三角形、角平分线及练习综述

三角形的角平分线专题复习

三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .试确定/ P 与/ A 的数量关系.A2、：如图,在』ABC 中,BP 平分/ CBD CP 平分/ BCE 试确定/ P 与/ A 的数量关系.4、：如图,在』ABC 中,BPi 平分/ ABC CR 平分/ ACD BP 2平分/ P i BC CP 2平分/ P i CD,试确定〔1〕 / P2与/A 的数量关系.〔2〕 /Pn 与/A 的数量关系.二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .求证：点 P 在/ A 的平分线上.3、 P：如图,在』ABC 中,BP 平分/ABC CP 平分/ ACD 试确定/ P 与/ A 的数量关系.P EDA PCD A P iP 2CA练习1、找出到』ABC三边距离相等的点点P到AB边的距离为1, △ ABC的周长为10,那么△ ABC的面积为ABC的外角,BP平分/ CBD CP平分/ BCE判断点P是否在/ A的平分线上?3、：如图,/ AC皿/ABC的外角,BP平分/ ABC CP平分/ ACQ判断点P是否在/ A的平分线上练习3、找出到a, b, c 三条直线距离相等的点练习4、〔思考题〕如图,在^ ABC 中,/ ABC=105 , / ACB=40 , CE 是角平分线,F 是CB 延长线上的一点, D 是AC 上一点, / CBD=30 ,求/ ABF 和/ ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图,在』AB8, / ABG 口/ ACB 勺平分线交于点 Q 过O 点作EF// BC 交AB 于E,交AC 于F, BE=5, CF =3, 求EF 的长.2、,在』ABC 中,/ ABC 的平分线与/ ACB 的外角平分线交于点 D,过D 作DE//BC 交AC 与F,交AB 于E, 求证：EF=BE- CF例1.如图,：AD 是 ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. 求证：AE AF.a例2.：如图,BD 是 ABC 的平分线, AB BC , P 在BD 上,PM AD , PN CD .求证：PM PN .例4,：如图,在 ABC 中, 求证：ACCD AB .例5、如图, AB//DC , A D 90 ,点E 在AD 上,BE 平分 ABC, CE 平分 BCD .例6.：如图,在 ABC 中,BE 、CF 分别平分求证：点O 在A 的平分线上.例3.如图,：在求证：AD EF ABC 中AD 是 BAC 的平分线, DE AB 于 E, DF AC 于 F.求证：BC AB DC .1、以下说法正确的有几个〔同步测试(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； (3)三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； (4)点E 、F 分别在/ AOB 的两边上,P 点到E 、F 两点距离相等,所以 P 点在/ AOB 的平分线上； (5) 假设OC 是/ AOB 的平分线,过 OC 上的点P 作OC 的垂线,交 OB 于D,交OA 于E,那么线段 PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A. 2 B 3 C 4D 5 2、在^ ABC 中,/ C= 900 , BC= 16cm, / A 的平分线 AD 交 BC 于 D ,且CD: DB=3: 5,那么D 到AB 的距离等于23、：如图 1, BD 是/ ABC 的平分线,DELAB 于 E, S ABC 36cm AB = 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长4.如图,： BD CD, BF AC 于 F, CE AB 于 E.求证：D 在 BAC 的平分线上.5、：如图 2, /B = /C=90°, M 是BC 中点,DM 平分/ ADC求证：AM 平分/ DAB6 .如图,ABC 是等腰直角三角形,的周长. A 90 ,BD 是 ABC 的平分线,DE BC 于 E, BC 10cm,求 DEC7.如图,：在 ABC 中,外角 CBD 和求证：点F 在 DAE 的平分线上. 8、如图,AD 〃BC>^E 在线段AB 上,ADE CDE, DCE ECB,图2BCE 的平分线求证：CD AD BC.9、：如图3,在△ ABC中,/ B=60°, △ ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD = AC A,/ACB=20° ,CE 是/ACB 的平分线,D 是BC上一点,假设/ DAC= 20° ,10.如图在^ABC 中,/BAC=100 求/CED的度数.C11.在四边形ABCD 中,BC> BA,AD= CD,BD平分/ ABC,/C= 72°,求/ BAD的度数ADBC。

拓展二：解三角形三角形中线,角平分线问题 (精讲)(解析版)

拓展二：三角形中线，角平分线问题 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 三角形中线问题（向量化法）题型2：三角形中线问题（角互补法）题型3：三角形角平分线（比例法）题型4：三角形角平分线（等面积法）题型5：三角形角平分线（边长比与面积比关系）题型6：三角形角平分线（角互补法）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析一、三角形中线问题方法1、向量化如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+ (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）方法2、角互补ADC ADB π∠+∠=⇒cos cos 0ADC ADB ∠+∠=二、角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 方法1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 方法2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 方法3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=方法4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=·全国·高三专题练习）锐角ABC 中，角CD 长的取值范围．c a =+又()12CD CA CB =+，则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()2211224221442a b ab ab ab ++=+=+，由正弦定理可得22sin sin sin a b cA B C===，所以a =所以(253CD ∈，2．（2023两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角(1)求角A ；(2)若2b =，，求ABC 的BC 【答案】(1)7 (1)cos 2cos(A =(0,A π∈若选②：由正弦定理，得A ，C ∈(2)解：AD 是ABC 的BC ∴1()2AD AB AC =+，∴222211()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+()222AB AB AC AC +⋅+ 秋·云南昆明·高一统考期中）在ABC 中，内角已知ABC 的面积； BC 上的中线为. 【答案】(1)4A π=222a c b +-和ACD 中，分别由余弦定理可得212b AD+-，212AD AD+--8=bc ，即AD 秋·江苏镇江·高一校考期中）在ABC 中，内角(1)求角A；，求ABC的面积2sin sin CB，在ABC在ABC 中，sin 2cos B =-因为0C <<选择条件③在ABC 中，3cos2C =因为0C <<23C π=；(1)求BAM ∠的正弦值；在ABM 中，由余弦定理，得ACM △中，由余弦定理，得BMA 与CMA ∠在ABM 中，由余弦定理，得因为BAM ∠解法2、由题意可得，cos 45AB AC AB AC ⋅=⨯⨯AM 为边上的中线，则()12AM AB AC =+，两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =，边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的11sin 22BAM AB AC BAC =⨯⨯∠126452⨯⨯⨯︒，．、在ABN 中，由余弦定理，得，分别为边BC ，为ABC 重心，2103=，在ABP 中，由余弦定理，得22PB AB PA PB -=⋅又由MPN ∠131050APB =解法2：因为BN 为边上的中线，所以12BN AN A BA B AC =+=-+， ()22111111322244AM BN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+= ⎪⎝⎭， 2222111024BN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-+=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即10BN =．所以131310cos 50510AM BN MPN AM BN⋅∠===⨯．3．（2022·四川达州·一模）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积边上的中线长为3. 求ABC 外接圆面积的最小值. 【答案】(1)a =π. 【详解】（1）ABC 的面积sin 0A >，因此cos bc是ABC的中线，有1()2AD AB AC=+，因此22242AD AB AB AC AC=+⋅+，即有22，解得22，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，即2a=.）设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得）知22241cos2Abc b c=≥=+，当且仅当π<，于是得11sin3A≥所以ABC外接圆面积最小值为．（2022·四川宜宾统考模拟预测）ABC的内角sinsinC bcA-=2a c=，求ABC的周长；AC边的中点为D，求中线的最大值.3sinsinc CcA-=故ABC的周长a b c b++=+2）∵2BD BC BA=+，()22222222422BD BC BABC BA BC BA a c b =+++⋅+=+-=设ABC 中角(1)求b 边的长度；，求ABC 的面积；1sin +4b B b 为中点，所以()12AD AB AC =+，设,AB AC 的夹角为2211=++2=22AD AB AC AB AC c ∴⋅又()()2211+=+=+=22c AB AD AB AB AC AB AB AC ⋅⋅⋅21+4cos =cos ==417+8cos AB AD BAD AB AD⋅θθ∠，即128cos 8cos 116cos 90θθ，所以1cos =8θ或cos =θ1+4cos >0θ，所以1cos =8θ，易得ABC ∴的面积为137×41sin =24θ⨯⨯．（2022秋·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末）已知分别为ABC 三个内角A (1)求A ；(2)若AD 为，求ABC 的面积在ABC 中，sin cos A C 3sin sin A ，又在ABC 中，3sin cos A =，即sin ⎛⎝()0,A π∈66ππ=即A 2在ABC 中，2在ABC中()12AD AB AC=+，()()222211244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅()22214964x x x=++得21x=即1x=，2b=，3c=133sin22ABCS bc A==(1)求证：2AB AC=；60）证明：因为ABD中，由正弦定理可得：180，故sin180，故cos 3，cos 3=，0180BAC <∠<，故60BAC ∠.题型4：三角形角平分线（等面积法）典型例题春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知ABC 的内角，ABC 的面积为c 的值. 2c ab -=， 1π1πsin sin 2626ACD BCDABCSSCA CD CB CD S +=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，秋·河北衡水·高一校考阶段练习）记ABC 的内角0B =．的角平分线交在ABC 中，由正弦定理得：0πC <<，解得所以2π3C =(2)依题意，a +是ABC 的角平分线，则+=ACDBCDABCSSS，2πsin 3，整理得ab =，解得ab CD a b ==+：三角形角平分线（边长比与面积比关系）典型例题秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知ABC 中，角的角平分线．ABCABDS S△△sin C∠ABC ABD S S =△△由正弦定理可得BDC ∠+即sin sin C A =（2）BCD ABD S S =△△设2AB =BDC ∠+22923b b b b +-⋅cos ABC ∴∠例题2．（(1)求cos C 及线段BC 的长；ABCS =sin AC∠12ADCABCS S =，3158ABC S =△. 6：三角形角平分线（角互补法）同类题型演练ABC 中，已知545cos 7AB AC B，，. AD 的长．在ABC 中，由余弦定理整理得27BC 解得7BC =97BC由于0BC >，所以7BC =因为(0,B π∈，所以sin 0B >2261cos 7B Bsin sin AC BCB A=267sin 26755BC B A ACABCABDACDSSS=+及三角形的面积公式可得：11145sin 24sin +5sin 222x x 整理得20sin 240cos9sin9x在ABC 中，由余弦定理2221625491cos 2405AB AC BC AAB AC2cos 22cos 1A 得cos θ=8109ADx2022春·湖北恩施·高二校考阶段练习）在ABC 中，内角，且cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C 求角B 的大小；23=，角B BD ＝1，求ABC 的周长．160sin 602a BD +⋅⋅，+c ， 2222故ABC 的周长为．（2022·吉林统考模拟预测）在ABC 中，内角sin sin B b =求角A 的大小；若3AB =，的内角平分线交ABCABDADCS SS=+，1sin sin 2BAC AB AD BAD ∠=⋅⋅∠π1πsin 3sin 326AD =⨯⨯⨯+在ABC 中，由余弦定理：22AC AB +-．中，由正弦定理，中，由正弦定理，ABC 中，由余弦定理：1DC AC ()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，2222131934416168AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭193127913116168216⨯+⨯+⨯⨯⨯= 334AD =．．（2022秋·全国·高三开学考试）已知在平面四边形ABCD 中，，求BDC 的面积，求CD 长BDC S=解：设CD =高三专题练习）已知ABC 的内角，ACD ABC S S=△△377，CD ACDABC S =2BD =由角平分线性质得1ABCS=12ACDS=⨯解得CD6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，2AB AC=，BAC∠的角平分线交BC于ABDADCSS的值；1,=AC【答案】（1）2【详解】解：（=ABDADCSSAB==ABDADCSS在ACD 中，224+=AD AD ．（2022·北京海淀校考模拟预测）已知ABC 的内角3sin 6B π⎛+ ⎝30c +=;条件这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题由题意知3sin B ⎛ ⎝06π⎫=⎪⎭, (0,B π∈故23B π=在ABC 中,由余弦定理可得22c ac +-22a c b +-对于条件①:与上式结合可得）在ABC 中,由正弦定理可得sin b B, 72sin 3π=, 33,cos 41=）BD 是∠ABD CBD =∠ABDBCD SAD S CD ==7AC =,AD ∴在ABD △2BD AB =35258⎛=+ ⎝故158BD =OM ON =⋅．1sin 2OM ⎛= ⎝⎭，(2,2ON =()2sin 223sin f x OM ON =⋅=+1sin 23cos 23sin 22x x x ⎛-+- ⎝222πππ==∵AD 为∠BAC 的角平分线，2AB AC =，ABC S=(3513ACD ABC S S ==．（2022·四川·校联考模拟预测）在(sin sin a A b B c =++ABC ABD ACD S S S =+，得()24bc b c bc =+≥，得值为43．ABC 中，ABC ABD ACD S S S =+，1sin 302b AD ⋅⋅︒， ()bc +，所以3b =，c =统考一模）在ABC 中，内角，3BA AC ⋅=，是ABC 的中线，求23π coscos()sin 22B C A A +==sin 0B ≠sin 2A ∴=，(0,πA ∈得cos2A =， 23A π∴=）3BA AC ⋅=,cos()3A π-=,得由余弦定理得：2b c +1()2AD AB AC =+， 2211()(44AD AB AC ∴=+=所以72AD =， AD 的长为72. ．（2022·河南开封·校联考模拟预测）在sin 2B C +=2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+,22cos b bc A +，∴2216b c bc +=-,，即163≤bc , 当且仅当433b c ==时取等号2216A b c bc bc =+-=-，解：在ABC 中，因为由正弦定理sin a A ,3,=m b m 24922+=⨯m C C π<<，所以在ACD 中，所以AD =选择条件②角，但由于三边未知，故三角形不唯一，不满足条件选择条件③因为ABC 的面积为1sin 2ab C 6ab =.1）知:a b 2,3,a b ==在ACD 中，所以AD =．（2022·湖北省直辖县级单位23AC =，(1)MPN ∠的余弦值．在ABC 中，由余弦定理可知：(222BC =+2BC = , AB BC =ABC ∴是等腰三角形，故120在ABM 中，由余弦定理可知：2cos AM ABC =∠在ABM 中，由正弦定理可知：sin AB AMB =∠因为AMB ∠27121cos 60)cos cos 60sin sin 60727MPN AMB AMB ∠==∠-∠=⨯-是ABC 的重心，所以23BP BN =21,3BN BP =∴= ,故112331133sin 601,sin 6012223262222BPMBCMSBP BM S BN BC =⋅⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯⨯=所以四边形PMCN 的面积为333263BNCBMPS S-=-=统考模拟预测）向量12sin ,m x ⎛⎫= ⎪⎝，63cos 2n ⎛⎫= ⎝()2m m n =⋅+. 求函数()f x 的对称中心；若函数1()()4g x f x =+上有5个零点，求的取值范围；在ABC 中，内角A ，)C 恰好为函数(f x 【答案】(1)π12⎛ ⎝25π31π,1212⎫⎪⎭4932sin m ⎛= ⎝，6cos 2n ⎛= ⎝2sin 2m n ⎛=+ ⎝()252sin 2sin 242()f x m m x n x ⎛=+-= ⎝=⋅+在ACD 中，由BCD △中，由78sin c A =在ABC 中，则可得712a =743a b +=4937123+(1)求证：::AD AB CD CB =；ABCABDCBDS SS=+，即cos θ，因为02θπ<<，则ABCS =统考三模）已知(2c ++是ABC 的角平分线，且，求ABC 的面积中，由正弦定理及sin C 得：是ABC 的角平分线，ABCABDCADSSS=+可得1因为3b =，2AD =，即有11sin 3622ABCSbc A ==⨯⨯．（2022·浙江绍兴·浙江省春晖中学校考模拟预测）在ABC 中，60，ABC 的面积等于，BAC ∠的角平分线___________. 【答案】217 【详解】解：2BC =，ABC 的面积等于132AB =⋅24AB AC ⋅=由余弦定理2cos BC AB AC A =⋅⋅(AB AC AB AC AB -⋅⋅=10AC +=（由于AB AC >AM 为∠所以=+ABCABMACMSSS，即ABCS=即111163642222AM AM =⨯⋅⨯+⨯⋅，解得故答案为：21；123．。

角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）

⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。

⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。

三角形角平分线的结论及应用

三角形角平分线的结论及应用浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3: 在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

角平分线的题设和结论

角平分线的题设和结论角平分线是指将一个角的两条边平分的直线，也就是将一个角分成两个相等的角的直线。

它在几何学中有着重要的应用和意义，是许多定理的基础。

在三角形中，角平分线分为内角平分线和外角平分线。

内角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角的对边分成两个相等的线段的直线。

外角平分线则是指从一个三角形的一个角的外部出发，将相邻两个内角的非公共边分成两个相等的线段的直线。

在研究角平分线时，我们需要掌握一些基本的定理和结论。

下面是一些常见的定理和结论：1. 内角平分线定理：三角形中，从一个角的顶点出发，将这个角的对边分成两个相等的线段的直线称为这个角的内角平分线。

内角平分线定理指出，一条内角平分线将这个角所对的边分成两条比例相等的线段。

2. 角平分线定理：在一个三角形中，如果一条直线既是一个角的内角平分线，又是另一个角的内角平分线，那么这条直线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。

3. 外角平分线定理：在一个三角形中，如果一条直线是一个角的外角平分线，那么这条直线所对的另一个内角等于这个三角形另外两个内角之和。

4. 角平分线定理（外部）：在一个三角形中，如果一条直线既是一个内角的外部平分线，又是另一个内角的外部平分线，那么这条直线将这个三角形分成两个面积比例相等的三角形。

5. 角平分线定理（相似三角形）：在两个相似三角形中，它们对应的顶点所对应的两个内角所对应的边上的点连成一条直线，这条直线就是它们所对应内角的平分线。

除了以上定理和结论之外，还有一些与角平分线相关的重要定理和结论，如垂心定理、欧拉定理等等。

这些定理和结论在几何学中有着广泛的应用和意义。

总之，掌握好角平分线相关的知识对于我们学习几何学和解决几何问题都有着重要的帮助。

解三角形(角平分线问题问题)(典型例题+题型归类练)(原卷版)

专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 核心技巧1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 核心技巧2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 核心技巧3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=核心技巧4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯二、典型例题例题1．如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D .（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=；（2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长.第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论解答过程：根据余弦定理，，即，解得利用第(1)问结论由（1）知∴，得，；在与中，根据余弦定理得，且解得，即的长为．例题2．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，求AD .第（2）问思路点拨：由（1）知，求角平分线长，，可优先考虑面积公式解答过程：由（1）知，由角平分线面积公式∴，∴．代入数据计算例题3．在ABC 中，3,AB =4,BC =线段BD 是B ∠的角平分线，且 6.ABDS =求BCD S △.思路点拨：已知在中，线段是的角平分线，且涉及角平分线问题，但是不知的大小，不适合直接用面积公式，但知，可考虑面积和边长的关系解答过程：平分由，代入代入例题4．在ABC中，D是BC的中点，1AB=，2AC=，32 AD=．（1）ABC的面积为________．（2）若AE为BAC∠的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为________．第（2）问思路点拨：由（1）知，可优先考虑面积公式解答过程：由可得即，从而.代入，计算例题5．在△ABC 中， AM 是BAC ∠的角平分线，且交BC 于M . 已知23,2,3AM BM MC ===，则AC = __________；思路点拨：在中，是的角平分线，且交于. 已知，涉及到角平分线，又，可利用,得到的关系解答过程：由是的角平分线，又，得，设，则因为，则，利用余弦定理代入得：，整理得，解得或（舍）.所以.利用角互补关系（不适合面积公式）三、题型归类练1．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知ABC 中，AD 为角平分线，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =（）A ．127B ．157C ．7D ．72．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则4b c +的最小值为（） A ．10B ．12C ．16D ．183．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin a A c C b c B =+-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3AD c b ==，则a 的值为（）A ．72BC ．3D4．在ABC 中，CD 是ACB ∠的角平分线且4,||AB AD AD ==若||3CD =，则CDA ∠=__________，ABC的面积为__________．5．在ABC 中，60A ∠=，∠A 的角平分线与BC 边相交于D ．AD =BC =AB 边的长度为___．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若2BD DC =，AD ＝2，且AD 平分∠BAC ，求△ABC 的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR 中，点M 在边QR 上，且PM 为∠QPR 的内角平分线，有PQ QMPR MR=．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=． (1)求C ；(2)若a ，b 为方程210200x x -+=的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求CD ．8．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BD 为∠ABC 的角平分线．(1)求证：::AD AB CD CB =；(2)若2BD =且26c a ==，求△ABC 的面积．9．已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++. (1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在BC 边上，AD 是角平分线，222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=，且ABC 的面积为(1)求A 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若4c =，求BD 的长．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a =1b =，c =M 是BC 上的点．（1）若AM 是BAC ∠的角平分线，求BMCM的值；（2）若AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．13．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在AC 边上，BD 为ABC ∠的角平分线．32ABC ABD S S =△△．(1)求sin sin CA∠∠； (2)若BD b =，求cos ABC ∠的大小．。

三角形角平分线专题讲解(精选.)

由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图 1-2 ，，平分∠，平分∠，点 E 在上，求证：。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

例2．已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

全等三角形与角平分线经典题型

For personal use only in study and research; not for commercialuseFor personal use only in study and research; not for commercialuse全等三角形与角平分线一、知识概述1、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.2、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.3、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.4、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.二、典型例题剖析例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较例4、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．例5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．例6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.三、中考解析1、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.3、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.4、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．5、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°6、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：7、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

三角形角平分线地结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

八年级上册数学三角形的角平分线知识点和典型习题分类汇总附答案

第5讲三角形的角平分线❖ 基本知识（熟记，会画图，要提问。

） 1等。

如何证明？2、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如何证明？3、三角形的内心：三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心。

4、三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。

如何证明？【角的平分线的性质】【基本题型】1、【易】如图，铁路OA 和铁路OB 交于O 处，河道AB 与铁路分别交于A 处和B 处，试在河岸上建一座水厂M ，要求M 到铁路OA ，OB 的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位置？请在图中标出M 点的位置．2、【易】如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE△AB 、DF△AC ，垂足为E 、F ，求证：EB=FC ．3、【易】如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE//AB ，交BC 于点E ，PF//AC ，交BC 于点F 。

求证：点D 到PE 和PF 的距离相等。

4、【中】已知：如图，OC 是△AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD△OA ，PE△OB ，垂足分别为D 、E ，点F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ．求证：DF=EF ．5、【中】如图，△1=△2，AE△OB 于点E ，BD△OA 于点D ．AE ，BD 交于点C ，试说明AC=BC ．6、【中】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE△AB ，DF△AC ，垂足分别为点E ，F ，连接EF ，则EF 与AD 的关系是______．7、【中】如图，在△ABC 中，△C=90°，AD 是△BAC 的平分线，DE△AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ．求证：（1）CF=EB ；（2）△CBA+△AFD=180°．8、【中】【周长】如图，三角形纸片中，AB=8cm ，BC=6cm ，AC=5cm ．△ABC 的平分线交AC 于点D ，AC △BC ，DE △AB ，求△ADE 的周长．9、【中】【周长】如图，在△ABC 中，△C=90°，AC=BC ，AD 平分△CAB 交BC 于点D，DE△AB于点E，若AB=6cm ．求△BDE 的周长．10、【中】【面积】如图：在△ABC 中，AD 是它的角平分线．求证：（1）S △ABD ：S △ACD =AB ：AC ；（2）S △ABD ：S △ACD =DB ：DC ；（3）AB ：AC=DB ：DC ．11、【中】【面积】如图，BD 平分△ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，则DE 等于______．12、【中】【面积】如图，△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC ，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是_________．13、【中】【面积】如图，AD 是△ABC 中△BAC 的角平分线，DE△AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是______．14、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】如图，AC 平分△BAD ，CD=CB ，AB>AD ，说明:△B+△D=180°．15、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ＞AD ，AC 平分△DAB ，△B+△D=180°．求证：CD=CB ．16、【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】在△ABC 中，AD 是△BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且△EDF+△EAF=180°，求证：DE=DF ．参考答案1、作AOB 的平分线，交AB 于点M 。

三角形角平分线的结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

初三数学下册综合算式专项练习题三角形中的角平分线

初三数学下册综合算式专项练习题三角形中的角平分线在初三数学下册的学习中，综合算式是一个重要的考点。

而在综合算式的题目中，三角形中的角平分线也是一个常见的问题。

本文将通过一些专项练习题来深入探讨三角形中的角平分线的相关概念和性质。

1. 角平分线的定义首先，我们来回顾一下角平分线的定义。

在一个三角形ABC中，如果有一条线段AD，使得∠BAD = ∠DAC，那么我们称AD为角BAC的角平分线。

2. 角平分线的性质接下来，我们来介绍一些角平分线的性质。

性质1：角平分线将对应顶点的边分成两个相等的线段。

图中的线段BD和DC相等，即BD = DC。

性质2：角平分线和对边的关系。

图中的线段AD是∠BAC的角平分线，AD与BC相交于点D。

性质3：角平分线的唯一性。

一个角的角平分线只有一条。

以上是角平分线的一些重要性质，接下来我们通过练习题来加深对这些性质的理解。

练习题1：已知∠A = 60°，∠B = 80°，在三角形ABC中，角BAD的角平分线与BC延长线相交于点D，求∠BDC的度数。

解析：根据角平分线的性质1，我们可以知道BD = DC。

又根据三角形内角和定理，∠B + ∠C + ∠A = 180°，代入已知角度，得到∠C = 40°。

由角平分线的性质2，我们知道∠BDC = ∠B + ∠C = 80°+ 40°= 120°。

练习题2：在三角形ABC中，角A的角平分线与边BC相交于点D，已知∠BAD = 30°，∠ADB = 100°，求∠BAC的度数。

解析：由题意，∠ADB = 100°，∠BAD = 30°，由角平分线的性质1，我们可以知道BD = DC。

又根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，代入已知角度，得到∠B + ∠C = 150°。

利用角平分线的性质2，我们可以知道∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = 30° + 75° = 105°。

角平分线性质知识点总结及典型试题

角平分线的性质知识点总结及典型试题知识点一：角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，这条射线叫这个角的平分线．1.如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为．2．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠GEC= 3.如图，在△ABC中，∠A=70°，点O是∠ABC和∠ACB内角平分线的交点，则∠BOC=______．4.如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D。

试说明∠D=1/2∠A。

知识点二：角平分线的画法：（可以用尺规作图）如图4，已知∠AOB，求作：射线OP，使OP平分∠AOB.作法：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别与OA、OB交于点C、D；（2）分别以C、D为圆心，大于CD一半长的线段为半径作弧，两弧交于点P；（3）作射线OP，射线OP 即为所求.作图依据是SSS定理1.如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于1/2 CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（）A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD 是等腰三角形C．C、D两点关于OE所在直线对称D．O、E两点关于CD所在直线对称2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．43.如图所示,已知∠AOB和两点M、N画一点P,使得点P到∠AOB的两边距离相等,且PM=PN.知识点三：角平分线的性质定理：在角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．符号语言：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD＝PE．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．求证：PD＝PE．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2．∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴∠ODP=∠OEP=90º．又∵OP=OP,∴△ODP≌△OEP(AAS)．∴PD＝PE．点睛练习：1.判断：①如图,OP是∠AOB的平分线，则PD=PE（）②如图,PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则 PD=PE（）③在∠AOB的平分线上任取一点Q，点Q到OA的距离等于3cm,则点Q到OB距离等于3cm（）2、△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶ 7, 则点D到AB的距离为( )A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．5.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE= 6cm．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB= cm．E DM C B A D B CA A CP B D O 7．如图所示在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥BA 于E ，AB=6厘米，则△DEB 的周长是厘米．8.如图所示， △ABC 中，AB=AC ，M 为BC 中点，MD ⊥AB 于D ，ME ⊥AC 于E 。

角平分线模型综述

角平分线模型综述
1. 简介
角平分线模型是几何中的一个重要概念，用于描述角的特定性质和关系。

在本文中，我们将对角平分线模型进行综述，介绍其定义、性质和应用。

2. 定义
角平分线是指一个线段或射线，将一个角分成两个相等的角。

如下图所示：
3. 性质
3.1 角平分线定理
角平分线定理是角平分线模型的一个重要性质，它表明如果一条直线是一个角的平分线，那么它将角分成两个相等的角。

这一性质可以用数学表达为：
如果 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，那么 $\angle BAD = \angle CAD$。

3.2 角平分线的唯一性
在一个角中，只有一条平分线。

这意味着无论两条平分线如何交错或交叉，在角内部它们始终是相离的。

4. 应用
角平分线模型在几何中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：
- 三角测量：通过角的平分线，我们可以更方便地计算三角形的各边长和角度。

- 三角形的性质证明：使用角平分线模型可以证明三角形的各种性质，如等腰三角形、全等三角形等。

- 求解几何问题：角平分线模型可以帮助我们解决一些实际几何问题，如寻找两条线段的交点等。

5. 结论
角平分线模型在几何学中具有重要的地位和应用价值，它帮助我们理解和解决各种与角相关的问题。

通过研究和应用角平分线模型，我们可以更好地理解角的性质和关系，同时在实际问题中得出准确的结果。

6. 参考文献。

三角形角平分线的结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，试探究：∠D=９０°＋1∠Ａ。

2解：∵BD、CD为角平分线∴∠ＣＢＤ＝1∠ＡＢＣ，（图1）2∠ＢＣＤ＝1∠ＡＣＢ。

2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）＝１８０°－1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）2＝１８０°－1（１８０°－∠Ａ）2＝９０°＋1∠Ａ2变式练习的题目有（1）如图△2、在ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

解:由结论1得知，∠D=９０°＋1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

角平分线知识点+经典例题

第四讲角平分线【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质例1．如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．例2、如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．3:2C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．例3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD＝PE，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ， ∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定例4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.【变式】已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF=PG ，DF=EG ．求证：OC 是∠AOB 的平分线．【答案】证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD=PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线．。

角平分线的性质知识点小结及练习题

1 角的平分线的性质及其练习题1、尺规作图画角平分线(1)、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于M,交OB 于No(2) 、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在Z AOB 的内部交于点 C 。

(3) 、画射线OC 。

射线OC 即为所求。

2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

图形表示：假设CD 平分Z ADB,点P 是CD 上一点PE± AD 于点E, PF± BD 于点F, 那么 PE=PF 。

3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

图形表示：假设PE± AD 于点E, PF± BD 于点F, PE=PF,那么PD 平分Z ADB4、证明命题的步骤：(1) 明确命题中的和求证；(2) 根据题意，画出图形，并用数学符号表示和求证；(3) 经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程。

角平分线的性质(1)一、选择题1 .用尺规作角的平分线的理论依据是() A . SAS B . AAS C . SSS D . ASA2.如图，OP 平分Z AOB , PD ±OA , PE LOB ,垂足分另U 为 D , E,以下结论错误的选项是()3.如图，在 AABC 中，ZC= 90°, AD 是ZBAC 的角平分线，假设 BC = 5 cm,三、解答题 4.：如图，AM 是ZBAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点 O 分别作AB, AC 的垂线，垂足为 F, D,且AA . PD = PEB . OD = OE(第3题)BD = 3 cm,那么点D 至ij AB 的距离分别交AC 、AB 于点G, E.求证：OE=OG .5. 如图，AD 平分Z BAC, DE LAB 于点E, DF JAC 于点F,且BD=CD .求证:一、选择题 1.三角形中到三边距离相等的点是〔 A.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点2.如图，MBC 中，AB=AC , AD 是AABC 的角平分线,DE 1AB 于点E, DF 1AC 于点F,有下面四个结论:6.如图，△ ABC 中，/ C= 90 °, A D 是^ ABC 的角平分线，DE 1AB 于E, 〔1〕求证：AC =BE ; 〔2〕求Z B 的度数。

三角形、角平分线及练习.

三角形单元复习与巩固知识网络目标认知学习目标1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；5.掌握多边形内角和性质的应用.重点三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.难点本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.知识要点梳理知识点一：三角形的有关的概念1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.3.三角形的分类4.三角形的三边关系①三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：①这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的高线是一条线段；②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点.③三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.注意：①三角形的中线是一条线段；②三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；③三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段；②三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.知识点三：三角形的内角与外角1.三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.2.三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线.（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.3.多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.4.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌1.平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.2.镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.规律方法指导三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于180°等，这些在生产和生活中有广泛的应用. 通过本章学习可以进一步丰富对图形的认识和感受，提高同学们的思考和说服能力. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合. 数形结合思想和转化思想在本章中体现较为明显，如三角形的三边关系、内角和、外角和的语言表述与符号、数字之间的互化；多边形问题通过连接对角线转化为三角形问题等. 本章内容是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和、多边形内角和、平面镶嵌及其简单的应用，常以填空题、选择题的形式命题.三角形单元测评一．选择题(每小题3分，共30分)1．图中三角形的个数是( )A. 8 B．9 C．10 D．112．若一个三角形的三条高的交点正好是三角形的某个顶点，则这个三角形是( )．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对3．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是( )．A．3 B．5 C．7 D．94．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，AC，B1C，则△AB1C的形状一定是( ).A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．已知α、β是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，其中只有一个答案是正确的，则正确的是( ).A．86°B．76°C．48°D．24°6．三角形的三个内角中，至少有一个角的度数不会大于( ).A．30°B．40°C．50°D．60°7．将一副直角三角尺如图所示放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( ).A．45°B．50°C．60°D．75°8．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点对着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( ).A．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形C．正方形、正五边形D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形9．若一个n边形有n条对角线，则n为( ).A．4 B．5 C．6 D．710．如图所示，AB∥CD，则x的大小为( ).A．35°B．45°C．75°D．85°二．填空题(每小题3分，共30分)11．直角三角形的两锐角的平分线的交角的度数为_____________.12．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是________.13．如图，△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，则AB的长为________.14．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D、E，则∠BDC的度数是____.15．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD 于点G，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是_____________.16．已知在正方形网络中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在正方形网络的交叉点上，位置如图所示，点C也在此网络的交叉点上，且以A、B、C为顶点的三角形的面积为1平方单位，则点C的个数为_____________，请在图中标示出来.17．把一张长方形的纸片按图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB′的延长线上,那么∠EMF的度数是_____________.18．(1)在凸多边形中，锐角最多能有_____________个；(2)在凸多边形中，小于108°的内角最多有_____________个.19．在一个顶点处有一个正十边形和一个正三角形，则还要有一个正_____边形，才能进行平面镶嵌.20．如图所示，一样大小的立方体木块堆放在房间一角，一共垒了10层，这10层中从正面看不见的木块有_____________个.三．解答题(共60分)21．(6分)a，b，c是三角形的三条边长，化简：|a＋b＋c| －|a－b－c|－|a－b＋c|－|a＋b－c|.22．(6分)已知n边形的每个内角与其外角的差为90°，求内角的度数与边数n.23．(8分)如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SΔABC ＝4cm2，求阴影面积SΔEBF.24．(8分)如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求α的度数.25．(10分)如图所示，五个半径为2的圆，圆心分别是A、B、C、D、E，求图中阴影部分的面积和是多少？26．(10分)如图，已知△ABC三个内角的平分线相交于点O，OG⊥AB，垂足为G，∠1＝∠AOE，∠2＝∠BOG，试说明∠1＝∠2.27．(12分)如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F.(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的等量关系；(2)如图所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？并说明理由.答案与解析一．选择题1.B.2.A.(提示：直角三角形三条高相交于直角顶点上.)3.D.(提示：根据三角形三边关系)4.D.(提示：△AB1C的三边分别是正方形的对角线.)5.C.(提示：将选项分别代入，使180°＜α＋β＜360°的值为正确的答案.＝6.D.(提示：假设三角形的三个内角都大于60°，则三角形的内角和就大于180°，所以三角形三个内角中至少有一个角的度数不会大于60°.)7.D.(提示：因为AE∥BC，所以∠EDC＝∠E＝45°，又因为∠C＝30°，所以∠AFD＝∠FDC+∠C＝45°+30°＝75°.)8.A9.B.(提示：由题意知，把选项分别代入此方程，当n＝5时，方程成立.)10.C.(提示：五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°.由AB∥CD可得∠B＝180°－60°＝120°，所以x＝540°－135°－120°－60°－150°，所以x＝75°.)二．填空题11.45°或135°.(提示：两条平分线相交成4个角，有两组对顶角，所以有两个不相同的度数.)12.15.(提示：由三角形三边关系知x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周长最小值为15.)13..(提示：在△ABC中，2S△ABC＝BC×AD＝AB×CE)14.88°.(提示：因为DB、EB三等分∠ABC，DC、EC三等分∠ACB，所以∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝92°，所以∠BDC＝180°－92°＝88°。

全等三角形、角平分线知识点、例题及习题

【知识梳理】4．角平分线的性质：尺规作图：（1）作一个角等于已知角（2）作已知角的平分线（教材P107）： ⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

（用全等证明） ⑵角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

（P109例题）⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

【经典例题】例1. （2009·海南中考）5. 已知图2中的两个三角形全等，则∠α的度数是 A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°例2、如图1所示，长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 恰好落在BA 边上，得点C′，使∠C′EB ＝40°，求∠EDC′的度数.图2c 58° ba72°50°caαMF E CBA例3、已知△ABC ≌△DEF ，且∠A=52°，∠B=71°31′，DE=8.5 cm ，求∠F 的大小与AB 的长.例4 （提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm ，BE=4 cm ，DH ＝3 cm ，则图中阴影部分面积为。

例5、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

求证：MB=MC例6、你能用尺规进行下面几种作图吗？1、已知三边作三角形2、作一个角等于已知角3、已知两边和它们的夹角作三角形4、已知两角和它们的夹边作三角形5、已知斜边和一直角边作直角三角形6、作角的平分线EDCBA4 321 EDC BA【课堂练习】1、2、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD3、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ， BC=30，BD ：CD=3：2，则DE= 。

三角形中线与角平分线专题(二)

三角形中线与角平分线专题（二）1、三角形内外角平分线的四个经典结论：结论一：三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系已知如图1，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠P与∠A的数量关系.1902P A∠=+∠结论二：三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系．已知如图2，BP平分外角CBE∠，CP平分外角BCF∠，求P∠与A∠的数量关系.1902P A∠=-∠结论三：三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系如图，BP平分ABC∠，CP平分外角ACD∠，求P∠与A∠的数量关系.12P A∠=∠结论四：结论三延伸平分ACDABC∠∠和，连结EA，则如图，CEBE、分别EA为HAC∠的平分线应用举例：例1：在四边形ABCD中，︒=∠120D，︒=∠100A、ABC∠、ACB∠的角平分线的交与点E，试求BEC∠的度数.21AEFB C21PBAC例2：在ABC ∆中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ∆，试判断DEF ∆的形状.例3：如图3，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若︒=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A .图三图四例4：点M 是ABC ∆两个内角的平分线的交点，点N 是ABC ∆两个外角的平分线的交点，如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB例5：（ 2011年湖北省鄂州是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．2、角平分线性质的应用3、角平分线与等腰三角形的构造问题：【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形如图（1）中，AD平分∠BAC，AD//EC；如图（2）中，AD平分∠BAC，DE//AC；如图（3）中，AD平分∠BAC，CE//AB；如图（4）中，AD平分∠BAC，EF//AD。