离散数学第二章

翻译‘张强的父亲是教授’ 例2 翻译‘张强的父亲是教授’. 答案为: P(f(z)),其中,P(x):x是教授; ,P(x):x是教授 解:答案为: P(f(z)),其中,P(x):x是教授; f(x):x的父亲 z:张强 的父亲； 张强. f(x):x的父亲；z:张强.
§3谓词公式与翻译
将下列命题符号化。 例3 将下列命题符号化。 教室里有同学在讲话。 （1）教室里有同学在讲话。 解 因为题中没有特别指明个体域，所以这里采 因为题中没有特别指明个体域， 用全总个体域。 用全总个体域。 S(x)： 是同学， R(x)： 在教室里， 令S(x)：x是同学， R(x)：x在教室里， T(x)： 在讲话，则命题可符号化为： T(x)：x在讲话，则命题可符号化为： x(S(x)∧R(x)∧T(x))。 ∃x(S(x)∧R(x)∧T(x))。
§2 命题函数与量词
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 总是要死的。 例：C—“总是要死的。” 总是要死的 j：张三；t：老虎；e：桌子。 ：张三； ：老虎； ：桌子。 均表达了命题。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 均表达了命题 在上面的例子中， ：表示“总是要死的” 在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元 ： 客体变元）， ），则 表示“ 总是要死的 总是要死的” 则称C(x)为 （客体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称 表示 为 命题函数。 命题函数。 定义》 《定义》由一个谓词字母和一些非空的客体变元的集合所组 成的表达式，称为简单命题函数。 成的表达式，称为简单命题函数。 命题函数
§3谓词公式与翻译
下列两例用函数观点理解谓词逻辑的翻译： 下列两例用函数观点理解谓词逻辑的翻译： 函数观点理解谓词逻辑的翻译 下列两例中个体域都是全人类. 下列两例中个体域都是全人类. 例1：“x是y的外祖父” ⇔“x是z的父亲且z是y的母
亲” F(x,z)：x是z的父亲；M(z,y)：z是y的母亲。 则谓词公式可写成：∃z( F(x,z) ∧ M(z,y)) 。
§2 命题函数与量词
例：（a）存在一个人； （b）某个人很聪明； （c）某些实数是有理数 将（a）,（b）,（c）写成命题。 解：规定：M(x)：x是人；C(x)：x是很聪明； R(x)：x是实数(特性谓词) Q(x)：x是有理数。 则 （a） ∃ x M(x) ； （b） ∃ x (M(x) ∧C(x))； （c） ∃ x (R(x) ∧ Q(x)) 。 （3）量化命题的真值：决定于给定的个体域 给定个体域：{a1…an}以{a1…an}中的每一个代入 ∀xP(x)⇔P(a1)∧… ∧ P(an) ∃xQ(x)⇔Q(a1)∨… ∨ Q(an)
§2 命题函数与量词
讨论定义： （a）当简单命题函数仅有一个客体变元时，称为一元简 单命题函数； （b）若用任何客体去取代客体变元之后，则命题函数就 变为命题； （c）命题函数中客体变元的取值范围称为个体域（论述 域）。 例：P(x)表示x是质百度文库。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 个体域（论述域，客体域）:用特定的集合表示的客体变元 的取值范围。
§3谓词公式与翻译
2、翻译 、
一般来说， 一般来说，将自然语言翻译成谓词公式主要有以 下几个步骤： 下几个步骤： （1）确定个体域，如无特别说明，一般使用全总个 ）确定个体域，如无特别说明， 体域； 体域； （2）根据个体域，分析命题中的个体、个体性质以 ）根据个体域，分析命题中的个体、 及各个个体间的关系，确定谓词； 及各个个体间的关系，确定谓词； （3）根据表示数量的词确定量词；如果使用全总个 ）根据表示数量的词确定量词； 体域，则要加入特性谓词。 体域，则要加入特性谓词。 （4）利用联结词将整个命题符号化。 ）利用联结词将整个命题符号化。
§2 命题函数与量词
例如 每个学生都要参加考试。 （1）每个学生都要参加考试。 P(x)： 是学生，Q(x):x要参加考试 要参加考试。 令P(x)：x是学生，Q(x):x要参加考试。可符 号化为: Q(x)) 号化为: ∀x(P(x) → Q(x))
一些人是聪明的。 （2）一些人是聪明的。
x是人 R(x)： 是聪明的。 是人， M(x): x是人，R(x)： x是聪明的。 可符号化为: M(x)∧R(y)) 可符号化为: ∃x(M(x)∧R(y)).
§3谓词公式与翻译
写成符号形式： 写成符号形式： D(x))， ∀x(M(x) → D(x))，M(s) ⇒ D(s) 没有不犯错的人。 例3：“没有不犯错的人。” F(x)为 犯错误” M(x)为 是人” 解：设F(x)为“x犯错误”，M(x)为“x是人” 特性谓词）。 （特性谓词）。 可把此命题写成： ( x(M(x)∧ 可把此命题写成： ¬(∃x(M(x)∧¬ F(x))) ⇔ ∀x(M(x)→F(x)) x(M(x)→ 由于对个体描述性质的刻划深度不同， 注：由于对个体描述性质的刻划深度不同，可翻译 成不同形式的谓词公式。 成不同形式的谓词公式。
若一个谓词P(x)是用来限制个体变元的取值范围， P(x)是用来限制个体变元的取值范围 注：若一个谓词P(x)是用来限制个体变元的取值范围， 那么称谓词P(x) 特性谓词。 P(x)为 那么称谓词P(x)为特性谓词。
§2 命题函数与量词
*对于同一个体域，用不同的量词时，特性谓词加入的 方法不同。 对于全称量词，其特性谓词以前件的方式加入； 对于存在量词，其特性谓词以合取的形式加入。
§2 命题函数与量词
例：将“对于所有的x和任何的y，如果x高于y，那么y不高 于x”写成命题表达形式。 解： ∀x ∀y(G(x,y)→ ¬ G(y,x)) G(x,y)：x高于y （2）存在量词 “∃”为存在量词符号，读作“存在一个”，“对于一 些”，“对于某些”，“至少存在一个”，“这里存在着 这样的”等等。 “∃”表达式的读法： · ∃ x A(x) ：存在一个x,使x是…； · ∃ x¬A(x) ：存在一个x, 使x不是…； · ¬∃ x A(x) ：不存在一个x, 使x是…； · ¬∃ x¬A(x) ：不存在一个x, 使x不是…。
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
§1 谓词的概念与表示
在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的单位， 在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的单位， 不再对原子命题进行分解. 不再对原子命题进行分解 这样会产生二大缺点： 这样会产生二大缺点： （1）不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征； ）不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征； （2）也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征，甚 ）也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征， 至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。 至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。 例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则 苏格拉底论证是正确的， 推导出来。 推导出来。 “所有的人总是要死的。 所有的人总是要死的。 A “苏格拉底是人。 苏格拉底是人。 B 苏格拉底是人 “所以苏格拉底是要死的。” 所以苏格拉底是要死的。 C 所以苏格拉底是要死的
§3谓词公式与翻译
例1：任何整数或是正的，或是负的。 解：设：I(x): x是整数； R1(x)：x是正数；R2(x)： x是负数。 此句可写成：∀x(I(x)→(R1(x) ∨ R2(x))。 例2：试将苏格拉底论证符号化：“所有的人总是要死 的。因为苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。” 解：设M(x)：x是人；D(x)：x是要死的； M(s)：苏格拉底是人；D(s)：苏格拉底是要死的。
2.量词 2.量词
（1）全称量词 “∀”为全称量词符号，读作“对于所有的”，“对任一 个”，“对一切”。 例：“这里所有的都是苹果” 可写成： ∀xA(x)或(∀x)A(x) ∀ ∀ 几种形式的读法： · ∀xP(x)： “对所有的x，x是…”； · ∀x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”； · ¬∀xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”； · ¬∀x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
§3谓词公式与翻译
（2）在我们班中，并非所有同学都能取得优 在我们班中， 秀成绩。 秀成绩。 S(x)： 是同学， C(x)： 解 令S(x)：x是同学， C(x)：x在我们班 E(x)： 能取得优秀成绩， 中， E(x)：x能取得优秀成绩，则命题可符 号化为： ¬∀x((S(x) C(x))→E(x))。 或者， x((S(x)∧ 号化为 ： ¬∀ x((S(x)∧C(x))→E(x)) 。 或者 ， 此命题也可以理解为“ 此命题也可以理解为“在我们班中存在不能 取得优秀成绩的同学” 取得优秀成绩的同学”，则该命题也可符号 化为：∃x(S(x)∧C(x)∧¬E(x))。 化为： x(S(x)∧C(x)∧¬E(x))。 ∧¬E(x))
§1 谓词的概念与表示
1.谓词： 谓词： 谓词 定义》 用以刻划客体的性质或关系的即是谓词 谓词。 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。 我们可把原子命题分解为二部分： 我们可把原子命题分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。 主语（名词，代词）和谓语（动词）。 例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： 张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”， 表示“ 表示“ 表示“ 表示 是学生” 表示 张华” 表示 李明” 则可用下列符号表示上述二个命题： 则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。 ， 。
§2 命题函数与量词
个体域的给定形式有二种： ①具体给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域⁄任意域：将各种个体域综合在一起作 为论述范围的域称全总个体域。 命题函数可以转变为命题，有两种方法： a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：∀xP(x)，∃xP(x)
§2 命题函数与量词
H作为“谓词”用大写英文字母表示，j,m为主语， 作为“谓词”用大写英文字母表示， 为主语 为主语， 作为 称为“客体”或称“个体”。客体一般用小写的英 称为“客体”或称“个体” 文字母表示。 文字母表示。
§1 谓词的概念与表示
一元谓词； （1）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 ）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词； 二元谓词 系着n个客体 则称作n元谓词 个客体， 元谓词。 系着 个客体，则称作 元谓词。 （2）客体的次序必须是有规定的。 ）客体的次序必须是有规定的。 河南省北接河北省。 北接河北省 例：河南省北接河北省。 n L b 写成二元谓词为： 写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成 ，但不能写成L(b,n) 。
§3谓词公式与翻译
1.谓词公式 1. 原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式称 为原子谓词公式，并用P(x1…xn)来表示。（P称为n元谓词， x1…xn称为客体变元），当n=0时称为零元谓词公式。 《定义》（谓词公式的归纳法定义） ⑴原子谓词公式是谓词公式； ⑵若A是谓词公式，则¬A也是谓词公式； ⑶若A, B都是谓词公式，则(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)都 是谓词公式； ⑷若A是谓词公式，x是任何变元，则∀xA, ∃xA也都是谓词 公式； ⑸只有按⑴-⑷所求得的那些公式才是谓词公式。
§2 命题函数与量词
*个体域不同，则表示同一命题的值不同。Q(x):
∀xQ(x) ∃xQ(x)
x<5
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
{15,30} F F
§2 命题函数与量词
*个体域不同，则表示同一命题的谓词公式的形式不同。
例：“所有的人必死。” 令D(x) ：x是要死的。 下面给出不同的个体域来讨论： (ⅰ)个体域为：{人类}， 则可写成∀xD(x)； (ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必须首先从任意 域中分离出来， 设M(x)，x是人，称M(x)为特性谓词。 命题可写成 ∀x(M(x) → D(x))