高二数学讲义四点共圆

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《四点共圆的条件》课件

如何证明四点共圆
01
02
03
塞瓦定理证明法
利用塞瓦定理的逆定理，通过证明三点共线，进而证明四点共圆。
反证法
假设四点不共圆，然后通过一系列逻辑推理，最终得出矛盾，从而证明四点必定共圆。
相似三角形法
通过构建相似三角形，利用相似三角形的性质来证明四点共圆。
四点共圆的性质与实际应用
性质总结
要点一
总结词
要点二
详细描述
实际应用中的四点共圆问题主要涉及到几何图形在生活中的实际应用，如建筑、机械等领域。
在建筑设计中，经常需要用到四点共圆的知识来确定建筑物的位置和角度。在机械设计中，四点共圆的知识也被广泛应用，例如在齿轮的设计中，需要用到四点共圆的知识来确定齿轮的位置和角度。此外，在电路板的设计中，也需要用到四点共圆的知识来确定元件的位置和角度。
02
四点共圆的条件
圆上三点确定一个圆的定理
总结词
三点确定一个圆的定理
详细描述
在平面几何中，任意三个不共线的点可以确定一个唯一的圆，该圆通过这三个点。这个定理是几何学中一个基本且重要的定理，是研究圆和点关系的基础。
圆内接四边形的性质
总结词
内接四边形的性质
详细描述
圆内接四边形具有一系列重要的性质，如相对边相等、对角互补等。这些性质在证明四点共圆时常常用到，也是几何学中的重要知识点。
VS
详细描述
如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形的四个顶点共圆。这个性质可以通过三角形三边的平方关系来证明。具体来说，如果一个四边形的对角线互相平分，则可以将该四边形划分为两个三角形，利用三角形三边的平方关系，可以证明这两个三角形的三个顶点与四边形的中心点共圆。

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）班级姓名一、知识要点：1. 判定“四点共圆”的方法:（1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆；（3）圆的割线定理成立，则四点共圆；（4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA ＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B C D K M ··例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)AB CKMNPQB′C′A B COOOO123？？三、精选习题：1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.3．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.四、拓展提高：4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)A BOKN CMG高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）例1. 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB. 例2. 法1：,,,P Q C C '四点共圆，PK KQ C K KC '⋅=⋅， ,,,M N B B '四点共圆， MK KN BK KB '⋅=⋅，因为90BC C BB C ''∠=∠=，所以,,,B B C C ''四点共圆，C K KC BK KB ''⋅=⋅所以MK KN PK KQ ⋅=⋅，所以M ，N ，P ，Q 四点共圆.法2：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM.欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.例3．分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA.由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1⇒O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.1．提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.2．提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°. 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°⇒C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由OC=OK⇒OC=OK⇒∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.法2 蒙日定理。

探究四点共圆知识点

探究四点共圆知识点什么是四点共圆问题？四点共圆是一种几何学问题，其基本目标是找到一个圆，使得给定的四个点都位于该圆上。

这个问题在几何学中具有重要的应用价值，并且是许多数学竞赛中常见的题目。

解决四点共圆问题的步骤要解决四点共圆问题，可以按照以下步骤进行思考和操作：步骤一：理解题目首先，我们需要仔细阅读题目并理解其要求。

题目通常会给出四个点的坐标或者描述它们的位置关系。

我们需要明确题目要求的是找到一个圆，使得给定的四个点都位于该圆上。

步骤二：确定圆心为了找到圆，我们需要确定圆心的位置。

要确定圆心，我们可以运用几何学中的一些定理和性质。

例如，我们可以考虑使用垂直平分线定理或者圆的切线性质来找到圆心。

步骤三：计算半径确定了圆心后，下一步是计算圆的半径。

我们可以使用给定的四个点与圆心之间的距离来计算半径。

这可以通过计算点到圆心的欧几里得距离来实现。

步骤四：检验四点是否共圆在确定了圆心和半径后，最后一步是检验给定的四个点是否都位于该圆上。

我们可以计算每个点到圆心的距离，并将其与半径进行比较。

如果所有的距离都与半径相等或非常接近，那么这四个点就共圆。

示例问题为了更好地理解四点共圆问题的解决步骤，我们来看一个具体的示例问题：假设有四个点A(0,0)，B(0,1)，C(1,1)和D(1,0)，我们需要找到一个圆，使得这四个点都位于该圆上。

解决步骤：1.理解题目要求，确定四个点的坐标。

2.确定圆心的位置。

由于给定的四个点位于一个正方形的四个顶点上，正方形的对角线的交点就是圆心。

由于正方形的对角线相互垂直且平分对方，圆心的坐标为(0.5,0.5)。

3.计算半径。

根据圆心和任意一个点的坐标之间的距离公式，我们可以计算出半径的值。

选取点A(0,0)，计算欧几里得距离得到半径r=0.5。

4.检验四点是否共圆。

计算每个点到圆心的距离，并将其与半径进行比较。

对于给定的四个点，它们到圆心的距离都等于半径r，所以这四个点共圆。

结论通过以上步骤，我们成功解决了四点共圆问题。

四点共圆 (2)

四点共圆在二维几何中，我们经常遇到一些有趣的现象和形状。

其中之一便是四点共圆。

当四个点都在同一个圆周上时，我们称它们是共圆的。

下面，我们将详细介绍四点共圆的性质和证明。

性质1：共圆定义四点共圆指的是四个点A、B、C、D可以构成一个圆，即这四个点都在同一个圆周上。

记这个圆为O，我们可以用如下方式表示四点共圆的条件：AB + CD = AC + BD共圆示意图共圆示意图性质2：共圆的判定判断四个点是否共圆的一种方法是通过计算它们的距离来判断。

具体而言，有如下定理：若四个点A、B、C、D的任意三点不共线，则ABCD四个点共圆的充要条件为：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)性质3：四边形共圆四边形ABCD是共圆的充要条件是，它的对角线交点E满足AB EC + BC EA =AC*EB。

这说明，当四个点A、B、C、D能够构成一个四边形，且满足这个等式时，它们就是共圆的。

性质4：垂直弦交点当ABCD四点共圆时，圆心为O，连接两点的弦AD和BC垂直，交点为M。

那么，我们可以得出以下结论：AM * MC = BM * MD证明接下来，我们将对性质2进行证明。

假设四个点A、B、C、D的任意三点不共线。

首先，我们构造三角形ADC，以及四边形ABCD的两条对角线，连接点A和C，以及点B和D。

根据余弦定理，我们可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)同理，我们可以得到：BD^2 = AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC)进一步地，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = (AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)) * (AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC))展开上式，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * AB^2 + AD^2 * CD^2 + CD^2 * AB^2 + CD^4 - 2 * AD * AB * CD^2 * cos(∠BAC) - 2 * AD^2 * CD * cos(∠ADC) - 2 * AB^2 * CD * cos(∠BAC) + 4 * AB * AD * CD^2 * cos(∠BAC) * cos(∠ADC) - 2 * AB * AD * CD^2 * cos(∠ADC) *cos(∠BAC)我们可以观察到一些项可以进行合并和简化，最终得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)由此可见，当AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)成立时，四个点A、B、C、D共圆。

四点共圆定理

四点共圆定理
从古至今，数学被广泛应用于社会的方方面面，其中，关于圆的问题一直都是数学研究的一个重要分支，今天，我们要讨论的就是关于四点共圆定理利用四个点确定一个圆的定理。

四点共圆定理定义：若在平面上有四个不共线的点，则这四点可以确定一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等。

四点共圆定理在中国古代就被发现了，在《九章算术》中，秦九韶是第一个提出这个定理的历史人物。

其实，四点共圆定理也可以通过几何的方式来证明，下面我们就通过几何的方式来证明四点共圆定理。

假设在一个平面上有四个点A、B、C、D，不共线，四点共圆定理要求，这四个点能确定一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等。

从平面几何的角度来看，任何一个圆上的任何两点到圆心的距离都是相等的，那么，我们就可以用这个性质来证明这个定理。

先用A、B两点构成的线段分割平面为两部分，此时，A、B两点到C与D的距离是不相等的，那么我们可以画出一个新的圆，使得C、D两点到圆心的距离相等并且与A、B两点到圆心的距离也相等，此时，这个圆就是由A、B、C、D这四点确定的一个圆，且这个圆的圆心到这四点的距离相等，也就是证明了四点共圆定理。

四点共圆定理在自然界和社会生活中有着重要的作用，例如，你在使用GPS导航时，当你所在的位置与要去的位置不在同一直线时，就可以使用四点共圆定理来确定你的位置，这就是四点共圆定理在社
会生活中的应用。

综上所述，四点共圆定理是一个非常重要的数学定理，它不仅被古代的历史人物发现，而且依然被广泛应用于现代的社会生活中，尤其是在GPS的使用中，因此，我们要对这个定理分析研究有更深的认识，并从中获取更多的应用。

四点共圆定理及其推论

四点共圆定理及其推论《四点共圆定理及其推论，超有趣的数学发现！》我呀，最近在数学的奇妙世界里发现了一个超级酷的东西，那就是四点共圆定理及其推论。

这就像是在一个神秘的宝藏堆里发现了一颗最闪亮的宝石一样。

什么是四点共圆呢？简单来说呀，如果在一个平面内有四个点，这四个点到同一个点的距离都相等，那这四个点就在同一个圆上。

这就好比是四个小伙伴，他们都离一个特别的地方距离一样远，那他们就站在同一个神奇的圆圈里面啦。

比如说，我们在操场上玩游戏，有四个小朋友站在那里，假如他们到操场中间的一个小旗的距离都一样，那这四个小朋友就可以说是在一个以小旗为圆心的圆上。

那四点共圆定理有什么用处呢？这用处可大啦。

在做几何题的时候，要是发现有四个点可能共圆，那就像是找到了一把打开解题大门的钥匙。

我记得有一次，我做一道特别难的几何证明题，图上有四个点看起来好像有点关系，可我就是想不出来怎么证明。

后来我突然想到了四点共圆定理，就试着去证明这四个点共圆，哇塞，一旦证明出来了，后面的那些证明就像流水一样顺畅。

就好像是本来堵住的水管，一下子被打通了，水哗哗地流出来。

这四个共圆的点就像是一群团结的小战士，帮助我打败了那道难题这个大怪兽。

那它的推论呢？推论可就更有意思啦。

其中一个推论是，如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

这是什么意思呢？就像是有一个四边形形状的小花园，它的两个对角的度数加起来是180度，那就说明这个小花园的四个顶点都在同一个圆上。

我和我的同桌就讨论过这个推论。

我同桌当时就说：“这怎么可能呢？这四边形的角和圆有啥关系啊？”我就跟他说：“你看啊，如果把这个四边形想象成是在一个圆里面切出来的一块，那它的对角互补就很好理解啦。

就像把一个大蛋糕切成一块四边形的形状，这个四边形的对角就像是蛋糕上相对应的部分，它们加起来就是整个蛋糕的一部分，也就是180度呀。

”我同桌听了我的话，眼睛一下子就亮了，说：“哎呀，原来这么神奇啊！”还有一个推论是，如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那这个四边形的四个顶点共圆。

第六讲四点共圆

BDF 的外心，故 O1 在 BP 上且是 BP 的中点.同理可证，C、D、P、E 四点共圆，且 O2 是
CP 的中点.综合以上知， O1 O2 //BC，所以 PO2O1 = PCB . 因为 AF AB AP AD AE AC , 所以 B、C、E、F 四点共圆. 充分性：设 P 是 ABC 的垂心，由于 PE AC , PF AB, 所以，B、 O1 、P、E 四点共线， C、 O2 、P、F 四点共线， FO2O1 FCB FEB FEO1 ，故 O1 、 O2 、E、F 四点共圆. 必要性：设 O1 、 O2 、E、F 四点共圆，故 O1O2 E EFO1 180 .
C , D, H , E .
B A
F H E
D
C
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奥林匹克与自主招生
《第六讲四点共圆》
主编：贾广素
不含 H 的也有三组，即 B, F , E , C ； C , D, F , A ； A, E , D, B. 所以共有６组. （２）因为 C , D, F , A 四点共圆，故 BDF A. 又因为 A, E , D, B 四点共圆，故 EDC A. 从而 BDF EDC. 由等角的余角相等，知 ADF ADE. 由结论（２）知锐角 ABC 的垂心 H 为 DEF 的内心. （２）若两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧，又有相等的顶角，则四顶点共圆. 【例 2】锐角 ABC 中， A 60 , 且 O, I , H 分别为 ABC 的外心、内心和垂心. 求证： OI IH . 证明：易见 BOC 2A 120 , BHC 180 A 120 , BIC 90 且 O, I , H 均在 BC 的同侧，故 B, O, I , H , C 五点共圆. 因为 I 为内心，所以 ABI CBI 1 ○

四点共圆托勒密定理

四点共圆托勒密定理托勒密定理是几何学中的重要定理之一，它描述了四个点共圆的条件和性质。

本文将以人类的视角来描述这一定理，使读者感到仿佛是真人在叙述。

四点共圆托勒密定理是指，如果四个不共线的点A、B、C和D满足AC与BD相交于一点O，且AB与CD相交于一点P，那么这四个点A、B、C和D就共圆。

也就是说，存在一个圆可以通过这四个点。

这个定理的证明是基于几何学的基本性质和定理，但在本文中，我们将避免使用数学公式或计算公式，以便更好地理解这个定理。

让我们考虑一个简单的例子，以便更好地理解这个定理。

假设我们有一个草坪上的四个标志物，我们用A、B、C和D来表示它们。

现在，我们要证明这四个标志物共圆。

我们选取其中两个点A和B，然后画一条直线AB连接它们。

接下来，我们再选取另外两个点C和D，然后画一条直线CD连接它们。

我们可以发现，这两条直线AB和CD会相交于一点P。

现在，我们需要证明的是，是否存在一个圆可以通过这四个点A、B、C和D。

为了证明这一点，我们需要找到一个点O，使得OA=OB=OC=OD。

这就意味着这个点O到这四个点的距离都相等，即这四个点在以点O为圆心的圆上。

我们可以通过如下方法来找到这个点O。

首先，我们连接AC和BD，它们相交于一点O。

然后，我们测量OA、OB、OC和OD的长度，如果它们都相等，那么我们就找到了这个点O。

通过这个例子，我们可以看到四点共圆托勒密定理的基本原理。

无论这四个点在什么位置，只要满足AC与BD相交于一点O，且AB 与CD相交于一点P，那么这四个点就共圆。

这个定理在几何学中有着广泛的应用。

例如，在三角形的外接圆中，三个顶点和三条边上的中点就共圆；在椭圆中，焦点和顶点也共圆。

这些例子都是基于四点共圆托勒密定理而得出的。

四点共圆托勒密定理是几何学中的重要定理之一。

它描述了四个点共圆的条件和性质。

无论这四个点在什么位置，只要满足AC与BD 相交于一点O，且AB与CD相交于一点P，那么这四个点就共圆。

四点共圆(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解四点共圆的基本概念。四点共圆指的是四个点能够在同一个圆上。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了四点共圆在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调四点共圆的定义和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
3.掌握四点共圆的判定方法，并能将其应用于解决实际问题，提高数学建模能力；
4.引导学生运用数学语言表达几何问题，提升学生的数学表达和交流能力，符合新教材对学生核心素养培养的要求。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-四点共圆的定义及其性质：这是本节课的核心内容，包括圆内接四边形和圆外切四边形的性质，以及四点共圆的基本条件。
五、教学反思
在本次《四点共圆》的教学过程中，我发现学生们对于这个几何问题的兴趣还是比较高的。他们对于四个点如何能够恰好在一个圆上的问题充满了好奇心。在导入新课的时候，通过日常生活中的实例来引起学生的兴趣，这一点我觉得做得还是不错的，有助于提高学生的学习积极性。
在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们能够认真听讲，但是对于一些判定方法的掌握程度不够熟练。在讲解重点难点时，我尽量用简洁明了的语言和丰富的例子来帮助学生理解。但在实际操作中，我觉得还可以加强一下与学生的互动，多提问，让学生参与到课堂讲解中来，以提高他们对知识点的理解和记忆。
a.任意两边之和大于第三边；
b.对角互补，即对角线互相垂直；
c.圆内接四边形的对角互补；
d.圆外切四边形的对边和相等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理、几何直பைடு நூலகம்及数学建模能力。通过四点共圆的学习，使学生能够：

高二数学讲义四点共圆(二)

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第六讲四点共圆（二）班级姓名一、知识要点： 1. 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.2. 平面几何的核心是利用“四点共圆”和“三角形相似”来做。

二、例题精析：例1. 正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，P A :PB =5:14.则PB =__________(1989，全国初中联赛)例2. 设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).(1978，全国高中联赛)··P O A BC D例3. 四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)三、精选习题：1．在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，P 是AB 上的点，过A 点作PC 的垂线交过B 所作AB 的垂线于Q 点.求证：PD 丄QD.A B C D I C I D A I I B2．AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.3．NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS＞MQ.(1991，江苏省初中竞赛)四、拓展提高：4．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.4．已知H 为△ABC 垂心，M 为边BC 中点，过H 作直线交AB 于E 、交AC 于F 延长MH 交△ABC 的外接圆于N ，求证：,,,A E F N 四点共圆。

高中四点共圆知识点

高中四点共圆知识点高中数学中，圆是一个非常重要的几何形状。

而在圆的相关知识点中，有一个特殊的性质叫做四点共圆。

本文将逐步介绍四点共圆的定义、性质以及相关解题方法。

定义四点共圆，顾名思义就是四个点共同位于同一个圆上。

形式化的定义是：对于给定的四个点A、B、C、D，如果这四个点都位于同一个圆上，那么我们就说它们四点共圆。

性质四点共圆的性质有很多，下面将介绍其中一些重要的性质。

性质1：共圆四点与圆心的关系设四点共圆的圆为O，那么O就是这个圆的圆心。

也就是说，如果四个点A、B、C、D共圆，那么它们都位于圆O上，并且O是这个圆的圆心。

性质2：共圆四点所确定的圆唯一如果四个点A、B、C、D共圆，那么它们所确定的圆是唯一的。

也就是说，不存在其他的圆可以同时包含这四个点。

性质3：四点共圆的充分必要条件四个点A、B、C、D共圆的充分必要条件是：ABCD四条弦的中垂线共点。

也就是说，如果四条弦的中垂线交于一点，那么这四个点必定共圆。

性质4：四点共圆的推论根据四点共圆的定义和性质，我们可以得到一些推论。

例如，如果一个三角形的三个顶点和三角形外接圆的圆心共圆，那么这个三角形是直角三角形。

解题方法在解决与四点共圆相关的问题时，我们可以运用以下方法：方法1：利用垂心定理垂心定理是指：对于一个三角形ABC，它的三条高线交于一点H，那么H就是这个三角形的垂心。

在解题中，我们可以使用垂心定理来判断四个点是否共圆。

方法2：利用勾股定理勾股定理是指：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

当我们已知一个三角形是直角三角形时，可以利用勾股定理来判断四个点是否共圆。

方法3：利用向量运算在二维平面上，我们可以使用向量运算来判断四个点是否共圆。

具体方法是，计算任意三个点所确定的两条向量，然后判断这两条向量是否垂直。

如果垂直，则四个点共圆。

总结四点共圆是高中数学中重要的几何概念之一。

通过了解四点共圆的定义、性质以及解题方法，我们可以更好地理解和应用这一知识点。

平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)

BB高中数学联赛平面几何讲义之四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒，则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、（等角共轭点性质）已知点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠.求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，B圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。

四点共圆ppt

A
过一个点的圆不确定
A B
过两个点的圆不确定
过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆
2.我们已对上述三种情况有了深刻的认识，那么请问过平面内四个点能确定一个圆吗？
二、合作探究，获得猜想
活动1：
1.过三点作圆可以看成是过三角形的顶点作圆，那过同一平面内任意不共线的四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那同学们会作吗？
证明猜想
已知：在四边形 ABCD 中，∠B+∠D=180°．求证：过点 A、B、C、D 可作一个圆．
证明：假设过 A、B、C、D 四点不能作一个圆．过A、 B、C 三点作圆，若点 D 在圆外．
设 AD 与圆交于点 E ，连接 CE，则∠B+∠AEC =180°．
∵∠B +∠D=180°， ∴∠AEC=∠D． ∵∠AEC=∠D+∠DCE ，这与∠AEC=∠D矛盾，故假设不成立．因此点D不在过点A、B、C 三点的圆外．
拓展延伸
如图，在四边形ABCD中，如果∠ADB=∠ACB,那么同时过点 A、B、C、D 能不能作一个圆？为什么？
获得结论
四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若其顶角相等，则四点共圆．
善问为智善听是德
探
学
究
习
因
因
思
探
考
究
而
而
深
丰
刻
富
为了便于学习和使用，本文档下载后内容可随意修改调整及打印，欢迎下载。
D A
C B
活动2： 2.课本P119图3给出了一些四边形，同学们尝试着作一下，看能否过它们的四个顶点作一个圆？
结论：不是所有四边形的四个顶点共圆，只有一部分四边形的四个顶点共圆.

第四讲四点共圆问题

第四讲四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2ABCK M NPQ B ′C ′=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证.2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK .A BCOO O O 123？？求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆 ∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ， BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC +A BC D K M ··ABO K N CMG∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ，故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21 ∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ， ABCDI C I DAI I B∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC ) =360°-21×180°=270°. 故∠I B I C I D =90°.同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，P A :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛)分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故P A 2+PB 2=AB 2=1989. 由于P A :PB =5:14，可求PB . (5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).··P OA BCD(1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正三角形，K 必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大. 例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS 交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ .(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ .A BCDEF KG ······又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′＜90°)，故RS ＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.练习题1.⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A 点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。

四点共圆知识

四点共圆知识嘿，朋友！今天咱们来聊聊神秘又有趣的“四点共圆”知识。

你知道吗，四点共圆就像是四个小伙伴手拉手围成一个圈圈，共同玩耍。

那到底啥是四点共圆呢？简单说，就是平面上的四个点在同一个圆上。

这有啥用呢？用处可大了去啦！比如在几何题里，要是能发现四点共圆，那解题思路可能就像开了闸的洪水，一下子涌出来了。

咱们先来说说怎么判断四点共圆。

有一种方法叫“对角互补法”。

啥意思呢？就是如果四边形的对角互补，那这四个点就在同一个圆上。

这就好比两个脾气互补的朋友，能相处得特别好，一起在一个圈子里快乐玩耍。

再比如说“同弦所对的圆周角相等”。

这就好像一把钥匙开一把锁，同一个弦对应的圆周角，那肯定是“一伙儿”的，这四个点也就共圆啦。

四点共圆还有很多神奇的性质呢。

比如说，共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等。

这是不是有点像双胞胎，长得像，性格也差不多。

还有啊，如果四点共圆，那么其中一个点到另外三个点的距离之积等于另外一个点到这三个点的距离之积。

这是不是很奇妙？就好像是这四个点之间有着一种神秘的约定。

那怎么在实际解题中运用四点共圆呢？给你举个例子。

有个几何题，给了你一些角度和线段长度的条件，怎么都解不出来。

这时候你突然发现，如果能证明这四个点共圆，那就能利用四点共圆的性质找到突破口，一下子就把难题给解决了，是不是感觉超级爽？学习四点共圆知识，就像是探索一个神秘的宝藏，每发现一个新的性质或者方法，都像是找到了一颗闪闪发光的宝石。

所以啊，朋友，别小看这四点共圆的知识，它可是几何世界里的一把神奇钥匙，能帮你打开一扇又一扇难题的大门，让你的数学之旅更加精彩！你说，这么有趣又有用的知识，咱们能不好好学吗？。

四点共圆公式

四点共圆公式四点共圆是一个有趣的数学概念，在咱们的数学学习中可有着独特的魅力呢！咱们先来说说啥是四点共圆。

简单来讲，如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那这四个点就叫四点共圆。

那怎么判断四个点是不是共圆呢？这就不得不提到几个重要的公式和方法啦。

比如说，如果四个点连成的四边形的对角互补，那这四个点就共圆。

这就好比一个四边形，两个对角加起来要是 180 度，那它们肯定是在同一个圆上“玩耍”。

再比如，如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那这四个点也共圆。

这个就有点像在一个圆里，外角和内对角就像是一对默契的小伙伴，它们的关系就揭示了这四个点是不是共圆。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸困惑地问我：“老师，这四点共圆到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大啦！比如在解决几何问题的时候，知道四点共圆，就能找到一些隐藏的角度关系，让难题变得简单不少呢！”就拿一道题来说吧。

有一个四边形 ABCD，角 A 是 80 度，角 B 是100 度，角C 是120 度，让咱们判断这四个点是不是共圆。

咱们一看，角 A 加角 C 正好是 80 + 120 = 200 度，而四边形内角和是 360 度，所以角 B 和角 D 的和就是 360 - 200 = 160 度。

但是题目中告诉咱们角 B是 100 度，那角 D 就应该是 60 度。

这时候咱们再看，角 A 加角 C 等于 200 度，角 B 加角 D 等于 160 度，两角之和不等于 180 度，所以这四个点不共圆。

在实际生活中，四点共圆的概念也有不少应用呢。

比如说建筑设计中，设计师们可能会利用四点共圆的原理来确保某些结构的稳定性和对称性。

还有在测量领域，当需要确定一些距离或者角度的时候，四点共圆的知识也能派上用场。

总之，四点共圆这个公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做几道题练习练习，就能轻松应对啦！希望同学们在学习的过程中，多思考，多探索，发现数学的乐趣和美妙之处！。

四点共圆定理

四点共圆定理中国古代数学家张丘建于《九章算术》中提出的“四点共圆定理”，是经典中的经典，也是中国学术古迹。

四点共圆定理的主体是：“任意四点在一个平面上，若这四点共线，则这四点共圆；若不共线，则这四点不共圆”。

它建立在三角形学知识的基础上，即四边形中连接任意两条边之间的角等于两角之和。

张丘建提出的四点共圆定理，表示了欧几里德引入的几何概念在中国数学史上的重大意义，作为中国古代数学的重要组成部分，它引发了中国古代数学家之间的争论以及数学研究的深入发展。

历史上，陈悉、吴文英、赵普新等著名的数学家都曾在研究四点共圆定理的道路上探索。

关于四点共圆定理，数学家们也提出了不同的解释。

陈悉认为，由于四个点不在一条直线上，所以它们不可能共圆，而吴文英认为，只要给出四点共圆的条件，就可以构建出一个圆，赵普新则认为，只要相四个点不共线，就可以满足四点共圆定理。

这些解释都深深影响了中国古代数学的发展，张丘建的定理也受到赞誉。

今天，张丘建的《九章算术》仍然是基础数学的重要教材，四点共圆定理也被许多数学普及读物中作为数学知识的介绍材料用来讲解。

张丘建的四点共圆定理不仅是中国古代数学的重要创新，更被认为是开发了几何数学的一个重要途径。

受到张丘建的大量贡献，中国古代数学研究发展迅速，几何学成为数学发展中最重要的分支。

张丘建的《九章算术》中的四点共圆定理，推动了中国数学历史的发展，为几何学的研究和发展提供了支持。

这个定理的最重要的收获是，它提出了一个新的、宽泛的概念四点共圆，它表明，任意四点在一个平面上，只要满足一定的条件，就可以构成一个圆；也就是说，它提出了一种新的、宽泛的几何概念圆，它把古典几何中圆的概念扩展到平面几何领域。

四点共圆定理也得到了由20世纪数学家爱因斯坦提出来的“相对论”的启发。

爱因斯坦认为，空间和时间是相互关联的，是一个统一的整体，而张丘建的四点共圆定理正好证明了这一点，他的定理表明，由任意四点构成的圆，实质上是一种“无穷”的统一概念，把任意四点都包含在内。

四点共圆判定定理推导过程

四点共圆判定定理推导过程四点共圆判定定理，听起来好像很复杂，其实一点也不难，咱们一起来聊聊。

想象一下，你和几个朋友在公园里，玩着有趣的接力赛。

突然，有人提议要画一个圆，看看这几个点能不能在这个圆上面。

于是，你们就开始思考，这四个点究竟能不能“共圆”呢？咱们要知道什么是“共圆”。

简单来说，就是说这几个点都在同一个圆上，大家一起享受这个圆的乐趣。

如果你有过画圆的经验，就会发现，要想让几个点都在一个圆上可不是那么简单的事。

就像你找不到一个合适的地方放所有的零食一样，得想办法！不过，别担心，四点共圆的判断其实有个很简单的方法。

我们可以用一个很实用的公式来解决这个问题。

你只需要先找到这四个点的坐标，记得要准确哦，不然就像在拍照时没对焦，出来的效果可就大打折扣。

咱们可以组成一个行列式，听起来有点高大上，其实就是把这几个点的坐标填到一个特定的表格里。

这个表格里有点像做饭时的食材清单，缺少一个材料可就不能成菜。

然后，把这些坐标填进一个特定的行列式，算一算，最后结果出来了。

如果这个行列式的值等于零，那就恭喜你，四个点真的能共圆；如果不等于零，哎，那就得另想办法了。

这就像做数学题，答案对了就是对的，不对就得改正。

相信我，掌握这个方法，你再也不用担心和朋友们的接力赛了，圆圆满满，大家都开心。

再说说这行列式。

大家可能觉得行列式听起来很抽象，实际上这东西就像是做某种约定。

只要这四个点能满足某种关系，它们就可以欢快地站在同一个圆上。

别看这小小的行列式，它其实在数学里可是个大明星，很多地方都能见到它的身影，就像你在街上总能遇到的熟人，随时准备给你带来意想不到的惊喜。

顺便提一句，四点共圆的定理在我们的生活中也有很多应用。

比如说，很多设计师在设计花坛、操场的时候，都会考虑这些点的关系。

想象一下，一个完美的花坛，每一朵花、每一片草都恰好围绕着中心展开，真的是美得不可思议。

就像生活中的各种聚会，大家围坐在一起，气氛和谐，快乐分享，简直太棒了。

高二数学讲义四点共圆

《四点共圆的条件》课件

高二数学讲义四点共圆

探究四点共圆知识点

四点共圆 (2)

四点共圆定理

四点共圆定理及其推论

第六讲 四点共圆

四点共圆托勒密定理

四点共圆(教案)

高二数学讲义四点共圆(二)

高中四点共圆知识点

平面几何讲义之四点共圆(内容很详实)

四点共圆ppt

第四讲 四点共圆问题

四点共圆知识

四点共圆公式

四点共圆定理

四点共圆判定定理推导过程

第六讲四点共圆

第四讲四点共圆问题