用变分法求氢原子基态能量和波函数
量子力学简答题题库
量子力学简答题题库1、什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下:① 每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。
② 光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。
③ 光电效应的瞬时性。
实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光的产生都几乎是瞬时的。
④ 入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为：⑴电磁波能量被集中在光子身上，而不是像波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
⑵所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
⑶ 光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成：hv =A +1mv 2，这就是爱因斯坦光电效应方2程。
其中，h是普朗克常数；f 是入射光子的频率。
2、写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式：E = =hvP = k =h3、简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
①波函数应满足归一化条件；②波函数应满足有限性、连续性、单值性。
氢分子离子基态近似波函数的研究
（ ．ｅａｍ ｎ Ｐｙｉ ，Ｈ ｂｉ ｎ ｅ ｉ ｆ ｎ ｅ ，Ｈ Ｍａ ０６ ３ ， ｈ ａ２ Ｓ ｔ ＫｙＬｂｒｏ １Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｈｓｓ ｅｅ Ｕ ｖｒｔ ｏ ｅ ｔ ０ ｃ ｉ ｓｙ Ｅ ａ ｎ ５０ ８ Ｃ ｉ ； ．ｔｅ ｅ ａｏａ ｒ ｎ ａ ｔｙ ｏ ｒ ｉｏ ｐｃ ｏ ｏｙ ａ ｈ ａＮ ｒａ Ｕ ｉｅ ｉ ，Ｓ ｆ ｅ ｓ ｎＳｅｔｓ ｐ，Ｅｓ Ｃ ｉ ｏ ｌ ｎｖｍｔ ｌ Ｐ ｃｉ ｒｃ ｔ ｎ ｍ ｙ ｌ ２０ ６ Ｃ ｉ ） ００２，ｈ ａ ｎ
Ａ ｓ ａｔＩ ｒｅ ｓｅｔｈ ｅａｉｔ ｌ ｅ ｏ ｅａｐｏｉ ａ ａｅｆｎｔｎｉ ｏ ｃ ｌ ｈｓ ｓ， ｂｔ ｃ： ｏ ｒｏｉ ｐｃ ｔ ｒ ｉ ｌ ｖｌ ｆ ｈ ｐ ｒ ｍ ｔ ｗ ｖ ｃ ｏ ｍ ｌ ｕ ｒｐｙｉ ｒ ｎ ｄ ｔ ｎ ｅ ｌｂ ｉ ｅ ｔ ｙ ｘ ｅ ｕ ｉ ｎ ｅ ａ ｃ
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分子 和原子在结 构上 的 主要 差别 在 于原子 是
第２ ５卷 第 ４ 期 ２Ｏ 年 ｌ Ｏ８ ２月
河 北 工 程 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版） Ｊｕｎｌ ｏｒａ Ｈ ｂｉ Ｕ ｉ ｒｔ ｏ ＥＩｎｅ Ｉ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉ ｎ ｅｅ ｎ ｅ ｉ ｆ ｒｉ Ｉｌ Ｎｔ ａ Ｓｉ ｃ ｄｉ ） ｖ ｓｙ ｇ ｅ ｉ ｇ ｕ ｅ ｔ ｏ
ｗｅ ｃ ｌｕ ａｅ ｅ ａ ｐ ｘｍａｅ ｗａ ｅ ｆｎ ｔ ｎ ａ ｄ ｔ ｅｐ ｔｎ ａ ｎ ｒｙ ｏ ｅｇ ｏ ｎ ｔｔ ｆＨ２ ． ｔ ｄ ａｃ ｌｔｄ ｔ ｐ ｒ ｉ ｔ ｖ ｕ ｃｉ ｎ ｏｅ ｔ ｌｅ ｅｇ ｆｔ ｒｕ ｄ ｓ ｅｏ Ｗｅｓｕ － ｈ ｏ ｏ ｈ ｉ ｈ ａ
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较【摘要】：对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。
但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。
因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。
本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。
【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】：在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。
像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。
本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。
【正文】：一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为ˆ,0,1,2n n nH E n ψψ==⋅⋅⋅ （1-1-1） 式中ˆH 的本征值012n E E E E <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，{}nψ是ˆH 的正交归一完备的本征函数系。
我们知道在任意态ψ中能量平均值0E E <，若随意选择一系列波函数计算E ,则最小的那个E 必最接近基态的能量0E ,而与之相应的那个波函数必最接近真正的基态波函数0ψ。
这就是变分法的基本思想。
由此得到求量子体系基态近似能量和近似波函数的方法。
二、利用变分法求氦原子基态的能级和波函数 1、氦原子的哈密顿算符氦原子由带电量为2e 的原子核和两个核外电子组成，由于核的质量比电子质量大得多，可以略去电子折合质量与电子质量的差异，氦原子的哈密顿算符为222222212121222ˆ22s s s e e e Hu r u r r =-∇--∇-+ （1-2-1） 式中u 为电子质量，1r 与2r 分别为两电子到核的距离，12r 是两电子间的距离。
兰州大学量子力学习题
(a) 取试探波函数为 (, r)=Aexp(r);
(b) 取试探波函数为 (, r)=Bexp(2r2)。 6.11 质量为 的粒子在势场 V(x)=kx4 (k>0)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试
探波函数 (, r)=Aexp(2r2)。 6.12 某量子力学体系处于基态 1(x)。t>0 后受到微扰作用，H’(x,t)=F(x)et/，试证明：长时间后(t)
0 1
10
及
Sˆy
2
0 i
i 0
的本征值和所属的本征函数。
7.4 求自旋角动量在(cos，cos，cos)方向的投影
Sˆn Sˆx cos Sˆy cos Sˆz cos
的本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量 Sˆz 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ Sˆz 的平均值是多少？
-5-
7.5 设氢原子的状态是
1 2
R2
1(r
)Y11(
,
)
。
3 2
R2 1(r )Y1 0 (
, )
(1) 求轨道角动量 z 分量 Lˆz 和自旋角动量 z 分量 Sˆz 的平均值；
(2) 求总磁矩
Mˆ e Lˆ e Sˆ
2
(SI)
H’12=H’21=a, H’11=H’22=b; a, b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 6.4 一电荷为 e 的线性谐振子受恒定弱电场 作用，设电场沿正 x 方向： (1) 用微扰法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并和(1)所得结果比较。 6.5 设在 t=0 时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量
原子物理学中的波函数：氢原子波函数和角动量波函数是原子物理学中重要的概念之一，它用于描述原子或分子系统的量子状态。
在氢原子中，波函数被广泛应用于分析和理解氢原子的性质和行为。
此外，波函数还与角动量密切相关，它提供了有关原子的角动量信息。
在本文中，我们将详细探讨氢原子的波函数以及与之相关的角动量。
1. 波函数简介波函数是量子力学中描述自旋态和位置的函数。
它通常用希腊字母Ψ（Psi）表示，Ψ(r,t)，其中r是位置向量，t是时间。
波函数描述了一个量子系统的全部信息，包括能量、动量、自旋等。
波函数的模的平方，|Ψ(r,t)|²，给出了在给定时刻在某个位置找到该量子系统的概率。
2. 氢原子波函数氢原子是原子物理学中最简单的原子，由一个质子和一个电子组成。
氢原子的波函数可以由薛定谔方程得到，它是描述量子力学体系的基本方程。
氢原子波函数相当复杂，主要由径向部分和角向部分构成。
2.1 径向波函数氢原子的径向波函数，记作R(r)，描述了电子在原子核周围的运动方式。
径向波函数取决于主量子数n、角量子数l和磁量子数m。
主量子数n决定了能级，角量子数l确定了角动量大小，磁量子数m描述了角动量在空间中的方向。
径向波函数展示了电子和原子核之间的相互作用。
2.2 角向波函数氢原子的角向波函数，记作Y(theta, phi)，展示了电子在球坐标系中的分布情况。
角向波函数取决于角量子数l和磁量子数m。
角向波函数是球谐函数的一种特殊形式，它给出了电子在不同方向上的概率分布。
3. 角动量与波函数在原子物理学中，角动量是一个重要的物理量，描述了物体旋转的性质。
角动量分为轨道角动量（L）和自旋角动量（S）两部分。
波函数与角动量之间存在紧密的联系。
3.1 定态波函数与角动量定态波函数是不随时间变化的波函数，描述了量子系统的固有状态。
在氢原子中，定态波函数与角动量之间具有简洁的关系。
根据定态波函数的表达式，能够计算出氢原子的角动量大小和方向。
较强磁场中氢原子的能级（n ＝2~7）及其波函数
较强磁场中氢原子的能级（n ＝2~7）及其波函数江俊勤【摘要】基于简并微扰论和Mathematica软件平台，发展了一种简单可靠、全自动的计算方法研究磁场中的原子能级结构。
考虑自旋磁矩和感生磁矩，计算了处在较强磁场中氢原子 n ＝2~7的能级和波函数。
讨论了简并微扰论的适用条件和能级分裂，绘制了概率角分布图和电子云图。
数值结果表明：对于较强磁场，本方法是可靠和快捷的；一般情况下，磁场对能级的一级修正可以使简并完全解除(n ＝2~7)，但在一定条件下，会出现新的简并---偶然简并。
%A simple and reliable method for investigating the behavior of atomic system in the magnetic field has been developed based on the perturbation theory and MATHEMATICA.Considering the spin magnetic moment and the induced magnetic moment,the energy levels (n =2 ~7)and wave functions of the hydrogen atom in the intermediate strong magnetic field were automatically calculated.The applicable condition of perturbation method and the energy level splitting are discussed.The probability angle distribution and the electron cloud are plotted.The numerical results show that for the intermediate strong magnetic field,the present method is reliable and fast.In general,the degeneracy of energy levels (n =2~7)can be completely removed;but under certain conditions,there is new degeneracy-accidental degeneracy.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】7页(P43-49)【关键词】氢原子;较强磁场;微扰理论;能级与波函数;偶然简并;电子云【作者】江俊勤【作者单位】广东第二师范学院物理系，广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O562.1氢原子和类氢原子处于外磁场时能级结构的变化,是物理学的基本问题.特别是,发现白矮星和中子星内部存在着超强磁场,激发了人们对强磁场中氢原子和类氢原子的能级和波函数的研究热情[1－12].为了计算强磁场中类氢原子的能级和波函数,人们发展了各种方法,例如绝热近似法[5],变分法[6],B－条样法[7],等等.但是变分法和B－条样等方法的计算是十分复杂的,而且变分法结果的可靠性严重依赖于试探波函数.在微扰法适应的条件下(磁场不太强,称之为“较强磁场”),用微扰法既经典又简单,因此近年来微扰法被多位作者用于计算氢原子的能级[8－12].其中,文献[8]把微扰法和变分法相结合计算了氢原子较低能态的能级,虽然在实际计算中没有把整个B2项作为微扰,但在叙述其方法时多次强调当B＜106T时B2项可以作为微扰,这给后来的文献造成不良影响;文献[9－11]在文献[8]的影响下,完全没有考虑微扰法的适用条件,在强磁场B≤106T时用微扰法计算了氢原子的能级,而且在未做具体数值检验的情况下就断定一级修正可使简并完全解除;文献[12]用微扰法对氢原子能级进行了具体的数值计算,并注意到了微扰法的适用条件(B≤1.88×104T),但仅仅计算到n＝2的能级.分析这些文献,可发现有三个问题尚须做进一步的改进或澄清:(a)现有文献中,微扰法的实施过程仍需要人工或半人工操作,不容易对高激发态(较大n)的能级和波函数进行具体的数值计算,这可能是最近文献[12]只给出n＝2能级数值结果的原因.(b)对于高激发态,适合用微扰法计算的磁场有怎样的要求?当B≥104T时微扰法仍然适用吗?(c)强磁场一定使能级简并完全解除吗?当磁场强度达到一定程度时,会不会因上下能级发生交错而出现新的简并——偶然简并?为此,本文发展了一种基于简并微扰论和Mathematica软件平台的全自动数值计算方法,对氢原子n＝2～7的能级和波函数进行定量研究,用具体的数值回答上述三个问题.当外磁场的强度到达一定范围时,B2项的贡献不能忽略,设该项可作为微扰项(具体条件见后面)在通常实验室中,磁场B＜105Gs(即B＜10 T),B2项(感生磁矩与外磁场的作用项,也称为抗磁项)可以略去.在均匀磁场中,当考虑自旋磁矩和感生磁矩时,则氢原子的哈密顿量为对氢原子,除去微扰项后,哈密顿量为其中μB＝eћ/(2μc)＝0.578 838×10－4e V/T,称为玻尔磁子;Rnl(r)为径向波函数,Ylm(θ,φ)为球谐函数, χms(sz)为二分量自旋波函数.根据径向波函数和球谐函数的定义式,给定一组量子数(n,l,m,ms)就可以求得相应的量子态ψnlmms(r,θ,φ),借助通用软件Mathematica可快速完成.若记φk＝ψnlmms(r,θ,φ),则对于给定的φk′和φk,两态间的微扰矩阵元为式中a＝0.529×10－8cm,为玻尔半径;λ＝eBa2/(4cћ),是为了便于与B项的贡献做比较而引入的.这样,只要给定B值和两组量子数((n,l′,m′,m′s))和(n,l,m,ms),由Mathematica可以快捷地得到相应的一个微扰矩阵元(这是实现自动化的第一步). 由于电子自旋磁矩的作用只是将能级分成独立的两组ms＝－1/2或ms＝＋1/2,所以本文只考虑ms＝－1/2态(ms＝＋1/2态的计算和讨论方法相同).对于ms＝－1/2态,在没有外磁场时,简并度为n2.计入磁场B项(即H∧0的第三、四项)对能级的贡献之后,简并度减少为n－m,原来的n2维态空间在磁场B项的作用下分解为2n－1个不变子空间(以下简称为“子空间”),各子空间的维数分别为;相应地,我们把原来的n2维态空间称为“全空间”.按照传统的简并微扰理论,微扰计算是在各个子空间里进行的,但数学的理论和本文的实际计算都表明:在各子空间里独立计算得到的本征值和本征矢量之全体(共n2组)与在全空间里一次性计算得到的n2组本征值和本征矢量,是完全相同(等价)的,它们分别是B2项对能量的一级修正和零级近似波函数.在人工计算的条件下,在各子空间里独立计算可以减少计算量,但对于较高能态的计算仍然是十分繁杂的,而且欠缺整体观,容易顾此失彼.本文,我们把微扰计算建立在大众化的软件平台Mathematica之上,并且直接在n2维全空间里计算B2项对能量的一级修正和零级近似波函数.与在各子空间里独立计算的方法[9－10]相比,本方法有十分明显的优势,在全空间里统一处理n2个能级不但显得简单清晰,而且有利于实现过程自动化,因为ψnlm(r,θ,φ)中角量子数和磁量子数的排列有很强的规律性:l ＝0,1,…,n－1;m＝－l,－(l－1),…,－1,0,1,…,(l－1),l;用循环命令容易实现这种排列,所以根据式(5)和式(6)容易全自动化快速地获得n2阶微扰矩阵H′(这是实现自动化的第二步,也是最重要的环节).对于较高阶(例如100阶)方阵的特征值和特征矢量的计算,只需使用Mathematica 一个内设命令就可以自动快速地求得高精度的数值结果.有了特征值和特征矢量(即一级修正能量和零级波函数)就可以绘制能级图、电子云和概率角分布图.从而实现了全过程的自动化快速计算.1.1 较低激发态(n＝2,3,4)对于n＝3态,微扰矩阵H′比较简单(只是9阶),适合用来说明本文的方法.零级近似波函数为9个本征态的线性组合先考虑B＝1000 T,此时BμB＝0.057 883 8 e V.由式(5)和式(6),可自动快速地获得微扰矩阵H′(矩阵元和本征值均以BμB为单位): 乘以BμB后得到以eV为单位(下同)的能量一级修正值,分别为E′＝0.009 630 97,0.008 854 48,0.008 854 48,0.006 640 86,0.006 640 86, 0.004 427 24,0.004 427 24,0.004 427 24和0.002 543 93.而能量的零级近似值为E(0)nmms＝－1.684 75,－1.626 87,－1.568 99,－1.511 11,－1.453 23.合并E′与E(0)nmms(也由Mathematica自动完成,这对于较高能态是很重要的),得到了一级修正后的总能级E＝－1.678 12,－1.622 45,－1.618 02,－1.446 59,－1.566 45,－1.564 57,－1.559 36,－1.502 26,－1.506 68.将它们绘制成能级图,如图1所示.为了便于对比,也将能量的零级近似值绘制在图1里.由图1可见,一级修正后总能级(9个)是彼此分开的,简并完全解除.H′有9个9维的本征矢量,可写成一个9阶方阵V:V的第j行就是式(7)中的v1(j),v2(j),…,v9(j).由式(9)可知,虽然微扰计算是在n2维全空间里进行的,但是实际起作用的本征态(vk(j)≠0才起作用)只是来自各自的n－m维子空间;对于n＝3,大多数零级波函数仅由单个本征态构成,只有两个是由不同本征态线性叠加而成的:Ψ5＝0.402 024φ1＋0.915 629φ7＝0.402 024ψ300＋0.915 629ψ320,应于能级E＝－1.566 45 e V;Ψ7＝0.915 629φ1－0.402 024φ7＝0.915 629ψ300－0.402 024ψ320,应于能级E＝－1.559 36 e V.Ψ5和Ψ7是同一个子空间里的态矢(子空间维数n－m ＝3－0＝3),而且在ψ310上的投影都为零.有了波函数就可绘制相应的电子云和概率角分布图.电子云(概率密度分布)仅以E＝－1.566 45 eV(即Ψ5态)为例, Ψ52与φ无关,只需绘制xoz平面上(φ＝0)的电子云,如图2所示.概率角分布则仅以E＝－1.559 36 eV(即Ψ7态)为例,将|Ψ7|2r2sinθd r dθdφ对r 从0到＋∞积分,得电子在(θ,φ)方向附近立体角dΩ＝sinθdθdφ内的概率角分布,如图3所示.微扰法是有较苛刻的前提条件的,那就是:作为微扰项的H′对能级的贡献应该远小于H0对能级的贡献,可以用下式描述:“＜＜1”(远小于1)是一个定性的概念,一般可认为:当δ＜5%时微扰法有很好的计算结果,当δ＜15%时微扰法仍有比较准确的计算结果.δ越大,准确性越差.如果磁场很强,H′对能级的贡献接近于(甚至超过)H0对能级的贡献,即式(10)不成立,微扰法就不适用了.图1所示结果当然满足式(10):δ≤0.61%.现在考虑B＝5 000 T,此时δ≤14.6%,因此可认为n＝3时微扰法适用条件是B≤5 000 T.值得再次强调:上述从计算微扰矩阵元到绘制能级图和概率角分布图的全过程都由Mathematica自动快速完成,一气呵成,而且适合于不同激发态(只需改变n的值). 对于n＝2能态,在同样的磁场下,H′对能级的贡献没有n＝3能态那么大,当B＝1.8×104T,仍可用微扰法计算(δ≤14.1%),能级简并也完全解除(略去能级图).对于n＝4态,在同样的磁场下,H′对能级的贡献明显增大,取B≤2 000 T,微扰法适用(略去能级图):δ≤14.5%.1.2 较高激发态(n＝5,6,7)对于n＝5态,当B＝887.439 T时,能级分裂情况如图4所示.对于n＝6态,当B＝400 T时,能级的分裂情况如图5所示.由图4和图5可见,当磁场到达一定强度时,B2项的贡献会使原来上下分明的能级(属于不同的子空间,简并度为n－|m|)进一步分裂而发生交错,如果磁场强度合适,就会出现新的简并——偶然简并.图4中较粗的线实际上是两条重叠线加一条靠得很近的线:－0.584 394、－0.584 389和－0.582 101.前两个数在误差范围内可以认为完全相同(精确到小数点后五位,两个数就完全一样:－0.584 39),即可以认为能级简并.所对应的两个量子态分别为Ψ18＝－0.941 965ψ51－1＋0.335 711ψ53－1,应于能级E＝－0.584 394 eV; Ψ19＝0.328 915ψ500＋0.647 32ψ520＋0.687 598ψ540,应于能级E＝－0.584 389 eV.Ψ18与Ψ19来自两个不同的子空间,Ψ18属于m＝－1子空间(由4维子空间里的两个本征态线性叠加而成),而Ψ19属于m＝0子空间(由5维子空间里的三个本征态线性叠加而成).所以,在各个子空间里孤立地讨论能级分裂是不全面的,子空间里能级完全分裂不一定能保证全空间能级也完全分裂.要特别说明的是:在图4和图5中,虽然上下能级发生交错(B2项的贡献超过了BμB),但微扰法仍然是有效的,因为(10)式仍成立.对于n＝5和6,如果磁场强度低一些,例如B＝200 T,能级就不会发生交错,限于篇幅,不再给出相应的能级图.对于n＝7态,当B＝100 T时分裂情况如图6所示,由于磁场强度不太高,分裂后能级仍然上下级分明(没有发生交错),简并也完全解除,但由于能级较多,没法大幅度拉开距离.本文发展了一种基于Mathematica软件平台的全自动微扰计算方法,在考虑自旋磁矩和感生磁矩与外在考虑自旋磁矩和感生磁矩与外磁场相互作用情况下,对处在较强磁场中氢原子n＝2～7的能级结构进行了全面的研究.现总结如下:(1)只需输入n和B,从计算微扰矩阵元到求出能级和波函数、绘制整体能级图、电子云图以及概率角分布图,都是全自动化进行的.(2)感生磁矩与外磁场相互作用项(即B2项)贡献的大小,不但取决于磁场的强度,还与量子态密切相关.所以微扰法适用的条件与量子态有关,n越大B越小,如表1所示.由表1可见,对于n＝2态,用本文的式(10)定义的δ＜15%作为微扰法适用的条件,与文献[12]是一致的(文献[12]只计算n＝2的能级).本文把微扰计算建立在Mathematica软件平台之上,而且直接在n2维全空间里处理问题,实现了全过程自动化,省去了大量的人工操作,使得对高激发态(较大n)的能级结构的研究变得简单快捷,是高效可靠的微扰方法.本方法不但适合于研究较强磁场(例如实验室里研究半导体材料的磁场或白矮星的磁场)中原子的能级结构,还可推广到其他外场(例如电场或电场磁场并存)时原子能级结构的研究.(3)在微扰论适用的条件下,较强磁场的一级修正一般来说可以使氢原子能级简并完全解除(n＝2～7),但在一定条件下,出现了新的简并——偶然简并.能级分裂不宜只在子空间里讨论,还应该考虑可能出现的偶然简并.【相关文献】[1]PRADDAUDE H C.Energy levels of hydrogen-like atom in a magnetic field[J].Phys Rev,1972,A6: 1321.[2]KASCHIEV M S.Hydrogen atom H and H＋2molecule in strong magnetic field[J].Phys Rev,1980, A22:557.[3]CHEN Y,GIL B,MATHIEU H.Expansion-variational studies of hydrogen-like systems in arbirary magnetic field[J].Phys Rev,1986,B346:912.[4]LIU C R,STARACE A F.Atomic hydrogen in uniform magnetic field:low-lying energy levels for fields above 109G[J].Phys Rev,1987,A35:647.[5]SHI Yu-zhu,LI Li-ping.An alternative of adiabatic variational calculation of hydrogen energy in a strong magnetic field[J].Acta Physica Sinica,1998,A47:1241.[6]HE Xing-hong,ZHOU Feng-qing,LI Bai-wen.Spectrum characteristic of an atom in a strong magnetic field[J].Acta Physica Sinica,1992,A41:1244.[7]JIN Hua-xi.Energy levels of the hydrogen atom in arbirary magnetic field obtained by using B-spline basis set[J].Phys Rev,1992,A46:5806.[8]胡先权,郑瑞伦.高强度均匀静磁场中氢原子能级的计算[J].原子与分子物理学报,1996,13(1):9－16.[9]郑立贤,陈浩.均匀磁场中氢原子低能级简并的解除[J].大学物理,2002,21(12):17.[10]钟鸣,陈浩,郑立贤.均匀磁场中氢原子微扰矩阵元的普遍表达式及较高能级简并的解除[J].华南师范大学学报:自然科学版,2004(3):76－81.[11]张昌莘.在均匀强磁场中氢原子塞曼效应久期方程的简化公式[J].原子与分子物理学报,2006,23(1): 157－162.[12]张昌莘,黄时中,席伟,等.微扰法计算较强度磁场中氢原子的能级[J].原子与分子物理学报,2012,29 (5):867－871.。
变分法数值求解
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n (７)
在归一化条件下 * d 1 (8)
对波函数作一微小的变动
n
n
n
,
* n
* n
* n
(9)
则归一化条件变为
(
* n
* n
)(
n
n )d
1
即
[ n* n
n
* n
]d
n
2
d
(10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分 析一下。
首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足
V(x)=V(-x),这样哈密顿量
H
2
2m
d2 dx2
|
x|
在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简
并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称
态。
再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个节 点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态的 波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。
2
E 2m
a
a
d 2
dx2
dx (7)
得
E()
3 4
112 36 60 2 8 28
2 ma 2
(8)
例题—无限深势阱
变分法求解
3、取极值 E() 0 ( 9)
得两根 1 1.2207500 , 2 8.317712
代入E得
E(1) 1.233719
2 ma 2
1.0000147
(1)薛定谔方程的变分原理
经典力学中
变分原理 => 哈密顿方程 S 0
双电子原子体系的基态能量和波函数
双电子原子体系的基态能量和波函数关键词：多电子原子；基态能量；变分法；波函数摘 要：文章的新内在近似求解双电子原子体系的Schrodinger 方程时，忽略电子之间的相互作用，用分离变量法得出体系哈密顿量的基态本征函数是两个类氢原子基态波函数的乘积，选取含有四个参数指数形式函数的线性组合所构成的试探性径向波函数，推导出含有四个参数双电子原子基态能量表达式，对其进行变分计算，确定四个参数，求得体系的基态能量和相应的波函数，计算结果与实验值相当接近。
Energy and wave function of the ground state for two-electron atomicsystemsKey words : Two-electron atom;Ground state; Variational method;Wave functionAbstract :Approximately solving Schrodinger equation of two-electron atoms system ，the interaction betweenelectrons was neglected. Based on the method of separation of variables,the ground state eigenfunction of the Hamiltonian of the system proved to be the product of two kinds of ground state wave function of hydrogen atom.The exploratory radial wave function was composed of linear combination of containing four selected parameters exponential function,which was used to deduce the expression of the ground state energy by means of a variation- perturbation. The ground state energy and the corresponding wave function were obtained,and the calculation results were in better agreement with the experiment data.1引 言：在量子力学中我们会遇到许多有相互作用的多粒子体系问题，这些多体问题是很难严格求解的，只能用近似方法求解，在这些近似方法中实用得最普遍的是微扰论和变分法。
变分法求基态能量的步骤课件
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
量子力学基础简答题(经典)
量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
变分法求基态能量的步骤
似。（15）式成立的条件是：Wkm (t) 1 (k m) 即跃迁几率很小，体系保持在初始状态的几率很大，
4、例题：
一维带电谐振子，电量为q，t 时刻处于基态。 设微扰 H ' q xet2 /2，ε为外电场强度，τ 为参数。求
W
am (t) 2
am (t)
2
(m)d m
(1)
m
显然， (m)不可能处处非0。
2、
am
(t)
1 i
t 0
H
' mk
eimk
t
'dt
'
H
' mk
eimkt 1
mk
(2)
am (t) 2
H
' mk
2
(eimk t
1)(e imk t
§5.7跃迁几率
一、H ' 仅在 t (0,t) 时间间隔内作用，在此时间内 H ' 不含时间，初态 k 是分立的，而最终时连续分布 （如：电离）活近与连续分布的（n大）。
1、终态：能量 m m dm之间的末态数目：即 以 (m)表示末态的态密度。这样，从初态到末 态的跃迁几率是各种可能的跃迁几率之和：
dt
从k m （初态 终态）。即发生量子跃 迁，从一个定态 另一个定态，系统有局部的能
量变化
2、含时微扰下的schr.eq.
体系波函数Ф 应满足schr.eq; i H (t) (2)
t
H(t) 中的 H 0 不含t，本征函数 n 已知：
量子力学导论答案下(7-12)
第七章 粒子在电磁场中的运动7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。
（参《导论》225P ）解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则()0,0,εε=， ()B ,0,0= （1）去电磁场的标势和矢势为x εφ-=， ()0,,0Bx = （2）满足关系φε-∇=， ⨯∇=粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22221 （3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()z p y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。
()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：()2222222222122z y y p p u x p uC qB q x uC B q x u H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε ()()22202222022222221222z y p p u x uCB q x x uC B q x u ++--+∂∂-= （6） 其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=u p B C qB uC p uC qB q B q uC x y y εε2220 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符()uCB q x x u x u =-+∂∂-ωω ,212202222 再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221z y p p u x uC B q n E ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ω222221221z y p u p B C B u C uC q B n +--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=e H x x x n n （9）()ξn H 为厄密多项式，()()00x x C B q x x u -=-=ωξ 。
求基态的一级近似能量与零级近似波函数
均发生变化。（能级移动） 2 微扰论的基本思想: 以逐步近似方法求解薛定谔方程
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
（4）
受微扰后的能级和波函数以 的幂级数展开
Enn
En(0)
(0) n
En(1)
(1) n
2 En(2)
2
(2) n
（5）
E
(0)与
n
n(0)称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受
• 当 m n 时，只有 m n 2时矩阵元才不为零
• 所以
En(2)
| H n,n2 |2
En(0)
E (0) n2
| H n,n2 |2
En(0)
E (0) n2
1 16
2
2
2
n(n 1)
En(0)
E (0) n2
(n 1)(n 2)
E (0) n2
En(0)
1 16
22 2
(4n
E (0) n
E (0) m
（14）
En
En(0)
H nn
n
(0) n
m
| Hnm |2
m En(0) Em(0)
（15）
H m n En(0) Em(0)
(0) m
4 说明：
（1）非简并仅限于计算能量修正的那个能级 En(0)，其它
能级可以简并，也可以非简并。
（2）用微扰矩阵元 H m n求解时，要“对号入座”，如
(0) 1
d
es2
0
2 0
r0 0
* 100
1 r
1 r0
100d
4es2 a03
r0 0
e
2r
中科院量子力学题90-11
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
试题名称：1992 量子力学（理论型）
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6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
ˆ B ，而且构成体系状 B na n na
结构化学第二章答案
结构化学第二章答案【篇一：结构化学第二章课后作业及答案】xt>1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？答：（1）主量子数n，n取值范围为（1、2、3……n）12知识点：1）由????方程的解得到cos2?m?isin2?m?1，只有当m=0、2）由h???方程的解：如果想使方程有意义，获得合理解，须使l?m??,?为包括0的正整数，l?m，由此得到角量子数l角量子数l可决定:①轨道的角动量大小m，m?ll?1? ②决定磁矩??l?1,??9.29?10?24j.t?1玻尔磁子③决定角节面，l个角节面④决定能量en,l角量子数取值范围及相应符号为（l=0、1、2、……、n－1）s, p, d, f......... 3）由r?r?方程的解，得到en???13,6z2(ev),n?l?1??由此得到主量子数2nn主量子数n可决定①能量：e②决定简并度：g?n2nz2??13,62(ev),n③决定总节面数：径向节面n-l-1,角度节面l,总节面数n-1主量子数取值范围及相应符号；主量子数n取值范围为（1、2、3……n）分别为（k,l,m,n,o,......q)4)自旋量子数s则表示轨道自旋角动量大小。
?电子态：对于ms?为自旋?状态，自旋角动量在磁场上的分量ms,z??,用?表示1212?电子态：对于ms??为自旋?状态，自旋角动量在磁场上的分量ms,z???,用?表示1212实例：4s轨道的径向节面，角节面，和总节面数分别为多少？答：径向节面=n-l-1=4-0-1=3，角节面=l=0，总节面数=n-12. 写出在直角坐标系下，li2+ 的schr?dinger 方程解：由于li2+属于单电子原子，在采取波恩-奥本海默近似假定后， h2?体系的动能只包括电子的动能，则体系的动能算符：t??2de2； 8?mze23e2???体系的势能算符：v??4??0r4??0r?h23e2?22+式中：?2??2?x2??2?y2??2?z2，r = ( x2+ y2+ z2)1/2知识点：波恩-奥本海默近似（定核近似）：研究电子运动时，原子核固定不动，把它放在坐标原点，于是核的动能就不考虑了，于是我们就研究定核近似下的schrodinger方程。
用变分法求氢原子基态能量和波函数
1、用变分法求氢原子基态能量和波函数，试探波函数取为：)exp()(r N r λψ-=，其中λ和N 为待定参数。
(15分)
2、粒子在一维无限深方势阱 (a x ≤≤0)中运动，受到微扰作用)2cos('ˆ0a
x V H π=，求第n 能级的一级修正。
(15分)
3、三维转子的哈密顿为:
其中I 和Δ都是转动惯量，分如下两种情况求体系能量本征值
(1)、Δ=0(6分)
(2)、Δ不为0，但相对I 是小量，给出能量本征值近似值，精度达到Δ的一次
方。
（8分）
4、粒子在三维球势阱⎩
⎨⎧>∞≤≤=a r a r r r V 0)(λ中运动，假设1<<λ，试用定态微扰论求体系的基态能量，要求精确到一级近似。
(10分)
5、粒子在一维δ势阱中运动，哈密顿算符为：
()x V dx d m H δ02
222ˆ--= ,00>V 选取试探波函数为：
()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=b x b x x b b b x ,0,23),(3
φ
试用变分法求体系基态能量。
(10分)
)
2(2ˆ)(2ˆ2ˆˆ222∆++∆++=I L I L I L H z y x。
变分法求基态能量的步骤
迁，从一个定态 量变化
另一个定态，系统有局部的能
2、含时微扰下的schr.eq.
H (t ) (2) 体系波函数Ф 应满足schr.eq; i t H (t ) 中的 H 0 不含t，本征函数 n 已知：
H 0n nn
nt i
n 不含时
（4）
（3）
将Ф 按 H 0 的定态微扰波函数 n 展开：
e
dt
(15)
an (t ) an (0) 的物理意义：第一个等号，认 0 2）讨论： 2 定一个初态 k ， ak (0) 1, 而 an (t ) an (0) 是一个近 似。（15）式成立的条件是：Wk m (t ) 1 (k m) 即跃迁几率很小，体系保持在初始状态的几率很大，
（6 ）
项，（6）式变成 ：
an (t ) i n an (t ) H ' n t n n
(7)
以
左乘上式两边，然后对整个空间积分，得：
an (t ) * * i d a ( t ) m n n m H ' n d t n n
(8)
2
2
n0 ( n 0 )
1 a ( ) i
(0) n0
(q ) x 0e
* n
2 t
2in 0t
dt
由谐振子厄密多项式递推关系：
k k 1 x k [ k 1 k 1 ] 2 2 1
a
此处 k 0
x 0 1
m平滑变
W
2 t
H
' 2 mk
( m)
(6)
氢原子能量方程
氢原子能量方程
一、基态能量
基态能量是指氢原子处于最低能级时的能量。
在量子力学中，基态能量是由波尔模型得出的公式：E=mc^2=-13.6eV。
其中m是氢原子的质量，c是光速。
二、激发态能量
激发态能量是指氢原子处于较高能级时的能量。
根据波尔模型，氢原子的激发态能量可以用以下公式表示：E=mc^2=-13.6ev/n^2，其中n为激发态的能级数。
三、能级跃迁
能级跃迁是指氢原子在不同的能级之间发生跃迁的现象。
根据量子力学理论，氢原子的能级跃迁可以分为两类：自发跃迁和受激跃迁。
自发跃迁是指原子在没有外界影响下，自然地从高能级向低能级跃迁的过程；受激跃迁是指在受到外界影响的情况下，原子从高能级向低能级跃迁的过程。
四、辐射频率
辐射频率是指辐射波每秒的周期数，其单位为赫兹（Hz）。
根据量子力学理论，氢原子的辐射频率可以表示为：v=c/n，其中c为光速，n为能级数。
五、辐射强度
辐射强度是指辐射在单位时间内通过单位面积的能量，其单位为瓦特（W）。
根据量子力学理论，氢原子的辐射强度可以表示为：I=hv/4π，
其中h为普朗克常数，v为辐射频率。
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1、用变分法求氢原子基态能量和波函数，试探波函数取为：)exp()(r N r λψ-=，其中λ和N 为待定参数。
(15分)
2、粒子在一维无限深方势阱 (a x ≤≤0)中运动，受到微扰作用)2cos('ˆ0a
x V H π=，求第n 能级的一级修正。
(15分)
3、三维转子的哈密顿为:
其中I 和Δ都是转动惯量，分如下两种情况求体系能量本征值
(1)、Δ=0(6分)
(2)、Δ不为0，但相对I 是小量，给出能量本征值近似值，精度达到Δ的一次
方。
（8分）
4、粒子在三维球势阱⎩
⎨⎧>∞≤≤=a r a r r r V 0)(λ中运动，假设1<<λ，试用定态微扰论求体系的基态能量，要求精确到一级近似。
(10分)
5、粒子在一维δ势阱中运动，哈密顿算符为：
()x V dx d m H δ02
222ˆ--= ,00>V 选取试探波函数为：
()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=b x b x x b b b x ,0,23),(3
φ
试用变分法求体系基态能量。
(10分)
)
2(2ˆ)(2ˆ2ˆˆ222∆++∆++=I L I L I L H z y x。