2 一维应力波理论 2.1-2.5

物质波速和空间波速描述的是波阵面传播，而质点速度
描述的是某一个质点的运动
dx x v t X dt
物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的
描述，但由于选择的坐标不同，其数值一般是不相同的， 除非波阵面前方介质是静止且无变形的。
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2.3
时间微商与波速
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2.1 基本概念
间断波和和连续波是两种在表现形式上完全不 同的波，但是它们之间又相互联系，在应力波的传
播过程中，间断波和连续波在一定条件下可以相互
转化。
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2.1 基本概念
按传播方向分类：纵波、横波 纵波：扰动信号的传播方向与介质质点的运动方向一 致（相同或相反）。（声波）
横波：扰动信号的传播方向与介质质点的运动方向相 垂直。（水波）
dx x x C dt W t X X t
Ψ = F (X ,t ) = f (ｘ,t )
(2-2-3)
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2.2 物质坐标和空间坐标
描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。 （1）物质坐标系中描述的物理量 的物理量 由（2-2-2）、（2-2-3）式， 空间坐标系中描述
f (ｘ,t ) = F [X（ｘ,t）, t ]
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2.2 物质坐标和空间坐标
以长杆中一维运动为例：
X
质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X
质点任一时刻t 在空间所占位置： x
表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t所在的空
间位置x ，即x是X 和t 的函数 (2-2-1) 如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固定t， 上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说，在给定时 刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间位置也只能有一 个质点。
波速：扰动信号在介质中的传播速度（或说波阵面在介质 中推进的速度）
介质质点速度：介质质点的运动速度
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2.1 基本概念
间断波波阵面(强间断、强扰动)：
波阵面前后介质的状态参量（如σ、v、ε）之间的差值为一 有限值，波剖面发生了间断（突变）。数学上的定义对应于一阶 奇异面，即位移u的一阶导数（如v、ε）发生间断的波阵面。其 对应的波称为强间断波，冲击波即是强间断波。
1 北京理工大学材料学院
材料动态力学概论
2. 一维应力波理论
2
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2.1 基本概念
应力波理论是研究材料动态力学行为的基本理论；
是材料动态力学性能测试的基本原理。
何时考虑应力波：
1 当载荷作用的时间与应力波传过物体特征尺寸的时间在同 一数量级或更小时；
2 当研究材料瞬间或者局部破坏机理或过程时。
递增硬化材料中的塑性波由于高幅值扰动的 传播速度大于低幅值扰动的传播速度，最终形成6 强间断波，通常被称为冲击波。
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2.1 基本概念
连续波波阵面(弱间断、弱振动)：
波阵面前后的状态参量（σ、v、ε）之间的差值为无限小， 波剖面是连续的。对应于数学上为二阶及更高阶奇异面。其 对应的波称为连续波，其中二阶奇异面对应的波又称为加速 度波（加速度为u 的二阶导数）。
x 上式中， t 是质点X 的空间位置对时间的物质微商，也就 X
是质点X的运动速度，即有：
dx x v t X dt d
dt t v x
(2-3-3)
(2-3-4)
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2.3
时间微商与波速
d v dt t x
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x x ( X , t)
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2.2 物质坐标和空间坐标
表示法二：
反过来只要运动是连续单值的，（2-2-1）式可反演为 (2-2-2) X X ( x, t ) 即X是ｘ和t 的函数。 质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系中所占据的位置坐标。 参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适当的时刻；参考空间坐 标系可以与描述运动所用的空间坐标系一致，也可以不同， 选取原则取决于研究问题的方便性。 （2-2-1）式和（2-2-2）式是描述一维长杆中介质运动的两种 形式，二者是可是互换的。
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2.2 物质坐标和空间坐标
在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达 为质点 X 和时间 t 的函数： Ψ = F (X , t)。自变量 X 即为 Lagrange坐标（物质坐标）。 应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时 间t 的函数：Ψ = f (x, t)。自变量x即为Euler坐标（空 间坐标）。 显然，对于同一物理量Ψ，有:
物理量 Ψ 为质点速度时，(2-3-4)式变为质点加速度的表达式：
v dv v v a v x t X dt t
(2-3-5)
(2-3-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显 然在定常场中该项为零，第二项称为迁移变化率，在均匀场中 该项为零。与此相对应，(2-3-5)式中，等式右边第一项通常 称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。
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2.2 wk.baidu.com质坐标和空间坐标
Lagrange坐标：
为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c） 作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，这 组数（a，b，c）称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐 标）。
Euler坐标：
为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置， 以一组固定于空间的坐标表示该位置，这组坐标称为Euler 坐标（或空间坐标）
按波阵面形状分类：平面波、柱面波、球面波
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2.1 基本概念
按加载的性质分类：加载波、卸载波
加载波：使介质的状态参量（σ、p、v等）（绝对）值增大的 波。
卸载波：使介质的状态参量（σ、p、v等）（绝对）值减小的 波。
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2.1 基本概念
按波本身的性质分类：压缩波、稀疏波、拉伸波
压缩波：扰动传过之后使介质微团有被压密效果的波。 稀疏波：扰动传过之后使介质微团有被稀疏效果的波。
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2.3
时间微商与波速
物质波速（Lagrange波速）： 在物质坐标中来观察应力波的传播，设在t 时刻波阵面 传播到质点X处，以 X (t ) 表示波阵面在物质坐标中的传 播规律，则物质波速（Lagrange波速）可表示为：
dX C (t ) dt W
(2-3-10)
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2.3
时间微商与波速
图2-2-1 一维长杆中X与x 的相互关系
设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X，随后某时刻该质 点到达空间位置x，则位移为u，显有 x X u 故有
x X u 1 X t X X t
d F ( X , t ) dt t t X X
(2-3-2)
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2.3
时间微商与波速
对于（2-3-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有
f [ x( X , t ), t ] d F ( X , t ) dt t t X x f [ x( X , t ), t ]] f [ x( X , t ), t ] x t x x t t X f ( x, t ) f ( x, t ) x t x x t t X
两个波速：
空间波速（Euler波速）、物质波速（Lagrange波速） 空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间的t 变化率，即 f x, t t (2-3-1) t x x 物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即
（2）空间坐标系中描述的物理量 的物理量
(2-2-4)
物质坐标系中描述
由（2-2-1）、（2-2-3）式，有
F (X ,t ) = f [ｘ（X ,t）, t ] (2-2-5)
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2.3
时间微商与波速
三种微商：
空间微商（Euler微商）、物质微商（Lagrange微商或随体 微商）和随波微商。
d C d t W t X X t
(2-3-9)
(2-3-9)式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x，该式转变为：
dx x x C dt W t X X t
拉伸波：扰动传过之后使介质微团有被拉伸效果的波。
其它波的概念： （入射波、反射波、透射波） （弥散波、汇聚波）
（冲击波：是强间断、强扰动，是一种强烈的压缩波）
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2.2 物质坐标和空间坐标
连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上
考虑物体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成 是连续不断的质点所组成的系统，即把物体看成是质点 的连续集合。每个质点在空间上占有一定的空间位置， 不同的质点在不同的时间占有不同的空间位置。 为了区别不同的质点，要对质点命名，为了描述质 点所占据的空间位置，就需要一个参考的空间坐标系。
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2.2 物质坐标和空间坐标
在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究 介质的运动：Lagrange方法和Euler方法。
相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般 对应有两种坐标系：Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质 流动来考察）和Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来 考察）。
的扰动就这样在介质中逐渐由近及远传播出去，从而形成了 应力
波。
1 介质微元体之间的作用与反作用力；
2 微元体的惯性。
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2.1 基本概念
基本概念：
应力波：扰动在固体中的传播，或固体中传播的波。 波阵面：在介质中已扰动区域与未扰动区域之间的分界面。 扰动的传播 波传播的方向 波阵面的推进 波阵面推进的方向
(2-3-6)
空间波速（Euler波速）： 在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面 传播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律， 则空间波速（Euler波速）可表示为：
dx c (t ) dt W
(2-3-7)
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2.3
时间微商与波速
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2.2 物质坐标和空间坐标
Lagrange描述（方法）：
随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是 在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述（方法）。
Euler描述（方法）：
在固定的空间点上观察物质的运动，所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法）。
随波微商：
随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根据坐标系的不 同，有两种表达式，即
在空间坐标系中有:
d c dt W t x x t
d (2-3-8) dt t v x
在物质坐标系中有：
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锻造, 挤压，轧制, 机械加工 高速碰撞，爆炸
不考虑波动
考虑波动
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2.1 基本概念
应力波的形成机制：
当外加载荷作用于可变形固体的某部分表面时，一开始只有那 些直接受到外载荷作用的表面部分的介质质点离开了初始平衡位置。 由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（产生变 形），当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），但同时 也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置 而运动起来。不过，由于介质质点具有惯性，相邻介质质点的运动 将滞后于表面介质质点的运动。依此类推，外载荷在表面上所引起