第七章 玻耳兹曼统计要点

第七章 玻耳兹曼统计

7.1 试根据公式l

l

l

p a V

ε∂=-∂∑证明，对于非相对论粒子 ()2

2222

1222x y z p n n n m m L πε⎛⎫==++ ⎪⎝⎭

, (),,0,1,2,

,x y z n n n =±±

有

2.3U p V

=

上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为

()2

222122x y z

n n n x y z n n n m L πε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

, (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）

为书写简便起见，我们将上式简记为

23

,l aV ε-

= （2）

其中3V L =是系统的体积，常量()()2

2

2222x

y z a n

n n m

π=

++，并以单一指标l

代表,,x y z n n n 三个量子数. 由式（2）可得

511322.33aV V V

εε

-∂=-=-∂ （3） 代入压强公式，有

2

2,33l l

l l l

l

U

p a a V V

V

εε∂=-==

∂∑∑ （4） 式中l l l

U a ε=∑是系统的内能.

上述证明示涉及分布{}l a 的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.

前面我们利用粒子能量本征值对体积V 的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色

（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）. 需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能.

7.2 试根据公式l

l

l

p a V

ε∂=-∂∑证明，对于相对论粒子 ()122222x

y

z

cp c

n

n n

L

π

ε==++, (),,0,1,2,,x y z n n n =±±

有

1.3U

p V

=

上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.

解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为

()122222x y z

n n n

x

y

z

c

n

n n

L

π

ε=++ (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）

用指标l 表示量子数,,,x y z n n n V 表示系统的体积，3V L =，可将上式简记为

13

,l aV ε-

= （2）

其中

()

122222.x

y

z

a c n n n

π=++

由此可得

4311.33l l aV V V

εε

-∂=-=-∂ （3） 代入压强公式，得

1.33l l

l l l

l U

p a a V V V

εε∂=-==∂∑∑ （4） 本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.

7.3 当选择不同的能量零点时，粒子第l 个能级的能量可以取为

l ε或*.l ε以∆表示二者之差，*.l l εε∆=-试证明相应配分函数存在以下关

系*11Z e Z β-∆=，并讨论由配分函数1Z 和*1Z 求得的热力学函数有何差别. 解: 当选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为l ε或

*.l l εε=+∆显然能级的简并度不受能量零点选择的影响. 相应的配分

函数分别为

1,l l l

Z e βεω-=∑ （1）

*

*1

l l

l l

l l

Z e

e

e

βεβεβωω---∆

==∑∑

1,e Z β-∆= （2）

故

*11ln ln .Z Z β=-∆ （3）

根据内能、压强和熵的统计表达式（7.1.4），（7.1.7）和（7.1.13），容

易证明

*,U U N =+∆ （4） *,p p = （5）

*,S S = （6）

式中N 是系统的粒子数. 能量零点相差为∆时，内能相差N ∆是显然的. 式（5）和式（6）表明，压强和熵不因能量零点的选择而异. 其他热力学函数请读者自行考虑. 值得注意的是，由式（7.1.3）知

*,ααβ=-∆

所以

l l l a e αβεω--=

与

*

*

*l l l a e α

βεω--=

是相同的. 粒子数的最概然分布不因能量零点的选择而异. 在分析实际问题时可以视方便选择能量的零点.