高中数学必修二《空间中的平行关系》课件
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高中数学必修二课件-1.2.2 空间中的平行关系4-人教B版
A
E
EO// BD
EO
平面ACE
BD // 平面AEC
D
BD 平面ACE
O
A
C
B
C
B
如图，四棱锥P-ABCD底面为梯形
练习3
，且 ，ABE为1 DPCC的中点，求证： BE//平面PAD2
解析：
P
F
E
D
C
A B
拓展训练1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC与 C1D1上的 中点,求证：EF//平面BDD1B1
a
的 判
b α
定
b
快 对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真
乐
命题是(
)．
A．如果m⊂α，n α，m、n是异面直线，那么n∥α
体 B．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
C．如果m⊂α，n α，m、n是异面直线，那么n与α相交
验 D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
探 究
文字 语言
直线与平面平行的判定
符号 语言
图形语言
平面外一条直线与
此平面内的一条直
线平行，则该直线
与此平面平行.
a ,b ,且a // b a //
学生寄语
课下实践探究
三角板的一边所在直线与桌面 平行，这个三角形所在平面与 桌面平行吗？
若三角板两边所在直线分别与 桌面平行，情况如何呢？
变式:两个全等的正方形ABCD和ABEF所在 快 平 面 相 交 于 AB ， M∈AC ， N∈FB ， 且
究
二
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们
：
说这条直线和这个平面平行.
空间中的平行关系课件
（Ⅱ）设平面 A1BD1 与平面 ABC 的交线为 l ，
A1
C1 B1 D1
A
C
B
D
l
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
A1
C1 B1 D1
ACBD来自l例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
法一： 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，D1为B1C1的中点 平面A1 BD1 // 平面AC1 D, 又A1 D1 平面A1 B1C1， A1 D1 // 平面ABC A1 D1 平面A1 BD1， 平面A1 BD1 平面ABC l A1 D1 // l 又由（ 1）可知A1 D1 // AD l // AD
D1 A1 MD N B1 C1
A
B
C
思考1 如图所示，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是棱 AA1 、 A1D1 、 D1D 、 DA 的 中 点 ， N 是 AB 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其 内部运动，则M满足条件________时， 有MN∥平面B1BDD1.
A D B
C
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
高中数学 1.2.2.3 空间中的平行关系课件 新人教B版必修2
名师点睛 1．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，则 a⊂α b⊂α a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可． a∥β b∥β
α∥β.即
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的 两条相交直线分别平行，则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性： 两个平面同时和第三个平面平行， 则这两个平面平行．
2．关于平面和平面平行的性质 (1)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来 作空间中的平行线． (2)面面平行的其他性质 ①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 α∥β ⇒a∥β，可用来证明线面平行． 面，即 a⊂α ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行 ( 平面平行的传递性 ) 即 α∥β ⇒α∥γ. γ∥β
B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明Βιβλιοθήκη (1)如图所示，连接 SB.
∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1.
规律方法
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键
是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是其应
高一数学课件必修2《空间中的平行关系》
D A
D A
C B
C B
学以至用
例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
A
ELeabharlann FD BC
直线和平面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面 的交线平行。
l∥ ,l ， m, l ∥ m
实例感受
A
B
A
B
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
a
a
b
b
a //
b// a
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能 得到线面平行的结论．
线线平行
线面平行
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中， 与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCD；D
1.2.2空间中的平行关系（1）
直线与平面有几种位置关系？ 三种： 线在面内 线面相交 线面平行
线面位置关系
关系 内容
直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行
特征
有无数个
公共点
a 图形表示
有且只有一个 没有公共点 公共点
a
a
A
符号表示
a
a ∩=A
a ∥
怎样判定直线与平面平行
a
例2：AB∥平面 ，AC∥BD，且AC，BD与 分别
交于点C，D 求证：EF∥平面BCD．
A
B
C
D
例3：已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：A1C1 // 平面B1AC
高中数学1.2.2《空间中的平行关系》课件人教B版数学必修2
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直 线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a， b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ？ OP a
b′ a′ θ O
若两条异面直线所成角为90°，则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内
没有
异面直线 不在任何一平面内 没 有
所以四边形EFGH是平行四边形。
A
E
H
B
D
F
G
C
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，
求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.
D1
C1
在△ABC中, E, F分别A1
B1
是AB, BC 的中点.
所以 EF ∥ AC
D
A
E
C F B
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是 证明两直线平行的重要依据.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
空间中的平行关系介绍数学课件PPT模板
点 E 在 棱 PC 上 ． 问 点 E 在 何 处 时 ， PA// 平面EBD ，并加以证明.
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
人教A版高中数学必修二《空间中的平行关系》PPT
解：A 中缺少 l 在平面 α 外这一条件；直线在平面
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
空间中的平行关系-人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
• 练习：如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,S是B1D1 的 中点，E. F. G分别是BC、CD和SC的中点。
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
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5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
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课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
「精品」人教B版高中数学必修二课件空间的平行关系-精品课件
教材与学情
学情分析
通过初中阶段对平行直线的学习，学生已经掌 握了平面内的平行关系，具备了对空间中平行直线 进行类比研究的知识基础。
通过前面有关章节的学习，学生认识了一些几 何体的结构，对点、线、面有了一定的直观感知； 其空间想象能力、抽象概括能力、几何表达能力已 初步形成，具备了对空间中平行直线进行类比研究 的能力要求。
进行反馈。
E
A
B
教学过程
归纳总结
师生互助，共同反思、总结、补充的方式进行，
使学生对本节课所学的知识有完整、系统的认识。
必做题：课本p41,练习A,2
探究题1：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
在空间中是否成立。
探究题2：如图，可以理解为类似角的平移，图形平移有哪些
性质？图形平移后与原图形是否全等？对应角的大小和对应两
力求教学容量与难度符合学生的实际， 有的放矢，因材施教。
精心制作，敬请观赏
D
B
B
D
G
F
F
G
C
C
探索合作
练习3：已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别
是边AB、AD的中点, F,G 分别是边CB,CD上的点,且 求证:四边形EFGH是梯形
CF CG 2 , CB CD 3
探索合作
练习4：正方体AC1中，E,F分别为AD,AB的中点，
C1E1 C1F1 1 ,
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行， 并且方向相同，那么这两个角相等。
教学过程
探索合作
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两 边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
C1
B1 已知：BAC 和B1A1C1的边AB // A1B1，
人教A版数学必修二空间平行关系.pptx
判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行， 则该直线与此平面平行。
符号表示：a / /b, a ,b a / /
关键词：
面内、面外、平行
a
b
练习
如图，正方体ABCD-A’B’C’D’中，E为 DD’的中点，试判断BD’与平面AEC的位 置关系并证明之
O
练习
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的 平面相交，M是线段EF的中点， 求证：AM//平面BDE
a
四、面面平行的性质
如果两个平行平面分别和第三个平 面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
// , a, b
a平行关系的相互转化
线
线
面
线
面
面
平
平
平
行
行
行
练习
过三棱柱ABC-A‘B’C‘任意两条棱的 中点做直线，其中与平面ABB’A‘平 行的直线有条6
O
练习
如图，已知P、Q是正方体ABCD-A1B1C1D1 的面ABCD和面A1B1C1D1的中心，求证： PQ//平面ADD1A1
P1 Q1
三、平面与平面平行的判定
空间两个平面平行是如何定义的？
如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面的位置关系是什么？
若一个平面内所有直线和另一个平面平行， 那么这两个平面的位置关系是什么？
关键词：面内、相交、平行
性质定理
A
a
若一个平面的两条相交直线分别 平行b于
另一个平面内的两条相交直线，则这两
个平面平行
小结——空间平行关系的判定
面内
面内
线 面外 线 相交 面
线 平行 面 平行 面
人教B版数学必修2《空间中的平行关系》课件
新知探究
温故知新（三）
1、我们常见的平面四边形有哪些？
2、首尾顺次连接四个点A,B,C,D，那么构成 的四边形一定是平面图形吗？ 3、当什么时候是平面图形？什么时候是空 间图形？
空间四边形:
顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构 成的四边形，叫做空间四边形。
四个点中的各个点叫做空间四边形
A
的顶点；
因此，这节课无论在知识上、方法上，都起到了一个承上 启下的作用。
教学目标设置
《数学课程标准》中对本节内容的要求是借助模型，在直观 认识的基础上，抽象出空间线线的平行关系，并了解作为推 理依据的公理4和等角定理。 情感态度与 价值观
知识与技能 了解空间四边 形的定义，掌 握公理4，等 角定理，并应 用其解决简单 问题。
所连接的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空 间四边形的对角线。
[设计意图]
通过观察、亲自动手构建模型理解概念。 B D
C
例2：下面三个命题,其中正确的个数是（
D）
①四边相等的四边形是菱形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的
'
E'
D'
E A
D
[设计意图] 基本性质4的基本应用，并为等角定理的证明打好基础。
新知探究
探索与研究
温故知新（二）
能否举例说明什么叫平移？图形的平移具有哪些性质？
[设计意图] 帮助学生理解平移的性质。引导学生从平移的角度理解等角定理。
1、在同一个平面内，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方 向相同，那么这两个角有什么关系？
教学内容解析
高中数学必修二空间中的平行关系PPT课件
没有
.
9
①用定义（多用反证法），即证明两条直线既不相 交又不平行；
②判定定理：与一平面相交于一点的直线与平面内 不经过该点的直线是异面直线。
P24-例1.42
.
10
当点在同一平面内，当点不在同一平面内分别讨论。 例1.43：空间中的四点可以确定几个平面？
.
11
图形语言用文字语言表述； 文字语言转化为符号语言。 画图顺序：先画平面，再画点线。
a//c，b//c a//b. c
a
b α
.
17
例1.48：已知AA1是正方体ABCD-A1B1C1D1的 一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（C）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
.
18
定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对 应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1 的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线 AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
.
19
证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，
在初中几何中已经证明，
下面证明两个角不在同一平面内的情形。
分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1 的两边上截取线段AD=A1D1和 AE=A1E1.
因是为平，行四A边D形/ /，A1D1 所以AA1D1D
.
.
24
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线
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25
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
P26-例1.50
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26
空间中的平行关系人教A版高中数学必修第二册课件PPT
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
8 . 5 . 2空间中 的平行 关系（ 1）-人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第二 册课件 (共21张 PPT)
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1．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB， BC，CD，DA的中点．
[解] (1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD. ∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH.
8 . 5 . 2空间中 的平行 关系（ 1）-人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第二 册课件 (共21张 PPT)
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8 . 5 . 2空间中 的平行 关系（ 1）-人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第二 册课件 (共21张 PPT)
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3.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点， M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l.
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行（1）
1．基本事实 4
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：平行 5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条 棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平 行的直线共有__________条．
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
高中数学人教B版必修二第一章1.2.2 空间中的平行关系7-课件(共16张PPT)
例 长 三点3为、的2如，平图E面为所的示D位D，的1 置在中关正点系方，，体判A并B断C证D明BDA你和11B的1过C1结DA1 论,的C．,棱E
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思 想和方法？
中位线法
中点常用中位线 另一中点靠连线 外线给出内线隐 内线藏在面里边
2、已知D是正三棱柱 ABC A1B上1C1 AC的中点．求证：AB1//平面 DBC1
（1）定义法：证明直线与平面无公共点； （2）判定定理：？
直线与平面平行判定定理
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行．
a
b
a
b
a
/
/
a / /b
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得 到线面平行的结论．
直线与平面平行关系
直线间平行关系
空间问题
1.2.2 空间中的平行关系
空间直线与平面的位置关系有哪几种?
教室里有直线和平面平行的 例子吗？
实例感受
门扇转动的ห้องสมุดไป่ตู้边与门框所在的平面之间的位置关系．
直线与平面平行
平面 外有直线 a 平行于平面 内的直线 b．
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a 与平面 相交吗？ 不可能相交
a
b
怎样判定直线与平面平行？
线线平行
线面平行
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
作业：本节习题 预习学案
谢谢
44、不属于我的东西，我不要;不是真心给我的东西，我不稀罕! 41、要成功，先发疯，头脑简单向前冲。 55、胜利女神不一定眷顾所有的人，但曾经尝试过，努力过的人，他们的人生总会留下痕迹! 51、不要说你不会做!你是个人你就会做! 53、能够说出的委屈，便不是委屈;能够抢走的爱人，便不是爱人。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 29、一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这样心无压力，出来的结果反而会更好。 36、希望是厄运的忠实的姐妹。 6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某 处。
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∴BC⊥平面A1AD. ∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. 证法二：如右图所示， ∵三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱， ∴ A1C ＝ A1B.∵ 点 D 是 等 腰 △ A1CB 的 底 边 BC 的 中 点 ，
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线．
平行
4．平行平面的定义：如果两个平面没有，那么公这共两点个平面互相平行．
5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面互相平行．
相交
6．推论：如果一个平面内有两条直相线交分别平行于另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面互相平行． 7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那相么交它们的交线
是 BC 的 中 点 ， ∴ DF∥A1B. 又 DF⊂ 平 面 ADC1 ， A1B⊄ 平 面 ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1， C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B， ∴A1B∥平面ADC1.
面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行 问题． 【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1； (2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
解 答 ： (1) 证 法 一 ： ∵ 点 D 是 正 △ ABC 中 BC 边 上 的 中 点 ， ∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，
3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为( ) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成角为45° 答案：C
4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条 件：
①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等； ③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β； ④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平
(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB， ∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF， ∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，
Rt△ANH≌Rt△HNM ， ∴ MN ＝ AN. F·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝， ∴MN＝. (3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.
直线与平面平行平面与平面平行
1．直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点)； (2)直线和平面(有且只有一相个交公共点)； (3)直线和平面(没有公共平点行)． 2．线面平行的判定定理：如果一平条面直外线的和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行．
3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)zx````xk
解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确； ②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相 等，∴不正确； ③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确； ④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α， m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确． 答案：④
【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线．
平行
4．平行平面的定义：如果两个平面没有，那么公这共两点个平面互相平行．
5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面互相平行．
相交
6．推论：如果一个平面内有两条直相线交分别平行于另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面互相平行． 7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那相么交它们的交线
是 BC 的 中 点 ， ∴ DF∥A1B. 又 DF⊂ 平 面 ADC1 ， A1B⊄ 平 面 ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1， C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B， ∴A1B∥平面ADC1.
面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行 问题． 【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1； (2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
解 答 ： (1) 证 法 一 ： ∵ 点 D 是 正 △ ABC 中 BC 边 上 的 中 点 ， ∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，
3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为( ) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成角为45° 答案：C
4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条 件：
①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等； ③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β； ④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平
(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB， ∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF， ∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，
Rt△ANH≌Rt△HNM ， ∴ MN ＝ AN. F·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝， ∴MN＝. (3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.
直线与平面平行平面与平面平行
1．直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点)； (2)直线和平面(有且只有一相个交公共点)； (3)直线和平面(没有公共平点行)． 2．线面平行的判定定理：如果一平条面直外线的和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行．
3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)zx````xk
解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确； ②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相 等，∴不正确； ③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确； ④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α， m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确． 答案：④
【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.