三角形、角平分线及练习综述

三角形单元复习与巩固

知识网络

目标认知

学习目标

1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；

2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；

3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；

4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；

5.掌握多边形内角和性质的应用.

重点

三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.

难点

本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识.

知识要点梳理

知识点一：三角形的有关的概念

1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组

成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上；

③首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.

2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.

3.三角形的分类

4.三角形的三边关系

①三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.

②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.

注意：①这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用.

知识点二：三角形的高、中线、角平分线

1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

注意：

①三角形的高线是一条线段；

②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点.

③三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.

2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

注意：

①三角形的中线是一条线段；

②三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；

③三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心.

3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

注意：

①三角形的角平分线是一条线段；

②三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

知识点三：三角形的内角与外角

1.三角形的内角：

（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.

（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.

2.三角形的外角

（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°.

（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；

②外角的一条边是三角形的一边；

③外角的另一条边是三角形某条边的延长线.

（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

知识点四：多边形

1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.

2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

从边形的一个顶点出发，可以画条对角线，边形一共有条对角线.

3.多边形的内角和公式：边形的内角和为.

内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数.

4.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.

外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

知识点五：镶嵌

1.平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.

2.镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.

规律方法指导

三角形是最简单的多边形，是研究复杂图形的基础，在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形有很多重要性质，如稳定性，三角形内角和等于180°等，这些在生产和生活中有广泛的应用. 通过本章学习可以进一步丰富对图形的认识和感受，提高同学们的思考和说服能力. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合. 数形结合思想和转化思想在本章中体现较为明显，如三角形的三边关系、内角和、外角和的语言表述与符号、数字之间的互化；多边形问题通过连接对角线转化为三角形问题等. 本章内容是中考的必考内容，主要考查三角形的三边关系、三角形内角和、多边形内角和、平面镶嵌及其简单的应用，常以填空题、选择题的形式命题.

三角形单元测评

一．选择题(每小题3分，共30分)

1．图中三角形的个数是( )

A. 8 B．9 C．10 D．11

2．若一个三角形的三条高的交点正好是三角形的某个顶点，则这个三角形是( )．

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对

3．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是( )．

A．3 B．5 C．7 D．9

4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，AC，B1C，则△AB1C的形状一定是( ).