吉林省长春市第八中学2020_2021学年高一数学上学期元旦作业期末复习试题二
2020-2021长春市高一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021长春市高一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）A ．12BC ．2D ．22．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－13．若x 0＝cosx 0，则（ ）A ．x 0∈（3π，2π）B ．x 0∈（4π，3π）C ．x 0∈（6π，4π）D ．x 0∈（0，6π） 4．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．20225．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 6．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.97．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)210．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =11．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．512．曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 二、填空题13．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.14．已知log log log 22a a a x yx y +-=，则x y 的值为_________________． 15．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．16．求值： 2312100log lg += ________17．0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 18．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当(),0x ∈-∞时，()11xf x x+=-． ()1求函数()f x 在R 上的解析式；()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 22．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .23．科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型xy pq r =+，其中y 为该物质的数量，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数. （1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由. （2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？24．已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. （1）求该函数的定义域；（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 25．已知全集U =R，函数()lg(10)f x x =-的定义域为集合A ，集合{}|57B x x =≤<（1）求集合A ； （2）求()U C B A ⋂.26．已知函数()x xk f x a ka -=+，（k Z ∈，0a >且1a ≠）.（1）若1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求1(2)f 的值；（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数λ，使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在，请写出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.3．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.078044f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.5．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.7．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.8．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.9．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A11．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2020-2021学年吉林省吉林市高一上学期期末考试数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年吉林省吉林市高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合U =R ，{}220A x x x =--<，则UA =（ ）A ．[12]-，B ．(12)-， C ．(1)(2)-∞-+∞，，D ．(][),12,-∞-⋃+∞答案：D解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的补集运算即可求解. 解：{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{U2A x x =≥或}(][)1,12,x ≤-=-∞-⋃+∞，故选：D2．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-答案：A由三角函数的定义可求出cos α的值. 解：由三角函数的定义可得3cos 5α==-，故选A.点评：本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 3．“4πα=”是“sin 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B分别从充分性与必要性两个方面论证判断.解：因为sin4π=，所以满足充分性；而sin α=，2,4k k Z παπ=+∈或32,4k k Z παπ=+∈，所以不满足必要性，所以4πα=是sin α=. 故选：B.4．已知0.52021a =，20210.5b =，20210.5c log =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>答案：C分析得到1,0,01a c b ><<<，即得解. 解：由题得202120210.510c log log =<=，0.50202021211a >==，202100.05.51b <==且0b >，所以a b c >>. 故选：C点评：关键点睛：解答本题的关键正确运用指数对数函数的单调性，理解掌握了指数对数函数的单调性，就容易判断,,a b c 的范围了，即得它们的大小关系了.5．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知a 克糖水中含有b 克糖(0a b >>)，再添加m 克糖(0m >)(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（ ） A ．b b m a a m+>+ B ．b b m a a m +<+ C ．a a mb b m+>+ D ．a a mb b m+<+ 答案：B根据不等式中两个重要不等式判定即可 解：解：根据不等式中两个重要不等式判定得b b m a a m +<+，a a m b b m+>+， 糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有b b m a a m+<+符合. 故选：B.点评：两个重要不等式：若0,0a b m >>>则（1）;(0)b b m b b m b m a a m a a m +-<>->+-； （2）;(0)a a m a a mb m b b m b b m+-><->+-. 6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x =C ．tan y x =D ．sin2x y = 答案：C利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 解：解：在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()20,x π∈，sin 2y x =没有单调性，故排除A. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()20,x π∈，cos 2y x =单调递减，故排除B. 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为π，故C 正确； 根据函数以π为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412ππ=，可排除D.故选：C.点评：本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题. 7．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(30)-， B ．(]30-，C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()[),30,-∞-+∞答案：B根据一元二次不等式恒成立讨论0k =，0k ≠即可.解：解：当0k =时，308-<对一切实数x 都成立，故0k =符合题意； 当0k ≠时，要使不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则203034208k k k k <⎧⎪⇒-<<⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，综上：30k -<≤ 故选：B.点评：方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+答案：D由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．解：根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D点评：关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.9．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案：C根据函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，得到124x x a +=，212x x a ⋅=，然后由121214a x x a x x a++=+，利用基本不等式求解. 解：因为函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为12,x x ，所以124x x a +=，212x x a ⋅=，所以1212144a x x a x x a ++=+≥=， 当且仅当14a a =，即12a =时，取等号， 所以则1212ax x x x ++的最小值为4 故选：C10．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(52)()1t K I t e--=+其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ ）(ln193)≈ A ．60 B ．65C ．66D ．69答案：B将t t *=代入函数()()0.23521t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.解：()()0.23521t K I t e--=+，所以()()0.23520.951t K I t K e**--==+，则()0.235219te *-=，所以()0.2352ln193t *-=≈，解得352650.23t *≈+≈.故选：B.二、多选题11．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得,AC a BC b ==，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD CD ≥直接证明的不等式为（ ）A ．(00)2a bab a b +≤>>， B ．2(00)abab a b a b≥>>+， C ．222(00)a b ab a b +≥>>， D ．22(00)22a b a b a b ++≤>>，答案：BCD由,AC a BC b ==，得到()12OD a b =+，然后利用射影定理得到2CD ab =判断. 解：因为,AC a BC b ==， 所以()12OD a b =+, 因为90ADB ∠=，所以由射影定理得2CD ab =， 因为OD CD ≥， 所以2a bab +≤，当且仅当a b =时取等号， 故选：BCD12．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有（ ）A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直在降低D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米 答案：ABD建立如图所示的平面直角坐标系，求出点P 的坐标后可求高度关于t 的函数关系式，结合函数关系逐项判断后可得正确的选项.解：以O 为原点，过O 且平行于地面的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，O 为摩天轮，P 为圆上的动点，设P 到地面的高为h . 由题设有40cos ,40sin 3232P t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故40sin 4540cos 45323h t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，其中0t ≥. 对于A ，令5h =，则cos13t π=-，解得63,t k k N =+∈，故点P 首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A 正确. 对于B ，当4t =时，1440cos 453h π=+，当8t =时，2840cos 453h π=+， 因为481coscos 332ππ==-，故12h h =，故B 正确. 对于C ，当710t ≤≤，710333t πππ≤≤， 而71073332ππππ<<<且cos y u =在73,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增的， 故40cos453h t π=+在[]7,10上是单调递增函数，故C 错.对于D ，考虑06t ≤≤时不等式40cos 45653t π+≥的解，故1cos 32t π≥， 解得01t ≤≤或56t ≤≤，故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D 正确. 故选：ABD.点评：本题考查函数三角函数在实际中的应用，注意根据问题的特征建立合适的坐标系，便于构建时间和高度的时间关系，本题属于综合题，有一定的难度.三、填空题13．已知312ab +=a b =__________． 答案：3利用指数幂的运算性质即可求解.22132223333333a bb a ab a a a b +-+===⋅==故答案为：3点评：本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题.14．某市在创建全国文明城市活动中，需要在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域.若设计该区域的半径为20米，圆心角为45，则这块绿化区域占地___________平方米. 答案：50π利用扇形的面积公式：212S r α=，即可求解. 解：由题意，扇形半径为20米，圆心角为45， 所以22112050224S r παπ==⨯⨯=. 故答案为：50π15．已知,αβ为锐角，且cos α=17 ， cos ()αβ+=1114-，则β=_________． 答案：3π根据角()βαβα=+-，求出角β的一个三角函数值，即可得到角β． 解：因为,αβ为锐角，所以，0αβ<+<π，243sin 1cos αα=-=，()()253sin 1cos αβαβ+=-+=．∵()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦53111433714⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭，而β为锐角，∴3πβ=． 故答案为：3π． 点评：本题主要考查“给值求角”的解法应用，同角三角函数基本关系的应用，以及两角差的正弦（或余弦）公式的应用，属于基础题．四、双空题16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩，其中0m >.若()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，则m 的取值范围是___________；若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m的取值范围是___________.答案：(0]3，()3+∞， 由题意画出函数()f x 的图象，结合图象可得关于m 的不等式，求解得答案. 解：0m >时，函数()2,2+4,>x x m f x x mx m x m⎧≤=⎨-⎩的图象如下图所示：要使()f x 在区间(0)+∞，上单调递增，则24m m m，解得03m ≤≤，又0m >，所以m 的取值范围是(0]3，； 要使关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则24m m m -<，即2>3>0m m m ，所以m 的取值范围是()3+∞，， 故答案为：(0]3，；()3+∞，．点评：方法点睛：对于分段函数的单调性，方程的根的个数等相关问题，运用数形结合是常采用的方法．五、解答题17．如图，在平面坐标系xoy 中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A ，且点A的纵坐标为45．（1）求sin α，cos α，tan α的值；（2）先化简再求值：()()()sin sin cos 42tan ππααπαπα⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭-． 答案：（1）4sin 5α，3cos 5α=-，4tan 3α=-；（2）原式sin 2cos 3tan 2ααα-+==--． （1）由题意可得4sin 5α，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入求值即可；解：解：（1）由题知，4sin 5α，因为22sin cos 1αα+=，所以3cos 5α=±， 又α为第二象限角，所以3cos 5α=-，sin tan s 43co ααα==-． （2）原式()432sin cos cos sin 2cos 3554tan tan 23ααααααα⎛⎫-+⨯- ⎪-++--+⎝⎭====---． 点评：本题主要考查了三角函数定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．18．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值.答案：（1）最大值为100；（2）最小值为940.（1）由基本不等式变形后求得最大值；（2）利用“1”有代换得定值后由基本不等式得最小值．解：（1）因为0,0x y >>，404x y ∴=+≥=(当且仅当4x y =，即=205，x y =时等号成立)所以100xy ≤，因此xy 的最大值为100（2）因为440x y +=，即1(4)140x y += 所以11111=(x 4y)()40x y x y+++1419(5)(5404040y x x y =++≥+= (当且仅当2x y =，即4020=33，x y =时等号成立) 所以11x y +的最小值为940． 点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位. 答案：（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．解：（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 点评：关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．20．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，对于任意的12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x +=+，（1）求(0)f ，并证明()f x 为R 上的奇函数；（2）若(1)2f -=，解关于x 的不等式()(3)4f x f x --<.答案：（1）(0)0f =，证明见解析；（2）1()2+∞，. （1）根据题意令120x x ==得(0)0f =，令12,x x x x ==-，得()()f x f x -=-即证；（2）令121x x ==-得(2)4f -=，转化为()(3)(2)f x f x f --<-，结合奇函数得(23)(2)f x f -<-，结合单调递减得232x ->-化简即可.解：（1）令120x x ==，则有(0)2(0),(0)0f f f =∴=令12,x x x x ==-，则有()()(0)0f x f x f +-==即()()f x f x -=-所以()f x 为R 上的奇函数（2）令121x x ==-，则有(2)2(1)224f f -=-=⨯=所以不等式()(3)4f x f x --<化为()(3)(2)f x f x f --<-由于()f x 为R 上的奇函数，所以(3)(3)f x f x --=-所以()(3)()(3)(23)f x f x f x f x f x --=+-=-因此不等式进一步化为(23)(2)f x f -<-已知函数()f x 是定义在R 上的减函数所以有232x ->-，解得12x >因此不等式的解集为1()2+∞，点评：判断函数奇偶性的3种常用方法：(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证()()f x f x -=±或其等价形式()()0f x f x -±=是否成立．(2)图象法：若()f x 的图象关于原点对称，则()f x 为奇函数；若()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数.(3)性质法：设(),()f x g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()()()()8161301548030m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？答案：（1）300台；（2）90(人).（1）求出()p x x，然后由基本不等式得最小值； （2）求出300台机器人的日平均分拣量的最大值，并计算此时人工分拣时需要的人工数，然后可得结果．解：（1）由总成本21()150600p x x x =++，得每台机器人的平均成本()1150112600p x x x x =++≥=， 当且仅当1150600x x=，即300x =时，等号成立． 所以若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为()()()()8161301548030m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，当130m ≤≤时，300台机器人的日平均分拣量为2300160(8(16)160)16096005m m m m m m ⨯-=-+-=， 对称轴30m =，开口向下，∴当30m =时，日平均分拣量有最大值144000件， 当30m >时，日平均分拣量为480300144000⨯=件，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件，若传统人工分拣144000件，则需要人数为144000=1201200(人) ∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=(人) 点评：关键点点睛：本题考查函数模型的应用．在已知函数模型时，关键是怎样利用已知函数模型求解．如第一小题关键是求平均最大，即求()p x x的最大值，而不是()p x 的最大值．第二小题中可先求出300台机器人的日平均分拣量的最大值，然后得出人工分拣时的人工数，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.22．已知函数2()2xx m f x n -=+是定义在R 上的奇函数. （1）求实数m n ，的值；（2）函数()g x 满足()()22x x f x g x -⋅=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)[()2]16g x t g x ≥--恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）1m =，1n =；（2）(8],-∞.（1）利用()()f x f x =--求解；（2）将（1）中()f x 的解析式代入()()22x x f x g x -⋅=-，解出g()222x x x -=++，然后得出(2)[()2]16g x t g x ≥--的表达式，令()222x x u u -=+>，则原不等式可化为216u tu ≥-，利用参数分离法求解t 的取值范围.解：解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=- 即22212221x x x x x x m m m n n n ----⋅-=-=-++⋅+， 化简得1()(14)(1)20x x m n mn +--+-=. 由于x ∈R ，所以有010m n mn -=⎧⎨-=⎩ 解得1m n == （2）因为12()12xxf x -=+， 所以221212(12)g()2222122x x x x x x x x x --++=⨯==++-设22x x u -=+，因为x ∈R 且0x ≠，222x x -+>=所以2u >因为2222(2)222(22)x x x x g x u --=++=+=所以不等式可化为216u tu ≥-，即16t u u≤+在2u >时恒成立由基本不等式得168u u +≥=，当且仅当4u =时等号成立 所以实数t 的取值范围是(8],-∞点评：本题考查根据函数的奇偶性求参及函数与不等式的综合问题，解答时主要思路如下：（1）当已知函数的奇偶性求参数值时，注意运用奇偶性的定义，列出关于参数的方程并求解即可；（2）解答关于指数函数有关的不等式恒成立综合问题时，要先对原不等式进行变形，利用换元法将原不等式化为熟悉的简单不等式模型求解，或采用参变分离法，转化为讨论函数的最值来求解.23．已知函数()ln(1)x f x e mx =+-是定义在R 上的偶函数.（1）求m 的值；（2）设1()()2h x f x x =+， ①若()ln(21)h x a ≥-对于[0]，x e ∀∈恒成立，求a 的取值集合；②若[22e]，a ∃∈，使得不等式()ln(21)h x a ≥-有解，求x 的取值集合. 答案：（1）12m =；（2）①13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；②{}|ln2x x ≥. （1）由函数为偶函数可得()()f x f x -=，代入即可求解.（2）①将不等式转化为1210x e a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立，求出e 1x y =+在[]0,e 上的最小值，只需()min 1210x e a +≥->，解不等式即可；②不等式转化为1210x e a +≥->在22a e ≤≤时有解，求出21y a =-在[22e]，上的最小值，只需()min 121x e a +≥-即可求解. 解：（1）根据题意()f x 的定义域是R()ln(1)x f x e mx =+-()ln(1)ln(1)(1)x x f x e mx e m x -∴-=++=++-又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=因此(1)mx m x -=-恒成立，故12m = （2）①1()()=ln(e 1)2x h x f x x =++不等式()ln(21)h x a ≥-等价于1210x e a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立因为e 1x y =+在[0]，x e ∈时是增函数，所以min (1)2x e +=，因此2210a ≥->，解得1322a <≤ 所以a 的取值集合为13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ ②不等式ln(e 1)ln(21)x a +≥-在22a e ≤≤时有解，等价于1210x e a +≥->在22a e ≤≤时有解，因为21y a =-在[22]，a e ∈时是增函数，所以min (21)3a -=， 所以13x e +≥，解得ln 2x ≥，所以x 的取值集合为{}|ln2x x ≥.点评：关键点点睛：本题考查了函数的奇偶性求参数值，不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是利用对数函数的单调性将不等式转化为求函数的最值问题，注意转化变量，考查了转化与化归的思想.。
高一数学上学期期末考试试题
吉林省吉林市2021-2021学年高一数学上学期期末考试试题第I 卷〔选择题〕一、选择题〔本大题共12小题，每题4分，共48分〕1．以下函数中与函数y x =相同的一个是〔 〕A ．()2y x =B ．2x y x =C ．33y x =D ．2y x = 2．假设某几何体的三视图如下图，其中正视图与侧视图是两个全等的等腰三角形，那么此几何体的外表积是〔 〕A ．36πB ．30πC ．24πD ．15π3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么〔 〕A ．假设//m α，//n α，那么//m nB ．假设//m α，//m β，那么//αβC ．假设m α⊥，n α⊥，那么//m nD ．假设//m α，αβ⊥，那么//m β4．三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两互相垂直，且长度分别为1、6、3，那么这个三棱锥的外接球的外表积为〔 〕A ．16πB ．32πC ．36πD ．64π5．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为〔 〕A ．〔0,2〕，2B ．〔2,0〕，2C ．〔-2,0〕，4D ．〔2,0〕，46．给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；俯视图侧视图正视图58④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 ( )A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④7．直线0133=+-y x 的倾斜角是〔 〕 A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1358．假设两平行直线1l ：02=+-m y x )0(>m 与2l ：062=-+ny x 之间的距离是5，那么=+n m 〔 〕A ．0B ．1C ．2-D ．1-9．过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，那么=||MN 〔 〕 A ．10 B ．180 C ．36 D ．5610．点()(1,2),3,1A B ，那么线段AB 的垂直平分线的方程是( )．A ．4250x y +-=B ．4250x y --=C ．250x y +-=D ．250x y --=11．正方体1111ABCD A B C D -中直线1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值是〔 〕A.33B.22C.32D.3 12．函数()ln 37f x x x =+-的零点所在区间为〔 〕A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)第II 卷〔非选择题〕二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕13．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，3()log (1)f x x =+，那么(2)f -= ．14．直线:4l mx y -=，假设直线l 与直线(1)2x m m y +-=垂直，那么m 的值为 ． 15．过点()1,2M 且在坐标轴上截距相等的直线方程为 ．16．一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．以上四个命题中，正确命题的序号是三、解答题〔本大题共5大题，共56分〕17．〔总分值10分〕如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点. 〔1〕求证：PA //平面BDE 〔2〕求证：BD ⊥平面PAC .18．〔总分值10分〕ABC ∆的三个顶点分别为()()()3,2,1,2,0,3--C B A ，求：〔1〕BC 边所在直线的方程；〔2〕BC 边上中线AD 所在直线的方程.19．〔总分值12分〕如下图，在三棱锥A BOC -中，OA ⊥底面BOC ，∠OAB ＝∠OAC ＝30°，AB ＝AC ＝4，BC ＝22，动点D 在线段AB上.EO BDCA P〔1〕求证：平面COD ⊥平面AOB ；〔2〕当OD ⊥AB 时，求三棱锥C OBD -的体积.20.〔总分值12分〕求经过坐标原点和点(1,1)P ，并且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程.21．〔总分值12分〕圆方程04222=+--+m y x y x .〔1〕求m 的取值范围；〔2〕假设圆与直线042=-+y x 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥〔O 为坐标原点〕， 求m 的值； 〔3〕在〔2〕的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.参考答案1．C 2．A 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C13．1- 14．0或2 15．2x-y=0或x+y-3=0 16．①③17．证明：〔1〕连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线……………2分∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE …………………………………………5分〔2〕∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO BD ⊥，………………………………………….…6分∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，………………………………………….…7分∵PO AC O =，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC …………………………………….…10分18．解：〔1〕 直线BC 经过()2,1B 和()2,3C -两点，∴由两点式得BC 的方程为123122y x --=---， 即240x y +-=………………………………………….5分〔2〕易得BC 边的中点D 的坐标为()0,2，BC 边的中线AD 过点()()3,0,0,2A D -两点，∴由截距式得AD 所在直线方程为132x y +=-， 即2360x y -+=……………………………………….10分19．解：〔1〕∵AO ⊥底面BOC ，∴AO ⊥OC ， AO ⊥OB ………………………………… 2分 ∵∠OAB ＝∠OAC ＝30°，AB ＝AC ＝4，∴OC ＝OB ＝2. 又BC ＝22， ∴OC ⊥OB ，∴OC ⊥平面AOB …………………………………………4分∵OC ⊆平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ………………………………….6分〔2〕∵OD ⊥AB ，∴BD ＝1，OD 3∴V C －OBD ＝ 13OBD S OC =13×12×3×1×2＝33 …….12分 20．解：显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：()()222211x y x y +=-+-，即x ＋y －1＝0…………………3分 解方程组102310x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得圆心C 的坐标为〔4，－3〕………8分又圆的半径r ＝|OC|＝5，…………………………………………..10分∴所求圆的方程为〔x －4〕2＋〔y ＋3〕2＝25. …………………..12分21．解：〔1〕由04222=+--+m y x y x 得:2,4,D E F m =-=-= 2242040D E F m +-=-> 5<m ………………4分〔2〕由题意⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x 把y x 24-=代入04222=+--+m y x y x得081652=++-m y y 51621=+y y ，5821m y y += ∵OM ON ⊥得出：02121=+y y x x∴016)(852121=++-y y y y∴58=m ………………………………………………8分 〔3〕设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a 半径554=r 圆的方程516)58()54(22=-+-y x ………………12分。
2020-2021长春市高中必修一数学上期末试题带答案
，
所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.
【详解】
因为 ,所以 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数，属于中档题.
【详解】
因为当 时 为单调递减函数，又 ，所以函数 为偶函数，因此不等式 恒成立，等价于不等式 恒成立，即 ，平方化简得 ，
当 时， ；
当 时， 对 恒成立， ；
当 时， 对 恒成立， （舍）；
综上 ，因此实数 的最大值是 .
【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据已知条件得出 ，可得出 ，然后解不等式 ，解出 的取值范围，即可得出正整数 的最小值.
【详解】
由题意，前 个小时消除了 的污染物，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
则由 ，得 ，
所以 ，
故正整数 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
A．（-1，2]B．[-1,2]C．（-1，2）D．[-1,2)
7．设函数 是定义为R的偶函数，且 对任意的 ，都有 且当 时， ，若在区间 内关于 的方程 恰好有3个不同的实数根，则 的取值范围是 （ ）
2020-2021学年长春八中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年长春八中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.下列命题中：①若x，y∈C，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若复数z1，z2，z3满足(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3．正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 32.定义在R上的函数f(x)，且f(x)，f(x+1)都是偶函数，当x∈[−1,0)时f(x)=(12)x，则f(log28)等于()A. 3B. 18C. −2D. 23.已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列(即a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N∗))的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为()A. 169π4B. 21π2C. 13π2D. 4π4.已知f(x+1)=f(x−1)，f(x)=f(−x+2)，方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根x=12,则f(x)=0在区间[0,2013]内根的个数为()A. 2011B. 1006C. 2013D. 10075.下列命题中，真命题是A. ，使得B. 函数有两个零点C. 的充要条件是D. 是的充分不必要条件6.已知锐角A，B满足2tanA=tan(A+B)，则tanB的最大值为()．A. 2B.C.D.7.已知x，y为正实数，则()．A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgyB. 2lg(x+y)=2lgx·2lgyC. 2lgx·lgy=2lgx+2lgyD. 2lg(xy)=2lgx·2lgy8.已知则()A. [，+∞)B. (0,)C. (0,+∞)D. (−∞,0]∪[，+∞)9.当曲线y=1+√1−x2与直线y=k(x−3)+3有两个不同交点时，则k的取值范围为()A. (3−√34,3+√34) B. (3−√34,12]C. (3−√34,12) D. (12,3+√34)10.设函数f(x)=ln|2x+1|+ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递增二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.设a=log26,b=log316，则下列结论正确的有()A. a+b<0B. 1a −1b=1 C. ab<0 D. 1a2+1b2>1212. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱BB 1，B 1C 1，CC 1的中点，则下列结论正确的是( )A. A 1C ⊥平面D 1MNB. 点P 与点D 到平面D 1MN 的距离相等C. 平面D 1MN 截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面图形为等腰梯形D. 平面D 1MN 将正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1分割成的上、下两部分的体积之比为7：17三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(4,12)，则实数a = ______ ． 14. 已知sinα=13，则cos 2(α2+π4)= ______ ． 15. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1． (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(α+π6)=√32f(α−π12)，且f(α)=f(β)，角α，β的终边不共线，求tan(α−β)的值．16. 已知函数f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 25)= ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共70.0分） 17. (1)求值：sin50°(1+√3tan10°)(2)已知：sinx −cosx =15，0≤x ≤π，求sin(2x −π4)的值．18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)，x ∈R ，其中(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3,−2)． (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈[0,π12]时，求f(x)的最值．19. 已知函数f(x)=ln(e x +a +1)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程1nxf(x)=x 2−2ex +m 有且只有一个实数根，求m 的值．20.已知函数f(x)=asinx⋅cosx−√3acos2x+√3a+b．2(1)当a>0写出函数的单调递减区间；]，求f(x)的最值．(2)设x∈[0,π221.已知函数f(x)=(4−3a)x2−2x+a，x∈[0,1]，求f(x)的最大值．参考答案及解析1.答案：A解析：解：对于①，若x，y∈R，则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1，故①错误；对于②，纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集和实数集，故②错误；对于③，若实数z1，z2，z3满足(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3.而复数不一定成立，故③错误．故选：A．直接利用复数的运算，负数的分类，复数的运算判断①②③的结论．本题考查的知识要点：复数的运算，负数的分类，复数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由f(x+1)是偶函数，可得f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)为周期为2的周期函数，∴f(log28)=f(3log22)=f(3)=f(3−4)=f(−1)．又当x∈[−1,0]时，f(x)=(12)x，∴f(log28)=f(−1)=2．故选：D．由函数f(x+1)是偶函数，可得f(−x+1)=f(x+1变形得到函数的周期，然后利用函数的周期性把f(log28)转化为求给出的函数解析式范围内的值，从而得到答案．本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．3.答案：C解析：解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13，对应的弧长l=2π×13×14=13π2，故选：C．根据题意，分析要求所对应的扇形的弧，所在圆的半径，由弧长公式可得答案．本题主要考查了斐波那契数的规律，扇形的弧长公式，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵f(x)=f(−x +2)，∴f(x)的图象关于直线x =1对称，即f(1−x)=f(1+x)． 又f(x +1)=f(x −1)，∴f(x −1)=f(1−x)，即f(x)=f(−x)，故函数f(x)为偶函数． 再由f(x +1)=f(x −1)可得f(x +2)=f(x)，故函数f(x)是周期等于2的周期函数， ∵f(12)=0，∴f(−12)=0，再由周期性得f(−12+2)=f(32)=0，故函数f(x)在一个周期[0,2]上有2个零点，即函数f(x)在每两个整数之间都有一个零点， ∴f(x)=0在区间[0,2013]内根的个数为2013， 故选C ；由条件推出f(1−x)=f(1+x)，进而推出f(x)为偶函数，且f(x)是周期等于2的周期函数，根据f(12)=0，求出f(32))=0，从而得到函数f(x)在一个周期的零点个数，且函数f(x)在每两个整数之间都有一个零点，从而得到f(x)=0在区间[0,2013]内根的个数．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．5.答案：D解析：选项A 因，，故A 错．选项B 当时，，当时，可知，函数有一个零点是负值，同时还有两个零点与，故B 错．选项C 当时，显然知不是充要条件．故选D ．6.答案：D解析：根据公式可得：tanB =tan[(A +B)−A]===，又tanA >0，则+2tanA ≥2，则tanB ≤=．[注]直接按和角公式展开也可．7.答案：D解析：根据指数与对数的运算法则可知， 2lgx+lgy =2lgx ·2lgy ，故A 错，B 错，C 错； D 中，2lg(xy)=2lgx+lgy =2lgx ·2lgy ，故选D ．8.答案：A解析：解：U =，P =，则[，+∞)，故选 A ．9.答案：B解析：解：由y =1+√1−x 2，得x 2+(y −1)2=1(y ≥1)， 直线y =k(x −3)+3恒过定点(3,3)， 作出两曲线图象如图：由圆心(0,1)到直线kx −y −3k +3=0的距离等于1，可得√k 2+1=1，解得k =3−√34或k =3+√34．又k PA =3−13−(−1)=12，∴当曲线y =1+√1−x 2与直线y =k(x −3)+3有两个不同交点时，则k 的取值范围为(3−√34,12].故选：B ．把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合求解．本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．10.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)=ln|2x +1|+ln|2x −1|，必有{|2x +1|≠0|2x −1|≠0，则有x ≠±12，即函数的定义域为{x|x ≠±12}，f(−x)=ln|−2x +1|+ln|−2x −1|=ln|2x +1|+ln|2x −1|=f(x)，即函数f(x)为偶函数， f(x)=ln|2x +1|+ln|2x −1|=ln|4x 2−1|，设t =|4x 2−1|，x ≠±12，则y =lnt ，t =|4x 2−1|={4x 2−1,x <−121−4x 2,−12<x <124x 2−1,x >12，在区间(−∞,−12)、(0,12)上，t =|4x 2−1|为减函数，而y =lnt 为增函数，则f(x)为减函数， 在区间(−12,0)、(12,+∞)上，t =|4x 2−1|为增函数，而y =lnt 为增函数，则f(x)为增函数， 故选：A ．根据题意，先求出函数的定义域，分析f(−x)与f(x)的关系，即可得函数的奇偶性，设t =|4x 2−1|，x ≠±12，则y =lnt ，由复合函数的单调性判断方法分析可得f(x)的单调性，综合即可得答案．本题考查复合函数的单调性以及函数奇偶性的判断，涉及分段函数的单调性，属于基础题．11.答案：BCD解析：本题考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于中档题．根据对数的运算性质和不等式的性质判断ABC ，根据基本不等式判断D ．解：设a =log 26,b =log 316，则a +b =log 26+log 316=log 26−log 36>0，故A 错误；1a−1b=log 62+log 63=log 66=1，故B 正确；∵a =log 26>0，b =log 316<0， ∴ab <0，故正确；1a 2+1b 2=(log 62)2+(−log 63)2=(log 62)2+(log 63)2=(log 62+log 63)2−2log 62log 63>1−2×(log 62+log 632)2=1−12=12，故D 正确．故选：BCD ．12.答案：BCD解析：解：设AB =1，建立空间直角坐标系如图所示：对于A ，A 1(1,0,1)，C(0,1,0)，所以A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)， M(1,1,12)，N(12,1,1)，D 1(0,0,1)，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12)，D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,0)， 设平面D 1MN 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅D 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +12z =012x +y =0，令x =1，得y =−12，z =1，所以n⃗ =(1,−12,1)， 因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 不共线，所以因为GF//D 1C//A 1B ， 所以A 1C 与平面D 1MN 不垂直，选项A 错误；对于B ，P(0,1,12)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，点P 到平面D 1MN 的距离为d 1=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+14+1=23，D(0,0,0)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,12)，点D 到平面D 1MN 的距离为d 2=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=|1−12+12|√1+14+1=23，所以点P 与点D 到平面D 1MN 的距离相等，选项B 正确；对于C ，连接AD 1，AM ，则四边形AD 1MN 是平面D 1MN 截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面图形， 因为MN//AD 1，且MN ≠AD 1，所以四边形AD 1MN 是梯形， 又因为AM =D 1N ，所以梯形AD 1MN 是等腰梯形，选项C 正确； 对于D ，平面D 1MN 将正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1分割成的上、下两部分，计算几何体B 1MN --A 1AD 1的体积为V 1=13×(12×12×12+√12×12×12⋅12×1×1+12×1×1)×1=724，另一部分几何体的体积为V 2=13−724=1724，所以上、下两部分的体积之比为V 1：V 2=7：17，选项D 正确．故选：BCD．设AB=1，建立空间直角坐标系，利用向量表示直线的方向向量，求出平面D1MN的法向量，由此判断A1C与平面D1MN不垂直，得出选项A错误；分别计算点P到平面D1MN的距离和点D到平面D1MN的距离，判断选项B正确；画出平面D1MN截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面图形，判断四边形AD1MN是等腰梯形，得出选项C正确；计算平面D1MN将正方体ABCD−A1B1C1D1分割成的上、下两部分体积，求出体积比，判断选项D 正确．本题以命题的真假判断为载体，考查空间中的线面之间的关系和多面体的体积计算问题，是中档题．13.答案：−12解析：解：幂函数f(x)=x a的图象经过点(4,12)，∴4a=12，解得a=−12．故答案为：−12．把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，求出a的值即可．本题考查了用待定系数法求幂函数解析式的应用问题，是基础题目．14.答案：13解析：解：化简可得cos2(α2+π4)=1+cos(α+π2 )2=1−sinα2=1−132=13故答案为：13由二倍角的余弦公式的变形应用及诱导公式可把原式变为sinα的式子，代值计算可得．本题考查二倍角的余弦公式的变形应用，属基础题．15.答案：解：(1)∵f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，求得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3(k ∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k ∈Z)．(2)f(α+π6)=√32f(α−π12)，2sin(2α+π2)=√3sin(2α)，即2cos2α=√3sin2α，tan2α=2√33． 若角α，β的终边不共线，且f(α)=f(β)， ∴2sin(2α+π6)=2sin(2β+π6)，∴2α+π6+2β+π6=2kπ+π，k ∈z ，∴α+β=kπ+π3， 故tan(α+β)=√3．tan(α−β )=tan[2α−(α+β )]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=2√33−√31+2√33×√3=−√39． 解析：(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解即可．(2)由题意可得tan2α的值，2sin(2α+π6)=2sin(2β+π6)，由此求得α+β的值，利用角的变换可得tan(α−β )的值．本题主要考查利用三角恒等变换进行化简求值，复合三角函数的单调性与对称性，属于中档题．16.答案：54解析：解：log 25∈(2,3)，log 25−2<1．函数f(x)={2x ,x <1f(x −1),x ≥1，则f(log 25)=f(log 25−1)=f(log 25−2)=f(log 254)=2log 254=54．故答案为：54．判断log 25的范围，利用分段函数求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，对数运算法则的应用，考查计算能力．17.答案：解：(1)sin50°(1+√3tan10°)=sin50°(1+√3sin10°cos10∘)=sin50°⋅cos10°+√3sin10°cos10°=sin50°⋅2(12cos10°+√32sin10°)cos10°=sin50°⋅2sin40°cos10∘=sin80°cos10∘=1；(2)∵sinx −cosx =15，sin 2x +cos 2x =1， 又0≤x ≤π， ∴sinx >0．解方程组可得{sinx =45cosx =35，∴sin2x =2sinxcosx =2425，cos2x =cos 2x −sin 2x =−725． ∴sin(2x −π4)=√22sin2x −√22cos2x =√22×2425−√22×(−725)=31√250． 解析：(1)利用切化弦，然后利用三角函数的诱导公式化简即可； (2)利用同角三角函数基本关系式以及三角函数的诱导公式化简求值即可．本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．18.答案：(本题满分12分)解：(1)由最低点为M(2π3,−2)，得A =2， 由T =π得ω=2πT=2ππ=2，∴f(x)=2sin(2x +φ)．由点M(2π3,−2)在图象上，得2sin(4π3+φ)=−2 即sin(4π3+φ)=−1， ∴4π3+φ=2kπ−π2，k ∈Z ，即φ=2kπ−11π6，k ∈Z ，又φ∈(0,π2)，∴k =1，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x +π6)． (2)∵x ∈[0,π12]，∴2x +π6∈[π6,π3]，∴当2x +π6=π6，即x =0时，f(x)取得最小值1； 当2x +π6=π3，即x =π12时，f(x)取得最大值√3．解析：(1)利用函数的周期以及函数的最值，求解A ，ω，ϕ即可得到函数的解析式． (2)通过x 的范围求出函数的相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可．本题考查三角函数的解析式的求法，注意正弦函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．19.答案：解：(1)函数f(x)=ln(e x +a +1)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，故f(0)=ln(2+a)=0，∴a =−1，函数f(x)=ln(e x )=x ．(2)由(1)知，关于x 的方程1nxf(x)=x 2−2ex +m ，即lnx x=x 2−2ex +m ．令f 1(x)=lnx x，f 2(x)=x 2−2ex +m ，∵f 1′(x)=1−lnx x，故当x ∈(0,e]时，f 1′(x)≥0，函数f 1(x)=lnx x为增函数；当x >e 时，f 1′(x)<0，函数f 1(x)=lnx x为减函数，故当x =e 时，f 1(x)=lnx x取得最大值为1e ．对于函数f 2(x)=x 2−2ex +m ，在(0,e]上是减函数，在(e,+∞)上是增函数， 故当x =e 时，函数f 2(x)=x 2−2ex +m 取得最小值为m −e 2．要使关于x 的方程1nxf(x)=x 2−2ex +m 有且只有一个实数根，只有1e =m −e 2，求得m =e 2+1e ， 即当m =e 2+1e 时，关于x 的方程1nxf(x)=x 2−2ex +m 有且只有一个实数根． 解析：(1)由条件利用其函数的性质，求得实数a 的值． (2)关于x 的方程即lnx x =x 2−2ex +m ，令f 1(x)=lnx x，f 2(x)=x 2−2ex +m ，利用导数求得f 1(x)=lnx x取得最大值为1e ，函数f 2(x)=x 2−2ex +m 的最小值为m −e 2.再根据1e =m −e 2，求得m 的值．本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．20.答案：解：(1)f(x)=asinxcosx −√3acos 2x +√32a +b =a 2sin2x −√32a(1+cos2x)+√32a +b =asin(2x −π3)+b ，因为a >0，则由π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，则5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ,k ∈Z ，则函数的单调递减区间为[5π12+kπ,11π12+kπ],k ∈Z ，(2)当x ∈[0,π2]时，2x −π3∈[−π3,2π3]，则sin(2x −π3)∈[−√32,1]，当a >0时，最大值为a +b ，最小值为−√32a +b ，当a =0时，无最值，当a <0时，最大值为−√32a +b ，最小值为a +b ．解析：(1)利用三角函数恒等变换的应用可求f(x)=asin(2x −π3)+b ，由a >0，利用正弦函数的单调性即可求解函数的单调递减区间． (2)当x ∈[0,π2]时，可求范围2x −π3∈[−π3,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解其最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于基础题．21.答案：解：(1)当4−3a =0，即a =43时，f(x)=−2x +a 为[0,1]上的减函数，所以f(x)的最大值f(0)=a(2)当4−3a >0，即a <43时，函数图象是开口向上的抛物线，因此函数在x ∈[0,1]时的最大值为f(0)或f(1)，∵f(0)=a ，f(1)=4−3a −2+a =2−2a ， ∴f(0)−f(1)=3a −2①当a =23时，f(0)=f(1)=23，函数的最大值是23 ②当a <23时，f(0)<f(1)，函数的最大值为f(1)=2−2a ③当23<a <43时，f(0)>f(1)，函数的最大值为f(0)=a(3)当4−3a <0，即a >43时，函数图象是开口向下的抛物线，关于直线x =14−3a 对称 ∵14−3a <0∴f(x)在区间[0,1]上是减函数，函数的最大值为f(0)=a 综上所述，得f(x)的最大值为g(a)={a (a ≥23)2−2a (a <23)解析：分三种情况讨论：(1)当a =43时，函数为一次函数，根据单调性可得函数的最大值；(2)当a <43时，根据函数图象可得最大值为f(0)或f(1)，比较f(0)与f(1)的大小，即可得到函数最大值的情况；(3)当a >43时，函数图象是开口向下的抛物线，关于直线x =14−3a 对称，根据函数的单调性可得的最大值．最后综合可得f(x)的最大值的表达式．本题给出含有字母参数的二次函数，求函数的最大值，着重考查了二次函数在闭区间上的最值的求法，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
吉林省吉林市2020-2021学年高一上学期期末调研测试数学试题答案
吉林市普通中学2020—2021学年度高一年级上学期期末调研测试数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分. 其中，11题、 12题全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 其中，16题第一空3分，第二空2分 .13.3 14. 50π 15.3π16. （0，3] (3分)， （3，+∞） （2分） 三、解答题：共70分，本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）由题知：4sin 5α=..........................................2分 因为sin 2α+cos 2α＝1，所以3cos 5α=± .............................3分又因为α为第二象限角，所以3cos 5α=-..............................4分所以，sin 4tan cos 3ααα==-...........................................5分（2）原式＝(sin )cos cos tan αααα-++- .................................7分 43()2()55=4()3-+⨯---.......................................9分 32=- ................................................10分18.【解析】（1）因为0,0x y >>,404x y ∴=+≥=分(当且仅当4x y =,即=205，x y =时等号成立).................3分 所以100xy ≤,..............................................4分 因此xy 的最大值为100......................................5分(2) 因为440x y +=,即1(4)140x y +=...........................6分 所以11111=(x 4y)()40x y x y+++ 1419(5)(5404040y x x y =++≥+=........9分 (当且仅当2x y =,即4020=33，x y =时等号成立)...............11分 所以11x y +的最小值为940....................................12分 19.【解析】（1）∵函数1cos 1()222x f x x +=++ ..........................2分 sin()16x π=++ .......................................4分∴函数的周期为2π............................................6分（2）<选择①> 依题意：()cos(2)16g x x π=-++ ........................8分令2=26x k πππ++，即5=()12x k k Z ππ+∈................9分 使函数()g x 取得最大值2，即 max ()2g x = ................10分 使函数()g x 取得最大值的集合为5{|=,}12x x k k Z ππ+∈.........12分<选择②> 依题意：()cos(2)16g x x π=-++ .........................8分令2=26x k πππ++，即5=()12x k k Z ππ+∈ ...............9分 使函数()g x 取得最大值2，即 max ()2g x = ................10分使函数()g x 取得最大值的集合为5{|=,}12x x k k Z ππ+∈...................12分19.【解析】（1）令120x x ==，则有(0)2(0)(0)0，f f f =∴=...................1分令12,x x x x ==-，则有()()()(0)f x f x f x x f +-=-=.............2分 所以()()0，f x f x +-=即()()f x f x -=-............................3分 因此()f x 为R 上的奇函数...........................................4分 (2)令121x x ==-，则有(2)2(1)224f f -=-=⨯=....................6分所以不等式()(3)4f x f x --<化为()(3)(2)f x f x f --<-...........7分由于()f x 为R 上的奇函数，所以(3)(3)f x f x --=-.................8分 所以()(3)()(3)(23)f x f x f x f x f x --=+-=-...................9分 因此不等式进一步化为(23)(2)f x f -<-.............................10分 已知函数()f x 是定义在R 上的减函数所以有232x ->-，解得12x >......................................11分因此不等式的解集为1()2，+∞........................................12分 21.【解析】（1）由总成本21()150600P x x x =++， 可得每台机器人的平均成本21150()11506001600x x P x y x x x x++===++ ...2分因为1150112600y x x =++≥= ...........................4分 当且仅当150=600x x，即300x =时，等号成立.............................5分 ∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台............................6分 （2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当130m ≤≤时，300台机器人的日平均分拣量为2160(60)1609600m m m m -=-+∴当30m =时，日平均分拣量有最大值144000..............8分当30m >时，日平均分拣量为480300144000⨯=...........................9分∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件..................10分 若传统人工分拣144000件，则需要人数为144000=1201200（人）................11分 ∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=（人）...... ..12分 22（理科）【解析】（1）方法一、因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，...............1分即1(0)01m f n -==+，所以1m =，这样12()2xxf x n -=+，...................2分 由(1)(1)f f -=-得11121222n n ----=-++，解得1n =.........................3分把1m n ==代入解析式得12()12xx f x -=+1221()()1221x x x x f x f x -----===-++满足题意..............................4分方法二、因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-即22212221x x x x x xm m m n n n ----⋅-=-=-++⋅+，....................................1分 化简得1()(14)(1)20xx m n mn +--+-=..................................2分由于x R ∈,所以有010m n mn -=⎧⎨-=⎩..........................................3分解得1m n ==.........................................................4分（2）因为12()12xxf x -=+，..................................................5分所以221212(12)g()2222122x x x x xx x xx --++=⨯==++-......................7分 设22xxu -=+，因为x R ∈且0x ≠，222x x -+>=所以2u >.............................................................8分 因为2222(2)222(22)xx x x g x u --=++=+=.............................9分所以不等式可化为216u tu ≥-，即16t u u≤+在2u >时恒成立.............10分由基本不等式得168u u +≥=，当且仅当4u =时等号成立.........11分 所以实数t 的取值范围是(,8]-∞.........................................12分 22（文科）【解析】（1）根据题意()f x 的定义域是R ...........................1分()ln(1)x f x e mx =+-()ln(1)ln(1)(1)x x f x e mx e m x -∴-=++=++-.......................2分又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=...................................3分因此(1)mx m x -=-恒成立，故12m =..................................4分 (2) 1()()=ln(e 1)2x h x f x x =++.........................................5分 不等式()ln(21)h x a ≥-等价于1210xe a +≥->对于[0]，x e ∀∈恒成立..6分因为1xy e =+在[0]，x e ∈时是增函数，所以min (1)2x e +=所以..........7分 因此2210a ≥->，解得1322a <≤.....................................8分 所以a 的取值集合为13|22a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭....................................9分 不等式ln(e 1)ln(21)xa +≥-在22a e ≤≤时有解等价于1210xe a +≥->在22a e ≤≤时有解.............................10分 因为21y a =-在[22]，a e ∈时是增函数，所以min (21)3a -=所以13xe +≥，解得ln2x ≥...........................................11分所以x 的取值集合为{}|ln2x x ≥......................................12分。
吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期末复习试题2
吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期末复习试题2吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期末复习试题2年级：姓名：12 吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期末复习试题2一、单选题1．已知集合{}lg 0A x x =>，{}1B x x =≤,则（ ）A ．AB φ⋂≠ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2．若42ππα<<，则点()cos sin ,sin tan P αααα--位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 已知a b >，则下列结论正确的是（ ）A ．a b >B ．11a b <C ．a ba b a b >-- D ．22a b >4． 设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c5． 函数f(x)＝1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩ 的值域是( )A ．RB ．[－1,1]C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}6． 设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=3A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7． 命题2000:,560p x R x x ∃∈-+≥,则( )A ．2000:,560p x R x x ⌝∃∈-+<B ．2000:,560p x R x x ⌝∃∉-+≥C ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+<D ．2:,560p x R x x ⌝∀∈-+≥8． 若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则2244 42a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32 D．9． 已知3sin 4cos 2cos 2sin αααα+=+，则21sin cos cos ααα--的值是（ ） A ．25- B ．25 C ．-2 D ．210． 已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-，在区间[]2,m -上有2020个零点，则m 的取值范围是( )A ．2015,10082⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20171008,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2017,10092⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20191009,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4二、多选题11． 函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则（ ） A ．图象C 关于直线1112x π=对称；B ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数； C ．图象C 向左平移512π个单位长度，得到的图象关于y 轴对称； D ．图象C 关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称. 12． 已知(2)y f x =+为奇函数，且(3)(3)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，4()2log (1)1x f x x =++-，则（ ）A ．()f x 的图象关于(2,0)-对称B ．()f x 的图象关于(2,0)对称C ．4(2021)3log 3f =+D ．3(2021)2f = 三、填空题13． 设函数()2,052,5x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么()5f 的值为______. 14． 如图所示，已知全集U =R ，{|23}A x x =-≤≤，15{|}B x x =-≤≤，则图中的阴影部分表示的集合为___________．515． ()tan315tan570tan 60tan675︒+︒=-︒-︒________. 16． 如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数2log y x =，12y x =，22x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.四、解答题17． 已知1:2123x p --≤-≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 18． 已知f (x )＝11x x-+ (x ≠－1).求： （1）f (0)及12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）f (1－x )及f (f (x )).619． 已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （1）求tan α，sin 2α的值；（2）求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 20． 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值是x 的值. 21．已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）当[,]24ππx ∈-时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （3）（*）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.参考答案1．B【分析】化简集合A ，再根据两个集合的特征即可确定出两个集合的关系.【详解】 因为{}{}lg 01A x x x x =>=>，{}1B x x =≤，所以A B R =.故选B ．【点睛】本题考查集合的运算，对数不等式的解法，集合间的关系，属于基本知识考查题.2．C【分析】 根据42ππα<<即可判断cos α、sin α、tan α的大小关系，又()cos sin ,sin tan P αααα--，即可知P 所在的象限.【详解】 由42ππα<<知：cos sin 1tan ααα<<<∴cos sin 0αα-<，sin tan 0αα-<故，P 位于第三象限故选：C【点睛】本题考查了在某一区间内同角三角函数的大小比较，即知含三角函数的代数式符号，依据象限角的符号确定点的象限3．C【分析】采用对,a b 取特殊值，逐一验证，以及利用不等式的性质，可得结果【详解】取2,3a b =-=-，故A 错取2,3a b ==-，故B 错由a b >，所以0a b ->，所以a b a b a b>-- 故C 正确取2,3a b =-=-，故D 错故选：C【点睛】 本题主要考查不等式的性质，对不等式来讲，两边同乘或同除一个正数，不等号方向不会改变，同时，小题目采用取特殊值更加简单，属基础题. 4．B【分析】直接利用对数的运算性质，对选项进行逐一分析判断即可.【详解】由log a b·log c b＝lglgba·lglgbc≠log c a，故A错；由log a b·log c a＝lglgba·lglgac＝lglgbc＝log c b.故B正确；对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：B.【点睛】本题考查对数的运算性质，属简单题.5．D【解析】【分析】由函数解析式可得函数值只有三个数：1,0,1，从而可得结果.【详解】函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，所以函数值只有三个数：1,0,1-，∴函数()f x 的值域为{}1,0,1-，故选D.【点睛】本题主要考查函数的解析式与值域的理解与应用，属于简单题.6．D【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7．C【解析】【分析】根据特征命题的否定,即可求得答案.【详解】命题2000:,560p x R x x ∃∈-+≥根据存在性命题的否定是全称性命题:∴命题2000:,560p x R x x ∃∈-+≥的否定是: 2:,560p x R x x ⌝∀∈-+<故选:C.【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,解题关键是掌握特称命题的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.8．A【分析】由()()f a f b =推导出1b a=，且01a <<，将所求代数式变形为224424 4222a b a b a b a b+-+=-++，利用基本不等式求得2a b +的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数()ln f x x =满足()()f a f b =，()()22ln ln a b ∴=，即()()ln ln ln ln 0a b a b -+=，0a b <<，ln ln a b ∴<，ln ln 0a b ∴+=，即()ln 01ab ab =⇒=，21ab a ∴=>，则01a <<，由基本不等式得122a b a a +=+≥=12a =时，等号成立. ()()()()2222244284424 42222222a b ab a b a b a b a b a b a b a b+--+-+-+===-++++，由于函数42x y x=-在区间)⎡+∞⎣上为增函数，所以，当2a b +=224442a b a b +-+取得最小值02=. 故选：A.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.9．B【分析】计算得到tan 2α=，再利用齐次式得到222tan tan 1sin cos cos tan 1αααααα---=+得到答案.【详解】3sin 4cos 2cos 2sin αααα+=+，则3tan 4212tan αα+=+，故tan 2α=. 2222222sin sin cos tan tan 1sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1αααααααααααααα----=-==++ 25= 故选：B .【点睛】本题考查了利用齐次式求值，意在考查学生的计算能力.10．A【分析】由函数的奇偶性，对称性及周期性，结合函数的图象的作法，分别求得函数()y f x =和sin y x =π的图象，观察其交点的分布规律，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以()00f =，且()()f x f x -=-，又()()20f x f x -+=，可得()()2f x f x -=-，可得函数()f x 的图象关于点(1,0)对称，联立可得()()2f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又由函数sin y x =π的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称，因为当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，由图象可知，函数()2log f x x =-和sin y x =π的图象在[1,1]-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点，即一个周期内有4个零点， 要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[]2,m -上有2020个零点， 其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点， 可得实数m 满足2016120162244m -⨯≤<⨯，即2015,10082m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选A .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性、对称性和周期性，以及结合函数的图象进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．ABC【分析】本题利用直接法对4个命题进行逐一判定，不正确的可列举反例即可.【详解】对于A，11321232πππ⨯-=，故A正确；对于B，5,1212xππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322xπππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，故B正确；对于C，553sin23sin22cos2 121232f x x x xππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数关于y轴对称，故C正确；对于D ，2333πππ⨯-=，故D 不正确；故选：ABC【点睛】 本题考查了三角函数的性质，需熟记三角函数的对称轴、中心对称点以及单调性，属于基础题.12．ABD【分析】由(2)y f x =+为奇函数，可得(2)(2)f x f x +=--，从而得(3)(1)f x f x +=--，所以可得()f x 的图象关于(2,0)对称，所以B 正确，由已知条件可得函数()f x 的周期为4，A 正确；进而可求出(2021)f 的值，从而可对C ，D 作出判断【详解】(2)y f x =+为奇函数，(2)(2)f x f x ∴+=--，(3)(1)f x f x ∴+=--，同时说明()f x 的图象关于(2,0)对称．(3)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x ∴--=-，即()(2)f x f x -=+，可得(4)()f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4，所以()f x 的图象关于(2,0)-对称 故43(2021)(45051)(1)2log 212f f f =⨯+==+-=． 故选：ABD13．3【分析】直接将5代入函数解析式即可得结果.【详解】因为()2,052,5x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，所以()5523f =-=，故答案为：3.14．5}|3{x x <≤【分析】首先判断阴影部分表示()R A B ⋂，由此求得所求集合.【详解】由图可知，阴影部分表示()R A B ⋂.()(),23,R A =-∞-⋃+∞，{}|15B x x =-≤≤，所以(){}|35R A B x x ⋂=<≤.故答案为：5}|3{x x <≤【点睛】本小题主要考查集合交集、补集，属于基础题.15．3【分析】运用诱导公式和特殊角的三角函数值可得答案.【详解】()()()()tan 36045tan 720150tan 315tan 570tan 60tan 675tan 60tan 72045-+-+=----- ()()()()()tan 45tan 150tan 45tan150tan60tan 45tan 60tan45-+--+-==------1tan 18030-⎡⎤-+--=====，. 【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数值，关键在于将角根据诱导公式化为锐角的三角函数值，属于基础题.16．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标.【详解】由图像可知，点(),2A A x在函数y x =的图像上，所以2A x =，即2122A x ⎛== ⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =. 因为点()4,C C y在函数2x y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，所以4124C y ⎛== ⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．9m ≥【详解】解：由22210x x m -+-≤，得11m x m -≤≤+，:{1q A x x m ∴⌝=+或1,0}x m m -．由12123x --≤-≤，得210x -≤≤．:{10p B x x ∴⌝=或2}x <- p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则A 012,110m B m m >⎧⎪⇒-≤-⎨⎪+≥⎩9m ∴≥． 18．（1）1；1123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()()1,22x f x x x -=≠-，()()(),1f f x x x =≠-. 【分析】（1）根据函数解析式，代值计算即可；（2）根据()f x ，即可容易求得()()()1,f x f f x -. 【详解】（1）因为()()111xf x x x-=≠-+， 所以()100110f -==+，1111212312f -⎛⎫== ⎪⎝⎭+， 所以111113123213f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+；（2）因为()()111xf x x x-=≠-+， 又11x -≠-，故可得2x ≠，所以()()()()111,2112x xf x x x x---==≠+--， ()()()111,1111xx f f x x x x x--+==≠--++.【点睛】本题考查函数值的求解，涉及函数嵌套，注意函数定义域即可，属简单题.19．（1）43-，2425-；（2【分析】（1）首先利用同角三角函数关系求出4sin 5α=-，从而得到4tan 3α=-，再利用正弦二倍角公式计算sin 2α即可.（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案. 【详解】（1）因为3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 5α=-，所以4sin 45tan 3cos 35ααα-===-，24sin 22sin cos 25ααα==-.（2）314sin sin cos cos sin 333525πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题. 20．(Ⅰ)π；(Ⅱ)答案见解析. 【分析】（1）利用倍角公式化简整理函数()f x 的表达式，由周期2T πω=．（2）先求解52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图像求解最值． 【详解】：()()()442222cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x =--=+--cos2sin224x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭(1)最小正周期为π(2)由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当32,,48x x πππ+==即时 ()f x 的最小值为()f x 取最小值时x 的集合为3.8π⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】：三角函数()y Asin φx ω=+在闭区间内[]a,b 上的最值问题的步骤： （1）换元，令t φx ω=+，其中[]12t t t ∈， （2）画出三角函数y Asint =的函数图像． （3）由图像得出最值．21．（1）[,]24ππ--； （2）[-； （3）5n =，203π. 【分析】（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式，进而求得函数的递减区间；（2）利用函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象变换规律，求得函数()g x 的解析式，进而求得函数的值域； （3）由方程4()3g x =，得到2sin(4)33x π-=，根据4[,]63ππx ∈，求得4[,5]33πx ππ-∈，设43x πθ=-，转化为2sin 3θ=，结合正弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫++- ⎪⎝⎭)cos()2sin()6x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T π=，可得2w =， 又由函数()f x 为奇函数，可得()02sin()06f πϕ=-=， 所以,6k k Z πϕπ-=∈，因为0πϕ<<，所以6π=ϕ，所以函数()2sin 2f x x =， 令3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，解得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，可函数()f x 的递减区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈， 再结合[,]24ππx ∈-，可得函数()f x 的减区间为[,]24ππ--.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象， 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)3y g x x π==-的图象， 当[,]126ππx ∈-时，24[,]333x πππ-∈-， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x故函数()g x 的值域[-. （3）由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(4)33x π-=， 因为4[,]63ππx ∈，可得4[,5]33πx ππ-∈， 设43x πθ=-，其中[,5]3πθπ∈，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图象，可得方程2sin 3θ=在区间[,5]3ππ有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+= 所以122331443552420()()()()2223x x x x x x x x x x x x x π=+++++++=+++++.【点睛】解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.。
吉林省长春市第八中学2020_2021学年高一数学上学期期末复习试题1
吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期期末复习试题1一、单选题1．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ） A ．{3,1}M =-，{(3,1)}P =-B ．{(3,1)}M =， {(1,3)}P =C ．{}21,M yy x x R ==-∈∣，{}2(,)1,P x y y x x R ==-∈ D ．{}21,M y y x x R ==-∈，{}21,P a a x x R ==-∈ 2．若α是第四象限的角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限3．已知0b a <<，则下列不等式成立的是（ ） A ．a b ->-B ．11b a< C ．2ab a >D ．1b a< 4．已知方程2ln (ln 4ln 3)ln 2ln 2ln 30x x +++⋅=的两根为1x ，2x ，则12x x ⋅=（ ）A ．ln12-B ．2ln 2ln3⋅C ．112D ．125．下列函数中哪个与函数y ＝x 相等（ ）A ．y ＝（）2B ．yC ．yD ．y6．若35,36αβ==，则12536=（ ） A ．132αβ-+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．323αβ-C ．313αβ- D ．2563αβ-7．下列命题中，真命题是（ ） A ．x R ∀∈，22x x >B ．0x R ∃∈，00x e <C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．22ac bc <是a b <的充分不必要条件8．设0a b >>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（ ） A ．1 B ．4C ．3D ．29．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12cos α=，则2cos 2sin cos ααα+=（ ） A ．15B ．1C ．65D ．9510．已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题11．设MP 、OM 和AT 分别是角1718π的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是( )A ．MP AT OM <<B ．OM AT MP <<C ．0OM AT <<D ．0AT OM <<12．具有性质：1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的了函数下列函数中了函数有( )A ．1y x x=-B ．1y x x =+C ．,010,11,1x x x y x x<<⎧⎪=⎪=⎨⎪->⎪⎩D ．1ln(0)1x y x x -=≠+三、填空题13．设函数()2111x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，，，则()4f f -=⎡⎤⎣⎦ _________．14．已知集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛3，4｝，则()U C A B ⋃=15．已知2tan 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______________. 16．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是________（填写序号）①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象. 四、解答题17．试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件.18．已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.19．如图，某动物种群数量1月1日（0t =时）低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化.（1）求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式（其中t 以年初以来的月为计量单位）；（2）估计当年3月1日动物种群数量.20．已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x =+∈R ．（1）求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合；（2）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．参考答案1．D【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，{3,1}M =-有两个实数元素，{(3,1)}P =-表示点(3,1)-，故不正确； 对于B 选项，{(3,1)}M =表示点()3,1， {(1,3)}P =表示点()1,3，故不正确；对于C 选项，{}21,M yy x x R ==-∈∣表示函数21y x =-的值域，{}2(,)1,P x y y x x R ==-∈表示函数21y x =-图象上的所有点的集合，故不正确；对于D 选项，均表示函数21y x =-的值域，故正确．故选：D ．【点睛】本题考查集合相等的概念，是基础题．2．D【解析】【分析】表示出α在第四象限的集合，再求2α所在象限的集合即可 【详解】由题可知32222k ,k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，故324k ,k αππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，故2α所在象限是第二或第四象限故选D【点睛】本题考查nα所在象限的判断，常规思路为：先表示出α所在象限集合，再求nα对应集合，结合具体k 值综合分析3．C【分析】根据不等式的性质逐个判断可得答案.【详解】由0b a <<得b a ->-，A 不正确； 由0b a <<得0ab >，所以11b a ab ab ⋅<⋅，即11a b<，B 不正确；由0b a <<得2ab a >，C 正确； 由0b a <<得10a <，所以11b a a a ⋅>⋅，即1ba>，D 不正确.故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键，属于基础题.4．C【分析】对方程2ln (ln 4ln 3)ln 2ln 2ln 30x x +++⋅=分解为()()ln ln 4ln ln30x x ++=，可求出1x ，2x ，即可求出12x x ⋅的值.【详解】将原方程因式分解为()()ln ln 4ln ln30x x ++=，所以ln ln 4x =-或 ln ln3x =-，所以114x =或21=3x ，所以12x x ⋅=112.故选C.【点睛】本题主要考查了对数的运算，属于基础题.5．C【解析】【分析】可看出y＝x的定义域为R，通过求定义域可得出选项A，B的两函数的定义域和y＝x的定义域都不相同，从而判断A，B都错误．而通过化简选项D的函数解析式，可得出D的解析式和y＝x不同，从而判断D也错误，只能选C．【详解】y＝x的定义域为R；A.的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，与y＝x不相等；B.的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不相等；C.的定义域为R，且解析式相同，与y＝x相等；D.，解析式不同，不相等．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否相等的方法：定义域和解析式是否都相同．6．B由分数指数幂的运算性质，结合()m nmna a =，mm n n a a a-=运算即可得解.【详解】解：35α=，36β=，3335125α∴==，223636β==，332212533363ααββ-∴==， 故选：B.．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.7．D【分析】对选项进行逐个分析即得。
长春市2020-2021学年高一数学上册期末模拟试卷2套(含答案)
长春市高一数学上册期末模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．如果集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0}只有一个元素则a 的值是( )A ．0B ．0或1C ．－1D ．0或－12．sin36cos6sin54cos84-的值为（ ）A ．21-B ．21C ．23-D ．233．若tan α＝2，tan β＝3，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β的值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．3π4 D ．5π44．已知137cos sin =+αα()πα<<0，则=αtan （ ） A ．125-B ．512-C ．125D ．125-或512-5．设,53sinπ=a ,52cos π=b ,52tan π=c 则（ ） A c a b << B a c b << C c b a << D b c a << 6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( )A ．[2－1，3－1]B ．[1， 3 ]C ．[2－1， 3 ]D ．[0，2－1]7若31)3sin(=+απ，则=-)23cos(απ（ ） A ．97 B ．31 C ．-97 D ．31- 8．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x =（ ）A.12π B.512π C.6π D.4π 9．已知函数⎩⎨⎧≥<-+=3,log 3,2)1()(3x x a x a x f x的值域为R ，则实数a 的范围是（ ）A ．[]1,1-B ．(]1,1-C ．),1(+∞-D ．)1,(--∞10.将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．函数x x x f cos 2sin )(+=的值域为( )A ．[1，5]B ．[1，2]C ．[2，5]D ．[5，3]12．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. )3,2(B.)2,3(3C.)2,4(3D.)3,2(3第II 卷（非选择题，共70分）二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上) 13．已知cos ,1()(1)1,1,x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则)34()31(f f +的值为------14.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 15.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,41,log 2)(2x x f x,试求y=[])()(22x f x f +的值域—16.设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则以下结论正确的是_____(写出所有正确结论的编号)． ①0)125(=πf ； ②)127(πf ≥)3(πf ； ③f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；④f (x )既不是奇函数也不是偶函数；17.（本题满分8分）已知：02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，求)2cos(βα+18．（本题满分10分）已知函数=)(x f a ),(1+∈+-N b a x b x ，21)1(=f 且2)2(<f （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）判断并证明函数)(x f y =在区间()+∞-,1上的单调性．19.（本题满分10分）已知函数32cos 62cos2sin 32)(2-+=xxxx f ωωω()0>ω(1)若()(0)2y f x πθθ=+<<是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；(2)若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，求ω的最大值.20(本题满分12分)已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x A x π=-，（0A ≠） （1）当 0≤x ≤2π时，求(sin )y f x =的最大值；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数A 的取值范围；（3）问a 取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)π2,0上有两解？21.（附加题）（本题满分10分）已知函数12,0,21()23,0.12x x x e f x x e ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩（1）求函数()f x 的零点；（2）若实数t 满足221(log )(log )2(2)f t f f t+<，求()f t 的取值范围．高一数学参考答案.....一．选择题：DBCBA CCCCB AC二．填空题：13. 0 14.34- 15. []13,1 16. ①②④.17.解：,332)4sin(20,31)4cos(=+∴<<=+αππααπ33)24cos(=-βπ ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935......8分 18.【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a ，b ∈N *，∴b=1，a=1；………………3分（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x 1，x 2且﹣1＜x 1＜x 2，=，∵﹣1＜x 1＜x 2， ∴， ∴，即f （x 1）＜f （x 2）， 故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．………………10分19.解：(1)由32cos 62cos2sin 32)(2-+=xxxx f ωωω=2)3sin(3πω+x ()0>ω∵()23sin()3f x x πθωωθ+=++…………又()y f x θ=+是最小正周期为π的偶函数，∴2ππω=，即2ω=， …………3分且232k ππθπ+=+，即()212k k Z ππθ=+∈ ……6分02πθ<<，∴2 12πωθ==，为所求；…………………………………………………5分 (2)因为)(x g 在(0 )3π，上是增函数，∴53023212()12326332k k k Z k k ππωππππωωπ⎧⎧⨯+≥-≤⎪⎪⇒∈⎨⎨≤+⨯+≤+⎪⎪⎩⎩，…………………………………………7分∵0ω>，∴1206k +>，∴151212k -<<， 于是0k =，∴106ω<≤，即ω的最大值为61，………此时()23sin()23x g x π=+510sin()1()[3 23]3236223x x x g x πππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤+≤⇒∈，……10分 20.试题分析：（1）2(sin )2sin 3sin 1y f x x x ==-+ 设sin ,[0,]2t x x π=∈，则01t ≤≤∴223312()12()248y t t t =-+=-- ∴当0t =时，max 1y =……4分 （2）当1[0,3]x ∈ ∴1()f x 值域为1[,10]8-当2[0,3]x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin()126x π-≤-≤ ①当0A >时，2()g x 值域为1[,]2A A -②当0A <时，2()g x 值域为1[,]2A A -而依据题意有1()f x 的值域是2()g x 值域的子集则 或∴10A ≥或20A ≤-......8分（3）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为 22sin 2sin 1x x a -+=在[0,2)π上有两解， 令sin t x = 则t ∈[1,1]- 2221t t a -+=在[1,1]-上解的情况如下： ①当在(1,1)-上只有一个解或相等解，x 有两解(5)(1)0a a --<或0∆= ∴(1,5)a ∈或12a =②当1t =-时，x 有惟一解32x π= ③当1t =时，x 有惟一解2x π= 故 (1,5)a ∈或12a =……12分21．（1）)(x f 的零点分别为3ln -=x 和3ln =x ......2分（2）由题意，当0x >时，1223()()02112x x f x f x e e -⎛⎫--=---= ⎪++⎝⎭， 同理，当0x <时，()()0f x f x --=，1(0)2f =-，所以函数()f x 是在R 上的偶函数，…5分所以2221log (log )(log )f f t f t t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由221(log )log 2(2)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，22212(log )2(2)(|log |)(2)2log 244f t f f t f t t <⇒<⇒-<<⇒<<.………………144x <<时，()f x 为增函数，1()(4)4f f t f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭，即14414433()2(1)2(1)e ef t e e --<<++.………10分长春市高一数学上册期末模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
2020-2021长春市高中必修一数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021长春市高中必修一数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．3．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．77．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．a b c <<9．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭10．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1112．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 14．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 16．求值： 233125128100log lg += ________ 17．已知常数a R +∈，函数()()22log f x x a =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为__________.18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____．20．若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 22．已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明. 23．义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <； （2）若不等式()()()222221240f a a x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-.（1）判断函数()g x 的奇偶性； （2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.25．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）26．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，A ∪(∁R B )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．C解析：C【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
吉林省长春市市第八中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析
吉林省长春市市第八中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)=sinx的零点所在的大致区间是_____A.(-,0)B.(0,)C.(,)D.()参考答案：C2. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形参考答案：B【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案为B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.3. （5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m参考答案：B考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．解答：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题4. 函数的定义域是，则其值域是A．B．C．D．参考答案：A略5. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. 8B. 7C. 6D. 4参考答案：B【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【详解】满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．6. 函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，我们在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，数形结合即可得到答案．【解答】解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点故选B7. 某商人将彩电先按原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是( )元.A.2520B.2250C.900D.3150参考答案：A略8. 若，则满足上述要求的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D9. 函数的定义域是（）A. B.C. D.参考答案：D要使原函数有意义，则，即所以解得：所以，原函数的定义域为故选D．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，解答此题的关键是掌握余弦函数线，在单位园中利用三角函数线分析该题会更加直观10. 若不等式的解集为，则不等式>0的解集为（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于．参考答案：5【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由{a n}是等比数列，a2a4+2a3a5+a4a6=25，利用等比数列的通项公式知a32+2a3a5+a52=25，再由完全平方和公式知（a3+a5）2=25，再由a n＞0，能求出a3+a5的值．【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵a n＞0，∴a3+a5=5．故答案为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用．12. 求值：= .参考答案：13. 若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是_____参考答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)略14. 若点都在直线上，则数列{a n }的前n项和取得最小时的n等于__________．参考答案：7或8【分析】根据点在线上可得，从而可求得，，，从而可得结果.【详解】由题意得：令得：；得：可知：，，，即的最小值为或本题正确结果：或【点睛】本题考查等差数列前项和的最值问题，关键是根据数列的通项公式求得变号项，注意当某项等于零时，存在最值相等的情况.15. 已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，数列是首项为，公比也为的等比数列，其中，那么数列的前项和________.参考答案：16. 空间中的三个平面最多能把空间分成部分。
2020-2021长春市高一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)
（2）讨论 F x a
f
x
xf
b
x
的奇偶性. a,b
R
（直接给出结论，不需证明）
25．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种 76 种，探明储量 39
种，其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%，占全球的 11%和 35%，因此其素有 “钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材 料，由大数据测得该产品的性能指标值 y（y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的 含量 x（单位：克）的关系为：当 0≤x＜7 时，y 是 x 的二次函数；当 x≥7 时，
a,b为函数 f x 的“不变区间”.试求函数 f x 的不变区间；
(3)若对于任意的
x1
0,3 ，总存在
x2
10,100 ，使得
f
x1
2 lg
x2
m lg x2
1，求 m
的取值范围.
24．已知幂函数 f x xm22m3 m Z 为偶函数，且在区间 0, 上单调递减.
（1）求函数 f x 的解析式；
4．D
解析：D 【解析】
【分析】
利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．
【详解】
对于 A： y x2 的值域为0, ；
对于 B：
x2
0 ， x2
1 1 ，0
1 x2 1
1，
y
1 x2
1
的值域为
0,1
；
对于 C： y 2x 的值域为 ,0 ；
对于 D： x 0，x 11，lg x 1 0 ，
范围是（ ）
A． ( 5 , 3] 12 4
B． ( 5 , ) 12
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吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期元旦作业（期末复习）试题（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，4，5，6，，3，4，，3，6，，则A. 2，3，6，B.C. 2，3，4，6，D. 2，3，4，5，6，2.A. B. C. D.3.三个数，，的大小顺序是A. B. C. D.4.已知，则A. B. C. D.5.函数可以化简为A. B.C. D.6.在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则A. B. C.D.7.函数在区间上的最小值为A. B. C. D. 138.已知函数，将的图象向左平移个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将的图象向右平移个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则的最小值等于A. 0B.C.D.9.已知平面向量、的夹角是，且，点C满足，则A. 1B.C. 2D.10.若函数的图象与的图象关于直线对称，则A. B. C. D.11.已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.定义在R上的奇函数满足，且对任意的正数a、，有，则不等式的解集是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，，若，则______．14.______．15.已知集合，，则______．16.已知定义在R上的函数满足：，且当时，若对任意的，都有，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知为第二象限角，且．求，的值；求的值．18.已知函数的部分图象如图所示．求的解析式；若将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数的单调递增区间．19.已知平面非零向量，的夹角是若，，求；若，，求t的值，并求与共线的单位向量的坐标．20.如图，在扇形OAB中，，半径在弧上取一点C，向半径OA、OB分别作垂线，与线段OA、OB分别相交于D、E，得到一个四边形CDOE．设，将四边形CDOE的面积S表示成x的函数；求四边形CDOE的面积S的最大值．21.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为P，死亡年数为t．试将P表示为t的函数；不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？参考数据：22.已知函数．判断函数的奇偶性；若对任意的，不等式均成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：2，3，4，5，6，，3，4，，3，6，，6，，则2，3，6，故选：A．先求出，然后再求即可求解．本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．2.【答案】B【解析】解：．故选：B．利用诱导公式、两角和的余弦公式化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式、两角和的余弦公式进行化简求值，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：，，，．故选：C．根据对数函数和指数函数的性质，比较a，b，c和0，1的关系，可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，．故选：D．由已知利用诱导公式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：故选：B．利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式即可化简得解．本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由D为BC中点，可得，故选：B．由向量加减法运算法则、平面向量基本定理解决学会使用平面向量加减法法则，平面向量基本定理，转化求解．7.【答案】B【解析】解：令，则原函数等价于，又二次函数的对称轴为，．故选：B．通过换元，将原函数等价于，再利用二次函数的性质即可得解．本题主要考查二次函数的最值，考查换元法的运用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数，函数的图象向左平移a个单位得到，得到的函数为奇函数，则，整理得，当时，．函数的图象向右平移b个单位得到，由于得到的函数的图象为偶函数，所以，解得．当时，，所以的最小值为，故选：A．首先利用函数的图象的平移变换的应用求出a和b的值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：，点A为线段BC的中点，，．故选：D．由，可知；通过平面向量的线性运算可推出，再结合平面向量的数量积运算即可得解．本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：在函数的图象上任取一点，则点关于直线对称的点为，且点在函数的图象上，所以．故选：C．在函数的图象上任取一点，由对称性即可求得的解析式．本题考查函数的对称性，考查解析式的求法，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：依题意，函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即．故选：B．问题转化为函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象，由图象观察即可得解．本题考查函数零点，考查数形结合思想的运用，属于基础题．【解析】解：对任意的正数a、，有，函数在上单调递减，定义在R上的奇函数，在上单调递减．不等式等价为，令，即．，．不等式等价为或，即或，或，即不等式的解集为．故选：C．由对任意的正数a、，有，得到函数在上单调递减，根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，解得，，．故答案为：．根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m，进而可求出的值．本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．【解析】解：原式．故答案为：29．进行指数和对数的运算即可．本题考查了指数式和对数式的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：集合，，．故答案为：．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：当时，；当时，，；当时，，；当当时，，，则；函数的图象如图所示：当时，由，解得，若对任意的，都有，则m的取值范围是．故答案为：根据类周期函数的性质，求出函数的解析式以及作出函数的图象，结合不等式的解法求出满足条件的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合条件求出函数的解析式以及作出函数的图象是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：为第二象限角，且，故，．再根据，可得．．．【解析】由题意利用查同角三角函数的基本关系，求得，的值．由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．18.【答案】解：根据函数的图象得：，，整理得．故．将代入函数的关系式，整理得，由于，所以．故．由于，把图象向左平移个单位长度，得到的图象．令，整理得，所以函数的单调递增区间为；．【解析】直接利用函数的图象求出函数的关系式．利用整体思想的应用求出函数的单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：根据题意，设，若，，且非零向量，的夹角是，则有，变形可得：，解可得：或舍；故；若，，则，，，又由向量，的夹角是，则有，即，解可得：，；则；设，则有，解可得：，则或【解析】根据题意，设，由数量积计算公式可得，变形解可得t的值，即可得答案；根据题意，由向量的坐标可得、和的值，又由夹角公式可得，解可得t的值，即可得和的坐标，进而设，由单位向量的定义可得，解可得k的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．20.【答案】解：，要得到四边形CDOE，则故，，由于，可得，可得当，即时，四边形CDOE的面积S的最大值为．【解析】由题意利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用即可求解，，从而得解．利用三角函数恒等变换的应用可求，可求范围，利用正弦函数的性质即可求其最大值．本题主要考查了三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．21.【答案】解：已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，由经过5730年衰减为原来的一半，可得，所以，故碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为；由已知，所以，即，所以推算该生物死亡的年代距今21010年．【解析】由题意可知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，再利用经过5730年衰减为原来的一半求出a的值，即可得到碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式；把代入由的函数关系式，即可推算该生物死亡的年代距今的年数．本题考查指数函数模型的实际应用运用，考查学生的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：，，故为奇函数，，不等式，单调递减，在恒成立，即在恒成立，令，，则，解可得，．【解析】先检验与的关系，进而可判断；由已知奇函数及单调性进行转化不等式，然后结合二次函数实根分布即可求解．本题主要考查了奇函数定义的应用及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．。