关于原点对称
关于原点对称的点的坐标
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题,掌握点的坐标的平移变化规律和关于原 点中心对称的两点坐标之间的关系以及关于y轴对称的 两点坐标之间的关系是关键.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二在坐标系中作关于原点对称的图形 例2 在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1),B(-4,5),C(-5,2). (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1. (2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2. (3)画出△ABC绕O顺时针旋转90°的△A3B3C3.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类综合题,综合运用旋转及坐标系的相关知识 加以分析,然后根据问题的要求作出图形并作出判断 即可.
23.2.3
关于原点对称的点的坐标
知识点
知识点关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即P(x,y)关于原点的 对称点为P'(-x,-y). 名师解读:由关于原点对称的点的坐标特征可知,要得到一个点 关于原点对称的点的坐标,只要横坐标是横坐标的相反数,纵坐标 是纵坐标的相反数即可.
知识点
结合点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)和点(x,y)关 于y轴对称的点的坐标为(-x,y),可简单记为:关于横轴对 称的点“横不变,纵相反”,关于纵轴对称的点“纵不变,横 相反”,关于原点对称的点“全相反”.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一坐标系中的中心对称图形 例1 已知平面直角坐标系内一点A(2,3),把点A沿x轴向左平移3个 单位长度,再以O点为旋转中心旋转180°,然后以y轴为对称轴得到 点A',则点A'的坐标为( ) A.(-2,-3) B.(-1,-3) C.(-3,1) D.(-2,3) 解析:点A沿x轴向左平移3个单位长度后坐标是(-1,3),再以O点为 旋转中心旋转180°对应点的坐标是(1,-3),(1,-3)关于y轴对称的点的 坐标是(-1,-3). 答案:B
23.2.3 关于原点对称的点的坐标(教案)
23.2.3关于原点对称的点的坐标【知识与技能】1.理解点P与P′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系；2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题.【过程与方法】通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.【情感态度】结合坐标系内点的坐标对称关系的学习，培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】关于原点对称的点的坐标关系及其应用.【教学难点】运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质.一、情境导入，初步认识问题1以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标问题，你能说说关于x轴、y轴对称的点的坐标的关系吗？问题2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，2），则点A关于原点O 的对称点A′的坐标是什么呢？你能说说吗？【教学说明】让学生通过对问题的思考，初步感受关于原点对称的点的坐标的确定方法，激发学习兴趣和求知欲望，导入新知.二、思考探究，获取新知探究如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A（4，0）B（0，-3）C（2，1）D（-1，2）E（-4，-3）思考通过你的作图，你能说出这些点和它们关于原点O的对称点的坐标之间有什么关系吗？【教学说明】通过让学生在平面直角坐标系中画出某点关于原点O的对称点的过程，可让学生初步感受到关于原点对称的点的坐标的特征，学生在自我探索的过程中，体会成功的喜悦和学习的乐趣.如图所示，可得到点A、B、C、D、E关于原点O的对称点分别为A′、B′、C′、D′、E′.以点C为例，作C点关于原点O的对称点C′的方法为：连接CO并延长至C′，使CO=C′O，则C′点即为点C关于原点O的对称点.过C作CM⊥x轴于M，作C′N⊥x轴于N.易知△OCM≌△OC′N.∴CM=C′N，OM=ON.又C(2，1)，即OM=2，CM=1，∴ON=2，C′N=1.∴C′点坐标为(-2，-1).同理可知点A、B、D、E关于原点O的对称点A′、B′、D′、E′的坐标分别为（-4，0），（0，3），（1，-2），（4，3）【归纳结论】两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）.【教学说明】在上面的探索活动过程中，先让学生动手画出一些点关于原点的对称点，并写出它们的坐标，然后让学生观察坐标之间的变化，总结出规律，从而归纳出结论，即本节的重点.在这一活动中，既学到了新知识，又锻炼了学生的数学归纳能力.三、典例精析，掌握新知例1 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.分析：（1）由图可知，A、B、C三点坐标分别是什么？（2）它们关于原点的对称点的坐标又应分别是什么？（3）这样画出的△A′B′C′与前面利用中心对称来作图有什么区别？解：（1）A、B、C三点坐标分别是（-4，1）、（-1，-1）、（-3，2）（2）它们关于原点对称的点的坐标分别是（4，-1）、（1，1）、（3，-2）（3）略例2 如图，平行四边形的中心在坐标原点，AD∥BC，D(3，2)，C(1，-2)，求A、B两点的坐标.分析：因为平行四边形是中心对称图形，所以相对的两个顶点关于中心对称，图中该平行四边形的中心为原点，故A与C、B与D关于原点对称，从而可求出A、B坐标.解：平行四边形是中心对称图形，A与C，B与D关于原点对称.∴A（-1，2），B（-3，-2）.【教学说明】教师提出问题来帮助学生理清思路，既是对所学知识的回顾与反思，又为解决问题寻求解题思路，增强学生运用知识的能力.例1的作图过程可由学生自己完成.四、运用新知，深化理解1.点M（-2，3）关于原点的对称点M′的坐标为（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（3，-2）D.（2，3）2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G （-2，-1）【教学说明】设计这两个小题的目的在于进一步使学生掌握知识，可由学生自主完成，教师予以点评.【答案】1.B2.C（2，-1）与F（-2，1）关于原点O对称五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看.【教学说明】教师还可让学生及时回顾本节课的知识，通过反思、提炼学习的收获，并通过交流，教师可了解学生的学习情况，并及时调整.1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.。
关于原点对称的函数
关于原点对称的函数
《关于原点对称的函数》
原点对称函数是指在坐标系中，围绕原点（坐标原点）进行翻转后，其函数图像与原函数图像完全一致的函数。
它是一种特殊的函数，其函数图像具有对称性，即围绕坐标原点进行翻转后，函数图像不会发生变化。
原点对称函数的函数解析式可以分为三类：一类是二次函数，函数解析式为y=ax^2+bx+c，其中a≠0；第二类是指数函数，函数解析式为y=a^x，其中a>0；最后一类是对数函数，函数解析式为y=log_a x，其中a>0。
原点对称函数的应用非常广泛，它可以用于描述物理现象，描述经济学现象，也可以用于描述计算机科学中的问题。
例如，二次函数可以用来描述物体的加速度，指数函数可以用来描述经济增长，而对数函数可以用来描述计算机算法的时间复杂度。
原点对称函数是一种非常重要的函数，它可以用来描述各种物理、经济和计算机科学问题，并且具有对称性。
第23章 第6课 关于原点对称的点的坐标
A.2
B.－2
C.6
D.－6
根据菱形是中心对称图形，可得点B与点D的坐标关系.
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4.平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别是
－2
A(a，b)，B(n，2n－1)，C(－a，－b)，D(－ ，m)，则m的值是_____.
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关于原点对称的图形
两个图形关于原点对称，即表示两个图形上的对应点关于原点对
称.
(教材P68)如图，在平面直角坐标系中，△A'B'O'与△ABO关
(1，－2)
于原点对称，则点B'的坐标为__________.
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如图，每个小方格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在
格点上，且A(－3，1)，C(－1，－1).先在图中建立适当的平面直角坐
出点B的坐标.
解：如图所示，B(－2，－1).
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如图，点A与点A'关于原点对称，请画出点A'，并写出点A'的
坐标.
解：如图所示，A'(3，－2).
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如图，若A(x1 ，y1)与A'(x2 ，y2)关于原点对称，则x1 与x2 互为
相反数
相反数
________，y
1与y2互为________.
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(3，－4)
(1)点A(－3，4)关于原点对称的点的坐标为__________；
(2)点A(a，－2)与点B(8，b)关于原点对称，则a＝_____，b＝___；
2
－8
10
(3)点A(3，－4)与点B关于原点对称，则AB＝____.
空间坐标关于原点对称的点的坐标
空间坐标关于原点对称的点的坐标空间坐标是三维空间中描述物体位置的一种方式，通常使用笛卡尔坐标系来表示。
在这个坐标系中，每一个点都可以用三个数字来表示其在三个坐标轴上的位置。
而在三维空间中，有一种特殊的点，它的坐标是关于原点对称的。
这种点在数学中被称为“对称点”。
本文将探讨空间坐标关于原点对称的点的坐标。
一、对称点的定义对称点是指空间中的一个点，它的坐标在三个坐标轴上的数值都相反。
比如，坐标为(1,2,3)的点的对称点就是(-1,-2,-3)。
对称点可以看作是一种关于原点的镜像，它与原点的距离相等，但在原点的两侧。
二、对称点的性质1. 对称点与原点的距离相等对称点与原点之间的距离等于对称点在三个坐标轴上的数值之和。
比如，坐标为(1,2,3)的点的对称点(-1,-2,-3)与原点之间的距离为|(1-(-1))|+|(2-(-2))|+|(3-(-3))|=2+4+6=12。
2. 对称点在三个坐标轴上的数值相反对称点在三个坐标轴上的数值都与原点相反。
比如，坐标为(1,2,3)的点的对称点(-1,-2,-3)在x轴上的数值相反，在y轴上的数值相反，在z轴上的数值相反。
3. 对称点关于原点对称对称点与原点之间的关系是一种对称关系，即对称点在原点两侧，它们与原点之间的距离相等。
这是因为对称点的坐标在三个坐标轴上的数值都相反，所以它们与原点之间的距离相等。
三、对称点的坐标计算方法对称点的坐标计算方法很简单，只需要将原点的坐标分别取相反数即可。
比如，坐标为(1,2,3)的点的对称点坐标为(-1,-2,-3)。
四、对称点的应用对称点在数学和物理学中都有广泛的应用。
在几何学中，对称点可以用来求解一些几何问题，比如确定一条直线的对称线；在物理学中，对称点可以用来求解一些物理问题，比如求解电荷分布的对称性问题。
五、总结本文介绍了空间坐标关于原点对称的点的坐标，探讨了对称点的定义、性质、坐标计算方法和应用。
对称点是一种重要的数学概念，深入理解对称点的性质和应用可以帮助我们更好地理解空间坐标系和解决一些几何和物理问题。
关于原点对称的坐标
关于原点对称的坐标
P（a，b）对称后P'（-a，-b）
与原点对称的点的坐标特点：纵坐标，横坐标都互为相反数。
例如，点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标是（-3，2）。
原点是直角坐标系中的X轴与Y轴的交点。
当坐标轴上有一点（x,y）其对称点为同坐标系中的（- x,- y）这2个点就叫做原点对称，第一象限的点关于原点对称的点在第三象限上，第二象限的点关于原点对称的点在第四象限上。
扩展资料
判断一个函数的对称性
对称性f(x+a)=f(b-x)，这是对称性的一般形式。
只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用公式求X=(a+b)/2。
其一，定义域必须对称（对于奇函数和偶函数而言）。
其二，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y对称。
关于x对称的函数可以将函数中的y换成-y，如果其函数值不便则真。
其三，一个函数的反函数为其自身则关于x=y对称，如果
F(-x,y)=F(x,y)则是关于y轴对称；如果F(x,-y)=F(x,y)则是关于x 轴对称；如果F(-x,-y)=F(x,y)则是关于原点对称；如果
F(y,x)=F(x,y)则是关于x=y对称。
判断原点对称的方法
判断原点对称的方法
在数学中，原点对称是指一个点关于原点对称。
这种对称性在
几何和代数中都有重要的应用。
判断一个点是否关于原点对称有很
简单的方法。
首先，我们需要知道原点对称的定义，如果一个点的坐标为 (x, y)，那么它关于原点的对称点的坐标为 (-x, -y)。
因此，要判断一个点是否关于原点对称，我们只需要比较这个
点的坐标和其对称点的坐标是否相等。
举个例子，如果一个点的坐标是 (3, 4)，那么它的对称点的坐
标就是 (-3, -4)。
如果这两个点的坐标相等，那么这个点就是关于
原点对称的。
另外，我们还可以利用图形来帮助判断原点对称。
如果一个点
关于原点对称，那么连接原点和这个点的线段与 x 轴和 y 轴的夹
角应该相等，且长度相等。
总的来说，判断一个点是否关于原点对称有两种简单的方法，
比较坐标和利用图形特征。
这种对称性的概念不仅在数学中有重要的应用，也在物理、工程等领域有着广泛的应用。
希望这篇文章能够帮助大家更好地理解原点对称的概念和判断方法。
关于原点对称的点的坐标的特点中心对称图形的性质
关于原点对称的坐标特点
在平面直角坐标系中，关于原点对称的点横坐标、纵坐标都互为相反数
关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等。
即：点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为P′（a,b)
点P(a,b)关于X轴对称的点的坐标为P′（a,b)
点P(a,b)关于Y轴对称的点的坐标为P′（a, b)
关于原点对称的点的坐标的特点是：横纵坐标都互为相反数。
①关于X轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数。
②关于Y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变。
中心对称图形的定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点就叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称图形的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等形；。
人教版数学九年级上册23.2.3关于原点对称的点的坐标教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
人教版数学九年级上册23.2.3关于原点对称的点23.2.3节，关于原点对称的点的坐标。教学内容主要包括以下两点：
1.理解并掌握平面直角坐标系中原点对称的概念。
2.学会求一个点关于原点对称的点的坐标，并能够运用这一性质解决实际问题。
具体内容包括：
-原点对称的定义及性质；
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生们将在坐标纸上标出点A(3, 4)，然后通过折叠或旋转的方式找到它关于原点对称的点A'，并验证坐标计算的正确性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“原点对称在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《关于原点对称的点的坐标》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在平面直角坐标系中，是否思考过如何找到一点关于原点对称的点？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索原点对称的奥秘。
（3）实际问题的解决：将原点对称性质应用于实际问题，学生可能难以找到解决方法，需要引导和启发。
举例：在坐标平面上，找到两个点关于原点对称的点，求出这两对点的距离相等的关系。
关于函数对称的三个重要结论
关于函数对称的三个重要结论
1. 关于x轴对称，如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，即对于任意x，f(x)的函数值与f(-x)的函数值相等，则该函数关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，对称中心为x轴。
例如，y = x^2是关于x轴对称的函数，因为f(x) = x^2，而f(-x) = (-x)^2 = x^2。
2. 关于y轴对称，如果函数f(x)满足f(x) = f(-x)，即对于任意x，f(x)的函数值与f(-x)的函数值相等，则该函数关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，对称中心为y轴。
例如，y = x^3是关于y轴对称的函数，因为f(x) = x^3，而f(-x) = (-x)^3 = -x^3。
3. 关于原点对称，如果函数f(x)满足f(x) = -f(-x)，即对于任意x，f(x)的函数值与-f(-x)的函数值相等，则该函数关于原点
对称。
这意味着函数图像关于原点对称。
例如，y = x^3 x是关于
原点对称的函数，因为f(x) = x^3 x，而-f(-x) = -(-x)^3 (-x) = -(-x^3 + x) = x^3 x。
这些结论对于研究函数的性质和图像具有重要意义，可以帮助
我们更好地理解函数的对称性质及其在数学和实际问题中的应用。
希望这些解释能够帮助你更好地理解函数对称的重要结论。
关于原点对称的定义
关于原点对称的定义在数学这个神秘的魔法世界里，有一个特别有趣的概念，那就是关于原点对称。
这就像是宇宙中的一种神秘对称法则，不过是缩小到了一个小小的坐标平面里。
原点就像是这个平面世界的中心大boss，所有关于原点对称的点就像是它的小跟班，而且是超级听话的那种。
想象一下，原点是一个超级大的磁石，那些对称的点就像是被这个磁石施了魔法的小铁屑，被牢牢地控制在一种奇妙的关系之中。
如果把坐标平面看成一个大舞台，原点就是舞台的正中央。
那些关于原点对称的点呢，就像是一对对双胞胎在跳一种特殊的舞蹈。
一个在左边耍帅，另一个就在右边以同样的姿势耍酷；一个在上面做鬼脸，另一个就在下面做一模一样的鬼脸，就像是照着镜子跳舞一样，只不过这个镜子是原点这个神奇的存在。
比如说，点（3，4）这个调皮的小不点，一旦要遵循关于原点对称的规则，就立马变成了（ - 3， - 4）。
这就像是一个超级英雄突然被邪恶力量给反转了，力量的方向变了，坐标的值也都变成了相反数。
这感觉就像是白天突然变成黑夜，所有的一切都反着来，但是又有一种奇妙的和谐感。
再看那些函数图像，如果一个函数图像关于原点对称，那就像是一条会魔法的蛇，把它的头和尾颠倒过来，它还是原来那条蛇。
这条蛇在原点周围扭动着，不管怎么弯曲，它的每一个部分都有一个对称的小伙伴在原点的另一边陪着它。
这原点对称就像是一种数学界的超能力，点与点之间被这种超能力连接起来。
就好像是在玩一种神奇的连连看游戏，只不过连接的规则是必须要穿过原点这个神秘的通道，而且连接的点要像双胞胎一样相似又相反。
有时候我觉得关于原点对称就像是一个隐藏在数学世界里的小玩笑。
数学家们就像是发现了这个玩笑的笑点，然后把它变成了一个重要的概念。
而我们这些在数学海洋里遨游的小鱼，有时候会被这个玩笑弄得晕头转向，有时候又会突然恍然大悟，然后忍不住笑着说：“哎呀，这个原点对称还真是个调皮的家伙。
”它也像是一把特殊的钥匙，能打开很多数学谜题的大门。
函数关于原点对称公式
函数关于原点对称公式摘要：一、对称公式的概念与性质1.对称公式的定义2.对称公式的性质3.对称公式在数学中的应用二、函数关于原点对称公式的推导1.函数关于原点对称的定义2.函数关于原点对称公式的推导过程3.推导中的关键步骤与技巧三、对称公式在实际问题中的应用1.利用对称公式解题的基本思路2.对称公式在常见数学问题中的应用实例3.应用对称公式需要注意的问题与技巧四、对称公式的拓展与研究1.对称公式的相关拓展公式2.对称公式在高等数学中的应用3.对称公式研究的新进展与方向正文：对称公式是数学中一种非常重要的公式，具有独特的性质和广泛的应用。
本文首先介绍了对称公式的概念与性质，然后详细推导了函数关于原点对称公式，并探讨了其在实际问题中的应用。
最后，文章对对称公式进行了拓展与研究，展望了其在数学领域的发展前景。
对称公式具有许多有趣的性质，例如，它可以将一个复杂的数学问题转化为一个简单的对称问题。
通过对称公式，我们可以更方便地解决一些数学问题。
此外，对称公式在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。
函数关于原点对称公式是数学中的一个基本公式，它可以用来描述函数在原点处的对称性质。
本文详细介绍了函数关于原点对称公式的推导过程，包括定义、性质以及关键的推导步骤。
通过熟练掌握这个公式，我们可以更好地理解函数的性质，从而更有效地解决相关问题。
对称公式在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在求解一些与对称性质相关的数学问题时，我们可以利用对称公式将问题简化，从而更容易地得出答案。
本文通过具体的实例，展示了如何利用对称公式解决实际问题，并强调了在应用过程中需要注意的一些问题和技巧。
对称公式不仅具有理论价值，还具有很大的拓展空间。
本文最后对对称公式进行了拓展与研究，探讨了其在高等数学中的应用，以及相关拓展公式和研究进展。
这有助于我们更好地理解对称公式的本质，并推动其在数学领域的发展。
总之，对称公式是数学中一个具有广泛应用和重要性质的公式。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、引言在数学中，积分是一个重要的概念，用于描述曲线、曲面以及空间中的面积、体积等量。
而对称性也是数学中一个重要的概念，可以帮助我们简化问题的求解过程。
本文将介绍关于原点对称的二重积分，并讨论如何利用对称性简化计算过程。
二、二重积分及其性质1. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将D分成无穷多个小区域，每个小区域用Δσi表示。
在每个小区域上取任意一点(ξi,ηi)，构成面积Δσi。
当maxΔσi→0时，如果极限limmaxΔσi→0∑f(ξi,ηi)Δσi存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作∬fD(x,y)dσ2. 二重积分的性质•线性性质：设函数f(x,y)和g(x,y)在闭区域D上可积，c为常数，则有∬(f(x,y)+g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ+∬gD(x,y)dσ∬c D ⋅f(x,y)dσ=c⋅∬fD(x,y)dσ•区域可加性：若将闭区域D分成两个不相交的闭区域D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ•积分保号性：若在闭区域D上有界函数f(x,y)恒有f(x,y)≥0，则有∬fD(x,y)dσ≥0三、关于原点对称的二重积分1. 关于原点对称的定义一个闭区域或曲线称为关于原点对称的，是指当(x,y)在该区域或曲线上时，有(−x,y),(x,−y),(−x,±y)（其中±表示取正或负）也在该区域或曲线上。
2. 关于原点对称的性质•若函数f(x,y)关于原点对称，即f(x,y)=f(−x,−y)，则有∬f D (x,y)dσ=4∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于原点的一个象限。
•若函数f(x,y)关于y轴对称，即f(x,y)=f(−x,y)，则有∬f D (x,y)dσ=2∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于y轴的一侧。
两点关于原点对称的特征
两点关于原点对称的特征说到对称，最简单的理解就是一左一右、上下相对，像镜子里的自己。
对称的特点就是无论从哪个角度看，都能看到相同的影像。
就像在家里，一边的沙发和另一边的沙发，设计得一模一样，这样的安排让整个空间都显得和谐。
想想那种视觉上的平衡感，真是让人心情愉悦，像是喝了一口冰凉的汽水，瞬间清爽。
生活中有很多东西都是对称的，比如说蝴蝶的翅膀、人的面孔，这些都让我们觉得舒服、自然。
再讲讲数学里的原点对称，咱们简单一点。
比如说，点A的坐标是(3, 4)，那么与原点对称的点B就是(3, 4)。
哎呀，这样的关系可真是绝妙，仿佛在告诉我们：无论在何种境地，正反两面都有它们的故事。
这就像是人生，咱们每个人都有自己的高光时刻，也有低谷的时候。
重要的是，要学会欣赏每一个阶段。
对称的特征让我们明白了这种生活的哲学，任何事情都有其正反两面，重要的是如何去看待它们。
对称还体现了自然界的规律。
大自然可是个伟大的设计师，花朵、树木，甚至是星空，都能找到对称的身影。
那些花瓣的排列、树枝的分叉，都是在告诉我们，和谐与美并不是偶然，而是内在的法则。
试想一下，看到一朵盛开的花，花瓣均匀分布，那种美感让人心动，就像初恋的感觉，甜蜜又令人难忘。
正因如此，原点对称的特征不仅仅是数学上的公式，还是生活中无处不在的美学。
可能有人会觉得，哎呀，原点对称听起来好像离我们很远，其实不然。
你有没有想过，生活中的很多决定都是基于对称的思考？比如说，咱们在选择职业、搭配衣服时，常常会考虑到某种平衡感。
要是左边穿得花里胡哨，右边却素面朝天，那就显得特别不协调，像是电影里的反派角色，走哪儿都不自在。
对称的美感就是让我们在日常中保持一种平衡，既不过于张扬，也不会过于压抑，恰到好处。
在社交场合里，对称的特征也有它的用武之地。
想象一下，在聚会上，有的人说话一口一个“你知道吗”，而有的人则是“我觉得”。
这两种风格的碰撞就像是两个对称的点，相互吸引又相互制衡。
交谈的时候，如果能找到那种平衡，既能展现自己的个性，又能让对方感受到舒适，那简直就是一种绝妙的艺术。
二重积分区域关于原点对称的结论
二重积分区域关于原点对称的结论1. 什么是二重积分？二重积分，听起来是不是有点高大上的样子？其实它就是用来计算某个区域里的面积或体积的工具。
想象一下，你要给一个大蛋糕切块，二重积分就像是帮助你计算每一块的重量。
你先得找到这个蛋糕的形状，然后用积分来“量”出每个部分的大小。
这个过程其实就像是我们生活中常常遇到的量体裁衣，把握好每一寸空间，才能确保整体效果好得不行。
2. 关于对称性2.1 原点对称的概念好吧，咱们接下来聊聊“原点对称”。
简单说，就是如果你把一个图形对折，翻过来，正好能重合，那它就是原点对称的。
就像一面镜子，正对着你，无论你怎么换姿势，镜子里的你总能完美呈现。
对称性在数学里可是个重要的概念，特别是在处理积分的时候，理解这个特性，可以让我们做事情事半功倍。
2.2 为什么重要？那么，为什么对称性对二重积分来说这么重要呢？其实，想象一下你要计算一个对称区域的积分，比如一个正方形或圆形，这样的区域通常会让计算变得简单。
对称性帮我们减少了计算的复杂性，就像在解一道题时发现了捷径，你的心里那个美呀，简直是飞上天了！如果积分区域对称，很多时候可以将某些项抵消掉，最后就省了不少麻烦。
3. 如何应用3.1 实际例子我们来举个例子，假设你有一个以原点为中心的圆形区域，半径为 R。
这个区域的积分，可以表示为∫∫_D f(x, y) dx dy，其中 D 是圆的区域。
由于这个区域关于原点对称，我们就可以利用这个特性来简化我们的计算过程。
就像把一块大拼图拆成几小块，轻松多了！3.2 计算过程中的乐趣当你在计算的时候，可以把函数 f(x, y) 拆分成奇函数和偶函数。
奇函数在原点对称的情况下，积分的结果是零，就像有些东西偏心了一样，不管你怎么加，它总是“跳过”某些值；而偶函数则会在对称性下“倍增”你的结果，正好能让你加倍收获。
这个过程中，有时你可能会觉得自己像个侦探，逐步找出每一个关键线索，最后拼凑出完整的真相，太有成就感了！4. 小结通过这些讨论，我们可以看到，二重积分和对称性之间的关系就像是相辅相成的好搭档。
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23.2.3关于原点对称的点的坐标
主备人：杨同娜 2012.10 学习目标：1、能运用中心对称的知识猜想并验证关于原点对称的点的坐标的性质。
2、 利用该对称性质在平面直角坐标系内关于原点对称的图形，形成观察、分析、
探究用合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的。
学习重点：平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系及其应用 学习难点：关于原点对称的点的坐标性质及其运用它解决实际问题． 教学过程： 一、自主探究
如图23-74，在直角坐标系中，已知A （-3，1）、B （-4，0）、C （0，3）、•D （2，2）、E （3，-3）、F （-2，-2），作出A 、B 、C 、D 、E 、F 点关于原点O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并
回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
例1图
讨论：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 归纳：
二、尝试应用
例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．
分析：要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要作点A 、点B 关于原点的对称点A ′、B ′即可。
例2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．
（1）在图中画出直线A 1B 1．
（2）求出线段A 1B 1中点的反比例函数解析式． （3）是否存在另一条与直线AB 平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k
值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）只需画出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1、B 1，连结A 1B 1．
（2）先求出A 1B 1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=
k
x
代入求k ． （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A 1B 1与双曲线是相切的，只要我们通过A 1B 1的线段作A 1、B 1关于原点的对称点A 2、B 2，连结A 2B 2的直线就是我们所求的直线． 三、归纳小结
这节课你的收获是什么？ 四、当堂达标
1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（ ） A ．y=
1
x
B ．y=2x+1
C ．y=-2x+1
D ．以上三种都不可能 2．如图，已知矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到
矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，则矩形边长中较长的一边等于（ ） A ．8cm B ．22cm C ．24cm D ．11cm 3．如果点P （-3，1），那么点P （-3，1）关于原点的对称点P ′的坐标是P ′_______．
4．写出函数y=-3x 与y=3
x
具有的一个共同性质________（用对称
的观点写）． 5．如图，在平面直角坐标系中，A （-3，1），B （-2，3），C （0，2），画出△ABC•关于x 轴对称的△A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于y 轴对称的△A ″B ″C ″，那么△A ″B ″C ″与△ABC 有什么关系，请说明理由．
6．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A （0，3），B （3，0），现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．
（1）在图中画出直线A 1B 1；
（2）求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式；
（3）是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b （我
们发现互相平行的两条直线斜率k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．
教后反思：
O
B A C
D。