二次函数专题之全参数范围问题

二次函数专题之参数范围问题

1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2

1

x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物

线的对称轴对称。

（1）求直线BC 的解析式；

（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。

2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根.

（2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=ax 2+x 1,求这个函数的表达式.

（3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为?

3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.

（1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；

（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；

（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围.

4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数.

（1）求a的值.

（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.

5、已知二次函数y x22bx c（b,c为常数）

（1）当b1,c3时，求二次函数在2x2上的最小值；

（2）当c3时，求二次函数在0x4上的最小值；

（3）当c4b2时，若在自变量x的值满足2b x2b3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为 21，求

此时二次函数的解析式．

6、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=mx 2-2mx-3（m ≠0）与x 轴交于A （3,0），B 两点.

（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标.

（2）当-2＜x ＜3时的函数图像记为G ，求此时函数y 的取值范围.

（3）在（2）的条件下，将图像G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图像G 的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b （k ≠0）与图像M 在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b 的取值范围.

7、 在平面直角坐标系中，我们定义点P(a ，b )的“变换点”为Q. 且规定：

当a ≥b 时，Q 为(b ，a -)；当a ＜b 时，Q 为(a ，b -)． （1）点(2，1)的变换点坐标为 ； （2）若点A(a ，2-)的变换点在函数1

y x

=

的图象上，求a 的值； （3）已知直线l 与坐标轴交于(6，0)，(0，3)两点．将直线l 上所有点的变换点

组成一个新的图形记作M ． 判断抛物线c x y +=2与图形M 的交点个数，以及相应的c 的取值范围，请直接写出结论．

8、已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；

（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；

（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．

9、

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12、

8、【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，

∵抛物线经过原点，

∴0=a（0﹣1）2+2，

∴a=﹣2，

∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．……4分

（2）∵抛物线经过原点，

∴设抛物线为y=ax2+bx，

∵h=﹣，

∴b=﹣2ah，

∴y=ax2﹣2ahx，……6分

∵顶点A（h，k），

∴k=ah2﹣2ah，

抛物线y=tx2也经过A（h，k），

∴k=th2，

∴th2=ah2﹣2ah2，

∴t=﹣a，……8分

（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，

∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，

∴h=，……10分

∵﹣2≤h＜1，

∴﹣2≤＜1，

①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，

②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，……12分综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．……13分

9、

10 10、

11、解：(1)抛物线C 的顶点坐标为)1,(-h ，┄┄┄┄┄2分

当h x =时，112-=--=kh kh y ，┄┄┄┄4分

所以直线l 恒过抛物线C 的顶点；

(2)当1-=a 时，抛物线C 解析式为1)(21---=h x y ，

不妨令33-=x y ，

如图1，抛物线C 的顶点在直线1-=y 上移动，

当m ≤x ≤2时，y 1≥x －3恒成立，

则可知抛物线C 的为顶点)1,2(-，┄┄┄┄┄7分

设抛物线C 与直线33-=x y 除顶点外的另一交点为M ，

此时点M 的横坐标即为m 的最小值，

由⎩

⎨⎧-=---=，，31)2(2x y x y 解得：11=x ，22=x ，┄┄┄8分 所以m 的最小值为1．┄┄┄┄┄9分

(3)法一：如图2，由(1)可知：抛物线C 与直线l 都过点A )1,(-h ， 当20≤k 时，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数

的点，

即当2+=h x 时，12y y >恒成立┄┄┄┄11分

所以1)2(1)2(2--+>--+h h a kh h k ，整理得：a k 2>，┄┄13分 又因为20≤