胡运权运筹学第七章习题解

某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。

已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下，使总生产解:设阶段变量：k=1,2,3状态变量：X k第k个月初的库存量决策变量：d k第k个月的生产量状态转移方程：x k即T X k 口「kG d k阶段指标：v（X k ,d kfTC k d k由于在4月末，仓库存量为0,所以对于k=4阶段来说有两种决策: '5+4=9 xj 0f（X4）= *1 X4I1对K=3 f (X3)T5x3d4©f (x4)K=2K=1时解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0 份。

某公司有资金4万元，可向A, B, C三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。

表7-20设阶段变量k, k 1,2,3,4，每一个项目表示一个阶段；状态变量2,表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额；决策变量U k，表示在第k阶段状态为S k下决定投资的投资额;决策允许集合：0<U k<Sk状态转移方程：S k+1=S k-U k；阶段指标函数：V k（S k U k）；最优指标函数：f k（5k）=max{ V k（S k U k）+ f k+1（5k+1）}终端条件：f4（X4）=0；K=4, f4（X4）=0k=3, 0<U 3^531, 2，1）为了保证某设备正常运行，须对串联工作的三种不同零件 A l ,A 2,A 3,分别确定备件 数量。

若增加备用零件数量，可提高设备正常运转的可靠性，但费用要增加，而 总投资额为8千元。

已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视，求 A 1,A 2,A 3，的备解：设第k 阶段的状态为 * 第k 阶段决定投入的备件为X k ；C k (X k )为第k 阶段选 择k 个零件的费用；R(X k )为第k 个阶段选择k 个零件的可靠性。

状态转移方程为：3+i=S k - C k (X k ) 递退方程：f k (S k ) max{R K (X k )f k i (s 1)} f 4(S 4)13C K(x k)SKC i(1)i k 1所以有上可知当 A 1 ； A 2； A 3；分别为 k=1;k=2;k=3时 Si=8; 9=5,6,7; S=1,2,3,4;当k=2时当k=1时由上表可知，最优解的可靠性为；此时X i=1；X2=1；X3=3。

某工厂接受一项特殊产品订货，要在三个月后提供某种产品1000kg，—次交货。

由于该产品用途特殊，该厂原无存货，交货后也不留库存。

已知生产费用与月产量关系为：C=1000+3d+2，其中d为月产量（kg），C为该月费用（元）。

每月库存成本为2元/kg，库存量按月初与月末存储量的平均数计算，问如何决定3个月的产量是总费用最小。

解：用动态规划法求解阶段k:每一个月为一个阶段k=1,2,3状态变量S k :第k个月初的库存量决策变量d k :第k个月的生产量状态转移方程：S k i= S k +d k最优指标函数：f k（ S k）:第k个月状态为S k时到第3个月末的总费用最小则第k个月的库存费用为：E k= （S k +S ki）/2 2= S k+S k i=2 S k +d ks1=0，d1+d2 +d 3 =1000当k=3 时 f 3 (s3 )=min{E 3 +C3 }=min{2s 3 +d 3 +1000+ 3d3 +32}= min{3000+ 2d 3+23 }= 3000+2(1000- s3)+(1000- s3) 2当k=2 时f 2 (s 2 )=min{E 2 +C2 + f3(s3)}=min{2s 2 +d 2 +1000+3d 2 + 22 +3000+2(1000- s3)+(1000- s3)2}=min{2s 2 +1000+4d 2 + 22 +3000+2(1000-s 2 -d 2 )+(1000- s2-d2)2}=min{6000+2d 2 +22 +(1000- s2-d2)2}只有当d 2=1000- S2 时f2(S2)取最小值6000+2 (1000- s2)+( 1000- s2)2f1(S1)=min{E1+C1+ f2(S2)}=min{2 S1+ d1 +1000+3 d1 +1+6000+2 (1000- S2)+(1000- S2) 2}=min{9000+4 d 1 +12+( 1000- d1 )2} =min{14000-6d 1+12}只有当d；=300时f i(S i)取最小值13100元此时S2= d1 + S1=300那么 d 2=1000- S 2=700, f 2（s 2）=9850 元 *kd 3=1000-d i -d 2=0, f 3（S 3 ）=3000 兀即：三个月的产量分别为 300、700、0时，总费用最小。

7-11.某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如表。

现将此三种产品运往市场出售，解：设：X k :第K 种产品的数目；V k :第K 种产品的利润； S k :第K 种产品之初的总重量；S k 1 S k X k W k ；f k （S k ）：第K~3种产品的总价值；f k（ S k ） =max{ X k V k +' f k 1 （ S 1）}且f 4 （ S 4 ）=0K=3： f 36） max 0 X 3 1M X 3 f 4（S 4）} max 0 X 3 1{80 X 3}K=2： f 2(S 2) max 。

x 2 2N2X 2 f 3(S 3)} max 。

x 22{130X 2 f 3(S 3 3X 2)}K=1：f i(SJ max。

3{V i X i f?©)} max。

为3{80X I f2(S 2X i)}答:故最大利润为260，产品数目为“ 0, 2, 0”或“1 , 0, 1”。

某公司需要对某产品决定未来4个月内每个月的最佳存储量，以使总费用最小。

已知各月对该产品的需求量和单位订货费用、存储费用如表7-23所示。

假定每月初订货于月末到货并入库，下月开始销售。

表7-23解：阶段k：月份k=1，2，3，4，5状态变量X k：第k个月初的存量决策变量r:第k个月的订货量状态转移方程：X k+1 =X k+r k-d k 决策允许集合：r k(X k)= {r k I r k> 0 d k+i w X k+i}={r k I d k+i w X k+r k-d k}阶段指标：C k r k +p k X kf5 (X5)=0 X5=0f k (X k) =min {V k(X k, r k)+f k+i(X k+i)}=min {C k r k+ P k X k + f k+i(X k+r kd)}对于k=4 X5=0 r4=0 X4=d4f4 (X4)=min {V4(X4, r4)+f5(X5)}=min { 30 X4}=900对于k=3F3 (X3)=min {V3(X3, r3)+f4(X4)}=min {C3r3+ P3X3 + f4(X4)}=min {40r3+ 40X3+ 900}=mi n{775r3+40x3+900}d4=X4 贝y d4=X3+r3-d3 r3+d3+d4-X3=70-X3f3(x3)=mi n{775(70-x 3)+40X3+900}=mi n{63250-735x 3}当k=2时f2 (X2) =min {C2r2+ P2x2 + f3(X3)}=mi n{850r 2+20X2+63250-735(X2+r2-d2)}=mi n{850r2+20X2+63250-735x2-735r2+33075}=min{96325-715x 2+115r2}R2(X2)={「2 r2 0 d3 X2+r3-d2 }={r2 r2 0 d3+d2 -x2 r3 }={r2 r2 0 85-X2 r3 }f2 (X2)=min {96325-715x2+115 X2+9775}=min{106100-830x 2}当k=1时f1 (X1)=min {850r 1+30x1+106100-830(x 1 +r1 -50)}=mi n{147600-800x 1+20r1}r1 (X1) = {n I n > 0 d2+d1 —XK D}={r1 I r1> 0 95-XK r1}f1 (X1)=min {147600-800 x1+20 (95-X1)}=min {149500-820 X1}根据题意X1=0 n*= 95-X1f1 (X1)=149500 r1*= 95r1*= 95x2 =x1+r1-d1 =45f2 (X2)= 68750r2*= 85 - 45=40x3 =x2+r2-d2=45+40-45=40f a (X3)=33850x4 = d4=30f4 (X4)=900某罐头制造公司在近5周内需要一次性地购买一批原料，估计未来5周内价格有波动，其浮动价格及概率如表7-24所示，试求各周的采购策略，使采购这批原料价格的数学期望值最小。

表7-24解：设阶段变量k, k 1,2,3,4,5，每一周表示一个阶段；状态变量Q，表示第k阶段的实际价格；决策变量U k，当U k=1，表示第k周决定采购；当U k=0,表示第k周决定等待。

S kE表示第k周决定等待，而在以后采用最优决策时采购价格的期望值；f k(S k)表示第k周实际价格为S k时，从第k周至第五周采用最优决策所得的最小期望值。

因而可写出逆序递推关系式为f k(S)=min{ Sk, 2E} S k€ {9,8,7} (1)由S kE和f k(S k)的定义可知S kE=E f k+1 (S k+1)=+1 (9)+ f k+1 (8)+ f k+1(7), (2)k=5因为如果在第五周原材料尚未购买，则不管实际价格如何，都必须采取采购策略。

f5(S)= S5 ,即f5(7) =7, f5(8)=8, f5(9)=9k=4S4E =0.4f5 (9)+0.3 f5 (8)+ 0.3 f5(7)=8.1® 9f4(S4)=min{ Si, S4E}=min{ S, }= 8, S4 87® 7所以在第四周如果价格为9，则等待下周购买，如果价格为8或7,则选择采购k=3S 3E =0.4f 4 (9)+0.3 f 4(8)+ 0.3 f 4(7)=7.74, s 3 9f 3( S 3)=min{ S 3, S 3E }=min{ S 3, }= 7.74, s 3 87,s 3 7所以在第三周如果价格为 9或 8，则等待下周购买，如果价格为 7，则选择购买 k=2 S 2E =0.4f 3(9)+0.3 f 3(8)+ 0.3 f 3(7)=7.518,s 2 9f 2( S 2)=min{ S 2, S 2E }=min{ S 2, }= 7.518,s 2 87,s 2 7所以在第二周如果价格为 9或 8，则等待下周购买，如果价格为 7，则选择购买k=1S 1E =0.4f 2(9)+0.3 f 2(8)+ 0.3 f 2(7)=7.3626,s 1 9f 1(S 1)=min{ S 1, S 1E }=min{ S 1, }= 7.3626,s 1 87,s 1 7所以在第一周如果价格为 9或 8，则等待下周购买，如果价格为7，则选择购买某企业有1000万元资金可在三年内每年初对项目 A 、B 投资，若每年初投资项目 A ,则年末以的概率回收本利 2000万元或以的概率丧失全部资金；若投资项目 B ,则年末以的概率 回收本利 2000万元或以的概率回收 1000万元。