史上详细的平面曲线的弧长公式计算微积分
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解
s r 2( ) r2( )d
2πa
o
x
2π
2π
a2 2 a2d a
2 1d
0
0
a [2π 1 4π2 ln( 2π 1 4π2 )]. 2
x2 a2dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C
2
2
11
7.4 平面曲线的弧长
四、小结
平面曲线弧长的概念
y
a
sin
3
t
(0 t 2π)
对称性
y
s 4s1 第一象限部分的弧长
π
4 2 ( x)2 ( y)2 dt 0 π
a
aa
O
x
a
4 2 3a sin t cos tdt 0
6a.
7
7.4 平面曲线的弧长
例 证明正弦线 y asin x (0 x 2π) 的弧长
等于椭圆
x y
2
a
计算介于 x b与x b之间一段弧长度.
解 y ach x , y sh x
y
a
a
a
1 ( y)2
1 sh x 2 a
ch x a
b O
bx
所求弧长为
s
b
ch
x
dx
2
b
ch
xdx
2ash
x
b
2ash
b
.
b a
0a
a0
a
4
7.4 平面曲线的弧长
x
s b 1 y2 dx a
cos t 1 a2 sin t
(0
t
2π) 的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1 对称性
π
s1 2 0
1 y2dx 2 π 0
1 a2 cos2 xdx
设椭圆的周长为s2
π
s2 2 0
( x)2 ( y)2dt 2 π 0
(sin t)2 (1 a2 )(cost)2dt
弧段的长, 小切线段的长为:
(dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2 dx, 弧长 s b 1 y2 dx.
(弧微分)
a
3
7.4 平面曲线的弧长
(chx) shx
chxdx shx C
s
b a
1 y2 dx
例 悬链线方程 y a (ex a e x a ) ach x
r( r(
) cos ) s in
(
)
为参数的 参数方程
弧长元素为 ds (dx)2 (dy)2 r2( ) r2( )d
弧长 s r 2( ) r2( )d . 9
7.4 平面曲线的弧长
s r 2( ) r2( )d
例
求极坐标系下曲线
r
a sin
3
的长.
3
(a 0) (0 3π)
弧长(长度). 光滑曲线弧是可求长.
2
7.4 平面曲线的弧长
二、直角坐标情形
设曲线弧为y = f (x)
y
y f (x)
(a x b), 其中f (x)在
[a, b]上有一阶连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取积分变量为x, 在[a, b]上
dy dx
o a x x dx b x
任取小区间 [x, x dx], 以对应小切线段的长代替小
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
12
7.4 平面曲线的弧长
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x)是否
一定可求长?
解答
不一定. 仅仅有曲线连续还不够, 必须保证曲线光滑才可求长.
13
7.4 平面曲线的弧长
7.4 平面曲线的弧长
弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形 小结 思考题 作业
7.4 平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线 y
Mi
•
弧上的两个端点, 在
M2• M1•
弧上插入分点 A M0 ,
M1, , Mi , , Mn1,
•
A M0
• Mn1
•
B Mn
Mn B,依次用弦将 O
x
相邻两点联结起来, 得到一条内接折线. 记每条弦
的长度为
|
M i 1 M i
|,
i
1,2,
, n, 令
max |
1in
M i 1 M i
|.
如果当分点无限增加, 且 0时,折线长度的极限
n
lim
0
|
i 1
M i 1 M i
|
存在,
则称此极限为曲线弧
AB的
π
2
1 a2 cos2 tdt
0
2 π 1 a2 cos2 xdx s1. 0
8
7.4 平面曲线的弧长
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中r( )在[ , ]上具有连续导数. 现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系：
x
y
r cos r sin
x y
dt
n π sin t cos t dt 4n.
0 2
2
5
7.4 平面曲线的弧长
三、参数方程情形
曲线弧为
x
y
(t), (t)
(
t
)
其中 (t), (t) 在[a, b]上具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取参数t为积分变量, 其变化区间为 [ , ].
对应于 [ , ]上任一小区间 [t,t dt]的小弧段的
例 计算曲线 y nn 0
sin d 的弧长 (0 x nπ).
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s nπ 0
1 sin x dx nx0π n0πt
n dx ndt
π
0
1 sint ndt
π
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2
sin
t 2
cos
t 2
长度的近似值, 即弧长元素为
ds (dx)2 (dy)2 2(t) 2(t)dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt. 6
7.4 平面曲线的弧长
s 2(t ) 2(t )dt
例 求星形线 x2 3 y2 3 a2 3(a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
解 s r 2( ) r2( )d
3π 0
a2
sin
3
6
a2
sin
3
4
cos
3
2
d
a 3π sin 2d 3 πa.
0 3
源自文库
2
r
3a
sin
3
2
cos
3
1 3
a sin
2
3
cos
3
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7.4 平面曲线的弧长
例 求阿基米德螺线 r a (a 0)上相应于
从0到2π的弧长.
s r 2( ) r2( )d
2πa
o
x
2π
2π
a2 2 a2d a
2 1d
0
0
a [2π 1 4π2 ln( 2π 1 4π2 )]. 2
x2 a2dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C
2
2
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7.4 平面曲线的弧长
四、小结
平面曲线弧长的概念
y
a
sin
3
t
(0 t 2π)
对称性
y
s 4s1 第一象限部分的弧长
π
4 2 ( x)2 ( y)2 dt 0 π
a
aa
O
x
a
4 2 3a sin t cos tdt 0
6a.
7
7.4 平面曲线的弧长
例 证明正弦线 y asin x (0 x 2π) 的弧长
等于椭圆
x y
2
a
计算介于 x b与x b之间一段弧长度.
解 y ach x , y sh x
y
a
a
a
1 ( y)2
1 sh x 2 a
ch x a
b O
bx
所求弧长为
s
b
ch
x
dx
2
b
ch
xdx
2ash
x
b
2ash
b
.
b a
0a
a0
a
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7.4 平面曲线的弧长
x
s b 1 y2 dx a
cos t 1 a2 sin t
(0
t
2π) 的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1 对称性
π
s1 2 0
1 y2dx 2 π 0
1 a2 cos2 xdx
设椭圆的周长为s2
π
s2 2 0
( x)2 ( y)2dt 2 π 0
(sin t)2 (1 a2 )(cost)2dt
弧段的长, 小切线段的长为:
(dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2 dx, 弧长 s b 1 y2 dx.
(弧微分)
a
3
7.4 平面曲线的弧长
(chx) shx
chxdx shx C
s
b a
1 y2 dx
例 悬链线方程 y a (ex a e x a ) ach x
r( r(
) cos ) s in
(
)
为参数的 参数方程
弧长元素为 ds (dx)2 (dy)2 r2( ) r2( )d
弧长 s r 2( ) r2( )d . 9
7.4 平面曲线的弧长
s r 2( ) r2( )d
例
求极坐标系下曲线
r
a sin
3
的长.
3
(a 0) (0 3π)
弧长(长度). 光滑曲线弧是可求长.
2
7.4 平面曲线的弧长
二、直角坐标情形
设曲线弧为y = f (x)
y
y f (x)
(a x b), 其中f (x)在
[a, b]上有一阶连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取积分变量为x, 在[a, b]上
dy dx
o a x x dx b x
任取小区间 [x, x dx], 以对应小切线段的长代替小
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
12
7.4 平面曲线的弧长
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x)是否
一定可求长?
解答
不一定. 仅仅有曲线连续还不够, 必须保证曲线光滑才可求长.
13
7.4 平面曲线的弧长
7.4 平面曲线的弧长
弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形 小结 思考题 作业
7.4 平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线 y
Mi
•
弧上的两个端点, 在
M2• M1•
弧上插入分点 A M0 ,
M1, , Mi , , Mn1,
•
A M0
• Mn1
•
B Mn
Mn B,依次用弦将 O
x
相邻两点联结起来, 得到一条内接折线. 记每条弦
的长度为
|
M i 1 M i
|,
i
1,2,
, n, 令
max |
1in
M i 1 M i
|.
如果当分点无限增加, 且 0时,折线长度的极限
n
lim
0
|
i 1
M i 1 M i
|
存在,
则称此极限为曲线弧
AB的
π
2
1 a2 cos2 tdt
0
2 π 1 a2 cos2 xdx s1. 0
8
7.4 平面曲线的弧长
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中r( )在[ , ]上具有连续导数. 现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系：
x
y
r cos r sin
x y
dt
n π sin t cos t dt 4n.
0 2
2
5
7.4 平面曲线的弧长
三、参数方程情形
曲线弧为
x
y
(t), (t)
(
t
)
其中 (t), (t) 在[a, b]上具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取参数t为积分变量, 其变化区间为 [ , ].
对应于 [ , ]上任一小区间 [t,t dt]的小弧段的
例 计算曲线 y nn 0
sin d 的弧长 (0 x nπ).
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s nπ 0
1 sin x dx nx0π n0πt
n dx ndt
π
0
1 sint ndt
π
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2
sin
t 2
cos
t 2
长度的近似值, 即弧长元素为
ds (dx)2 (dy)2 2(t) 2(t)dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt. 6
7.4 平面曲线的弧长
s 2(t ) 2(t )dt
例 求星形线 x2 3 y2 3 a2 3(a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
解 s r 2( ) r2( )d
3π 0
a2
sin
3
6
a2
sin
3
4
cos
3
2
d
a 3π sin 2d 3 πa.
0 3
源自文库
2
r
3a
sin
3
2
cos
3
1 3
a sin
2
3
cos
3
10
7.4 平面曲线的弧长
例 求阿基米德螺线 r a (a 0)上相应于
从0到2π的弧长.