f L -=')0()0()]([)0()]([)]([2f sf t f L s f t f sL t f L '--='-'='' )0()0()0()]([)]([)1(21)(-----'--=n n n n n f f s f s t f L s t f L⎰⎰+∞-+∞-='='0)()()]([t df e dt t f e t f L st st)0()]([)(|)(00f t f sL dt t f e s t f e st st -=+=⎰+∞-∞+-例如: 若记)]([)(t x L s X =, 且 5.0)0(,0)0(-='=x x , 则有][2][3][]23[x L x L x L x x x L +'-''=+'-'')]([2)}0()]([{3)}0()0()]([{2t x L x t x sL x sx t x L s +--'--= )0()0()3()]([)23(2x x s t x L s s '---+-= 5.0)()23(2++-=s X s s3) 象函数的微分性质若)]([)()(0t f L dt t f e s F st ==⎰+∞-，则)]([)()(0t tf L dt t f te s F dsdst -=-=⎰+∞-)]([)1()()1()(0t f t L dt t f e t s F dsd nn st n n n n -=-=⎰∞+-例5 求函数atn e t t f =)(的拉普拉斯变换（n 是正整数）.解： )()1()]([s F ds d t f t L nn nn-= ，.,1][a s a s e L at>-=.,)(!)1()1(][1a s a s n a s ds d e t L n n n natn >-=--=+ 例6 求函数 t t t t ωωsin ,cos 的拉普拉斯变换 . 解：0,][sin ,][cos 2222>+=+=s s t L s s t L ωωωωω .0,)(2)(]s i n [;0,)()(]c o s [222222222222>+=+-=>+-=+-=s s ss ds d t t L s s s s s ds d t t L ωωωωωωωωω4) 位移性质)()()]([0a s F dt t f e e t f e L at st at-==⎰+∞-.例7 求函数 t e t e at at ωωsin ,cos 的拉普拉斯变换 . 解：;,)(]cos [22a s a s as t e L at>+--=ωω .,)(]sin [22a s a s t e L at >+-=ωωω5) 卷积性质如果函数)(t f 和)(t g 都是原函数，则有)]([)]([)])([(t g L t f L t g f L ⋅=*其中τττd t g f t g f t)()())((0-=*⎰是)(t f 和)(t g 的卷积.三、应用先通过拉普拉斯变换把已知微分方程化成代数方程，求出代数方程的解，再通过拉普拉斯逆变换（查表），得到所求初值问题的解. 例8求方程 te x x x 3223=+'-''；0)0()0(='=x x 的解.解：记)]([)(t x L s X =，注意到 .,1][a s as e L at>-= 方程两端取拉普拉斯变换得32)()23(2-=+-s s X s s )23)(3(2)(2+--=s s s s X 332211-+---=s s s由于 at e as L =--]1[1, 故所求解为 t t t e e e x 322+-=. 例9求方程 t t x x 2cos 5sin 4+=-''；2)0(,1)0(-='-=x x 的解.解：记)]([)(t x L s X =，方程两端取拉普拉斯变换得4514)(]2)([222+++=-++s ss s X s s X s ]245)1(4[11)(222--+++-=s s ss s s X 41222+-+-=s s s 由于 t s s L t s L 2cos ]4[,sin ]11[2121=+=+--, 故所求解为 t t x 2cos sin 2--=.例10 求方程 te t x x x 22=+'-''；0)0()0(='=x x 的解.解：注意到 .,)(!][1a s a s n e t L n atn >-=+ 方程两端取拉普拉斯变换得32)1(2)()12(-=+-s s X s s ，解得 5)1(2)(-=s s X ，由于 at e t a s L !4])(1[451=--, 故所求解为 te t x 124=. 例11 求方程133=+'+''+'''x x x x ；0)0()0()0(=''='=x x x 的解. 解：方程两端取拉普拉斯变换得ss X s s s 1)()133(23=+++由此得 3)1(1)(+=s s s X . 故有)]([)(1s X L t x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--311)1(11s L s L 212t e t -*=⎰-=t d e 022τττt e t t -++-=)22(2112 这就是所求的解.Laplace变换简表参考文献：积分变换（第三版）, 南京工学院数学教研组, 高等教育出版社. 1981.。

拉冬变换数学基础

模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N）的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十所示，它的频谱如图十一所示。
图十信噪比为4分贝的地震信号
图十一被白噪声污染的地震信号的频谱
图十四去噪后F-X域信号频谱
图十五去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比较，结果如图十七所示。
图十七去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d

2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样，不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)

02第二章拉氏变换的数学方法

02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。

本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。

一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。

对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。

拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。

二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。

下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。

2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。

3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。

这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。

三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。

常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。

RADON变换说明及MATLAB例子

Radon变换:又称为Hough Transform(数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37)考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。

则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。

通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。

在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。

例如：XY平面上的一个直线y=2x-3;变换-3=-2x+y;其中：a=-2,b=-3若有两个点在XY平面:（0，-3），（2，1），此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。

一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。

即：xcosθ+ysinθ=ρ以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标，θ为角度。

我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。

如下例：function radontestI=zeros(200,200);%I(100:170,100:170)=1;A=eye(100,100);I(101:200,1:100)=A;figure,imshow(I);title('orginal image');orginal imagetheta=0:180;[R,xp]=radon(I,theta);%R是点的数量多少%xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离%0-180代表0到180度%此变换是以图像的中心点为原点的变换figure,imagesc(theta,xp,R);title('R_theta X');xlabel('theta(degree)');ylabel('X\prime');colormap(hot);colorbar;即所求 =45度，X`=-75左右。

意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。

拉氏变换及拉氏反变换

单位脉冲函数的定义为
δ(t)=
0 1
t≠0 t=0
有如下特性
， tdt1
，且δ(t)
tftdtf0
式中f(0)——t=0时刻的f(t)的函数值。
由拉氏变换的定义得
L t te sd t t est 1
0
t 0
几种典型函数的拉氏变换
单位斜坡函数的拉氏变换
单位斜坡函数的定义为t(t)=
lim ftlis m F s
t
s 0
象函数的微分性质
tf(t)的拉氏变换为
Ltftd Fs
ds
拉氏变换主要定理
象函数的积分性质
f t 的拉氏变换
t
LfttsFsds
卷积定理
设 F s L f t ； G s L g t ，若原函数f(t)和g(t)的卷积为
0ftgd
解：F(s)的部分分式为
Fs
s2
s1 5s6
Hale Waihona Puke s1s2s3k1 s2
k2 s3
k1
s
s2s13s2s2
s1 s3s2
1
k2
ss2s13s
3
s3
s 1 s2s3
2
f
t
L1Fs
L1s12
s
2 3
L1s12
L1s23
2e3t
e2t
拉氏反变换的部分分式展开法
X(s)=0含有共轭复根的情况
将 F 即s Y X s s p m s m s s p 1 m 1 s s m s 1 2 s p 1 s s n p 0
k1s k2
s2 cs d
分别令上式两端实部、虚部分别相等，即可求出k1，k2。

Radon变换知识讲解_2022年学习资料

包回厄闻包回厄回包回囘回甩回尼回厄闻厄回囘回-结合直线方程，则Deta函数可以表示为：-0,p-xcos0 ysin0≠0-6p-x coso-ysine=-1,p-x cos0-ysine=0-画巴-即在线上的点 ,y满足6x=1,-其他-非l上点δ x=O的Radon变换可以写为：-西巴田巴田-●-R,p.0=[fx. p-xcos0-ysin 0dxdy--00-00-园国甩国国国国-画画回画囡画回画囡回画囡画画囡画回画回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国厄回囘回尼回囘回-西巴西巴西巴西巴西巴西巴西巴-Radon变换及其应用-甩国国国国园国甩国国国国国-回囡画回画囡画西回画囡画西回固回西回囡回画回回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国囘回囘回尼回囘回-主要介绍内容：-画回-Radon变换的定义-面-Radon变的基本性质-Radon反变换-·Radon变换的应用-西巴田巴田-甩国国国国国园国甩国国国国国-回囡画回画画西回画囡画西回固回西回囡回画回回
甩回囘闻已国囘国厄国囘回囘国厄回囘回尼回囘回-西回-Radon变换的基本性质-·1、线性-Rlaf+bgJ aR;+bRg-2、相似性-若R[af,bg]=Rrp,cosO,sin0,则-甩国国国国国园国甩国国国国 -画回-固画囡画回画固画西画画画西画西画固画回回固回
包回厄闻包回厄回包回囘回甩回尼回厄闻厄回囘回-sin-3、对称性-画回-若考虑下面的等式（其中t=cos0 sin0为与引垂-直方向上的单位矢量。-R,ap,at-[fx.yap-axcos0-aysin Odxd -固画囡画回画固画西画画画西画西画固画回回固回
Hale Waihona Puke 包回厄回包回厄闻厄闻厄回厄回厄闻厄回尼回尼回-F-'{j2π }=δ p-利用柯西值『，可将上式第2个等号右边第2-个反变换表示为：-r器}）-所以-甩国国国国国园国甩国国国国国-画回回画囡画回画回回画画西回固画西回画西画

[傅里叶变换及其应用学习笔记]三十.拉东变换

[傅⾥叶变换及其应⽤学习笔记]三⼗.拉东变换在商业上有两种不同的成像⽅法：CT 、MRI ，两种⽅法在实现⽅法上有部分相通的地⽅，这⾥讲述的是CT 。

假设上图为⼀个⾝体剖⾯图，内含有各种粘性物质，如⾻头、肌⾁、⾎管、脊髓等，⽤可变密度函数µ(x 1,x 2)来描述。

如果我们知道µ是什么，则代表我们可以知道该⾝体剖⾯的状况。

关于µ，在笔记中教授推荐我们去阅读⼀本书《Naked to the Bone: Medical Imaging in the Twentieth Centry 》，作者是Bettyann Kevels ，书中有⼀段是这么描述µ的：Dimmer and dimmer What happens when light passes through murky water? It gets dimmer and dimmer the farther it goes, of couse –this is not a trick question. If the water is the same murkiness throughout, meaning, for example, uniform density of stuff floating around in it,then it's natuarl to assume that the intensity of light decreases by the same percent amount per length of path traveled. Through absorption,scattering, etc., whatever intensity comes in, a certain percentage of that intensity goes out; over a given distance the murky water removes a percentage of light, and this percentage depends only on the distance traveled and not where the starting and stopping points are. We're assuming here that light is traveling in a straight line through the water.Constant percent change characterizes exponential growth, or decay, so the attenuation of the intensity of light passing through a homogeneous medium is modeled byI =I 0e −µxwhere I 0 is the initial intensity, x is the distance traveled, and µ is a (positive) “murkiness constant”, x has dimension of length and µ has dimension 1/length and units “murkiness/length”. µ is constant because we assume that the medium is homogeneous. We know the value of I 0, and one measurement of x and I will determine µ. In fact, what we do is to put a detector at a known distance x and measure the intensity when it arrives at the detector.越来越暗当光线穿过浑浊的⽔时会发⽣什么呢？光线穿过的浑⽔越远，就会变得越暗，当然，这是个显⽽易见的问题。

拉氏变换教程

t s0
第二章系统数学模型
df (t ) limsF ( s ) f (0) 证明： lim L s 0 dt s 0 lim sF ( s ) f (0) 又由于：
df (t ) df (t ) st lim L lim 0 e dt s 0 dt s 0 dt df (t ) 0 dt f () f (0) dt 即： f () f (0) lim sF ( s ) f (0)
1
L－1为拉氏反变换的符号。
第二章系统数学模型
3、几种典型函数的拉氏变换单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
0
t0 t0
st
L 1(t ) 1(t )e
dt
0
单位阶跃函数
t
1 st 1 e s 0 s
(Re(s) 0)
第二章系统数学模型
位移定理
Le
at
f (t ) F (s a)
例：Lsin t 2 s 2
Le
( s a) 2 2 ( s a) at L e cost ( s a) 2 2 初值定理

at
sin t

1 1 f (t )dt t 0 0 f (t )e st dt s s
同样：
f ( 1) (0) F ( s) s s
1 1 ( 1) 1 ( n1) L f (t )dt n F ( s ) n1 f (0) f (0) s s s n
第二章系统数学模型

7-lapalace变换.

)t
dt
和
0
e
(
sik
)t
dt
绝对收敛, 且
0
e
(
sik
)
t
dt

s
1 ik
,
0
e
(
s
ik
)t
dt

s
1 ik
所以
L[sin
kt]

1 2i

s
1 ik

s
1 ik

s2
k
k
2
,
Re s 0
Laplace变换的存在定理
若函数f(t)满足下列条件：
dt
当Re(s)-k>0时收敛，于是当Re(s)>k 时，
上述积分收敛，而且
L[
f
(t)]

s
1 k
e(sk )t
0

s
1 k
(Re(s) k)
例3 求f (t ) sin kt的Lapace变换，k为实数。
解：
L[sin kt]

0
sin
kt
e

st
dt

eikt
1 est s
0

1 s
所以，
ℒ [u(t)] 1 s
例2. 求函数 f (t) ekt（k为常数）的Laplace变换。
解： L[ekt
]

0
e
kt
estdt

0
e
(
sk
)t
dt
由于

积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用

1 s
F (s)
10
重复应用(2.8)式, 就可得到:
L
{ d t d t f (t ) d t} s
0 0 0
t
t
t
1
nF ( s)(29)n次11由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则

F (s) d s
f (t ) A[u (t ) u (t - t ) u (t - 2t ) ] Au(t - kt )
k 0
f(t)
4A 3A 2A
1A O
t
2t
3t
t
20
利用拉氏变换的线性性质及延迟性质, 可得
1 1 - st 1 - 2 st 1 -3 st L [ f (t )] A e e e s s s s
2
T T t - u t - 2 2
T 2 s
2 2 s T
(1 - e
),
2 T

24
例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换
fT(t)
E
O
T 2
T
3T 2
2T
5T 2
t
25
由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为
3
2.微分性质若L [f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证根据分部积分公式和拉氏变换公式

b
a
u d v uv | - v d u
b a a
b
L [ f (t )] e

拉东变换在探地雷达资料处理中的应用

收稿日期:2005-06-20作者简介:吴健生(1961-),男,广东普宁人,教授,博士生导师,理学博士.E 2mail :wujiansh @.拉东变换在探地雷达资料处理中的应用吴健生,张　昊(同济大学海洋地质国家重点实验室,上海　200092)摘要:为了消除探地雷达剖面中存在的旁侧影响、“X ”形同相轴等线段形干扰,把拉东变换引入到探地雷达资料处理中.通过原理的分析和对水平线性同相轴经离散拉东变换后数据的特征深入研究,建立了水平线性同相轴的振幅大小以及波形曲线与变换结果中心条带数据之间的关系.通过对这种关系的拓展和应用,提出了雷达剖面上线段形干扰特征提取和消除改进的离散拉东变换的方法技术.理论模型实验和实际资料的处理结果都说明了方法的有效性和优越性.关键词:探地雷达;拉东变换;线段形干扰中图分类号:P 631.325 文献标识码:A 文章编号:0253-374X (2005)09-1270-04Application of Radon Transform in G roundPenetrating Rader Data ProcessingW U Jian 2sheng ,ZHA N G Hao(State K ey Laboratory of Marine G eology ,Tongji University ,Shanghai 200092,China )Abstract :In order to deal with the sideward influences ,“X ”interferences and other linear interfer 2ences ,the Radon transform can be used to process the ground penetrating radar (GPR )profile.After analysing on the discrete Radon transform ,it is found that getting linear events from the GPR profile in the Radon transform result directly is infeasible and the method must be modified.With the study on the aclinic linear events and theirs Radon tranform results ,the relationship between events character and their center strips of the transform results is set up.The improved processing method removing linear events with discrete Radon transform is brought up ,whose validity and advantage have been proved by the model testing and the field data results.Key words :ground penetrating radar (GPR );Radon transform ;linear interference 探地雷达的概念于1910年被正式提出,初期应用范围仅限于对电磁波吸收很弱的冰层.随着电子技术的发展,以及现代数据处理技术的应用,20世纪70年代后,探地雷达的应用从冰层、盐矿等弱耗介质扩展到土层、煤层、岩层等有耗介质.现在,探地雷达的应用范围已经涵盖了考古、矿产资源勘探、岩土勘查、无损检测及工程建筑物结构调查等诸多领域,并开发了各种专用的探地雷达[1].但是随着探地雷达应用范围的不断扩展,应用环境的不断复杂,干扰因素也越来越多,造成剖面中的干扰信息呈现多样化的趋势,出现了多种新的干扰类型.图1就是一个例子:剖面中两条同相轴相互交叉,呈“X ”形分第33卷第9期2005年9月同济大学学报(自然科学版)JOURNAL OF TON G J I UN IVERSITY (NATURAL SCIENCE )Vol.33No.9　Sep.2005布.这两条同相轴并不是真实电性结构的反映,而只是一种干扰信息.由于这种线段形干扰能量往往比较强,以至于淹没了剖面中的有效信息,所以在进行解释之前必须将其从剖面中移除,以使其背后的有效信息突出出来.二维滤波(F2K滤波)[2]可以被用来处理这种具有明显倾角的线段形干扰同相轴,但是基于方法本身的特点,二维滤波在去除剖面中线段形干扰同相轴的同时,也对剖面中那些与干扰同相轴具有同样倾角的有效信号同相轴造成了伤害.有时候,这种伤害是人们需要竭力避免的,使用拉东变换进行数据处理就是实现这一目标的途径之一.图1　“X”形干扰Fig.1　“X”interference1　拉东变换的原理拉东变换(或称经典Radon变换)是由奥地利数学家J.Radon于1917年提出来的.作为积分几何学的基石,它为一大类图像重构(层析成像)问题提供了一个统一的数学基础,已被广泛应用于物理、医学、天文、分子生物、材料科学、核磁共振、无损检测、地球物理等方面.在二维平面中,函数f(x,y)的拉东变换的定义为R(r,θ)=∫y∫x f(x,y)δ(r-x cosθ-y sinθ)d x d y 式中:r是原点到直线L(r,θ)的距离,r=x cosθ+ y sinθ;θ为原点到直线的垂线与x轴的夹角(如图2),0≤θ≤π;δ为狄拉克函数.从这个定义出发,拉东变换的实质是沿直线簇积分,如图2中所示直线上各点的能量经过拉东变换,将累加在拉东变换域中的点(r,θ)上.拉东变换的逆变换可以根据投影数据重建图像.根据投影定理,可以得到拉东变换的逆变换定义为f(x,y)=14π2∫∞0∫∞-∞R^(ω,θ)・exp{iω(x cosθ+y sinθ)}|ω|dωdθ式中:R^(ω,θ)是R(r,θ)关于r的傅利叶变换结果[3].图2　拉东变换Fig.2　R adon transform 实际应用中拉东变换的定义更被拓展为沿曲线簇积分,被称为广义拉东变换,如地震数据处理中的抛物拉东变换和双曲拉东变换都是广义的拉东变换在地球物理方面应用的实例.2　方法实现由于拉东变换能将二维数据变换到线参数的域中,数据中的线性特征在变换域中会表现为对应于相关线参数的峰值,所以可以设想利用其将探地雷达剖面中的线段形干扰同相轴移除掉.一个基本的思路便是将原始剖面经拉东变换映射到r2θ域中,然后将线段形干扰在r2θ域中的能量聚焦点移除,再逆变换回时间空间域就可以达到在不伤害其他有效信息的同时,把目标同相轴从剖面中分离的目的.虽然从数学意义上来说,拉东变换和其逆变换都是严格的,f(x,y)和R(r,θ)是一一对应的,但是由于在实际情况下,无论是函数f(x,y),还是拉东正、反变换的计算方法,都得以离散的形式出现.要将拉东变换应用于实践,就必须先解决离散化带来的两个问题.首先是拉东变换聚焦不准的问题.从拉东变换的定义来讲,直线r=x cosθ+y sinθ上各点的能量将聚焦在拉东变换域中的点(r,θ)上.但在数值计算中,数据本身是离散的,连续的积分变成了离散的累加.其结果造成直线上的能量实际是分布在了以点(r,θ)为中心的一个“X”形区域上,要想把它从拉东变换域中移除而不伤害其他的有效信息就变得比较困难.其次是拉东正、反变换造成的平均效应问题.即使对拉东变换的结果不进行任何的改变,由拉东反变换所得到的结果与原始数据仍然存在着差异.这1721　第9期吴健生,等:拉东变换在探地雷达资料处理中的应用种差异变化表现为细节特征的丢失以及同向轴振幅的平均化,降低了探地雷达剖面的分辨率.为了解决这两个问题,这里引入振幅均匀的假设:认为所要处理的同相轴各道之间拥有均匀的振幅,各道波形上的差异是因为随机背景数据与同相轴数据叠加造成的.在这个假设之下,可以直接建立线段形同相轴振幅、长度与拉东变换结果中“X ”形区域核心数据之间的对应关系.由此计算出干扰同相轴数据并从雷达剖面中将其移去.把从拉东变换域中移去能量焦点转换为在时间-空间域中直接消除干扰同相轴.方法的基本流程如图3所示.首先通过拉东变换将原始剖面变换到拉东变换域,根据目标同相轴在该域中形成的“X ”形区域的核心数据,提取出干扰同相轴的信息并生成只含有干扰信息的干扰剖面,然后将干扰剖面从原始剖面中减去,就达到了消除干扰同相轴的目标.图3　方法流程图Fig.3　Flow chart of the method 这种方法相对于原来的处理思路,有着明显的优点.它降低了干扰提取的难度,提高了干扰提取的精度.由于不使用拉东反变换,提高了计算速度,避免了对细节数据的破坏.还可对原始数据实现分块处理,在提高数据处理灵活性的同时,将处理的副作用限定在一定范围内,便于进一步的处理.这种方法在振幅均匀的前提假设下并不失其现实意义:旁侧影响、“X ”形杂波等线段形干扰等非电性结构产生的同相轴,拥有着极为一致的波形,叠加于有效信息之上,只有将其从剖面上移除了,被其掩盖的有效信息才可以显现出来.下面就是使用这种方法对模型数据和实际资料进行处理后得到的结果.2.1　模型剖面处理结果图4所示的实验使用了包含有两条水平同相轴和两条倾斜同相轴的模型剖面,根据这种方法的前提假设,它们都拥有着均匀的振幅.首先进行的是不含有随机噪声的实验(图4a ),对于这个模型原始剖面分别作了两种处理:去除中间的水平同相轴和去除倾斜同相轴,并在每个剖面的下方列出了其在拉东变换域中的响应剖面.可以看到,这种情况下,目标同向轴被非常干净地移除,同时没有造成其他有效信息的破坏,实验取得了很好的效果.然后在这个剖面中添加50%水平的随机噪声作为背景,仍然进行上述两种处理(图4b ).由于随机的背景数据累加值对于所要提取的响应特征的影响非常微弱,与第一个实验一样,这个实验仍然取得了令人满意的效果,不仅目标同向轴被从剖面中准确地移除,作为背景的随机噪声并没有遭到严重破坏.图4　模型实验结果Fig.4　Processing result of model GPR prof ile2721 同济大学学报(自然科学版)第33卷　2.2　实际资料处理结果实际资料与模型剖面还是存在着一定差异的,在使用上述方法进行处理之前,必须进行一些预处理,以使实际资料能够符合处理方法的应用前提.虽然实际资料中的旁侧影响、“X ”形杂波等线段形干扰往往是由非电性结构产生,有着相似的波形,但是由于衰减效应的存在,这些同相轴在振幅上并不均匀,必须对其进行振幅的补偿和均衡,这在大部分的探地雷达常规处理软件中都可以实现.实际资料中由非电性结构产生的旁侧影响、“X ”形杂波等线段形干扰的能量与有效信号差异比较大的情况也时有发生,处理时不可避免地会出现能量的二次分配问题.但是由于本方法自身的特点,能量的二次分配区域被限制在一定的范围内,从现有资料来看,大部分处理的情况都处于可以接受的范围之内.图5a 所示的是在对地下溶洞的勘测过程中获得的一个雷达剖面,在图中圈出的位置有一个比较明显的溶洞响应.剖面中出现的“X ”形干扰掩盖了有效的信息,造成了对溶洞范围信息判断的困难.为了得到准确的勘测结果,必须将“X ”形干扰从剖面中移除.由于考虑到剖面中存在有与“X ”形干扰同倾角的绕射波,使用二维滤波势必对这部分绕图5　“X ”干扰实际资料处理结果Fig.5　Processing result of “X ”interference in Field Data射波信息造成破坏,不利于后期的处理和解释,所以使用拉东变换方法对这个剖面进行了处理,处理结果如图5b 所示.相对于原始剖面,在图5b 所示的剖面中可以清楚地勾勒出溶洞的具体范围.原来被淹没掉的洞顶反射同相轴也清晰地显现了出来,溶洞的左右边界位置也基本可以确定.整个剖面的质量得到了有效的提高,为进一步的处理与解释奠定了良好的基础.3　结论理论分析和模型实验表明,采用拉东变换处理方法可以消除探地雷达剖面上线段形干扰.为了取得好的处理效果,重要的一方面是对数据进行振幅均衡化等预处理.实际资料处理获得的良好结果说明该方法已能应用于生产实际.处理过程中不可避免会产生能量二次分配的问题,从试验结果看,由此造成的影响不是十分明显,处理结果是可以接受的.当干扰与有效信号的能量差异悬殊时,造成的影响可能是明显的,这时应该考虑补偿处理.参考文献:[1]　李大心.探地雷达方法与应用[M ].北京:地质出版社,1994. L I Da 2xin.Ground penetrating radar (GPR )methods and applica 2tion[M ].Beijing :G eology Press ,1994.[2]　黄　伟,李大心,唐庆兵.二维滤波在探地雷达图像处理中的应用研究[J ].工程勘察,2002,(4):66-69. HUAN G Wei ,L I Da 2xin ,TAN G Qing 2bing.Application researchof two 2dimension filtering in the GPR figure processing [J ].G eotechnical Investigation &Surveying ,2002,(4):66-69.[3]　李新祥.Radon 变换的计算及其地球物理应用[J ].计算物理,1992,9(4):643-644. L I Xin 2xiang.The computation of radon transform and its applica 2tion in geophysics[J ].Chinese Journal of Computational Physics ,1992,9(4):643-644.(编辑:王东静)3721　第9期吴健生,等:拉东变换在探地雷达资料处理中的应用。

拉氏变换及应用

a,b为常数
则他们的组合为
L [ a f 1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F 2 ( s )
2、微分性质
L[ d f (t ) dt L[ d f (t ) dt
n 2 2 2 ] s F ( s ) 2 f (0 ) f (0 )
] sF ( s ) f (0 )
s1 t

i m 1
n
cie
si t
拉氏变换表如书中。例
d y (t ) dt
2 2
2
d y (t ) dt
2 y (t ) (t )
y (0) y (0) 0
方程两端拉氏变换
带入初状态有
Y (s) s c1 1 2 j
1
2
2s 2 c2

m 1

c1 ( s s1 )

c m 1 s s m 1

cn s sn
系数如下
c m lim ( s s1 ) F ( s )
m s s1
c m 1 lim
[ ( s s1 ) ds
j m m
d [( s s1 ) F ( s )]
m
s s1
拉氏变换及应用
1、定义如 f ( t ) e dt 其中 s j 为复变量存在称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）记作F(s)= f ( t ) e dt 其中 s j F(s)=L[f(t)]称F(s)为f(t)的象函数，f(t) 为F(s)的原函数。 2、积分限问题正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的

拉冬变换

( xmax xmin )
2.12
1 f ( xmax xmin )
Radon变换原理
由此我们可以知道F-X域拉当变换中斜率参数ρ 的临界采样率Δ ρ c为：
c 1/ fmax ( xmax xmin )
2.13
Radon变换原理
2、斜率参数ρ 的扫描范围为了避免f-ρ 变换过程中产生假频,必须正确选择射线参数p的范围,射线参数ρ 的扫描范围满足下式：
图四原始信号图
模型测试与分析
对此地震资料进行傅立叶变换我们可以得到此地震数据的频谱如图五所示。
图五原始信号频谱图
在图五中我们可以看到此地震数据是一个频率10赫兹到 30赫兹之间的信号。
模型测试与分析
对这个地震数据进行F-X域Radon变换，变换后的信号在f-ρ 域如图六所示。
图六原始信号F-X域Radon变换
在图六中我们可以看到图中存在一个脉冲，由于在x-t域共炮点道集是有限的，做Radon变换会引起畸变端点效应，即能够看到端点发散效应，变换到f-ρ域是一个能量团，这与理论是一致的。
模型测试与分析
我们把f-ρ 域的信号返回到F-X域，信号谱图如图七所示，经过反傅立叶变换我们将Radon变换后的F-X信号变换到t-x域，信号图如图八所示。
Radon变换原理
直射线投影中的几何分布与变量。直角坐标 ( x,
定义了模型中的位置矢量投影角

决定了
( p, )
x
y ) 和极坐标 (r , )
坐标系。投影试验是在 S 坐标的方向上沿着线L S
对模型做积分，它给出了 ( p, ) 坐标系中的投影数据。
CT技术---扇形束投影示意图

拉氏变换及反变换

n! sn1
n!
s an1
w
s a2 w 2
sa
s a2 w 2
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换（欧拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
e at te at
sin(wt) cos(wt)
1
1/s
1/s2
1 sa
1
s a2
w s2 w2
s
s2 w2
序号 8 9 10 11
常见时间函数拉氏变换表
f(t) tn(n=1,2,3….)
t neat (n=1,2,3….)
eat sinwt eat coswt
F(s)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数） F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
序号
1 2 3 4 5 6 7
常见时间函数拉氏变换表
f(t)
F(s)
单位脉冲函数:d(t)
单位阶跃函数:1(t) 单位速度函数：t
补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换
拉氏变换的定义常用函数的拉氏变换拉氏变换的定理拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1、f(t)实函数；
2、当t<0时，f(t)=0；
3、当t0时，f(t)的积分

0
f
(t)est dt
在s的某一域内收敛。

拉冬变换

Radon变换资料讲解

Radon变换综述

二章2拉氏变换ppt课件

拉冬变换

拉氏变换终值定理

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02第二章拉氏变换的数学方法

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