统计计算题

第一部分 随机事件及其概率

例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。

1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为ABC ）； 2）“三个事件都发生”（表示为ABC ）；

3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C ⋃⋃）； 4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为ABC ABC ABC ++）；

5）“三个事件至少有两个发生”（表示为AB BC AC ⋃⋃或ABC ABC ABC ABC +++）

6）“三个事件至多有两个发生”（表示为ABC 或A B C ⋃⋃）。

例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。

解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B =“指定其中一个盒子装一只球”。 1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有n

N 种。假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有n

N C 种，所以，事件A 的样

本点数为

n

N C !n ，即事件A 的概率为 n n

N N n C A P !

)(=

2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1n C 种，其次，剩余的1N -个盒子中，1n -只球的

放法有1(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1

n C 1

(1)n N --，即事件B 的概率为

1

1

(1)()n n n C N P B N --=

注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日

全不相同”，它等价于“n 个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：n n

n C A P 365!

)(365=

，所以n n

n C A P 365!

1)(365-

=。

类似的问题还有：将3封信随机投入4个邮筒，计算第2号邮筒恰好投入1封信的概率，请读者思考。

例3（匹配问题）某班n 个战士各有1支枪归个人保管使用的枪，这些枪外形完全一样，在一次紧急集合

中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率。 解：设i A =“第i 个战士拿到自己的枪”，1,2,...,i n =

(1)!1

()!i n P A n n -=

=

2(2)!11

(),()

!(1)i j n

n P A A i j n n n P -=

==≠- 3(3)!1

(),()

!i j k n

n P A A A i j k n P -=

=≠≠

……

121(...)!n P A A A n =

1121()

1

12121()()()......(1)(...)

111...(1)1111...(1)2!3!!

n

n

n n

n i i i j n i i

j i j i n n n

n n n n n n P A P A P A A P A A A C C C n P P n -=≠=--=-++-=-++-=-

+-+-∑∑

∑

U

注：类似的问题还有：n 个同学聚会各带一件礼物，用抽签的方法分配礼物，求至少有一人抽到自己的礼品的概率。

第二部分 条件概率、独立性、全概率公式

例1 某城市的一项调查表明：该市有30%的中学生视力有缺陷，7%的中学生听力有缺陷，2%的中学生

视力和听力都有缺陷，问

1)如果已知一个中学生的视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？ 2)如果已知一个中学生的听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？ 解：记A =“中学生视力有缺陷”， B =“中学生听力有缺陷”

则

()0.02(|)0.0667()0.3P AB P B A P A =

=≈， ()0.02(|)0.2857()0.07P AB P A B P B ==≈

例 2 设某人忘了某电话号码的最后一位数字，因而随意拨码，求他拨码不超过3次接通他所需要的电话

的概率。

解： 设A =“拨码不超过3次而接通”，i A =“第i 次拨码接通”，1,2,3i =。

则112123A A A A A A A =++

112123()()()()P A P A P A A P A A A =++

1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++

191981310109109810=

+⋅+⋅⋅=

该问题与摸奖问题是关联的，设想10个人依次摸10张券，其中只有一张奖券，无放回摸取，第一、

第二、…第十人摸到奖券的概率都是1

10。这充分说明抓阄的合理性。

例3 假设某产品成箱包装，每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求： 1）检验一箱产品能通过验收的概率；

2）已知取到的一箱产品通过了验收，抽检到一件次品的概率； 3）检验10箱产品通过率不低于90%的概率。

解：1）设i A =“一箱内有i 件次品”，0,1,2i =，显然事件012,,A A A 互斥，构成一个完备事件组。

设事件B =“一箱产品通过验收”，C ==“抽到一件正品”。欲求()P B

依题意，110(),(|) 0,1,2

310i i i

P A P C A i -===

(|)0.98,(|)0.10P B C P B C ==

运用全概率公式，得

2

200110()()(|)0.9

310()1()10.90.1.

i i i i i

P C P A P C A P C P C ==-====-=-=∑∑

再次运用全概率公式

()()(|)()(|)

0.90.980.10.10.892P B P C P B C P C P B C =+=⨯+⨯=

2）

()()(|)0.01

(|)0.0112()()0.892P CB P C P B C P C B P B P B =

==≈

这说明通过了验收而抽查到次品的可能性只有约1.12%。

3）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10箱产品中通过验收的箱数为,(0,2,,10)k k =L ，并且通

过验收的概率为()0.892P B =，10箱产品的通过率为10k

，根据二项概率公式，得到

因为检验10箱产品通过率不低于90%，等价于90%910k

k ≥⇔≥，即9,10k =。所求概率为