2_湍流基础 很好的解析
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2 湍流基础
☆ 流体运动的基本概念和基本方程 ★ 湍流基础 ☆ 扩散理论 ☆ 剪切流中的离散 ☆ 射流基础
本章主要内容
2.1 湍流的基本概念
2.2 湍流的基本方程
2.3 一阶封闭湍流模型(零方程模型)
2.4 二阶封闭湍流模型
2.5 二阶封闭湍流模型的变异
18:08
2 湍流基础
2
管口出流——层流
18:08 2 湍流基础 3
2.1.1 湍流的基本特征 10
C. 对湍流的归纳性解释：
18:08
D. 湍流的最基本的特征——随机性：
①湍流的流体质点的运动类似于分子运动，在时间与空间 上具有完全不规则的瞬息万变的运动特征。
②湍流的运动参数虽是随机量，但在一定程度上符合概率 规律，具有某种规律的统计平均特征。由于湍流场中存 在着拟序结构，它们都以大尺度旋涡运动为特征，因此 湍流也服从自然界中最基本的物理定律。
③脉动值乘以常数的平均值等于零：
cA c A 0
④脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零：
AB AB 0
18:08 2.1.3 平均值与脉动值的性质 18
⑤瞬时值对时间或空间坐标的各阶偏导数的平均值等于平 均值的各阶导数：
A A A A m n A m n A , , m n m n t t xi xi t xi t xi
18:08
2.2 湍流的基本方程
22
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
取平均值
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
ui t
1 p xi
2 ui x l x l
18:08
20世纪60年代以来：随着湍流试验技术的进步， 使人们对湍流现象有了进一步的认识。尤其湍 流中大涡拟序结构的发现改变了对湍流的某些 传统看法。
近十多年来：混沌理论(chaos theory)已成为非 线性科学的主要研究对象，应用混沌理论研究 湍流问题也许会给湍流研究带来更多的希望。
m n A m n A m n 0 m n t xi t xi
18:08 2.1.3 平均值与脉动值的性质 19
2.2 湍流的基本方程
仅限于分析不可压缩流体湍流，主要内容：
㈠湍流的连续性方程
㈡湍流时均动量方程(Reynolds方程) ㈢湍流Reynolds应力输运方程 ㈣湍流脉动动能方程(k方程) ㈤湍流能量耗散率方程(方程) ㈥湍流基本方程组的封闭性问题 ㈦湍流的半经验理论
不可压缩湍流平均动量方程(亦称Reynolds方程)成为
ui ul ui 2 ui u 1 p l ui fi t xl xi xl xl xl
u 通常称 u i j 为Reynolds应力(二阶张量)。用 P e i e j pij
18:08
2.1.1 湍流的基本特征
9
B. 湍流研究的基本现状：
100多年来，人类对湍流的研究取得了不少进展 并解决了不少工程问题。但由于湍流运动的极端 复杂性，其基本的流动机理至今未被人类所掌握， 甚至对于湍流至今缺乏一个严格的定义。 湍流是一种浑沌的、不规则的流动状态，其流动 参数随时间与空间作随机的变化，因此本质上是 三维非定常流动，且流动空间分布着无数形状与 大小各不相同的旋涡。可以说，湍流是随机的三 维非定常有旋流动。
ui ui 2 ui 1 p ul t xl xi xl xl
不可压缩流体湍流时均Navier-Stokes方程为
ui ui 2 ui u 1 p l ui ul t xl xi xl xl xl
上述两方程相减，得
k 1
N (k )
A ( x , y, z , t ) ——随机量的概率平均值。
(k )
A( x , y , z , t ) —— 为第k次试验的分布函数。
N —— 重复试验的次数。实际上N是无法做到的， 可以取足够多次的试验测量结果进行平均。
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
15
上述三种平均方法在物理概念上是有区别的，但根据随机 理论中的各态遍历假设可知，一个随机变量在重复多次的 试验中出现的所有可能值，能够在相当长时间内(或相当 大的空间范围内)的一次试验中出现许多次，并具有相同 的概率，亦即假设上述三种平均值是相同的：
⑴时间平均法
⑵整体平均法
⑶概率平均法
18:08
2.1 湍流的基本概念
12
A. 时间平均法(时均法)
(t )
1 A ( x , y, z ) lim T T
t 0 T
t0
A( x , y, z , t )dt
(t )
A ( x , y , z ) ——随机量的时间平均值。
A( x, y, z , t ) ——任一时刻的试验测量结果，t0可任取，
0
0
u ( ul u ul ui u ul u lu i l )(ui ui ) l ui i xl xl xl xl xl
ul ui u lu i x l x l
18:08 2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程) 23
动均匀化，也就是使上层流速较快的流动变缓，使下层流 du1 速较慢的流动加速。因此它与平均粘性切应力 p21 dx2 作用方向相同，该结论可推广到三维情况。
18:08
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
26
2.2.3 湍流Reynolds应力输运方程
不考虑质量力，或重力场下，p表示动压强时，不可压缩 流体湍流瞬时流场Navier-Stokes方程为
l处流体微团受到 u 的作用而向上运动到一个新位置时, 2 0 其原平均速度 u1l u1 , 使得新位置处x1方向的速度出现负
0 ，反之亦然。可见，u1 与 u 扰动，即 u1 2 的值总是符号
相反。该图中Reynolds切应力 u i u j作用的结果总是使流
管口出流——湍流
18:08 2 湍流基础 4
18:08
2 湍流基础
5
18:08
2 湍流基础
6
2.1 湍流的基本概念
2.1.1 湍流的基本特征 2.1.2 湍流的统计平均方法
2.1.3 平均值与脉动值的性质
18:08
2 湍流基础
7
2.1.1 湍流的基本特征
A. 科学家对湍流现象的描述：
O. Reynolds：一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动。 (1883年著名的圆管试验)
表示，且为对称张量。不可压缩湍流平均动量方程可写成
ui ul ui 1 pli p li fi t xl xl xl
其中
u j ui 1 ij 2 xi x j
24
pij p ij 2 ij , p ij ui u j ,
③湍流场中任意两个相邻空间点上的运动参数有某种程度 的相关或关联，如速度的关联、速度与压强的关联等等。 边界条件不同的湍流具有不同的关联特征 。
18:08
2.1.1 湍流的基本特征
11
2.1.2 湍流的统计平均方法
准确描述湍流运动随时间和空间的变化是不现实 的，故Reynolds首先转而研究湍流的平均运动。 统计平均方法是处理湍流运动的基本方法，主要 包括：
即一次试验中，从任何时刻开始进行平 均都不影响时间平均值的大小。 T —— 平均周期，理论上应趋于无穷大，实际上只需取 足够长的有限时间间隔。 上式为描述对时均值而言的统计定常湍流运动，按照随 机性的性质，其时间平均值与t0和T的选择无关。
18:08 2.1.2 湍流的统计平均方法 13
B. 整体平均法(体均法)
(t )
A A AA
(V )
( p)
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
16
2.1.3 平均值与脉动值的性质
最常用的描述湍流的近似方法是平均值方法，即将湍流的 任意参数A的瞬时随机值分解为平均量Ā与脉动量A′之和： A=Ā+A′ 为了今后对湍流运动微分方程进行平均化处理，须了解平 均值与脉动值的性质，这将用到Reynolds平均法则：
u p 2 u u f u t u 0 p u 2 ( uu) f u t
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
A B A B cA cA AB AB lim A limA
其中A和B为任意函数，c为常数。
18:08 2.1 湍流的基本概念 17
平均值与脉动值有下列性质：
①平均值的平均仍为该平均值：
1 A T AT A dt A T
t0 T
t0
②脉动值的平均值等于零：
A A A A A 0
G. I. Taylor和T. von Ká rmá n：“湍流是常在流 体流过固体表面或者相同流体的分层流动中出 现的一种不规则的流动”。 J. O. Hinze：“湍流是流体运动的一种不规则 的情况。在湍流中各种流动的物理量随时间和 空间坐标而呈现随机的变化，因而具有明确的 统计平均值”。
2.1 湍流的基本概念 8
例如：
A 1 lim t N N A 1 N (k ) 1 lim A lim N N N t k 1 t N k 1 t
N (k )
A A t k 1
N (k )
由上述可知，脉动值对时间或空间坐标的各阶偏导数的 平均值等于零：
(V )
1 A ( t ) lim V V
V
A( x , y , z , t )dV
(V )
A ( t ) ——随机量的整体平均值。
V —— 包含进行测量的空间点(x,y,z)在内的足够大的体 积。 上式为描述对体均值而言的统计均匀湍流流场（可以是
非定常流场）。按照随机性的性质，其整体平均值应与 所取的体积V的大小及其所处的坐标位置无关 。
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
14
C. 概率平均法(系综平均法)
时均法只适用于定常湍流，而体均法只适用于均匀湍流。 对于一般的非定常、非均匀湍流，可以采用随机变量的 一般平均法，即概率平均法。
( p)
( p)
1 A ( x, y, z , t ) lim N N
A( x , y , z , t )
2 u u u u u u 1 p i i i i i l ui ul u u l l t xl xl xl xi xl xl xl
18:08 2.2 湍流的基本方程 27
2 u u u u u u 1 p i i i i i l ui ul u u l l t xl x l x l xi x l x l x l
18:08 2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
的物理意义 u iuj
——由于湍流脉动引起的单位面积上的动量输运率。
平面流动脉动流速示意图
18:08
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
25
以图示二维流动为例，
u1 u1 ( x2 ), u2 u3 0, du1 / dx2 0
18:08 2 湍流基础 20
2.2.1 湍流连续性方程
u 0
或
ui 0 xi
取平均值
ui 0 xi
（ui ui） 0 xi
u i 0 xi
18:08 2.2 湍流的基本方程 21
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
Navier-StoBiblioteka Baidues方程
☆ 流体运动的基本概念和基本方程 ★ 湍流基础 ☆ 扩散理论 ☆ 剪切流中的离散 ☆ 射流基础
本章主要内容
2.1 湍流的基本概念
2.2 湍流的基本方程
2.3 一阶封闭湍流模型(零方程模型)
2.4 二阶封闭湍流模型
2.5 二阶封闭湍流模型的变异
18:08
2 湍流基础
2
管口出流——层流
18:08 2 湍流基础 3
2.1.1 湍流的基本特征 10
C. 对湍流的归纳性解释：
18:08
D. 湍流的最基本的特征——随机性：
①湍流的流体质点的运动类似于分子运动，在时间与空间 上具有完全不规则的瞬息万变的运动特征。
②湍流的运动参数虽是随机量，但在一定程度上符合概率 规律，具有某种规律的统计平均特征。由于湍流场中存 在着拟序结构，它们都以大尺度旋涡运动为特征，因此 湍流也服从自然界中最基本的物理定律。
③脉动值乘以常数的平均值等于零：
cA c A 0
④脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零：
AB AB 0
18:08 2.1.3 平均值与脉动值的性质 18
⑤瞬时值对时间或空间坐标的各阶偏导数的平均值等于平 均值的各阶导数：
A A A A m n A m n A , , m n m n t t xi xi t xi t xi
18:08
2.2 湍流的基本方程
22
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
取平均值
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
ui t
1 p xi
2 ui x l x l
18:08
20世纪60年代以来：随着湍流试验技术的进步， 使人们对湍流现象有了进一步的认识。尤其湍 流中大涡拟序结构的发现改变了对湍流的某些 传统看法。
近十多年来：混沌理论(chaos theory)已成为非 线性科学的主要研究对象，应用混沌理论研究 湍流问题也许会给湍流研究带来更多的希望。
m n A m n A m n 0 m n t xi t xi
18:08 2.1.3 平均值与脉动值的性质 19
2.2 湍流的基本方程
仅限于分析不可压缩流体湍流，主要内容：
㈠湍流的连续性方程
㈡湍流时均动量方程(Reynolds方程) ㈢湍流Reynolds应力输运方程 ㈣湍流脉动动能方程(k方程) ㈤湍流能量耗散率方程(方程) ㈥湍流基本方程组的封闭性问题 ㈦湍流的半经验理论
不可压缩湍流平均动量方程(亦称Reynolds方程)成为
ui ul ui 2 ui u 1 p l ui fi t xl xi xl xl xl
u 通常称 u i j 为Reynolds应力(二阶张量)。用 P e i e j pij
18:08
2.1.1 湍流的基本特征
9
B. 湍流研究的基本现状：
100多年来，人类对湍流的研究取得了不少进展 并解决了不少工程问题。但由于湍流运动的极端 复杂性，其基本的流动机理至今未被人类所掌握， 甚至对于湍流至今缺乏一个严格的定义。 湍流是一种浑沌的、不规则的流动状态，其流动 参数随时间与空间作随机的变化，因此本质上是 三维非定常流动，且流动空间分布着无数形状与 大小各不相同的旋涡。可以说，湍流是随机的三 维非定常有旋流动。
ui ui 2 ui 1 p ul t xl xi xl xl
不可压缩流体湍流时均Navier-Stokes方程为
ui ui 2 ui u 1 p l ui ul t xl xi xl xl xl
上述两方程相减，得
k 1
N (k )
A ( x , y, z , t ) ——随机量的概率平均值。
(k )
A( x , y , z , t ) —— 为第k次试验的分布函数。
N —— 重复试验的次数。实际上N是无法做到的， 可以取足够多次的试验测量结果进行平均。
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
15
上述三种平均方法在物理概念上是有区别的，但根据随机 理论中的各态遍历假设可知，一个随机变量在重复多次的 试验中出现的所有可能值，能够在相当长时间内(或相当 大的空间范围内)的一次试验中出现许多次，并具有相同 的概率，亦即假设上述三种平均值是相同的：
⑴时间平均法
⑵整体平均法
⑶概率平均法
18:08
2.1 湍流的基本概念
12
A. 时间平均法(时均法)
(t )
1 A ( x , y, z ) lim T T
t 0 T
t0
A( x , y, z , t )dt
(t )
A ( x , y , z ) ——随机量的时间平均值。
A( x, y, z , t ) ——任一时刻的试验测量结果，t0可任取，
0
0
u ( ul u ul ui u ul u lu i l )(ui ui ) l ui i xl xl xl xl xl
ul ui u lu i x l x l
18:08 2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程) 23
动均匀化，也就是使上层流速较快的流动变缓，使下层流 du1 速较慢的流动加速。因此它与平均粘性切应力 p21 dx2 作用方向相同，该结论可推广到三维情况。
18:08
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
26
2.2.3 湍流Reynolds应力输运方程
不考虑质量力，或重力场下，p表示动压强时，不可压缩 流体湍流瞬时流场Navier-Stokes方程为
l处流体微团受到 u 的作用而向上运动到一个新位置时, 2 0 其原平均速度 u1l u1 , 使得新位置处x1方向的速度出现负
0 ，反之亦然。可见，u1 与 u 扰动，即 u1 2 的值总是符号
相反。该图中Reynolds切应力 u i u j作用的结果总是使流
管口出流——湍流
18:08 2 湍流基础 4
18:08
2 湍流基础
5
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2 湍流基础
6
2.1 湍流的基本概念
2.1.1 湍流的基本特征 2.1.2 湍流的统计平均方法
2.1.3 平均值与脉动值的性质
18:08
2 湍流基础
7
2.1.1 湍流的基本特征
A. 科学家对湍流现象的描述：
O. Reynolds：一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动。 (1883年著名的圆管试验)
表示，且为对称张量。不可压缩湍流平均动量方程可写成
ui ul ui 1 pli p li fi t xl xl xl
其中
u j ui 1 ij 2 xi x j
24
pij p ij 2 ij , p ij ui u j ,
③湍流场中任意两个相邻空间点上的运动参数有某种程度 的相关或关联，如速度的关联、速度与压强的关联等等。 边界条件不同的湍流具有不同的关联特征 。
18:08
2.1.1 湍流的基本特征
11
2.1.2 湍流的统计平均方法
准确描述湍流运动随时间和空间的变化是不现实 的，故Reynolds首先转而研究湍流的平均运动。 统计平均方法是处理湍流运动的基本方法，主要 包括：
即一次试验中，从任何时刻开始进行平 均都不影响时间平均值的大小。 T —— 平均周期，理论上应趋于无穷大，实际上只需取 足够长的有限时间间隔。 上式为描述对时均值而言的统计定常湍流运动，按照随 机性的性质，其时间平均值与t0和T的选择无关。
18:08 2.1.2 湍流的统计平均方法 13
B. 整体平均法(体均法)
(t )
A A AA
(V )
( p)
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
16
2.1.3 平均值与脉动值的性质
最常用的描述湍流的近似方法是平均值方法，即将湍流的 任意参数A的瞬时随机值分解为平均量Ā与脉动量A′之和： A=Ā+A′ 为了今后对湍流运动微分方程进行平均化处理，须了解平 均值与脉动值的性质，这将用到Reynolds平均法则：
u p 2 u u f u t u 0 p u 2 ( uu) f u t
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
A B A B cA cA AB AB lim A limA
其中A和B为任意函数，c为常数。
18:08 2.1 湍流的基本概念 17
平均值与脉动值有下列性质：
①平均值的平均仍为该平均值：
1 A T AT A dt A T
t0 T
t0
②脉动值的平均值等于零：
A A A A A 0
G. I. Taylor和T. von Ká rmá n：“湍流是常在流 体流过固体表面或者相同流体的分层流动中出 现的一种不规则的流动”。 J. O. Hinze：“湍流是流体运动的一种不规则 的情况。在湍流中各种流动的物理量随时间和 空间坐标而呈现随机的变化，因而具有明确的 统计平均值”。
2.1 湍流的基本概念 8
例如：
A 1 lim t N N A 1 N (k ) 1 lim A lim N N N t k 1 t N k 1 t
N (k )
A A t k 1
N (k )
由上述可知，脉动值对时间或空间坐标的各阶偏导数的 平均值等于零：
(V )
1 A ( t ) lim V V
V
A( x , y , z , t )dV
(V )
A ( t ) ——随机量的整体平均值。
V —— 包含进行测量的空间点(x,y,z)在内的足够大的体 积。 上式为描述对体均值而言的统计均匀湍流流场（可以是
非定常流场）。按照随机性的性质，其整体平均值应与 所取的体积V的大小及其所处的坐标位置无关 。
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
14
C. 概率平均法(系综平均法)
时均法只适用于定常湍流，而体均法只适用于均匀湍流。 对于一般的非定常、非均匀湍流，可以采用随机变量的 一般平均法，即概率平均法。
( p)
( p)
1 A ( x, y, z , t ) lim N N
A( x , y , z , t )
2 u u u u u u 1 p i i i i i l ui ul u u l l t xl xl xl xi xl xl xl
18:08 2.2 湍流的基本方程 27
2 u u u u u u 1 p i i i i i l ui ul u u l l t xl x l x l xi x l x l x l
18:08 2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
的物理意义 u iuj
——由于湍流脉动引起的单位面积上的动量输运率。
平面流动脉动流速示意图
18:08
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
25
以图示二维流动为例，
u1 u1 ( x2 ), u2 u3 0, du1 / dx2 0
18:08 2 湍流基础 20
2.2.1 湍流连续性方程
u 0
或
ui 0 xi
取平均值
ui 0 xi
（ui ui） 0 xi
u i 0 xi
18:08 2.2 湍流的基本方程 21
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
Navier-StoBiblioteka Baidues方程