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(word完整版)九年级数学下学期三角函数练习题(2)

九年级数学下学期三角函数测试卷班级：姓名：座号：成绩：一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ，则sinA 的值是 A ．1515 B ．41 C ．31 D ．4152．当锐角α>30°时，则cosα的值是 A ．大于12 B ．小于12C 3D 33．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米4. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=o，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =，则tan BCD ∠的值为（）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．455. 在△ABC 中，90C ∠=o，2B A ∠=∠，则cos A 等于（）Ａ．32Ｂ．123Ｄ．336. 如图2所示，旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30o，向旗杆前进12m 到达D ，在D 处测得A 仰角为45o，则旗杆的高AB 等于（）m ．Ａ．12 Ｂ．14Ｃ．16Ｄ．187. 在△ABC 中，90C ∠=o，12sin 13A =，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（）Ａ．5613Ｂ．12613Ｃ．7613Ｄ．17128.△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形ＡＣＤＢ图1ＡＣＤＢ图2CE二、填空题：（每小题3分，共30分）1. 如图3，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为 2．已知：∠α是锐角，︒=36cos sin α，则α的度数是。

初三数学总复习专题之三角函数篇

第5讲三角函数实际应用1.图1是一辆自行车的侧面图，图2是他的简化示意图，经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面距离CF为33cm,车架中立管BC的长为60cm,后轮切地面l于点D（1）后轴轴心A与中轴轴心C所在直线AC与地面l是否平行？请说明理由（2）求∠ACB的大小（精确到1°）（3）如果希望车座B到地面的距离B´E´为93.8cm，车架中立管BC拉长长度BB´是多少？2.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）3.如图1，某种三角形台历被放置在水平桌面上，其左视图如图2所示，其中点O是台历支架OA,OB 的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14cm，CA=CB=4cm,∠ACB=120°（1）求点O到直线AB的距离（2）求张角∠AOB的大小（3）把某月的日历从台历支架正面翻到背面（即OB与OA重合），求点B所经历路径长（参考：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，π取 3.14，所有结果精确到0.01）4.如图，李华晚上在两盏相距50cm的路灯下来回踱步，已知李华的身高AB=1.7m,灯柱高OP=OP´=8.5m,两灯柱之间的距离OO´=50m，（1）若李华距灯柱OP´的水平距离OA=xm,他的影子AC=ym,求y关于x的函数关系式（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度和（DA+AC）是否发生变化？请说明理由5.图1是小华在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小华锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，AB=1.30米．（1）求AB 的倾斜角α的度数（精确到1）；（2）若测得EN=0.85米，试算小华头顶由M 点运动到N 点的路径 MN 长度（精确到0.01米）（参考数据：sin18︒≈0.31,cos18︒≈0.95,tan18︒≈0.32）6如图，某投影仪E 正对投影幕布AB 中央，其距离EG=3.60米，为方便教学，现将投影幕布由黑板正中AB 位置调整到左面DB 位置处，测得AB=BD=2.6米，∠DBC=39.85°，此时投影仪E 调整到线段EB 上点F 处且恰好正对投影幕布DB 中央，若投影仪与投影幕布安装距离控制在3.45米到3.65米之间视觉效果最好，则调整后投影仪F 与投影幕布BD 之间的距离是否符合要求？（参考数据：tan70.15°≈2.770，tan70°≈2.747，cos39.85°≈0.7677，tan39.85°≈0.8346，可用科学计算器，结果精确到0.01）图1图2BCED AM α N7.下图是躺椅结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm,EG=30cm, (1)求两支架落点E,F之间的距离(2)若MN=60cm,求躺椅高度（点M到地面的距离，结果取整数）8.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°。

九年级三角函数的应用练习题

九年级三角函数的应用练习题：1、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为30°，测得乙楼底的俯角为45°，两楼相距60米。

求两楼高度2、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为60°，测得乙楼底的俯角为45°，甲楼高100米。

求乙楼高度和两楼距离3、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，甲楼的高为50米。

求乙楼高度4、右图：小明在A处测得塔顶仰角为30°，前进100米至B处,测得塔顶仰角为45°。

求塔高5、如图，一飞机从一高炮C的正上方D点2 000 m 经过，沿水平方向飞行，稍后到达B 点，此时仰角45°，一分钟后飞机到达A点，仰角为30°，求飞机从B到A的速度?6、右图：身高1．80米的同学测得旗杆顶的仰角为60°，他与旗杆的距离为5米，求旗杆高7、右图：发射塔AB在山顶上，在距离山100米的C处，测得A、B的仰角为60°和45°求发射塔AB高度8、右图：小明在A处测得塔顶仰角为45°，前进100米至B处,测得塔顶仰角为60°，已知山高50米，求CD9.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B处。

上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里。

（结果保留根号）10.在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿东北方向行进了5 千米到达B 地，然后再沿西北方向行进了5千米到达目的地C 。

（1）A 、C 两地的距离为千米。

（2）试确定目的地C 在A 地的什么地方？11.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).12.如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).13.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离. BDA CE FF30︒北A 60︒C14.在拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?B30︒DA60︒C E。

北师大版初三数学9年级下册第1章 1.5三角函数的应用解答题专题训练 (含答案)

北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）1．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据AM＝4米，AB＝8米，∠MBC＝30°，∠MAD＝45°，则警示牌的高CD为多少米？（结果精确到米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：2．若新坡角下留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡CD的坡度为：1．求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）．4．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】5．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）6．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）7．如图，宿豫区某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有30米的距离（B、F、C在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）若要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．（结果精确到1m）（参考数据：sin22°，cos22°≈，tan22°≈）8．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i＝1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD＝8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．9．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．10．如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）11．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE ＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．12．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）13．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）14．如图，一辆摩托单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于底面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）15．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）17．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝5.5米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）18．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】22．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）23．如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，结果精确到0.1）24．如图，一架梯子底端放在一处斜坡上，顶端靠在墙上，已知梯子与坡面的夹角α＝75°，斜坡CD与地面的夹角β＝30°，BC＝1米，CD＝2米，求梯子顶端到地面的距离AB．25．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】26．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）27．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案1．解：在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，∴DM＝AM⋅tan45°＝4（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝4+8＝12（m），∴CM＝12×≈6.92（m），∴CD＝CM﹣DM＝6.92﹣4≈3（米），答：警示牌的高CD为3米．2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，∵坡面DC的坡度为i＝：2，∴tan∠CDB＝，在Rt△BCD中，＝，∴BD＝×10＝14.14，∵10+10﹣14.14＝5.86＞3，∴离原坡角（A点处）10米的建筑物不需要拆除．3．解：在Rt△BAE中，tan∠BAE＝，即＝2.5，解得，AE＝64.8，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝，即＝，解得，CE＝102.08，AC＝CE﹣AE＝102.08﹣64.8≈37.3（米），答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．4．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），答：操作平台C离地面的高度为7.3m．5．解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝2，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．6．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝42，解得：x＝50∴楼间距AB＝50m，（2）由（1）可得：PE＝50•tan32.3°＝31.5m，∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．7．解：（1）过点EE作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+30，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝22°，AM＝AB﹣CE＝x﹣3，，∴，解得x＝25，∴办公楼AB的高度为25m．（2）在Rt△AEM中，∵，∴＝≈59m，答：A，E之间的距离约为59m．8．解：（1）∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEF＝∠CFE＝90°，∴DE∥CF，∵DC∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝DC＝8x，∵＝＝，∴EA＝BF＝3x，∴AD＝BC＝5x，∴AB＝AE+EF+BF＝14x，∴天桥总长和马路宽度AB的比＝18x：14x＝9：7．（2）由（1）可知，AB＝14x，AD+CD+BC＝18x，由题意：＝﹣12.8，解得x＝2，∴14x＝28，答：马路宽度AB的长为28m，9．解：如图，作DH⊥水平线于H，AG⊥水平线于G，BE⊥DH于E，AC⊥DH于F．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠α＝16°，AB＝700，由sinα＝，可求BC的长．即BC＝AB•sinα＝700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠β＝16°，BD＝AB＝700，由sinβ，可求DE的长．即DE＝BD•sinβ＝700sin20°，由矩形性质，可知EF＝BC＝700sin16°，FH＝AG＝126．从而，可求得DH的长．即DH＝DE+EF+FH＝700sin20°+700sin16°+126．10．解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．∴GH＝GF•cos∠FGH＝100×0.17＝17，在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，∴EL＝≈46.5cm，DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．11．解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB＝＝10（cm），∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣10）cm．12．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG≈2.17（m），∴FM＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．13．解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB：EB＝1：1，∴BD＝BE，∴CD+BC＝AE+AB，即2+x＝4+x，解得x＝12，即BC＝12，答：水坝原来的高度为12米．14．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，由AB＝49 知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BE sin68°＝3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．15．过点A作OB的垂线AC，垂足是C，在Rt△ACO，AO＝1.2，∠AOC＝40°∵sin40°＝，∴AE＝OA sin40°≈0.64×1.2＝0.768＜0.8，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．16．解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD＝33cm，CF＝33cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝33cm，∵BE＝90cm，∴BH＝57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH＝＝＝＝0.95，∴∠ACB＝72°．（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝67cm．故BB'＝B'C﹣BC＝67﹣60＝7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．17．（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．18．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝＝＝0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．19．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．20．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．22．解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠PAG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠PAE＝20°，∴∠BAC＝40°．23．解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝20≈28.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．24．解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．则四边形DEBF是矩形．在Rt△DCF中，DF＝EB＝CD•sin30°＝1，CF＝CD•cos30°＝，∴DE＝BF＝1+，在Rt△ADE中，∠ADE＝75°﹣30°＝45°，∴AE＝DE＝1+，∴AB＝AE+EB＝2+．25．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．26．解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．27．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，AC＝18、∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝＝12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF＝x米，则BF＝AB+AF＝9+x（米），在Rt△BEF中，BE＝＝＝18+x（米），由题意知AD＝BE＝18+x（米），∵CF＝10，∴AC＝AF+CF＝10+x，由cos∠CAD＝可得＝，解得：x＝3+2，则AD＝18+（3+2）＝24+2，∴CD＝AD sin∠CAD＝（24+2）×＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+；方法二：设CD＝x，∵∠CAD＝30°，∴BE＝AD＝2CD＝2x，AC＝＝＝x，∵CF＝10，∴AF＝AC﹣CF＝x﹣10，∵AB＝9，∴BF＝AB+AF＝9+x﹣10，∵∠EBF＝45°，∴由cos∠EBF＝可得＝，解得：x＝12+，即CD＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+．答：风筝原来的高度C1D为（+）米。

九年级三角函数的应用

解直角三角形一定义：叫解直角三角形一解法分类：1已知一边和一个锐角解直角三角形；2已知两边解直角三角形．1如图,四边形ABCD中,∠A=600,AB⊥BC, AD⊥DC,AB=200,CD=100,求AD的长; ADB C2如图,四边形ABCD中,∠D=1200,BA⊥DA, AC⊥DC,AB=503,CD=303,求AD的长;CDB A二解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决例1. 一个小孩荡秋千,秋千的链子的长度为2米,当秋千两边摆动时,摆角恰好为60度,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差;结果精确到0.01米,参考数据：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236例2：如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=82m,坡底BC=30m,∠ADC=135°1求∠ABC的大小；2如果坝长100m,那么建筑这个大坝要多少土石料参考数据：tan280≈0.5,sin300=0.5,cos600=0.5A DB C例3：如图,小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高,已知小明离树的距离为4米,DE为1.7米,那么这棵树大约有多高精确到0.1米例4.某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图,他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D,又测得点A的仰角为45°;请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度．计算过程和结果均不取近似值练习：1.如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°,则广告牌的高度BC 为多少米精确到0.1米．sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7； sin52°≈0.8,cos52°≈0.6,tan52°≈1.32.在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ,张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量精确到整数米参考数据：sin50°≈0.77,cos50°≈0.64, tan50°≈ 1.20, sin30°=0.50,cos30°≈0.87,tan30°≈0.584.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m ,则电梯楼的高BC 为多少米．参考数据：2≈1.414,3≈1.7325.如图,在小山的西侧A 处有一热气球,以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空,40分钟后到达C 处,这时热气球上的人发现,在A 处的正东方向有一处着火点B,十分钟后,在D 处测得着火点B 的俯角为15°,求热气球升空点A 与着火点B 的距离;结果保留根号参考数据：42615sin -=︒,42615cos +=︒,3215tan -=︒;6.汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P 点,测得A 村的俯角为30︒,B 村的俯角为60︒．如图7．求A 、B 两个村庄间的距离．结果精确到米,参考数据2≈1.414,3≈1.732ABCD6米52° 35°QP 45060︒30︒AB C D7.如图,小明同学在东西方向的环海路A 处,测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上,在A 处东500米的B 处,测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上,则灯塔P 到环海路的距离PC 为多少米用根号表示．例5：我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路,但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处,有一个半径为0.6千米的住宅小区见下图,问修筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁参考数据：2≈ 1.414,3≈1.732练习：1.某月松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上,前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向,如图,以航标C 为圆心,120m 长为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险★2.在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN 如图,在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A 相距83km 的C 处．1求该轮船航行的速度保留精确结果；2如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸请说明理由．例6：如图,某货船以20海里/时的速度将一批货物由A 处运往正西方向的B 处,经16小时到达,到达后必须立即卸货;此时接气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°的方向移动,距台风中心200海里的圆形范围内包括边界均会被影响;问：1B 处是否会受到影响说明理由;2为避免台风影响,该船应在多少小时内卸完货北 3求这次台风影响B 市的时间供选用数据2≈1.4,3≈1.7PA B C30°60°北N M 东北BCA l西B A练习1.某校的教室A 位于工地O 的正西方向、,且 OA=200米,一部拖拉机从O 点出发,以每秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为130米,试问教室A 是否在拖拉机噪声污染范围内若不在,请说明理由；若在,求出教室A 受污染的时间有几秒已知：sin53°≈0．80,sin37°≈0．60,tan37°≈0．75★3. 如图,在某气象站M 附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于气象站M 的东偏南方向100千米的海面P 处,并以20千米／小时的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为20千米,并以10千米/小时的速度不断增大,已知cos θ=102,问： 1台风中心几小时移到气象站M 正南N 处,此时气象站M 是否受台风侵袭 2几小时后该气象站开始受台风的侵袭例7如图,有一段斜坡BC 长为10米,坡角12CBD ︒∠=,为方便残疾人的轮椅车通行,现准备把坡角降为5°． 1求坡高CD ；2求斜坡新起点A 与原起点B 的距离精确到0.1米．参考数据：sin5°≈0.09 ,cos5°≈1.0 , tan5°≈0.09 , sin12°≈0.2 ,cos12°≈0.98 ,tan12°≈0.2练习：1.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.1求新传送带AC 的长度；2如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道,试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由．说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米参考数据：2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.452.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示．BC AD ∥,斜坡40AB =米,坡角60BAD ∠=,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测,当坡角不超过45时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米结果保留根号DB AC512。

初三数学《三角函数的实际应用》题目

专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【变式1-1】小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【变式1-2】如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【变式1-3】如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB 和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE ＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A 的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【变式2-2】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【变式2-3】某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．（结果保留根号）【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）．（参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A 地出发，组织学生利用导航到B 、C 两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C 地恰好在A 地正北方向，且距离A 地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B 地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【变式2-1】某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【变式2-2】码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A ＝67°，∠B ＝37°．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A →D →C →B 去超市B ．求他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【变式1-1】如图，某学校教学楼AB的后面有一建筑物CD，在距离CD正后方28米的观测点P处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E处，测的教学楼的顶端A的仰角为45︒，求教学楼AB的高度（结果保留整数，2 tan22)5︒≈．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【变式1-3】在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【变式1-4】如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）。

中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总

精品文档3 三角函数在实际中的应用专题.1某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度•已知小亮站着测量，眼睛与自我诊断AB1.7E30 °小敏蹲着测量，眼睛与地面的米，看旗杆顶部）是地面的距离（的仰角为CD0.7E455B°）是米且位于旗杆同侧（点距离（米，看旗杆顶部•两人相距的仰角为DF .、在同一直线上）1DF （结果保留根号））求小敏到旗杆的距离.（2EF1.41.7 ' :'（（结果保留整数，参考数据：）求旗杆，的高度.A.A2上方有一些管道，如图所示，某古代文物被探明埋于地下的自我诊断处, 由于点BCB处挖掘时，最短路线考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从处或处挖掘，从30CBA56CA且与地面所成的锐角是处挖掘时，最短路线，从与地面所成的锐角是=0.83Bsin56BC=20m°，若考古人员最终从处挖掘，求挖掘的最短距离.（参考数据：1.48tan561.73.「，结果保留整数），地面 3 C跟踪训练11•年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据'：■：2.6m45APQA。

向前走立在山坡上，从地面的点测得杆顶端点看，，的仰角为一电线杆60PQB0和，又测得杆顶端点的仰角分别为到达点和杆底端点30° BPQ1 的度数；（）求/ PQ21m））求该电线杆（的高度.（结果精确到p3. AB的距离，飞机以距海、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量岛屿两端CA60AB。

的方向的俯角为平面垂直同一高度飞行，在点，然后沿着平行于处测得端点500DB45AB541.91。

的距离的俯角为，已知岛屿两端米，在点测得端点水平飞行了、 1.411.73H 卜才米，参考数据：，米，求飞机飞行的高度.（结果精确到4. DABABCBC在同一条直线上，小红在，且点，如图，某建筑物顶部有釘一旗杆，DE42D47AB。

2020—2021年北师大版初中数学九年级下册三角函数的应用专题练习及答案解析.docx

北师大版数学九年级下册三角函数的应用课时练习一、单选题（共15题）1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．(11-米 B． C．(11- D．4)米答案：D解析：解答：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米， ∴在直角△CPD 中，DP=DC •cot30°m ，PC=CD ÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P ，∠PDC=∠B=90°， ∴△PDC ∽△PBO ，∴PD CDPB OB=，∴PB=112PD OB CD ⋅==米，∴BC=PB-PC=4)米．故选：D ．分析: 出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB 、PC ，再相减即可求得BC 长2.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB 的长为3m ，点D 、B 、C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是（）解析：解答: 假设AC=x，∴BC=x，∵滑梯AB的长为3m，∴2x2=9，解得：x=2∵∠D=30°，∴2AC=AD，∴故选C．分析:根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。

3.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A ．6sin 50oB ．6tan 50oC ．6cos50°D ．6cos50o答案：D解析：解答:∵BC=6米，∠ACB=50°，∴cos50°=BCAC，∴AC=6cos50cos50BC o o（米）；故选D ．分析:此题考查了解直角三角形，解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决4.如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD=30°，在C 点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B 点到河岸AD 的距离为（）A．100米 B．米 C．3米 D．50米答案:C解析：解答:过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=12BC=50米，∴米，故选：B．分析:过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM 的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（答案:A解析：解答: 设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，x，∵，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，=8米，∴BC=8-3=5米．故选A．分析:设CD=x ，则AD=2x ，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD 、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC 的长6.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（）A ．5mB ．103m C ．．答案:D解析：解答:∵AB=10米，tanA=12BC AC∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得∴故选D．分析:可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（）A ．5cmB ．．10m D m答案:C解析：解答：如图所示：过点C 作CE ⊥AB 延长线于点E ，∵∠ABC=150°， ∴∠CBE=30°，∵从点B 到点C 上升的高度为5m ， ∴电梯BC 的长是10m ．故选：C ．分析:根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出即可8. 一斜坡为1米，那么坡比为（）A ．1：3B ．1：13C ．1．1：10答案:A解析：解答:∵一斜坡为1米，∴坡的水平宽度为：3m ，∴坡比为：13故选：A．分析:直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A．56米 B．66米 C．（）米 D．（）米答案:C解析：解答:作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE 是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB 的坡度i 为1：2.5，在Rt △ABE 中，∵12.5BE AE ∴AE=50米，在Rt △CFD 中， ∵∠D=30°， ∴DF=CFcot ∠米，∴（）米．故选C ．分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD 和BC 的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75答案:D解析：解答: 如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=12×（GH-EF）=12×（2.1-1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM ：0.45=1：0.6， ∴EM=0.75，故选：D ．分析:先过点E 作EM ⊥GH 于点M ，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM ，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM ：GM=1：0.6，最后代入计算即可11.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC 为6m ，则这两棵树之间的坡面AB 的长为（）A ．12mB ．．．答案:C解析：解答:如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m ，∴AB=cos30AC ==om ）．故选C ．分析:AB 是Rt △ABC 的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB 的长．12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为（）m ．A ．10B ．8C ．6D ．答案:A解析：解答: ∵天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，∴sinC=35AB AC =，则635AC = 解得：AC=10，则坡面AC 的长度为10m ．故选：A ．分析:此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键m，∴AC=BC÷∴．故选：D．分析: 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．14.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A．26米 B．28米 C．30米 D．46米答案: D解析：解答：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．分析:根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高答案:D解析：解答：甲放的高度为：300×sin30°=150米．乙放的高度为：250×sin45°≈176.75米．丙放的高度为：200×sin60°所以乙的最高．故选D．分析:利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可二、填空题（共5题）16.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了_____________米．答案: 1000解析：解答:过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×12=1000．故答案为：1000分析: 过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=2000米，∠A=30°，求出BC的长度即可17.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米（结果保留根号）答案:解析：解答:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，AC=6，∴BC=AC•tanA=6×13 =2．根据勾股定理，得：=邻两树间的坡面距离是米．分析：在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．18.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______答案: 12米解析：解答:∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1∴BC：AC=1∴（米），==∴12故答案为12米．分析:在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC 的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长19.如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=_________米．（可以用根号表示）答案：6m解析：解答：作CF ⊥AB 的延长线于F ，∵∠ABC=135°，∴∠CBF=180°-135°=45°，∴CF=BC •sin45°×2=6．故答案为6．分析:作CF ⊥AB 的延长线于F ，求出∠CBF=45°，然后利用三角函数求出CF 的长即可．三、解答题（共5题）21.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，求它们之间的水平距离（可用计算器计算，精确到0.1米）答案：3.6米．解析：解答: 由题意得cos24°36′ =0.909，解得：水平距离≈3.6米．故答案为：3.6．分析:倾角为24°36′，即坡角为24°36′，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离．22.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα∵AB的坡度i=1：3，∴tanα=12 AC BC设AC=x，BC=3x，根据勾股定理可得：则sin α=AC AC AB ==故答案为分析：本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义 23.如图，如果某个斜坡AB 的长度为10米，且该斜坡最高点A 到地面BC 的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比答案：6米解析：解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．。

九年级数学下册三角函数的应用练习题

九年级数学下册三角函数的应用练习题题目一：已知直角三角形ABC，其中∠B为直角，AB = 12cm，BC = 5cm。

计算以下各题：1. 计算∠ACB的正弦值、余弦值、正切值；2. 计算∠ACB的余弦值、余割值、正切值；3. 若点D在线段BC上，且BD = 3cm，计算∠ADB的正弦值、余弦值、正切值；4. 若点D在线段BC上，且BD = 3cm，计算角度∠ADB的正弦值、余弦值、正切值。

解答：1. ∠ACB的正弦值：sin(∠ACB) = 对边/斜边 = AB/BC = 12/5；∠ACB的余弦值：cos(∠ACB) = 临边/斜边 = BC/AB = 5/12；∠ACB的正切值：tan(∠ACB) = 对边/临边 = AB/BC = 12/5。

2. ∠ACB的余弦值：cos(∠ACB) = 临边/斜边 = BC/AB = 5/12；∠ACB的余割值：cosec(∠ACB) = 斜边/对边 = AB/BC = 12/5；∠ACB的正切值：tan(∠ACB) = 对边/临边 = AB/BC = 12/5。

3. ∠ADB的正弦值：sin(∠ADB) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/12；∠ADB的余弦值：cos(∠ADB) = 临边/斜边 = AD/AB = (AB-BD)/AB = (12-3)/12 = 9/12；∠ADB的正切值：tan(∠ADB) = 对边/临边 = BD/AD = 3/(12-3) = 3/9 = 1/3。

4. ∠ADB的正弦值：sin(∠ADB) = 对边/斜边 = BD/AB = 3/12；∠ADB的余弦值：cos(∠ADB) = 临边/斜边 = AD/AB = (AB-BD)/AB = (12-3)/12 = 9/12；∠ADB的正切值：tan(∠ADB) = 对边/临边 = BD/AD = 3/(12-3) = 3/9 = 1/3。

题目二：一支标枪离地面的水平距离为20m，离地面的高度为5m。

初中九年级数学三角函数应用题练习及答案

三角函数的应用题第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。

解：∵∠DAC=90°由勾股定理，有CD2=AD2+AC2∵AD=3，DC=5∴AC=4∵∠B=30°∴AB=2AC∴AB=8[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且AD=DC，若tg∠DAC=,求tg∠BAD。

探索：已知tg∠DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tg∠DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D点作AC的垂线。

又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边AB、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC的条件。

由于AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可把正切值直接移到Rt△ABC中。

解答：过D点作DE⊥AC于E，且设DE=k，则AE=4k∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC∴AC=8k∵设AB=m，BC=4m由勾股定理，有AB2+BC2=AC2∴由勾股定理，有CD2=DE2+EC2由正切定理，有[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。

探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB应放在什么图形中。

点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。

解：连结AC∵∠D=90°由勾股定理，有AC2=CD2+CD2∵AD=3，CD=4，∴AC=5∵AB=13，BC=12∴132=122+52∴∠ACB=90°由正弦定义，有第二阶梯[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的仰角为45°，求塔高AB。

(完整版)九年级数学三角函数习题(可编辑修改word版)

2 33D九年级数学（锐角三角函数）测试题姓名：座号：满分：110 分成绩：一、选择题（本大题共 10 小题，每小题３分，共 30 分） 1. sin 45 + cos 45 的值等于（）A. 1B. C. D.22. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sinα的值是（）A. 3 4B. 4 3C.3 5 D.4 53. 在△ABC 中，若|sinA － |+(1－tanB)2=0，则∠C的度数是（）2A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°4. 把 Rt△ABC 各边的长度都扩大3 倍得 Rt△A /B /C /，那么锐角 A 、A /的余弦值的关系为（）Ａ．cosA=cosA / Ｂ．cosA=3cosA /Ｃ．3cosA=cosA /Ｄ．不能确定 5. 若等腰三角形腰长为 4，面积是 4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A.30°B.30°或 150°C.60°D.60°或 120° 6. 如图，坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离 AC 为2 m ，则两树间的坡面距离 AB 为（）ABC3 + 1 Ｂ30ＡＣBA C53 3 5（第 2 题）（第 6 题）（第 9 题）（第 15 题） 7. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15，它们的夹角为 60°，则平行四边形的面积是（） A ．150B ． 758. 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2， sin A = C ． 9 D ． 72，则边 AC 的长是（）34A.B ．3C ．D ． 39. 如图，在 Rt△ABC 中，C D 是斜边 AB 上的中线，已知 CD ＝2，AC ＝3，则 sinB 的值是（） 2 3 3 4 Ａ． B. C. D.3 24 310、以直角坐标系的原点 O 为圆心，以 1 为半径作圆。

初三三角函数的应用试题与答案

姓名学号密封教师填写内容考试类型考试【】考查【】审批绝密★启用前三角函数的应用测试时间:35分钟一、选择题1、在台风来临之前,有关部门用钢管加固树木(如图),固定点A 离地面的高度AC=m,钢管与地面所成角∠ABC=∠α,那么钢管AB 的长为( )A.mcosα B.m·sin α C.m·cos α D.msinα2、如图,两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosβcosα3、如图,要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离,可以在小河边取PA 的垂线PB 上一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA 等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米4、在东西方向的海岸线上有A,B 两个港口,甲货船从A 港口沿东北方向以5海里/小时的速度出发,同时乙货船从B 港口沿北偏西60°的方向出发,2 h 后在点P 处相遇,如图所示,则A 港口和B 港口之间的距离为( )A.10√2 海里B.(5√2+5√6)海里C.(10+5√6)海里D.20海里5、如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与底面垂直,在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台的坡面CD 的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC=1米,则旗杆AB 的高度约为( ) (参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米二、填空题6、为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米,背水坡面CD=12√3米,∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形ABED,tan E=3√313,则CE 为米.7、我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船B 在海岛A,C 附近捕鱼作业,已知海岛C 位于海岛A 的北偏东45°方向上,在渔船B 上测得海岛A 位于渔船B 的北偏西30°的方向上,此时海岛C 恰好位于渔船B 的正北方向的18(1+√3)n mile 处,则海岛A,C 之间的距离为 n mile.三、解答题8、如图,沿AC 方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC 上取一点B 使∠ABD=120°,BD=520 m,∠D=30°,当另一边开挖点E 离D 多远时,正好使A,C,E 三点在同一条直线上?(√3取1.732,结果取整数)横线以内不许答题9、如图,埃航MS804客机失事后,国家主席亲自发电进行慰问,埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救,其中一艘潜艇在海面下500 m 的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出,继续沿原方向直线航行2 000 m 后到达B 点,在B 处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C 点距离海面的深度(结果保留根号).10、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A 处时,测得小岛C 位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B 处,测得小岛C 位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处,求还需航行的距离BD 的长.(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)11、据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,如图所示,观测点C 到公路的距离CD=200 m,检测路段的起点A 位于点C 的南偏东60°方向上,终点B 位于点C 的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶,测得此车由A 处行驶到B 处的时间为10 s,问此车是否超过了该路段16 m/s 的限制速度?(观测点C 离地面的距离忽略不计,参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)参考答案一、选择题1.答案 D 在Rt △ABC 中,AC=m,∠ABC=∠α,sin ∠ABC=AC AB ,∴AB=msinα,故选D.2.答案 B 根据直角三角形中边与角的关系即可得到答案.在Rt △ABC 中,AB=ACsinα,在Rt △ADC中,AD=AC sinβ,所以AB AD =ACsinαAC sinβ=sinβsinα.3.答案 C 在Rt △PCA 中,PC=100米,∠PCA=35°,∠APC=90°,tan ∠PCA=PAPC,所以PA=PC·tan ∠PCA=100tan 35°米.4.答案 B 如图,作PC ⊥AB 于点C,∵甲货船从A 港口沿东北方向以5海里/小时的速度出发,2 h 到P 处, ∴∠PAC=45°,AP=5×2=10海里,∴PC=AC=5√2 海里, ∵乙货船从B 港口沿北偏西60°的方向出发, ∴∠PBC=30°,∴BC=√3PC=5√6 海里, ∴AB=AC+BC=(5√2+5√6)海里,故A 港口与B 港口之间的距离为(5√2+5√6)海里,故选B.5.答案 B 如图,延长AB 交ED 的延长线于M,作CJ ⊥DM 于J,则四边形BMJC 是矩形.在Rt △CJD 中,CJ DJ =10.75=43,设CJ=4k 米,DJ=3k 米,k>0,∵CD=2米,∴9k 2+16k 2=4,解得k=25, ∴BM=CJ=85米,DJ=65米,又∵BC=MJ=1米, ∴EM=MJ+DJ+DE=465米, 在Rt △AEM中,tan ∠AEM=AMEM ,∴tan 58°=AB+85465≈1.60,∴AB≈13.1米.故旗杆AB 的高度约为13.1米.故选B.横线以内不许答题二、填空题6.答案 8解析分别过A 、D 作AF ⊥BC,DG ⊥BC,垂足分别为F 、G,如图所示.在Rt △ABF 中,AB=12米,∠B=60°,sin B=AFAB ,∴AF=AB·sin B=12×sin 60°=12×√32=6√3米, ∴DG=6√3米.在Rt △DGC 中,CD=12√3米,DG=6√3米, ∴GC=√CD 2-DG 2=18米. 在Rt △DEG中,tan E=DG GE =3√313,∴6√3GE =3√313,∴GE=26米,∴CE=GE -CG=26-18=8(米), 即CE 为8米. 7.答案 18√2解析如图,过A 作AD ⊥BC 于D,由题意可得,∠ABC=30°,∠DAC=45°,设AC=x n mile,在Rt △ACD 中,AD=AC·cos ∠DAC=√22x n mile,则CD=√22x n mile,在Rt △ABD 中,BD=AD tan∠ABD =√62x n mile,则√22x+√62x=18(1+√3),解得x=18√2.故海岛A,C 之间的距离为18√2 n mile.三、解答题8.解析 ∵∠ABD=120°,∠D=30°,∴∠E=90°.∵在Rt △BDE 中,cos D=DEBD ,∴DE=BD·cos D=BD·cos 30°=520×√32=260√3=260×1.732≈450(m). 答:当另一边开挖点E 离D 约450 m 时,正好使A,C,E 三点在同一条直线上. 9.解析如图,过C 作CD ⊥AB,交AB 的延长线于D,交海面于点E,设BD=x m,∵∠CBD=60°,∠CDB=90°, ∴tan ∠CBD=CDBD , ∴CD=√3x m.∵AB=2 000 m,∴AD=(x+2 000)m.∵∠CAD=45°,∴tan ∠CAD=CDAD ,∴CD=AD·tan 45°=AD, ∴√3x=x+2 000,解得x=1 000√3+1 000, ∴CD=√3×(1 000√3+1 000)=(3 000+1 000√3)m, ∴CE=CD+DE=3 000+1 000√3+500=(3 500+1 000√3)m. 答:海底黑匣子C 点距离海面的深度为(3 500+1 000√3)m. 10.解析由题意可知,∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80海里. 在Rt △ADC 中,cos ∠ACD=CD AC ,∴CD=AC·cos ∠ACD=80×cos 70°≈80×0.34=27.2(海里). 在Rt △BDC 中,tan ∠BCD=BD CD , ∴BD=CD·tan ∠BCD=27.2×tan 37°≈27.2×0.75=20.4(海里). 答:还需航行的距离BD 的长约为20.4海里. 11.解析 ∵CD=200 m,∠DCB=45°, ∴BD=CD=200 m.在Rt △ACD 中,∠DCA=60°,AD=CD·tan ∠DCA=200√3 m. ∴AB=AD -BD=200√3-200≈146 m. ∴此车的实际车速为146÷10=14.6 m/s. ∵14.6<16,∴此车没有超过该路段16 m/s 的限制速度.。

初中三角函数专项练习题及答案(DOC)

初中三角函数专项练习题及答案(DOC)初中三角函数专项练题及答案1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都不变。

2、在Rt△ABC中，∠C=90，BC=4，sinA=5，则AC=3.3、若∠A是锐角，且13sinA-tanA>4，则30<∠A<45.4、若cosA=3，则4sinA+2tanA=11.5、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=1：1：2.6、在Rt△ABC中，∠C=90，则sinA=cosB。

7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么正确的是tanB=3/2.8．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（-2，2）。

9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣。

某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°。

若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为10.3米。

10．___同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向___方向走200m到C地，此时___同学离A地150m。

11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45，则该高楼的高度大约为82米。

12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距约为67.5海里。

1.在三角形Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=4/5.2.在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=3/7.3.在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是120°。

4.如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A'P'B，且BP=2，那么PP'的长为2sin15°。

初三数学三角函数应用

初三数学三角函数应用1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图8中的P 点处），在他家前有一道路指示牌MN 正好挡住公路上的AB 段（即点A M P 、、和点B N P 、、分别在一直线上），已知MN ∥AB ， ︒=∠30MNP ，︒=∠45NMP ，小楠看见一辆卡车通过A 处，7秒后他在B 处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说明理由． (参考数据：2≈1.41，3≈1.73)2.如图是某货站传送货物的平面示意图， AD 与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°，因此传送带的落地点由点B 到点C 向前移动了2米．（1）求点A 与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米，那么请判断距离D 点14米的货物Ⅱ是否需要挪走，并说明理由．(参考数据：sin37°取0.6，cos37°取0.8，tan37°取0.75取1.73)A B PMN（图8）第4题图3.如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O 到球心的长度OG 为50厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为︒90.（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差；（2）联结EG ，求OGE ∠的余切值.4.通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。

我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can ，如图（1）在△ABC 中，AB =AC ，底角B 的邻对记作can B ，这时can B BC AB ==底边腰，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。

中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)

专题3 三角函数在实际中的应用自我诊断1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1。

7米,看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0。

7米,看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧(点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数,参考数据：≈1。

4，≈1.7）自我诊断2。

如图所示,某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘,他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时,最短路线BA 与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据:sin56°=0.83，tan56°≈1.48,≈1。

73,结果保留整数）跟踪训练11。

年4 月20 日，四川雅安发生里氏7.0 级地震,救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距4米,探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示,试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1 米，参考数据≈1.41，≈1。

73）2.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°,（1）求∠BPQ的度数;(2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m）3.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541。

中考数学三角函数应用题

应用题（三角函数）1. （20XX 年南京市）23．（6分）如图，山顶建有一座铁塔，塔高30m CD =，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20，塔顶D 的仰角为23，求此人距CD 的水平距离AB．（参考数据：sin 200.342≈，cos 200.940≈，tan 200.364≈，sin 230.391≈，cos 230.921≈，tan 230.424≈）2. （20XX 年遵义市）某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ 3题图.3. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）4 ．如图，河流两岸a b ，互相平行，C D ，是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆．某人在河岸b 上的A 处测得30DAB ∠=，然后沿河岸走了100m 到达B 处，测得60CBF ∠=，求河流的宽度CF 的值（结果精确到个位）．5题图. 7题图5. 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．(精确到0．1米)（已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．)6. 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．（1）求ADB ∠的度数；（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）7. 如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）8. 如图，AC 是我市某大楼的高，在地面上B 点处测得楼顶A 的仰角为45º，沿BC 方向前进18米到达D 点，测得tan ∠ADC ＝ 5 3．现打B2题图.ECDA1题图A BC D 2023QB CP A 45060︒30︒BED CFab A4题AC DE FB 6题图北东C D B E A 60° 76°A B D C E算从大楼顶端A 点悬挂一幅庆祝建国60周年的大型标语，若标语底端距地面15m ，请你计算标语AE 的长度应为多少？9．（20XX 年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）8．（2009襄樊市）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 2 1.43 1.7，）CA B60° 45°北北图9。

九年级三角函数应用题01

九年级三角函数应用题01work Information Technology Company.2020YEARAB OC D1500m 45° 60° 1.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长(3≈1.73)．2.一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）3.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C 点，乙船正好到达甲船正西方向的B 点，求乙船的速度．4.如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里（结果精确到0.1海里∕时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）5.平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38】6.（本题满分10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）F G DCBA30°60°7.数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m ，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m ．请你根据以上数据计算GH 的长．（≈1.73，要求结果精确到0．lm ）如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC 等于多少米？P A B C30° 60° 北（第17题图）8.今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动。

(word完整版)中考数学三角函数题集

函数题集
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能.教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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