2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：3-1 不等关系

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：3-1不等关系 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.体会用数学模型刻画不等关系等实际问题的方法．

知识点一不等关系

思考1限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？

思考2试用不等式表示下列关系：

(1)a大于b a________b

(2)a小于b a________b

(3)a不超过b a________b

(4)a不小于b a________b

梳理(1)不等式的定义

用数学符号“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的________________，含有这些不等号的式子叫做不等式．

(2)关于a≥b和a≤b的含义

①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．

②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．

知识点二作差法

思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？

梳理依照下列性质，

(1)a－b＞0⇔a________b；

(2)a－b＝0⇔a________b；

(3)a－b<0⇔a________b.

把比较两实数a，b的大小问题转化为实数a－b的正负问题叫作差法．

因为作差法集中了原来不等号两端的信息，更便于抵消、变形，所以是比较大小的基本方法．

类型一用不等式(组)表示不等关系

命题角度1用不等式表示单个约束条件

例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．

跟踪训练1将下列问题转化为数学模型(不求解)．

(1)出生大一天，终生都是哥．

(2)函数f(x)在R上的函数随x的增大而减小．

命题角度2用不等式组表示多个约束条件

例2某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

反思与感悟(1)当问题存在多个制约因素(如上例500 mm，600 mm的钢管个数)时，可以引入多个变量(如上例用两个变量x，y)；

(2)当问题存在多个约束条件(如上例总长度不超过4 000 mm，600 mm的钢管个数不能超过500 mm钢管个数的3倍等)可以用多个不等式表示不等关系；

(3)当多个约束条件要求同时满足时，可以用大括号“{”联立这些不等式，相当于求这些不等式的解集的交集．

跟踪训练2(1)试用不等式表示第一象限内距原点距离不超过1的点．

(2)三角形任两边之和大于第三边．

类型二作差法比较大小

例3已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．

跟踪训练3已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．

1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，试用不等式表示上述关系为________．

2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系用不等式表示为________．

3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．

4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？

1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．

a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

2．作差法比较的一般步骤

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；

最后得结论．

概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．

3．用不等式刻画不等关系，要注意“大于”、“不小于”之类条件的准确翻译．

当存在多个条件时，要注意这些条件是“且”还是“或”．

答案精析

问题导学 知识点一 思考1 v ≤40.

思考2 (1)＞ (2)< (3)≤ (4)≥ 梳理 (1)不等关系 知识点二

思考 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 梳理

(1)> (2)＝ (3)< 题型探究

例1 解 设杂志社的定价为x 元，

则销售的总收入为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

8－x －2.50.1×0.2x 万元，

那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭

⎪⎫

8－x －2.50.1×0.2x ≥20.

跟踪训练1 解 (1)设x (天)为弟弟的年龄，则哥哥年龄为x ＋1，有x ＋1>x . (2)设任意x 1，x 2∈R ，且x 1f (x 2)．

例2 解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：

(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm ；

(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：