2018黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷
2018届湖北省黄冈中学高三5月第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 根据复数的几何意义，复数都可以表示为，其中为的模，称为的辐角.已知，则的辐角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将复数化为，根据辐角的定义可得结果.详解：，，的辐角为，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知“”，：“”，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：利用对数函数的单调性，根据充要条件的定义可得结果.详解：时，，而时，，即不一定成立，是充分不必要条件，故选B.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3. 已知等差数列的前项和为，，且，则（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】分析：由，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果.详解：由，，可得，解得，，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4. 下图是某企业产值在2008年~2017年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（）A. 2009年产值比2008年产值少B. 从2011年到2015年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2017年D. 2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低【答案】D【解析】分析：读懂题意，理解“年增量”量的含义，逐一分析选项中的说法，即可的结果.详解：对，2009年产值比2008年产值多万元，故错误；对，从2011年到2015年，产值年增量逐年增加，故错误；对，产值年增量的增量最大的不是2017年，故错误；对，因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定，所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低，对，故选D.点睛：本题主要考查条形图的应用以及条形图的性质，意在考查学生的阅读能力，划归思想以及建模能,属于中档题.5. 已知点，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（ ）A. B. 或C. D.或【答案】D【解析】分析：由过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，可判定一定在抛物线上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点代入即可得结果.详解：过，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一定在抛物线上：一条切线，一条对抛物线的对称轴平行的直线，若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入方程可得，物线的标准方程为；若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，代入方程可得得，将物线的标准方程为，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.,6. 已知，是方程的两根，则（ ）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.点睛：本题主要考查韦达定理的应用，两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.7. 陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，原模具是中间为空心圆柱的正四棱柱截去了部分后的组合体，利用三视图中数据可得结果.详解：由三视图可知，原模具是中间为空心圆柱的正四棱柱截去了部分后的组合体，其中，正四棱锥是底面棱长为，高为，圆柱的底面半径为，高为，该几何体体积为，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为（）（参考数据：）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，可得正边形面积是，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是，顶角是，所以正边形面积是，当时，；当时，；当时，；符合，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（）A. 48B. 72C. 64D. 96【答案】A【解析】分析：分的因数由若干个、若干个、若干个、若干个相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含的因数个数即可得结果.详解：的因数由若干个（共有四种情况），若干个（共有两种情况），若干个（共有四种情况），若干个（共有两种情况），由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个，即的正偶数因数的个数是，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10. 已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先利用数形结合得到，判断函数的单调性，得到函数在为增函数，从而可得结果.详解：时，，所以函数，在为增函数，通过平移可得，在为增函数，作出与的图象，，可得，故，故选C.11. 如图，四面体中，面和面都是等腰，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别过、作、所在平面的垂线，两垂线的交点到的距离相等，即，结合，利用勾股定理可得球半径，从而可得结果.详解：由已知可知，、的外接圆圆心分别为、的中点、，分别过、作、所在平面的垂线，两垂线的交点到的距离相等，即所以为球心，由等腰三角形的性质得，由三角形中位线定理可得，所以即为二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，所以，所以，故选B．点睛：本题主要考查二面角的定义、线面垂直的性质以及球的表面积公式，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面外接圆圆心与底面垂直的直线上）.12. 直角梯形中，，.若为边上的一个动点，且，则下列说法正确的是（）A. 满足的点有且只有一个B. 的最大值不存在C. 的取值范围是D. 满足的点有无数个【答案】C【解析】分析：利用平面向量基本定理，结合平面向量的加法法则，通过找到符合题意的点的特殊位置，逐一判断四个选项中的命题的真假即可.详解：中，与重合有最小值，与重合有最大值，对；中，与重合时，为的中点时，满足的点有两个，错；中，连接交于，与重合时，满足的点有两个，错；中，与重合时的最大值为，错，故选C．点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查平面向量基本定理，以及平面向量的加法法则，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知展开式的常数项是第7项，则正整数的值是_______.【答案】10【解析】分析：利用通项公式，令第7项的幂指数为零，列方程求解即可.详解：展开式的常数项是第项，令，解得，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 某旅行团按以下规定选择五个景区游玩：①若去，则去；②不能同时去；③都去，或者都不去；④去且只去一个；⑤若去，则要去和.那么，这个旅游团最多能去的景区为_______.【答案】C 和D【解析】分析：可假设⑤正确，然后根据能去不能去的关系得出矛盾，从而可得不能去，进而得都去，再判断不能去即可得结果.详解：先从⑤开始判断，如果去，则和也必须去；根据③，必须同去或不同去，从上面可以看出，已经去了，也必须去，因此现在可以去的地方是；结合①，若去，则也必须去，因此，从①，③，⑤可以判断如果去，则都必须去，与④矛盾，因此不能去；由④得，则必须去，结合③可以判断两地是必须去的；再看②，两地只去一地，已经判断是必须去的，因此不能去；至此，已经判断出必须去，而不能去，由①知，若去，则也必须去，已经判断出不能去，如果去，则与之矛盾，因此不能去，所以，该团最多能去两个地方，和，故答案为和.点睛： 本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.15. 已知双曲线的左右焦点分别为，以虚轴为直径的圆与在第一象限交于点，若与圆相切，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】分析：先根据与圆相切求出，在中，由射影定理可得，，将的坐标代入即可得结果.详解：以虚轴为直径的圆与在第一象限交于点，若与圆相切，，作于，在中，由射影定理可得，，即，将的坐标代入，解得，即，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．16. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….若第次“扩展”后得到的数列为1，，，…，，2，并记，其中，，则数列的前项和为______.【答案】【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.详解：，所以=所以，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角对边分别为，且满足（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）3【解析】分析：（1）由，利用余弦定理求得，结合利用三角形面积公式求解即可；（2）根据诱导公式以及两角和的余弦公式可求得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18. 如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）分别取中点，分别连接，可证明平面平面，可得，又，∴四边形为平行四边形，，从而可得平面；（2）以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）分别取中点，分别连接，则且∵平面及平面都与平面垂直，∴平面平面，由线面垂直性质定理知，又，∴四边形为平行四边形，又平面，∴平面.（2）如图，以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，则.平面的一个法向量，设平面的法向量，则，取得∴，注意到此二面角为钝角，故二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？【答案】（1）（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布， 即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）定点坐标为.【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为，故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.21. 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值，求函数在上的最大值；（3）求证：当时，.【答案】（1）见解析（2）在处取得最大值.（3）见解析【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)先利用第2问转化得到，再证明≤0.详解：（1）由题意可知，，则，当时，，∴在上单调递增；当时，解得时，，时，∴在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，，即，观察可得当时，方程成立令，当时，，当时，∴在上单调递减，在单调递增，∴，∴当且仅当时，，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，，即，可得，令，即证令，∵∴，又，∴∴，在上单调递减，，∴，当且仅当时等号成立所以.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于先利用第2问转化得到，这实际上是放缩，再证明≤0.体现的主要是转化的思想.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，当时，直线，代入曲线可得，解得或，从而可得；（2）将代入到得，，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线的方程是，化为化为，∴曲线的方程为当时，直线代入曲线可得，解得或∴.（2）将代入到得，由，得化简得（其中），∴∴∴.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（）.（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】试题分析：(1)利用题意结合绝对值不等式的性质可得实数的最大值为1；(2)利用函数的解析式零点分段可得实数的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）．∵，∴恒成立当且仅当，。
2018届湖北省黄冈中学高三模拟考试理科数学试题及答案
湖北省黄冈中学2018届高三五月模拟考试数学（理工类）本试题卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2．已知ss p ：,x R $?使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ）A ．,x R $?使1sin 2x x =成立B ．,x R "?1sin 2x x <均成立C ．,x R $?使1sin 2x x ³成立D ．,x R "?1sin 2x x ³均成立3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．7124．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n 边形*(3,)n n N ≥∈内的概率为n P下列论断正确的是（ ）A ．随着n 的增大，n P 增大B ．随着n 的增大，n P 减小C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，nP 先减小后增大5．为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||m n -的最小值是（ ）A ．43πB ．23π C ．3π D ．2π 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,(,n m n mS S m n N m n==∈且)m n ≠，则下列各值中可以为n m S +的值的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知变量,x y 满足不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y z =+的最小值为( )A ． 52B ．2 C． D．8．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．则肯定进入夏季的地区有 ( )A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个9．在等腰梯形ABCD 中，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P α∈，设,PB PC 与α所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0)．若12θθ=，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线10．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个ss 正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα=B ．2cos 22sin ααα=C ．2sin 22sin βββ=-D ．2cos 22sin βββ=-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为12．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=， 则a b ⋅的最大值为 ．13．过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF = ． 14．已知数列A ：123,,,,n a a a a *(3)n n N ≥∈，中，令{}*|,1,,A i j T x x a a i j n i j N ==+≤<≤∈，()A card T 表示集合A T 中元素的个数．（1）若:1,3,5,7,9A ，则()A card T = ；（2）若1i i a a c +-=（c 为常数，且0c ≠，11i n ≤≤-）则()A card T = ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD AB ⊥于点E ，已知圆O 的半径为3，2PA =，则CE =______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos ,(13sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数），以ox 为极轴建立极 坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()0.6πρθ+=则圆C 截直线l 所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式并标出其定义域；（2）设()6()1g x mf x =+，若()g x 的值域为3(1,]2，求实数m 的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，把它们编号，利用随机数表法抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15],(15,25],(25,35]，(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图，如图所示． （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和期望．19．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， （1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）设θ为直线1C N 与平面1CNB 所成的角，求sin θ的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点P ，使MP //平面CNB 1 ，求BPPC的值．8正视图侧视图俯视图（第19题图） （第20题图）20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，当2k =时， 23S =； 当3k =时，34S =． （1）试求数列{}n a 的通项；（2）设若[]x 表示不大于x 的最大整数（如[2.10]2,[0.9]0==）， 求22222[log 1][log 2][log 3][log (21)][log (2)]nna a T =+++-+关于n 的表达AN11式．21． (本小题满分13分)已知,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列． （1）求椭圆C 的方程；求12S S（2）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 的取值范围．22．（本小题满分14分）设()x g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的最值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()11g x a x--<成立； （3）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．届湖北省黄冈中学五月模拟试题1．【答案】D 2． 【答案】D【解析】原ss 为特称ss ，故其否定为全称ss ，即:p ⌝,sin 2xx x ∀∈≥R ． 3．【答案】A【解析】12334100111()()()|3412S x x d x x x =-=-=⎰ 4．【答案】A【解析】22122sin sin22n nr n n n P r ππππ==,设()2sin f x x x π=,可知 ()222'sin cosf x x x x πππ=-,可[3,4]x ∈时()222'sin cos 0f x x x xπππ=->,当 (4,)x ∈+∞时, ()222'costan 0f x xx x πππ⎛⎫=->⎪⎝⎭,故n P 在*3()n n N ≥∈时单调递增.5．【答案】B【解析】由条件可得121252,2(,)33m k n k k k N ππππ=+=+∈，则124|||2()|3m n k k ππ-=--，易知121k k -=时min 2||3m n π-=6．【答案】D【解析】由已知，设2n S An Bn =+，则22()1()1n m n S An Bn An B m m mAm B n S Am Bm n ⎧=+=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=+=⎪⎩两式相减得，()0B m n -=，故10,B A mn==。
2018年最新 黄冈中学高考数学模拟测试题(理科)3 精品
黄冈中学高考数学模拟测试题（理科）3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1．已知平面上的直线L 的方向向量＝(－45,35)，点A(－1,1)和B(0,－1)在L 上的射影分别是A 1和B 1，若＝λ，则λ的值为( )A ．115B ．－115C ．2D ．－22．下列命题中，正确的个数是( ) ①若||＋||＝0，则＝＝；②在△ABC 中，若＋＋＝，则O 为△ABC 的重心； ③若，是共线向量，则·＝||·||，反之也成立；④若，是非零向量，则＋＝的充要条件是存在非零向量，使·＋·＝0． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．若命题P ：x ∈A ∩B ，则﹁P ( ) A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∈A 或x ∈B C ．x ∈A 且x ∈B D ．x ∈A ∪B4．已知函数f(x)＝log 2|ax －1| (a ≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a 的值为( )A ．1B ．－12C ．14D ．－15．已知A 、B 、C 、D 是同一球面上的四点，且每两点间距都等于2，则球心到平面BCD 的距离是( )A ．63B ．66C ．612D ．6186．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2018＋a 2018＞0，a 2018＋a 2018＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4018B ．4018C ．4018D ．40187．已知f(x)＝2x ＋3,(x ∈R)，若|f(x)－1|＜a 的必要条件是|x ＋1|＜b ，(a 、b ＞0)．则a 、b 之间的关系是( )A ．a ≤b2B ．b ＜a2C ．b ≥a2D ．a ＞b28．已知f(x)为R 上的增函数，点A(－1,1),B(1,3)在它的图象上，f －1(x)是它的反函数，则不等式|f －1(log 2xkl)|＜1的解集为( )A ．{x|－1＜x ＜1}B ．{x|2＜x ＜8}C ．{x|1＜x ＜3}D ．无法确定9．函数y ＝－3sinx ＋cosx 在x ∈[－π6,π6]时的值域是( ) A ．[0, 62]B ．[－3,0]C ．[0, 3]D ．[0,1]10．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )A ．15B ．14C ．13D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上） 11．若数列x,a 1,a 2,y 成等差数列，x,b 1,b 2,y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是＿___＿＿＿＿．12．将函数y ＝x 2的图象F 按向量＝(3,－2)平移到F ′，则F ′的函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿．13．设命题P ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若﹁P 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a ≥b 时，a ○＋b ＝a ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝b 2；则函数f(x)＝(1○＋x)·x ―(2○＋x)，x ∈[―2,2]的最大值等于＿＿＿＿＿＿＿＿(“·”与“－”分别为乘法与减法)． 15．设随机变量ξ服从正态分布N(1,22)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c= (参考数据：φ(2)＝0.9773) ( )A ．2B ．3C ．4D ．5三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．16．已知△ABC 的顶点A(3,－1)，AB 边上的中线所在直线方程为：3x ＋7y －19＝0，AC 边上的高所在直线方程为6x ―5y ―15＝0，求BC 边所在直线方程．17．已知向量＝(cos 4x,－1)，＝(1,cin 4x ＋3sin2x)，x ∈R ，f(x)＝·． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[0, π2]，求f(x)的最值及相应的x 值．18．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点． (1)当·取最小值时，求的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．19．在三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠CBD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AC，BC＝6．(1)求二面角A―CD―B的平面角的正切值；(2)设过棱AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离．20．已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：p(x)＝―1100(x―30)2＋8(万元)．现开发一个回报率高，科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得利润Q(x)＝―99100(100―x)2＋2575(100－x)(万元)，新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成，这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发，从第三年开始这100万元就可以全部用于新旧两种产品的生产投入．(1)为解决资金缺口，第一年向银行贷款1000万元，利率5.5％(不计复利)，第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元？(2)从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？(3)从新旧产品的五年最高利润中拿出70％来，能否还清银行的贷款？－a 2a 2ADCBRHO x21．设数列{a n }是以a 为首项，t 为公比的等比数列，令b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n ；C n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，n ∈N ＋．(1)试用a,t 表示b n 和C n ；(2)若a ＞0,t ＞0且t ≠1，试比较C n 与C n ＋1的大小；(3)是否存在实数对(a,t)，其中 t ≠1，使{C n }成等比数列，若存在，求实数对(a,t)和{C n }；若不存在，说明理由．黄冈中学高考数学模拟测试题3参考答案1．D 2．B 解：③、④不成立，④中若⊥，⊥不一定有＋＝3．B 4．B 5．B 解：A －BCD 为正四面体，球为其外接球，设OH ＝x ．则⎩⎨⎧AH ＝R ＋x ＝263R 2－x 2＝43⇒x ＝66． 6．B7．C 解：由|x ＋1|＜a2⇒|x ＋1|＜b8．B 9．C10．C 解：5条直径． P ＝C 15·C 18 C 310＝13．11．(－∞,0)∪[4,＋∞] 解：(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y)2xy ＝2＋(x y ＋yx )≥4或≤0．1212．y ＝x 2－6x ＋7 解：平移公式：⎩⎨⎧x ＝x ′－3y ＝y ′＋213．[0, 12] 解：q ：a ≤x ≤a ＋1则﹁q ：x ＜a 或x ＞a ＋1．p ：12≤x ≤1，则﹁p ：x ＜12或x ＞1．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1⇒0≤a ≤12．14．6 解：x ∈[－2,1]时，f(x)＝1·x ―2∈[―4,―1]，x ∈(1,2)时，f(x)＝x 2·x ―2 ∈(―1,6)．x ＝2时，f(x)＝22·2－2＝6．15． 5； 解：P(ξ≤c)＝43 [1－P(ξ≤c)] ∴P(ξ≤c)＝4344＝0.9773， ∴φ(c －12)＝0.9773， ∴c －12＝2 c ＝5．16．解：易得AC 方程为5x ＋6y －9＝0，由⎩⎨⎧5x ＋6y －9＝03x ＋7y －19＝0 ⇒c(－3,4)．设B(x 1,y 1)，则⎩⎨⎧6x 1―5y 1―15＝03x 1＋7y 1－36＝0⇒B(5,3)．∴BC 直线方程为：x ＋8y －29＝0．17．解：f(x)＝·＝cos 4x ―sin 4x ―3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＝2cos(2x ＋π3)． (1)函数f(x)的最小正周期T ＝π． (2)．∵x ∈[0, π2]∴2x ＋π3∈[π3,4π3]． ∴当2x ＋π3＝π3即x ＝0时，f(x)mox ＝1． 当2x ＋π3＝π即x ＝π3时，f(x)min ＝－2． 18．解：设＝(x.y)，∵与共线⇒x ＝2y ． ∴＝(2y,y)，又＝－＝(1―2y,7―y)， ＝－＝(5―2y,1―y)．∴·＝(1―2y)(5―2y)＋(7―y)(1―y) ＝5y 2－20y ＋12＝5(y ―2)2―8≥―8．此时y ＝2，＝(4,2)． (2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1,－1)，·＝－8．由﹁q ⇒﹁p ，则﹁q ⊂－﹁p ．∴cos ∠AQB ＝＝－8 34·2＝－41717．19．解：(法一)(1)设BC 的中点为E ，连结AE ，过E 作EF ⊥CD 于F ，连结AF ，由三垂线定理知∠EFA 为二面角的平面角．∵△EFC ～△DBC ，∴EF BD ＝CE CD ，∴EF ＝32．又∵AE ＝3，∴tan ∠EFA ＝AEEF ＝2，∴二面角A ―CD ―B 的平面角的正切值为2． (2)过点D 作DG ∥BC ，且CB ＝DG ，连结AG ， ∴平面ADG 为平面a ， ∵BC ∥平面ADG ，∴点B 到平面ADG 的距离等于点C 到平面ADG 的距离，设为h ． ∵V C －AGD ＝V A －CBD ，13S △AGD h ＝13S △BCD AE ， ∴h ＝677．(法二)以BC 中点OA(0,0,3)，B(0,3,0)，C(0,－3,0)，D(23,3,0)，G(23,－3,0)． (1)易知面BCD 的一个法向量＝(0,0,1)， 设面ACD 的一个法向量为＝(1,x,y)，则⇒⎩⎨⎧(1,x,y)(0,―3,―3)＝0，(1,x,y)(23,6,0)＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝－33，y ＝33，∴＝(1,－33,33)．Cos ＜,＞＝＝331＋13＋13＝55， ∴二面角A ―CD ―B 的平面角的正切值为2． (2)设面AGD 的一个法向量＝(1,x,y)，则⇒⎩⎨⎧(1,x,y)(23,3,－3)＝0，(1,x,y)(0,6,0)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝233， ∴＝(1,0, 233)．d ＝＝(23,0,0)·(1,0, 233)12＋43＝677．20．解：(1)五年利息是1000×0.185×5＝275(万元)，本利和1275万元； (2)设从第三年年初每年旧产品投入x 万元，则新产品投入100－x(万元)， 于是每年的利润是：W ＝P(x)＋Q(100－x)＝[―1100(x ―30)2＋8]＋{―99100[100―(100―x)]2＋2575[100―(100―x)]} ＝(－1100x 2＋35x －1)＋(－99100x 2＋2575x)＝－x 2＋52x －1＝―(x ―26)2＋675．∴投入旧产品26万元，新产品74万元时每年获得最大利润，最大利润是675万元． (3)因为P(x)在(0,30]上是增函数，所以在100万元的生产准备资金中除去新产品开发外，剩余的20万元全部投入可获得最大利润，于是头两年的利润W 1＝2×P(20)＝14(万元)，后三年的利润是W 2＝3×[P(26)＋Q(74)]＝3×675＝2185(万元)，故五年的总利润是W ＝W 1＋W 2＝2189(万元)，又2189×70%＝1427.3＞1275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70％来，能够还清对银行的欠款．21．解：(1)当t ＝1,a n ＝a,b n ＝1＋na,C n ＝2＋(1＋a)＋(1＋2a)＋…＋(1＋na)＝2＋n(2＋a ＋na)2； 当t ≠1时，a n ＝atn －1，b n ＝1＋a(1－t n )1－t ＝1＋a 1－t －at n1－tC n ＝2＋n(1＋a 1－t )－a1－t ·t(1－t n )1－t(2)C n ＋1－C n ＝b n ＋1＝1＋a 1－t －at n ＋11－t ＝1＋a 1－t（1－t n ＋1)∵a ＞0 当t ＞1，1－t ＜0，1－t n+1＜0，C n+1＞C n ；0＜t ＜1，1－t ＞0，当1－t n+1＞0，C n+1＞C n.. ∴综上所述C n+1＞C n ．(3)由(1)C n ＝2＋n(1＋a 1－t )－a1－t ·t(1－t n )1－t即C n ＝2－at (1－t)2＋(1＋a1－t )n ＋at n ＋1(1－t)2若{C n }成等比数列，应有⎩⎨⎧2－at(1－t)2＝0 ①(1＋a1－t)n ＝0 ②由①②解得 t ＝2，a ＝1此时C n ＝4·2n －1故存在实数对(2,1)使{C n }成等比数列．。
高三数学-2018年湖北省黄冈高三数学模拟试题(二)及答
2018年湖北省黄冈高三数学模拟试题(二)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 60分)参考公式： 三角函数的积化和差公式sin αcos β=12[sin (α＋β)＋sin (α－β)]cos αsin β=12[sin (α＋β)－sin (α－β)]cos αcos β=12[cos (α＋β)＋cos (α－β)]sin αsin β=－12[cos (α＋β)－cos (α－β)]正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧= 12(c ′＋c )l (其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)台体的体积公式：V 台体=13(S ′＋SS ′＋S )h (其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17=10，则S 19的值A .是55B .是95C .是100D .不能确定2.设集合P ={x |(x － 1)(x － 4)≥0，x ∈R }，Q ={x |(n － 1)(n － 4)≤0，n ∈N }，集合S 满足S ∩Q =S ，S ∩P =｛1，4｝，则集合S 中元素的个数是A .2B .2或4C .2或3或4D .无穷多个 3.|x |≤2的必要但不充分条件是A . |x ＋1|≤3B . |x ＋1|≤2C . |x ＋1|≤1D . |x － 1|≤1 4.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线A .垂直B .平行C .相交D .异面5.现从某校5名学生干部中选出4人分别参加 “资源”、“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，则不同的参加方案的种数是A .90B .120C .180D .3606.为了使函数y =sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A .98πB .1972πC . 1992π D . 100π7.(理科)函数y ＝2arccos (x 2－x －14)的值域是A . [0,4π3] B .[2π3，2π] C .[ － 2π3，2π3] D . [0，2π3] (文科)函数y ＝2cos (sinx )的值域是 A .[2cos 1，2]B .[－2，2]C .[0，2cos 1]D .[－2cos 1，2cos 1]8.将曲线C 向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲C ′，若曲线C ′的方程为x 24－y25＝1，则曲线C 的焦点坐标为A .(6，－1)，(0，－1)B .(－6，1)，(0，1)C .(－3，2)，(－3，－4)D .(3，2)，(3，－4)9.向高为H 的圆锥形漏斗匀速地注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭)，注入溶液量V 与溶液深度h 的函数图象是A B C D 10.不等式－x 2－4x ≤43x ＋1－a 的解集是[－4,0],则a 的取值范围是A .a ≤－5B .a ≥53C .a ∈RD .a ≤－5或a ≥5311.设x 1，x 2，x 3分别是方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2，log 21x ＝x 的实数根，则x 1，x 2，x 3大小关系是A . x 1＞x 2＞x 3B .x 2＞x 1＞x 3C .x 2＞x 3＞x 1D .x 3＞x 1＞x 212.三棱锥S －ABC 中，E 、F 、G 分别是SA 、SB 、SC 上的点，且SE EA ＝BF SF ＝SCSG ＝2，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为A .1∶9B .1∶7C .1∶8D .2∶25第II 卷(非选择题 90分) 姓名__________学号______一大题答题卡：二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．)13.满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的一个函数是f (x )＝______(注：只填上你认为正确的一种可能即可)。
黄冈中学2018年自主招生数学模拟试题五
AB ，PF ⊥AC ，连接AP ，BP ，CP ，如果S △APF + S △BPE + S △CPD =233，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．233．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且与⊙O 2外切，圆心O 1与O 2在x 正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1，⊙O 2的半径O 2P 2都与x 轴垂直，且点P 1、P 2在反比例函数)0(1>=x x y 的图象上，则21y y +的值为（ ）A ．22B ．1C ．23D ．24．已知关于x 的一元四次方程420x px qx r +++=有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.①p q r +=可能成立;②p r q +=可能成立;③q r p +=可能成立. A.0 B.1 C.2 D.3.A ．23 B ．43 C ．23- D ．43-6. 如图,△ABC 内接于圆O,BC=36,∠A=60°,点D 为 BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于E,当点D 由B 点沿 BC运动到点C 时,点E 经过的路线长为.54A B C D二、填空题（每小题5分，共30分）7．设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是_________________.8．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升65cm ，积分别为S 和S ′. 若对任意x 值，)(322c x b x a c bx ax '+'+'=++恒成立，则S S'= . 12.设a 1,a 2,…,a k 为k 个互不相同的正整数，且a 1+a 2+…+a k =1995，那么k 的最大值是 .三、解答题（共60分）13. (12分) 已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.14、（16分）校园安全与每个师生、家长和社会有着切身的关系.某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数y2与时间为t（分）满足关系式y2=-4t2+48t-96（0≤t≤12）．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就会出现安全隐患．（1）试写出七年级学生在单个楼梯口等待的人数y1（人）和从放学时刻起的时间t（分）之间的函数关系式，并指出t的取值范围．（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．（3）为了避免出现安全隐患，该校采取让七年级学生提前放学措施，要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生至少比八年级提前几分钟放学？15、（14分）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O和△BCH的外接圆⊙1O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点216．(18分)如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：经过A，B，D三点的抛物线的解析式是；（2）已知点F在（1）中的抛物线的对称轴上，求点F到点B,D的距离之差的最大值；（3）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，-2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而增大时所对应的自变量x的取值范围．x13、【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠ ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又 ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.14. （1）y 1=12(0t 6),14412t(6t 12).t ≤≤⎧⎨-<≤⎩（2）同时放学：七年级单个楼梯口等待人数为y=2246096(0t 6),436t 48(6t 12).t t t ⎧-+-≤≤⎪⎨-++<≤⎪⎩当0≤t ≤6时，-4t 2+60t-96=80,得t 1=4,t 2=11, ∴4≤t ≤6；当6<t ≤12时，-4t 2+36t+48=80,得t 1=1,t 2=8, ∴6<t ≤8.∵8-4=4, ∴等待人数超过80人所持续的时间为：8-4=4(分). ∴等待人数超过80人所持续的时间为：8-4=4分钟； （3）设七年级学生比八年级提前m （m>0）分钟放学， 当0≤t ≤6-m 时，y=-4t 2+48t-96+12(t+m)= -4t 2+60t+12m-96, ∵602(4)--=7.5>6-m, ∴当t=6-m 时, y 有最大值=-4m 2+120,由-4m 2+120≤80，∵m>0, ∴m 2≥10, 得m当6-m<t ≤12-m 时，y=-4t 2+48t-96+144-12(t+m)= -4t 2+36t-12m+48, ∵362(4)--=4.5, ∴当t=4.5时, y 有最大值=129-12m ≤80，得m ≥4112；当12-m<t ≤12时，y=-4t 2+48t-96=-4(t-6)2+48≤48.∴要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生比八年级至少提前4112分钟放学， 15、证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠90=︒BDQ ． 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. 又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ， 四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.16.解：（1）y=14-x 232-x-2； （2）∵点A,B 关于抛物线的对称轴对称，∴FA=FB, ∴|FB-FD|=|FA-FD|, ∵|FA-F 到点B,D 的距离之差的最大值是 （3）存在点M 使△CMN 为等腰三角形，理由如下：由翻折可知四边形AODE 为正方形，过M 作MH ⊥BC 于H ，∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，NH=MH=4， ∵直线OE 的解析式为：y=x ，依题意得MN ∥OE ，∴设MN 的解析式为y=x+b ， 而DE 的解析式为x=-2，BC 的解析式为x=-6，∴M （-2，-2+b ），N （-6，-6+b ），CM 2=42+(-2+b)2，CN 2=(-6+b)2，MN 22=32， ①当CM=CN 时， 42+(-2+b)2=(-6+b)2，解得：b=2，此时M （-2，0）； ②当CM=MN 时，42+(-2+b)2=32，解得：b 1=-2，b 2=6（不合题意舍去），此时M （-2，-4）；③当CN=MN时，，此时M（-2，；综上所述，使△CMN为等腰三角形的M点的坐标为：（-2，0），（-2，-4），（-2，；（4）当-2≤x≤0时，∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠BNP=90°，∴∠DPE=∠BNP，又∠PED=∠NBP=90°，∴△DEP∽△PBN，∴PB BNDE EP=，∴62x+=2BNx+，∴BN=(2)(6)2x x++，∴S△DBN=12BN×BE=12×(2)(6)2x x++×4, 整理得：S=x2+8x+12；当-6≤x＜-2时，∵△PBN∽△DEP，∴PE DEBN PB=，∴226xBN x-=-，∴BN=(2)(6)2x x-+，∴S△DBN=12BN×BE=12×(2)(6)2x x--+×4，整理得：S=-x2-8x-12；则S与x之间的函数关系式：S=22812(2x0)812(6x2) x xx x⎧++-≤≤⎪⎨----≤<-⎪⎩，①当-2≤x≤0时，S=x2+8x+12=(x+4)2-4，当x≥-4时，S随x的增大而增大，即-2≤x≤0，②当-6≤x＜-2时，S=-x2-8x-12=-(x+4)2+4，当x≤-4时，S随x的增大而增大，即-6≤x≤-4，综上所述：S随x增大而增大时，-2≤x≤0或-6≤x≤-4．。
2018年最新 湖北省黄冈中学(数学)2 精品
湖北省黄冈中学 2018届高三年级十二月月考数 学 试 题（理）本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，用时120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中R 表示球的半径次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．已知向量a =),36(2λλ+ ，i =(1,0)和j =(0,1)，若a ·j =－3，则向量a 与i 的夹角<a ，i >=（ ）A ．3πB ．－6π C ．56π D ．6π 2．设全集U=R ，已知非空集合P={x||x －1<a}与集合M={x|x 2－4>0}之间满足P ∩C U M=P ， 则实数a 的取值范围是（ ）A ．0<a<3B ．0<a<1C ．0<a ≤3D ．0<a ≤13．已知角α的终边经过点P （tan β，sin β），且cos β=－21，则α的一个值是 （ ）A ．32π B ．65π C ．π－arctan21 D ．π－arctan24．“一个几何体在三个两两垂直的平面上的射影是三个全等的圆”是“这个几何体是球”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知a 、b 、c 是互不相等的三个实数，且c b a 1,1,1成等差数列，则bc a b --= （ ）A ．acB ．ba C ．c a D ．cb6．已知P 1（x 1，y 1）是直线l ：f(x ，y)=0上的一点，P 2（x 2，y 2）是直线l 外的一点，则由方程f （x ，y ）+f （x 1，y 1）+f （x 2，y 2）=0表示的直线与直线l 的位置关系是 （ ） A ．互相重合 B ．互相平行 C ．互相垂直 D ．互相斜交 7．一正四棱锥的高为22，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（ ）A ．26B ．23C ．43D ．228．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是 [3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是 （ ）A ．]23,35[B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[9．设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．9π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．2π=x10．设表示复数z=x +y i (x 、y ∈R)的点Z （x ，y ）位于不等式组⎩⎨⎧<+-<--010122y x x x 确定的平面区域，对于任意实数a ，则表示复数2)(11az z a z w ++--=的点W 一定位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.11．以曲线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是 .12．曲线C 与曲线y=2x －3的图象关于直线l ：y=x 对称，则曲线C 与l 有一个交点位于区间 （写出一个长度为1的开区间即可）。
湖北省黄冈市黄冈中学2018-2019学年高一上学期提前录取模拟数学试题(一)Word版
湖北省黄冈市黄冈中学2018-2019 学年高一上学期提前录取模拟数学试题（一）一、选择题最新试卷多少汗水曾洒下，多少希望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
温馨提示：多少汗水曾洒下，多少希望曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦念，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平常考试相同去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，此后耐心等候考试结束。
1．若 a 为实数，则化简的结果是（）A．﹣ a B．a C．± a D．| a|2．假如 x2﹣（ m+1） x+1 是完满平方式，则m 的值为（）A．﹣ 1 B．1C．1 或﹣ 1 D．1 或﹣ 33．如图，点 A、B、 C 挨次在直线 l 上，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（）A．AB=12 B．BC=4 C．AM=5 D．CN=24．如图，正方形 ABCD的边 AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无暗影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣5．已知关于x 的方程（ 2a+b）x﹣1=0 无解，那么ab 的值是（）A．负数B．正数C．非负数D．非正数6．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学惯用品，若购铅笔3 支，练习本 7 本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购铅笔 4 支，练习本 8 本，圆珠笔 2 支共需 4.2 元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需（）A．1.2 元B．1.05 元C．0.95 元D．0.9 元7．如图，在线段 AE 同侧作两个等边三角形△ABC和△ CDE（∠ ACE＜ 120°），点P 与点 M 分别是线段 BE和 AD 的中点，则△ CPM 是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8．假如关于 x 的方程 x2﹣ax+a2﹣ 3=0 最稀有一个正根，则实数 a 的取值范围是（）A．﹣ 2＜ a＜ 2B．C．D．9．如图，△ABC中， D、E 是BC边上的点，BD： DE：EC=3：2：1，M在 AC边上， CM：MA=1：2， BM 交AD，AE 于H， G，则BH：HG：GM 等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5D．51：24： 1010．已知锐角三角形的边长是2， 3， x，那么第三边x 的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．二、填空题11．假如不等式组无解，则 a 的取值范围是．12．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1 中无论p 取何值时都经过定点，则定点坐标为．13．如图，在菱形ABCD中， AE⊥ BC， E为垂足，若cosB=，EC=2，P 是 AB 边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．14．已知：实常数 a、b、c、d 同时满足以下两个等式：①asin θ+bcos θ﹣c=0；②acos θ﹣ bsin θ+d=0（此中θ为任意锐角），则 a、b、c、d 之间的关系式是：．15．函数 y=| x﹣ 1|+ 2| x﹣2|+ 3| x﹣3|+ 4| x﹣4| 的最小值是．， BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC、BC 16．如图，在△ABC中，AB=AC=两边于点D、E，则△ CDE的面积为．2 2px 1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于 1，则17．已知关于 x 的方程 x + +实数 p 的取值范围是．18．若直线 y=b（ b为实数）与函数 y=| x2﹣4x+3| 的图象最稀有三个公共点，则实数 b 的取值范围是．三、解答题（共 4 小题，共 50 分）19．设 m 是不小于﹣ 1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m﹣ 2）x+m2﹣3m+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，（1）若 x12+x22=6，求 m 值；（2）求的最大值．20．如图，已知⊙ O 和⊙ O′订交于 A、B 两点，过点 A 作⊙ O′的切线交⊙ O 于点 C，过点 B 作两圆的割线分别交⊙ O、⊙ O′于 E、 F， EF与 AC订交于点 P．（1）求证： PA?PE=PC?PF；（ 2）求证：；（3）当⊙ O 与⊙ O′为等圆时，且 PC：CE： EP=3： 4： 5 时，求△ PEC与△FAP的面积的比值．21．察以下各个等式： 12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，⋯．（1）你能从中推出算 12 +22+32+42+⋯+n2的公式？写出你的推程；（2）你用（ 1）中推出的公式来解决以下：已知：如，抛物y= x2+2x+3 与 x、y 的正半分交于点A、 B，将段OAn 均分，分点从左到右挨次A1、A2、A3、A4、 A5、A6、⋯、A n﹣1，分 n1 个点作 x 的垂挨次交抛物于点B1、B2、 B3、B4、 B5、B6、⋯、B n﹣1，△ OBA1、△ A1B1A2、△ A2B2A3、△ A3B3A4、⋯、△ A n﹣1B n﹣1A 的面挨次S1、S2、S3、 S4、⋯、Sn．①当 n=2013 ，求 s1+s2+s3+s4 +⋯+s2013的；② 研究：当n 取到无无尽，中全部三角形的面和将是什么？什么？22．已知：直角三角形AOB中，∠ AOB=90°，OA=3厘米， OB=4厘米．以 O 坐原点如建立平面直角坐系． P、Q 分 AB ，OB 上的点，它同分从点 A、 O 向 B 点匀速运，移的速度都 1 厘米每秒． P、Q 运的 t 秒（ 0≤ t≤4）．（ 1）求△ OPQ的面 S 与（厘米2）与 t 的函数关系式；并指出当t 何 S的最大是多少？（2）当 t 何，△ BPQ和△ AOB 相似；（3）当 t 何，△ OPQ直角三角形；（4）① 明无 t 何，△ OPQ不能够能正三角形；②若点 P 的移速度不，改点Q 的运速度，使△ OPQ正三角形，求出点 Q 的运速度和此的t ．湖北省黄冈市黄冈中学2018-2019 学年高一上学期提前录取模拟数学试题（一）参照答案一、选择题1．D；2．D；3．A； 4． A； 5． D； 6． B； 7． C； 8． C； 9． D； 10．B；二、填空题11．a≤1；12．（ 4， 33）； 13．；14．a2+b2=c2+d2； 15．8；16．；17．p ＜-1；18．0＜ b≤ 1；。
2018年黄冈中学预录数学试题
绝密★启用前湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷一．选择题（共11小题）1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．则（）A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的取值范围是（）A．0＜a＜2或2＜a≤3 B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5 D．0＜a＜2或3≤a＜53.6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种 B．6种 C．10种D．12种4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为1.5分钟、0.5分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．5.5分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或16．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y ≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．月份用水量（m3）水费（元）1 9 92 15 193 22 3323.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．。
2018年黄冈中学自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题及参考答案
2018年黄冈中学预录数学模拟试卷时间120分钟满分120分一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内）1、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3| +4－b=0，c 2+4b －4c －12 =0，则a+b+c 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．92、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ）A 、18B 、24C 、30D 、363、已知点A ),(11y x 、B ),(22y x 均在抛物线)30(422<<++=a ax ax y 上，若21x x <，a x x -=+121，则（ ）（A ）21y y > （B ）21y y < （C ）21y y = （D ）1y 与2y 的大小不能确定4、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD 至点E ，使得DE=DC ，连结AE ，则∠DBC 的度数为（ ）A ．18°B ．16°C ．15°D ．14° 5、若不等式a x x ≤-+-3312有解，则实数a 最小值是（ ）A 、1B 、2C 、4D 、66、有n 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n 的最小值等于 （ ）(A ) 171 (B ) 172 (C ) 180 (D ) 1817、在△ABC 中，120A ∠=，6BC =．若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为（ ）.（A ） 4 （B （C ）4- （D ）6-8、若函数5y x =-+，令1x =，2，3，4，5，可得函数图象上的5个点，在这5个点中随机取两个点11(,)P x y ，22(,)Q x y ,则,P Q 两点在同一个反比例函数图象上的概率是（ ）.（A ）51 （B ）25 （C ）35 （D ）45二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案填在各小题后的横线上） 9、已知点A （0，2）、B （4，0），点C 、D 分别在直线1=x 与2=x 上，且CD x //轴，则AC+CD+DB 的最小值为 .10、已知实数a 、b 、c 满足2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ， 则代数式ab+bc 的值为__________。
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届黄冈中学高三理科数学模拟试卷及答案2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷及答案多做数学模拟试卷可以熟悉知识点和积累知识，这样才能在高考中考出好。
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2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷题目一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知i为虚数单位， R，复数，若为正实数，则的取值集合为( )A. B. C. D.2. 已知集合，，则集合 ( )A. B.C. D.3. 的展开式中的系数为( )A. B. C. D.4. 已知等比数列中，，，且公比，则 ( )A. B. C. D.5.设函数，若，且，则 ( )A. B. C. D.6.某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是( )A. B. C. D.7.如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体的表面积为( )A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，若抛物线上存在点，使得，则的值为( )A. B. C. D.9.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数)，若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值为( )A.3.126B.3.132C.3.151D.3.16210.已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，11.已知函数和函数在区间上的图象交于三点，则△ 的面积是( )A. B. C. D.12.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为( )A. B.8 C. D.6第Ⅱ卷非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上.)13.已知向量 , 满足，，则在方向上的投影为 .14.成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示就是,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前4组勾股数：3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41. 则按照此规律，第6组勾股数为 .15.设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是 .16.在△中，，，且在边上分别取两点，点线段的对称点正好落在边上，则线段长度的.最小值为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本题满分12分)在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令， .(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设，求数列的前项和 .18.(本题满分12分)如图1，在平行四边形中，，，是的中点，现将四边形沿折起，使平面，得到图2所示的几何体，是的中点.(Ⅰ)证明平面 ;(Ⅱ)求二面角的余弦值的大小.19.(本题满分12分)某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调研情况制成如下图所示的列联表：选择坐标系与参数方程选择不等式选讲合计男生 60女生合计 160(Ⅰ)完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能否认为选题与性别有关.(Ⅱ)按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望 .附：，其中 .0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.(本题满分12分)已知点分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过右焦点作两互相垂直的直线分别与椭圆相交于点和，求的取值范围.21.(本小题满分12分)设函数，，其中 R，…为自然对数的底数.(Ⅰ)当时，恒成立，求的取值范围;(Ⅱ)求证： (参考数据： ).请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 .(Ⅰ)把曲线的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)设曲线与曲线交于两点,与曲线交于两点，若点的直角坐标为，求△ 的面积.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为 .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若正实数满足，求的最小值.2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷答案1.【答案】B【解析】为正实数，则 .2.【答案】C【解析】，， .3.【答案】A【解析】的展开通项式为，，即的系数为 .4.【答案】C【解析】由，，得，则 .5.【答案】D【解析】当时，为增函数，又，且，故，则即，所以 .6.【答案】B【解析】方法一： ;方法二： ;方法三： .7.【答案】C【解析】如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即为所求，且，，可求得表面积为 .8.【答案】C【解析】方法一：由，得在线段的中垂线上，且到抛物线准线的距离为，则有 .方法二：设则有，则有 .9.【答案】 D【解析】由程序框图可得 .10.【答案】C【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则点在第三象限，为两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点关于原点的对称点 ,则点坐标为由图象知，即 .方法二：的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点，则方程有且仅有两个根，则函数有且仅有两个零点，，又，则，当时满足函数有且仅有两个零点，此时，，，即 .11.【答案】D【解析】，有图像可得为等腰三角形，底边为一个周期长，高为，则12.【答案】B【解析】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距为，有题意可得，又，则 .13.【答案】【解析】向量在方向上的投影为 .14.【答案】【解析】方法一：由前4组勾股数可知，第一个数均为奇数，且成等差数列，后两个数是相邻的两正整数，有勾股数满足的关系得第6组勾股数为 .方法二：若设第一个数为，则第二，三个数分别为，第6组的一个数为13，可得第6组勾股数为 .15.【答案】【解析】作出直线所围成的区域，如图所示，，当时，满足题意.16.【答案】【解析】方法一：设，∵A点与点P关于线段MN对称，∴ ，，在中，，，，，由正弦定理：则，当时此时， .方法二：建立如图如示坐标系由得，设，，与交于点，由，得，，此时 .17.【解析】(Ⅰ) 构成递增的等比数列，其中，则，又，得，，. …………………6分(Ⅱ) ，故上述两式相减，得…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取的中点，连结、 .因为，，故 .又因为 , ，故 .所以四边形是平行四边形， .在等腰中，是的中点，所以 .因为平面，故 .而，而平面 .又因为，故平面. …………………5分(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， .设是平面的一个法向量，由，得，令，则 .设是平面的一个法向量，可得 .故，所以二面角的余弦值为. …………………12分19.【解析】(Ⅰ)选择坐标系与参数方程选择不等式选讲合计男生 60 45 105女生 40 15 55合计 100 60 160，故不能认为选题与性别有关.…………………5分(Ⅱ)选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数比例为100：60=5：3，所以抽取的8人中倾向“坐标系与参数方程”的人数为5，倾向“不等式选讲”的人数为3.依题意，得，，，，. …………………9分故的分布列如下:所以. …………………12分20.【解析】(Ⅰ)方法一：由题意得且∴方法二：由，得 .∴椭圆方程为. …………………4分(2)设，，直线为 .直线为联立则，，…………………6分.∵同理令，则当时，，∴ . …………………12分21.【解析】(Ⅰ)令，则①若，则，，在递增，，即在恒成立，满足，所以 ;②若，在递增，且且时，，则使，则在递减，在递增，所以当时，即当时，，不满足题意，舍去;综合①，②知的取值范围为. …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立，令，则即; …………………7分由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有. …………………12分22.【解析】(1) 的普通方程为即，所以的极坐标方程为. …………………4分(2)依题意，设点的极坐标分别为 ,把代入，得，把代入，得，所以 ,依题意，点到曲线的距离，所以. …………………10分23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为 . (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若正实数满足，求的最小值.【解析】(Ⅰ)因为，当且仅当时取等号，故，即. …………………5分(Ⅱ)当且仅当时取等号. …………………10分【2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷及答案】。
2018年黄冈中学自主招生模拟试题二及答案
一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ）A． B．C．D．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（ ）A．﹣1B．2 C．22 D．304．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）A．B．C．D．（1+）25．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．06．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（ ）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④8．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（ ）A．﹣13B．﹣9C．6 D．09．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（ ）A．0≤m≤1 B．m≥C．＜m≤1 D．≤m≤110．关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，则2x2+mx﹣n因式分解的结果是（ ）A．（x+1）（x﹣3） B．2（x+1）（x﹣3）C．（x﹣1）（x+3） D．2（x﹣1）（x+3）11．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．412．已知一直角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定13．已知x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两相等的实数根，x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则a、b的取值范围是（ ）A．2＜a＜4；2＜b＜5 B．1＜a＜4；2＜b＜5 C．1＜a＜4；1＜b＜5 D．2＜a＜4；1＜b＜5 14．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）A．B．C．D．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞218．若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．1或219．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣220．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（ ）A．p＞q B．P=qC．p＜q D．p、q大小关系不能确定21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A．B．C．D．23．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S124．在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（ ）A．2R B．R C．R D．R26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（ ）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）A．145° B．135° C．120° D．105°二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a 、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O 上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ）A． B．C．D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（ ）A．﹣1B．2 C．22 D．30【分析】根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，a3+8β+6，3a3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．故选D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答本题时，采用了“公式法”．4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）A．B．C．D．（1+）2【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面积．【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面积为（1+）2=．故选A．5．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．0【分析】利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．【解答】解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．6．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【分析】方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a ＜b，即可判断．【解答】解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式得到：x=，又因m=＜a，n=＞b，∵a=，b=∵a＜b，∴a＜＜b，又∵＜＜＜＜，∴m＜a＜b＜n．故本题选A．【点评】根据求根公式求出m，n的值，正确比较m，a的大小是解决本题的关键．7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．【解答】解：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（ ）A．﹣13B．﹣9C．6 D．0这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．【解答】解：设m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根，则m2﹣3m﹣1=0，所以m2=3m+1．由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，所以m4+am2+bm+c=0，把m2=3m+1代入此式，得（3m+1）2+am2+bm+c=0，整理得（9+a）m2+（6+b）m+c+1=0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数），所以b=﹣3a﹣33，c=﹣a﹣10．因此，a+b﹣2c=a+（﹣3a﹣33）﹣2（﹣a﹣10）=﹣13．故选A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．9．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（ ）A．0≤m≤1 B．m≥C．＜m≤1 D．≤m≤1【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．【解答】解：方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的有三根，∴x1=1，x2﹣2x+m=0有根，方程x2﹣2x+m=0的△=4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴＜m≤1．故选C．【点评】本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，则2x2+mx﹣n因式分解的结果是（ ）A．（x+1）（x﹣3） B．2（x+1）（x﹣3）C．（x﹣1）（x+3） D．2（x﹣1）（x+3）【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出m，n的值，再代入2x2+mx﹣n，分解因式即可．【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，∴﹣1+3=﹣，﹣1×3=﹣，∴m=﹣4，n=6．∴2x2﹣4x﹣6=2（x2﹣2x﹣3）=2（x+1）（x﹣3）．故选B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及多项式的因式分解．此外，本题还可以利用因式分解与整式乘法的关系，直接得出结果．11．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先由：|x2﹣x|﹣a=0，可得a≥0，然后分析若x2﹣x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x2﹣x＜0时，分析当△=﹣4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△=﹣4a+1=0时，有∴a≥0，当a=0时，x2﹣x=0，方程有两个实数根，若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此时方程有两个不相等的实数根．若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a=0，即则x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，此时方程有两个不相等的实数根，当﹣4a+1=0时，a=，此时方程有两个相等的实数根，当﹣4a+1＜0时，a＞，此时方程没有的实数根；∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；当a=0或a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．∴正确的结论是①②③．故选C．根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】在直角三角形中有：a2+c2=b2，再根据方程的△来判断根的情况．【解答】解：由题意得：a2+c2=b2，化简方程为：（a+b）x2﹣2x﹣a+b=0，∴△=4﹣4（b+a）（b﹣a）=4﹣4（b2﹣a2）=4﹣4c2，不知c的取值，所以无法确定方程的根的情况．故选D．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．已知x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两相等的实数根，x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则a、b的取值范围是（ ）A．2＜a＜4；2＜b＜5 B．1＜a＜4；2＜b＜5 C．1＜a＜4；1＜b＜5 D．2＜a＜4；1＜b＜5【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a，b的不等式，解这些不等式就求出a，b的取值范围．【解答】解：对于方程x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，则△=a2﹣4（3﹣b）=a2+4b﹣12＞0即a2+4b﹣12＞0 ①对于方程x+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则△=（4﹣a）2﹣4（5﹣b）=a2﹣8a+4b﹣4＜0，a2﹣8a+4b﹣4＜0 ③②代入①得a＞2，b＞2，②代入③得a＜4，b＜5，∴2＜a＜4，2＜b＜5．故选A【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】方程|x2﹣6x+8|=1可化为两个方程，然后分别化简这两个方程，求出每个△的值，再来判断实根的个数．【解答】解：方程|x2﹣6x+8|=1可化为两个方程，分别为x2﹣6x+8=1 (1)x2﹣6x+8=﹣1 (2)（1）化简为x2﹣6x+7=0△=（﹣6）2﹣4×7=8＞0即（1）有两个不相等的实数根．（2）化简为x2﹣6x+9=0△=（﹣6）2﹣4×9=0【点评】此题不仅要根据根的判别式来判断根的个数，还要考虑含有绝对值的方程的化简问题．15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选D．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）A．B．C．D．【分析】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣，所以可知a=6b ，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣所以可知a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1则函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选A．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞2【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h=b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD=∴=方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2即h=（﹣h）2因h＞0，得h=1，是个定值．故选B．【点评】此题考查观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．据根的判别式的正负即可得到图象与x轴的交点个数．【解答】解：∵关于x的不等式组有解，∴3a﹣2＞a+2，即a＞2，令y=0，（a﹣3）x2﹣x﹣=0，△=（﹣1）2﹣4×（a﹣3）×（﹣）=a﹣2，∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴函数图象与x轴的交点个数为2．当a=3时，函数变为一次函数，故有一个交点，故选D．【点评】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax2+bx+c的关系．19．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（ ）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2【分析】化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0，∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n，2）是图象上的一点，∴an2+bn+c=2，∴﹣4a=2，∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（ ）A．p＞q B．P=q C．p＜q D．p、q大小关系不能确定【分析】先由图象开口向下判断出a＜0，由对称轴在y轴右侧得出b＞0，所以2a﹣b＜0，当x=﹣1时图象在x轴下方，得出y＜0，即a﹣b+c＜0．当x=1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a+b+c＞0，由对称轴公式﹣＞1，得出2a+b＜0．然后把p，q化简利用作差法比较大小．【解答】解：当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；当x=0时，y=c=0，∴2a+b＞0；∵a＜0，b＞0，∴2a﹣b＜0；∴p=|a﹣b+c|+|2a+b|=﹣a+b﹣c+2a+b=a+2b﹣c，q=|a+b+c|+|2a﹣b|=a+b+c﹣2a+b=﹣a+2b+c，∵p﹣q=a+2b﹣c+a﹣2b﹣c=2（a﹣c）＜0∴p＜q．故选C．【点评】主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．【解答】解：A、根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°；D、根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A．B．C．D．【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC=，S弓形==，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选B．【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们A．3 B．0 C．4 D．【分析】当以AB为弦的圆C与x轴相切时，∠APB最大．设点C（x，y），根据切线的性质及同圆的半径相等，列出方程组即可求解．【解答】解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．故此时∠APB最大．连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．∵CP=CA=CB，∴y2=x2+（y﹣4）2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，由y2=x2+（y﹣4）2，得8y=x2+16 ①，由y2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，得x2﹣6x+73﹣16y=0②，①代入②，整理得x2+6x﹣41=0，解得x1=5﹣3，x2=﹣5﹣3（不合题意舍去）．故选D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质及两点间的距离公式，有一定难度．作出符合要求的圆C是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度A．2R B．R C．R D．R【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．【解答】解：连接DC′，根据题意以及垂径定理，得弧C′D的度数是120°，则∠C′OD=120°．作OE⊥C′D于E，则∠DOE=60°，则DE=R，C′D=R．故选B．【点评】此类题只要是能够正确确定点P的位置．此题综合运用了垂径定理、勾股定理进行计算．26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（ ）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点【分析】因为O为圆心，所以OE=OF=OD，故点O是△DEF的三边中垂线交点，还是△ABC的三条角平∴点O是△DEF的三边中垂线交点，则又是△ABC的三条角平分线的交点．故选C．【点评】此题考查了三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，外接圆的圆心是三边中垂线交点． 27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）A．145° B．135° C．120° D．105°【分析】已知P为△ABD的内心，则P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC 的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD 的度数，根据∠PBC=∠PBD﹣∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．【解答】解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；∴∠ABC=∠ACB=70°；∵P是△ABD的内心，∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∠BPC=180°﹣2∠PBC；在△CBD中，CB=CD，∴∠CBD=∠D=∠ACB=35°；∴∠PBC=∠PBD﹣∠CBD=52.5°﹣35°=17.5°；∴∠BPC=180°﹣2∠PBC=145°．故选A．【点评】此题比较复杂，考查了三角形的内心及等腰三角形的性质，解答此题要熟知以下概念：三角形的内心：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a 、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S △ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．29．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0≤t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O 上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？【分析】（1）此题可有两种解法：①连接OB，利用勾股定理求解，②延长PO交⊙O于另外一点，利（3）若存在等腰△PBM，且以PB为底，那么M点必在线段PB的垂直平分线上，而⊙O上存在唯一点M ，那么线段PB的中垂线与⊙O相切，且切点为M．连接OM，易证得四边形OBDM是正方形，则BP=2BD=2OB=4，即n=4，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得OP的长，进而可得到AP即m的值．在上面已经求得PB=4，若M能与PB构成等腰三角形（PB不一定是底边），可有两种情况考虑：①BM=PB=4，由于⊙O的半径为2，那么过B作⊙O的直径BM，此时M点就符合题意；②PB=PM=4，此种情况与（2）题相同，此时M、C重合，即PM与⊙O相切，且切点为M．由于BM=PM在上面已经讨论过，所以能与PB构成等腰三角形的共有3点．【解答】解：（1）解法一：连接OB．∵PB切⊙O于B，∴∠OBP=90°，∴PO2=PB2+OB2，∵PO=2+m，PB=n，OB=2，∴（2+m）2=n2+22m2+4m=n2；n=4时，解得：（舍去），．∴m的值为．解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线．又∵PB切⊙O于B，∴PB2=PA•PQ，∵，PA=m，PO=m+4，∴m的值为．（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，∴∠BPC=60°，∴△PBC为等边三角形；连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，∴m=PA=OP﹣OA=2．（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求；连接OB、OM，∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，∴四边形OMDB为正方形，∴BD=DM=OM=2，∴n=PB=4．由（1）得n=4时，m=，∴当m=时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形，【点评】此题考查了勾股定理、切割线定理、切线长定理、等腰三角形和等边三角形的判定、切线的性质等重要知识点，综合性强，难度较大．。
2018年最新 湖北省黄冈中学2018年五月份模拟考试数学试题(理)及答案 精品
湖北省黄冈中学2018年五月份模拟考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ²B ）=P （A ）²P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={直线}，N={圆}，则M ∩N 中元素的个数为 （ ）A ．0B ．0，1，2其中之一C ．无穷多个D ．无法确定 2．tan15°－cot15°的值是 （ ）A ．－3B ．－23C ．3D ．23 3．n 为正奇数，nn ii i i 22)11()11(+-+-+的值是（ ）A ．2B ．－2C ．0D ．2或－24．已知函数,1)(---=a x xa x f 其反函数)(1x f -的图象对称中心是（－1，3），则实数a 等于（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．45．将函数y=f (x )²cos x 的图象按向量a =（4π，1）平移，得到函数y=2sin 2x 的图象那么函数 f (x )可以是 （ ） A ．cos x B ．2cos x C ．sin x D ．2sin x则k 等于（ ）A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或27．设)(),1,0()1(2x f x x x x x f n 且≠+++=- 中所有项的系数和为A n ，则nnn A 2l i m ∞→的值为（ ）A ．2B ．21 C ．－21 D ．－28．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，AB ≠AC ，D 、E 分别是BC 、 AB 的中点，AC>AD ，设PC 与DE 所成的角为α，PD 与平面ABC 所成的角为β，二面 角P —BC —A 的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是（ ）A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．β<α<γD ．γ<β<α9．在曲线y=x 3+x －2的切线中，与直线4x －y=1平行的切线方程是（ ）A ．4x －y=0B ．4x －y －4=0C ．2x －y －2=0D ．4x －y=0或4x －y －4=010．椭圆)0(2222>>=+b a by a x 的左顶点点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，下顶点为C ，离心率31=e ，则直线AB 与CF 的夹角为 （ ）A ．arctan1124 B ．arctan1128 C ．arctan524 D ．arctan 528 11．棱长为1的正八面体的外接球的体积是（ ）A ．6π B ．π2734 C ．π328 D ．π32 12．我校家长学校邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是 （ ）A ．60B ．120C ．240D ．480第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上. 13．函数),2[log +∞=在x y a 上恒有|y|>1，则a 的取值范围是 . 14．已知点P(x ,y)在曲线xy 1=上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM （O 为坐标原点）的周长的最小值为 .15．某两个数学班的学生成绩统计中，甲班标准差大于乙班标准差，而平均成绩相同，说明 .16．如图，以长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体 是 .（注：只写出其中一个，并 在图中画出相应的四面体）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量a =),23sin ,23(cos x x b =)2sin ,2(cos x x -,且].4,3[ππ-∈x （1）求a ²b 及|a +b |；（2）若)(x f =a ²b －|a +b |，求)(x f 的最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一次考试出了12个选择填空题，每题5分，每个题有四个可供选择的答案，一个是正确的，三个是错误的，某同学只知道其中9个题的正确答案，其余3个题完全靠猜测回答.（1）试求这个同学卷面上正确答案不少于10个的概率；（2）设这个同学选择填空题得分为ξ，求Eξ（精确到个位）.19．（本小题满分12分）已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x =1处有极值10，试确定a ,b 的值.20．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=6，AA1=3，N 在线段A1D上，AN⊥A1D，M为线段B1C1上一点，且AM⊥A1D.（1）求B1M的长；（3）求点C到平面AMN的距离.21．（本小题满分12分）过点M（－2，0）作直线l交双曲线x2－y2=1于A、B两点，已知=+,（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）有n 2(n ≥4)个正数，排成n×n 矩阵（n 行n 列的数表，如图）： a 11 a 12 … a 1n a 12 a 22 … a 2n… … … … a n1 a n2 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a 24=1, a 42=81,a 43=163, （1）求公比q ；（2）用k 表示a 4k ；（3）求a 11+a 22+a 33+…+a nn 的值.湖北省黄冈中学2018年五月份模拟考试数学试题（理）参考答案1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C 13．)2,1()1,21( 14．22+ 15．乙班学生成绩比较平衡，而甲班成绩差异较大16．A 1－ABC 等 17．解： （1）a ²b .2cos 2sin 23sin 2cos 23cosx xx x x =-= |a +b|],4,3[|,cos |22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos 22ππ-∈=+=-++=x x x x x x x∴>∴,0cos x |a+b |=x cos 2.（2）],4,3[.23)21(cos 21cos 2cos 2cos 22cos )(22ππ-∈--=--=-=x x x x x x x f ∴≤≤∴,1cos 21x 当21cos =x 时，)(x f 取得最小值;23-)(,1cos x f x 时=取得值大 值－1.18．解：“这个同学卷面上正确答案不少于10个”等价于3个选择题的答案中正确答案的个数不少于1个，该事件是3次独立重复试验，在每次试验中选中正确答案的概率为.41∴所求事件的概率为64376416496427)41()43()41()43()41(312232113=++=++C C ，或 .6437)43(13=-（2）ξ可能取值分别为45，50，55，60，P(ξ=45)=,649)55(,6427)50(,6427)43(3=====ξξP P.4975.486432106416064955642750642745,641)60(≈==⨯+⨯+⨯+⨯=∴==ξξE P 19．解1)(,23)(2=++='x x f b ax x x f 在 处有极值10，⎩⎨⎧=='∴.10)1(,0)1(f f 即时当或解得3,3.11,4,3,3,101,0232=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+++=++b a b a b a a b a b a ， 1)(,)1(3)(,933)(223='-='++-=x x f x x f x x x x f 在处附近的正负号如图（1）所示，1)(=∴x x f 在处无极值，不合题意；当,16114)(,11,423+-+=-==x x x x f b a 时 1)(),311)(1(3)(='+-='x x f x x x f 在处附近的正负号如图（2）所示，1)(=∴x x f 在处取值极小值10)1(=f ，综上知11,4-==b a 符合题意.20．解法1：分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. （1）设B 1M=x ，则)3,6,0()3,,3(,),3,6,0(),3,,3(11-⋅∴⊥-==x A A x.23,23,0961==∴=-=M B x x 即 （2）∵A 1D ⊥AM ，A 1D ⊥AN ，∴A 1D ⊥平面AMN ，∴A 1D 是平面的法向量，设平面ABCD 的法向量是a =（0，0，1）5536)3,6,0()1,0,0(||||,cos 22111-=+-⋅=⋅><∴D A a A ∴直线AD 与平面AMN 所成的角为arccos55. （3）∵A 1是平面MAN 的法向量，)0,6,3(=，则点C 到平面AMN 的距离为.551253|)36,0()0,6,3(|11=-⋅=解法2：（1）作ME ⊥A 1D 1于E ，连AE.∵AM ⊥A 1D ，由三垂线定理的逆定理知AE ⊥A 1D ，由Rt △A 1AE ∽Rt △DA 1A ，知A 1E=.23,2321111==∴=E A M B AA （2）∵A 1D ⊥AM ，A 1D ⊥AN ，∴A 1D ⊥平面AMN ，∴∠DAN=tan ∠DA 1A=21=AA AD,即直线AD 与平面AMN 所成的角为arctan2.（3）设过A 1、D 、C 的平面α交平面AMN 于NF ，∵A 1D ⊥平面AMN ，∴A 1D ⊥NF ，又A 1D ⊥CD ，且CD 与NF 共面α.∴CD//平面AMN.∴点D 到平面AMN 的距离DN=5512即为点C 到平面AMN 的距离. 21．（1）设l 的方程为y=k(x +2)(k ≠0),代入方程x 2－y 2=1,得(1－k 2)x 2－4k 2x －4k 2－1=0.当k ≠±1时，设A(x 1,y 1), B(x 2, y 2),则.114,1422212221-+=-=+k k x x k k x x ① y 1+y 2=k(x 1+2)+k(x 2+2)=k(x 1+x 2)+4k=22214414kk k k k k -=+-⋅. 设).14,14(),(),(,),,(2222121k kk k y y x x y x y x P --=++=+=得由 2224141k x k k y k ⎧=⎪⎪-∴⎨⎪=⎪-⎩①②②÷③得k y x =.④ 将④代入③得，2)(14y x y x y -=，化简， 得x 2－y 2+4x =0,即(x +2)2－y 2=4.⑤当斜率不存在时，易知P （－4，0）满足方程⑤，故所求轨迹方程为(x +2)2－y 2=4(y ≠0)，其轨迹为双曲线.（2OAPB 为矩形的充要条件是⋅=0，即x 1x 2+y 1y 2=0.⑥ 当k 不存在时，A 、B 坐标分别为（－2，3）、（－2，－3），不满足⑥式. 又x 1x 2+y 1y 2= x 1x 2+k(x 1+2)k(x 2+2)=x 1x 2+k 2x 1x 2+2k 2(x 1+x 2)+4k 2=041421)14)(1(2222222=+-⋅--++k k k k k k k ,化简得01122=-+k k ，此方程无实数解.故不存在直线l 使OAPB 为矩形.22．解：（1）∵每一行的数列成等差数列，∴a 42, a 43, a 44成等差数列，∴2a 43=a 42+a 44, a 44=41；又每一列的数成等比数列，故a 44=a 24·q 2，a 24=1, ∴q 2=41,且a n >0, ∴q=21. （2）a 4k =a 42+(k －2)d=81+(k －2)(a 43－a 42)=16k. （3）∵第k 列的数成等比数列 ∴a kk =a 4k ²q k －4=16k ²(21)k －4=k ²(21)k (k=1,2,…,n). 记a 11+a 22+a 33+…a nn =S n ,由错位相消法，可得S n =2－.22n n +。
【提前招生】黄冈中学2018年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题附答案
4．二次函数y =ax +bx +c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（第4题图）（第5题图） （第6题图）5.如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③AG ∥CF ；④S △EGC =S △AFE ；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（ ）A ． 2B ．3C ．4D ．56.如图，点P （﹣1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且 tan ∠BAO=1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为（ ） A ．10 B ． 8 C ． 6 D ． 不确定二、填空题（每小题5分，共30分）7.已知抛物线y=x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2﹣m+2016的值为 _____________.8. 如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm9.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．11.在△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，以C 为圆心，CB 为半径作圆交AB 于M ，交AC 边于N ，CM 与BN 交于点P ，若AN=1，则S △CPN -S △BPM = .12.设有n 个数n x ,,x ,x 21,它们每个数的值只能取0，1，-2三个数中的一个，且55251215n n x x x ,x x x +++-=+++ 的值是 .三、解答题（共60分）13.（10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC=PG ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2=BF •BO ．求证：点G 是BC 的中点；（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG 的长．第14题图QH G F E D C B A14.(10分)正数m,n 满足34424=+--+n n m mn m ，求20172232++-+n m n m 的值.15.(10分)已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-a xa a xa a ，求x 的值.16（15分）.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A 类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （x ≥2）之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是s =12+3t ，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅有x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A 类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．17.（15分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．黄冈中学2018年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题参 考 答 案一、选择题（每小题5分，共30分）1．D 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 二、填空题（每小题5分，共30分）7． 2017 8. 12 9. 336 10. 6 11. 8112. -125三、解答题（共60分） 13. 解（1）证明：连OC ，如图，∵ED ⊥AB ，∴∠FBG+∠FGB=90°， 又∵PC=PG ，∴∠1=∠2，而∠2=∠FGB ，∠4=∠FBG ，∴∠1+∠4=90°，即OC ⊥PC ， ∴PC 是⊙O 的切线；（2）证明：连OG ，如图，∵BG 2=BF •BO ，即BG ：BO=BF ：BG ， 而∠FBG=∠GBO ，∴△BGO ∽△BFG ， ∴∠OGB=∠BFG=90°，即OG ⊥BG ， ∴BG=CG ，即点G 是BC 的中点；（3）解：连OE ，如图，∵ED ⊥AB ，∴FE=FD ， 而AB=10，ED=4，∴EF=2，OE=5， 在Rt △OEF 中，OF===1，∴BF=5﹣1=4，∵BG 2=BF •BO ，∴BG 2=BF •BO=4×5，∴BG=2．14.解：由34424=+--+n n m mn m 变形得01232=++-+)n m )(n m (∵012≠++n m ∴32=+n m ，∴10112017323320172232-=+-=++-+n m n m15.解：由012=--a a 得，11=-a a ，∴3122=+aa 又由已知得，112932131222-=+--+x )aa (x )a a (，即1129321332-=+-⨯x x ，解得1051x16. 解：（1）①当2≤x ＜8时，如图，设直线AB 解析式为：y =kx +b ，将A （2，12）、B （8，6）代入得：，解得，∴y =﹣x +14；②当x ≥8时，y =6．∴A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为：y =．（2）设销售A 类杨梅x 吨，则销售B 类杨梅（20﹣x ）吨． ①当2≤x ＜8时，wA =x （﹣x +14）﹣x =﹣x 2+13x ； wB =9（20﹣x ）﹣[12+3（20﹣x ）]=108﹣6x ∴w =wA +wB ﹣3×20=（﹣x 2+13x ）+（108﹣6x ）﹣60 =﹣x 2+7x +48；当x ≥8时，wA =6x ﹣x =5x ；wB =9（20﹣x ）﹣[12+3（20﹣x ）]=108﹣6x ∴w =wA +wB ﹣3×20=（5x ）+（108﹣6x ）﹣60=﹣x +48． ∴w 关于x 的函数关系式为：w =．②当2≤x ＜8时，﹣x 2+7x +48=30，解得x 1=9，x 2=﹣2，均不合题意； 当x ≥8时，﹣x +48=30，解得x =18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m 吨杨梅，其中A 类杨梅为x 吨，B 类杨梅为（m ﹣x ）吨，则购买费用为3m 万元，A 类杨梅加工成本为x 万元，B 类杨梅加工成本为[12+3（m ﹣x ）]万元，∴3m +x +[12+3（m ﹣x ）]=132，化简得：x =3m ﹣60． ①当2≤x ＜8时，wA =x （﹣x +14）﹣x =﹣x 2+13x ； wB =9（m ﹣x ）﹣[12+3（m ﹣x ）]=6m ﹣6x ﹣12 ∴w =wA +wB ﹣3×m =（﹣x 2+13x ）+（6m ﹣6x ﹣12）﹣3m =﹣x 2+7x +3m ﹣12． 将3m =x +60代入得：w =﹣x 2+8x +48=﹣（x ﹣4）2+64 ∴当x =4时，有最大毛利润64万元，此时m =，m ﹣x =；②当x ＞8时，wA =6x ﹣x =5x ；wB =9（m ﹣x ）﹣[12+3（m ﹣x ）]=6m ﹣6x ﹣12 ∴w =wA +wB ﹣3×m =（5x ）+（6m ﹣6x ﹣12）﹣3m =﹣x +3m ﹣12． 将3m =x +60代入得：w =48 ∴当x ＞8时，有最大毛利润48万元． 综上所述，购买杨梅共吨，其中A 类杨梅4吨，B 类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．17. 解：（1）当点N落在BD上时，如图1．∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN=PQ=t．∴△DPN∽△DQ B．∴．∵PN=PQ=P A=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，∴．∴t=．∴当t=时，点N落在BD上．（2）①如图2，则有QM=QP=t，MB=4﹣t．∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥DQ．∵点O是DB的中点，∴QM=BM．∴t=4﹣t．∴t=2．②如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AB=4，AD=3，∴DB=5．∵点O是DB的中点，∴DO=．∴1×t=AD+DO=3+．∴t=．∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜．（3）①当0＜t≤时，如图4．S=S正方形PQMN=PQ2=P A2=t2．②当＜t≤3时，如图5，∵tan∠ADB==，∴=．∴PG=4﹣t．∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．∵tan∠NFG=tan∠ADB=，∴．∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF=t2﹣×（﹣4）×（t﹣3）=﹣t2+7t﹣6．③当3＜t≤时，如图6，∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．∴∠PQM=∠DAB=90°．∴PQ∥A D．∴△BQP∽△BA D．∴==．∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，∴．∴BQ=，PQ=．∴QM=PQ=．∴BM=BQ﹣QM=．∵tan∠ABD=，∴FM=BM=．∴S=S梯形PQMF=（PQ+FM）•QM=[+]•=（8﹣t）2 =t2﹣t+．综上所述：当0＜t ≤时，S =t 2．当＜t ≤3时，S =﹣t 2+7t ﹣6． 当3＜t ≤时，S =t 2﹣t +．（4）设直线DN 与BC 交于点E ， ∵直线DN 平分△BCD 面积， ∴BE =CE =． ①点P 在AD 上，过点E 作EH ∥PN 交AD 于点H ，如图7，则有△DPN ∽△DHE ． ∴． ∵PN =P A =t ，DP =3﹣t ，DH =CE =，EH =AB =4，∴．解得；t =．②点P 在DO 上，连接OE ，如图8，则有OE =2，OE ∥DC ∥AB ∥PN ． ∴△DPN ∽△DOE ． ∴．∵DP =t ﹣3，DO =，OE =2， ∴PN =（t ﹣3）．∵PQ =（8﹣t ），PN =PQ ， ∴（t ﹣3）=（8﹣t ）．解得：t =．③点P 在OC 上，设DE 与OC 交于点S ，连接OE ，交PQ 于点R ，如图9， 则有OE =2，OE ∥D C ．∴△DSC ∽△ESO ． ∴．∴SC =2SO ．∵OC =， ∴SO ==．∵PN ∥AB ∥DC ∥OE ， ∴△SPN ∽△SOE ． ∴．∵SP =3++﹣t =，SO =，OE =2， ∴PN =．∵PR ∥MN ∥BC ， ∴△ORP ∽△OE C ． ∴． ∵OP =t ﹣，OC =，EC =， ∴PR =．∵QR =BE =， ∴PQ =PR +QR =． ∵PN =PQ ， ∴=．解得：t =．综上所述：当直线DN 平分△BCD 面积时，t 的值为、、．。
2018年最新 湖北省黄冈中学2018学年度高三年级第一次
湖北省黄冈中学2018—2018学年度高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n p P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有 1项最符合题要求的.） 1．设集合},|{},,,1|{22R x x y y N R y R x y x x M ∈==∈∈=+=，则集合N M 等于 （ ）A ．}22,22{-B ．)}22,22(),22,22{(--C ．}2222|{≤≤-x x D ．}11|{≤≤-y y2．已知R a ∈，且a i ai a 则,64)(6-=+等于 （ ）A ．2±B ．2±C ．2D ．2-3．已知△ABC 三顶点的坐标分别为A （2，0），B （1，3），C （3，33），则ABC ∠的 大小为 （ ）A ．3π B ．6π C ．32π D ．65π4．若则并且,0))((,0))((,,>--<--<<b d a d b c a c c d b a a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ）A ．b c a d <<<B ．d b c a <<<C ．c b d a <<<D ．b c d a <<<5．设F 1、F 2为椭13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，21PF PF ⋅的值等于 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．46．如果不等式1||<-a x 成立的充分条件非必要条件是2321<<x ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2321≤≤a B ．2321<<a C ．2321><a a 或 D ．2321≥≤a a 或 7．底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P —ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．π3B ．π2C ．34πD ．π4 8．已知α为三角形的一个内角，且αααtan ,51cos sin 则=+的值等于（ ）A ．43-B ．34-C ．43-或34-D ．34±9．将语、数、外、理、化生六本课外辅导读物赠送给某希望工程学校的四名学生阅读，每人至少一本，至多2本，则恰好有一人同时获得理、化两本书的概率是 （ ）A ．301B ．151 C ．152 D ．15410．若函数)2,0()(在x f 上是增函数，函数)2(+x f 是偶函数，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系是（ ）A ．)1()25()27(f f f <<B ．)27()25()1(f f f <<C ．)27()1()25(f f f <<D ．)25()1()27(f f f <<11．若等差数列}{},{n n b a 的前n 项和为nn n n n n n b a n nT S T S ∞→+=lim ,132,,则又的值等于 （ ）A ．1B ．32C ．56D ．94 12．当nknn n N n +≤+∈*1ln 1ln ,不等时恒成立，则常数k 的取值范围是 （ ）A ．),1[+∞B ．),2[+∞C ．),21(+∞ D ．),(+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.）13．若nxx )2(+的展开式中第5项是常数，则n= . 14．函数)(x f 的反函数)0)(2005(log )(11>+=+-m m xx f m ，则方程2005)(=x f 的解为 .15．已知△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB ，则二面角A —PB —C 的正切值为 .16．当x 、y 满足约束条件y x z k Ny x k y x x x y +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤++≤≤*),(,,02,4,3为常数其中的最大值为12，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知函数)(,cos cos sin 3)(2x f x x x x f 为使其中ωωωω-=能在32π=x 时取最大值的最小正整数. （1）求ω的值；（2）设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b ac b 且边,2=所对的角θ的取值集合为A ，当A x ∈ 时，求)(x f 的值域.18．（本小题满分12分）A 有一只放有x 个红球，y 个白球，z 个黄球的箱子（x 、y 、z ≥0，且6=++z y x ），B 有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A 胜，异色时为B 胜. （1）用x 、y 、z 表示B 胜的概率；（2）当A 如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？19．（本小题满分12分）在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）求证：平面BB1D1D⊥平面ACD1；（2）求AA1与平面ACD1所成的角；（3）设H为截面ACD1内一点，求H到正方体表面ADD1A1、DCC1D1、ABCD的距离之和的最小值.20．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和.),(21a a N n npa S n n ≠∈=*且 （1）求常数p 的值；（2）若12=a ，求数列n a 的通项公式.21．（本小题满分12分）已知)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M >22．（本小题满分14分）若F 1、F 2为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，P在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足||||||||111OP OF OM OP F ==（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点)3,2(N ，求双曲线方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B 1，B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A ，B 在双曲线上，且B B B B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程.数学（理）参考答案1.D2.B3.C4.A5.C6.A7.A8.B9.C 10.D 11.D 12.A 13．12 14．1=x 15．6 16．2022-≤<-k 17．解：21)62sin(22cos 12sin 23)(--=+=πωωωx x x x f （1）依题设知2,1),(213,226322==∴∈+=+=-ωωππππω时即k z k k k x为所求. （2）由余弦定理，得30,21222cos 22222πθθ≤<∴=≥-+=-+=ac ac ac ac c a ac b c a ， 即}.30|{πθθ≤<=A由（1）知67646,30,,21)64sin()(πππππ≤-<-≤<∈--=x x A x x x f 即得又由， 1)64sin(21≤-<-∴πx 故)(x f 的值域为].21,1(-18．解：（1）显然A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个基本事件：①A 1：“A 、B 均取红球”；②A 2：“A 、B 均取白球”；③A 3：“A 、B 均取黄球”.616)(,316)(,216)(321⨯=⨯=⨯=z A P y A P x A P ,3623)()()()(321zy x A P A P A P A P ++=++=∴6231)(z y x B P -+-=∴（2）由（1）知3623)(zy x A P -+=，0,0,0,6≥≥≥=++z y x z y x 又于是0,6,2136123623)(===∴≤-+=++=z y x z x z y x A P 当，即A 在箱中只放6 个红球时，获胜概率最大，其值为.2119．解法一：（1）证：由正方体性质易知D D BB AC BB AC BD AC 111,,平面即⊥⊥⊥，又⊂AC 平面ACD 1，所以BB 1D 1D ⊥平面ACD 1.（2）作A 1G ⊥平面ACD 1，垂足为G ，连AG ，则AG A 1∠为AA 1与平面ACD 1所成的角.连A 1C 1，设11111111.//,,ACD AC AC C A O BD AC O D B C A 平面⊂== ，111ACD C A 平面⊄∴，∴A 1C 1//平面ACD 1，即A 1G 等于O 1到平面ACD 1的距离.连OO 1，OD 1在Rt △DO 1D 1中，作O 1E ⊥OD 1于E ，则由（1）知O 1E ⊥平面ACD 1，又在a a aa OD OO D O E O D OO Rt 332622,1111111=⋅=⋅=∆中， 所以，.33sin 11111===∠AA E O AA G A AG A 故AA 1与平面ACD 1所成角为.33arcsin （利用DD 1//AA 1，求解同样给分）（3）分别作HM ，HN ，HF 垂直于平面ADD 1A 1，DCC 1D 1，ABCD ，则HM 2+HN 2+HF 2=HD 2，时平面1ACD HD ⊥ ，HD 最小值为a 33，故所求距离之和的最小值为.312a解法二：以D 为原点，射线DA 1、DC 1、DD 1为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 （1）),0,0(),0,,(),0,,(1a DD a a a a ==-=由⊥⊥⊥=⋅=⋅AC DD AC DB AC DD 即知,,0,011平面BB 1D 1D ，所以平面BB 1D 1D ⊥平面ACD 1.（2）易知平面ACD 1的法向量为).1,1,1(=m 又),0,0(1a AA =，设AA 1与平面ACD 1所成角为333,cos sin ,1=⋅>=<=a a AA θθ则， 故AA 1与平面ACD 1所成角为.33arcsin（3）设H 的坐标为),,(z y x ，则2222222||||||||HD z y x HF HN HM =++=++， 又∴=-===,33|3|||||||||||11min a a m m D D D 所求距离之和的最小值为231a . 20．解：（1）当n=1时，时则当若或2,1,10,111====∴=n p p a pa a ，有212212a a a a a =⇒=+与题设矛盾，22120,0,1pa a a p =+=≠∴于是则， 由.21,0,221=∴≠≠p a a a 知 （2）由（1）有2)1(2,211----=-==n n n n n n n a n na S S a na S 又 .21,3,)1()2(11--=≥-=-∴--n n a a n a n a n n n n n 时当 11123221223211-=⨯⨯⨯--⨯--=⋅⋅⋅=∴---n n n n n a a a a a a a a n n n n n 又1,021==a a 都满足上式，故所求通项为1-=n a n .（也可先归纳、猜想，后用数学归纳法证明）.21．证明：由题设有),)((323)(212x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <，则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值，)()()()()(212221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=-])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-=)]3(92)[(]3232)32()[(22121ac b a x x c a b b a c a a b a x x ---=+-⋅+⋅--⋅-= 由方程0232=++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(22>-=-=∆ac b ac b又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证.22．解：（1）由F =1知四边形PF 1OM 为平行四边形，||||||||11OP OM OF OP =知OM PF OM F OP 11,∴∠平分为菱形，设半焦距为c ，由c c OF ==||||11知， e ca c e a c a PF PF c PM =+=+=+=∴=2,,22||||,||212即 )1.(2,022舍去-==∴=--e e e e （2）∴=∴==,2,2a c ac e 双曲线方程为)3,2(,132222将点=-a y a x 代入， 有.3,1434222=∴=-a a a 即所求双曲线方程为.19322=-y x （3）依题意得B 1（0，3），B 2（0，－3）.∴=,22B B λ A 、B 2、B 共线. 设直线AB 的方程为).,(),,(,32211y x B y x A kx y -= 则由.0186)3(19332222=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=kx x k y x kx y ∵双曲线的渐近线为3,3±=∴±=k x y 当时，AB 与双曲线只有一个交点， 即.3±≠k .318,36221221kx x k k x x --=⋅-=+ 99)(,3186)(212122122121=++-=--=-+=+x x k x x k y y kx x k y y 又,09)(3),3,(),3,(21212111221111=++-+⇒⊥-=-=y y y y x x B B y x B y x B.5,5.0931839318222±=∴==+--⋅-+--∴k k kk 即故所求直线AB 的方程为.3535--=-=x y x y 或。
湖北省黄冈市实验中学2018年高二数学理模拟试题含解析
湖北省黄冈市实验中学2018年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知a，b，，则下列三个数，，（）A. 都大于6B. 至少有一个不大于6C. 都小于6D. 至少有一个不小于6参考答案：D假设3个数，，都小于6，则利用基本不等式可得，，这与假设矛盾，故假设不成立，即3个数，，至少有一个不小于6，故选D.点睛：本题考查反证法，考查进行简单的合情推理，属于中档题，正确运用反证法是关键.2. 设是三个集合，则是的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件参考答案：A3. 长、宽、高分别为4、3、的长方体的外接球的体积为（）A. 3B.C.D. 9参考答案：B4. 已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B5. 已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于( )A．B．C．2 D．参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得，由此能求出该数列的公比．【解答】解：∵在等比数列{a n}中， a1+a3=10，a4+a6=，∴，∴10q3=，解得q=．故选：A．【点评】本题考查等比数列的公式的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．6. 一个作直线运动的物体，它的运动路程(米)与时间（秒）满足，如果它在秒内的平均速度与秒时的瞬时速度相等，则等于（）A．B． C．D．参考答案：D7. 等差数列中，（）A. 9B. 10C. 11D. 12参考答案：B8. 已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|m＜x＜n}，且m＞0，则不等式cx2+bx+a＜0的解集为（）A．（，）B．（，）C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）参考答案：C【考点】一元二次不等式．【分析】依题意，a＜0，m+n=﹣，mn=＞0，从而可求得b，c，代入cx2+bx+a＜0即可求得答案．【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（m，n）（0＜m＜n），∴a＜0，m+n=﹣，mn=，∴b=﹣a（m+n），c=amn，∴cx2+bx+a＜0?amnx2﹣a（m+n）x+a＜0，∵a＜0，∴mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，又0＜m＜n，∴＞，∴x＞或x＜，故不等式cx2+bx+a＜0的解集是（﹣∞，）∪（，+∞）．故选：C．9. 下列直线中倾斜角为的是（）A. B. C. D.参考答案：A10. 在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线y2=2px的通径为4，则P=（）A．1 B．4 C．2 D．8参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用么抛物线y2=2px的通径为4，即可得出结论．【解答】解：由题意，2p=4，∴p=2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （4分）函数y=的值域是_________．参考答案：12. 已知在等比数列{a n}中，若m+2n+p=s+2t+r，m，n，p，s，t，r∈N*，则a m?a n2?a p=a s?a t2?a r．类比此结论，可得到等差数列{b n}的一个正确命题，该命题为：在等差数列{b n}中，若m+2n+p=s+2t+r，m，n，p，s，t，r∈N*，则_________．参考答案：略13. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是参考答案：1814. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是。
2018年黄冈中学自主招生模拟试题二及答案
2018年黄冈中学自主招生模拟试题二及答案14．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞218．若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或219．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣220．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（）A．p＞q B．P=qC．p＜q D．p、q大小关系不能确定21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．23．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S124．在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（）A．3 B．0 C．4 D．25．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（）A．2R B．R C．R D．R26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（）A．145°B．135°C．120°D．105°二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．29．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？2017年11月03日神州N号的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则△＞0，∴（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选D．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．2．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C． D．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得 a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．3．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（）A．﹣1 B．2 C．22 D．30【分析】根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，a3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，a3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．故选D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答本题时，采用了“公式法”．4．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A． B．C．D．（1+）2【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面积．【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面积为（1+）2=．故选A．【点评】本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．5．设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．0【分析】利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．【解答】解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．6．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【分析】方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．【解答】解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式得到：x=，又因m=＜a，n=＞b，∵a=，b=∵a＜b，∴a＜＜b，又∵＜＜＜＜，∴m＜a＜b＜n．故本题选A．【点评】根据求根公式求出m，n的值，正确比较m，a的大小是解决本题的关键．7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax+b）2，其中正确的（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．①②③④D．只有③④【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x．【解答】解：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x=，把x0的值代入（2ax+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x，整体代入求b2﹣4ac=（2ax+b）2．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．若方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b﹣2c的值为（）A．﹣13 B．﹣9 C．6 D．0【分析】设m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程x2﹣3x﹣1=0，也满足方程x4+ax2+bx+c=0，将m代入这两个方程，并整理，得（9+a）m2+（6+b）m+c+1=0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．【解答】解：设m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根，则m2﹣3m﹣1=0，所以m2=3m+1．由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，所以m4+am2+bm+c=0，把m2=3m+1代入此式，得（3m+1）2+am2+bm+c=0，整理得（9+a）m2+（6+b）m+c+1=0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1=0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数），所以b=﹣3a﹣33，c=﹣a﹣10．因此，a+b﹣2c=a+（﹣3a﹣33）﹣2（﹣a﹣10）=﹣13．故选A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x2+（6+b）x+c+1=k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．9．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1 B．m≥C．＜m≤1 D．≤m≤1【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．【解答】解：方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的有三根，∴x1=1，x2﹣2x+m=0有根，方程x2﹣2x+m=0的△=4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1=1，|x2﹣x3|＜x1=1，而x2+x3=2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得，m＞．∴＜m≤1．故选C．【点评】本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，则2x2+mx﹣n因式分解的结果是（）A．（x+1）（x﹣3）B．2（x+1）（x﹣3）C．（x﹣1）（x+3）D．2（x﹣1）（x+3）【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出m，n的值，再代入2x2+mx﹣n，分解因式即可．【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx﹣n=0的二根是﹣1和3，∴﹣1+3=﹣，﹣1×3=﹣，∴m=﹣4，n=6．∴2x2﹣4x﹣6=2（x2﹣2x﹣3）=2（x+1）（x﹣3）．故选B．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及多项式的因式分解．此外，本题还可以利用因式分解与整式乘法的关系，直接得出结果．11．关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先由：|x2﹣x|﹣a=0，可得a≥0，然后分析若x2﹣x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x2﹣x＜0时，分析当△=﹣4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△=﹣4a+1=0时，有两个相等的实数根，当△=﹣4a+1＜0时，没有的实数根，即可求得答案．【解答】解：∵|x2﹣x|﹣a=0，∴|x2﹣x|=a，∴a≥0，当a=0时，x2﹣x=0，方程有两个实数根，若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此时方程有两个不相等的实数根．若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a=0，即则x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，此时方程有两个不相等的实数根，当﹣4a+1=0时，a=，此时方程有两个相等的实数根，当﹣4a+1＜0时，a＞，此时方程没有的实数根；∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；当a=0或a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．∴正确的结论是①②③．故选C．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．解题的关键是分类讨论思想的应用，小心别漏解．12．已知一直角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【分析】在直角三角形中有：a2+c2=b2，再根据方程的△来判断根的情况．【解答】解：由题意得：a2+c2=b2，化简方程为：（a+b）x2﹣2x﹣a+b=0，∴△=4﹣4（b+a）（b﹣a）=4﹣4（b2﹣a2）=4﹣4c2，不知c的取值，所以无法确定方程的根的情况．故选D．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．已知x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两相等的实数根，x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则a、b的取值范围是（）A．2＜a＜4；2＜b＜5 B．1＜a＜4；2＜b＜5 C．1＜a＜4；1＜b＜5 D．2＜a＜4；1＜b＜5【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a，b的不等式，解这些不等式就求出a，b的取值范围．【解答】解：对于方程x2﹣ax+3﹣b=0有两个不相等的实数根，则△=a2﹣4（3﹣b）=a2+4b﹣12＞0即a2+4b﹣12＞0 ①对于方程x2+（6﹣a）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△=（6﹣a）2﹣4（6﹣b）=a2﹣12a+4b+12=0，b=﹣（a2﹣12a+12）②对于方程x2+（4﹣a）x+5﹣b=0无实数根，则△=（4﹣a）2﹣4（5﹣b）=a2﹣8a+4b﹣4＜0，a2﹣8a+4b﹣4＜0 ③②代入①得a＞2，b＞2，②代入③得a＜4，b＜5，∴2＜a＜4，2＜b＜5．故选A【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程|x2﹣6x+8|=1实根的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】方程|x2﹣6x+8|=1可化为两个方程，然后分别化简这两个方程，求出每个△的值，再来判断实根的个数．【解答】解：方程|x2﹣6x+8|=1可化为两个方程，分别为x2﹣6x+8=1 (1)x2﹣6x+8=﹣1 (2)（1）化简为x2﹣6x+7=0△=（﹣6）2﹣4×7=8＞0即（1）有两个不相等的实数根．（2）化简为x2﹣6x+9=0△=（﹣6）2﹣4×9=0即（2）有两个相等的实数根∴方程|x2﹣6x+8|=1共有三个不相等的实数根．故选C【点评】此题不仅要根据根的判别式来判断根的个数，还要考虑含有绝对值的方程的化简问题．15．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选D．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．16．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【分析】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣，所以可知a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣=﹣+=﹣，=﹣×=﹣所以可知a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1则函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2+x﹣6即y=（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选A．【点评】要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a，b，c的值．从条件可判断出a ＜0，可知﹣=﹣，=﹣；所以可知a=﹣6，b=﹣1，c=1，从而可判断后一个函数图象．17．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h=1 C．1＜h＜2 D．h＞2【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h=b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD=∴=方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2即h=（﹣h）2因h＞0，得h=1，是个定值．故选B．【点评】此题考查观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．18．若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a的取值范围，然后求出函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x轴的交点个数．【解答】解：∵关于x的不等式组有解，∴3a﹣2＞a+2，即a＞2，令y=0，（a﹣3）x2﹣x﹣=0，△=（﹣1）2﹣4×（a﹣3）×（﹣）=a﹣2，∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴函数图象与x轴的交点个数为2．当a=3时，函数变为一次函数，故有一个交点，故选D．【点评】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax2+bx+c的关系．19．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣2【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．依题意有AQ2+BQ2=AB2．（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2，化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0，∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n，2）是图象上的一点，∴an2+bn+c=2，∴﹣4a=2，∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，记p=|a﹣b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则p与q的大小关系为（）A．p＞q B．P=q C．p＜q D．p、q大小关系不能确定【分析】先由图象开口向下判断出a＜0，由对称轴在y轴右侧得出b＞0，所以2a﹣b＜0，当x=﹣1时图象在x轴下方，得出y＜0，即a﹣b+c＜0．当x=1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a+b+c＞0，由对称轴公式﹣＞1，得出2a+b＜0．然后把p，q化简利用作差法比较大小．【解答】解：当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；当x=0时，y=c=0，当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0；∵﹣＞1，∴2a+b＞0；∵a＜0，b＞0，∴2a﹣b＜0；∴p=|a﹣b+c|+|2a+b|=﹣a+b﹣c+2a+b=a+2b﹣c，q=|a+b+c|+|2a﹣b|=a+b+c﹣2a+b=﹣a+2b+c，∵p﹣q=a+2b﹣c+a﹣2b﹣c=2（a﹣c）＜0∴p＜q．故选C．【点评】主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，21．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．【解答】解：A、根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，正确；B、因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误；C、根据题意可知∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，正确；D、根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．22．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A．B．C．D．【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．23．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S1【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S 扇形AOC =；S 扇形BOC =．在三角形OCD 中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R ，∴S △OBC =，S 弓形==，＞＞，∴S 2＜S 1＜S 3．故选B ．【点评】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，解题的关键是算出三个图形的面积，首先利用扇形公式计算出第一个扇形的面积，再利用弓形等于扇形﹣三角形的关系求出弓形的面积，进行比较得出它们的面积关系．24．在平面直角坐标系中，设点A （0，4）、B （3，8）．若点P （x ，0），使得∠APB 最大，则x=（ ）A ．3B ．0C ．4D ．【分析】当以AB 为弦的圆C 与x 轴相切时，∠APB 最大．设点C （x ，y ），根据切线的性质及同圆的半径相等，列出方程组即可求解．【解答】解：如图，以AB 为弦作圆C 与x 轴相切，切点为P ．在x 轴上选取一个异于点P 的任一点，例如P'点，连接AP 、BP 、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．故此时∠APB 最大．连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．∵CP=CA=CB，∴y2=x2+（y﹣4）2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，由y2=x2+（y﹣4）2，得8y=x2+16 ①，由y2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，得x2﹣6x+73﹣16y=0 ②，①代入②，整理得x2+6x﹣41=0，解得x1=5﹣3，x2=﹣5﹣3（不合题意舍去）．故选D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质及两点间的距离公式，有一定难度．作出符合要求的圆C是解题的关键．25．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（）A．2R B．R C．R D．R【分析】首先要确定点P的位置，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交圆于点P，则点P即为所求作的点．且此时PC+PD的最小值为C′D．【解答】解：连接DC′，根据题意以及垂径定理，得弧C′D的度数是120°，则∠C′OD=120°．作OE⊥C′D于E，则∠DOE=60°，则DE=R，C′D=R．故选B．【点评】此类题只要是能够正确确定点P的位置．此题综合运用了垂径定理、勾股定理进行计算．26．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条角平分线交点D．三边中垂线交点【分析】因为O为圆心，所以OE=OF=OD，故点O是△DEF的三边中垂线交点，还是△ABC的三条角平分线的交点．【解答】解：∵△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，OE=OF=OD，则可知点O是DE、DF、EF中垂线上的点，∴点O是△DEF的三边中垂线交点，则又是△ABC的三条角平分线的交点．故选C．【点评】此题考查了三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，外接圆的圆心是三边中垂线交点．27．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（）A．145°B．135°C．120°D．105°【分析】已知P为△ABD的内心，则P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC 的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度数，根据∠PBC=∠PBD﹣∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．【解答】解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；∴∠ABC=∠ACB=70°；∵P是△ABD的内心，∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∠BPC=180°﹣2∠PBC；在△CBD中，CB=CD，∴∠CBD=∠D=∠ACB=35°；∵P是△ABD的内心，∴PB平分∠ABD，∴∠PBD=∠ABD=（∠ABC+∠CBD）=52.5°，∴∠PBC=∠PBD﹣∠CBD=52.5°﹣35°=17.5°；∴∠BPC=180°﹣2∠PBC=145°．故选A．【点评】此题比较复杂，考查了三角形的内心及等腰三角形的性质，解答此题要熟知以下概念：三角形的内心：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．二．解答题（共6小题）28．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2=．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．=×（2）×=S△ABC综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．29．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；【解答】解：（1）y=﹣x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0≤t＜2时，OP=（2﹣t），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（2﹣t）t=﹣t2+t，当2＜t≤4时，OP=（t﹣2），QC=t，∴△PQC的面积为：S=（t﹣2）t=t2﹣t，∴；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，2﹣2）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，﹣2）当AM=MC=BM时M为（0，0）．∴一共四个点，（0，），（0，），（0，﹣2），（0，0）；【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况．30．已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？【分析】（1）此题可有两种解法：①连接OB，利用勾股定理求解，②延长PO交⊙O于另外一点，利用切割线定理求解；（2）若△PBC是等边三角形，则必有PB=PC，由于PB是⊙O的切线，且C在⊙O上，那么若存在符合条件的C点，则PC必与⊙O相切，且切点为C（切线长定理）．若△PBC是等边三角形，则∠BPC=60°，∠BPO=30°，可连接OB，在Rt△OBP中，通过解直角三角形即可求得AP的长即m的值；（3）若存在等腰△PBM，且以PB为底，那么M点必在线段PB的垂直平分线上，而⊙O上存在唯一点M，那么线段PB的中垂线与⊙O相切，且切点为M．连接OM，易证得四边形OBDM是正方形，则BP=2BD=2OB=4，即n=4，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得OP的长，进而可得到AP即m的值．在上面已经求得PB=4，若M能与PB构成等腰三角形（PB不一定是底边），可有两种情况考虑：①BM=PB=4，由于⊙O的半径为2，那么过B作⊙O的直径BM，此时M点就符合题意；②PB=PM=4，此种情况与（2）题相同，此时M、C重合，即PM与⊙O相切，且切点为M．由于BM=PM在上面已经讨论过，所以能与PB构成等腰三角形的共有3点．【解答】解：（1）解法一：连接OB．。
(首发)2018年黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷
（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y= x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．
22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．
19．已知关于x的方程 ，
（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；
（2）若 ，求m的值．
20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m， ）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC= ，AM=4 ，求△MBC的面积．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）
21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．
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绝密★启用前湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学模拟试卷一．选择题（共11小题）1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．则（）A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的取值范围是（）A．0＜a＜2或2＜a≤3 B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5 D．0＜a＜2或3≤a＜53.6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种B．6种C．10种D．12种4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为1.5分钟、0.5分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．5.5分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或16．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y ≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．23.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．参考答案与试题解析一．选择题1.∴等式成立，∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，故选A．2.解：∵[]=3有正整数解，∴3≤＜4，即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，∴≤x＜，∵x是正整数，a为正数，∴x＜，即x可取1、2；①当x取1时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴3≤a＜5；②当x取2时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴0＜a＜2；综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．故选D．3.解：∵6个相同的球，放入四个不同的盒子里，∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种情况下的方法有4种；若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种情况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的情况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种情况；∴6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．故选C．4. 这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最后一位会用多长时间，很显然不管是谁最后灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，因为只需0.5分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是1.5分钟，最后是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．【解答】解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是0.5+（0.5+1）+（0.5+1+1.5）=5分钟．故选B．【点评】考查了应用类问题，运用了逆推法，按照灌水所需的时间由少到多的顺序安排灌水花费的时间的总和最少．5．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0解得x﹣=﹣2或1．故选D【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK ∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴=，∴=，∴a2+ab﹣b2=0，∴（）2+（）﹣1=0，∴=或（舍弃），∴==，故选B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作AH⊥BC，根据折叠的性质得到BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，则∠DEB=90°，再根据等腰梯形的性质得到BH=CE，可计算出CE=2，DE=BE=4，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AH⊥BC，如图，∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F，∴BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BH=CE，而AD=HE，AD=2，BC=6，∴CE=（6﹣2）=2，∴DE=BE=4，∴△ADB的面积=×2×4=4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰梯形的性质．8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定【分析】易证△ADE∽△ECF，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定△ADE∽△AEF，即可解题．【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE=2EF，AD=2DE，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE∽△AEF是解题的关键．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．【解答】解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．设OB=y，AB=x，∵∠AOM=60°，∴OC=OB•cos60°=y，∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，∴x2﹣（y﹣4）2=48，∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：，，，解得：，，，∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；∴共有4组解：或或或．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为1．【分析】本题用换元法解分式方程，由于x2+x是一个整体，可设x2+x=y，可将方程转化为简单的分式方程求y，将y代换，再判断结果能使x为实数．【解答】解：设x2+x=y，则原方程变为﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3．当x2+x=1时，即x2+x﹣1=0，△=12+4×1=5＞0，x存在．当x2+x=﹣3时，即x2+x+3=0，△=12﹣4×3=﹣11＜0，x不存在．∴x2+x=1．【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须验根．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143=0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=2.8不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=8.4不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=12.4不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．三．解答题（共4小题）16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q 作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；分两种情况：①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴=，∴QH=x，y=BP•QH=（10﹣x）•x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，∴=，即：=，解得：QH′=（14﹣2x），∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20．∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，∴当x=3时，y取最大值，y最大=．当3＜x＜7时，y=x2﹣x+42=（x﹣）2+（3＜x＜7）；∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=，∴当x=3时，y取最大值，但是x=3不符合题意．综上所述，△PBQ的面积的最大值是．（3）存在．理由如下：设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB•a=AC•c=BC•c，即5a=4b=3c，故a：b：c=12：15：20．∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，∴EN=PE=30米，在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=，∴ME=≈50（米），∴MN=EM﹣EN=20米，答：两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=，在Rt△FLH中，LH==36，在Rt△FLK中，KL==6，∴HK=30，AH=33，梯形DAHF的面积为：×DL×（DF+AH）=432，所以需填土石方为432×100=43200，设原计划平均每天填x立方米，由题意得，12x+（﹣12﹣20）×1.5x=43200，解得，x=600，经检验x=600是方程的解．答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．【点评】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．【分析】（1）由关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，可知此一元二次方程的判别式△＞0，即可得不等式，又由x1＜0＜x2，可得x1•x2＜0，根据根与系数的关系，可得不等式=m﹣1＜0，解此不等式组即可求得答案；（2）由一元二次方程根与系数的关系即可得4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1•x2==m ﹣1，然后将6x12+mx1+m+2x22﹣8=0变形，可得4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1•x2]=4，则可得方程（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，∴△=m2﹣4×4×（m﹣4）=m2﹣8m+64=（m﹣4）2+48＞0，∵两根x1，x2满足x1＜0＜x2，∴x1•x2==m﹣1＜0，∴m＜8，（2）∵x1、x2是方程的根，∴4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1•x2==m﹣1，∵6x12+mx1+m+2x22﹣8=0，∴4x12+mx1+m﹣4+2（x12+x22）﹣4=0∴4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1•x2]=4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=2，即（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，化简得：m2﹣4m=0，解得：m=0 或m=4，∴m的值为0或4．【点评】此题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意利用根与系数的关系将原方程变形求解，注意方程思想的应用．20.【解答】解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴+1=m，即=m﹣1，∴P（m，m﹣1），即“完美点”B在直线y=x﹣1上，∵点A（0，5）在直线y=﹣x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=﹣x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由解得，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣1与直线y=x平行，直线y=﹣x+5与直线y=﹣x平行，∴直线AM与直线y=x﹣1垂直，∵点B是直线y=x﹣1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x﹣1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴AB=3，∵AM=4，∴BM=，又∵CM=，∴BC=1，∴S△MBC=BM•BC=．【点评】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．21.解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（3）∵y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=x2﹣2x的最小值是﹣2=c，根据“闭函数”的定义知，d=c2﹣2c或d=d2﹣2d；Ⅰ）当d=c2﹣2c时，由于d=×（﹣2）2﹣2×（﹣2）=6＞2，符合题意；Ⅱ）当d=d2﹣2d时，解得d=0或6，由于d＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵c＜d，∴不合题意，舍去．综上所述，c，d的值分别为﹣2，6．【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．22.【解答】解：月用水量为x立方米，支付费用为y元，则有：y=；（2）由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，于是就有，解得b=2，从而2a=c+19，再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am3，不妨设9＞a，将x=9代入x＞a的关系式，得9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17，这与2a=c+19矛盾．∴9≤a．从而可知一月份的付款方式应选0≤x≤a的关系式，因此就有8+c=9，解得c=1．故a=10，b=2，c=1．23.【解答】解：（1）由题意可知，当废弃处理量x满足0＜x＜40时，每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200，∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即x=20时，每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元，又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元，∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；（2）由题意可知，y=，①当0＜x＜40时，令80x﹣（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，②当40≤x≤80时，令80x﹣（2x2﹣100x+5000）≥0，即2x2﹣180x+5000≤0，∵△=1802﹣4×2×5000＜0，∴x无解．综合①②，x的取值范围为30≤x＜40，故当该制药厂每天废气处理量计划为[30，40）吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；（3）∵当40≤x≤80时，投入资金为80x﹣（2x2﹣100x+5000），又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，∴当40≤x≤80时，不等式80x+ax﹣（2x2﹣100x+5000）≥0恒成立，即2x2﹣（180+a）x+5000≤0对任意x∈[40，80]恒成立，令g（x）=2x2﹣（180+a）x+5000，则有，即，即解得，答：市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．24.【解答】解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6则：D到y轴的距离=AB=3、D到x轴的距离=DA•sin∠DAB=3；∴D（3，3）；由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3）；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，有：，解得∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x．（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，∵点P在BC上时，PQ与AC始终相交，和PQ∥AC矛盾，∴点P在BC上时不存在符合要求的t值，当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，所以四边形PCAQ是平行四边形，则PC=AQ，有6﹣2t=t，得t=2．（3）①如图1，当点P在DC上，即0＜t≤3时，有△EDP∽△EAQ，则===，那么AE=AD=2，即y=2；②如图2，当点P在CB上，即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，则=，即=，得y=，综上所述：y=；（4）如图3，作点F关于直线DB的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA上，用DF′=DF=1；作点G关于抛物线ADC对称轴的对称点G′，易求DG′=4，连接F′G′交DB于点M、交对称轴于点N，点M、N即为所求的两点．过F′作F′H⊥DG′于H，在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°﹣∠ADC=60°，F′D=1；则：F′H=F′D•sin60°=，HD=F′D•cos60°=，HG′=H D+DG′=．用勾股定理计算得F′G′=，所以四边形FMNG周长最小为F′G′+FG=+1．【点评】此题为函数几何综合解答题，涉及了二次函数、特殊四边形、相似三角形、勾股定理、轴对称性等有关知识，也重点考查了学生对分类讨论思想的掌握情况．本题着力菱形的各项性质而设计，如“菱形的对角线互相垂直”、“菱形对边互相平行”、“菱形是轴对称图形”等，（2）（3）（4）问依次考察了学生对菱形基本性质的掌握程度及运用其性质灵活解题的能力，本题在设计时，（1）（2）（3）（4）问难度依次递增，充分考虑了不同层次的学生，让每位答题的学生都有所收获，都能获取。