矩阵的概念PPT课件
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《矩阵概念简易入门》课件
矩阵在未来的发展趋势与展望
矩阵在计算机科学 中的应用将更加广 泛，如机器学习、 图像处理等领域
矩阵理论将在数学、 物理等基础学科中 发挥更加重要的作 用
矩阵计算方法将更 加高效，如并行计 算、分布式计算等
矩阵理论将与其他 学科交叉融合，如 量子计算、生物信 息学等
THANKS
汇报人：
Part Four
矩阵的分解与变换
矩阵的LU分解
LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U 应用：求解线性方程组、数值计算、矩阵分析等 特点：LU分解是唯一分解，且分解后的矩阵L和U都是稀疏矩阵 计算方法：高斯消去法、追赶法等
矩阵的QR分解
QR分解：将矩 阵分解为正交 矩阵Q和上三
矩阵的正则化方法
正则化方法：将矩 阵中的元素进行规 范化处理，使其满 足一定的约束条件
目的：提高矩阵的 稳定性和准确性， 避免过拟合和欠拟 合
正则化方法包括： L1正则化、L2正则 化、Elastic Net 正则化等
正则化方法的应用： 在机器学习、深度 学习等领域广泛应 用，如SVM、神 经网络等模型中
矩阵概念简易入门
,
汇报人：
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 矩 阵 的 应 用 场 景 05 矩 阵 的 优 化 方 法 07 总 结 与 展 望
02 矩 阵 的 定 义 与 性 质 04 矩 阵 的 分 解 与 变 换 06 矩 阵 在 机 器 学 习 中 的 应 用
Part One
角矩阵R
正交矩阵Q： 满足Q^TQ=I， 其中I为单位矩
阵
上三角矩阵R： 主对角线以上 的元素均为0
QR分解的应用： 求解线性方程 组、最小二乘 法、特征值分
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
矩阵ppt课件
a2n
0
14
其他常用的矩阵
只有一行的矩阵 A(a1,a2,a3, ,an)叫做行矩阵；
只有一列的矩阵
B
b1
b
2
称为列矩阵。
bm
❖零矩阵:
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0,
注意:不同型的零矩阵是不同的。
❖负矩阵: 元素全部变为相反数称为原矩阵的负矩阵。
若 A 精a i品jp则 pt - A =- a i j
6
❖ 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是 复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵 除特别说明外，都指实矩阵。
❖ 上述的矩阵A也简记为
A=(aij)mxn 或
A=(aij) ❖ mxn矩阵A也记为Amxn
精品ppt
7
同型矩阵与矩阵相等:
两个矩阵的行数相等，列数也相等时， 称它们是同型矩阵；
若A=(aij)mxn与B=(bij)mxn是同型矩阵，并且 它们对应元素相等，即
第二章 矩阵
矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的 许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。 本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基 本性质。
精品ppt
1
2.1 矩阵的概念
例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产 量分别如下表所示：
季度 产品 甲 乙 丙 季度 产品 甲 乙 丙
那么A称为对称矩阵。 特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。
反对称矩阵 设A为n阶方阵，如果 a ij aji (i,j 1 ,2 , ,n )
那么A称为反对称矩阵。
a11 a12
a1n 0
a12
a1n
a
1
2
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵1-概念计算ppt课件
矩阵的概念及运算
1
矩阵的概念
数域P中m n个数aij ,(i 1,2,L ,m; j 1,2,L , n), 按照一定的顺序排成m行n列的数表 称为数域P上
的m n矩阵,记作A、Amn或A (aij )mn ,(i 1, 2,L , m;
j 1,2,L , n)
a11
a21
a12 L a22 L
A
1 1
1 1
,
B
1 1
1
1
0 AB 0
0 0
10
性质： 1)( AB)C A(BC)
2)A(B C) AB AC;(B C)A BA CA
3) AmnEn Amn , Em Amn Amn
4)( AB) ( A)B A( B)
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
bm
11
线性方程组
a11 a12 L
矩阵表示 增广矩阵：
A%
a21
L
a22 L
L L
am
1
am 2
L
a1n b1
a2n
b2
L L
amn
bm
a11
ABC为同阶
对角矩阵
A
a22 O
b11
B
ann
b22 O
bnn
C
c11 Biblioteka c22 Ocnna11b11c11 ABC
an1
an2 L
ann
a11 a12 L a1n
A
a22 L
a2n
O M
ann
4
矩阵相等
如果A (aij ), B (bij )都是m n矩阵, 并且它们对应的元素都相等,即aij bij , (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)，则称为矩阵 A和矩阵B相等,记为A B.
1
矩阵的概念
数域P中m n个数aij ,(i 1,2,L ,m; j 1,2,L , n), 按照一定的顺序排成m行n列的数表 称为数域P上
的m n矩阵,记作A、Amn或A (aij )mn ,(i 1, 2,L , m;
j 1,2,L , n)
a11
a21
a12 L a22 L
A
1 1
1 1
,
B
1 1
1
1
0 AB 0
0 0
10
性质： 1)( AB)C A(BC)
2)A(B C) AB AC;(B C)A BA CA
3) AmnEn Amn , Em Amn Amn
4)( AB) ( A)B A( B)
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
bm
11
线性方程组
a11 a12 L
矩阵表示 增广矩阵：
A%
a21
L
a22 L
L L
am
1
am 2
L
a1n b1
a2n
b2
L L
amn
bm
a11
ABC为同阶
对角矩阵
A
a22 O
b11
B
ann
b22 O
bnn
C
c11 Biblioteka c22 Ocnna11b11c11 ABC
an1
an2 L
ann
a11 a12 L a1n
A
a22 L
a2n
O M
ann
4
矩阵相等
如果A (aij ), B (bij )都是m n矩阵, 并且它们对应的元素都相等,即aij bij , (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)，则称为矩阵 A和矩阵B相等,记为A B.
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
线性代数教学课件：矩阵的概念
代
当i>j时, aij 0
数
2 3 0 1
如
0
1
1
1
=
0 0 0 2 0 0 0 1
=
▪下三角矩阵
a11 0
0
a21
a22
0
线
an1 , aij 0
1 0 0 0
数
如
2
4
0
0
=
3 0 1 0
1 2 1 1
=
可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：
=
0 0 1
可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：
如，称 A 2 1 1
线
1 0 1
为线性代数方程组
2 x1 x1
x2
x3 x3
1 的系数矩阵； 2
性 代
系数及常数项组成的矩阵
—
A
2
1
1
1
数
1 0 1 2
称为方程组的增广矩阵.
=
=
1.1 矩阵及其运算
同型矩阵： Amn , Bmn
例1.2 某企业生产4种产品，各种产品的季度产值
（单位：万元）如下表：
线
产值
季节 产品1 产品2 产品3 产品4
性
1 80 58 75 78
代
2 98 70 85 84
3 90 75 90 90
数
4 88 70 82 80
80
这个数表 98
90
58 70 75
75 85 90
78 84
具体描述了这家企业各种产品 各季度的产值，同时也揭示了
代
▪行矩阵或行向量
a1 a2 an 如（1 0 1 2） 数
矩阵的概念精品PPT课件
某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线：
A
B
A
B
C
D
A
0
1
0
1
B
1
0
1
1
C
D
C
0
1
0
1
D
1
1
10
1
1
0 1 0 1
1
1
1
0
矩阵的概念
案例3：线性方程组
含有n个未知量、m个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
0
0 6
矩阵的概念
4.对角矩阵
除主对角线上的元素不全为0外，其余元 素均为0.
diag(b1, b2 ,
b1 0
,
bn
)
0
b2
0
0
0
0
bn
2 A 0
0
0 1
0
0 0 5
A既是上三角阵，又是下三角阵
矩阵的概念
5.数量矩阵
若 b1 b2 bn b 0
b 0
0
0
b
0
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。
矩阵的概念
1.零矩阵
所有元素全为0的m×n矩阵，称为零矩阵.
记作Om×n 或O
0 0 0
0
O23
0
0 0
0
0
O33
0
0
0 0
0
0
矩阵的概念
2.负矩阵
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
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古希腊有斯巴达天书，传说斯巴达差遣一奴隶到前线去 给莱桑德将军送来一条腰带.
矩阵的概念
（1）
莱桑德得到此腰带后，把它缠在一根木棍上，得
明文(其实被录取的符号号码i 满足i≡1(mod4) )
Kill King（2）
斩掉暴君！（1）的符号列是密文，（2）中的符号 列则是明文，密钥是“腰带绕木棍”.
矩阵的概念
B
5 0 7
3 4 0
0 0 2
0
0 6
矩阵的概念
4.对角矩阵
除主对角线上的元素不全为0外，其余元 素均为0.
diag (b1 , b2 ,
b1 0
,
bn
)
0
b2
0
0
0
0
2 A 0
0 1
0 0
0 0 5
bn
行矩阵中，只 有一个元素为1， 其余都是0.
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2019/7/4
5 0 7
6 2 0 A 1 3 8
5 0 7
矩阵的概念
3.三角矩阵
（1）上三角阵： 若i>j时，aij=0
（2）下三角阵： 若i<j时，aij=0
2 4 0 A 0 1 3
0 0 5
1 0 0 0
案例1：成绩表
表1：平时成绩表
表2：考试成绩表
I
II
III
A
6
8
9
B
8
5
8
C
8
7
8
D
4
6
6
I
II
III
A
6
7
9
B
8
6
9
C
8
7
8
D
6
5
6
6 8 9 6 7 9
8
5
8
8
6
9
8 7 6 8 7 8
4
6
6
6
5
6
12 15 18
16
11
矩阵的概念
定义 由m×n个数aij(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)排
一个m行n列，成并括以圆括弧（方括弧）的数表
A (aij )mn
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。
SUCCESS
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16 14 14
10
11
12
矩阵的概念
案例2：航班图
某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线：
A
B
C
D
A
B
C
D
A
0
1
0
1
B
1
0
1
1
C
0
1
0
1
D
1
1
1
0
0 1 0 1
1
0
1
1
0 1 0 1
1
1
0
矩阵的概念
案例3：线性方程组
含有n个未知量、m个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1 , a2n xn b2 ,
ann xn bn ,
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
A既是上三角阵，又是下三角阵
矩阵的概念
5.数量矩阵
若 b1 b2 bn b 0
b 0
0
0
b
0
0
0
b
矩阵的概念
6.单位矩阵
若b=1 En 或 I n
单位列
1 0
0
0
1
0
0
0
1
列矩阵中，只 有一个元素为1， 其余都是0.
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矩阵的概念
1.零矩阵
所有元素全为0的m×n矩阵，称为零矩阵.
记作Om×n 或O
0 0 0
0
O23
0
0 0
0
0
O33
0
0
0 0
0
0
矩阵的概念
2.负矩阵
A (aij )mn 称-A是A的负矩阵.
6 2 0 A 1 3 8
矩阵的概念
郁凯荣 南京工业职业技术学院
矩阵的概念
矩阵的概念
矩阵的概念
引例：密码问题
在战争、经济、考试等重大社会活动当中，自古至今, 信息要严格保密，于是形成了保密通讯的学科.甲把一条信 息发送给乙,要求除甲乙二人之外,不能让别人得知该信息 的含义，这种通讯称为保密通讯.语言或其他能为常人所识 的符号表达信息含义的讯号称为明文，把明文作某种变换 与伪装后得到的讯号符号称为密文；把明文变换成密文的 过程称为加密；加密规则叫做密钥；把密文还原成明文的 过程称为解密.保密通讯自古有之，不但至今不衰，而且已 经发展成一种受到各国政府与军方十分重视的科研课题.
矩阵的概念
（1）
莱桑德得到此腰带后，把它缠在一根木棍上，得
明文(其实被录取的符号号码i 满足i≡1(mod4) )
Kill King（2）
斩掉暴君！（1）的符号列是密文，（2）中的符号 列则是明文，密钥是“腰带绕木棍”.
矩阵的概念
B
5 0 7
3 4 0
0 0 2
0
0 6
矩阵的概念
4.对角矩阵
除主对角线上的元素不全为0外，其余元 素均为0.
diag (b1 , b2 ,
b1 0
,
bn
)
0
b2
0
0
0
0
2 A 0
0 1
0 0
0 0 5
bn
行矩阵中，只 有一个元素为1， 其余都是0.
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矩阵的概念
3.三角矩阵
（1）上三角阵： 若i>j时，aij=0
（2）下三角阵： 若i<j时，aij=0
2 4 0 A 0 1 3
0 0 5
1 0 0 0
案例1：成绩表
表1：平时成绩表
表2：考试成绩表
I
II
III
A
6
8
9
B
8
5
8
C
8
7
8
D
4
6
6
I
II
III
A
6
7
9
B
8
6
9
C
8
7
8
D
6
5
6
6 8 9 6 7 9
8
5
8
8
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8 7 6 8 7 8
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矩阵的概念
定义 由m×n个数aij(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)排
一个m行n列，成并括以圆括弧（方括弧）的数表
A (aij )mn
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。
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矩阵的概念
案例2：航班图
某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线：
A
B
C
D
A
B
C
D
A
0
1
0
1
B
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C
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0 1 0 1
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矩阵的概念
案例3：线性方程组
含有n个未知量、m个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1 , a2n xn b2 ,
ann xn bn ,
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
A既是上三角阵，又是下三角阵
矩阵的概念
5.数量矩阵
若 b1 b2 bn b 0
b 0
0
0
b
0
0
0
b
矩阵的概念
6.单位矩阵
若b=1 En 或 I n
单位列
1 0
0
0
1
0
0
0
1
列矩阵中，只 有一个元素为1， 其余都是0.
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矩阵的概念
1.零矩阵
所有元素全为0的m×n矩阵，称为零矩阵.
记作Om×n 或O
0 0 0
0
O23
0
0 0
0
0
O33
0
0
0 0
0
0
矩阵的概念
2.负矩阵
A (aij )mn 称-A是A的负矩阵.
6 2 0 A 1 3 8
矩阵的概念
郁凯荣 南京工业职业技术学院
矩阵的概念
矩阵的概念
矩阵的概念
引例：密码问题
在战争、经济、考试等重大社会活动当中，自古至今, 信息要严格保密，于是形成了保密通讯的学科.甲把一条信 息发送给乙,要求除甲乙二人之外,不能让别人得知该信息 的含义，这种通讯称为保密通讯.语言或其他能为常人所识 的符号表达信息含义的讯号称为明文，把明文作某种变换 与伪装后得到的讯号符号称为密文；把明文变换成密文的 过程称为加密；加密规则叫做密钥；把密文还原成明文的 过程称为解密.保密通讯自古有之，不但至今不衰，而且已 经发展成一种受到各国政府与军方十分重视的科研课题.