(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习
圆锥曲线十大题型全归纳
目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板总结
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板
总结
圆锥曲线历来都是高中数学必考的大考点！大部分要冲刺高分的学生都会再圆锥曲线丢分！其实圆锥曲线再怎么变形题目，都少不了基础的巩固和突破！
其中最需要巩固就算基础性质的总结！能够吃透好课本上每一个圆锥曲线的基础知识点，能灵活运用起来就能够很快掌握相关题型的考点考法，从而进行轻松解题！
而题型的总结是圆锥曲线最快的提升的方法，特别是这13种典型的圆锥曲线常见大题考法的题型！对其中的大题的考题的得分规律和解题的思维一定要多吃透一下，能够举一反三下来，就基本上突破好圆锥曲线了！
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高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】
高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论课题1：22a b ±结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。
椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM-=• 12222=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OMk 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM=• )0,0(12222>>=-b a bx a y 22AB ba k =•OMk 抛物线)0(22>=p px y M py k AB =)0(22>-=p px yMp y -k AB = )0(22>=p py xp Mx k AB =)0(22>-=p py xpMx -k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】22 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，∵过点M （1，1）作斜率为﹣21的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得，∴a=b ，∴=b ，∴e==22． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22a-1b =22【2013新课标1理10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 【2010新课标理12】已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N （﹣12，﹣15），则E 的方程式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由已知条件易得直线l 的斜率为k=k PN =1， 设双曲线方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有，两式相减并结合x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30得=，从而==1即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线10类大题梳理(解析版)
圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一，多数情况在倒数第二题出现，难度为中高档题型。
纵观近几年高考试卷，圆锥曲线的大题主要有以下几种类型：已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可循。
热点题型突破题型一：最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1，过点F的直线l与C交于A,B两点，过A,B作C的切线l1,l2，交于点M，且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证：DE= MF；d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点，P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d，求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式，得出D,E,M三点的坐标，联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF；d1d2d2k=221+1≥2，可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1，所以p=2，即C的方程为：x2=4y，如下图所示：设点A x 1,y 1,B x 2,y 2，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设l :y =kx +1 ，=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0，所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ，得y =4x 2,y =2x ，所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1，即y =x 122x -x 14.2令y =0，得x =x 12x12，即D ,0 ，同理l 2:y =x 222x -x 24x22，且E ,0 ，1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ，得 x =-k1，即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1，故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0，结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1，即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00，所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24，所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1，d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时，等号成立；d21即直线l 斜率为0时，d 1d 2取最小值2；求最值及问题常用的两种方法：(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；(2)代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。
(完整版),圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档
圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等；a b c e p2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？2100x264y点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1-1 已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上的一点，且12,F F 223575x y -=P =120，求的面积。
12F PF ∠︒12F PF ∆处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
例3、（2014秋•市中区校级月考）已知椭圆C ：（a ＞b ＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且221x y a b +=焦点与短轴两端点构成等边三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明变式3-1 （2012秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆 (a ＞b ＞0)的离心率为焦距为2．22221x y a b +=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，C ，D 为椭圆上位于直线PQ 异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出此定值．例4、过抛物线（>0）的焦点F 作任意一条直线分别交抛物线于A 、B 两点，如果（O 为原点）24y ax =a AOB ∆的面积是S ，求证：为定值。
高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题
高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上；（2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）；（3）将x0，y0代入已知曲线方程；（4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。
圆锥曲线知识点总结与经典例题
圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2121yy k x x -=-②点0(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离①AB =12AB x =-=③12AB y =-（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b =+=+①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ）11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l l A A B B ⊥⇔+=② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222A B C A B C =≠者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩ 距离1221d k =+ 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+ 二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}. 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) px y 22=参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心原点O （0，0） 原点O （0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb y a x .【备注2】抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p ，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
(完整版)圆锥曲线大题题型归纳,推荐文档
精心整理圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注4． 5． 1．2．3无关；45“转化”的经验；6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +264y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
变式2、已知F 1，F 2为椭圆2221100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．（1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值； （2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值 题型二过定点、定值问题例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
(自己整理)圆锥曲线常考题型总结-配有大题及练习
圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一．与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）1. 判别式：24b ac ∆=-2. 韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 3. 求根公式：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则1,22b x a-±=二．与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；②点到直线的距离公式：d =或d =（斜截式）3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则1112,22x x y y x y ++== 三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。
圆锥曲线大题题型总结
圆锥曲线大题题型总结在数学学科中，圆锥曲线是一个重要的概念。
它们由平面上一定点到一定直线的距离比的几何特征来定义。
而掌握圆锥曲线的性质和应用是许多数学问题的关键。
在国内高中数学教育中，圆锥曲线也是一个考点重、难度大的知识点。
下面将对圆锥曲线的大题题型进行总结。
一. 求曲线方程求解曲线方程是圆锥曲线的基本题型之一。
这类题目通常给出曲线上的若干点或者一些特征条件，要求求出曲线的方程。
常见的曲线方程有抛物线、椭圆和双曲线。
对于抛物线，题目中通常会给出焦点、准线等信息，要求求出抛物线的方程。
解题的关键是利用焦距的定义关系，以及抛物线的几何特性，进行方程的推导。
椭圆需要通过给出的焦点和离心率来确定，其方程的求解要点是利用椭圆的几何性质和椭圆的焦点位置来进行推断。
双曲线的方程求解也是一个常见的问题。
对于已知双曲线的焦点和离心率的情况，需要利用双曲线的几何性质和特征进行方程的推导。
以上三种曲线方程的求解方法都是基于焦点、准线和离心率等几何性质进行的。
二. 判断曲线类型判断给定的曲线是何种类型也是圆锥曲线大题中常见的一类题型。
这类题目通常给出曲线方程，要求判断其类型。
对于抛物线，常用的判断方法是根据方程的系数来判断抛物线的开口方向以及是否与坐标轴相交。
例如，当二次项系数为正时，抛物线的开口方向向上；当常数项为负时，抛物线与x轴相交。
判断椭圆和双曲线的类型则要利用离心率等几何性质。
椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1。
三. 曲线性质应用题利用曲线的性质进行应用题的解答也是圆锥曲线大题中常见的一类题型。
这类题目通常会结合实际问题，利用曲线的性质进行问题的求解。
比如，题目给出一条抛物线和一个点，要求求解从该点到抛物线的切线方程。
解答的关键是利用切线的几何性质和抛物线的方程，推导出切线方程。
另外，题目还可能给出一个曲线和一个点，要求求解过该点并且与曲线相切的直线方程。
解答的关键是利用切线和直线的几何性质，结合曲线方程进行推导。
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
9.设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点 ，与椭圆相交于 、 两点．
（1）若 ，求 的值；（2）求四边形 面积的最大值．
（1）解：依题设得椭圆的方程为 ，
直线 的方程分别为 ， ．如图，设 ，其中 ，且 满足方程 ，故 ．①
所以 ， ，由 ，得 ．
将②、③代入上式，整理得 ，………………………10分
所以 ，即 或 ．经检验，都符合条件①．
当 时，直线 的方程为 ．
显然，此时直线 经过定点 点．即直线 经过点 ，与题意不符．
当 时，直线 的方程为 ．显然，此时直线 经过定点 点，且不过点 ．
综上， 与 的关系是： ，且直线 经过定点 点．…………13分
6. 在椭圆 求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。
目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。
提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线与直线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。
解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆 相切，则 ，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,
（2）-（1）得
即 ，又直线AB过点（1，1）
所以直线AB的方程为：
2.直线l经过点A(1，2)，交椭圆 于两点P1、P2，
（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹．
解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，
则
…………*
∵A(1，2)是线段P1P2的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
(完整版)圆锥曲线大题归类
圆锥曲线大题归类•定点问题X2例1•已知椭圆C:孑+ /= 1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M : (x-3)2+ (y—1)2 = 3 相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线I与椭圆C交于P, Q两点，且APAQ= 0,求证：直线I过定点，并求该定点的坐标.［解析］⑴圆M的圆心为(3,1)，半径r = 3.由题意知A(0,1), F(c,0),x直线AF的方程为c+ y= 1,即x+ cy—c= 0,w解得c2= 2, a2= c2+ 1 = 3,x2故椭圆C的方程为3+y2= 1.(2)方法一：由=0知AP I AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直，1 故可设直线AP的方程为y= kx+1,直线AQ的方程为y=—只+ 1.y= kx+ 1,联立x22整理得(1+ 3k2)x2+ 6kx= 0,3 + y2= 1，解得x= 0 或x= 1+；：2,―6k 1 ― 3 k2故点P的坐标为(1 + 3k2，1 + 3k2)，6k k 2— 3同理，点 Q 的坐标为（QT 匚3，Q 品）k 2 — 3 1 — 3k 2k 2 + 3 ― 1 + 3k 2 k 2 — 16k — = 4k ，k 2 + 3— 1 + 3k 21•••直线i 过定点（o ，— 2）.方法二：由=0知AP I AQ ,从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线I 的方程为y = kx + t （t 丰1），y = kx +1， 联立X 2 23+宀3整理得(1 + 3k 2)x 2 + 6ktx + 3(t 2— 1) = 0.—6ktx1 +x 汁碍， 设 P(X 1, y”，Q(x 2, y 2)则3t 2— 1(*)x1x2=7+3?，由△= (6kt)2 — 4(1 + 3k 2) x 3(t 2— 1)>0，得 3k 2>t 2— 1•由=0，得 =(冷，y 1 — 1) •(，y 2 — 1)= (1 +『)x 1x 2+ k(t — 1)(x 1 + X 2) + (t — 1)2 = 0，1将(*)代入，得t = — 1，•••直线i 过定点（0，—刁.3•••直线I 的斜率为•••直线I 的方程为y = k 2— 1 6k k 2 — 34k % — k 2+ 3) + k 2 +3，即y = k 2—1 1 4k x — 2.例2•已知抛物线C :寸=2px(p>0)的焦点F(1,0), O为坐标原点，A, B是抛物线C上异于0的两点.(1)求抛物线C的方程;1⑵若直线OA, 0B的斜率之积为—㊁，求证：直线AB过x轴上一定点.［解析］(1)因为抛物线y2= 2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以号二1,所以p =2.所以抛物线C的方程为y2= 4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(4, t), B(4,—t).1因为直线OA, OB的斜率之积为一刃t —t 1所以』= —q,化简得t2= 32.4 4所以A(8, t), B(8,—t)，此时直线AB的方程为x= 8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y= kx+ b, A(X A, y A), B(X B, y B),2y2= 4x,联立得化简得ky2—4y + 4b= 0.y= kx+ b,根据根与系数的关系得y A y B=4b，因为直线OA,OB的斜率之积为一2,所以y A^B=—2，2 x A x B 2y A y B即X A X B + 2y A y B = 0.即；壬 + 2y A y B= 0,解得y A y B = 0(舍去)或y A y B= —32所以y A y B =匸=—32,即b= —8k,所以y= kx —8k, y= k(x —8).综上所述，直线AB过定点(8,0).圆锥曲线中定点问题的两种解法(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量， 再研究变化 的量与参数何时没有关系，找到定点.(2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变 量无关. 二.定值问题X y例3•已知椭圆C:孑+ bj>= 1(a>b>0)的两个焦点分别为F i (— ,2,0),F 2「2,0),点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.导学号30072628(1) 求椭圆C 的方程；⑵过点M(1,0)的直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，设点N(3,2)，记直线 AN , BN 的斜率分别为k 1, k 2,求证：k 1+ k 2定值. ［解析］(1)依题意，由已知得c = ,2,则a 2— b 2= 2,x 2 由已知易得b = |OM|= 1,所以a = .3,所以椭圆的方程为"3 + y 2^ 1. ⑵①当直线I 的斜率不存在时，不妨设 A(1,书，B (1，—¥)，则k 1 + k 22 J6 2丄血2—3 2十 3=—2 — + —2 — = 2 为定值.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y = k(x — 1),依题意知，直线I 与椭圆C 必相交于两点，设A (X 1, y”, B (X 2, y 2), 冲 6k 2 3k 2 — 3 e则 x 1 + X 2= 3k 2 + 1, x 1x 2 = 3k 2+ 1，又 y 1 = k(X 1 — 1), y 2 = k(X 2— 1),y =k x —1 ,由x3+宀1得(3k 2 + 1)x 2 — 6/x + 3k 2— 3 = 0,所以k1+k2=3—1+3—2=2 — y 13 — X 2 + 2 — y 3 —X 13 — X 3 — X[2 — kx i —1] 3 — X 2 + [2 — kx 2— 1 ] 3— x i3 — x i 3— X 2 12— 2 x i + x ? + k[2x i x 2—4 x i + x 2 + 6]9— 3 x i + X 2 + X 1X 26k 2 3k 2 — 3 6k 212— 2X3k +1+ k[2 % 3k +1— 4X 3k^ + 6] 12 2k 2 + 1 c二 6k 2~~3k 2— 二 6 2k 2+ 1 二 2，9 — 3X3k +1+ 3k +1 综上，得k i + k 2为定值2. 例4 （2016北京理科） 求定值问题常见的方法（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 三•探索性问题例5.（2015新课标全国U, 12分，理）已知椭圆C : 9x 2 + y 2= m 2（m>0），直 线I 不过原点O 且不平行于坐标轴，I 与C 有两个交点A ，B ,线段AB 的中点 为M.（1）证明：直线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值；⑵若l 过点（m ，m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平 行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.［解析］（1）设直线 l : y = kx + b （k M 0，0），A （x i ，y i ），B （x ，y 2），M （X M , y M ）.将 y = kx + b 代入 9X 2 + y 2= m 2得（『+ 9）x 2 + 2kbx + b 2 — m 2= 0，故于是直线OM 的斜率kOM 二豐二-4即kOM k =- 9. 所以直线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.x i + X 2 — kb 2 二 k 2+ 9, y M = kx M + b = 9bk 2+ 9.⑵四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线I 过点(m , m),所以I 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k>0,心 3.9 由(1)得OM 的方程为y = — RX .设点P 的横坐标为X P .9由尸—宀得应 9/ + y 2= m 2k 2m 2 ikm_9k 2+ 81,即 x p — 3 &9.将点(m , m)的坐标代入 I 的方程得bm3— k，因此X M Y —3,.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，即X P=2X M .因为 k i >0, k i 丰3, i = 1,2,所以当I 的斜率为4— .7或4+ .7时，四边形OAPB 为平行四边形. X 2 y 2例6.已知椭圆C:孑+含=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且AF|(1)求椭圆C 的标准方程；⑵若动直线l : y = kx + m 与椭圆C 有且只有一个交点P ,且与直线x =4 交于点Q,问：是否存在一个定点M(t,0),使得=0.若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，说明理由.［解析］⑴由 c = 1, a — c = 1,得 a = 2,二 b=>3,2 2故椭圆C 的标准方程为X +3=1.于是ikm3求+ 92X k k — 3 m 3 k 2+ 9， 解得 k i = 4— 7, k 2= 4+ . 7.y = kx + m , ⑵由 3X 2+ 4y 2= 12,消去 y 得(3 + 4k 2)x 2+ 8kmx + 4m 2— 12= 0,••• △= 64k 2m 2— 4(3+ 4k 2)(4m 2— 12)= 0,即 m 2 = 3 + 4k 2., 4k 2 3 前 z 4k 3、y p = kx p + m = — — + m = m ，即卩 p ( — m ，伸- ••• M(t,0), Q(4,4k + m),4k 3••• = (― m — t, m),=(4 — t,4k + m),4k 3 4k••• = (—^— t) • —t)+m • (4+ m)=t 2—4t +3+ m (t —1)=0 恒成立,•••存在点M(1,0)符合题意.故 t =1, 故 t 2—4t + 3= 0,即 t = 1.•••存在点M(1,0)符合题意.设 P(x p , y p ),则 X P =4km 3+ 4k 24k m ,y p = kx p + m =—空 + m = 3 m m 即P(-半m)-••• M(t,0), Q(4,4k + m),••=(—签—t , m )‘= (4 — t,4k + m),4k4k —1) • —1)+-(4+ m) = t 2— 4t + 3+ 4km (t —1)= 0恒成立,故 t =1, 故 t 2—4t + 3= 0,即 t = 1.四、取值范围问题x例7.（2015浙江，15分）已知椭圆+ 卄1上两个不同的点A , B 关于直线1 y = mx +2 对称.（1）求实数m 的取值范围；⑵求△ AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）.1［解析］ ⑴由题意知 m 工0，可设直线 AB 的方程为y 二一冷乂 + b.由 消去 y ,得(2 + m^x 2 — 2b x + b 2— 1 = 0.因为直线 y =—三乂+ bx 2 4与椭圆2 + y 2 = 1有两个不同的交点，所以 △= — 2b 2+ 2 +帚2>0,①2mbm 2b设M为AB 的中点，则M （m +2, R ，1 m2 + 2代入直线方程y = mx + 2，解得b =— 2m 2 .② 由①②得m< — f 或m 〉-^.上2 +丄⑵令t = m € （—普^, 0）U （0，普），则且O 到直线AB 的距离d ^j==. 设厶AOB 的面积为S （t ），所以 —2t 2— ；2+ 2=子，当且仅当t 2 =殳时，等号成立•2 ___ 、/- 2t 4+ 2t 2 + 号故厶AOB 面积的最大值为_2_.|AB|= . t 2+ 1 • 1 ，x 2 V 2例8.已知圆x 2 + y 2= 1过椭圆孑+詁=1（a>b>0）的两焦点，与椭圆有且仅有x 2 2 2+y = 1, 1 u 尸—m x+ b ，S(t)= 2|AB | d =t 2+- t+2两个公共点，直线I : y = kx + m 与圆x 3 + y 2= 1相切，与椭圆孑+詁=1相交于 — —— 23A ,B 两点.记A OA?OB •且于U 4. (1) 求椭圆的方程； (2) 求k 的取值范围；(3) 求厶OAB 的面积S 的取值范围.解：(1)由题意知2c = 2,所以c = 1•因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而bx 2=1,故a = .2,所以所求椭圆方程为2 + y 2^ 1.(2)因为直线I : y = kx + m 与圆x 2 + y 2= 1相切，所以原点O 到直线I 的距离为是-1,-今u2 1(3)|ABf = (X 1-X 2)2+ (y 1-y 2)2= (1 + k 2)[(x 1 + X 2)2-4x 1X 2]二 2— 2疋+〔 2,由236 4 1 1< k 2< 1,得"2 = AB|<3.设△ OAB 的 AB 边上的高为 d ,贝U S = 2AB|d = 2AB|, 所以S < 2■.即△ OAB 的面积S 的取值范围是 专，2 .例9•已知椭圆E:彳+ y3 = 1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A , M 两点，点N 在E 上, MA 丄NA.得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2- 2 = 0.设 A (X 1, y 1), B(x 2, y 2),则 X 1 + x 2 = —4km 1+ 2k 2, 2m 2— 2x1x2 二 G? "A=X 1X 2+ y 〔y 2 = (122k 2 +1+ k 2)X 1 x 2 + km(x 1 + X 2)+ m 2=仔？ 2 3 1 由3^圧4,得2=1, 即卩k 的取值范围 =1, 即 卩 m 2= k 2 + 1.由y = kx + m ,⑴当t = 4, |AM|= |AN|时，求△ AMN的面积;⑵当2AM|=|AN|时，求k的取值范围.x y【解】(1)设M(x i, y i),则由题意知y i>0.当t= 4时，E的方程为+号=、. n1, A( —2, 0).由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AMX y212的方程为y= x+ 2.将x=y —2代入4 + = 1得7y2—12y= 0.解得y= 0或y=〒,12 1 12 12 144所以y1 =—.因此△ AMN的面积S MMN = 2X 2^7 X-y = 药.x2(2)由题意知t>3, k>0, A( —t, 0).将直线AM的方程y= k(x+ . t)代入yy2t2k2—3t+ 3 = 1 得(3 + tk2)x2+ 2录tk2x + t2k2—3t = 0.由X1 •—*) = "3+lk^得为=t 1 + k22 k由2AM E IAN得穴二冇，即(k3—2)t= 3k(2k—1).当k= 3 2时上式不成立，因此3k 2k—1 y人十k3—2k2+ k—2 k—2 k2+ 1t-卞〒.t>3等价于k3 —2 - k3 -2 <0，即厂<0.由此得k3 —2<0,或k3—2>0, 解得3 2<k<2.因此k的取值范围是(32, 2).kz2 k—2>°，誹k—2<0,由题设知，直线AN的方程为y= —k(x+Jl),故同理可得五.最值问题卡左、右焦点分别是F i , F 2.以F i 为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、 以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上.(1)求椭圆C 的方程；x 2 y⑵设椭圆E ：荷+ 4b 2= 1, P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y = kx + m 交椭圆E 于A , B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.① 求器|的值；② 求△ ABQ 面积的最大值.解】(1)由题意知2a =4,则a = 2.又a =^，a 2-c 2二b 2,可得 b = 1,a 2 X 2 y 2⑵由⑴知椭圆E 的方程为16+ 4 = 1.由题意知Q(—入x,—入y . 因为弓+y o = 1,所以入=2,即|OQ|| = 2. 所以椭圆C 的方程为4 + y 2= 1.②设 A(X 1, y 1), B(x 2, y 2).将y = kx + m 代入椭圆E 的方程，可得(1 + 4k 2)x 2+ 8kmx + 4m 2 — 16= 0,由 40,可得 m 2<4 + 16k 2.① ①设P(x o , y o ), 1OQ1_ .|OP|_ 人2 2刊一入x —入y又 + 儿16 =1,即处 + y 0 = 1,因为直线y = kx + m 与y 轴交点的坐标为(0, m),所以△ OAB 的面积1 2 16k 2 + 4— m 2|m|S = 2|m||x1 — X2I = 一 1 + 4k 2将y = kX + m 代入椭圆C 的方程， 可得(1 + 4k 2)X 2 + 8kmx + 4m 2 — 4 = 0, 由0,可得m 2< 1 + 4k 2.② 由①②可知0<t w 1, 因此 S = 2「4 — 11= 2 . — t 2 + 4t , 故 S < 2 ,3.当且仅当t = 1,即m 2= 1 + 4k 2时取得最大值2,3. 由①知，△ ABQ 的面积为3S , 所以△ ABQ 面积的最大值为6.3. 例11.定圆M : (X +. 3)2 + y 2= 16,动圆N 过点F( 3, 0)且与圆M 相切, 记圆心N 的轨迹为E.①求轨迹E 的方程;贝U 有 X l + X 2 = 8km 1+ X 1X 2 = 4m 2 — 16 1+ 4k 2 .所以 x 〔 一 X 2I = 4 16k 2 + 4— m 2 1 + 4k 2 m 2 1 +4k 2 t. 216k 2+ 4— m 2m 2 1+ 4k 2 ^2 24— m 2 m 2 一 1+ 4k 2 1+②设点A , B , C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC| = |BC|，当△ ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程.⑵解：①••• F( 3，0)在圆M : (x + 3)2 + y 2= 16内，.••圆N 内切于圆M. ••• |NM|+ |NF|=4>|FM|,「.点N 的轨迹E 为椭圆，且2a = 4, c =. 3,二b = 1 ,二轨迹x 2E 的方程为4 + y 2= 1.②a.当AB 为长轴(或短轴)时，1S A ABC = 2|OC| AB|= 2.b .当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y = kx , A(X A ,X 2丄 2 d2 + y 2= 14 4k 2 y A ),联立方程 4得，x A 二 1+40 y A 二帀恳，：|°A|2= x A +y A 二y = kx 4 1 + k 2 1 4 1 + k 21+ 4k 2 •将上式中的k 替换为一R ,可得|OC|2= 0 + 4 .S\ABC = 2S ^AOC = |OA| OC|••• 1+ 4k 2 k 2 + 4 < 5 1 + R 2 8= 2 , • S A ABC >8，当且仅当1 + 4k 2= k 2 + 4,即k =±l 时等号成立,8 8 o此时△ ABC 面积的最小值是°.v 2>8，.・.A ABC 面积的最小值是 三 此时直线 5 5 5 AB 的方程为y =x 或y = — x. 4 1 + k 2 1+ 4k 2 •4 1 + k 2 k 2 + 4 4 1 + k 2 .1+ 4k 2 k 2 + 4。
圆锥曲线专题40大题练习（含答案）
圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。
〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。
〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。
的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。
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圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）1. 判别式：24b ac ∆=-2.韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 3.求根公式：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则1,22b x a-=二．与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2.与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；②点到直线的距离公式：d =或d =（斜截式）3.弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：1212)AB x AB y =-==-或 4.两直线1111122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则1112,22x x y y x y ++== 三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。
文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。
2.圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线22b a，抛物线2p②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时122tan2F PF Sb θ=⋅p 在双曲线上时122/tan2F PF Sb θ=四．常结合其他知识进行综合考查1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆例1.（本小题共14分）已知双曲线（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值…【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为， 化简得.2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>x =C l 22:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠23a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1,a c ==2222b c a =-=C 2212y x -=()()0000,0P x y x y ≠222x y +=()00,P x y ()0000x y y x x y -=--002x x y y +=由及得， ∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且， ∴，且，设A 、B 两点的坐标分别为，则， ∵，且， .∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得①②2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()222000344820x x x x x --+-=l 2002x <<20340x -≠()()22200016434820x x x ∆=--->()()1122,,,x y x y 20012122200482,3434x x x x x x x x -+==--cos OA OB AOB OA OB⋅∠=⋅()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦-()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦22002200828203434x x x x --==-=--AOB ∠90︒()()0000,0P x y x y ≠222x y +=()00,P x y ()0000x y y x x y -=--002x x y y +=2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()22200344820x x x x x --+-=()22200348820xy y x x ---+=∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且， ∴，设A 、B 两点的坐标分别为，则， ∴，∴ 的大小为.（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.（2）圆锥曲线与图形形状问题例2.1已知A ，B ，C 是椭圆W ：24x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．l 2002x <<20340x -≠()()1122,,,x y x y 2200121222008228,3434x x x x y y x x --==--12120OA OB x x y y ⋅=+=AOB ∠90︒22002x y +=000x y ≠220002,02x y <<<<20340x -≠A ()22:109x y C t t +=>:1()l x my m =+∈R C ,E F x B 0m =AEF 163C AE AF 3x =M N MN B由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-. 因为k ·14k ⎛⎫-⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．练习1：已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点，P ,0)p （是X 轴上的定点，求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标.（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆22:24C x y +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.解析：⑴椭圆的标准方程为：22142x y +=，2a =，b =则c =2c e a ==;⑵直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下： 法一：设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切. 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t--=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=. 圆心O 到直线AB 的距离d =.又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切. 法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB ，此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1y x k=-，联立2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A的坐标⎛⎫,或⎛⎫⎝；联立12y xk y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得点B 的坐标()22k -,，由点A 的坐标的对称性知，无妨取点A ⎛⎫进行计算， 于是直线AB的方程为：))2222y x k x k k-=+++，即((21220k x y k -+++=，原点到直线AB 的距离d ==,此时直线AB 与圆222x y +=相切。