10.1 平面点集与n维空间

一、教学目标：

通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：熟练掌握多元函数概念

二级目标：掌握平面点集与n

维空间的概念

二、教学内容和重、难点：

1. 平面点集与n

维空间 2. 多元函数概念

重点：多元函数概念

难点：平面点集与n

维空间

三、教学方法和教具使用：

讲授法。

四、教学过程：

10.1 平面点集和多元函数 一、平面点集与n 维空间

1.平面点集

(){}2,|,x y x y =∈R R

2R 中邻域的概念：称下2R 的如下子集为点()000,P x y 的

δ邻域

()(){

}

0,,|.U P x y δδ=

称下2

R 的如下子集为点()000,P x y 的去心

δ邻域

()(){

}

0,,.U P x y δδ=

<

设E 是平面上的一点，P 是平面上的一个点. 如果存在点P 的某一邻域()U P 使得

()U P E ⊆，则称P 为E 的内点（如图1）.显然，E 的内点属于.E

如果点集E 的点都是内点，则称E 为开集. 如，点集(){}2

21,|14E x y x

y =

<+<是开集.

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点（如图2）.E 的边界点的全体，称为E 的边界. 例如，上面的点集1E 的边界是圆周2

2

1x y +=和2

2

4.x y +=

设D 为开集. 如果对于D 内任何两点，都可以用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称开集D 是连通的.

连通的开集称为区域或开区域. 如，

(){},|0x y x y +>及(){}2

2,|14x y x

y <+<都是

开区域.

开区域连通它边界一起，称为闭区域，例如

(){},|0x y x y +≥及(){}2

2,|14x y x

y ≤+≤

都是闭区域.

对于点集E ，如果存在正数K ，使一切点P E ∈与某一定点A 间的距离不超过K ，即

AB K ≤对一切P E ∈成立

则称E 为有界点集，否则称为无界点集. 例如

(){}2

2,|14x y x

y ≤+≤是、

是有界闭区域，

(){},|0x y x y +>是无界开区域.

设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点. 如果点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点. 显然，E 的内点一定是E 的聚点. 此外，E 的边界点也可能是E 的聚点. 例如，设

(){}222,|01E x y x y =<+≤，

那么点()0,0既是2E 边界点又是2E 的聚点，2E 的这个聚点不属于2.E 又如，圆周

图2

图1

221x y +=上的每个点既是既是2E 的边界点，也是2E 的聚点，而这些聚点都属于2.E 由此

可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于.E

2. n 维空间

设n 为取定的一个正整数，我们称n 元数组()12,,,n x x x 的全体为n 维空间，而每个n

元数组()12,,

,n x x x 称为n 维空间中的一个点，

数i x 称为该点的第i 个坐标. n 维空间记为.n R

n 维空间中两点()12,,

,n P x x x 及()12,,

,n Q y y y 规定为

PQ =

前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到n 维空间中去. 例如，设0n

P R ∈，δ是

某一正数，则n 维空间内的点集

(){}

00,,n U P P PP P R δδ=<∈

就定义为点0P 的

δ邻域. 以邻域为基础，可以定义内点、边界点、区域、聚点等一系列概念. 二、多元函数概念

例1 设R 是电阻12,R R 并联后的总电阻，则

12

12

.R R R R R =

+

这里，当12,R R 在集合

(){}1

2

1

2

,|0,0R R R R

>>内取定一对值()12,R R 时，R 的对应值也

随之确定.

例2 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系

2.V r h π=

这里，当,r h 在集合

(){},|0,0r h r h >>内取定一对值(),x y 时，V 的对应值就随之确定.

定义 1 设D 的一个平面点集. 如果按照某一确定对应法则,f D 内的每一个点

(),P x y D ∈，都有唯一确定一个实数z 与之对应，则称f 是定义在D 上的二元函数，记

作

()()(),z f x y z f P ==或

点集D 程为该函数的定义域，,x y 称为自变量，z 也称为因变量. 数集

()(){}|,,,z z f x y x y D =∈称为该函数的值域.

更一般地，可有n 元函数定义. 参见课本. 当2n ≥时，n 元函数通称多元函数. 与一元函数类似，在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f P =时，就以使这个算式有确定值u 的自变量所确定的点集为这个函数的定义域. 例如，函数()ln z x y =+的定义域为

(){},|0x y x y +>

例3 函数z =(){}2

2,|1x y x

y +≤.

设函数(),z f x y =的定义域为D . 对于任意取定的点(),P x y D ∈，对应的函数值为

(),.z f x y =这样，就在空间中确定了一个点(),,.x y z 所有这样的点作成的集合

()()(){},,|,,,x y z z f x y x y D =∈，

称为二元函数(),z f x y =的图形.

上面所述的二元函数z =.

一般，二元函数(),z f x y =的图形是一个空间曲面. 作业 P181：3.（5） 5.（1）