2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)
2019年高考真题理科数学解析分类汇编6平面向量
2019年高考真题理科数学解析分类汇编6 平面向量1.【2019高考重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥+（A （B （C ）（D ）10 【答案】B【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a 10=+，选B. 2.【2019高考浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b|＝|a|－|b|，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b|＝|a|－|b|时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b|＝|a|－|b|不成立． 3.【2019高考四川理7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b = 【答案】C 【解析】A.||||b b a a =为既不充分也不必要条件；B.可以推得||||a ba b =||||b a =为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.[点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.4.【2019高考辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a+b|=|a -b|，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a -b 【答案】B【解析】一、由|a+b|=|a -b|，平方可得a ⋅b=0, 所以a ⊥b ，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a -b|分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a -b|，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
向量知识点及题型总结
向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。
- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。
- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。
- 零向量：模长为0的向量，表示为0。
二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。
- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。
2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。
- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。
- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。
- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。
- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。
2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。
- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。
- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。
- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。
四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。
高三数学向量知识点题型总结
高三数学向量的知识点题型主要有以下几种：
1. 向量的概念和表示：这种题型会要求你理解向量的定义和性质，以及向量的表示方法。
2. 向量的运算：包括向量的加法、减法、数乘以及向量的数量积、向量积等。
3. 向量的坐标表示：要求你能够根据向量的坐标，利用向量的坐标运算来解决问题。
4. 向量的应用：这类题型通常会结合实际问题，要求你能够利用向量的知识来解决实际问题。
对于这些题型，你需要熟练掌握向量的概念和性质，以及向量的各种运算方法。
同时，你还需要理解向量的坐标表示，以及如何利用向量的坐标来进行运算。
最后，你需要能够将向量知识应用到实际问题中，以解决实际问题。
以下是一些学习向量的建议：
1. 理解向量的概念和性质：向量是一种有方向和大小的量，具有许多独特的性质。
理解这些性质是学习向量的基础。
2. 学习向量的运算：向量的运算包括加法、减法、数乘、数量积、向量积等。
这些运算都有其特定的规则和意义，需要认真学习。
3. 掌握向量的坐标表示：向量的坐标表示是一种方便快捷的表示方法，能够将向量转化为数轴上的点。
掌握这种表示方法能够使你更好地理解和应用向量。
4. 了解向量的应用：向量不仅仅是一种数学工具，也是一种重
要的物理和工程工具。
了解向量的应用能够使你更好地理解向量的意义和价值。
5. 做题巩固知识：通过做题来巩固和加深对向量的理解是一个有效的方法。
可以选择一些经典的向量题目进行练习，以加深对向量的理解。
高考向量题型和解题方法
高考向量题型和解题方法高考向量题型主要涉及向量的基本运算、向量的数量积和向量的叉乘。
以下是几种经典的向量题型及其解题方法：1. 向量加减法题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{a}-\vec{b}$。
解题思路：直接将向量的对应元素相加或相减即可，即：$$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$$$$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$$2. 向量数量积题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的数量积 $\vec{a}\cdot\vec{b}$。
解题思路：数量积的公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，将向量的对应元素相乘后相加即可。
3. 向量叉乘题型对于向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，求它们的叉乘 $\vec{a}\times\vec{b}$。
解题思路：叉乘的公式为：$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}$$其中 $\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴的单位向量。
求解时将行列式按第一行展开即可。
4. 空间向量共面题型给定空间向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$，若它们共面，求 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面上的投影向量。
高中数学向量题型详解和解答技巧
高中数学向量题型详解和解答技巧在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。
掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。
本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、向量的基本概念和性质在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。
向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
向量的大小叫做向量的模，通常用|AB| 或 ||AB|| 表示。
向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。
在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。
向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。
二、向量的坐标表示和运算在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。
对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。
例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。
在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。
向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即k(x, y)=(kx, ky)。
三、向量的共线和垂直性质在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。
两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。
两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。
根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。
例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。
2019高考平面向量及考试题型汇总
2019高考平面向量及考试题型汇总高考数学平面向量部分知识点梳理一、向量的概念：(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量⇔｜aO ｜＝1. (5)(6) 相反向量：a=-b⇔b=-a⇔a+b=0(7)平行向量(共线向量) ：方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作a ∥b. 平行向量也称为共线向量. (8)向量的运算：⎧x =x 2⇔⎨1⎧y 1=y 2(ｘ1，ｙ1) ＝（ｘ2，ｙ2）二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb(b≠0) ⇔x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x1x2＋y1y2＝O.1P 2所成的比为λ，即P 1＝λPP 2(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段P11OP ＝1+λOP 1＋1+λOP 2 (线段的定比分点的向量公式)⎧x =⎧⎧⎧⎧y =⎧⎧x 1+λx 2, 1+λy 1+λy 2.1+λ (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1x 1+x 2⎧x =, ⎧⎧2⎧1⎧y =y 1+y 2.⎧2＝2（1＋OP 2）或⎧(5)平移公式：设点P(x，y) 按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），⎧x '=x +h ,⎧y '=y +k .则O P ＝+a或⎧曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)a b c===2R . sin A sin B sin C 正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r.①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S △=P P -a P -b P -c[海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb（8）三角形的五个“心”：①重心：三角形三条中线交点. ②外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. ③内心：三角形三内角的平分线相交于一点. ④垂心：三角形三边上的高相交于一点. ⑤旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.三、常用的判定：a +b +c 2（1）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长, 即]则：①AE=s -a =1/2（b+c-a）②BN=s -b =1/2（a+c-b）③FC=s -c =1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边. a +b -c ab=2a +b +c . 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r=（2）在△ABC 中，有下列等式成立tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan CAC 2BD +AB 2BCAD =-BD ⋅DCBC (3)在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则2（4）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. （1=2)四、空间向量：=λa (λ∈R ) OB =OA +AB =a +b BA =OA -OB =a -b （2）运算：；；（3）运算律：加法交换律：a +b =b +a ；加法结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) ；数乘分配律：λ(a +b ) =λa +λb（4）共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．a a ab b 0b 、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λb .a l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O ，点P=+t a a l 在直线上的充要条件是存在实数t 满足等式．其中向量叫做直线l 的方向向量.α和向量a ，作OA =a ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量平行于平面α，记作：a //α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫（6a , b 不共线，p 与向量a , b 共面的充要条件是存在实数x , y 使p =xa +ybP 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x , y ，使MP =xMA +yMB 或对空间任一点O ，有OP =OM +xMA +yMB 叫做平面MAB 的（7a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x , y , z ，使p =xa +yb +zc O , A , B , C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x , y , z ，使OP =xOA +yOB +zOC（8）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a , b ，在空间任取一点O ，作OA =a , OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作；且规定π=0≤≤π，显然有=；若2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b .向量的模：设OA =a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |. （9）向量的数量积： a ⋅b =|a |⋅|b |⋅cos ．已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A 'B '叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.''可以证明A 'B '的长度|A B |=|AB |cos =|a ⋅e |．（10）空间向量数量积的性质：2a ⋅e =|a |cos |a |=a ⋅a ．a ⊥b ⇔a ⋅b =0 ；；（11）空间向量数量积运算律：(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) ；a ⋅b =b ⋅a （交换律）；a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c （分配律）．五、空间向量的坐标运算：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),=(b 1, b 2, b 3) ，则a +b =(a 1±b 1, a 2±b 2, a 3±b 3) λ=(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R ) ⋅=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a ∥a a a⇔1=2=3b 1b 2b 3b ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R )a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0==a 12+a 22+a 32a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 a ⋅bcos ==222222|a |⋅|b |a 1+a 2+a 3⋅b 1+b 2+b 3(用到常用的向量模与向量之间的转化：=a ⋅a =)②空间两点的距离公式：d =(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2+(z 2-z 1) 2.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α，如果a ⊥α那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中A ∈α，则点B 到平面α的距离为.②利用法向量求二面角的平面角定理：设1, n 2分别是二面角α-l -β中平面α, β的法向量，则n 1, n 2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n 1, n 2方向相同，则为补角，1, n 2反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线a ≠⊄平面α，A ⋅B ∈a , C ⋅D ∈α，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对λ⋅μ使=λ+μ. （常设=λ+μ求解λ, μ若λ, μ存在即证毕，若λ,μ不存在，则直线AB 与平面相交）.平面向量的应用【高考考点】1. 考察向量平行、垂直、数量积、长度（模）、夹角、线性表示、参量等题型2. 考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．3. 考查利用向量方法解决三角函数、函数等综合题型【复习指导】复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．【知识梳理】（1）平面向量基本定理：如果e 1, e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1, λ2使：a =λ1e 1+λ2e 2，其中不共线的向量e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（2=(x , y ) 的单位向量为±a 1 或±(x , y ) 。
高三数学向量知识点归纳与常见题型总结
向量知识点归纳与常见题型总结 高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而||＞||才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||ABAB →→表示与AB →同向的单位向量。
例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。
(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB→| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)⑸的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||； 若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
2019年全国高考数学·分类汇编 专题03 平面向量(解析版)
专题03 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【母题来源三】【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运算以及相关的参数取值问题.【命题规律】主要以选择或者填空的形式，考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容．【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步：第一步：根据已知条件建立平面直角坐标系第二步：用坐标表示向量；第三步：利用坐标表示平面数量积进而求范围．【方法总结】（一）平面向量的概念及线性运算1. 解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.2. 平面向量线性运算问题的求解策略.（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.3. 共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB u u u r =λAC u u u r ，则A ，B ，C 三点共线.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，满足OP uuu r =x OA u u u r ＋y OB uuu r （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1.（二）平面向量基本定理及坐标表示1. 对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.（2）平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.（3）用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸.2. 平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a =λb ，这与x 1y 2－x 2y 1=0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.（三）平面向量的数量积1. 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4. 在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用.（四）平面向量的应用1. 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3. 向量的两个作用：（1）载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；（2）工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4. 向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.1．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,)x =c 满足(3)10+⋅=a b c ，则x =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A2．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】已知O 为V ABC 内一点且满足OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，若AOC △2AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC ∠= A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 【答案】A3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】向量(2,1), (1,1), (, 2)k ==-=a b c ，若()-⊥a b c ，则k 的值是A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】B4．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学试题】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+ 【答案】C5．【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题】已知平面向量a ,b 的夹角为3π，且2=a ，1=b ，则2-=a b A ．4B ．2C ．1D ．166．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v ⋅+=A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C7．【甘、青、宁2019届高三5月联考数学试题】在ABC △中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= A ．13 B ．13- C ．76 D ．76- 【答案】B8．【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试数学试题】在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若AB AF ⋅=u u u r u u u r AE BF ⋅u u u r u u u r 的值为AB ．2C ．0D ．1【答案】A 9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题】已知向量()1,1=a ，()2,x =b ，若()-∥a a b ，则实数x 的值为A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学试题】已知非零向量a ,b 的夹角为60o ,且满足22-=a b ,则⋅a b 的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B11．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测数学】O 是ABC △的外接圆圆心，且OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ，1OA AB ==u u u r u u u r ，则CA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为A ．12-B ．C ．12D 【答案】B12．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u rA ．4B ．6C ．D ．【答案】B13．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2=m a ，4λ=-n a b ，且⊥m n ，则=nA ．2-B ．2C ．4D ．6 【答案】C。
2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量(基础题含解析)
2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量（基础题）一、单选题1.（2019•卷Ⅱ）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（）A. B. 2 C. 5 D. 502.（2019•卷Ⅱ）已知=(2,3)，=(3，t)，| |=1，则=（）A. -3B. -2C. 2D. 33.（2019•卷Ⅰ）已知非零向量，满足| |=2| |，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.二、填空题4.（2019•江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是________.5.（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________，最大值是________6.（2019•天津）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则________.7.（2019•全国Ⅲ）已知向量，则________.8.（2019•全国Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos<a，c>=________。
9.（2019•北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m=________.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】向量的模【解析】【解答】∵- =(-1,1), ∴,故答案为：A【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出- 的模的大小即可。
2.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】, = ，求出t=3即可得出, = .故答案为：C【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。
3.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】设与的夹角为∵θ为两向量的夹角，【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出与的夹角。
向量经典例题及解析
向量经典例题及解析一、向量的基本概念与线性运算例题例1：已知向量→a=(1,2)，→b=(3, - 4)，求→a+→b，→a-→b。
解析：1. 对于向量的加法，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)。
- 已知→a=(1,2)，→b=(3,-4)，那么→a+→b=(1 + 3,2+( - 4))=(4,-2)。
2. 对于向量的减法，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)。
- 所以→a-→b=(1 - 3,2-( - 4))=(-2,6)。
例2：设→e_1，→e_2是两个不共线向量，已知→AB=2→e_1+k→e_2，→CB=→e_1+3→e_2，→CD=2→e_1-→e_2，若A，B，D三点共线，求k的值。
解析：1. 首先求→BD，因为→BD=→CD-→CB。
- 已知→CB=→e_1+3→e_2，→CD=2→e_1-→e_2，则→BD=(2→e_1-→e_2)-(→e_1+3→e_2)=→e_1-4→e_2。
2. 因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得→AB=λ→BD。
- 即2→e_1+k→e_2=λ(→e_1-4→e_2)=λ→e_1-4λ→e_2。
- 由向量相等的定义，可得<=ft{begin{array}{l}2=λ k = - 4λend{array}right.。
- 把λ = 2代入k=-4λ，得k=-8。
二、向量的数量积例题例3：已知向量→a=(3,4)，→b=( - 2,1)，求→a·→b，|→a|，|→b|以及cos〈→a,→b〉。
解析：1. 对于向量的数量积，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2。
- 已知→a=(3,4)，→b=(-2,1)，则→a·→b=3×(-2)+4×1=-6 + 4=-2。
2019年高考数学真题专题11 平面向量
专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A ．2 B ．2 C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ， 所以22||(1)12-=-+=a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A 【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】210-【解析】()222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC= 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；25.【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max 242025y =+==. 故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】，，由得：，，即. 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且t a n α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若O C m O A n O B =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即2222102720210n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b ，则54cos 54cos θθ++-=++-a b a b ， 令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25．【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=++a b a b54cos θ-，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2B D D C=，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。
专题8.5 空间向量及其运算-2019年高三数学一轮复习题型总结
专题8.5 空间向量及其运算-2019年高三数学一轮复习题型总结一 空间向量的线性运算例 1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.(2)三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →. 【解析】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】12AB →＋12AD →＋AA 1→点拨 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．巩固1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.二 共线定理、共面定理的应用例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形A BCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．【解析】证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12[12(OA →＋OB →)]＋12[12(OC →＋OD →)] ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 点拨 (1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①PA →＝λPB →(λ∈R )；②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．巩固2已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．三 空间向量数量积的应用例3 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .(2) 【解析】 设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC 1→，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC1→||A 1D →|. ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D →|＝b －c2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－－＋22＝7.∴cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →＝|－22×7|＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.点拨 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．巩固3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．变式：如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .(1) 【解析】 如图，建立空间直角坐标系．依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， 所以|BN →|＝－2＋－2＋－2＝ 3.(3)证明 依题意得C 1(0,0,2)，M (12，12，2)，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝(12，12，0)．所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M .巩固4（2018全国新课标Ⅱ理）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B C D答案与解析巩固2【解析】 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →) 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面． 从而点M 在平面ABC 内．巩固3【解析】 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.【答案】C。
2019年高考数学考纲解读专题15立体几何中的向量方法热点难点突破理含解析
立体几何中的向量方法1．已知平面ABC ，点M 是空间上任意一点，点M 满足条件OM →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则直线AM ( )A ．与平面ABC 平行B ．是平面ABC 的斜线C ．是平面ABC 的垂线D ．在平面ABC 内 答案 D解析 由已知得M ，A ，B ，C 四点共面，所以AM 在平面ABC 内，故选D.2．如图，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系O －xyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0,0,2)，平面ABC 的法向量为n ＝(2,1,2)，设二面角C －AB －O 的大小为θ，则cos θ等于( )A.43B.53C.23 D ．－23 答案 C解析 由题意可知，平面ABO 的一个法向量为OC →＝(0,0,2)， 由图可知，二面角C －AB －O 为锐角，由空间向量的结论可知，cos θ＝|OC →·n ||OC →||n |＝|4|2×3＝23.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动(包括端点)，则BP 与AD 1所成角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 答案 D解析 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点P 坐标为(x,1－x ，x )(0≤x ≤1)， 则BP →＝(x －1，－x ，x )，BC 1→＝(－1,0,1)， 因为BC 1∥AD 1， 设BP →，BC 1→的夹角为α，所以cos α＝BP →·BC 1→|BP →||BC 1→|＝1x －2＋2x 2×2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23×2，所以当x ＝13时，cos α取得最大值32，α＝π6.当x ＝1时，cos α取得最小值12，α＝π3.故选D.4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216 B.66C.156 D.1535．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30° B．60°C ．120°D ．150°解析 设l 与α所成角为θ，∵cos〈m ，n 〉＝－12，又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.∴θ＝30°. 答案 A6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( ) A.19 B.459C.259D.23解析 设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.答案 B7．设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32B.22 C.223 D.233解析 如图，建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，B (2，2，0)，∴D 1A 1→＝(2，0，0)，DA 1→＝(2，0，2)，DB →＝(2，2，0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴点D 1到平面A 1BD 的距离 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.答案 D8．二面角αl β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析 如图，∵二面角αl β等于120°， ∴CA →与BD →夹角为60°.由题设知，CA →⊥AB →， AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos 60°＝4，∴|CD →|＝2. 答案 C9.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．(2)解 由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则B (0，0，0)，A (0，1，0)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)，B 1(－1，0，3)．所以CC 1→＝(－1，0，3), 所以CE →＝(－λ，0，3λ)，∴E (1－λ，0，3λ)，则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)．设平面AB 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →，n ⊥AB 1→，得⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0，－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3，∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面的一个法向量，∴|cos〈n ，BA →〉|＝n ·BA →|n |·|BA →|＝32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－λ2＋（3）2＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝32(舍去)．∴λ＝1.10．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．(1)求证：平面BDGH ∥平面AEF ； (2)求二面角H －BD －C 的大小．(1)证明 在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点． 所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ， 因为ABCD 为菱形， 所以O 为AC 中点，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF.又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF . (2)解 取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，O ，N 分别为BD ，EF 的中点，所以ON ∥ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ， 所以ED ⊥平面ABCD ， 所以ON ⊥平面ABCD ，因为ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，得OB ，OC ，ON 两两垂直． 所以以O 为原点，OB ，OC ，ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，BF ＝3，所以B (1，0，0)，D (－1，0，0)，E (－1，0，3)，F (1，0，3)，C (0，3，0)，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，所以BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，DB →＝(2，0，0)．设平面BDH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BH →＝0n ·DB →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋3y ＋3z ＝0，2x ＝0，令z ＝1，得n ＝(0，－3，1)．由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为DE →＝(0，0，3)， 则cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n||DE →|＝0×0＋（－3）×0＋1×32×3＝12. 所以二面角H －BD －C 的大小为60°.11.如图，△ABC 是以∠ABC 为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4.M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ；(2)求二面角S ND A 的余弦值；(3)求点A 到平面SND 的距离．解 以B 为坐标原点，BC ，BA 为x ，y 轴的正方向，垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系(如图)．(1)证明 由题意得A (0，4，0)，B (0，0，0)，M (1，2，1)，N (0，2，0)，S (0，4，2)，D (1，0，0)． 所以：MN →＝(－1，0，－1)，AB →＝(0，－4，0)，MN →·AB →＝0，∴MN ⊥AB . (2)设平面SND 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则：m ·SN →＝0，且m ·DN →＝0.∵SN →＝(0，－2，－2)，DN →＝(－1，2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y －2z ＝0，－x ＋2y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＝2y . 令z ＝1，得：x ＝－2，y ＝－1， ∴m ＝(－2，－1，1)．又平面AND 的法向量为n ＝(0，0，1)，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝66.由题图易知二面角S ND A 为锐角，故其余弦值为66. (3)∵AN →＝(0，－2，0)， ∴点A 到平面SND 的距离 d ＝|AN →·m ||m |＝63.12．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边AB ＝t (0<t <2)，连接A 1B ，A 1C ，A 1D .(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B －A 1C －D 的值；(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由解法一 (1)根据题意，长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2－t 22＝1，当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1，所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形， 作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以△A 1BC 与△A 1DC 全等，故DM ⊥A 1C ，所以∠BMD 即为所求二面角的平面角． 17.如图，已知圆锥OO 1和圆柱O 1O 2的组合体(它们的底面重合)，圆锥的底面圆O 1的半径为r ＝5，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱O 1O 2的母线，D ，E 为下底面圆O 2上的两点，且DE ＝6，AB ＝6.4，AO ＝52，AO ⊥AD .(1)求证：平面ABD ⊥平面ODE; (2)求二面角B —AD —O 的正弦值． (1)证明 依题意知，圆锥的高为h ＝22－52＝5，又圆柱的高为AB ＝6.4，AO ⊥AD ，所以OD 2＝OA 2＋AD 2， 因为AB ⊥BD ， 所以AD 2＝AB 2＋BD 2，连接OO 1，O 1O 2，DO 2，易知O ，O 1，O 2三点共线，OO 2⊥DO 2，所以OD 2＝OO 22＋O 2D 2，所以BD 2＝OO 22＋O 2D 2－AO 2－AB 2＝(6.4＋5)2＋52－(52)2－6.42＝64， 解得BD ＝8，又因为DE ＝6，圆O 2的直径为10，圆心O 2在∠BDE 内， 所以∠BDE ＝90°，所以DE ⊥BD .因为AB ⊥平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以DE ⊥AB ， 因为AB ∩BD ＝B ，AB ，BD ⊂平面ABD ， 所以DE ⊥平面ABD . 又因为DE ⊂平面ODE ， 所以平面ABD ⊥平面ODE .(2)解 如图，以D 为原点，DB ，DE 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，A (8,0,6.4)，B (8,0,0)，O (4,3,11.4)．所以DA →＝(8,0,6.4)，DB →＝(8,0,0)，DO →＝(4,3,11.4)， 设平面DAO 的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 所以DA →·u ＝8x ＋6.4z ＝0， DO →·u ＝4x ＋3y ＋11.4z ＝0，令x ＝12，则u ＝(12,41，－15)．可取平面BDA 的一个法向量为v ＝(0,1,0)， 所以cos 〈u ，v 〉＝u·v |u||v |＝41582＝8210， 所以二面角B —AD —O 的正弦值为3210.18.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .(1)若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； (2)求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；(3)在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FH HC的值；若不存在，说明理由．(2)解 因为四边形CDEF 为正方形，所以ED ⊥DC . 因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ∩平面ABCD ＝DC ，DE ⊂平面CDEF ， 所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2， 所以由余弦定理，得BD ＝3， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2， 所以AD ⊥BD .在等腰梯形ABCD 中，可得DC ＝CB ＝1.如图，以D 为原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则D (0,0,0)，A (1,0,0)，E ()0，0，1，B ()0，3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1，所以AE →＝()－1，0，1，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1，DB →＝()0，3，0.设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝0，n ·DF →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3y ＝0，－12x ＋32y ＋z ＝0.取z ＝1，则x ＝2，y ＝0，则n ＝()2，0，1. 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝||cos 〈AE →，n 〉＝||AE →·n ||AE →||n ＝1010， 所以AE 与平面BDF 所成角的正弦值为1010. (3)解 线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .证明如下：假设线段FC 上存在点H ，设H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，t ()0≤t ≤1， 则DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，t . 设平面HAD 的法向量为m ＝()a ，b ，c ，因为⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DH →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，－12a ＋32b ＋tc ＝0. 取c ＝1，则a ＝0，b ＝－2t 3，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2t 3 ，1. 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需m·n ＝0， 即2×0－2t 3×0＋1×1＝0，此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD .。
专题11_平面向量(解析版)
= 3t 2
【漪漪点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用
基底表示，同时利用向量共线转化为函数求最值.
8．【2018 年高考北京卷理数】设 a，b 均为单位向量，则“ a 3b 3a b ”是“a⊥b”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 A ⊆ B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件．
9．【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切
的圆上.若 AP AB AD ，则 的最大值为
A．3
B．2 2
C． 5
D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
4
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设 A 0,1 , B 0,0 , C 2,0 , D 2,1 , P x, y ，
易得圆的半径 r
2
4
2
，即圆 C 的方程是 x 2 y 2 ，
5
5
AP x, y 1 , AB 0, 1 , AD 2,0 ，若满足 AP AB AD ，
x 2
x
x
， , 1 y ，所以 y 1 ，
模
夹角
a x12 y12
|a|= a a
cos
a b
ab
cos
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x2 2 y2 2
2019年高考理科数学分类汇编：平面向量(解析版)
设 A（x1 ，y1 ）， B（ x2， y2），则 x1+x2=- m， x1x2
m2 1
，
2
y1y2=（ x1+m）（ x2+m） =x1x2+m（ x1 +x2）+m2， AO =（ -x1， -y1）， AB =（ x2-x1， y2-y1），
专题 07 平面向量
1．【 2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6 2π
C．
3
【答案】 B
π
B．
3 5π
D．
6
【解析】因为 (a b)
b，所以 ( a b) b a b b2 =0，所以 a b b2 ，所以 cos = a b ab
为坐标原点，若 AO AB
3
，则实数 m=
2
A． 1
3
B．
2
y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O
2
C．
2
1
D．
2
【答案】 C
【解析】联立
y x2
x y2
m 1
，得 2x2+2mx+m2- 1=0，
7
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，
6 AO EC 3 AD AC AE
3
1
AB AC AC AB
2
3
3 AB AC AC AE ，
2
3
【最易丢分的送分题】2019届高三数学(理)三轮：平面向量(含解析)
《最易丢分的送分题（数学）》2019届高三三轮【拣分必备】之6.平面向量1.（衡水模拟）已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sinA,1)，q ＝(1，－cosB)，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定[答案] A [解析] 解法1：p ·q ＝sinA －cosB ，若p 与q 夹角为直角，则p ·q ＝0，∴sinA ＝cosB ，∵A 、B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，则C ＝π2，与条件矛盾；若p 与q 夹角为钝角，则p ·q<0，∴sinA<c osB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，[:∵sinx 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴A<π2－B ，∴A ＋B<π2，∴C>π2这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角． 解法2：由题意可知A ＋B>π2⇒A>π2－B ⇒sinA>sin(π2－B)＝cosB ⇒p ·q ＝sinA －cosB>0，又显然p 、q 不同向，故p 与q 夹角为锐角．[:[:2.(珠海调研)已知△ABC 及其平面内点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] B[解析] 解法1：由已知条件MB →＋MC →＝－MA →.[:如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E ，延长CM 交AB 于F ，则E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心．AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.[: 解法2：∵AB →＋AC →＝MB →－MA →＋MC →－MA →＝MB →＋MC →－2MA →＝mAM →，∴MB →＋MC →＝(m －2)AM →，∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴(m －2)AM →＝AM →，∴m ＝3.3.(惠州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则μλ的值为( ) A ．1B.12 C ．2D.13 [答案] C[解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB → ＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2. 4. (合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________. [答案] 13[解析] ∵OC →＝23OA →＋13OB →，23＋13＝1， ∴A 、B 、C 三点共线，∵AC →＝OC →－OA →＝13OB →－13OA →＝13AB →， ∴|AC →||AB →|＝13.。
2019上海格致中学高三数学复习题型整理分析：专题7向量Word版含解析[数理化网]教育英语
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第七部分 向量49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，)(21→→+AC AB 表示△ABC 的边BC 的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A 、B 两点间的距离；以a 、b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a +b 、b a -（或a b -）.［举例］已知非零向量b a ,满足：||||b a b a -=+，则向量b a ,的关系是――――（ ） A 、平行； B 、垂直； C 、同向； D 、反向.分析：注意到向量运算的几何意义：||+与||-表示以a 和b 为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有⊥.选B.另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.22)()(||||b a b a b a b a -=+⇒-=+，化简得：0=⋅，有⊥.50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量a 同向的单位向量0a =，反向的单位向量0a =.［举例］已知△ABC ，点P 满足)(||||(R AC AB ∈+=λλ则点P 的轨迹是（ ）A 、BC 边上的高所在直线；B 、BC 边上的中线所在直线； C 、A ∠平分线所在直线；D 、BC 边上中垂线所在直线. 分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.)(||||(R AC AB ∈+=λλ，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.||||AC AB 分别是,上的单位向量，||||AC AB +,上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以()||||AB ACAP AB AC λ=+所在直线是A ∠平分线所在直线，则P 点的轨迹是A ∠平分线所在直线.选C.51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积><=⋅,cos ||||；其中><→→→b a b ,cos ||可视为向量b 在向量a 上的射影.［举例1］已知△ABC 是等腰直角三角形，C ∠＝90°，AC ＝BC ＝2，则⋅＝＿＿；分析：特别注意的是，向量与的夹角不是△ABC 的内角B ， 与的夹角是B ∠的外角.（如图）由2==BC AC ，则22=AB ，则4)22(22243cos||||-=-⋅⋅=⋅=⋅π. ［举例2］P 是△ABC 边BC 的中线AD上异于A 、D 的动点，AD ＝4，则)(PC PB PA +⋅的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由D 是BC 的中点知PD PC PB 2=+，PA 与反向，它们所成角为π.设)40(||<<=x x ，则x -=4||.那么)40)(4(22)(<<--=⋅=+⋅x x x .所以其取值范围为)0,8[-.52、向量运算中特别注意22||=的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算. ［举例］已知1||,2||==，且,的夹角为4π，又-=+-=2,3，求||. 分析：43)3()2(-=+---=-=，则|43|||-=，由题知1=⋅，所以10||===.注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成. 53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知},{},,{2211y x y x ==则21212121},,{y y x x y y x x ⋅+⋅=⋅±±=±.若),(),,(2211y x B y x A ，则2{x =－},121y y x -，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式y x ⋅+⋅的“简记”.其中,分别表示与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量},{},,{2211y x b y x a ==是非零向量则有：02121=⋅+⋅⇔⊥y y x x b a ；⇔//01221=⋅-⋅y x y x .［举例］设O 是直角坐标原点，-=+=4,32，在x 轴上求一点P ，使⋅最小，并求此时APB ∠的大小.分析：设)0,(x P ，则},1,4{},3,2{-=--=x BP x AP 则3)4)(2(---=⋅x x BP AP =4)3(5622--=+-x x x ，所以当3=x 时，⋅的最小值为.4-此时}3,1{-=，}1,1{-=，,所夹角等于APB ∠，所以552cos -==∠APB .所以552arccos -=∠πAPB .54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是],0[π.特别注意0>⋅不能等同于,所成角是锐角.当,同向时也满足0>⋅.［举例1］已知△ABC ，则“0<⋅”是“△ABC 为钝角三角形”的――――（ ） A 、充分不必要条件； B 、必要不充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件.分析：对于△ABC ，由0<⋅可知A ∠是钝角，但△ABC 为钝角三角形，不一定A 是钝角.选A.［举例2］l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO是――――――――――――――――――――――――――（ ）A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与P 值有关.分析：由直线l 过焦点)0,2(p F ，设其方程为2p my x +=，联立得： ⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x pxy ，即：0222=--p pmy y ，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=⋅，又pyp y x x 22222121⋅=⋅=42p .则04322121<-=+=⋅p y y x x ，则AOB ∠一定是钝角.选C. 55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型. ［举例］已知向量R x x x x ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设x f ⋅=)(. （1）若31)(-=x f 且]3,3[ππ-∈x ，求x 的值；（2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2|}(|,{π<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，求实数n m ,的值.分析：（1）由题知：1)62sin(22sin 312cos 2sin 3cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x f ，由题：23)62sin(-=+πx ，又]3,3[ππ-∈x ，所以4π-=x . （2）函数1)62sin(2++=πx y 是由函数x y 2sin 2=向左平移12π，再向上平移1个单位而得，所以1,12=-=n m π. 56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点),(y x M 按向量},{n m =平移得到点的坐标是),(/n y m x M ++；曲线C ：0),(=y x f 按向量},{n m a =平移得到曲线/C 的方程为0),(=--n y m x f .在实际应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.［举例1］将椭圆13)3(4)2(22=++-y x 对应的曲线按向量平移后得到的曲线的方程为标准方程，则=＿＿＿＿； 分析：椭圆13)3(4)2(22=++-y x 的中心为)3,2(-，平移后中心为)0,0(，则点)3,2(-为向量的起点，点)0,0(为向量a 的终点，所以}3,2{-=.[举例2]平移坐标轴，将原点按向量平移后，使椭圆13)3(4)2(22=++-y x 在新坐标系中化成为标准方程，则向量＝＿＿＿＿＿＿＿.分析：本例与上例平移方向相反.是将原点从)0,0(平移到)3,2(-，因此}3,2{-=.注意到曲线（函数图像）的平移坐标系不变，而坐标轴的平移是曲线（函数图像）不变.两者的方向是不同的，即向量的起点与终点恰好相反.。
高考向量代数压轴题型归类总结
高考向量代数压轴题型归类总结
1. 多项式与向量的关系题型
这类题目主要考察多项式与向量之间的关系。
常见的题型包括：
- 给出多项式的系数，要求确定对应多项式的根向量；
- 已知多项式的根向量，要求确定对应的多项式的表达式。
2. 向量的点积与叉积题型
此类题目主要考察向量的点积和叉积的性质以及应用。
常见的
题型包括：
- 给出向量的坐标或表示式，要求计算它们的点积或叉积；
- 已知向量的点积或叉积的值，要求计算相关向量的坐标或表
示式。
3. 向量的投影与向量夹角题型
这类题目主要考察向量的投影和向量夹角的性质和计算方法。
常见的题型包括：
- 已知向量的投影和向量的长度，要求确定原向量的坐标或表示式；
- 已知向量夹角和其中一个向量的长度，要求确定另外一个向量的坐标或表示式。
4. 平面与向量的关系题型
此类题目主要考察平面与向量之间的关系。
常见的题型包括：
- 给出平面的法向量或平面上一点和平面方程，要求确定平面的方程；
- 已知平面上的点和向量的关系，要求确定该平面的方程。
5. 几何问题与向量的关系题型
这类题目主要考察几何问题与向量的关系。
常见的题型包括：
- 已知某点到两条直线的距离，要求确定该点与两直线的关系；
- 已知三点的坐标或在平面上的位置关系，要求计算相关几何量。
以上是关于高考向量代数压轴题型归类总结的内容，希望对您
有帮助。
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江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析）题型一：平面向量的共线定理（1）平面内有一个ABC ∆和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF ,的最小值为______.（3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______.（4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=，且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______.（5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______；y = ．（6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．（7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 .答案：（1）()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c =+- ABC ∆M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+（2）21 （3）12-（41（5）11,26- （6）12（7）3-（8）（9）1344m <<解析：如图所示，设14AE AB =，过点E 作//EP AC ，分别交,AD BC 于点,Q P ，分别过,Q P 作//,//QR AE PF AE 交AC 于,R F ．则13,,44AR AC AF AC ==∵14AM AB m AC =+⋅，M 在ACD ∆的内部（不含边界），∴点M 在线段QP 上（不含点,Q P ），当点M 取点Q 时，1144AM AQ AB AC ==+，可得14m =，而M 在ACD ∆的内部（不含边界），因此14m >．当点M 取点P 时，1344AM AB AC =+，此时可得34m =，而M 在ACD ∆的内部（不含边界），因此34m <．∴1344m <<．所以答案应填：1344m <<．题型二： 坐标法在向量中的应用（1）已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且414AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于________．（2）在等腰直角ABC ∆中，90=∠ABC ，2==BC AB ，N M 、为AC 边上两个动点，且满足2||=MN ，则⋅的取值范围为 . （3）如图，在直角梯形中，，，，是线段上一动点，是线段上一动点，，，则的取值范围是___________．（4）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=_________．（5）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AN MP 的取值范围为_____________．（6）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为_________．（7）在ABC ∆中，2,6CA CB ==，60ACB ∠=. 若点O 在ACB ∠的角平分线上，满足OC mOA nOB =+，,R m n ∈，且20141-≤≤-n ，则OC 的取值范围是 ． （8）设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB =，||4AD =，若点,M N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=________．答案：（1）13（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：如图，分别以,BC BA 所在边的直线为轴,y 轴建立直角坐标系,则(0,2),(0,0),(2,0)A B C ,直线AC 的方程为20x y +-=，设(,2)M t t -，(1,1)N t t +-,ABCD //AB CD 2AB =1AD DC ==P BC Q DC DQ DC λ=(1)CP CB λ=-AP AQ则01t ≤≤,所以(,2),(1,1)BM t t BN t t =-=+-,213(1)(2)(1)2()22BM BN t t t t t ∴⋅=++--=-+,由于01t ≤≤,所以当12t =时有最小值为32,0t =或1t =时有最大值为,故答案为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）解析：建立平面直角坐标系如图所示，则．因为 ，所以，所以，,所以 .（4）4 （5）3344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（6）7 （7）⎥⎦⎤⎢⎣⎡433,43 （8）9题型三： 平面向量中的最值、范围（1）平行四边形中，为平行四边形内一点，且[0,2]ABCD 60,1,BAD AB AD P ∠===，若，则的最大值为．（2）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线与,AB AC两边分别交于,M N 两点，且,则x y+的最小值为．（3）如右图所示，已知点G是ABC∆的重心，过点G作直线与,AB AC两边分别交于,NM两点，且,AM xAB AN yAC==，则2x y+的最小值为．（4）已知向量,a b不共线，为实数. 若||||1a b==，且与的夹角为120，实数1[1,]2x∈-，则||a xb-的取值范围为．（5）若直线10()ax y a a R+-+=∈与圆224x y+=交于A、B两点（其中O为坐标原点），则AO AB⋅的最小值为．（6）在平面上，121212,1,AB AB OB OB AP AB AB⊥===+．若12OP<，则OA的取值范围是．（7）已知向量a、b, ｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e,则a·b的最大值是．答案：（1解析：对两边平方可得()()22AP AB ADλμ=+可化为222222AP AB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+，据已知条件可得22122322λλμμλμ=++≥，即2λμ≤，又()22212223λλμ=++=≤，则3λ≤.故本题填3（2）43（3）33+2AP=),(R∈+=μλμλλ+ABC∆,AM xAB AN yAC==),(R∈+=μλμλ（4）[22解析：由1||||cos1202a b a b ⋅=⋅⋅=-，则22222||21a xb a x b xa b x x -=+⋅-⋅=++，因为1[1,]2x ∈-，当12x =-时，||a xb -的最小值为2当12x =时，||a xb -所以||a xb -的取值范围是（5）4解析：直线01=+-+a y ax 可化为)1(1--=+x a y ，恒过定点()1,1-C ,圆422=+y x 圆心为()0,0径为2，∴()2242⨯⨯-=∙-=-∙=∙=∙，当OCAB ⊥时，最小，取最大值，此时44-=∙取最小值，此时OC 的斜率为1-，由垂直关系可得1-=a ，解得1-=a ，故此时直线方程为11-=+x y ，即2-=x y ，联立⎩⎨⎧=+-=4222y x x y ，解得⎩⎨⎧-==20y x ，或⎩⎨⎧==02y x 取最小值2π，取最大值0，此时44-=∙最小值4（6）⎝ （7）12解析：221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。