恒定电流的电场
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第四章 恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
§4.2 恒定电场与静电场的比拟
§4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件
§4.7 电感的计算
§4.8 恒定磁场的能量和力
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律 4.1.2 恒定电场的基本方程 4.1.3 恒定电场的边界条件
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
图 4-1 导体中的恒定电流
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律
它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数
Q dQ i lim t 0 t dt
Q I t
上式中Q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷, I是常量。电流
强度的单位为(A=C/s)。
第四章 恒定电流的电场和磁场
图 4-2 电流密度矢量
第四章 恒定电流的电场和磁场
I dI J lim S 0 S dS
式中J是体传导电流密度 , 单位为A/m2。如果所取的面积元的法
线方向
ˆ 与电流方向不平行, 而成任意角θ, 如图4-2(b)所示, 则通 n
dI J ds Jds cos
所以通过导体中任意截面S
ˆ ds I J ds J n
S S
第四章 恒定电流的电场和磁场
1.欧姆定律的微分形式
由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和
导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律
U RI
式中R称为导体的电阻, 单位为Ω, 表示式为
或
l R S dl R l S
上式中, l为导体长度; S为导体横截面; σ称为导体的电导率, 它由导 体的材料决定, 单位为1/Ω·m=S/m 。
第四章 恒定电流的电场和磁场
表 4-1 几种材料在常温下的电阻率和电导率
第四章 恒定电流的电场和磁场
图 4-3 推导欧姆定律微分形式
第四章 恒定电流的电场和磁场
U El I JS l R S
所以J=σE。在各向同性媒质中, 电流密度矢量J和电场强度E方向 一致, 都是正电荷运动方向, 故有
J E
运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空
或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。其电流密度是
J v v ( A / m2 )
式中ρv(C/m3)为某点的电荷密度, v为该点电荷运动速度。
第四章 恒定电流的电场和磁场 2. 焦耳定律的微分形式
一般通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电
场对电荷所作之功,
P VI I R (W )
2
图4-3中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔSΔl,
P UI ElJS EJ V
当ΔV→0, 取ΔP/ΔV的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是 单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位 是W/m３。
第四章 恒定电流的电场和磁场
P p lim EJ E 2 V 0 V
或
p EJ
上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定电流和时变电流的情况 下都成立, 但对运流电流不适用, 因为运流电流中电场力对电荷所
作的功不变成热量, 而变成电荷的功能。
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.2 恒定电场的基本方程
1.电流连续性方程, 恒定电场的散度
图 4-4 电流的连续性
第四章 恒定电流的电场和磁场 根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等 于单位时间内S面内电荷的减少量。
dQ S J ds dt
然而, 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间
变化,故dQ/dt=0所以得
J ds 0
s
恒定电流连续性方程的微分形式
J 0
第四章 恒定电流的电场和磁场
E ds 0
S
如果导体的导电性能均匀, σ是常数,
E ds 0
S
根据高斯定理 , 上式说明导体内部任一闭合面 S 内包含的净电荷 Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电
荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的
电荷产生的。 在均匀导体内部
E 0
第四章 恒定电流的电场和磁场 2. 恒定电场的旋度 因为在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定, 所以恒
定电场与静电场相同也遵循守恒定理, 所以
E dl 0
l
(4-16)
由斯托克斯定理, 从式(4-16)可得
E 0
所以恒定电场也是位场。 恒定电场这个特性只在电源外的导体中满足。在电源内部 ,
不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定
理。
第四章 恒定电流的电场和磁场
在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为#;
微分形式
J 0 E 0
积分形式
S
J ds 0 E dl 0
l
媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为
J E
由于▽×E=0, 故电场强度与电位的关系满足E=- ▽ φ。在载 有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得
E ( ) 0
2
所以电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.3 恒定电场的边界条件
1. 两种导电媒质的边界
图 4-5 恒定电场不同媒质分界面
第四章 恒定电流的电场和磁场
J ds J
S
1n
s J 2 n s 0
(4-19)
所以
J1n J 2 n
又由Jn=σEn和E=-▽φ, 式(4-19)可表示为
1E1n 2 E2 n
1 2 1 2 n n
(4-20)
第四章 恒定电流的电场和磁场 根据式(4-16), 仿第二章节在交界面上取一扁矩形闭合路径, 即可得
E dl E
l
1t
l E2t l 0
所以
E1t E2t
此式说明分界面上电场强度的切向分量连续。 又因为Jt=σEt, 并应用第三章推导电位边界条件的方法可得
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
§4.2 恒定电场与静电场的比拟
§4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件
§4.7 电感的计算
§4.8 恒定磁场的能量和力
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律 4.1.2 恒定电场的基本方程 4.1.3 恒定电场的边界条件
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
图 4-1 导体中的恒定电流
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律
它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数
Q dQ i lim t 0 t dt
Q I t
上式中Q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷, I是常量。电流
强度的单位为(A=C/s)。
第四章 恒定电流的电场和磁场
图 4-2 电流密度矢量
第四章 恒定电流的电场和磁场
I dI J lim S 0 S dS
式中J是体传导电流密度 , 单位为A/m2。如果所取的面积元的法
线方向
ˆ 与电流方向不平行, 而成任意角θ, 如图4-2(b)所示, 则通 n
dI J ds Jds cos
所以通过导体中任意截面S
ˆ ds I J ds J n
S S
第四章 恒定电流的电场和磁场
1.欧姆定律的微分形式
由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和
导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律
U RI
式中R称为导体的电阻, 单位为Ω, 表示式为
或
l R S dl R l S
上式中, l为导体长度; S为导体横截面; σ称为导体的电导率, 它由导 体的材料决定, 单位为1/Ω·m=S/m 。
第四章 恒定电流的电场和磁场
表 4-1 几种材料在常温下的电阻率和电导率
第四章 恒定电流的电场和磁场
图 4-3 推导欧姆定律微分形式
第四章 恒定电流的电场和磁场
U El I JS l R S
所以J=σE。在各向同性媒质中, 电流密度矢量J和电场强度E方向 一致, 都是正电荷运动方向, 故有
J E
运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空
或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。其电流密度是
J v v ( A / m2 )
式中ρv(C/m3)为某点的电荷密度, v为该点电荷运动速度。
第四章 恒定电流的电场和磁场 2. 焦耳定律的微分形式
一般通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电
场对电荷所作之功,
P VI I R (W )
2
图4-3中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔSΔl,
P UI ElJS EJ V
当ΔV→0, 取ΔP/ΔV的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是 单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位 是W/m３。
第四章 恒定电流的电场和磁场
P p lim EJ E 2 V 0 V
或
p EJ
上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定电流和时变电流的情况 下都成立, 但对运流电流不适用, 因为运流电流中电场力对电荷所
作的功不变成热量, 而变成电荷的功能。
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.2 恒定电场的基本方程
1.电流连续性方程, 恒定电场的散度
图 4-4 电流的连续性
第四章 恒定电流的电场和磁场 根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等 于单位时间内S面内电荷的减少量。
dQ S J ds dt
然而, 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间
变化,故dQ/dt=0所以得
J ds 0
s
恒定电流连续性方程的微分形式
J 0
第四章 恒定电流的电场和磁场
E ds 0
S
如果导体的导电性能均匀, σ是常数,
E ds 0
S
根据高斯定理 , 上式说明导体内部任一闭合面 S 内包含的净电荷 Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电
荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的
电荷产生的。 在均匀导体内部
E 0
第四章 恒定电流的电场和磁场 2. 恒定电场的旋度 因为在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定, 所以恒
定电场与静电场相同也遵循守恒定理, 所以
E dl 0
l
(4-16)
由斯托克斯定理, 从式(4-16)可得
E 0
所以恒定电场也是位场。 恒定电场这个特性只在电源外的导体中满足。在电源内部 ,
不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定
理。
第四章 恒定电流的电场和磁场
在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为#;
微分形式
J 0 E 0
积分形式
S
J ds 0 E dl 0
l
媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为
J E
由于▽×E=0, 故电场强度与电位的关系满足E=- ▽ φ。在载 有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得
E ( ) 0
2
所以电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。
第四章 恒定电流的电场和磁场
4.1.3 恒定电场的边界条件
1. 两种导电媒质的边界
图 4-5 恒定电场不同媒质分界面
第四章 恒定电流的电场和磁场
J ds J
S
1n
s J 2 n s 0
(4-19)
所以
J1n J 2 n
又由Jn=σEn和E=-▽φ, 式(4-19)可表示为
1E1n 2 E2 n
1 2 1 2 n n
(4-20)
第四章 恒定电流的电场和磁场 根据式(4-16), 仿第二章节在交界面上取一扁矩形闭合路径, 即可得
E dl E
l
1t
l E2t l 0
所以
E1t E2t
此式说明分界面上电场强度的切向分量连续。 又因为Jt=σEt, 并应用第三章推导电位边界条件的方法可得