土木工程测量学教程ppt(上)

设有n个独立观测值 L1 , L2 , … Ln， 其算术平均值
为x, 改正数为 两式相加得： 即： vi= x – Li , 真误差 i = Li – X
v x X i vi
i i
从而：
[ ] [vv] n

2
2[v ]
考虑到 vi= x – Li ；[ v]= nx – [L]=0
A
a 3、列出函数的真误差表达式
b 15 .000 m,
A b
a 30 .000 m
A b a a b
4、转换为中误差表达式并求其值
2 2 2 mA b 2 ma a 2 mb 0.013725 m 2
mA 0.117 m
二、特例
1.线性函数
z k 1 x1 k 2 x2 k n xn
z ki (i 1、、 n) 2 xi
全微分： 中误差关系：
dz k1dx1 k2 dx2 kn dxn
m k m k m k m
2 z 2 2 1 1 2 2 2 2 2 n
2 n
2.和差函数
因此，在一定的观测条件下，取
限=2m 或 限=3m
作为极限误差，当观测值的误差大于限差时应剔除。
三、相对误差
误差与观测值之比。 • 相对真误差
K
K
L m L
• 相对中误差
• 相对较差 其中：
K
d L
d L' L"
相对误差不带量纲，用分子为1的形式表示。
8.4 误差传播定律
用于阐述独立观测值中误差与函数中误差关系 的定律。 一、一般公式 设未知量 z 与 t 个独立观测值x1,x2,…xt之间有 如下的函数关系式： z= f (x1,x2, …xt)
1、按观测方法分：
直接观测
间接观测 独立观测
条件观测 等精度观测 不等精度观测
2、按观测量之间的关系分： 3、按观测时所处的条件分：
4、按观测量在观测 过程中的状态分：
静态观测 动态观测
§8.2 测量误差
一、定义：
真误差： i= Li - X X为真值，Li为观测值
二、观测误差的来源：
1、仪器误差 2、人差 3、环境影响
z
x
1

x
2

x
n
函数对各观测值的偏导函数值为
z 1(i 1 2、 n) 、 xi
真误差表达式为：
z x1 x2 xn
中误差表达式为
则： mz m m m x1 x2 xn
2 2 2 2
3. 倍数函数 真误差表达式为
z=kx
z kx
全微分： dh=tgα •dD+D • sec2 α • d α
中误差关系：
mh2=tg2 α • mD2+D2 • sec4 α • m mh =31.7(mm)
α 2/ρ 2
=0.04787400+1.09804900 =1007.38
解法2. 对函数 h=Dtg α 取自然对数： lnh=lnD+ln(tg α) 全微分： dh
mx=4ml , my=9ml
mz2=9mx2+my2+4ml2 = 49ml2
mz=7ml
解法2. z=3x-y+2l –10， x=2l+5, z=6l+15-3l+6+2l –10 =5l+11 所以：mz =5ml 两种方法，两样结果，哪里错了？？？？ y=3l-6
例3. 已知AB两点间的水平距离D=206.205±0.020 米， 在A点安置经纬仪测得AB直线的高度角α =12 ̊ 20 ̍ 30 ̎ ±30 ̎，计算AB间的高差h，及其中误差 mh 。 解：函数式 ： h=D tgα = 45.130(m)
2
) mx
2
t
例：某建筑场地已划定为长方形，独立地测定其长和宽分别为 a=30.000m、b=15.000m,其中误差分别为ma=± 0.005m、 mb=±0.003m，求该场地面积A及其中误差mA。
解：显然这是一个任意函数。
2 1、列出函数关系式，并求函数值A=a×b=450.000m 2、求函数对各观测值的偏导函数
解法二：
L 12 l 360 .000 m mL 12 ml 60 .0mm mL 1 L 6000
哪一个解法是正确的呢？
例2. 设有函数 z=3x-y+2l –10
其中： x=2l+5, y=3l-6
已知 l 的中误差为 ml ,计算函数z的中误差 mz 。
解法1.
中误差表达式为
mz kmx
以上三种公式可以不经过上述计算步骤直接应用。
让我们来看几个例题吧
例1：用30米的钢尺丈量某两点间的水平距离L，恰 好为12个整尺段，每尺段 li 的中误差均相等，为 ml=± 5mm,求该段水平距离及其中误差 mL、相对中误 差mL/L.
解法一：依题意，有
L l1 l2 l12 360 .000 m mL ml 12 17 .3mm mL 1 L 21000
(
f x1
2
)
[x1 x1]
(
f
2
)
[ x 2 x 2 ]
(
f xt
2
)
[ x n x n ] n
t
结论： 各独立观测值任意函数的中误差的平方， 等于该任意函数对各观测值的偏导函数值与该 观测值中误差乘积的平方和。
求任意函数中误差的四个步骤： 1、列出函数关系式： z=f (x1,x2, …xt)
一、中误差
1、定义：
m [] n
当n 有限时，采用m表示的估值，即：
[] n
2、 中误差的 概率意义：
中误差越小，精度越高
3、中误差的几何意义：
m就是误差分布曲线的两个拐点
二、极限误差
根据概率理论： P{ |Δ| m }=68.3% P{ |Δ| 2m}=95.4% P{ |Δ| 3m}=99.7%
[] [vv] n

2
[] 2[v] [vv] n
[] n 1 [] [] [vv] n n
最后得：
m
[vv] n 1
这就是用改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞 尔公式.
(2) 算术平均值 x 的中误差 M
[ L] L1 L2 Ln x n n n n
d [vv] 令 2( x L1) 2( x L2) 2( x Ln) 0 dx
[ L] 则： x n
这说明，在等精度观测条件下，未知量的最 或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是 满足最小二乘准则条件下，等精度观测值的最或 然值。
2.精度评定
(1)观测值的中误差
xi的真误差xi引起z产生真误差z。
则：z-z=f (x1- x1, x2- x2, … xt- xt)
xi均是小量，上式按泰勒级数展开， 并舍去二次及以上诸项，得：
Z z f ( x1 , x2 ,..., xt ) f
x
z
x
1
f
1
x
x
2
2

f
x
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测量误差理论基础
测量教研室
主要内容
观测及分类 测量误差 衡量精度的标准 误差传播定律 等精度直接平差 不等精度直接平差
§8.1 观测及分类
一、观测的定义
测定未知量的过程。即观测者使用 一定的仪器的工具，采用一定的方法和程 序，在一定的环境条件下测定未知量与计 量单位之比的过程。
二、分类
f
f
3
x x
[x1 x3]
2
x x
t 1
[xt 1 xt ]
t
[xi 1 xi ] 0
x2 f f f m ( ) m x ( ) m x ( ) m x xt x1 x2
n n n
2 2 2 2 z 2 2 2
1 2
[ z z ]
1 [ ] 而 x X ([ L] nX ) n n
[ ]2 1 2 2 2 2 2 ( 1 n ) n n 2 2 ( 1 2 n 1 n ) n
右边第二项趋近于0，所以有：
[] 2 n
2
代入前式得：
由误差传播定律得：
m m m m M 2 2 2 n n n n m 从而有：M n
h
注意到： h
D

dD D

sec 2 tg
h tg
d
tg ,
D
2
所以： dh tg dD D sec
d
三、应用误差传播定律注意事项
1. 函数式中各观测值应相互独立；
2. 观测值的量纲应统一。
§8.5 等精度直接平差
根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并 评定精度的过程，称为直接平差。 一、最小二乘准则 在科学实验中，经常有这样的问题：试验中获得的 自变量与因变量的若干组对应数据（x1,y1), （x2,y2)，… （xn,yn),怎样找出一个已知类型的函数 y = f (x)，使之与 观测数据最好的拟合？ 例如，已知自变量与因变量的关系为线性函数 y = ax +b 如何根据观测值xi ,yi确定常数 a, b，使该直线最好地 与观测结果拟合。
测值li 的权。
二、等精度直接平差
1. 算术平均值
设 L1, L2, … Ln 为一组独立观测值，根据最小二 乘准则，其最或然值 x 必须满足： φ=[vv]=(x - L1 )2+ (x - L2 )2+…+(x - Ln)2=min