简单曲线的极坐标方程
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程
预习 思考
1．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝1 __________ ；
(2)圆心位于 M(1,0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝2cos θ ； ____________
π (3)圆心位于 M1，2， 半径为 1 的圆的极坐标方程为：
第一讲
坐 标 系
1.3 简单曲线的极坐标方程
栏 目 链 接
1.理解极坐标方程的意义. 2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程. 3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标 系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当 坐标系的意义.
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定义． 如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ， θ)＝0 有如下关系：
π π (2)如下图所示， A3，3 ，即 |OA|＝ 3， ∠AOB ＝ . 3
3π 由已知∠MBx＝ ， 4
栏 目 链 接
∴∠OAB＝
3π π 5π － ＝ . 4 3 12 5π 7π ＝ . 12 12
栏 目 链 接
∴∠OAM＝π－
3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ. 4 3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得 ＝ . 3π 7π sin 4 －θ sin 12
π 1 ．过 A 3，3 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
____________．
栏 目 链 接
3 答案：ρsin θ＝ 2
题型2
直角坐标方程与极坐标的互化
例3 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1)y2＝4x； (2)y2＋x2－2x－1＝0； π (3)θ＝ ； 3
1.3 简单曲线的极坐标方程(1)
(2) 圆心在Ｃ(a, 0)，半径为a； ＝2acos
(3) 圆心在(a, )，半径为a； 2
(4) 圆心在Ｃ(0, ０)，半径为r. 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
＝2asin
高中 数学备课组
课堂小结
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程 求曲线的极坐标方程步骤
高中 数学备课组
在平面直角坐标系中， 平面曲线Ｃ可以用方 程 f(x, y)=0表示. 曲线与方程f(x, y)=0满足如下关 系: (1) 曲线Ｃ上点的坐标都是方程f(x, y)=0的解 ； (2) 以方程 f(x, y)=0 的解为坐标的点都在曲线 Ｃ上. 那么, 在极坐标系中，平面曲线是否可以用方 程 f( ,)=0 表示呢?
高中 数学备课组
设M(ρ,θ)为圆上任意一点，则|OM|=r，即 ρ=r 为所求的圆的极坐标方程 . 显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形 式上比 ρ=2acosθ更简单. 与直角坐标方程 x2+y2=r2 比较, 你能说说极坐 标方程 =r 的优点吗?
高中 数学备课组
题组练习
求下列圆的极坐标方程 (1) 圆心在极点，半径为2； ＝ 2
高中 数学备课组
由此可知，ρ=2acosθ 就是圆心在C(a, 0) (a>0) 半径为a的圆的极坐已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系， 可以使圆的极坐标方程简单？ 解：如果以圆心O为极点， 从O出发的一条射线为极 轴，建立极坐标系(如图)，
M
O r x
那么圆上各点的几何特征 就是它们的极径都等于半 径r .
1、根据题意画出草图； 2、设点M(, ) 是曲线上任意一点，并连接OM； 3、根据几何条件建立关于, 的方程，并化简； 4、检验并确认所得的方程即为所求.
简单曲线的极坐标方程 课件
答案：(1)ρsin2θ＝4cos θ (2)ρ2－2ρcos θ－1＝0 (3)y＝ 3x(x≥0) (4)x2－y2＝4 (5)3x2＋4y2－2x－1＝0
例 1 极坐标方程 θ＝π6 表示什么曲线？
π 错解：方程中不含变量 ρ，即不论 ρ 取何值，极角 θ 恒为 6 ，
π
π
因此 θ＝ 6 表示一条直线，它的极角为 6 .
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵tan θ＝xy，∴tan π3 ＝xy＝ 3. 化简，得 y＝ 3x(x≥0)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2＝4. (5)∵ρ＝2－c1os θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1. 化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
正解二：两圆心的极坐标分别为 C1(1，0)，C21，π2 ， ∴|C1C2|＝ 12＋12－2×1×1×cosπ2 －0＝ 2. 易错点：极坐标系中两点间距离公式记忆不清导致运算错误 【易错点辨析】平面直角坐标系中两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之 间的距离|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，极坐标系中两点 P1(ρ1， θ1)，P2(ρ2，θ2)之间的距离|P1P2|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）. 在应用时往往因记忆不清而导致计算错误．
解析：(1)如右图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)， ∵A2，π4 ，
π ∴|MH|＝2sin 4 ＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， ∴过 A2，π4 且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝ 2.
人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程
归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可 以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标 系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有 如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一 个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ 上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
； ； ；
பைடு நூலகம்； 。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为 极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ； （2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养
简单曲线的极坐标方程 课件
由极径的意义可知 ρ≥0，当极角 θ 的取值范围是 [0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角 θ 可取任意角．
3．坐标之间的互化
(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面 内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ， θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
∴ρ＝a·cos 12ωt，……② θ
由①②消去 t，得 ρ＝acos 3 ， 这就是点 M 轨迹的极坐标方程．
【点评】求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法，极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法”，它通过找出一个三角形，利用 三角形中的边角关系，求得轨迹的极坐标方程．
ρ02－r2＝0.
一、平面直角坐标系中的伸缩变换及应用 例1在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变
换xy′′＝＝y 3x，后变为曲线 C′：x′2＋9y′2＝9.在以此直角 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，动
点 M 的极坐标(ρ，θ)满足方程 ρsinθ＋π4＝3，设点 P 为曲线 C 上一动点，则|PM|的最小值是___2____．
(0<θ<π)
(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线 l 经过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，直线 l 的极坐标 方程为：
_______s_i_n___________0 _si_n_______0 _____．
5．半径为 r 的圆的极坐标方程
(1)特殊位置的圆的极坐标方程：
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
曲线的极坐标方程乐乐课堂
曲线的极坐标方程在数学中，我们常常通过极坐标方程来描述平面上的曲线。
极坐标方程给出了曲线上每个点的极径和极角，通过这两个参数，我们可以唯一确定曲线上的每个点。
极坐标系极坐标系是一种用于描述平面上的点的坐标系统。
与直角坐标系不同的是，极坐标系使用极径（r）和极角（θ）来表示点的位置。
极径是指点到坐标原点（极点）的距离，可以是正数或零。
极角是指点与极坐标的极轴（通常是x轴）之间的夹角，可以是0到360度之间的任意实数。
极坐标方程极坐标方程是指通过极径和极角来描述一个曲线上的点的方程。
一般来说，极坐标方程可以写成以下形式：r = f(θ)其中r是极径，f是一个描述极径和极角关系的函数。
不同的曲线对应不同的极坐标方程。
下面介绍一些常见的曲线及其极坐标方程。
极坐标方程示例：圆圆是最简单的曲线之一。
它在极坐标系中的方程为：r = a其中a是圆的半径。
不论极角θ取任何值，r都等于a，表示圆上的每个点都与极点的距离相等。
极坐标方程示例：直线直线也可以用极坐标方程来表示。
假设直线与极轴的夹角为α，离极点的距离为d，则直线在极坐标系中的方程为：r = d / cos(θ - α)这个方程描述了直线上每个点的极径与极角之间的关系。
极坐标方程示例：螺线螺线是一种极坐标方程非常复杂的曲线。
它的方程可以写成：r = a + bθ其中a和b是常数，可以控制螺线的形状。
螺线是一种既有径向增长，又有角度变化的曲线。
极坐标方程示例：心形线心形线是一种非常美丽的曲线。
它有多种极坐标方程的表示形式，其中一种常见的方程是：r = a(1 - cos(θ))这个方程描述了心形线上每个点的极径与极角之间的关系。
通过改变参数a的值，可以调整心形线的大小。
总结极坐标方程是一种用于描述平面上曲线的方程。
通过极径和极角，可以准确地表示曲线上每个点的位置。
不同的曲线对应不同的极坐标方程。
在解决一些特定的几何问题时，极坐标方程有时比直角坐标方程更加方便和简洁。
简单曲线的极坐标方程公开课优秀课件
二 新课讲解：
探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(,)满足的条件？
M (,)
O
A
C(a,0)
x
思路分析
1、把所设圆上任意一点的极坐标在所画图形上 明确标出来、 即明确长度与角度是哪一 边，哪一个角
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f(,)=0即为曲线的方程）
例1 已知圆O的半径为r，建立怎样 的坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
解：如图，设点M(, )为直线上除点P外
的任意一点，连接OM，则 O M, xO M
由点P的极坐标知 OP 1 xOP1
设直线L与极轴交于点A。则在MOP中
O M P , O P M ( 1 )
M
由即正弦定sin理[得(si nO 1)O ]M Psin M ( s1 i nO)OoPM﹚P 1 s in ()1 s in (1 )
练习1求过点A (a,/2)(a>0)，且平行于
极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系， A M
设点M(, )为直线L上除点
﹚
A外的任意一点，连接OM o
x
在 RtMOA中有
IOMI sin∠AMO=IOAI 即 sin ＝a
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教案章节：第一章至第五章第一章：引言1.1 极坐标系的介绍极坐标系的定义和基本概念极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系的优点和应用领域1.2 极坐标方程的基本形式极坐标方程的定义和表达方式极坐标方程与直角坐标方程的转换方法常见曲线的极坐标方程的例子第二章：圆的极坐标方程2.1 圆的极坐标方程的定义和性质圆的极坐标方程的表达方式圆的半径和角度的关系圆的极坐标方程的图像和特点2.2 圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在圆的极坐标方程中的应用第三章：螺旋线的极坐标方程3.1 螺旋线的极坐标方程的定义和性质螺旋线的极坐标方程的表达方式螺旋线的半径和角度的关系螺旋线的极坐标方程的图像和特点3.2 螺旋线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式螺旋线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在螺旋线的极坐标方程中的应用第四章：双曲线的极坐标方程4.1 双曲线的极坐标方程的定义和性质双曲线的极坐标方程的表达方式双曲线的半径和角度的关系双曲线的极坐标方程的图像和特点4.2 双曲线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的极坐标方程中的应用第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的极坐标方程的定义和性质椭圆的极坐标方程的表达方式椭圆的半径和角度的关系椭圆的极坐标方程的图像和特点5.2 椭圆的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式椭圆的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在椭圆的极坐标方程中的应用第六章：直线的极坐标方程6.1 直线的极坐标方程的定义和性质直线的极坐标方程的表达方式直线的极坐标方程与直角坐标方程的关系直线的极坐标方程的图像和特点6.2 直线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式直线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在直线的极坐标方程中的应用第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的极坐标方程的定义和性质抛物线的极坐标方程的表达方式抛物线的半径和角度的关系抛物线的极坐标方程的图像和特点7.2 抛物线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式抛物线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在抛物线的极坐标方程中的应用第八章：渐开线的极坐标方程8.1 渐开线的极坐标方程的定义和性质渐开线的极坐标方程的表达方式渐开线的半径和角度的关系渐开线的极坐标方程的图像和特点8.2 渐开线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式渐开线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在渐开线的极坐标方程中的应用第九章：双曲线的渐近线的极坐标方程9.1 双曲线的渐近线的极坐标方程的定义和性质双曲线的渐近线的极坐标方程的表达方式双曲线的渐近线的半径和角度的关系双曲线的渐近线的极坐标方程的图像和特点9.2 双曲线的渐近线的极坐标方程的参数方程参数方程的定义和表达方式双曲线的渐近线的参数方程与极坐标方程的关系参数方程在双曲线的渐近线的极坐标方程中的应用第十章：总结与拓展10.1 简单曲线极坐标方程的应用极坐标方程在工程和物理领域的应用极坐标方程在艺术和设计领域的应用极坐标方程在其他领域的应用10.2 极坐标方程的进一步研究复杂曲线的极坐标方程研究极坐标方程与其他数学分支的联系极坐标方程在现代科学技术中的应用重点和难点解析：1. 第一章：引言极坐标系的定义和基本概念：需要重点关注极坐标系与直角坐标系的关系，以及极坐标系的优点和应用领域。
第1讲-简单曲线的极坐标方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2x，将 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ 代入整理得 ρ＝2cos θ.
【答案】 ρ＝2cos θ
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
直线或射线的极坐标方程
课 前 自 主 导 学
π 【解析】 极坐标系中点(2，6)对应的直角坐标为( 3，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1)．极坐标系中直线 ρsin θ＝2 对应直角坐标系中直线 y＝2. 故所求距离为 1.
【答案】 1
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
极坐标方程的应用
课 前 自 主 导 学
从极点 O 作直线与另一直线 l：ρcos θ＝4 相交 于点 M，在 OM 上取一点 P，使|OM |· |OP|＝12. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设 R 为 l 上的任意一点，试求|RP|的最小值．
菜 单
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-4
极坐标方程与直角坐标方程的互化
若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ＋4cos θ， 以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． (1)求曲线 C 的直角坐标方程； π (2)若直线 ρsin(θ－4 )＝0 与曲线 C 相交于 A、B，求|AB |. 【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线
且 O、C、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在 △ OCM 中，由余弦定理得 |OM |2 ＋ |OC|2 － 2|OM |· |OC|· cos ∠ COM＝ |CM |2，
三、简单曲线的极坐标方程
2＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
2 2
练习：
A、双曲线
1、极坐标方程 cos( )所表示的曲线是（ D ） 4
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
2
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的 圆心坐标和半径是什么？ 圆心坐标是(2,
), 半径是r=2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ） 3 2 D、 (5, ) (5, ) A、 (5,0) B、 C、 (5, ) 3 3 3
5 ( 0) 4
o
M
x
（3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) M 4 4
﹚
4
o
x
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
P 点坐标(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)， π 当 α≠ 时，直线方程为 y－ρ1sin θ1＝tan α(x－ρ1cos θ1) ， 2 即 x· tan α－y－ρ1cos θ1·tan α＋ρ1sin θ1＝0. π 当 α＝ 时，x＝ρ1cos θ1. 2 答
M (,) A
O
C(a,0)
x
曲线的极坐标方程
①曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）
一 定义：若曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系：
符合方程f(,)=0 ；
课时分层作业3 简单曲线的极坐标方程
课时分层作业(三)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆D ．椭圆[解析] 由ρ＝1，得ρ2＝1，即x 2＋y 2＝1，故选C. [答案] C2．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( ) A ．θ＝π3 B ．θ＝π3，ρ≥0 C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0[解析] 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线． ∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π， ∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)． [答案] D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0)D ．(1，π)[解析] 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. [答案] B4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1[解析] 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.[答案] B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝12 B ．ρcos θ＝2 C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3[解析] 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．[答案] B 二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________． [解析] ∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心， ∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. [答案] 1∶17．若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．[解析] 直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.[答案] 32＋18．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． [解析] 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0，∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.[答案]3三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解] (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 又P 为MN 的中点，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．10．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0，由l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.[能力提升练]1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称 C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3对称D ．极点对称[解析] 由方程ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2y －23x ， 配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2且过原点的圆， 所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称． [答案] B2．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 3[解析] ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2.[答案] C3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．[解析] 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 4．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．[解] (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x,2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上， 所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1， 则Q 的直角坐标方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。
简单曲线的极坐标方程课件
2.求极坐标方程的步骤
剖析求曲线的极坐标方程的步骤与求直角坐标方程的步骤类似,
就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲
线上的点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极
坐标方程,具体如下:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上的任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和
【例3】 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
(1)射线 y= 3(≤0);
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0).
= cos,
分析:由公式
化简即可.
= sin
解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y= 3,
得ρsin θ= 3cos θ.当 ρ≠0 时,tan θ= 3,
π
4π
∴θ= 或 = .
3
3
∵x≤0,∴ρcos θ≤0,∴θ=
4π
3
.
由于射线过极点,故射线 y= 3(≤0)的极坐标方程为
4π
θ= (≥0).
3
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0,得
ρ2cos2θ+ρ2sin2θ+2aρcos θ=0,
即ρ(ρ+2acos θ)=0.
1.直角坐标系与极坐标系的区别
剖析(1)在直角坐标系中,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的
方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只
看作一个方程).可是在极坐标系中,虽然是一个方程只能与一条曲
线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应,所以曲线和它的方程
简单曲线的极坐标方程
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线
4
方程为 ( B )
A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
5、在极坐标系中，已知一个圆的方程为
＝12sin( )，则过圆心与极轴垂直的
6
直线的极坐标方程是( C )
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆＝4 s in 相切的一条
直线的方程是 ( B )
A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 s in 的化为直角坐标方程是
x2 y2 4 y 0即x2 ( y 2)2 4 那么一条与此圆相切的圆的方程为
x 2化为极坐标方程为 cos 2
5、过轴外某定点，且与极轴成一定的角度
1、求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
解：由已知sin 1 可得cos 2 2
3
3
所以得tan 2 即 y 2
4x 4
两条直线l1 : 2x 4 y 0,l2 : 2x 4 y 0 所以是两条相交直线
4
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
2、曲线的极坐标方程＝4 sin 表示的圆的
圆心坐标和半径是什么？圆心坐标是(2, ),半径是r=2
2
3、圆＝10 cos( )的圆心坐标是（ C ）
A、(5,0)
3
B、(5,
)
C、(5, ) D、(5, 2 )
3
3
简单曲线的极坐标方程2(4-4)
5 射线ON： ；N 4
5 和 4 4
可以考虑允许极径可以取全体 实数。
若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ) 关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程 是： M O
45° x
5 ( R )或 ( R) 4 4
N
探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线 l的极坐标方程是什么？ ρ M 当a＞0时， θ O ρcosθ＝a； x A M ρ A
O
B
x
思考4：设点P的极坐标为 ( 1 ,1 ) ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为 程。
,求直线 Байду номын сангаас 的极坐标方
﹚
o
1
1 P
﹚
M
x
解：如图，设点
M ( , ) 为直线上除
点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A。则在 MOP
θ
O
x
当a＜0时，ρcosθ＝－a.
例2：求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( , )是直线l上除点A外的任意一点
A(2, ) MB 2 sin 2 4 4
在Rt OMB中， MB OM sin ,即 sin 2 可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4 M(， ) A 故所求直线方程为 sin 2
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
自主学习：
时间：3分钟
请大家阅读课本P13-P14的内容，回答下面几个 问题： 1， 直线的极坐标方程如何表示？ 2，已知直线的直角坐标系方程如何求其极坐 标方程？
简单曲线的极坐标方程练习题有答案
简单曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程圆心位置 极坐标方程图 形圆心在极点(0，0)半径为r ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r ，0) 半径为r ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)半径为r ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π) 半径为r ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2) 半径为rρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)圆心C (ρ0，θ0)，半径为rρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2－r 2＝0.2.在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程直线位置极坐标方程图 形过极点， 倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝α＋π(ρ∈R )(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，且 与极轴垂直ρcos_θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，且与极轴平行ρsin_θ＝a (0<θ<π)过点(a ，0)倾斜角为α ρsin(α－θ)＝a sin α(0<θ<π)过点P (ρ0，θ0)，倾斜角为αρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 ①x ＋y ＝0；②x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状： ①ρcos θ＝2；②ρ＝2cos θ；③ρ2cos 2θ＝2；④ρ＝11－cos θ.[思路点拨] (1)先把公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简．(2)先利用公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2代入曲线的极坐标方程，再化简．[解] (1)①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x ＋y ＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，即ρ(sin θ＋cos θ)＝0，∴tan θ＝－1，θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)，∴直线x ＋y ＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．②将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0得ρ2＋2aρcos θ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2a cos θ.又ρ＝0表示极点，而极点在圆ρ＝－2a cos θ上 ∴所求极坐标方程为ρ＝－2a cos θ(2)①∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，即直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，它表示过点(2，0)且垂直于x 轴的直线，②∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x . ∴(x －1)2＋y 2＝1，即ρ＝2cos θ的直角坐标方程． 它表示圆心为(1，0)，半径为1的圆． ③∵ρ2cos 2θ＝2， ∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2－y 2＝2，故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． ④∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0，0)，准线方程为x ＝－1的抛物线． 4.曲线x 2＋y 2＝2x 2＋y 2的极坐标方程是____________．解析：∵x 2＋y 2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝2x 2＋y 2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0. 答案：ρ(ρ－2)＝05.曲线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0的直角坐标方程是______________． 解析：∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，∴22ρsin θ－22ρcos θ＝0，∴ρsin θ－ρcos θ＝0，即x －y ＝0. 答案：x －y ＝06.圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )解析：选D.∵ρ＝5cos θ－5 3 sin θ， ∴ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝5x －53y ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋532＝25， ∴圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，ρ＝254＋754＝5， tan θ＝y x ＝－3，θ＝5π3∴圆心C 的极坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3.7.极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选D.∵ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ，即ρ＝22(cos θ＋sin θ)，∴ρ2＝22(ρcos θ＋ρsin θ)， ∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即⎝⎛⎭⎪⎫x －24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －24＝14. 8.曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1cos θ，则曲线的直角坐标方程为__________．解析：∵ρ＝tan θ·1cos θ，∴ρcos 2θ＝sin θ，∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ， ∴x 2＝y . 答案：x 2＝y9.直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．[解析] (1)由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0⇒(x －1)2＋y 2＝1，由于圆心(1，0)到直线的距离为1－12＝12，所以弦长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 3.10.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________．(2)由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 所以(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2，0)，半径r ＝|OC |＝2，如图，在△OCP 中， ∠POC ＝π3，|OP |＝4.由余弦定理，得|PC |2＝|OP |2＋|OC |2－2|OP ||OC |·cos ∠POC ＝42＋22－2×4×2cos π3＝12，所以|PC |＝2 3. [答案] (1) 3 (2)2311.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.。
简单曲线的极坐标方程(教案)
简单曲线的极坐标方程教学目标：1. 了解极坐标系的定义和基本概念；2. 掌握极坐标与直角坐标之间的转换关系；3. 学习简单曲线的极坐标方程的求解方法；4. 能够应用极坐标方程解决实际问题。
教学内容：第一章：极坐标系的定义和基本概念1.1 极坐标系的定义1.2 极坐标与直角坐标的关系1.3 极坐标系的应用领域第二章：极坐标与直角坐标之间的转换关系2.1 极坐标与直角坐标之间的转换公式2.2 转换关系的推导过程2.3 转换关系的应用实例第三章：圆的极坐标方程3.1 圆的直角坐标方程3.2 圆的极坐标方程的推导3.3 圆的极坐标方程的应用实例第四章：直线的极坐标方程4.1 直线的直角坐标方程4.2 直线的极坐标方程的推导4.3 直线的极坐标方程的应用实例第五章：椭圆的极坐标方程5.1 椭圆的直角坐标方程5.2 椭圆的极坐标方程的推导5.3 椭圆的极坐标方程的应用实例教学方法：1. 采用讲授法，讲解极坐标系的定义和基本概念，以及极坐标与直角坐标之间的转换关系；2. 通过示例和练习，让学生掌握圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解方法；3. 利用多媒体辅助教学，展示极坐标系的图像和实例，增强学生的直观感受；4. 布置课后作业，巩固学生对极坐标方程的理解和应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生对极坐标系的定义和基本概念的掌握程度；3. 学生对极坐标与直角坐标之间转换关系的理解程度；4. 学生对圆、直线和椭圆的极坐标方程的求解能力的掌握程度；5. 学生对极坐标方程在实际问题中的应用能力的展示。
第六章：双曲线的极坐标方程6.1 双曲线的直角坐标方程6.2 双曲线的极坐标方程的推导6.3 双曲线的极坐标方程的应用实例第七章：抛物线的极坐标方程7.1 抛物线的直角坐标方程7.2 抛物线的极坐标方程的推导7.3 抛物线的极坐标方程的应用实例第八章：参数方程与极坐标方程的转换8.1 参数方程的定义和基本概念8.2 参数方程与极坐标方程之间的转换关系8.3 参数方程与极坐标方程的转换实例第九章：简单曲线的极坐标方程的综合应用9.1 综合应用实例一：测定物体的位置9.2 综合应用实例二：计算曲线的长度9.3 综合应用实例三：求解曲线上的点的坐标第十章：总结与拓展10.1 本章小结10.2 思考题10.3 拓展阅读材料教学方法：1. 通过示例和练习，让学生掌握双曲线和抛物线的极坐标方程的求解方法；2. 利用多媒体辅助教学，展示双曲线和抛物线的图像和实例，增强学生的直观感受；3. 通过综合应用实例，让学生了解简单曲线的极坐标方程在实际问题中的应用；4. 采用小组讨论和报告的形式，激发学生的思考和交流能力。
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极坐标方程
简单曲线的极坐标方程
【教学目标】
1.熟练掌握简单曲线的极坐标方程的求法，提高应用极坐标系的概念和极坐标和直角坐标的互化解决问题的能力.
2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结简单曲线的极坐标方程的求法.
3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力.
【教学重难点】
简单曲线的极坐标方程的求法
【教学过程】
一、复习、预习自学：
基础知识梳理问题导引
1.极坐标系的概念（P9）
如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对叫做点M 的极坐标记为.
2.极坐标和直角坐标的互化（P11）
（1）极坐标化为直角坐标
，
（2）直角坐标化为极坐标
，
3.曲线和方程（平面直角坐标系中（P12））
曲线C上的点的坐标都是方程的解；
以方程的解为坐标的点都在曲线C上. （1）极坐标系和以前所学的平面直角坐标系有什么区别和联系？
（2）那些只是是我们应该掌握的？
（3）极坐标系中如何用方程表示曲线？
【复习、预习自测】
1.极坐标化为直角坐标：________，________
2. 直角坐标化为极坐标： ________，________
二、合作探究
探究点一：圆的极坐标方程（P12-13）
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a0)(a>0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满
足的条件吗？
探究点1图拓展1图
小结（P13）：一般的，在极坐标系中，如果满足下列两个条件，那么方程叫做曲线C的极
坐标方程：
（1）
（2）
拓展1（P13）：已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？并将所得结果与直角坐标方程进行比较.
探究点二：直线的极坐标方程（P13）
如图，直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，求直线l的极坐标方程.
探究点2图拓展2图拓展3图
拓展2（P14）：求过点A(a0)(a>0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程.
拓展3（P14）：设P点的极坐标为直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.
【课堂小结】
1.知识方面_____________________________________________________________________
2.数学思想方面_________________________________________________________________
探究点三：圆锥曲线的极坐标方程
已知椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，离心率为e(0<e<1)，建立合理的极坐标系，求椭圆C 的极坐标方程。