第四节正态总体的置信区间
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
置信区间的概念[1]
![置信区间的概念[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/572dde0eff00bed5b8f31d0f.png)
[X
z 2 , X
Z 1.96 ，由此得置信区间：
2
z 2 ]
18
2、未知σ2时，μ的置信区间 当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 (n 1) X t 2 (n 1)} 1 n n
例2
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取 25个样品做试验， 得数据后计算得 1 n x xk 6 25 k 1
取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。
解
z z0.025 1.96 n 25 x 6
这种形式的估计称为区间估计.
使我们能以比 也就是说，我们希望确定一个区间， 较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1 ，这里 是一个很小 2 的正数，称为显著水平。
定义7.6 若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
1 ( x1 , x2 , xn ), 2 ( x1, x2 , xn ) 都是常数。 [1 , 2 ] 为常数区间。
3
定义7.7
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1 ,2 ], 对于给定的 0 1, 若满足
P{1 2 } 1
T X S
2
~ t (n 1)
7.4 正态总体的置信区间
课堂练习
随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度 的标准差 s 11( m s ) , 炮口速度服从正态分布 . 求这种炮弹的炮口速度的标准差 σ 的置信水 平为0.95 的置信区间.
随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的 标准差 s 11( m s ) , 炮口速度服从正态分布. 求这 种炮弹的炮口速度的标准差 σ 的置信水平为0.95 的置信区间.
( xi ) i 1 2 ( n) 1 2
n 2
这里
χ
2 0.025
α 2 0.025,1 α 2 0.975, n 1 9,
2 χ (9) 19.023, 0.975 (9) 2.700, s 11.
于是得到 σ的置信水平为 0.95 的置信区间为
( n 1s
2 χα 2 ( n 1)
,
n 1s χ12 α 2 ( n 1)
对给定的置信水平
1,
2
查标准正态分布表得 u
,
X 使 P {| | u 2 } 1 n
从中解得
P{ X
n
u 2 X
n
u 2 } 1
P{ X z X z } n n 1
2 2
则的一个置信度为1- 的 置信区间为
2 2
σ2
μ未知
n ( xi ) 2 i 1 , 2 ( n) 2
(n 1)S 2 ~ (n 1) 2
2
(n 1) S 2 (n 1) S 2 2 , 2 (n 1) (n 1) 1 2 2
给定置信度1-, X1, X2,…, Xn是来自N(,2)的样本,
第2章 第4节 置信区间与假设检验
且
Cov ( ui , u j ) E ( ui u j ) 0,
u 正态假定理由如下： uii 的 的正态假定理由如下：
1．ui 代表回归模型中未包含的变量的集合。 这些未引入的变量的影响是微弱的和随机的。根 据中心极限定理，如果存在大量独立且同分布的 随机变量，随着这些变量个数的增大，它们的总 和将趋向正态分布。 2．即使变量个数不是很大或这些变量不是严 格独立的，它们的总和仍可视同正态分布。
同理我们可得到的 β1置信度为(1-α)的置信区间：
( ( ˆ t ( n 2) Se ˆ ), ˆ t ( n 2) Se ˆ ) 1 1 /2 1 1 /2
例如，在例 2.1 中，我们得到 ˆ 0.7616 2 ˆ ) 0.0149 Se(
置信下限
置信上限
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间不是唯一的. 对同一个参数，我们可以 构造许多置信区间. 在概率密度为单峰且对称的情形，取对称的 分位点求得的置信区间的长度为最短.
三、 ui 正态性假定和普通最小二乘估计量
ˆ , ˆ 和 2 的性质 ˆ 1 2
（一）ui 正态性假定 在回归分析中，我们的目的不仅仅是得到 j ，
ˆ 推断 。因此，我们需要得到 ˆ 的置 而且要用 j j j
信区间，通过置信区间去判断这种推断的可靠性。
ˆ 的概率分布。 这就需要 j
ˆ 是Yi 的线性函数， 在最小二乘估计式中， j ˆ 的置信 从而也就是 ui 的线性函数。要推 断 j
区间，我们就必须获得 ui 的概率分布。 在回归分析中，人们常常假定 ui 服从正态 分布。即
置信区间计量经济学
置信区间计量经济学置信区间是统计学中常用的一个概念，它是指对一个未知参数的估计结果进行的一种区间限制。
在计量经济学中，置信区间的应用非常广泛，它可以帮助研究者进行有效的假设检验和推断，从而得出更加可靠的研究结论。
在计量经济学中，通常通过样本数据来对总体参数进行估计。
例如，如果我们想知道某个城市的平均收入水平，我们可以通过对该城市的样本数据进行收入调查来获得一个估计值。
然而，每个样本数据都不完全准确，因此我们需要对估计结果进行一定的限制，从而得出一个有一定置信度的估计区间。
这个区间就被称为置信区间。
置信区间的计算方法一般是基于标准误差和样本大小来进行的。
在计量经济学中，我们通常使用t分布或者正态分布来计算置信区间。
如果我们使用t分布，那么计算置信区间的公式如下：CI = x̄± tα/2 * SE其中，CI表示置信区间，x̄表示样本均值，tα/2表示t分布的分位数，SE表示标准误差。
如果我们使用正态分布，那么计算置信区间的公式如下：CI = x̄± zα/2 * SE其中，CI、x̄和SE的含义同上，zα/2表示正态分布的分位数。
需要注意的是，t分布的使用前提是样本容量必须足够大，否则就要使用正态分布。
置信区间的意义在于，它能够帮助我们对估计结果进行一定的限制，从而使得研究者更加有信心地得出结论。
例如，如果我们计算出了某个城市的平均收入水平的置信区间为（5000，6000），那么我们可以判断的是，如果我们用同样的方法再次对该城市进行调查，我们有95%的把握，样本均值会在5000到6000之间。
换言之，我们可以相当确定地认为，该城市的平均收入水平在5000到6000元之间。
需要注意的是，在使用置信区间进行假设检验时，我们通常会对一个未知参数提出假设，然后根据计算出的置信区间来判断这个假设的成立情况。
如果置信区间与假设中的值有较大差距，那么我们就可以拒绝这个假设，并得出结论。
因此，置信区间能够帮助我们进行有效的假设检验和推断，从而得出更加合理和可靠的研究结论。
正态近似法估计总体率的置信区间
正态近似法估计总体率的置信区间正态近似法估计总体率的置信区间【导语】在统计学中，我们常常需要估计总体参数，如总体率或总体均值。
为了对估计结果的准确性进行评估，我们需要计算出一个置信区间。
本文将介绍一种常用的方法——正态近似法，用于估计总体率的置信区间。
通过掌握这种方法，我们能够更好地理解和解释样本数据，并对总体参数进行准确的推断。
【1. 介绍】总体率是指在总体中具有某一属性的个体所占的比例。
我们想要了解某种药物的治愈率，即可以使用总体率的估计方法。
一般情况下，我们无法直接获得总体所有个体的信息，因此需要通过从总体中抽取样本来进行估计。
【2. 正态近似法的基本原理】正态近似法是一种常用的估计总体率置信区间的方法。
其基本原理是假设样本中符合某个二项分布，然后根据中心极限定理，利用正态分布来近似这个二项分布，从而得到总体率的置信区间。
【3. 置信区间的计算】在正态近似法中，首先需要确定样本中符合二项分布的事件发生的概率p。
我们可以根据样本的大小n和事件发生的次数k，来估计总体率的点估计p̂（即k/n）。
接下来，我们需要计算标准误差（Standard Error），表示估计值p̂的不确定性。
标准误差的计算可以使用以下公式：SE = sqrt((p̂*(1-p̂))/n)。
我们使用标准正态分布的分位点来确定置信水平对应的临界值。
常见的置信水平有95%和99%，对应的临界值分别为1.96和2.58。
我们可以使用以下公式计算置信区间的下限和上限：下限 = p̂ - (临界值 * SE)上限 = p̂ + (临界值 * SE)【4. 实例分析】为了更好地理解正态近似法估计总体率的置信区间，我们以一个实例进行分析。
假设某医院对200个患者随机进行了调查，统计发现其中有50个患者生完孩子后没有产生并发症。
现在，我们想要估计该医院产生并发症的总体率，并给出其置信区间。
根据上述计算步骤，我们可以得到以下结果：- 点估计p̂ = 50/200 = 0.25- 标准误差SE = sqrt((0.25*(1-0.25))/200) ≈ 0.030- 临界值(95%置信水平) ≈ 1.96- 置信区间下限≈ 0.25 - (1.96 * 0.030) ≈ 0.19- 置信区间上限≈ 0.25 + (1.96 * 0.030) ≈ 0.31我们可以得出结论：该医院产生并发症的总体率的置信区间为[0.19, 0.31]，置信水平为95%。
标准正态分布的置信区间
标准正态分布的置信区间标准正态分布是统计学中非常重要的一个分布，它是指均值为0，标准差为1的正态分布。
在实际的统计分析中，我们经常需要对样本数据进行推断，而置信区间就是用来估计总体参数的范围。
在本文中，我们将介绍如何利用标准正态分布来计算置信区间。
首先，我们需要明确什么是置信区间。
置信区间是用来估计总体参数的范围，它可以告诉我们总体参数落在一个区间内的概率有多大。
在统计学中，常用的置信水平有95%和99%。
以95%置信水平为例，如果我们得到一个95%置信区间为（a，b），那么意味着有95%的概率总体参数落在a和b之间。
接下来，我们将介绍如何利用标准正态分布来计算置信区间。
首先，我们需要明白标准正态分布的性质。
标准正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。
利用标准正态分布的性质，我们可以计算出给定置信水平下的临界值。
在95%置信水平下，临界值为±1.96；在99%置信水平下，临界值为±2.58。
然后，我们可以利用样本数据来计算置信区间。
假设我们有一个样本数据，我们可以计算出样本均值和标准差。
接着，我们可以利用样本均值和标准差来计算标准误差，标准误差是总体标准差的估计量。
最后，我们可以利用标准误差和临界值来计算置信区间。
举个例子来说明，假设我们有一个样本数据，样本均值为10，样本标准差为2，样本容量为100。
我们希望计算出95%置信水平下的置信区间。
首先，我们可以计算出标准误差，标准误差等于标准差除以样本容量的平方根，即2/√100=0.2。
然后，我们可以利用标准误差和临界值来计算置信区间，即10-1.960.2到10+1.960.2，最终得到的置信区间为（9.6，10.4）。
在实际的统计分析中，我们经常需要计算置信区间来估计总体参数的范围。
利用标准正态分布来计算置信区间是一种常用且有效的方法。
通过本文的介绍，相信读者对于标准正态分布的置信区间有了更深入的理解。
数理统计正态总体的置信区间
§4 正态总体的置信区间
的置信度为1 置信区间为
查表得
(n
2 /
1)S 2 2(n 1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
2 0.1 /
2
(25
1)
36.42,
2 10.1 /
2
(25
1)
13.85,
于是, 置信下限和置信上限分别为
24122 / 36.42 9.74, 24 122 / 13.85 15.80,
/
2
(n
1)
§4 正态总体的置信区间
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 x 80 元.
根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准
差 12 元, 求该旅游者平均消费额 的置信度
为95%置信区间.
§4 正态总体的置信区间
解 对于给定的置信度
1, 2, 2 的无偏估计分别为
且
X
1
n1
n1 i 1
Xi
,
Y
1
n2
n2
Yj
j 1
,
S2
(n1
1)
S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
( X Y ) (1 2) ~ t(n1 n2 2)
S
1
n1
1
n2
故
P(
改1 为的分2置位信形数度式为上有的1置 信区间为
X
Y
)
t
(n1n(2(12X)S2Y)n1)~1(tXn12/
所求 的90%置信区间为 (9.74,15.80).
《数理统计》第6章§4正态总体的置信区间
区间。
其他非正态分布的影响
03
非正态分布可能导致置信区间的形状和范围与正态分
布不同，需要特别注意。
05
置信区间的应用实例
金融数据的置信区间分析
股票价格的预测
通过分析历史股票价格数据，利 用正态总体置信区间估计股票价 格的未来走势，为投资者提供参 考。
总体方差的置信区间
总结词
总体方差的置信区间是用来估计未知的总体 方差的一个区间范围，基于样本方差和自由 度。
详细描述
在正态分布的假设下，总体方差的置信区间 可以通过样本方差和自由度计算得出。具体 来说，对于给定的置信水平（如95%），我 们可以使用以下公式来计算总体方差的置信 区间：$left(frac{text{样本方差}}{text{自由 度}} pm text{统计量}right)^2$，其中统计量
许多自然现象的观测数据都服从或近似服从 正态分布，如人的身高、考试分数等。
假设检验
在许多统计假设检验中，正态分布是重要的 理论基础。
参数估计
利用正态分布的性质进行参数的点估计和区 间估计，如均值和方差的估计。
线性回归分析
在回归分析中，正态分布用于解释因变量的 变异和建立预测模型。
02
置信区间的概念
流行病学研究
在流行病学研究中，利用置信区间分析疾病发病率 、患病率等指标，为制定公共卫生政策提供依据。
诊断试验评价
在评价诊断试验的性能时，使用置信区间分 析试验结果的准确性，为医生提供可靠的诊 断依据。
市场调查数据的置信区间分析
市场份额预测
通过对市场调查数据进行置信区间分析，预测产品在市场 中的份额和潜在增长空间。
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
如何确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间在统计学中，置信区间是一种用来估计参数真实值范围的方法。
当我们知道总体均值，但方差未知时，我们需要确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间。
在本文中，我将以从简到繁的方式来探讨这个主题，让您能更深入地理解。
1. 正态分布总体的概念让我们简要回顾一下正态分布总体的概念。
正态分布是最为常见的概率分布之一，其特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的中心位置和宽度。
在统计学中，我们常常使用正态分布来描述连续型随机变量的分布情况。
2. 总体均值已知的情况当我们已经知道正态分布总体的均值时，我们可以通过样本来估计总体的方差。
我们可以利用样本方差来估计总体方差，然后构建置信区间来确定总体方差的范围。
3. 方差的置信区间估计为了确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间，我们可以利用卡方分布来进行估计。
卡方分布是一种特殊的概率分布，用于描述正态分布总体方差的抽样分布。
通过卡方分布的性质，我们可以构建出方差的置信区间，从而对总体方差做出估计。
4. 个人观点和理解在我的个人观点中，确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间是统计学中非常重要的一部分。
这不仅可以帮助我们对总体方差进行估计，还可以为我们后续的推断统计提供重要的依据。
通过合理地构建置信区间，我们可以更准确地对总体参数进行推断，并且可以对我们的结论进行更加可靠的评估。
总结通过本文的阐述，我们可以深刻理解确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间的方法。
我们需要对正态分布总体及其性质有一个清晰的认识。
我们可以利用样本数据来对总体方差进行估计，并且通过卡方分布来构建置信区间。
我也共享了我个人的观点和理解，希望可以为您对这个主题提供更多的思考。
在知识的文章格式中，可以使用序号标注来清晰地展示每个步骤的逻辑关系。
我希望本文的内容能够帮助您更好地理解正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间的确定方法。
在统计学中，确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间是一项重要的任务。
置信区间
sn2
m n
作为1 的2近似置信区间。
3.方差
2 1
22且 为2 未知
由第七章定理五知,统计量
(x y) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S
2 m
(n
1)S
2 n
mn
服从t(m+n-2)分布。由此可得1 2
的置信区间为
(*)
x
y
t1 2
(m
n
2)
(m
1)s
2 m
(n
于是
x1.96
14.75
n
x 1.96
15.15
n
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的， 但实际应用中往往是DX未知的情况。
设x1,x2,,xn为正态总体N(,2)的一个 样本，由于2未知，我们用样本方差S2来
代替总体方差2，
n
1
2
n
欲使区间长度
2z 1 2
L n
2
z 1
2
L
n
即要求
4(z ) 2 2
1
n
2
L2
第五节 二正态总体均值差和方差比的区间估计
一. 二正态总体均值差的区间估计
设 x1 , 和, xm y分1 ,别来, y自m 于正态总
体N 和N (1,的12 ) 两独立(样2 ,本22 )，相应的
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当＝0.05时，1-=0.95,查表得
z1 z0.975 1.96
第4节正态总体参数的区间估计
3
, 给定 ,0 1 ， 定义 设是总体的一个未知参数
确定两个统计量
ˆ , ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 区间. 1 2
ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为 1 的 置信 则称区间 [ 1 2
1.75 1.96 1.96 0.49, n 50
所以 的置信区间为
（4.10 0.49, 4.10 0.49 ） （3.61, 4.59 ） .
10
例3 在上例中 , 为使 的置信水平是 0.95 的置信区间
的长度 L 1.5, 求样本容量 .
， u0.025 1.96, 1.75, 解 0.05
u / 2
x
X | | u / 2 X u / 2 X u / 2 / n n n
于是所求 的置信区间为 ( X u 有时简记为 ( X u / 2
2
n
, X u 2 )， n n
7
).
2 某厂生产滚珠，直径 X 服从正态分布 N ( , ). 例1 为了估计 ， 抽检 6 个滚珠， 测得直径为 ( mm) ： 14.70， 15.21，14.90，14.91，15.32，15.32，
对给定的置信水平 1 ,
按标准正态分布的 水平双侧分位数的定义,
查正态分布表得 u 2 ,
6
1.
已知时 的置信区间
2
/2
( x)
X U ~ N (0,1) ， / n
1
O
/2
X P{ | | u 2 } 1 ， n
区间估计
例5. 已知来自容量为n 25的正态总体的一个样本, 求得
样本平均数为x 38.5, 样本标准差为 s 2.3, 求总体方差 2的置信系数为 0.95的置信区间 .
二、 两个正态总体参数的置信区间
2 设X1, , X m是来自正态总体 N(a,1 ) 的简单随机样本，
2 Y1, ,Yn是来自正态总体 N(b, 2 ) 的简单随机样本，且
解
已知 x 38.5, s 2.3, n 25.由 0.05, 查表得
t (n 1) t 0.025 (24) 2.064
2
于是
x t
2
s n s n
37.55 39.45
x t
2
所求总体均值的区间估计为(37.55,39.45)
3. 已知时,求 的置信区间
第四章 区间估计
一、区间估计的基本概念
二、枢轴变量法——正态总体的置 信区间
三、枢轴变量法——非正态总体的 置信区间
4.1 区间估计的基本概念
一、参数的区间估计问题 二、置信区间、置信限
三、构造区间估计的方法
一、 参数的区间估计问题
评价一个区间估计优劣的标准有两个要素： （1）可靠度
（2）精度
由随机区间的平均长度来度量，长 度越短，精度越高.
Neyman 提出：在保证一定可靠度的前提下，选择 精度尽可能高的区间估计
二、 置信区间
称为该区间估计的置信系数（confidence coefficient）.
三、 构造区间估计的方法
1、枢轴变量法：基于点估计去构造枢轴变量.
2、利用假设检验来构造置信区间，与枢轴变 量法属于同一理论体系，即Neyman的关于置信 区间和假设检验的理论.
正态分布的置信区间
正态分布的置信区间
置信区间的常用计算方法如下：
pr(c1\uc=μ\uc=c2)=1-α
其中：α就是显著性水平（基准：0.05或0.10）；
pr表示概率，是单词probability的缩写；
%*(1-α)或(1-α)或指置信水平（比如：95%或0.95）；
表达方式：interval(c1,c2) - 置信区间。
资料开拓：
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
在统计学中，一个概率样
本的置信区间（confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。
置信
区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测
量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
置信区间就是一种常用的区间估算方法，所谓置信区间就是分别以统计数据量的置信
下限和置信上限为上下界形成的区间。
对于一组取值的样本数据，其平均值为μ，标准
偏差为σ，则其整体数据的平均值的(1-α)%置信区间为(μ-ζα/2σ , μ+ζα/2σ) ，其中α为非置信水平在正态分布内的覆盖面积，ζα/2即为对应的标准分数。
正态分布与置信度
05
实际应用案例
置信区间在市场调查中的应用
总结词
置信区间是估计样本统计量精度的有效方法，在市场调查 中广泛应用。
详细描述
正态分布与置信度的关系
置信度表示估计总体参数的可靠程度 ，即在一定置信度下，估计的总体参 数值落入某个范围内的概率。
在正态分布下，置信度与样本量有关。 随着样本量的增加，置信度逐渐接近1， 即估计的总体参数值落入某个范围内的 概率逐渐增大。
置信度在正态分布中的应用
在统计学中，置信度被广泛应用于参数估计、假设检验和区间估计等方面。在正态分布下，置信度可 以用于估计总体参数的精度和可靠性，帮助我们更好地理解和应用数据。
市场调查中，置信区间用于估计样本统计量（如平均值、 比例等）的精度。通过计算置信区间，调查者可以了解样 本统计量可能落入的范围，从而对总体参数进行合理推断 。
总结词
置信区间有助于制定更精确的市场策略。
详细描述
置信区间提供了一种量化风险的方法，帮助决策者了解样 本统计量可能存在的误差范围。这有助于制定更精确的市 场策略，例如确定目标受众、制定营销预算等。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 μ对称，大多数数据值集 中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线是平滑的， 表示数据值的分布是均匀 的。
对称性
正态分布的曲线关于均值 μ对称，左侧和右侧是对 称的。
正态分布在统计学中的应用
描述性统计
正态分布用于描述数据的分布 情况，提供数据的集中趋势和
04 第四节 正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.内容分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ *双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ *双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点：一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P 因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
第4节两个正态总体的区间估计
注意： 查F分布表时，如下性质是会经常用到的
1 F n1 , n2 F1 n2 , n1
9
例2
两个相互独立的正态总体 X ~ N ( 1 , 2 ) , Y ~ N ( 2 , 2 ) ,
2 2 2 各取样本, n1 25 , S1 12.7 , n2 20 , S2 10.8 ,求 12 的 95% 2
10
例3 用两种工艺（或原料）A和B生产同一种橡胶制 品．为比较两种工艺下产品的耐磨性，从两种工艺 的产品中各随意抽取了若干件，测得如下数据： 工艺A：185.82, 175.10, 217.30, 213.86, 198.40 工艺B：152.10, 139.89, 121.50, 129.96, 154.82, 165.60 假设两种工艺下产品的耐磨性X和Y都服从正态分布：
和样本方差分别是
，
，
1 1 X X i , Y Yi , n1 i 1 n2 i 1
2 1 1 2 S X i X , S2 Yi Y . n1 1 i 1 n2 1 i 1 2 1 2 n1 n2
n1
n2
2
一、 总体均值差 1 2 的区间估计
t1 /2 n1 n2 2 Sw
1 1 23.57 , n1 n2
得 a b 的 0.95 置信区间为 30.55, 77.69 .
13
作业：
习题7.4 7.29~7.32
14
休息
15
2 1. 12 , 2 都已知的情形
由定理6.2知， U
( X Y ) ( 1 2 )
2 1
n1 n2 对给定的置信水平 1 ，我们有
第六章点估计教案要点
第六章参数估计在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(x F ,其中为未知参数(可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本nX X X ,,,21,再依据该样本对参数作出估计, 或估计参数的某已知函数).(g 第一节点估计问题概述一、点估计的概念设n X X X ,,,21是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量),,,,(?21n X X X 然后用其观察值),,,(?21n x x x 来估计的值.称),,,(?21n X X X 为的估计量. 称),,,(?21n x x x 为的估计值. 在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为?.注: 估计量),,,(?21n X X X 是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值,的估计值?一般是不同的.例1设X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：.0,00,1),(~/xx ex f X x 为未知参数, 0. 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试估计未知参数.二、评价估计量的标准估计量的评价一般有三条标准:无偏性; 有效性; 相合性（一致性）.1．无偏性定义1设),,(?1n X X 是未知参数的估计量, 若,)?(E 则称?为的无偏估计量.注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称)?(E 为用?估计而产生的系统误差.定理1 设n X X ,,1为取自总体X 的样本,总体X 的均值为, 方差为2.则(1) 样本均值X 是的无偏估计量;(2) 样本方差2S 是2的无偏估计量;(3) 样本二阶中心矩ni iX X n12)(1是2的有偏估计量.2．有效性定义2设),,(??111n X X 和),,(??122n X X 都是参数的无偏估计量, 若)?()?(21D D ,则称1?较2?有效.注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:设n X X ,,1是取自总体X 的一个样本, ),,(?1n X X 是未知参数的一个估计量,若?满足:(1) ,)?(E 即?为的无偏估计;(2) ),?()?(E ?是的任一无偏估计.则称?为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).3．相合性(一致性) 定义 3 设),,(??1n X X 为未知参数的估计量, 若?依概率收敛于, 即对任意0, 有,1}|?{|lim P n或,0}|?{|lim P n则称?为的(弱)相合估计量.例2设总体),0(~2N X ,n x x x ,,,21是来自这一总体的样本.(1) 证明ni ix n1221?是2的无偏估计;(2) 求).?(2D 例3设n X X X ,,,21为来自总体X 的样本, X ,),,2,1(n i X i 均为总体均值)(X E 的无偏估计量, 问哪一个估计量有效?例4 设总体),(~2N X ,n X X ,,1为其样本. 试证样本方差2S 是2的相合估计量.课堂练习设总体X 的k 阶矩)1)((kX E kk存在, 又设nX X X ,,,21是X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩ni k ikXnA 11是k 阶总体矩k的无偏估计量.课后作业：P137 T 3、4第二节点估计的常用方法（1）一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在大数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩);(kkX E 样本k 阶矩ni kik X n A 11;总体k 阶中心矩;)]([kk X E X E V 样本k 阶中心矩.)(11ni kikX X nB 用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计.求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F 中含有k 个未知参数k,,1, 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k,,1，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g ki i,,2,1),,,(1（*）(2) 从（*）中解得kjh kj j,,2,1),,,(1(3) 再用),,2,1(k ii 的估计量i A 分别代替上式中的i,即可得),,2,1(k i j的矩估计量:.,,2,1),,,(?1k j A A h k j j注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用kB B ,,1代替k V V ,,1，求出矩估计j?),,2,1(k I。
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第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
设X 是总体),(211σμN 的容量为1n 的样本均值, Y 是总体),(222σμN 的容量为2n 的样本均值, 且两总体相互独立, 其中2221,σσ已知.因X 与Y 分别是1μ与2μ的无偏估计, 从第五章第三节的定理知),1,0(~//)()(22212121N n n Y X σσμμ+---对给定的置信水平α-1, 由,1//)()(2/22212121ασσμμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<+---u n n Y X P可导出21μμ-的置信度为α-1的置信区间为.,2221212/2221212/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+⋅--n n u Y X n n u Y X σσσσαα五、双正态总体均值差的置信区间(2)设X 是总体),(21σμN 的容量为1n 的样本均值, Y 是总体),(22σμN 的容量为2n 的样本均值, 且两总体相互独立, 其中1μ,2μ及σ未知.从第五章第三节的定理知).2(~/1/1)()(212121-++---=n n t n n S Y X T w μμ其中.212122212212112S n n n S n n n S w -+-+-+-=对给定的置信水平α-1, 根据t 分布的对称性, 由,1)}2(|{|212/αα-=-+<n n t T P可导出21μμ-的α-1置信区间为.11))2()(,11))2()(21212/21212/⎪⎪⎭⎫+⋅-++- ⎝⎛+⋅-+--n n S n n t Y X n n S n n t Y X w w αα六、双正态总体方差比的置信区间设21S 是总体),(211σμN 的容量为1n 的样本方差, 22S 是总体),(222σμN 的容量为2n 的样本方差, 且两总体相互独立, 其中222211,,,σμσμ未知. 21S 与22S 分别是21σ与22σ的无偏估计, 从第五章第三节的定理知),1,1(~212221212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n F S S F σσ对给定的置信水平α-1, 由,1)}1,1()1,1({212/212/1ααα-=--<<---n n F F n n F P ,1)1,1(1)1,1(12221212/122212221212/ασσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--<<⋅---S S n n F S S n n F P 可导出方差比2221/σσ的α-1置信区间为.)1,1(1,)1,1(12221212/12221212/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⋅---S S n n F S S n n F αα例题选讲单正态总体均值（方差已知）的置信区间例1(E01) 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额80=x 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差12=σ元, 求该地旅游者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间.解 对于给定的置信度 ,95.01=-α ,05.0=α ,025.02/=α查标准正态分布表,96.1025.0=u 将数据,100=n ,80=x ,12=σ ,96.1025.0=u 代入nu x σα⋅±2/计算得μ的置信度为95%的置信区间为),4.82,6.77( 即在已知12=σ情形下, 可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在77.6元至82.4元之间.例2 设总体),,(~2σμN X 其中μ未知, .42=σ n X X ,,1 为其样本. (1) 当16=n 时, 试求置信度分别为0.9及0.95的μ的置信区间的长度. (2) n 多大方能使μ的90%置信区间的长度不超过1? (3) n 多大方能使μ的95%置信区间的长度不超过1? 解 (1) 记μ的置信区间长度为A, 则)/()/(2/2/n u X n u X σσαα⋅--⋅+=∆,22/n u σα⋅=于是当%901=-α时, ,65.116/265.12=⨯⨯=∆ 当%951=-α时, .96.116/296.12=⨯⨯=∆(2) 欲使,1≤∆ 即,1/22/≤⋅n u σα 必须,)2(22/ασu n ≥ 于是, 当%901=-α时,,)65.122(2⨯⨯≥n 即,44≥n 即n 至少为44时, μ的90%置信区间的长度不超过1. (3) 当%951=-α时，类似可得.62≥n注: ① 由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则置信区间长度越长, 对未知参数的估计精度越低.② 在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 要提高置信度, 就须加大样本的容量,n 以获得总体更多的信息.单正态总体均值（方差未知）的置信区间例3(E02) 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消费额80=x 元, 子样标准差12=s 元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额μ的95%置信区间.解 对于给定的置信度),05.0%(95=α,0639.2)24()1(025.02/==-t n t α将,80=x ,12=s ,25=n ,0639.2)24(025.0=t 代入计算得μ的置信度为95%的置信区间为,05.75(),95.84 即在2σ未知情况下, 估计每个旅游者的平均消费额在75.05元至84.95元之间, 这个估计的可靠度是95%.注: 与例1相比, 在标准差σ未知时, 用样本的标准差S 给出的置信区间偏差不太大.例4 (E03) 有一大批袋装糖果. 现从中随机地取16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.解 ,95.01=-α ,025.02/=α ,151=-n ,1315.2)15(025.0=t由给出的数据算得,75.03.5=x .2022.6=s 可得到均值μ的一个置信水平为0.95的置信区间为),16/2022.61315.275.503(⨯± 即).1.507,4.500(这就是说, 估计袋装糖果重量和均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的右信程度为95%. 若以此区间内任一值作为μ的近似值, 其误差不大于61.616/2022.61315.22=⨯⨯(克)这个误差估计的可信程度为95%.单正态总体方差的置信区间例5 (E04) 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并测得样本均值,186=x 样本标准差12=s . 假定所论胆固醇水平),,(~2σμN X μ与2σ均未知. 试分别求出μ以及σ的90%置信区间.解 μ的置信度为α-1的置信区间为./)1((2/n s n t x ⋅-±α按题设数据,1.0=α,186=x ,12=s ,25=n 查表得,7109.1)125(2/1.0=-t 于是,106.425/127109.1/)1(2/=⨯=⋅-n s n t α 即).11.190,89.181(σ的置信度为α-1置信区间为.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ 查表得,85.13)125(,42.36)125(22/1.0122/1.0=-=--χχ 于是, 置信下限和置信上限分别为,74.942.36/12242=⨯,80.1585.13/12242=⨯所求σ的90%置信区间为).80.15,74.9(双正态总体均值差（方差已知）的置信区间例6 (E05) 2003年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知体育、卫生、社会福利事业职工工资X (单位: 元));218,(~21μN 文教、艺术、广播事业职工工资Y (单位: 元)),227,(~22μN 从总体X 中调查30人, 平均工资1272元, 求这两大类行业职工平均工资之差的99%的置信区间.解 由于,99.01=-α 故,01.0=α 查表得,576.2005.0=u又,251=n ,302=n ,218221=σ ,227222=σ ,1286=x ,1272=y于是21μμ-的置信度为99%的置信区间为],96.168,96.140[- 即两大类行业职工平均工资相差在96.140-96.168~之间, 这个估计的置信度为99%.双正态总体均值差（方差未知）的置信区间例7 (E06) A , B 两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了19块面积相同的麦田, 其中9块属于地区A , 另外10块属于地区B , 测得它们的小麦产量(以kg 计)分别如下:地区A : 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112;地区B : 101, 100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92. 设地区A 的小麦产量),,(~21σμN X 地区B 的小麦产量),(~22σμN Y , 1μ,2μ,2σ均未知. 试求这两个地区小麦的平均产量之差21μμ-的90%置信区间.解 由题意知所求置信区间的两个端点分别为.11)2()(21212/n n S n n t Y X w +⋅⋅-+±-α 由,1.0=α ,91=n ,102=n 查表得,7396.1)17(2/1.0=t 按已给数据计算得,109=x ,106=y ,8/55021=s ,9/60622=s,682)1()1(212222112=-+-+-=n n s n s n s w,246.8=w s于是置信下限为 ,59.310191246.87396.1)106109(-=+⨯⨯-- 置信上限为 ,59.910191246.87396.1)106109(=+⨯⨯+- 故均值差21μμ-的90%的置信区间为).59.9,59.3(-例8 为比较I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取I 型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为 )/(5001s m x =, 标准差)/(10.11s m s =, 随机地取II 型子弹20发, 得到枪口速度的平均值为)./(4962s m x = 标准差)./(20.12s m s =假设两总体都可认为近似地服从正态分布. 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差21μμ-的一个置信水平为0.95的置信区间.解 按实际情况, 可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的, 且两总体的方差相等, 但数值未知, 由于,95.01=-α ,025.02/=α,101-n ,202=n ,28221=-+n n ,0484.2)28(025.0=t,28/)20.11910.19(222⨯+⨯=w s .12==w w s s ,1688故所求的两总体均值差21μμ-的一个置信水平为0.95的置信区间是),93.04(201101)28(025.021±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯±-t s x x w 即).93.4,07.3( 注: 本题中得到的置信区间的下限大于零, 在实际中我们就认为1μ比2μ大，即Ⅰ型子弹的枪口速度大于Ⅱ型子弹的枪口速度.双正态总体方差比的置信区间例9(E07) 某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉的31个温度数据及旧电炉的25个温度数据, 并计算得样本方差分别为7521=s 及10022=s . 设新电炉的温度),(~211σμN X , 旧电炉的温度),(~222σμN Y . 试求2221/σσ的95%置信区间.解 2221/σσ的α-1置信区间的两个端点分别是22211212/))1,1((s s n n F ⋅---α与,)1,1(2221122/s s n n F ⋅--α ,05.0=α ,311=n ,252=n查表得,21.2)24,30(2/05.0=F .14.2)30,24(2/05.0=F于是置信下限为,34.01007521.21=⨯ 置信上限为,61.11007514.2=⨯所求置信区间为).61.1,34.0(注: 在内容小结中分别总结了有关单正态总体参数和双正态总体参数的置信区间, 以方便查用.课堂练习1. 已知某地区农户人均生产蔬菜量为X (单位:kg), 且),,(~2σμN X 现随机抽取9个农户, 得人均生产蔬菜量为75, 143, 156, 340, 400, 287, 256, 244, 249问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少)05.0(=α?2. 为了考察温度对某物体断裂强度的影响, 在70℃与80℃时分别重复了8次试验,测试值的样本方差依次为,8266.0,8857.02221==s s假定70℃下的断裂强度),,(~211σμN X 80℃下的断裂强度),,(~222σμN Y 且X 与Y 相互独立, 试求方差比2221/σσ的置信度为90%的置信区间.。