2020北京清华附中初二(上)期中数学试卷

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2020-2021北京市清华大学附属中学初二数学上期中模拟试卷(及答案)

2020-2021北京市清华大学附属中学初二数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知一个等腰三角形一内角的度数为80o ，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A ．100o B ．80o C ．50o 或80o D ．20o 或80o2．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°3．下列条件中能判定△ABC ≌△DEF 的是 ( )A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠DB ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F C ．AC ＝DF ，∠B ＝∠F ，AB ＝DED ．∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF 4．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°5．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形6．若23m =，25n =，则322m n -等于（）A ．2725B ．910C ．2D ．25277．如图，在ABC ∆中，64A ∠=︒，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；……；1n A BC -∠与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，要使n A ∠的度数为整数，则n 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140° 9．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A ．6B ．5C ．8D ．710．已知x+y=5，xy=6，则x 2+y 2的值是（）A ．1B ．13C ．17D ．2511．2019年5月24日，中国·大同石墨烯+新材料储能产业园正式开工，这是大同市争当能源革命“尖兵”的又一重大举措．石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度为0.00000000034米，这个数据用科学记数法可表示为（） A ．90.3410-⨯B ．113.410-⨯C ．103.410-⨯D ．93.410-⨯ 12．计算：(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)(a 4－b 4)的结果是( )A ．a 8＋2a 4b 4＋b 8B ．a 8－2a 4b 4＋b 8C ．a 8＋b 8D ．a 8－b 8 二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若△BDE 的周长为6，则AC=_________________．14．已知m ﹣n=2，mn=﹣1，则（1+2m ）（1﹣2n ）的值为__．15．如果关于x 的分式方程m 2x 1x 22x-=--有增根，那么m 的值为______．16．如图所示，已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，则△ABC 的面积是．17．已知22139273m ⨯⨯=，求m =__________．18．若22(5)0a b -+-=，则点P (a ,b )关于x 轴对称的点的坐标为____.19．若2x+5y ﹣3=0，则4x •32y 的值为________．20．已知3221-可以被10到20之间某两个整数整除，则这两个数是___________．三、解答题21．解分式方程（1）2101x x -=+．（2）2216124x x x --=+- 22．已知 a m =2，a n =4，a k =32（a≠0）．（1）求a 3m+2n ﹣k 的值；（2）求k ﹣3m ﹣n 的值．23．如图，BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，且MN ∥BC ，若AB=12，△AMN 的周长为29，求AC 的长．24．计算：（1）332111x xx x ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭．（2）224244x x x x x ---++． 25．列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．【详解】()1若等腰三角形一个底角为80o，顶角为180808020o o o o--=；()2等腰三角形的顶角为80o．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20o或80o．故选D．【点睛】.解答此类题目的关键是要注意分类讨本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理论，不要漏解．2．D解析：D【解析】【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．【详解】∵图中是三个等边三角形，∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°，故选D．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．3．D解析：D【解析】分析：根据全等三角形的判定定理AAS，可知应选D.详解：解：如图：A选项中根据AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 不能判定两个三角形全等，故A错；B选项三个角相等，不能判定两个三角形全等，故B错；C选项看似可用“边角边”定理判定两三角形全等，而对照图形可发现它们并不符合此判定条件，故C错；D选项中根据“AAS”可判定两个三角形全等，故选D；点睛：本题考查了全等三角形的条件，本题没有给出图形，增加此题的难度.若能顺利画出图形，对照图形和选项即可得到正确选项.4．B解析：B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°．【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．5．C解析：C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.6．A解析：A【解析】分析：先把23m﹣2n化为（2m）3÷（2n）2，再求解．详解：∵2m=3，2n=5，∴23m﹣2n=（2m）3÷（2n）2=27÷25=27 25．故选A．点睛：本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是把23m﹣2n化为（2m）3÷（2n）2．7．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=(12)n∠A=642n，∵∠A n的度数为整数，∵n=6．故选C.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键．8．A解析：A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．9．B解析：B【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．故选B．【点睛】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n-2）个三角形．10．B解析：B【解析】【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy 的值代入计算，即可求出所求式子的值．【详解】解：将x+y=5两边平方得：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=25，将xy=6代入得：x 2+12+y 2=25，则x 2+y 2=13．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】12．D解析：D【解析】试题分析：根据平方差公式可直接求解，即原式=（22a b -）（22a b +）（44a b +）=（44a b -）（44a b +）=88a b -.故选D考点：平方差公式二、填空题13．【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE 再判断出△BDE 是等腰直角三角形设BE=x 然后根据△BDE 的周长列方程求出x 的值再分别求解即可【详解】解：∵∠C=90°AD 平分∠B解析：【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE ，再判断出△BDE 是等腰直角三角形，设BE=x ，然后根据△BDE 的周长列方程求出x 的值，再分别求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，∴CD=DE （角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵AC=BC ，∴∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，假设CD BE DE x ===，则BD =，∵△BDE 的周长为6，∴6BD BE DE x x ++=++=，6x =-∴6AC BD x ==+=-+-=故答案为：【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形周长的定义，等腰直角三角形的判定与性质，根据三角形的周长列出方程是解题的关键．14．9【解析】∵m −n=2mn=−1∴(1+2m)(1−2n)=1−2n+2m −4mn=1+2(m −n)−4mn=1+4+4=9故答案为9点睛:本题考查了多项式乘多项式法则合并同类项时要注意项中的指数及解析：9【解析】∵m −n =2，mn =−1，∴(1+2m )(1−2n )=1−2n +2m −4mn =1+2(m −n )−4mn =1+4+4=9.故答案为9.点睛: 本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．15．-4【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值让最简公分母确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解即可得到正确的答案【详解】解：去分母方程两边同时乘以解析：-4【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x 20-=，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【详解】解：m 2x 1x 22x-=--，去分母，方程两边同时乘以x 2-，得：m 2x x 2+=-，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x 2=时，m 422+=-，m 4=-．故答案为4-．【点睛】考查了分式方程的增根.增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16．【解析】试题分析：如图连接OA∵OBOC 分别平分∠ABC 和∠ACB∴点O 到ABACBC 的距离都相等∵△ABC 的周长是20OD⊥BC 于D 且OD=3∴S△ABC=×20×3=30考点：角平分线的性质解析：【解析】试题分析：如图，连接OA ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，∵△ABC 的周长是20，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，∴S △ABC =12×20×3=30．考点：角平分线的性质．17．8【解析】【分析】根据幂的乘方可得再根据同底数幂的乘法法则解答即可【详解】∵即∴解得故答案为：8【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键解析：8【解析】【分析】根据幂的乘方可得293m m =，3273=，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【详解】∵22139273m ⨯⨯=，即22321333m 创=，∴22321m ++=，解得8m =，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．18．（2－5）【解析】由题意得a-2=0b-5=0解得a=2b=5所以点P的坐标为（25）所以点P （ab）关于x轴对称的点的坐标为（2-5）故答案是：（2-5）解析：（2，－5）【解析】由题意得，a-2=0，b-5=0，解得a=2，b=5，所以，点P的坐标为（2，5），所以，点P （a，b）关于x轴对称的点的坐标为（2，-5）．故答案是：（2，-5）．19．8【解析】∵2x+5y﹣3=0∴2x+5y=3∴4x•32y=（22）x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8故答案为：8【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质同底数幂的乘法转化为以2为解析：8【解析】∵2x+5y﹣3=0，∴2x+5y=3，∴4x•32y=（22）x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8，故答案为：8.【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便．20．15和17；【解析】【分析】将利用平方差公式分解因式根据可以被10到20之间的某两个整数整除即可得到两因式分别为15和17【详解】因式分解可得：=（216+1）（216-1）=（216+1）（28+解析：15和17；【解析】【分析】将32-可以被10到20之间的某两个整数整除，2121-利用平方差公式分解因式，根据32即可得到两因式分别为15和17．【详解】因式分解可得：32-=（216+1）（216-1）=（216+1）（28+1）（28-1）=（216+1）21（28+1）（24+1）（24-1），∵24+1=17，24-1=15，∴232-1可以被10和20之间的15，17两个数整除．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是利用平方差公式分解因式.三、解答题21．（1）x=-2；（2）无解【解析】【分析】【详解】（1）去分母得：2(1)0x x +-=，解此整式方程得：2x =-，检验：当2x =-时，(1)0x x +≠，∴原方程的解为：2x =-.（2）去分母得：22(2)164x x --=-，解此整式方程得：2x =-，检验：当2x =-时，(2)(2)0x x +-=，∴2x =-是原方程的增根，∴原方程无解.【点睛】解分式方程时需注意两点：（1）解分式方程的基本思路是“去分母，化分式方程为整式方程”；（2）求得对应的整式方程的解后，需检验，再作结论.22．（1）4（2）0【解析】【分析】（1）根据已知条件可得a 3m =23，a 2n =24，a k =25，再逆用同底数幂的乘除法法则计算即可；（2）由已知条件计算出a k-3m-n 的值，继而求得k-3m-n 的值．【详解】（1）∵a 3m =23，a 2n =42=24，a k =32=25，∴a 3m+2n-k=a 3m •a 2n ÷a k=23•24÷25=23+4-5=22=4；（2）∵a k-3m-n =25÷23÷22=20=1=a 0， ∴k-3m-n=0，即k-3m-n 的值是0．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键． 23．【解析】【分析】首先根据角平分线以及平行线的性质得出BM=OM ，CN=ON ，然后根据三角形的周长得出AB+AC=29，最后根据AB 的长度求出AC 的长度．【详解】解：∵BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，MN ∥BC ，∴BM=MO ，CN=NO ，∴AM+MB+AN+NC=AM+MO+AN+NO=29．∴AB+AC=29，∵AB=12，∴AC=17．24．（1）－1；（2）2644x x--．【解析】【分析】（1）先算括号内的减法，再算乘法即可；（2）分子分母能因式分解的先因式分解，化简后根据异分母分式的减法法则进行计算．【详解】解：（1）原式33111x x x x -=⋅=--；（2）原式()()()()()()()22222642222222422x x x x x x x x x x x x x x x x +--++---=-=-==-++---．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．25．每套《水浒传》连环画的价格为120元【解析】【分析】设每套《水浒传》连环画的价格为x 元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x+60)元，根据等量关系“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列方程进行求解即可得.【详解】设每套《水浒传》连环画的价格为x 元，则每套《三国演义》连环画的价格为()60x +元，由题意，得480036002?60x x =+，解得120x =，经检验，120x =是原方程的解，且符合题意，答：每套《水浒传》连环画的价格为120元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到题中的等量关系是解题的关键，注意解完方程后要进行检验.。

北京市清华大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

北京市清华大学附属中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A．37．如图，△ABC周长为30，则BEA．5a b+=，则8．若3A．39．如图，ABC≌△A．20°B．的边长为10．如图，等边ABCAC边上一点，若A．22.5︒B二、填空题15．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有方案一：如图1，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分）初始图操作记录图目标图三、解答题17．分解因式：(1)22363a ab b -+(2)()()2222x m y m -+-四、计算题18．计算(1)98102⨯；(2)()23262232m m m m m ⋅-+÷；(3)()()22231a ab a a b --+-；(4)()()()2123x x x -++-；五、证明题19．如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上，点A ，D 在l 异侧，若,AB DE AB DE =∥，A D ∠=∠．求证：BF CE =．六、解答题20．已知2210x x +-=，求代数式()()22123x x +--的值．21．已知22()10,()2a b a b +=-=，求22a b +，ab 的值．七、作图题八、解答题23．阅读下面的材料：九、作图题24．已知等边三角形ABC ，D 为线段BC 上一点，P 为B 关于直线AD 的对称点．过A 作AM 平行于PC 且交ABC ∠的外角平分线于M ．(1)依题意补全图形；(2)设BAD ∠=α，求BAM ∠（用含α的式子表示）；(3)过D 做DQ AB ∥且交CP 延长线于Q ．请用等式表示QD ，BM 和BA 之间的数量关系，并证明．十、单选题25．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A ．()()22a b a b a b -=+-B ．2222()aab b a b ++=+C ．2222()a ab b a b -+=-D ．22()()4a b a b ab+--=十一、填空题十二、证明题28．已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足2222220a b c ab bc ++--=，请判断ABC 的形状，并说明理由．。

清华附中初二上学期期中数学试卷

9
、比较大小：
_______
2.3.
10
、
_________
21()
7
..
11
、因式分解：
_____
344aa..
12
、定义一种对正整数
的运算
：（
1
）当
为奇数时，结果为
；（
2
）当
为偶数时，结
果为
（其中
是使为
奇数的正整数），并且运算可以重复进行。
A2
点先沿着
x
轴正方
向前进
3
步，再沿
y
轴正方向前进
3
步到达
A3
点；第四次运动是由
A3
点先沿着
x
轴的负方向前进
2
步，
再沿着
y
轴负方向前进
2
步到达
A4
点；……，以后的运动按上述程序交替进行，已知该机器人
每秒走
1
步，且每步的距离为
1
个单位。
（1）若第
30
秒是它到达
A
k
，则
k=________;
（2）该机器人到达点
A
99
时，一共运动了
_____
秒，
A
99
的坐标是
__________.
6、已知两条直线
y=
x+
和
y=
－
x+
(n
为正整数
)

北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

初二第一学期期中试卷数学一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.在下列图形中是轴对称图形是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B.是轴对称图形，故本选项符合题意，C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2.下列计算正确的是（）A a+ a= a B. (ab) = ab C. a• a= a D. a÷a= a【答案】C【解析】【分析】根据整式的四则运算和积的乘方对选项进行分析即可得到答案.【详解】A. a与a不是同类项，无法合并，故A错误；B. (ab) = a2b，故B错误；C. a• a= a，故C正确；D. a÷a= a8，故D错误；故选择C.【点睛】本题考查同底数幂的混合运算和积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的混合运算和积的乘方运算.3.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD【答案】D【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．4.若2x + m 与x + 2 的乘积中不含的x 的一次项，则m 的值为（）A. －4B. 4C. －2D. 2【答案】A【解析】【分析】先将(2x + m) (x + 2)根据多项式乘多项式展开，找出所有含x的一次项，合并系数，使含x的一次项的系数为0，即可求出m的值．【详解】解：，∵乘积中不含x的一次项，∴，∴．故答案选：A．【点睛】本题考查多项式乘多项式的运算，属于基础题．理解不含某一项就是指含有这项的系数为0，注意合并同类项求解．5.如图，已知 AB⊥BC 于 B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5，且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（）A. 13B. 8C. 7D. 5【答案】C【解析】【分析】先根据题意证明△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质得到CE值，即可求出BE．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠B=90°=∠C∴∠A+∠AEB=90°∵∠AED=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠A=∠DEC在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．∴BE=BC-CE=12-5=7．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和性质，解题关键在于掌握判定定理.6.如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP,交CB于点D，若CD = 4，AB = 15．则△ABD的面积是【】A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】B【解析】【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30，故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°【答案】B【解析】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．8.如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C，使△ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A. 8 个B. 9 个C. 10 个D. 11 个【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理计算出AB=，然后分类讨论确定C点位置．【详解】AB==，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有3个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有6个；以C为顶点，CA=CB，这样的点不存在，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有9个.故选B.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和勾股定理的应用.二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）9.等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．【答案】17【解析】试题分析：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．∴等腰三角形的周长为17．10.如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，∠C=65°，则∠BAD 度数为___________.【答案】25°【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°,再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD=25°. 【详解】∵AB ＝AC ，∠C=65°，∴∠C=∠B=65°,∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°,根据三角形内角和定理可知∠BAD=180°-90°-65°=25°，故答案为25°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键.11.计算：20192018014()1)4⨯-⨯=_________. 【答案】4【解析】【分析】先根据零指数幂化简并变形得到2018201814()144⨯-⨯⨯，再进行乘法计算即可得到答案.【详解】20192018014()1)4⨯-⨯ =2018201814()144⨯-⨯⨯ =4【点睛】本题考查有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂，解题的关键是有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂.12.如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，若BD=3，则DE= ．【答案】3【解析】试题分析：△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，可得∠DCB=60°，BD ⊥AC ，所以∠DBC=30°，因为CE=CD ，所以∠CDE=∠E=30°，故∠DBC=∠E ，DE=BD=3．考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的外角13.若(x －2)(x +3)= x + ax －6 ，则a =________【答案】1【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式的方法计算(x－2)(x +3)，得到x+x－6，再结合题意即可得到答案.【详解】因为(x－2)(x +3)= x+ 3x -2x－6= x+x－6，且(x－2)(x +3)= x+ ax－6 ，所以a =1.【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的方法.14.已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.【答案】20【解析】【分析】由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.15.在△ABC中，已知AB=5，BC=6，∠B=30°，那么S△ABC为_________．【答案】7.5【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积公式计算．【详解】过点A作AD⊥BC于D，如图，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=，∴S△ABC=×BC×AD=××6=7.5.【点睛】本题考查直角三角形的性质、三角形的面积公式，掌握在直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16.如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE⊥AC点E，过点P 作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____．【答案】5【解析】【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．【详解】∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为5．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三、解答题（共7小题，共52分）17.如图，B、C、E、F 在同一直线上，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D. 求证：△ABE≌△DCF【答案】证明见解析【解析】【分析】由AB∥CD得到∠B=∠C，由BF=CE得到BE=CF，根据全等三角形的判定（AAS）即可得到答案.【详解】因为AB∥CD，所以∠B=∠C；又因为BF=CE，则BE=CF，在△ABE和△DCF中，∵，∴△ABE≌△DCF（AAS）.【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质.18.计算下列各题：（1）(x－3y)(－6x)；（2） (x－1)(x + 2)；【答案】（1）－6x2+18 xy；（2）x2+ x－2【解析】【分析】（1）先进行多项式乘以多项式运算，再合并同类项，即可得到答案；（2）先进行多项式乘以多项式运算得到x2+2 x－x－2，再合并同类项，即可得到答案.【详解】（1）(x－3y)(－6x)=－6x2+18 xy；（2）(x－1)(x + 2)=x2+2 x－x－2= x2+ x－2【点睛】本题考查多项式乘以多项式和合并同类项，解题的关键是掌握多项式乘以多项式和合并同类项法则.19.如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．（3）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）A1的坐标为（1，2）、B1的坐标（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为.【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）由（1）中所作图形可得答案；（3）利用割补法求解可得．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）由图知，A1的坐标为（1，2）、B1的坐标为（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．20.如图1，在△ABC中，AB=AC， D为直线BC上一动点（不与B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，求证:△BAD ≌△CAE；（2）当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE，理由见解析【解析】分析】（1）根据SAS即可证明；（2）当点D运动到BC中点时，AC⊥DE，由AB=AC知∠1=∠2，结合∠1=∠3，得出∠2=∠3．根据AE=AD，即可得.【详解】（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD ≌△CAE（SAS）．（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE ．∵D 是BC 中点，AB=AC ，∴∠1=∠2．∵△BAD ≌△CAE ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∵AD=AE ，∴AC ⊥DE ．∴当D 运动到BC 中点时，AC ⊥DE ．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．21.先化简再求值：(x + 2 y )+(x + 2 y )(x －2 y )+ 2 y ，其中 x =－1，y = 2 ；【答案】；2【解析】【分析】先由完全平方公式、平方差公式得到x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y，再合并同类项得到2x 2+ 4x y + 2 y ，将x =－1，y = 2代入即可得到答案.【详解】(x + 2 y)+(x + 2 y)(x －2 y)+ 2 y=x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y= 2x 2+ 4x y + 2 y=2（x 2+ 2x y + y ）=2（x+y ）2则x =－1，y = 2代入得到=2.【点睛】本题考查代数式、完全平方公式、平方差公式和合并同类项，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和合并同类项的计算.22.规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b)：如果，那么(a ，b)=c ．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．(1)根据上述规定，填空：（3，9）=_____，（5，125）=_____，（，）=_____，（-2，-32）=_____．(2)令，()46b =，，()430c =，，试说明下列等式成立的理由：. 【答案】（1）2，3，4，5（2）见解析【解析】【分析】（1）根据规定的运算法则计算即可；（2）令，()46b =，，()430c =，，根据规定的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可证明a+b=c ，即可得结论. 【详解】（1）∵32=9，53=125，(-)4=，(-2)5=-32， ∴（3，9）=2，（5，125）=3，（，）=4，（-2，-32）=5. 故答案为2；3；4；5(2)令，()46b =，，()430c =，，则，，， ∵5630⨯=， ∴444a b c ⨯=， ∴， ∴， ∴.【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是理解（a ，b ）=c ，a c =b ，即b 是a 的c 次方，按此规律进行计算即可．23.如图，△ABC 中，AB=AC ，射线AP 在△ABC 的外侧，点B 关于AP 的对称点为D ，连接CD 交射线AP 于点E ，连接BE. (1)根据题意补全图形； (2)求证：CD=EB+EC ； (3)求证：∠ABE=∠ACE.【答案】(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据点B 、D 关于AP 对称得AP 垂直平分BD ，故ED=EB ，从而得证；（3）连接AD ，由线段垂直平分线的性质得AD=AB ，ED=EB ，可证∠1=∠ABE ；由AB=AC 得AD=AC,所以∠1=∠ACE,从而得证. 【详解】(1)如图；(2)∵点B、D关于AP对称∴ AP垂直平分BD∴ ED=EB∴ CD=CE+ED=CE+EB；(3)连接AD∵ AP垂直平分BD∴ AD=AB=AC∴∠1=∠ACE ∠1+∠EDB=∠ABE +∠EBD∵ ED=EB∴∠EDB =∠EBD∴∠1=∠ABE∴∠ABE=∠ACE .【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键.附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24.已知x += 4 ，则x +=___________.【答案】14【解析】【分析】由x += 4得到（x +）2= 16，计算可得x+2+=16，则可得答案为14.【详解】因为x += 4，所以（x +）2= 16，即x+2+=16，则x +=14.【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的运用.25.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于__________.【答案】12【解析】【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵D、F是BC、AB的中点，∴AC=2FD=2×12=24，∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，∴EH=AC=12．【点睛】本题考查三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.26.如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.【答案】60°或105°【解析】【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120°∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.27.对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，我们把|x1－x2|+|y1－y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2)．(1) 令P0(2,－3)，O为坐标原点，则d(O,P0)＝；(2)已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O,P)＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形.【答案】(1)5;(2)如图所示.【解析】【分析】（1）、根据直角距离的计算公式进行计算得出答案；（2）、根据题意得出|x|+|y|=1，从而得出图形.【详解】（1）、根据题意得：d（O，P0）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=2+3=5；（2）、由题意，得|x|+|y|=1，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；【点睛】本题考查绝对值、作图，解题的关键是读懂题意，掌握新的定义运算规则.28.在△ABC 中，AB =BC =AC，∠A =∠B =∠C = 60°．点D、E 分别是边AC、AB 上的点（不与A、B、C 重合），点P 是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P 在边BC 上运动（不与点B 和点C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2 =．（用α 的代数式表示）（2）若点P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）如图（1）60︒+α ；（2）∠2=60︒+∠1-α；理由见解析.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°.【详解】（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，∴∠1+∠2=∠A+α，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠1+∠2=60°+α．故答案是：60°+α；（2）∠2=60︒+∠1-α，证明：如图（2），∵∠1 是△POD 的外角，∴∠1=α+∠POD，∵∠POD=∠AOE，∴∠1=α+∠AOE，∴∠AOE=∠1-α，∵∠2 是△AOE 的外角，∴∠2=∠A +∠AOE，∴∠2=60︒+∠1-α；【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．：。

2020年北京大学附属实验校中学八年级(上)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下面计算正确的是（）A. -a2÷a=-a3B. a3•a2=a6C. （a2）2=a4D. （a2b）3=a2b32.下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A. 10＜BC＜13B. 4＜BC＜12C. 3＜BC＜8D. 2＜BC＜84.下列多边形中，内角和为720°的图形是（）A. B. C. D.5.已知点P（-2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A. 1B. -1C. 5D. -56.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（）A. 80°B. 20°C. 80°或20°D. 80°或50°7.如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠ACD等于（）A. 80°B. 60°C. 40°D. 20°8.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A. 2a+bB. 4a+bC. a+2bD. a+3b9.如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A. 110°B. 115°C. 120°D. 130°10.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若x a=3，x b=4，x c=5，则x2a+b-c=______．12.多项式（mx+8）（2-3x）展开后不含x项，则m=______．13.若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是______．14.如图所示，在△ABC中，AC=9cm，DE垂直平分AB，如果△DBC的周长是16cm，那么BC的长度为______．15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=6，∠B=60°，若DC=3BD，则DC=______．16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=______度．17.若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3-2mn+n3的值为______．18.样例：将多项式4x2+1加上一个整式Q，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当Q=4x时，4x2+1+Q=4x2+1+4x=（2x+1）2仿照样例，解答下面的问题：将多项式1+16x2加上一个整式P，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P=______．三、解答题（本大题共9小题，共54.0分）19.计算：（1）x2y3（-2xy3）2（2）（3m2+15m3n-m4）÷（-3m2）20.因式分解：（1）2x2-8（2）x3y-10x2y+25xy21.先化简，再求值：（2x-1）2+（x+2）（x-2）-4x（x-1），其中x=-．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1（______），B1（______），C1（______）；（3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标．23.已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．24.如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．25.已知：如图，点E是△ABC外角∠CAF平分线上的一点．（1）比大小：BE+EC______AB+AC（填“＞”、“＜”或“=”）（2）证明（1）中的结论．26.阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x=y原式=（y+1）（y+7）+9（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______．A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______．（3）请你用换元法对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解（4）当x=______时，多项式（x2-2x）（x2-2x+2）-1存在最______值（填“大”或“小”）．请你求出这个最值27.已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．（1）如图1，点C在线段AB上．①根据题意补全图1②求证：∠EAC=∠EDC；（2）如图2，点C在直线AB的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．-a2÷a=-a，故本选项不合题意；B．a3•a2=a5，故本选项不合题意；C．（a2）2=a4，正确，故本选项符合题意；D．（a2b）3=a6b3，故本选项不合题意．故选：C．分别根据同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：A．根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】D【解析】【分析】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：第三边BC的取值范围是5-3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．4.【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．本题考查了多边形内角和定理，此题只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=720°，解得：n=6．则这个正多边形的边数是六，故选：D．5.【答案】C【解析】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得a=-（-2）=2，b=3．∴a+b=5故选C．根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，根据这一关系，就可以求出a=-（-2）=2，b=3．本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．6.【答案】C【解析】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：180°-100°=80°；②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：180°-100°=80°；∴它的顶角为：180°-80°-80°=20°；∴它的顶角的度数为：80°或20°．故选：C．由等腰三角形的一个外角是100°，分别从：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，去分析，即可求得答案．此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．7.【答案】D【解析】解：∵∠A=80°，∠ACB=40°，∴∠ABC=60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠DCB=∠ABC=60°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=20°，故选：D．根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据全等三角形的性质求出∠DCB的度数，计算即可．本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2=（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．先计算出这9张卡片的总面积，其和为一完全平方式，因式分解即可求得大正方形的边长．本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式分解因式即可得出大正方形的边长．9.【答案】B【解析】解：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1=50°，∴∠3=∠2==65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．根据翻折的性质可得∠2=∠1，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，故选：C．连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．11.【答案】【解析】解：∵x a=3，x b=4，x c=5，∴x2a+b-c=（x a）2•x b÷x c=32×4÷5=9×4÷5=．故答案为：根据幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则解答即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．12.【答案】12【解析】解：（mx+8）（2-3x）=2mx-3mx2+16-24x=-3mx2+（2m-24）x+16，∵多项式（mx+8）（2-3x）展开后不含x项，∴2m-24=0，解得：m=12，故答案为：12．乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（-3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．13.【答案】±8【解析】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16=（x±4）2，=x2±8x+16．∴m=±8，故答案为：±8．根据x2+mx+16是一个完全平方式，利用此式首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，进而求出m的值即可．此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．14.【答案】7cm【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴DB=DA，∵△DBC的周长是16cm，∴BC+CD+BD=16cm，即BC+AC=16cm，又AC=9cm，∴BC=7cm，故答案为：7cm．根据线段的垂直平分线的性质等得到DB=DA，根据三角形的周长公式计算即可．此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15.【答案】9【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠B=60°，∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°，∵AB=6，∴BD=AB=3，∵DC=3BD，∴DC=9，故答案为：9．根据垂直求出∠ADB=90°，根据三角形内角和定理和AB的长度求出BD的长，再根据DC=3BD求出即可．本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理和含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出BD=AB是解此题的关键．16.【答案】10【解析】解：∵AB=AC，∴设∠B=∠C=x度，∠EDC=a，∵∠DEA是△DCE的外角，故∠DEA=x+a，在等腰三角形ADE中，AE=AD，∴∠ADE=x+a．在△ABD中，x+20=x+a+a，解得a=10，则∠CDE=10度．故填10．利用等腰三角形的性质计算．本题较复杂，要两次利用等腰三角形的性质，两次利用三角形外角与内角的概念解答．17.【答案】-2【解析】解：∵m2=n+2，n2=m+2（m≠n），∴m2-n2=n-m，∵m≠n，∴m+n=-1，∴原式=m（n+2）-2mn+n（m+2）=mn+2m-2mn+mn+2n=2（m+n）=-2．故答案为-2．由已知条件得到m2-n2=n-m，则m+n=-1，然后利用m2=n+2，n2=m+2把m3-2mn+n3进行降次得到m（n+2）-2mn+n（m+2），再去括号合并得到2（m+n），最后把m+n=-1代入即可．本题考查了因式分解的应用：运用因式分解可简化等量关系．18.【答案】64x4或8x或-8x【解析】解：根据完全平方公式定义得，当P=64x4时，组成的完全平方式可变为（1+8x2）2；当P=8x时，组成的完全平方式可变为（1+4x）2；当P=-8x时，组成的完全平方式可变为（1-4x）2；故答案为：64x4或8x或-8x．多项式1+16x2，可把16x2看做是中间项，或是看做第三项，再根据完全平方公式即可解答．本题主要考查了完全平方式的定义，对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．19.【答案】解：（1）x2y3（-2xy3）2=x2y3•（4x2y6）=4x4y9；（2）（3m2+15m3n-m4）÷（-3m2）=-1-5mn+m2．【解析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及结合单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20.【答案】解：（1）2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2）；（2）x3y-10x2y+25xy=xy（x2-10x+25）=xy（x-5）2．【解析】（1）首先提公因式2，再利用平方差进而二次分解即可；（2）首先提公因式进行分解，再利用完全平方进行二次分解即可．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．21.【答案】解：原式=（2x-1）2+（x+2）（x-2）-4x（x-1）=4x2-4x+1+x2-4-4x2+4x=x2-3，当x=-时，原式=-．【解析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，代入计算即可．本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．22.【答案】-2，3 -1，0 -1，2【解析】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）由（1）可知，答案为：-2，3；-1，0；-1，2；（3）如图2所示，点D的坐标为（0，-1）或（2，-1）或（0，3）．（1）由关于y轴对称的点的坐标的特征先确定A1，B1，C1三点的坐标，再描点，连线即可；（2）由（1）可直接写出A1，B1，C1三点的坐标；（3）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出所有符合条件的点D坐标．本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．23.【答案】解：（1）如图所示：（2）BD=DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠4．∴∠1=∠4．∵CE=CD，∴∠2=∠3．∵∠4=∠2+∠3，∴∠3=∠4．∴∠1=∠3．∴BD=DE．【解析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．24.【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10-3-3=4m．【解析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．25.【答案】＞【解析】解：（1）结论：BE+EC＞AB+AC．故答案为＞．（2）理由：在AF上截取AH，使得AH=AC．∵AC=AE，∠CAF=∠HAE，AE=AE，∴△EAC≌△EAH（SAS），∴EC=EH，∵EB+EH＞BH，∴EB+EC＞AB+AC．在AF上截取AH，使得AH=AC．证明△EAC≌△EAH（SAS），推出EC=EH，再利用三角形的三边关系可得结论．本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．26.【答案】C（x-2）4 1 小【解析】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，设x2-4x=y，原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2-4x+4）2=（x-2）4；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4；（4）（x2-2x）（x2-2x+2）-1=（x2-2x）2+2（x2-2x）-1=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1-2=（x2-2x+1）2-2=（x-1）4-2，故当x=1时，多项式（x2-2x）（x2-2x+2）-1存在最小值，最小值为-2．故答案为：C；（x-2）4；1，小．（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式；（4）先配方，再根据非负数的性质即可求解．本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．27.【答案】解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，EA=EB，∴∠EAC=∠EBC．∵△ACD为等边三角形，∴CD=AC=BC，∴∠EDC=∠EBC，∴∠EAC=∠EDC．（2）如图2中，结论：EB=EC+ED．理由：设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH=ED．∵△ADC是等边三角形，∴DA=DC=AC，∠ADC=∠DCA=60°，∵直线m垂直平分线段AB，∴CA=CB=CD，∴∠CDB=∠CBE，∵EA=EB，CA=CB，∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA，∴∠EAC=∠EBC，∴∠JDE=∠JAC，∵∠DJE=∠AJC，∴△DJE∽△AJC，∴∠DEJ=∠JCA=60°，∵ED=EH，∴△DEH是等边三角形，∴∠ADJ=∠HDE，DH=DE，∵DA=DC，∴△ADH≌△CDE（SAS），∴AH=EC，∴EA=EH+AH=DE+EC，∵直线m垂直平分线段AB，∴EA=EB，∴EB=EC+ED．【解析】（1）①根据题意画出图形即可；②只要证明CA=CD=CB，利用等腰三角形的性质即可解决问题；（2）如图2中，结论：EB=EC+ED．设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH=ED．只要证明△ADH≌△CDE（SAS），EA=EB即可解决问题；本题属于三角形综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

北京市清华大学附属中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题含答案

北京市清华大学附属中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）A ．诚B ．信C ．友D ．善 2．已知一个正方形的边长为1a +，则该正方形的面积为（）A ．221a a ++B ．221a a -+C ．21a +D ．21a + 3．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（） A ．10 B ．15 C ．17 D ．19 4．下列各式运算结果为9a 的是（）A ．63a a +B ．33a a ⋅C ．()33aD ．182÷a a 5．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70° 6．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A ．﹣a 2﹣b 2B ．x 2+（﹣y ）2C ．（﹣x ）2+（﹣y ）2D ．﹣m 2+17．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，ABC 的顶点均落在格点上，若点A 的坐标为()2,1--，则到ABC 三个顶点距离相等的点的坐标为（）A ．()0,1B ．()1,0C ．()0,0D ．()1,1-8．如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：∠30APO DCO ∠+∠=︒；∠APO DCO ∠=∠；∠POC △是等边三角形；∠AB OA AP =+．其中正确的是（）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠ 9．已知781a =，927b =，139c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>二、填空题10．若()0211x -=，则x ≠______．11．若点A （m ，n ）与点B （－3，2）关于y 轴对称，则m ＋n 的值是_____．12．若x+m 与x ﹣2的乘积之中不含x 的一次项，则m ＝_____．13．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在边BC 上，BAD CAE ∠=∠，若16BC =，6DE =，则CE 的长为______．14．若关于x 代数式244x mx ++是完全平方式，则常数m =______．15．已知225a a -=，则代数式()()2221a a -++的值为______． 16．如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，若5BD =，3AD =，P 是直线MN 上的任意一点，则PA PC +的最小值是______．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图∠、∠两种方式摆放，则图∠的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a 、b 的代数式表示）．18．若实数x 满足2210x x --=，则322262020x x x --+=______．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形的底角的度数为_______．20．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋅⋅⋅在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，⋅⋅⋅均为等边三角形，若1OA a =，则223A B A △的边长为______．1n n n A B A +△的边长为______．三、解答题21．计算：(1)()3223x y xy ⋅- (2)()()122x x x ++-÷⎡⎤⎣⎦(3)()()22a b c a b c +++-22．因式分解：(1)326a ab +(2)2255x y -(3)22363x xy y -+-23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足．求证：DE ＝DF ．24．运用所学乘法公式等进行简便运算：(1)()11110.1258-⨯(2)29.9 (3)22514951492++⨯ 25．已知13x =-，求代数式()()()()21422x x x x x -+-++-的值． 26．如图，在22⨯的正方形格纸中，ABC 是以格点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中画出与ABC 成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示）．27．如图，ABC 是等边三角形，D 点是BC 上一点，2BD CD =，DE AB ⊥于点E ，CE 交AD 于点P ．求APE ∠的度数．28．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；(2)解决问题：如果10a b +=，12ab =，求22a b +的值；(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为()8x -和()2x -，且()()228220x x -+-=，求这个长方形的面积．29．我们规定：若实数a 与b 的平方差等于80，则称实数对(),a b 在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”；若实数a 与b 的平方差等于0，则称实数对(),a b 在平面直角坐标系中对应的点为“十字点”．(1)若(),P a b 为“双曲点”，则a ，b 应满足的等量关系为______；(2)在点()8,4A ，()12,8B -，()21,19C ，()40,4D 中，是“双曲点”的有______；(3)若点()9,B k 是“双曲点”，求k 的值；(4)若点(),A x y 为“十字点”，点()5,5B x y y x +-是“双曲点”，求x ，y 的值．30．如图，点C 是线段AB 上一点，ACF 与BCE 都是等边三角形，连接AE ，BF ．(1)求证：AE BF =；(2)若点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，连接CM ，MN ，NC ．∠依题意补全图形；∠判断CMN △的形状，并证明你的结论．31．如图，在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点，()030BAD αα∠=︒<<，连接AD ．作点C 关于直线AD 的对称点为E ．连接EB 并延长交直线AD 于点F ．(1)依题意补全图形，直接写出AFE ∠的度数；(2)直接写出线段AF ，BF ，EF 之间的等量关系．参考答案：1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；B.不是轴对称图形，故不符合题意；C.不是轴对称图形，故不符合题意；D.是轴对称图形，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键.2．A【解析】【分析】先根据正方形的面积公式列式，然后再根据完全平方公式计算即可．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．3．C【解析】【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：∠当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．∠当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可直接进行排除选项．【详解】解：A、6a与3a不是同类项，不能合并，故不符合题意；B、336⋅=，计算结果不为9a，故不符合题意；a a aC、()339=，故符合题意；a aD、61821a a a÷=，计算结果不为9a，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方是解题的关键．5．B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12∠ACB=35°．（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12【详解】∠AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∠∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=1（180°-∠CAB）=70°．2∠CE是△ABC的角平分线，∠∠ACE=12∠ACB=35°．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、22a b --，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；B 、()2222x y x y +-=+，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；C 、()()2222x y x y -=++-，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；D 、()()2221111m m m m -+=-=+-，可以利用平方差公式进行分解，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查利用平方差公式因式分解，掌握利用平方差公式因式分解时，多项式需满足的结构特征是解题关键．7．C【解析】【分析】到△ABC 三个顶点距离相等的点是AB 与AC 的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），故选：C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．A【解析】【分析】∠利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；∠因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；∠证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；∠证明△OP A≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：∠如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故∠正确；∠由∠知：∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，∵点O 是线段AD 上一点，∴∠ABO 与∠DBO 不一定相等，则∠APO 与∠DCO 不一定相等，故∠不正确；∠∵∠APC +∠DCP +∠PBC ＝180°，∴∠APC +∠DCP ＝150°，∵∠APO +∠DCO ＝30°，∴∠OPC +∠OCP ＝120°，∴∠POC ＝180°﹣（∠OPC +∠OCP ）＝60°，∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形，故∠正确；∠如图2，在AC 上截取AE ＝P A ，∵∠P AE ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝P A ，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OP A 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OP A ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故∠正确；正确的结论有：∠∠∠，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．9．A【解析】【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项．【详解】解：∠781a =，927b =，139c =，∠()742833a ==，()932733b ==，()1322633c ==， ∠a b c >>；故选A ．【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键．10．12##0.5 【解析】【分析】直接利用零指数幂的底数不为0可得出答案．【详解】解：∵（2x ﹣1）0＝1，∴2x ﹣1≠0，解得：x ≠12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的底数不为0是解题关键．11．5【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．【详解】解：∠点A（m，n）与点B（－3，2）关于y轴对称.∠m=3，n=2.∠m＋n=5.故填：5.【点睛】本题考查关于y轴对称的点坐标. 解题关键是理解关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数.12．2【解析】【分析】乘积之中不含x的一次项，即乘积得到的关于x的一元二次代数式中，x的一次项的系数为0，由此可求得参数m的值.【详解】解：（x+m）（x﹣2）＝x2﹣2x+mx﹣2m＝x2+（m﹣2）x﹣2m，由题意知，m﹣2＝0，解得m＝2，故答案为2【点睛】本题考查一元二次代数式的系数和指数的概念.13．5【解析】【分析】由题意易得B C ∠=∠，然后可证ABD ACE △≌△，则有BD CE =，进而问题可求解．【详解】解：∠AB AC =，∠B C ∠=∠，∠BAD CAE ∠=∠，∠ABD ACE △≌△（ASA ），∠BD CE =，∠16BC =，6DE =，∠10BD CE BC DE +=-=，∠5BD CE ==；故答案为5．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．14．±1【解析】【分析】根据完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2求出m 的值．【详解】解：∵x 2±4x +4＝（x ±2）2，x 2+4mx +4是完全平方式，∴±4x ＝4mx ，∴m ＝±1．故答案为：±1．【点睛】本题考查了完全平方式，掌握a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2的熟练应用，两种情况是求m 值得关键．15．11【解析】【分析】先将原代数式化简，再将225a a -=代入，即可求解．【详解】解：()()2221a a -++ 24422a a a =-+++226a a =-+∠225a a -=，∠原式5611=+= ．故答案为：11【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．16．8【解析】【分析】如图，连接PB ．利用线段的垂直平分线的性质，可知PC ＝PB ，推出P A +PC ＝P A +PB ≥AB ，即可解决问题．【详解】解：如图，连接PB ．∵MN 垂直平分线段BC ，∴PC ＝PB ，∴P A +PC ＝P A +PB ，∵P A +PB ≥AB ＝BD +DA ＝5+3＝8，∴P A +PC ≥8，∴P A +PC 的最小值为8．故答案为：8．本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．17．ab【解析】【详解】设大正方形的边长为x 1，小正方形的边长为x 2，由图∠和∠列出方程组得，12122{2x x ax x b +=-=解得，122{4a bx a b x +=-= ∠的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b +）2-4×（4a b -）2=ab ．故答案为ab.18．2022【解析】【分析】将x 2＝2x +1，x 2﹣2x ＝1代入计算可求解．【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣1＝0，∴x 2＝2x +1，x 2﹣2x ＝1，∴原式＝2x •x 2﹣2x 2﹣6x +2020＝2x （2x +1）﹣2x 2﹣6x +2020＝4x 2+2x ﹣2x 2﹣6x +2020＝2x 2﹣4x +2020＝2（x 2﹣2x ）+2020＝2×1+2020＝2022．故答案为：2022本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．19．72°或18°##18°或72°【解析】【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）如图当∠ABC是锐角三角形时，BD∠AC于D，则∠ADB=90°，∠∠ABD=54°，∠∠A=90°-∠ABD=36°，∠AB=AC，×（180°-∠A）=72°∠∠ABC=∠C=12（2）如图当∠EFG是钝角三角形时，FH∠EG于H，则∠FHE=90°，∠∠HFE=54°，∠∠HEF=90°-∠HFE=36°，∠∠FEG=180°-∠HFE=144°，∠EF=EG，∠∠EFG=∠G=1×（180°-∠FEG）=18°．2故答案为：72°或18°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，学会分类思想的应用是解题的关键．20． 2a 2n ﹣1a【解析】【分析】利用等边三角形的性质得到∠A 1OB 1＝∠A 1B 1O ＝30°，OA 1＝A 1B 1＝A 2B 1＝a ，利用同样的方法得到A 2O ＝A 2B 2＝2a ＝21a ，A 3B 3＝A 3O ＝2A 2O ＝4＝22a ，利用此规律即可得到AnBn ＝2n ﹣1a ．【详解】解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，∠MON ＝30°，∴∠A 1OB 1＝∠A 1B 1O ＝30°，OA 1＝A 1B 1＝A 2B 1＝a ，同理：A 2O ＝A 2B 2＝2＝21a ，A 3B 3＝A 3O ＝2A 2O ＝4a ＝22a ，……．以此类推可得△AnBnAn +1的边长为AnBn ＝2n ﹣1a ．故答案为：2a ；2n ﹣1a ．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．21．(1)436x y -(2)3x +(3)22242a b c ab +-+【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式可直接进行求解；（2）先去括号，然后再利用多项式除以单项式进行求解即可；（3）把a +b 看作整体，然后利用平方差公式及完全平方公式进行化简．(1)解：原式=324366x x y y x y -⋅⋅⋅=-；(2)解：原式=()2322x x x ++-÷ =()23x x x +÷ =3x +(3)解：原式=()()222a b c +-=22242a b c ab +-+．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式及整式的运算是解题的关键． 22．(1)2a （a 2+3b ）；(2)5（x +y ）（x ﹣y ）；(3)﹣3（x ﹣y ）2．【解析】【分析】（1）直接提公因式2a 即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式即可；（3）先提公因式，再利用完全平方公式即可．(1)解：326a ab +＝2a （a 2+3b ）；(2)解：（2）原式＝5（x 2﹣y 2）＝5（x +y ）（x ﹣y ）；(3)解：（3）原式＝﹣3（x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3（x ﹣y ）2．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．23．见解析．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，运用AAS 证明△DEB ∠△DFC 即可．【详解】∠AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∠∠B =∠C ，DB =DC ，∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠∠BED =∠CFD =90°，∠△DEB ∠△DFC （AAS ），∠DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．24．(1)﹣1．(2)98.01．(3)5000．【解析】【分析】（1）根据积的乘方逆运算求解即可．（2）根据完全平方公式求解即可．（3）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：（1）（﹣0.125）11×811 ＝11111()88-⨯ ＝111(8)8-⨯＝﹣1．(2)解：（2）9.92＝（10﹣0.1）2＝102﹣2×10×0.1+0.12＝100﹣2+0.01＝98.01．(3)解：（3）2251495149 2++⨯＝22(501)(501)(501)(501) 2++-++⨯-＝222 5011005011005012++++-+-＝502+1+502﹣1＝5000．【点睛】本题主要考查积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．25．2363x x--，2 3 -【解析】【分析】根据乘法公式进行整式的化简，然后再代入求解即可．【详解】解：原式=2222144x x x x x-++-+-=2363x x--，把13x=-代入得：原式=2112363333⎛⎫⎛⎫⨯--⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查乘法公式及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【解析】【分析】先找对称轴，再得到个点的对应点，即可求解．【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示：【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．27．60APE ∠=︒【解析】【分析】由题意易得60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，则有30BDE ∠=︒，然后可得BE CD =，进而可证BEC CDA ≌，则有BCE =∠∠CAD ，最后问题可求解．【详解】解：∠ABC 是等边三角形，∠60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，∠DE AB ⊥，∠90DEB ∠=︒，∠30BDE ∠=︒，∠2BD BE =，∠2BD CD =，∠BE CD =，∠BEC CDA ≌（SAS ），∠BCE =∠∠CAD ，∠,60APE PAC ACP ACB DAC ACP ∠=∠+∠∠=∠+∠=︒，∠60∠=∠=︒．APE ACB【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．(1)（a+b）2＝a2+2ab+b2(2)76(3)8【解析】【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；（2）根据完全平方公式变形即可求解；（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．(1)解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；(2)解：（2）∵a+b＝10，ab＝12，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；(3)解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，∴ab＝8，∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．29．(1)2280a b -=(2)()12,8B -，()21,19C(3)1k =±(4)2x y ==或2x y ==-【解析】【分析】（1）根据题干所给“双曲点”的定义可直接进行求解；（2）根据“双曲点”的定义分别取验算即可；（3）由题意易得22980k -=，然后问题可求解；（4）根据题意易得()()222205580x y x y y x ⎧-=⎪⎨+--=⎪⎩，然后进行求解即可． (1)解：由题意得：2280a b -=，故答案为2280a b -=；(2)解：由题意得：∠()222222228448,12880,211980,4041584-=--=-=-=，∠是“双曲点”的有()12,8B -，()21,19C ；故答案为()12,8B -，()21,19C ；(3)解：∠点()9,B k 是“双曲点”，∠22980k -=，解得：1k =±；(4)解：由点(),A x y 为“十字点”，点()5,5B x y y x +-是“双曲点”可得： ()()222205580x y x y y x ⎧-=⎪⎨+--=⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题主要考查平方差公式、实数及二元一次方程组的解法，解题的关键是理解“双曲点”和“十字点”的定义．30．(1)证明见解析；(2)∠补全图形见解析；∠CMN △是等边三角形，证明见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可知60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =．结合题意易得出ACE FCB ∠=∠．即可利用“SAS ”证明ACE FCB ≅，即得出AE BF =；（2）∠根据题意补全图形即可；∠由全等三角形的性质可知CAM CFN ∠=∠，AE BF =．再由题意点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，即得出AM FN =．即可利用“SAS ”证明ACM FCN ≅，得出结论CM CN =，ACM FCN ∠=∠．最后根据ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即得出60ACF MCN ∠=∠=︒，即可判定CMN △是等边三角形．(1)∠ACF 与BCE 都是等边三角形，∠60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =，∠ACF ECF BCE ECF ∠+∠=∠+∠，即ACE FCB ∠=∠，在ACE 和FCB 中，∠AC FC ACE FCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ACE FCB SAS ≅，∠AE BF =．(2)∠画图如下：∠CMN △是等边三角形．理由如下：∠ACE FCB ≅，∠CAM CFN ∠=∠，AE BF =．∠点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，∠AM FN =，在ACM △和FCN △中，∠AC FC CAM CFN AM FN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ACM FCN SAS ≅，∠CM CN =，ACM FCN ∠=∠，∠ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即60ACF MCN ∠=∠=︒，∠CMN △是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．31．(1)图形见解析，60°(2)AF =BF +EF ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，连接AE ，根据等边三角形的性质，可得∠BAC =60°，AB =AC ，从而得到60CAD α∠=︒- ，再由E 、C 关于AD 对称，可得60DAE DAC α∠=∠=︒- ，AE =AC =AB ，从而得到602EAB α∠=︒- ，进而得到60E ABE α∠=∠=︒+ ，再由三角形的外角性质，即可求解；（2）连接CF ，在F A 上取一点J ，使得FJ =FC ，连接CJ ，根据E 、C 关于AD 对称，可得∠AFC =∠AFE =60°，EF =CF ，从而得到∠CFJ 是等边三角形，进而得到∠BCF =∠ACJ ，可证得∠BCF ∠∠ACJ ，即可求解．(1)解：图形如图所示：连接AE ，∠∠ABC 是等边三角形，∠∠BAC =60°，AB =AC ，∠BAD ∠=α，∠60CAD α∠=︒- ，∠E 、C 关于AD 对称，∠60DAE DAC α∠=∠=︒- ，AE =AC =AB ，∠602EAB α∠=︒- ， ∠()1180602602E ABE αα∠=∠=︒-︒+=︒+ ， ∠∠ABE =∠AFE +∠BAD ，∠∠AFE =60°；(2)结论：AF =BF +EF ，理由如下：如图2中，连接CF ，在F A 上取一点J ，使得FJ =FC ，连接CJ ，∠E、C关于AD对称，∠∠AFC=∠AFE=60°，EF=CF，∠FJ=FC，∠∠CFJ是等边三角形，∠CF=CJ，∠FCJ=60°，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ACB=60°，CB=CA，∠∠ACB=∠FCJ，∠∠BCF=∠ACJ，在∠BCF和∠ACJ中，∠CB=CA，∠BCF=∠ACJ，CF=CJ，∠∠BCF∠∠ACJ (SAS)，∠BF=AJ，∠AF=FJ+AJ=EF+BF．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，熟练掌握等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质是解题的关键．。

2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级上学期期中数学试卷 (学生版+解析版)

2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题）．1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b =2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC <<4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b +9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒10．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，CPE ∠的度数是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-= ．12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = ．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = ．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 度．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = ．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．23．已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM 上作一点C ，使AC AB =；②作ABM ∠的角平分线交AC 于D 点；③在射线CM 上作一点E ，使CE CD =，连接DE ．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并证明．24．如图，点B 、F 、C 、E 在直线l 上(F 、C 之间不能直接测量），点A 、D 在l 异侧，测得AB DE =，//AB DE ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若10BE m =，3BF m =，求FC 的长度．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC + AB AC +（填“>”、“ <”或“=” )（2）证明（1）中的结论．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．参考答案一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．下面计算正确的是( )A ．23a a a -÷=-B ．326a a a =gC ．224()a a =D ．2323()a b a b = 解：A ．2a a a -÷=-，故本选项不合题意；B ．325a a a =g ，故本选项不合题意；C ．224()a a =，正确，故本选项符合题意；D ．2363()a b a b =，故本选项不合题意．故选：C ．2．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴对称图形；B 、不是轴对称图形；C 、不是轴对称图形；D 、不是轴对称图形；故选：A ．3．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，第三边BC 的取值范围是( )A ．1013BC <<B ．412BC << C ．38BC <<D ．28BC << 解：第三边BC 的取值范围是5353BC -<<+，即28BC <<．故选：D ．4．下列多边形中，内角和为720︒的图形是( )A ．B ．C ．D ．解：这个正多边形的边数是n ，则(2)180720n -︒=︒g ，解得：6n =．则这个正多边形的边数是六，故选：D ．5．已知点(2,3)P -关于y 轴的对称点为(,)Q a b ，则a b +的值是( )A ．1B ．1-C ．5D ．5-解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得(2)2a =--=，3b =．5a b ∴+=故选：C ．6．等腰三角形的一个外角是100︒，它的顶角的度数为( )A ．80︒B ．20︒C ．80︒或20︒D ．80︒或50︒ 解：①若100︒的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：18010080︒-︒=︒；②若100︒的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：18010080︒-︒=︒；∴它的顶角为：180808020︒-︒-︒=︒；∴它的顶角的度数为：80︒或20︒．故选：C ．7．如图，ABC DCB ∆≅∆，若80A ∠=︒，40ACB ∠=︒，则ACD ∠等于( )A ．80︒B ．60︒C ．40︒D ．20︒解：80A ∠=︒Q ，40ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC DCB ∆≅∆Q ，60DCB ABC ∴∠=∠=︒，20ACD DCB ACB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．8．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a b +B ．4a b +C ．2a b +D ．3a b + 解：由题可知，9张卡片总面积为2244a ab b ++，22244(2)a ab b a b ++=+Q ，∴大正方形边长为2a b +．故选：A ．9．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=︒，则(AEF ∠= )A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．130︒ 解：Q 矩形ABCD 沿EF 对折后两部分重合，150∠=︒，1805032652︒-︒∴∠=∠==︒， Q 矩形对边//AD BC ，180318065115AEF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：B ．10．如图，ABC∆是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，CPE∠的度数是()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE PC+最小，⊥，Q是等边三角形，AD BC∆ABC∴=，PC PB∴+=+=，PE PC PB PE BE即BE就是PE PC+的最小值，Q是等边三角形，ABC∆∴∠=︒，BCE60=，Q，AE EC=BA BC∴⊥，BE AC∴∠=︒，BEC90∴∠=︒，EBC30Q，=PB PC∴∠=∠=︒，PCB PBC30∴∠=∠+∠=︒，CPE PBC PCB60故选：C．二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．若3a x =，4b x =，5c x =，则2a b c x +-=5．解：3a x =Q ，4b x =，5c x =，2a b c x +-∴ 2()a b c x x x =÷g2345=⨯÷ 945=⨯÷365=．故答案为：365 12．多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项，则m = 12 ．解：(8)(23)mx x +-2231624mx mx x =-+-23(224)16mx m x =-+-+，Q 多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，2240m ∴-=，解得：12m =，故答案为：12．13．若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 8± ．解：216x mx ++Q 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．14．如图所示，在ABC ∆中，9AC cm =，DE 垂直平分AB ，如果DBC ∆的周长是16cm ，那么BC 的长度为 7cm ．解：DE Q 垂直平分AB ，DB DA ∴=，DBC ∆Q 的周长是16cm ，16BC CD BD cm ∴++=，即16BC AC cm +=，又9AC cm =，7BC cm ∴=，故答案为：7cm ．15．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，6AB =，60B ∠=︒，若3DC BD =，则DC = 9 ．解：AD BC ⊥Q ，90ADB ∴∠=︒，60B ∠=︒Q ，18030BAD ADB B ∴∠=︒-∠-∠=︒，6AB =Q ，132BD AB ∴==， 3DC BD =Q ，9DC ∴=，故答案为：9．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，20BAD ∠=︒，且AE AD =，则CDE ∠= 10 度．解：AB AC =Q ，∴设B C x ∠=∠=度，EDC a ∠=，DEA ∠Q 是DCE ∆的外角，故DEA x a ∠=+，在等腰三角形ADE 中，AE AD =，ADE x a ∴∠=+．在ABD ∆中，20x x a a +=++，解得10a =，则10CDE ∠=度．故填10．17．若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为 2- ．解：22m n =+Q ，22()n m m n =+≠，22m n n m ∴-=-，m n ≠Q ，1m n ∴+=-，∴原式(2)2(2)m n mn n m =+-++222mn m mn mn n =+-++2()m n =+2=-．故答案为2-．18．样例：将多项式241x +加上一个整式Q ，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当4Q x =时，22241414(21)x Q x x x ++=++=+仿照样例，解答下面的问题：将多项式2116x +加上一个整式P ，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P = 464x 或8x 或8x - ．解：根据完全平方公式定义得，当464P x =时，组成的完全平方式可变为22(18)x +；当8P x =时，组成的完全平方式可变为2(14)x +；当8P x =-时，组成的完全平方式可变为2(14)x -；故答案为：464x 或8x 或8x -．三.解答题（本题共54分）19．计算：（1）2332(2)x y xy -（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-解：（1）2332(2)x y xy -2326(4)x y x y =g494x y =；（2）2342(315)(3)m m n m m +-÷-21153mn m =--+． 20．因式分解：（1）228x -（2）321025x y x y xy -+解：（1）22282(4)2(2)(2)x x x x -=-=+-；（2）32221025(1025)(5)x y x y xy xy x x xy x -+=-+=-．21．先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x -++---，其中13x =-．解：原式2(21)(2)(2)4(1)x x x x x =-++---222441444x x x x x =-++--+23x =-，当13x =-时，原式269=-． 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(2,3)A ，(1,0)B ，(1,2)C ．（1）在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的△111A B C（2）直接写出1A ，1B ，1C 三点的坐标：1(A 2-，3 )，1(B )，1(C )；（3）如果要使以B 、C 、D 为顶点的三角形与ABC ∆全等，直接写出所有符合条件的点D 坐标．解：（1）如图1，△111A B C 即为所求；（2）由（1）可知，答案为：2-，3；1-，0；1-，2；（3）如图2所示，点D的坐标为(0,1)-或(2,1)-或(0,3)．23．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC AB=；②作ABM∠的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE CD=，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．解：（1）如图所示：（2）BD DE=，证明：BDQ平分ABC∠，1 12ABC∴∠=∠．AB AC=Q，4ABC∴∠=∠．114∴∠=∠．2Q，CE CD=∴∠=∠．23Q，∠=∠+∠4231∴∠=∠．342∴∠=∠．13∴=．BD DE24．如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB DE∠=∠．=，//AB DE，A D（1）求证：ABC DEF∆≅∆；（2）若10BF m=，求FC的长度．=，3BE m【解答】（1）证明：//Q，AB DE∴∠=∠，ABC DEF在ABC∆中∆与DEFABC DEFAB DE A D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABC DEF ∴∆≅∆；（2）ABC DEF ∆≅∆Q ，BC EF ∴=，BF FC EC FC ∴+=+，BF EC ∴=，10BE m =Q ，3BF m =，10334FC m ∴=--=．25．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC+ > AB AC +（填“>”、“ <”或“=”)（2）证明（1）中的结论．解：（1）结论：BE EC AB AC +>+．故答案为>．（2）理由：在AF 上截取AH ，使得AH AC =．AC AE =Q ，CAF HAE ∠=∠，AE AE =，()EAC EAH SAS ∴∆≅∆，EC EH ∴=，EB EH BH +>Q ，EB EC AB AC ∴+>+．26．阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x +++++进行因式分解的过程．解：设24x x y +=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =++（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x --++进行因式分解（4）当x = 时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最值（填“大”或“小” )．请你求出这个最值解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）22(41)(47)9x x x x +++++，设24x x y +=，原式(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =++4(2)x =+；（3）设22x x y -=，原式(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =-+4(1)x =-；（4）22(2)(22)1x x x x --+-222(2)2(2)1x x x x =-+--222(2)2(2)12x x x x =-+-+-22(21)2x x =-+-4(1)2x =--，故当1x =时，多项式22(2)(22)1x x x x --+-存在最小值，最小值为2-．故答案为：C ；4(2)x +；1，小．27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：EAC EDC ∠=∠；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段BE ，CE ，DE 之间的数量关系，并证明．解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：Q 直线m 是线段AB 的垂直平分线， AC BC ∴=，EA EB =，EAC EBC ∴∠=∠．ACD ∆Q 为等边三角形，CD AC BC ∴==，EDC EBC ∴∠=∠，EAC EDC ∴∠=∠．（2）如图2中，结论：EB EC ED =+．理由：设CD 交AE 于J ，在EA 上取一点H ，使得EH ED =． ADC ∆Q 是等边三角形，DA DC AC ∴==，60ADC DCA ∠==︒， Q 直线m 垂直平分线段AB ， CA CB CD ∴==，CDB CBE ∴∠=∠，EA EB =Q ，CA CB =，EAB EBA ∴∠=∠，CAB CBA ∠=∠， EAC EBC ∴∠=∠，JDE JAC ∴∠=∠，DJE AJC ∠=∠Q ，DJE AJC∽，∴∆∆∴∠=∠=︒，60DEJ JCAQ，=ED EH∴∆是等边三角形，DEH=，ADJ HDE∴∠=∠，DH DE Q，DA DC=ADH CDE SAS∴∆≅∆，()∴=，AH EC∴=+=+，EA EH AH DE ECQ直线m垂直平分线段AB，∴=，EA EB∴=+．EB EC ED。

2020年北京清华附中初二(上)期中数学试卷及答案

2020北京清华附中初二（上）期中数学(清华附中初19级)2020.11一.选择题(共10小题，每小题3分，共30分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线"，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案.下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）2.已知一个正方形的边长为a ，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（）A.221a a ++B.221a a −+C.21a +D.a +13.如图，△ABC ≌△DEC ，A 和D ，B 和E 是对应点，B 、Ｃ、D 在同一直线上，且CE =5，AC =7，则BD 的长为（）A. 12B. 7C. 2D. 144.下列运算正确的是（）A. 6212·a a a =B. 623a a a ÷=C. ()32639a a −=−D. ()2612a a =5.用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm ，则该等腰三角形的腰长为（）cm.A. 5B. 6.5C. 5或6.5D. 6.5或86.如图，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（）A. PD =PEB. OD =OEC. ∠DPO =∠EPOD. PD =OD7.如图，若△A ’B ’C ’与△ABC 关于直线AB 对称，则点C 的对称点C ’的坐标是（）A. (0，1)B. (0，-3)C. (3，0)D. (2，1) 8.已知a +b =3，ab =1，则多项式22a b ab a b +−−的值为（）A.-1B.0C.3D.69.已知三个城镇中心A 、B 、C 恰好位于等边三角形的三个顶点，在A 、B 、C 之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）10.设a ，b 是实数，定义*的一种运算如下：()2*a b a b =+，则下列结论有：①若a *b =0，则a =0且b =0②a *b =b *a ③a *(b +c )=a *b +a *c④a *b =(-a )*(-b ) 正确的有（）个.A.1B.2C.3D.4 二.填空题(共8小题，每小题3分，共24分)11.01()2−=______________. 12.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠DBC =25°，且BD ⊥AC ，则∠A =___________.12题图 13题图13.如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上(不与点B ，C 重合)，只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD ，这个条件可以是___________(写出一个即可)，14.若x +m 与2-x 的乘积中不含x 的一次项，则实数m 的值为__________.15.一个长方形的面积为()21292ab a b −，若一边长为3ab ，则它的另一边长为_________16.如图，在△ABC 中，AB =4，AC =6，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M点，交AC 于N 点，则△AMN 的周长为____________.17.如图，在正方形网格内(每个小正方形的边长为1)，有一格点三角形ABC (三个顶点分别在正方形的格点上)，现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注.18.如图，在△ABC 中，∠C =30°，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC 交BC 于E ；点O 在DE 上，OA =OB ，OD =1，OE =2，则BE 的长为_____________.三.解答题(共7小题，19题5分，20-21每题9分，22-24每题5分，25题8分，共46分)19.(本题5分)已知如图，AB -AD ，AC -AE ，∠BAD -∠CAE.求证：∠E =∠C .20.(每小题3分，共9分)计算.(1)()2332x y xy − (2)(3m -n )(m +2n ) (3)()()2121ab a b −+−21.(每小题3分，共9分)分解因式.(1)294m −(2)221218ax ax a ++ (3)()()2359x x x +−+−.22.(本题5分)如图，在△ABC 中，∠C =90°.(1)用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等：(保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)当满足(1)的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.23.(本题5分)先化简，再求值，()()()2232323x y x y x y +−+−，其中x=-2，13y =24.(本题5分)阅读下列材料：已知230a a +−=，求()24aa +的值. 解：∵23a a =−∴()()()()2224343124123129a a a a a a a a a a a +=−+=+−−=−−+=−−−+=∴()249a a −=根据上述材料的做法，完成下列各小题：(1)若2100a a −−=，则2(a +4)(a -5)的值为____________.(2)若2410x x +−=，求代数式43228481x x x x +−−+的值.25.(本题8分)如图，在等边△ABC 外作射线AD ，∠BAD =α(0°<α<90°)，点B 关于直线AD 的对称点为P ，连接PB ，PC ，其中PB ，PC 分别交射线AD 于点E ，F .(1)①依题意补全图形；②求∠BPC 的度数；(2)用等式表示线段AF ，EF 与CF 之间的数量关系，并证明.(3)若△PBC 是等腰三角形，直接写出α的度数.附加题(26、27每题3分，28、29每题4分，30题6分，共20分)26.如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（）A. ()()22a b a b a b −=+−B. ()2222a ab b a b ++=+ C. ()2222a ab b a b −+=− D. ()()224a b a b ab +−−=27.已知x =3y +5，且227924x xy y −+=，则223x y xy −的值为（）A.0B.1C.5D.12 28.如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，点B 关于AC 的对称点B ’恰好落在CD 上，若∠BAD =α，则∠ACB 的度数为__________(用含α的代数式表示)29.如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，AE 与CD 交于点F ，连接BF ，DE ，下列结论中：①AF =BC ：②∠DEB =45°；③AE =CE +2BD ；④若∠CAE =30°，则1AF BF AC+=，，正确的有__________.(填序号)30.如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连结BE ，在BE 的下方作等边△BEF ，连结DF .当△BDF 的周长最小时，求∠DBF 的度数.2020北京清华附中初二（上）期中数学参考答案一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】依据新正方形的边长为a+1，即可得到新正方形的面积．【解答】解：新正方形的边长为a+1，∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，故选：A．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握完全平方公式．3．【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a6•a2＝a8，故此选项错误；B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此选项错误；D、（a6）2＝a12，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．【分析】分已知边5cm是腰长和底边两种情况讨论求解．【解答】解：5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8，∵5+5＞8，∴5cm、5cm、8cm能组成三角形；5cm是底边时，腰长为（18﹣5）＝6.5cm，5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形；综上所述，它的腰长为6.5或5cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．6．【分析】由已知条件认真思考，首先可得△POE≌△POD，进而可得PD＝PE，∠1＝∠2，∠DPO＝∠EPO；而OD，OP是无法证明是相等的，于是答案可得．【解答】解：A、∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，正确，故本选项错误；B、∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，∵OP＝OP，PE＝PD，∴由勾股定理得：OE＝OD，正确，故本选项错误；C、∵∠PEO＝∠PDO＝90°，∠POB＝∠POA，∴由三角形的内角和定理得：∠DPO＝∠EPO，正确，故本选项错误；D、根据已知不能推出PD＝OD，错误，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．【分析】根据对称的性质可知点C和对称点C′到直线AB的距离是相等的则易解．【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，∴通过网格上作图或计算可知，C’的坐标是（2，1）．故选：D．【点评】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标．8．【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．9．【分析】方案A中求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；方案C中，如图1，AD⊥BC，在直角三角形ABD 中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；由垂线段最短得方案B中光缆比方案C 中长；方案D中，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，A、铺设的电缆长为a+a＝2a；C、如图1：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴D为BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝a，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD＝＝＝，则铺设的电缆长为a+a＝a；B、由垂线段最短得：方案B中光缆比方案C中长；D、如图2所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，∴设DO＝x，则BO＝2x，BD＝，故x2+（）2＝（2x）2，解得：x＝a，则BO＝a，则铺设的电缆长为AO+OB+OC＝3×a＝a，∵a＜a＜2a，∴方案D中光缆最短；故选：D．【点评】此题考查了等边三角形的性质、作图﹣应用与设计作图、垂线段最短以及勾股定理等知识，是一道方案型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．10．【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，a*b＝（a+b）2，b*a＝（b+a）2，因此②符合题意，a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）2，∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）故④符合题意，因此正确的个数有2个，故选：B．【点评】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．二.填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．【分析】根据非0数的0指数幂为1来解答．【解答】解：（﹣）0＝1．【点评】解答此题要熟知，任何非0数的0次幂等于1．12．【分析】据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵BD是AC边上的高，∴∠DBC+∠C＝90°，∠DBC＝25°，∴∠C＝65°，∵AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2∠C＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案为：BD＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．14．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．【解答】解：根据题意得：（x+m）（2﹣x）＝2x﹣x2+2m﹣mx，∵x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，∴m＝2；故答案为：2．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：由题意可知：（12ab2﹣9a2b）÷3ab＝4b﹣3a，故答案为：4b﹣3a．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．16．【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案为：10【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据全等三角形的判定依据题目要求画出图形即可．【解答】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，DE＝OD+OE＝3，在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°，∵AD＝DC，ED⊥AC，∴OA＝OC，∵OA＝OB，∴OB＝OC，∵OF⊥BC，∴CF＝FB，在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝1，∴CF＝CE﹣EF＝5，∴BC＝10，∴BE＝10﹣6＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三.解答题（共7小题，19题5分，20-21每题9分.22-24每题5分，25题8分，共46分）19．【分析】先通过∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE，从而证明△ABC≌△DAE，得到∠E＝∠C．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△DAE（SAS）．∴∠E＝∠C．【点评】考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20．【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算可得答案；（2）利用多项式乘多项式法则计算即可；（3）先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3y4；（2）原式＝3m2+6mn﹣mn﹣2n2＝3m2+5mn﹣2n2；（3）原式＝a2b2﹣2ab+1+2ab﹣a＝a2b2﹣a+1．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．21．【分析】（1）利用平方差公式分解因式；（2）提公因式后，利用完全平方公式分解因式；（3）先将x2﹣9分解为（x+3）（x﹣3），再提公因式分解因式即可．【解答】解：（1）9m2﹣4＝（3m+2）（3m﹣2）；（2）2ax2+12ax+18a＝2a（x2+6x+9）＝2a（x+3）2；（3）（x+3）（x﹣5）+x2﹣9＝（x+3）（x﹣5）+（x﹣3）（x+3）＝（x+3）（x﹣5+x﹣3）＝（x+3）（2x﹣8）＝2（x+3）（x﹣4）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．【分析】（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；（2）由点P到AB、BC的距离相等可得出PC＝PD，结合BP＝BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC＝BD，结合AB＝2BD及∠C＝90°，即可求出∠A的度数．【解答】解：（1）依照题意，画出图形，如图所示．（2）∵点P到AB、BC的距离相等，∴PC＝PD．在Rt△BCP和Rt△BDP中，，∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），∴BC＝BD．又∵PD垂直平分AB，∴AD＝2BD＝2BC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴∠A＝30°．【点评】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB＝2BC．23．【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，即可得出答案．【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2+9y2+12xy﹣4x2+9y2＝18y2+12xy，当x＝﹣2，y＝时，原式＝18×（）2+12×（﹣2）×＝18×﹣8＝2﹣8＝﹣6．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．24．【分析】（1）将a2﹣a﹣10＝0变形为a2＝a+10，再将2（a+4）（a﹣5）利用多项式乘以多项式运算展开，然后将a2＝a+10代入降次化简即可．（2）由x2+4x﹣1＝0，得出x2＝1﹣4x，然后利用提取公因式法对2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1变形，并将x2＝1﹣4x代入化简即可．【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2＝a+10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，故答案为：﹣20．（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．【点评】本题考查了因式分解在简算中的应用及多项式乘以多项式，熟练掌握因式分解及整式乘法运算的法则并具有整体思想是解题的关键．25．【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②点B关于直线AD的对称点为P，得到AP＝AB，设∠APC＝∠ACP＝x，则∠PAC＝180°﹣2x，用x的代数式表示∠APB即可解决问题．（2）结论：CF＝AF+2EF．如图1中，连接BF，在CP上取一点T，使得FA＝FT，连接AT．证明△FAB≌△TAC（SAS），可得结论．（3）分二种情形：①如图2﹣1中，当BP＝BC时．②如图2﹣2中，当PB＝PC时，利用等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）①图形如图所示：②连接AP，∵P，B关于AD对称，∴AP＝AB＝AC，∴可以假设∠APC＝∠ACP＝x，则∠PAC＝180°﹣2x，∵∠BAC＝60°，∴∠PAB＝180°﹣2x﹣60°＝120°﹣2x，∵AP＝AB，∴∠APB＝∠ABP＝[180°﹣（120°﹣2x）]＝30°+x．∴∠CPB＝30°+x﹣x＝30°．（2）结论：CF＝AF+2EF．理由：如图1中，连接BF，在CP上取一点T，使得FA＝FT，连接AT．∵B，P关于AD对称，∴AE⊥PB，PF＝BF，∵∠EPF＝30°，∴∠PFE＝∠AFT＝60°，BF＝PF＝2EF，∵FA＝FT，∴△AFT是等边三角形，∴∠AF＝AT，∠FAT＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠FAT＝60°，∴∠FAB＝∠TAC，在△FAB和△TAC中，，∴△FAB≌△TAC（SAS），∴CT＝BF，∴CF＝ET+CT＝AF+BF＝AF+2EF，∴CF＝AF+EF．（3）①如图2﹣1中，当BP＝BC时，α＝∠BAD＝30°．②如图2﹣2中，当PB＝PC时，α＝∠BAD＝75°．综上所述α的值为：30°，75°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．四、附加题（26、27每题3分,28.29每题4分,30题6分，满分20分）26．【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．【解答】解：甲图中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积．27．【分析】依据x﹣3y＝5两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，再根据x2﹣7xy+9y2＝24，即可得到xy的值，进而得出x2y﹣3xy2的值．【解答】解：∵x＝3y+5，∴x﹣3y＝5，两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25，又∵x2﹣7xy+9y2＝24，两式相减，可得xy＝1，∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5，故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．28．【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案为90°﹣α．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．29．【分析】①②只要证明△ADF≌△CDB即可解决问题．③如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，想办法证明AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，即可．④如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．想办法证明△BFH是等边三角形，AC＝AH即可解决问题．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DCB，在△ADF和△CDB中，，∴△ADF≌△CDB（ASA），∵AF＝BC，DF＝DB，故①正确，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，取BF的中点O，连接OD、OE．∵∠BDF＝∠BEF＝90°，∴OE＝OF＝OB＝OD，∴E、F、D、B四点共圆，∴∠DEB＝∠DFB＝45°，故②正确，如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，∴MF＝BN，EM＝EN，∴EF+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN，∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，∴AE﹣CE＜2BD，即AE＜EC+2BD，故③错误，方法二：如图2中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N．易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，∴FM＝BN，EM＝EN＝DN，∴EF+EB＝EM﹣MF+EN+BN＝2EN＝2DN≤2BD，∵AE﹣EC＝ADF+EF﹣EC＝BC_EF﹣EC＝EF+BE≤2BD，∴AE≤EC+2BD，故③错误，如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，∵∠DFB＝45°，∴∠AFB＝120°，∴∠BFH＝60°，∵FH＝BF，∴△BFH是等边三角形，∴BF＝BH，∵BC⊥FH，∴FE＝EH，∴CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°，∴∠ACH＝75°，∴∠ACH＝∠AHC＝75°，∴AC＝AH，∵AF+FB＝AF+FH＝AH，∴AF+BF＝AC，∴＝1，故④正确，故答案为：①②④．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．30．【分析】连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．【解答】解：如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等边三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBF＝∠DGB＝∠CDG＝30°．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．。

清华附朝阳2020-2021学年第一学期八上期中数学试题

2020学年度第一学期期中考试试卷初二数学满分：100分考试时间：90分钟一．选择题（本题共24分，每小题3分，每题符合题意的选项只有一个．）1.人工智能是今年来的热门话题，下列机器人简笔造型图是轴对称图形的是（）A B C D2.下列运算中正确的是（）A．22a a a⋅=B．()236a a=C．x6÷x3=x2D．3.已知：如图，AD与BC交于点O，AB=CD,不能判断△AOB与△DOC全等的是（）A.∠A=∠DB.∠B=∠CC.0A=ODD.AB∥DC4.点P（4，5）关于y轴对称点的坐标是（）A. （5，4）B. （-4，-5）C.（4，-5）D.（-4，5）5.已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠B=35°，则∠BDC的度数是（）A．95° B．90° C．85° D．80°6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）.A．1 B．2 C．3 D.4()3339a a=图1A BO7. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝6，分别以A ，B 为圆心，5为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC 于点D ，连接BD ，则△BCD 的周长为( ) A.12 B.14 C.16 D.207题图 8题图8. 如图，把纸△ABC 的∠A 沿DE 折叠，点A 落在四边形CBDE 外，则1∠,2∠与∠A 的关系是( )A ．A ∠=∠-∠212B ．122∠=∠-∠AC ．A ∠=∠+∠221D ．122A ∠+∠=∠二．填空题(本题共24分，每小题3分)9.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，9=a ，5=b ，则c 的取值范围是． 10.中国古建筑很多的房顶横截面是三角形，这是利用了三角形具有________ 11.已知(−0.25)2020×42020=_______12.若(x −2)0=1，则x 的取值范围是__________.13.等腰三角形的一个角是40度，则等腰三角形的底角度数是____________ 14.正多边形的一个外角是60度，那么这个正多边形的内角和是______度. 15. 如图, ⊿ABC 是等边三角形,高为6,O 是三条中线的交点,则OD=________ 15题图 16.如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图并保留作图痕迹.步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧○1；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧○2，交弧○1于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H .所以BH 垂直平分AD ，请问该作图的依据有 . 三.解答题(共52分，17-24题每题5分,25、26各6分) 17.计算：√9+38÷36−(3−π)0+|1−√2|18. 计算a 3∙a 4∙a +(a 2)4+(−2a 4)2 19.若a m =2,a n =3求a 3m+2n 的值20.先化简再求值：(2x +1)(x −3)−x (2x +1),其中x =−121.作图题：如图，将军牵马从军营P 处出发，到河流0A 饮马，再到草地OB 吃草，最后回到P 处。

2020年北京八年级(上)期中数学试卷

八年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.月亮的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为（）A. 2.15×10-5B. 2.15×10-6C. 2.15×10-7D. 21.5×10-62.如图所示的图形中，从数学角度考虑，有一个与其它三个不同，这个图形应是（）A. B. C. D.3.下列各式从左到右的变形正确的是（）A. B. C. D.4.若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）A. 是原来的20倍B. 是原来的10倍C. 是原来的D. 不变5.若分式：的值为0，则（）A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠16.下列说法中不正确的是（）A. 斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等B. 有一边对应相等的两个等边三角形全等C. 有一腰长相等的两个等腰三角形全等D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（）A. 3B. 4C. 6D. 59.在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A. SAS，HLB. HL，SASC. SAS，AASD. AAS，HL10.已知：如图，∠AOB=40°，点P为∠AOB内一点，P′，P″分别是点P关于OA、OB的对称点，连接P′P″，分别交OA于M、OB于N．如果P′P″=5cm，△PMN的周长为l，∠P′OP′′的度数为α，请根据以上信息完成作图，并指出l和α的值．（）A. l=5cm，α=80°B. l=5cm，α=85°C. l=6cm，α=80°D. l=6cm，α=85°二、填空题（本大题共7小题，共14.0分）11.若分式有意义，则实数x的取值范围是______．12.计算：（）-1-（-1）0+|-3|=______．13.若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x-1）（x-3），则k+b的值为______ ．14.等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是3，则腰长为______．15.如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为______cm．16.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E是边AD上的点，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，有下列结论：①AD=AB+CD，②E为AD的中点，③BC=AB+CD，④BE⊥CE，其中正确的有______．（填序号）17.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）18.解方程：（1）=（2）+=2．四、解答题（本大题共12小题，共58.0分）19.（1）=（2）=20.分解因式：（1）2ax2-18ay2（2）3x2-12x+1221.学习“分式”一章后，老师写出下面的一道题让同学们解答．计算：-其中小明的解答过程如下：解：原式=-（A）=x-3-2（x-1）（B）=x-3-2x+2 （C）=-x-1 （D）（1）上述计算过程中，是从哪一步开始出现错误的？请写出该步代号：______；（2）写出错误原因是______；（3）写出本题正确的解答过程．22.计算：（1）（-）2•（-）3÷（-a2b）2（2）+•23.先化简：，然后从-1，0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值．24.如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．25.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标；A1（______，______）．（2）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请画出图形并直接写出点P的坐标：P（______，______）．26.已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°．（1）按要求作出图形：①延长BC到点D，使CD=BC；②延长CA到点E，使AE=2CA；③连接AD，BE．（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系，并写出证明思路．27.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为______ ；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是______ ；（3）根据（2）中的结论，若x+y=7，xy=，则x-y= ______ ；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．根据图3，写出一个因式分解的等式______ ．28.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．29.记y=f（x）=．如：f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）==；f（）表示当x=时y的值，即f（）==．试回答：（1）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）=______．（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）30.如图①，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（1）点C的坐标为______；（2）如图②，P是y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过点D作DE⊥x轴于点E，则OP-DE 的值为______；（3）如图③，已知点F坐标为（-4，-4），当G在y轴运动时，作等腰直角△FGH，并始终保持∠GFH=90°，FG与y轴交于点G（0，m），FH与x轴交于点H（n，0），则m与n的关系为______．答案和解析1.【答案】B【解析】解：0.00000215=2.15×10-6；故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.【答案】B【解析】解：A、C、D都是轴对称图形，而B不是轴对称图形，故选：B．根据轴对称图形的性质即可推出答案．本题主要考查对轴对称图形的理解和掌握，会观察出是否是轴对称图形是解此题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、当c≠0时，才成立，所以选项A不正确；B、，所以选项B不正确；C、当a=b时，才成立，所以选项C不正确；D、∵a是分母，∴a≠0，∴，所以选项D正确；故选D．根据分式的基本性质依次进行判断即可，注意乘除一个数或代数式时要保证不为0．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．4.【答案】D【解析】解：分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，得==，可见新分式与原分式相等．故选：D．依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．本题主要考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．5.【答案】B【解析】解：由x2-1=0解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选：B．要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．要注意使分子的值为0时，同时要分母的值不能为0，否则就属于没有意义了．6.【答案】C【解析】解：A、斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等，所以A选项的说法正确；B、有一边对应相等的两个等边三角形全等，所以B选项的说法正确；C、有一腰长相等的两个等腰三角形不一定全等，所以C选项的说法不正确；D、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，所以D选项的说法正确．故选：C．利用直角三角形全等的判定方法对A进行判断；利用等边三角形的性质和全等三角形的判定方法对B进行判断；利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对C、D进行判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．7.【答案】D【解析】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选：D．先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS 证明△AOD与△COD全等．8.【答案】A【解析】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴×2×AC+×2×4=7，∴AC=3．故选：A．作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4=7，于是可求出AC的值．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度．9.【答案】A【解析】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．本题考查的是作图-复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．10.【答案】A【解析】解：连接OP，∵P与P′关于OA对称，∴OA是PP′的中垂线，∴P′M=PM，P′O=PO，同理得：PN=P″N，PO=P″O，∴∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∵∠P′OP″=α=2∠AOB=2×40°=80°，∵△PMN的周长=l=PM+PN+MN=P′M+P′N+MN=P′P″=5cm；故选：A．连接OP，由对称的性质得：OA、OB分别是PP′和PP″的中垂线，由中垂线的性质得：PM=P′M，PN=P′N，P′O=PO，PO=P″O，再根据等腰三角形三线合一的性质求出α的度数，同时求出l的长．本题考查了轴对称的性质、中垂线的性质、等腰三角形三线合一的性质，明确对称轴是对称点连线的中垂线是关键，并熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，这在等腰三角形中经常运用．11.【答案】x≠5【解析】解：∵分式有意义，∴x-5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．由于分式的分母不能为0，x-5为分母，因此x-5≠0，解得x．本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．12.【答案】4【解析】解：原式=2-1+3=4，故答案为：4原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.【答案】-1【解析】解：由题意得：x2+kx+b=（x-1）（x-3）=x2-4x+3，∴k=-4，b=3，则k+b=-4+3=-1．故答案为：-1将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．14.【答案】6【解析】解：如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=3，∠BAC=120°，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=30°∵AD⊥BC∴AB=3÷=6．故答案为：6．画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含30°的直角三角形的性质可求得腰的长．本题考查了等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质；求得30°的角是正确解答本题的关键．15.【答案】9【解析】解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED的周长为AD+DE+AE=AC+AE．本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．16.【答案】②③④【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-90°=90°，∴BE⊥CE故④正确；如图，延长BE交CD延长线于F，∵∠BEC=90°，∴CE⊥BF，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠FCE，在△BCE与△FCE中，，∴△BCE≌△FFE（ASA），∴BC=FC，BE=FE，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠F，在△ABE与△FDE中，，∴△ABE≌△FDE（ASA），∴AB=DF，∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③正确；∵△ABE≌△FDE，∴AE=DE，即点E为AD的中点，故②正确；∵AD≠BC，∴AD≠CD+AB，故①错误；故答案为：②③④．根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分线，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，从而得到∠BEC=90°，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后证明△ABE≌△FDE（ASA），从而可以证明②③正确，AD与BC不一定相等，所以①不正确．本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥CE并作出辅助线是解题的关键．17.【答案】（1，5）或（1，-1）或（5，-1）【解析】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，-1），（5，-1），故答案为：（1，5）或（1，-1）或（5，-1）．根据题意画出符合条件的所有情况，根据点A、B、C的坐标和全等三角形性质求出即可．本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，是一道比较容易出错的题目．18.【答案】解：（1）去分母得：x+5=10，解得：x=5，经检验x=5是增根，分式方程无解；（2）去分母得：x+1+2x2-2x=2x2-2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：（1）由分式的基本性质，可得，故答案为5x2y，3x；（2）分式的分子分母同时乘以-1，得=，故答案为2-x．【解析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可解答；（2）根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可解答．本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是利用分式的基本性质时是分子分母同时进行．20.【答案】解：（1）2ax2-18ay2=2a（x2-9y2）=2a（x+3y）（x-3y）；（2）3x2-12x+12=3（x2-4x+4）=3（x-2）2．【解析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．21.【答案】B分式运算不能去分母【解析】解：（1）分式加减的过程中丢掉了分母，所以B步出现了错误．故答案为：B（2）出现错误的原式是：混淆了解分式方程与异分母分式加减法法则．，分式加减的过程中去掉了分母．故答案为：分式运算不能去分母（3）-=-===-题目是异分母的分式相减，先确定最简公分母，再通分变成同分母的分式，进行减法运算，结果化成最简分式或者整式．本题考查了异分母分式的加减，掌握法则是关键．异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减．结果要化成最简分式或整式．22.【答案】解：（1）（-）2•（-）3÷（-a2b）2=•（-）÷（a4b2）=-•=-；（2）原式=+•=+=．【解析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及分式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．23.【答案】解：原式=÷=•=1-a，当a=2时，原式=1-a=1-2=-1．【解析】首先对括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，然后进行约分即可化简，然后代入求值．本题考查了分式的化简求值，注意取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x=0，则原式没有意义，因此，尽管0是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．24.【答案】证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△ABC与△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．【解析】直接利用平行线的性质结合全等三角形的判定方法得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．25.【答案】（1）-3；-2；（2）-2；0【解析】解：（1）如图所示：A1（-3，-2），故答案为：-3；-2；（2）如图所示：P（-2，0）．【分析】（1）确定A、B、C三点关于x轴对称的对称点位置，再连接即可；（2）连接A1B，与x轴交点就是P的位置．此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．26.【答案】解：（1）完成作图，如图1所示：（2）如图2，在AE上截取AF=AC，连结BF，在△ABF和△ABC中，，∴△ABF≌△ABC（SAS），∴BF=BC，∠AFB=∠ACB，∴BF=CD，∠EFB=∠ACD，在△ACD和△EFB中，，∴△ACD≌△EFB（SAS），∴AD=EB．【解析】（1）根据题意画出图形；（2）在AE上截取AF=AC，连结BF，证明△ABF≌△ABC，得到BF=BC，∠AFB=∠ACB，证明△ACD≌△EFB，根据全等三角形的性质证明即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．27.【答案】(1) （b-a）2；(2) （a+b）2-（a-b）2=4ab；(3) ±2；(4) 3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b）【解析】解：（1）阴影部分为边长为（b-a）的正方形，所以阴影部分的面积（b-a）2，故答案为：（b-a）2；（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b-a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，所以（a+b）2-（a-b）2=4ab，故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；（3）∵（x+y）2-（x-y）2=4xy，而x+y=7，x•y=，∴72-（x-y）2=4×，∴（x-y）2=4，∴x-y=±2，故答案为：±2；（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，∴3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b），故答案为：3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b）．（1）阴影部分为边长为（b-a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2-（a-b）2=4ab；（3）由（2）的结论得到（x+y）2-（x-y）2=4xy，再把x+y=7，x•y=得到（x-y）2=4，然后利用平方根的定义求解；（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有3a2+4ab+b2=（a+b）•（3a+b）．本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．28.【答案】（1）90（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．【解析】解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°；（2）见答案.【分析】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）①问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；②问是第（1）问和第①问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况．29.【答案】n-【解析】解：（1）f（2）==，f（3）==，f（）==，∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）=++++=；故答案为；（2）f（）==，∴f（x）+f（）=+=1，∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）=+（n-1）=n-；故答案为n-．（1）求出f（2）==，f（3）==，f（）==，再由已知可求；（2）求出f（x）+f（）=+=1，即可求．本题考查分式的加减法；理解题意，探寻出f（x）+f（）=1是解题的关键．30.【答案】（-6，-2） 2 m+n=-8【解析】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∴∠MAC=∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴OM=6，∴点C的坐标为（-6，-2），故答案为（-6，-2）；（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE=OQ，∵∠APO+∠QPD=90°，∠APO+∠OAP=90°，∴∠QPD=∠OAP，在△AOP和△PDQ中，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO=PQ=2，∴OP-DE=OP-OQ=PQ=OA=2，故答案为：2；（3）m+n=-8．理由：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF=∠GTF=90°=∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS=FT=4，∠EFT=90°=∠HFG，∴∠HFS=∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT=HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（-4，-4），∴OT═OS=4，∴GT=-4-m，HS=n-（-4）=n+4，∴-4-m=n+4，∴m+n=-8．当点H在点S的左侧，点G在点T的上方时，同理可得△FSH≌△FTG，∴GT=HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（-4，-4），∴OT═OS=4，∴GT=m-（-4）=m+4，HS=n-（-4）=-4-n，∴-4-n=m+4，∴m与n的关系为m+n=-8．故答案为：m+n=-8．（1）要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC=AB，则作CM⊥x轴，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值；（2）求OP-DE的值，则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的长；（3）根据（2）的结论，可知m+n为定长，过F分别作x轴和y轴的垂线，运用（2）中的方法即可求得m+n的值．本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，矩形、正方形的性质的综合应用．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行计算求解，解题时注意数形结合思想的运用．。

2020-2021北京清华大学附属中学初二数学上期中试题含答案

2020-2021北京清华大学附属中学初二数学上期中试题含答案一、选择题1．若等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为（） A ．6B ．8C ．10D ．8或102．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC ；④BA+BC=2BF ；其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④3．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A ．11B ．12C ．13D ．14 4．要使分式13a +有意义，则a 的取值应满足（） A ．3a =-B ．3a ≠-C ．3a >-D ．3a ≠5．如图，直线123l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处6．如图，在△ABC 中，过点A 作射线AD ∥BC ，点D 不与点A 重合，且AD≠BC ，连结BD 交AC 于点O ，连结CD ，设△ABO 、△ADO 、△CDO 和△BCO 的面积分别为和,则下列说法不正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知x 2+mx+25是完全平方式，则m 的值为（） A ．10B ．±10 C ．20D ．±20 8．下列各式能用平方差公式计算的是( )A ．(3a+b)(a-b)B ．(3a+b)(-3a-b)C ．(-3a-b)(-3a+b)D ．(-3a+b)(3a-b)9．若23m =，25n =，则322m n -等于（） A ．2725B ．910C ．2D ．252710．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x 套运动服，根据题意可列方程为A ．()16040018x 120%x++＝ B ．()16040016018x 120%x-++＝ C ．16040016018x 20%x-+＝ D ．()40040016018x 120%x-++＝ 11．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形． A ．6 B ．5 C ．8 D ．7 12．若x ﹣m 与x+3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）A ．3B ．1C ．0D ．﹣3二、填空题13．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．14．已知射线OM.以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则∠AOB=________(度)15．当m=________时，方程233x mx x =---会产生增根． 16．已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 17．如图所示，AB ∥CD ，∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E 的度数为_____度．18．若22(5)0a b -+-=，则点P (a ,b )关于x 轴对称的点的坐标为____.19．若11x y+=2，则22353x xy y x xy y -+++=_____20．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．三、解答题21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++{n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值． 22．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝100°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求∠B 的度数；（2）求线段DE 的长．23．说明代数式2()()()(2)x y x y x y y y ⎡⎤--+-÷-+⎣⎦的值，与y 的值无关．24．如图，AB =AC ,MB =MC .直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？25．解方程：．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】根据三角形的三边关系，求出第三边的范围，再范围内取值使得三角形为等腰三角形，再计算周长即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为2和4，假设第三边长为x ，则有：4242x -<<+，即：26x <<，又∵三角形为等腰三角形，两条边长分别为2和4， ∴4x =，∴三角形的周长为：44210++=，故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边以及等腰三角形的性质是解题的关键．2．D解析：D 【解析】【分析】根据SAS 证△ABD ≌△EBC ，可得∠BCE ＝∠BDA ，结合∠BCD ＝∠BDC 可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE ＝∠DAE ，即AE ＝EC ，由AD ＝EC ，即可得③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 和Rt △CEG ≌Rt △AEF ，得到BG ＝BF 和AF ＝CG ，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD 为△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ，∴在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△EBC （SAS ），①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD ＝BC ，BE ＝BA ， ∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠BAE ＝∠BEA ， ∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案．【详解】解：要使分式13a有意义，则a+3≠0，解得：a≠-3．故选：B．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．5．D解析：D【解析】【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．【详解】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4处，∴可供选择的地址有4处．故选：D【点睛】考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．6．D解析：D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD和△ACD的面积相等，即可得到，即，同理可得△ABC和△BCD的面积相等，即.【详解】∵△ABD和△ACD同底等高，,，即△ABC和△DBC同底等高，∴∴故A,B,C正确，D错误.故选：D.【点睛】考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】根据完全平方式的特点求解：a 2±2ab +b 2. 【详解】∵x 2+mx +25是完全平方式， ∴m =±10，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式:a 2±2ab +b 2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x 和1的平方，那么中间项为加上或减去x 和1的乘积的2倍．8．C解析：C 【解析】【分析】利用平方差公式的逆运算判断即可. 【详解】解：平方差公式逆运算为：()()22a b a b a b +-=-观察四个选项中，只有C 选项符合条件. 故选C. 【点睛】此题重点考查学生对平方差公式的理解，掌握平方差公式的逆运算是解题的关键.9．A解析：A 【解析】分析：先把23m ﹣2n 化为（2m ）3÷（2n ）2，再求解．详解：∵2m =3，2n =5，∴23m ﹣2n =（2m ）3÷（2n ）2=27÷25=2725．故选A ．点睛：本题主要考查了同底数幂的除法及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是把23m ﹣2n 化为（2m ）3÷（2n ）2．10．B解析：B 【解析】试题分析：由设原计划每天加工x 套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：160x天，采用新技术后所用的时间可表示为：()400160120%x -+天。

2022-2023学年北京清华大学附属中学八年级上学期期中考试数学试卷带讲解

【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了零指数幂的意义，熟练掌握成立的条件是是解题的关键．
12.一个等腰三角形，它的顶角度数是一个底角度数的4倍，它的底角是______°．
【答案】30
【分析】设这个等腰三角形的底角度数为，则它的顶角度数是，由三角形内角和定理可列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】解：∵ ，，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
14.如图，在中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为______．
【答案】7
【分析】由平行线的性质可求出，．根据角平分线的定义可得出，，从而得出，，进而得出，，最后即可求出的长．
8.在下列各式中，能运用平方差公式计算的是（）
A.(a-b)(b-a)B.(a-1)(-a+1)C.(2a-b)(a+2b)D.(-a-b)(-b+a)
【答案】D
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】A．（a－b）（b－a）中两项的符号都相反，故不能用平方差公式计算；
【详解】解：设这个等腰三角形的底角度数为，则它的顶角度数是，
由三角形内角和定理可得：，
解得：，
∴它的底角是．
故答案为：30．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的实际应用．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键．
13.已知，，则 ______．

2023-2024学年北京市清华附中管庄学校八年级(上)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市清华附中管庄学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是()A. B. C. D.2.如图所示，以BC为边的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的取值范围是()A. B. C. D.4.如图，≌，，，，则AD的长是()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm5.如图，在中，，AD是的中线．若，则的度数是()A.B.C.D.6.若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为()A.13B.14C.13或14D.8或107.如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，，，在x轴上取一点，过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为，当和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题：本题共9小题，共19分。

8.如图，在中，，，，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是__________.9.五边形的内角和等于______度．10.点关于x轴的对称点N的坐标是______.11.若等腰三角形的一个内角为，则它的底角的度数为_____12.如图，，，，则______用含的式子表示13.如图，点B在线段AD上，，，请添加一个适当的条件：______，使≌不再添加其它字母或辅助线14.如图，在中，，D是AB延长线上一点，E是BC延长线上一点，F是CA延长线上一点，，则的度数为______.15.如图，中，，，，将折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则的周长等于______.16.在中给定下面几组条件：①，，；②，，；③，，；④，，若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是______填序号三、解答题：本题共11小题，共60分。

清华附朝阳2020-2021学年第一学期八上期中数学答题纸

2020学年度第一学期期中考试试卷初二数学满分：100分考试时间：90分钟一．选择题（本题共24分，每小题3分，每题符合题意的选项只有一个．）二．填空题(本题共24分，每小题3分)9. 10. _________ 11. __________ 12. __________.13. ___________ 14. ___________ 15. ___________16.____________________________________________________________________三.解答题(共52分，17-24题每题5分,25、26各6分)17.计算：√9+38÷36−(3−π)0+|1−√2|18.计算a3∙a4∙a+(a2)4+(−2a4)219.若a m=2,a n=3求a3m+2n的值20.先化简再求值：(2x+1)(x−3)−x(2x+1),其中x=−121.22.如图，已知点B,C,F,E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF,AB //ED,求证：⊿ABC ≅∆DEF23.如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，CD 、BE 交于点G ，AD=CE,(1)求证：CD=BE(2)求∠BGC 的度数A P24. (1)图②中阴影正方形EFGH的边长为: _________________；(2)用两种不同方法计算图②中的阴影正方形EFGH的面积,可以验证的等式是什么? ________________________________(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=7,ab=5,求:(a -b)2的值25.（1）作图:作线段AB关于直线l对称的线段CD，C点坐标为_____,D点坐标为_____,点P(a,0)关于直线l的对称点为_________. (2)求△CDM的面积.26.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．图1 图2（1）证明：（2）结论：；（3）证明：图3。

2020年北京初二(上)期中数学试卷汇编：勾股定理

2020北京初二（上）期中数学汇编勾股定理一、单选题1．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）如图，数轴上点A所表示的数是（）A．B．﹣+1 C．+1 D．﹣155552．（2020·北京·临川学校八年级期中）下列各组数中不是勾股数的是（）A．B．C．D．3,4,55,12，138,15,176,7,93．（2020·北京四中八年级期中）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC 的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．8 B．6 C．4 D．104．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC'的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米6．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）如图，已知点的坐标为，则线段的长为( )A(1,2)OAA．B．C．D．335527．（2020·北京市文汇中学八年级期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，4dm2dmA C过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．B．C．D．42dm22dm25dm45dm8．（2020·北京铁路二中八年级期中）直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为（）A．10 B．5 C．9.6 D．4.89．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，数轴上的点表示的数是-1，点表示的数是1，A B CB⊥AB B BC=2A AC D D于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（）A．B．C．2.8 D．22―12222+110．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）若一个三角形的三边长为，则使得此三角形是直角三角3,4,x形的的值是（）A．B．C．D．或56757二、填空题11．（2020·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AC＝6，那么BD＝___．12．（2020·北京市师达中学八年级期中）如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长________；13．（2020·北京铁路二中八年级期中）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______．14．（2020·北京四中八年级期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于_____．15．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝，∠A＝45°，则c边长为_____．616．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）下列四组数：①0.6，0.8，1：②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组为_____．17．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8，则S3＝_____．18．（2020·北京八中八年级期中）如图，在中，，，，则______°，的△ABC∠B=30°∠BAC=105°AB=6∠C=BC 长是________.19．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为22_____________．20．（2020·北京铁路二中八年级期中）如图所示，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，S1 =9，S2=16，S3=144S4=，则_____．21．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图四边形中，，，，，则ABCD∠A=∠C=90°∠ABC=60°AD=2CD=5BD的长为_______．22．（2020·北京·北外附中八年级期中）写出一组全是偶数的勾股数是_____．23．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个45°A B,C,D AB=2三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则____．CD=三、解答题24．（2020·汇文中学八年级期中）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°．点D是射线BA上一点，点E是线段AB上一点．且点D与点E关于直线AC对称，连接CD，过点E作直EF⊥CD于F，交CB的延长线于点G．（1）根据题意补全图形；（2）写出∠CDA与∠G之间的数量关系，并进行证明；2（3）已知在等腰直角三角形中，有以下结论：斜边长为一条直角边长的倍，写出线GB，AD之间的数量关系，并进行证明．25．（2020·北京四中八年级期中）常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：a b c a b c3 4 5 4 3 55 12 m6 8 107 24 25 p 15 179 n 41 10 24 2611 60 61 12 35 37… … … … … …平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．26．（2020·北京四中八年级期中）已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．27．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，2求（1）AB的长；（2）S△ABC．28．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC的面积．29．（2020·北京市文汇中学八年级期中）作图题：在数轴上表示出﹣的点．1030．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图1，在中，，，，于，点是线ΔABC AB=AC AB=8BC=6AN⊥BC N M AN D M AC AD⊥AB AD=BC E AC CE=AM MD BE BM段上一动点，点与点在直线两侧，，，点在边上，，连接，，．（1）依题意，补全图形；MD=BE（2）求证：；M BM+BE BM+BE（3）请在图2中画出图形，确定点的位置，使得有最小值，并直接写出的最小值为________．参考答案1．D【分析】55先根据勾股定理计算出BC＝，则BA＝BC＝，然后计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1-(-1)＝2，CD＝1，OB=1，∴BC＝＝＝，BD2+CD222+125∴BA＝BC＝，5∴OA＝BA –OB=-1，5∴点A表示的数为-1．5故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．2．D【分析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．【详解】A、42＋32＝52，此选项是勾股数；B、52＋122＝132，此选项是勾股数；C、152＋82＝172，此选项是勾股数；D、62＋72≠92，此选项不是勾股数．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义．3．A【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【详解】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝6，在Rt △NBD 中，x 2+62＝（18﹣x ）2，解得x ＝8．即BN ＝8．故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟悉相关性质是解题的关键． 4．D 【分析】先根据勾股定理得到AB ＝10，再根据折叠的性质得到DC ＝DC ′，BC ＝BC ′＝6，则AC ′＝4，在Rt △ADC ′中利用勾股定理得（8﹣x ）2＝x 2+42，解得x ＝3，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】∵∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8， ∴AB ＝10，∵将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点， ∴△BCD ≌△BC ′D ，∴∠C ＝∠BC ′D ＝90°，DC ＝DC ′，BC ＝BC ′＝6， ∴AC ′＝AB ﹣BC ′＝4，设DC ＝x ，则AD ＝（8﹣x ），在Rt △ADC ′中，AD 2＝AC ′2+C ′D 2，即（8﹣x ）2＝x 2+42，解得x ＝3， ∵∠AC ′D ＝90°，∴△ADC ′的面积═×AC ′×C ′D ＝×4×3＝6， 1212故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理． 5．A 【分析】根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．【详解】根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米）， 25―9可得这个直角三角形的面积为：××4＝6（平方厘米）． 129故选：A【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．6．B【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】22+12=5解：OA= ，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7．A【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，2AC则这圈金属丝的周长最小为的长度∵4dm2dm圆柱底面的周长为，圆柱高为∴AB=2dm BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8∴AC=22dm∴2AC=42dm这圈金属丝的周长最小为故选：A【点睛】―本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．D【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再运用面积法求出斜边上的高即可．【详解】解：设斜边长为c，斜边上的高为h.由勾股定理可得：c 2=62+82，解得c=10，直角三角形面积S=×6×8=×10h ，解得h=4.8. 1212故选D ．【点睛】本题考查了利用勾股定理的应用和利用面积法求直角三角形的高，掌握等面积法是解答本题的关键． 9．A 【分析】根据勾股定理求出AC ，再根据实数与数轴的概念即可求出点D 表示的数．【详解】解：由题意得，AB ＝2，由勾股定理得，AC ＝， AB 2+BC 2=22+22=22∴AC =AD ＝，22则OD ＝−1，即点D 表示的数为−1， 2222故选A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2． 10．D 【分析】根据勾股定理即可求解. 【详解】当4为斜边时，x = 42―32=7当x 为斜边是，x = 42+32=5故选D. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意分情况讨论. 11．9 【分析】根据勾股定理以及直角三角形的性质求解即可．【详解】解：在中，，， Rt △ABC ∠ACB ＝90°∠B ＝30°AC =6∴，AB =2AC =12由勾股定理得 BC =AB 2―AC 2=63∵ CD ⊥AB ∴ ∠CDB ＝90°又∵∠B ＝30°∴CD=1BC=332由勾股定理得BD=BC2―CD2=9故答案为9．【点睛】此题考查了勾股定理以及30°直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．12．2【分析】首先根据直角三角形的性质求出斜边AB的长度，进而求出AD的长度；再次利用直角三角形的边角关系即可求出DE的长度．【详解】∠ADE=∠BDE=90°，AD=BD；∵AC=6，∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC设BC为x，Rt△ABC中，由勾股定理得：（2x）2=x2+62，3解得：x=2，∴AD=BD=2，3∵AE=2DE，AE2=DE2+AD2∴DE=2，故答案为2．【点睛】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；同时还渗透了对直角三角形的边角关系等几何知识点的考查．13．13或119【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】设第三边为x，（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+122=x2∴x=13（负值舍去）（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2=122∴x=（负值舍去）119∴第三边的长为13或．119119故答案为：13或．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是掌握当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．4【分析】设BD＝x，正方形ODCE的边长为2，则CD＝CE＝2，根据全等三角形的性质得到AF＝AE，BF＝BD，根据勾股定理即可得到结论．【详解】ODCE解：设正方形的边长为2，CD=CE=2则，BD=x设，∵ΔAFO≅ΔAEOΔBDO≅ΔBFO，，∴AF=AE BF=BD，，∴AB=x+6AC=6+2=8BC=x+2，，，∵AC2+BC2=AB2，∴(x+2)2+82=(x+6)2，∴x=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．2．3【分析】根据题意画出图形，由∠A＝45°可知Rt△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求c的值．【详解】6解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝，∠A＝45°，∴a＝b＝，6∴c＝＝2．a2+b233故答案为2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记公式即可．16．②③【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可．【详解】解：①0.6，0.8不是整数，故不是勾股数；②52+122＝132，故是勾股数；③82+152＝172，故是勾股数；④42+52≠62，故不是勾股数；其中是勾股数的组为②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查勾股数，明确勾股数的概念是解题关键．17．14．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵∠ACB＝90°，S1＝6，S2＝8，∴AC2＝6，BC2＝8，∴AB2＝14，∴S3＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．18． 45 33+3【分析】∠C AD⊥BC首先根据三角形内角和定理即可求出的度数，然后过点D作交BC于点D，利用勾股定理分别求出BD,DC的长度，最后利用即可求出BC的长度．BC=BD+DC【详解】AD⊥BC过点D作交BC于点D，∵∠B=30°∠BAC=105°，，∴∠C=180°―30°―105°=45°．，∵AD ⊥BC ．∴∠ADB =∠ADC =90° ，∵∠B =30°,AB =6 ，∴AD =12AB =3 ．∴BD =AB 2―AD 2=33 ，∵∠C =45° ，∴DC =AD =3 ．∴BC =BD +DC =33+3故答案为：45，．33+3【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，含30°的直角三角形的性质和勾股定理，掌握三角形内角和定理，含30°的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．19．2【分析】设等腰直角三角形的腰长为x ，根据勾股定理可得x 2+x 2=（2）2，解方程即可得出结论．2【详解】解：设等腰直角三角形的腰长为x ，∵等腰直角三角形的斜边长为， 22∴x 2+x 2=（2）2，2解得x =2，即腰长为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理，解题的关键是对于等腰直角三角形，只要已知其中任意一边的长，就可以求出其它两边的长．20．169【分析】利用正方形的基本性质和勾股定理的定义进行解答即可．【详解】解：S 1=9，S 2=16，S 3=144，∴所对应各边为：3，4，12.∴中间未命名的正方形边长为5.∴最大的直角三角形的面积52+122=169．S 4=故答案为169．【点睛】本题考查了勾股定理的定义和正方形的基本性质，分析图形得到正方形和勾股定理的联系是解答本题的关键．【分析】延长AD 、BC 相交于点E ，构造特殊直角△ABE ，求出∠E ＝30°，在Rt △CDE 中，可得DE ＝2CD ＝10，然后在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出AB 2，再在Rt △ABD 中，利用勾股定理求斜边BD 的长．【详解】解：延长AD 、BC 相交于点E ，∵∠A ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠E ＝90°−60°＝30°，∴AB ＝BE ，12在Rt △DCE 中，∠E ＝30°，CD ＝5，∴DE ＝2CD ＝10，∴AE ＝AD ＋DE ＝2＋10＝12，在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴AB 2＋122＝4AB 2，∴AB 2＝48，在Rt △ABD 中，BD ＝，AB 2+AD 2=48+4=213故答案为：．213【点睛】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中．22．6，8，10（答案不唯一）【分析】根据勾股数定义：满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数可得答案．【详解】解：∵62+82＝102，∴全是偶数的勾股数可以是6，8，10，故答案为：6，8，10（答案不唯一）．【点睛】本题考查了勾股数，正确把握勾股数的定义是解题关键23．．6―2如图，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出 DF ，即可得出BC =2AB =22BF =AF =2结论．【详解】如图，过点作于，A AF ⊥BC F 在中，，RtΔABC ∠B =45°，，∴BC =2AB =22BF =AF =22AB =2两个同样大小的含角的三角尺，∵45°，∴AD =BC =22在中，根据勾股定理得，， RtΔADF DF =AD 2―AF 2=6，∴CD =BF +DF ―BC =2+6―22=6―2故答案为．6―2【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．24．（1）见解析；（2）；（3），证明见解析∠CDA ―∠G =45°GB =2AD 【分析】（1）根据题意画图即可；（2）由直角三角形中，两个锐角互余，结合三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和解题即可；（3）连接CE ，过点G 作GH ，垂足为H ，先证明CD=CE ，由三线合一性质可知，并设，⊥AB ∠DCA =∠ECA =α计算出，，继而证明EG=CE=CD ，可证明，再由全等三角形∠EGB =45°―α∠ECB =45°―α△CDA≅△EGH (AAS )的对应边相等，解得，最后结合勾股定理解题即可．HG =AD 【详解】（1）如图：（2）由图可知，∵EF ⊥CD ，∠CDA +∠DEF =90°，∵∠CBA =45°，∴∠G+∠GEB=45°，∵∠DEF=∠GEB，∴∠CDA―∠G=45°AB⊥（3）连接CE，过点G作GH，垂足为H，∵D，E关于直线AC对称，∴CD=CE∵CA⊥DE∴∠DCA=∠ECA=α设R t△CFG在中，∠EGB=90°―∠GCF=90°―(45°+α)=45°―αR t△ABC∠ACB=45°在中，，∴∠ECB=∠BCA―∠ECA=45°―α∴∠ECB=∠EGBEG=CE=CD∴∵∠HEG=∠FED，∠FED+∠D=90°，∠DCA+∠D=90°，∴∠DCA=∠FED=∠HEG△CDA△EGH在与中{∠DAC=∠GHE∠DCA=∠GEHCD=EG∴△CDA≅△EGH(AAS)∴HG=ADR t△BHG在中，∠GBH=45°∴GB=2HG∴GB=2AD【点睛】本题考查几何变换综合题，其中涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一性质等知识，是重要考点，难度较易，作出适合的辅助线构造全等三角形，掌握相关知识是解题关键．25．（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵52+122＝132，∴m ＝13；∵92+402＝412，∴n ＝40，∵82+152＝172，∴p ＝8．（2）如图所示：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝4，AC ＝13，S △ABC ＝SABD ﹣S △ACD ＝．12×12×9-12×12×5=24【点睛】本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．26．AB ＝cm ．253【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC ＝90°，求出∠ADC ＝90°，在Rt △ADC 中，由勾股定理得出a 2＝（a ﹣6）2+82，求出a 即可．【详解】解：设，AB =AC =a cm ，，，∵BC =10cm CD =8cm BD =6cm ，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°即，∠ADC =90°在中，由勾股定理得：，Rt ΔADC AC 2=AD 2+CD 2即，a 2=(a ―6)2+82解得：， a =253即． AB =253cm 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC =90°是解此题的关键．27．（1）4；（2）2+2．3【分析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据锐角三角函数的定义求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义求出AB 的长．(2)利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）过点A 作AD ⊥BC 于D ，如下图所示：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，AC ＝，22∴AD ＝DC ＝2，在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，AD ＝2，∴AB ＝2AD ＝4．（2）在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，AD ＝2，∴AB ＝2AD ＝4．BD ＝，AB 2―AD 2=23∴S △ABC ＝×BC ×AD ＝×2×(2+2)＝2+2．121233【点睛】本题考查了解直角三角形等知识点，熟练记牢30°，60°，90°的直角三角形中其三边之比为及45°，45°，90°1:3:2的直角三角形中三边之比为.1:1:228．2+23【分析】作AD ⊥BC 于D ，利用30°的直角三角形的性质即可求得BD 、再根据勾股定理可求得AD 长，利用∠C ＝45°可求得AD=CD ，进而求得CD 的长度，即可得到BC 的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：作AD ⊥BC 于D ，则∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B ＝30°，∠ADB=90°，∴AD ＝AB ＝4；12BD ＝＝2AB 2―AD 23∵∠C ＝45°，∠ADC=90°，∴∠DAC ＝∠C ＝45°，∴DC ＝AD ＝2， ∴BC ＝BD +CD ＝2+23∴S △ABC ＝AD •BC ＝2+2 123【点睛】本题考查了30°的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正确作出辅助线把三角形转化成两个直角三角形是关键．29．见解析．【分析】因为10＝1+9，所以只需作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 √10 ，然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可．10【详解】过表示﹣3的点B 作数轴的垂线AB ，取AB ＝1，连接OA ，以O 为圆心，OA 为半径画弧，与数轴的负半轴交于点C ，则C 点表示的数为﹣．10【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．30．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，的最小值为10．BM +BE 【分析】（1）根据题目要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和垂直的定义求出∠MAD ＝∠C ，利用SAS 证明△AMD ≌△CEB 即可得出结论；（3）根据，判断出当B 、M 、D 三点共线时，的值最小，BD 的长即为的最小值，作出MD =BE BM +BE BM +BE 图形，然后根据勾股定理求出BD 即可．【详解】解：（1）补全图形，如图1所示：21 /21（2）∵AD ⊥AB ，∴∠MAD ＋∠BAN ＝90°，∵AB ＝AC ，AN ⊥BC ，∴∠BAN ＝∠CAN ，∠CAN ＋∠C ＝90°，∴∠MAD ＝∠C ，又∵AD ＝BC ，AM ＝CE ，∴△AMD ≌△CEB （SAS ），∴；MD =BE （3）点M 位置如图2所示；由（2）可知：△AMD ≌△CEB ，∴MD ＝BE ，AD ＝BC ＝6，∴，BM +BE =BM +MD ∵，BM +MD ≥BD ∴当B 、M 、D 三点共线时，的值最小，BD 的长即为的最小值，BM +BE BM +BE ∵∠BAD ＝90°，∴，BD =AB 2+AD 2=82+62=10即的最小值为10．BM +BE【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系的应用以及勾股定理的应用等知识，能够根据题意作出图形是解题的关键．。

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