初中数学竞赛——余数定理和综合除法
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
七年级数学竞赛 第4讲 带余除法
现有某种变换，将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x’：x→x’，x’为(3x +m)被 26
除所得余数与 1 之和 (1≤x≤26，1≤m≤26).
已知运用此变换，明文 H 译为密文 T，则密文 QI(“启”的汉语拼音)的明文是字母
。
(深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题)
解题思路：阅读理解，先求出 m 的值，了解明文变换为密文的规则。
从盒中任取一些小球，把每一个小球都变成 7 个小球后放回盒中；如此进行，到某一时刻，魔术师停止取球
变魔术时，盒中球的总数可能是（ ）。
A．1990 个
B．1991 个
C．1992 个
D．1993 个
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13．1898 年 6 月 9 日英国强迫清政府签约，将香港土地租借给英国 99 年。1997 年 7 月 1 日香港回归祖国，
有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是
著名的斐波那契数列，则这列数中的第 2014 个数被 7 除的余数为
。
(北京市竞赛题)
8．除以 8 和 9 都余 1 的所有三位数的和是（
A．6492
B．6565
C．7501
限(“五羊杯”竞赛题)有人
；若将此数保留 2010 个有效数字，则所得
新数的各位数字中 1 的个数是
。
（2）已知
1 7
=
0.a1a2a3
an
(其中 a1，a2，a3，…都是介于 0 和 9 之间的整数)，若小数点后连续 n
个数字之和 a1+a1+a3+…+an=2013，则 an=
最新初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四.因式分解（试根法）【例22】分解因式：354-+.x x【例23】分解因式：32x x x+++.6116【例24】分解因式：432x x x x+--+.2928【例25】分解因式：432-+--.93732x x x x【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b --+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.中考文言文阅读精选100题（附答案）（一）阅读下列文言文语段，完成1－ 5题。
初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛数论定理
初中数学竞赛中常用的数论定理：
1. 质数与因数：任何一个整数都可以唯一分解成若干质数的乘积，而且所有的因子都由这些质因子的指数作出来。
2. 最大公因数和最小公倍数：两个正整数a和b的最大公因数和最小公倍数分别记作gcd(a,b)和lcm(a,b)。
它们有许多重要性质可以应用。
3. 素性质数列：素数可以用许多方式列举出来，例如欧拉函数、Wilson定理、费马小定理等等。
其中一些方法在竞赛中比较常用。
4. 同余定理：如果a和b除以正整数m的余数相同，即
a≡b(mod m)，那么a和b就被称为模m同余。
同余关系具有传递性、对称性和反对称性，可以用来证明各种数学恒等式和不等式。
5. 等比数列：等比数列指的是一个数列中每个数都是前一个数乘以一个固定的比例因子。
一些有用的定理包括调和平均值不小于几何平均值、柯西不等式等等。
6. 解方程：竞赛中常常需要解各种复杂的方程，例如二次方程、方程组、移项变系数、绝对值不等式等等。
有些常见的技巧包括配方法、因式分解、代数恒等式、三角变换等等。
综合除法、余数定理
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0•”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q （x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x 2+x-6=（x+3）（x-2），又x 2+x-6是多项式2x 4+x 3-ax 2+bx+a+b-1的因式． ∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f （-3）=0，f （2）=0，即 ∴a=16，b=3．()()32223223xx x x +-⨯+-的積為5427x x +-21146x x -+。
【七年级奥数】第15讲 综合除法和余数定理（例题练习）
第15讲综合除法和余数定理——练习题一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.计算3x3−5x+6 除以(x-2)所得的商式及余数．2.求2x3+5x2−4x4+8 除以x+3所得的商式及余数．3.用综合除法计算(−6x4−7x2+8x+9)÷(2x−1) ．4.用综合除法计算(27x3−9x2+5x−2)÷(3x−2) ．5.求除以x+1所得的余数．6.设f(x)=x4+3x3+8x2−kx+11 被x+3整除，试求k的值．7.设f(x)=2x3+x2+kx−2 能被2x+整除，求k 值.8.设f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8 ，求f(-) ．9.设f(x)=x4−ax2−bx+2 被(x+1)(x+2)整除，求a、b的值．10.求f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8 除以2x-4所得的余数．11.若f(x)=2x3−3x2+ax+b 除以x+1所得的余数为7，除以x-1所得的余数为5，试求a、b的值．12.设f(x)=x2+mx+n (m、n都是整数)既是多项式x4+6x2+25 的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5 的因式，求f(x) 。
13.多项式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余数分别是1、2、3，试求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。
14.已知多项式f(x)=ax3+bx2−8x−12 被x-2和x-3整除，试求a、b的值，并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。
15.若x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，求q与r的值．16.已知关于x的三次多项式，f(x)除以x2−1 时，余式是2x-5；除以x2−4 时，余式是-3x+4．求这个三次式．17.一个整系数三次多项式f(x)，有三个不同的整数a1、a2、a3，使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1 ．又设b 为不同于a1、a2、a3的任意整数，试证明：f(b)≠1.答案解析部分一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.【答案】解：用综合除法计算如下：∴商式为：3x2+6x+7，余数为：20.【解析】【分析】综合除法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.2.【答案】解：将多项式按x的降幂排列为：−4x4+2x3+5x2+8，由综合除法得：∴商式为：-4x3+14x2-37x+111，余数为：-325.【解析】【分析】综合法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.3.【答案】解：∵(2x−1)=2（x-），∴先用(−6x4−7x2+8x+9)÷（x-），∴−6x4−7x2+8x+9=（x-）（-6x3-3x2-x+）+，=2（x-）×（-6x3-3x2-x+）+，=(2x−1)（-3x3-x2-x+）+，∴商式为：-3x3-x2-x+，余数为：.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．4.【答案】解：∵(3x−2)=3（x-），∴先用(27x3−9x2+5x−2)÷(x-)，∴27x3−9x2+5x−2=(x-)（27x2+9x+11）+，=3(x-)×（27x2+9x+11）+，=(3x−2)（9x2+3x+）+，∴商式为：9x2+3x+，余数为：.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．5.【答案】解：综合除法计算如下：∴余数为8.【解析】【分析】综合法过程如下：( 1 )被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．( 2 )将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．( 3 )将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．由此计算即可得出答案.6.【答案】解：∵设f(x) 被x+3整除，由余数定理可得：f(-3)=0，∴f(-3)=（-3）4+3×（-3）3+8×（-3）2-k×（-3）+11=0，解得：k=-.∴k值为-.【解析】【分析】因为f(x) 被x+3整除，由余数定理可得f(-3)=0，代入、解方程即可.7.【答案】解：∵2x+=2（x+），∴ f(x)=2x3+x2+kx−2 能被x+整除，由余数定理可知：f(-)=0，即2×（-）3+（-）2+（-）k-2=0，解得：k=-7.∴ k值为-7.【解析】【分析】如果f(x)能被ax+b (a≠0且a≠1)整除，则f(x)能被x+整除，由余数定理可知f（-）=0，代入、解方程即可.8.【答案】解：∵f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8，∴ f(-)=3×（-）5-17×（-）4+12×（-）3+6×（-）2+9×（-）+8，=---+-3+8，=5.另解：原题等介于求（3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8 ）÷（x+）的余数，用综合法计算得：∴余数为5，即f(-)=5.【解析】【分析】根据题意将x=-代入f（x），计算即可得出答案.9.【答案】解：∵ f(x) 被(x+1)(x+2)整除，∴ f(x) 被x+1和x+2整除，根据因式定理，有f(−1)=(−1)4−a×(−1)2-b×(−1)+2=a-b=3，f(-2)=（-2）4−a×（-2）2-b×（-2）+2=2a-b=9，即，解得：.∴a=6，b=3.【解析】【分析】根据因式定理，结合题意可得f(−1)=0，f(2)=0，即得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.10.【答案】解：f（x）先按x的降幂排列：f(x)=5x5+3x4−8x3−x+8，∵2x-4=2（x-2），∴先用（5x5+3x4−8x3−x+8）÷（x-2），∴∴5x5+3x4−8x3−x+8=（x-2）（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，=2（x-2）×（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，=（2x-4）（x4+x3+9x2+18x+）+150，∴f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8 除以2x-4所得的余数是150.【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b (a≠0且a≠1)，可先用f(x) 除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r= (ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x) ，余数仍为r．11.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：f(-1)=7，f(1)=5 ，即，解得：.∴a=-3，b=9.【解析】【分析】根据余数定理可得f(-1)=7，f(1)=5 ；从而得一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.12.【答案】解：令g（x）= x4+6x2+25 ，h（x）=3x4+4x2+28x+5 ，∵f(x)既是多项式x4+6x2+25 的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5 的因式，∴f(x)必定是g（x）与h（x）差的因式，∴3g（x）-h（x）=3（x4+6x2+25 ）-（3x4+4x2+28x+5 ），=14x2-28x+70，=14（x2-2x+5），∴f(x)=x2-2x+5.【解析】【分析】根据g（x）、h（x）能被f(x)整除，所以他们的和、差、倍都能被f(x)整除，通过3g（x）-h（x）实现降次，从而得出f(x).13.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，设f(x) 除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d) ，依题可得：，解得：.∴所求的余式为x．【解析】【分析】设f(x) 除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d) ，利用余数定理列出方程组，解之即可．14.【答案】解：∵ f(x)=ax3+bx2−8x−12能被x-2和x-3整除，∴ f(2)=0，f(3)=0，即，解得：，∴ f(x)=-3x3+13x2−8x−12 ，又∵ f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被x-2和x-3整除，∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被(x-2)(x-3)整除，设f(x) 除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12=(x−2)(x−3)⋅（cx+d），即-3x3+13x2−8x−12=cx3+（d-5c）x2+（6c-5d）x+6d，∴，解得：，∴商式是-3x-2.【解析】【分析】根据题意由余数定理可知f(2)=0，f(3)=0，列出一个关于a、b的方程，解之可得f （x）解析式；根据题意可得f(x)能被(x-2)(x-3)整除，设f(x) 除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，由待定系数法列出方程，解之即可.15.【答案】解：∵ x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，∴令f（x）= x5−5qx+4r = (x−2)2（ax3+bx2+cx+d），即x5−5qx+4r =ax5+（b-4a）x4+（c-4b+4a）x3+（d+4b-4c）x2+4（c-d）x+4d，∴a=1，b-4a=0，c-4b+4a=0，d+4b-4c=0，4（c-d）=-5q，4r=4d，解得：a=1，b=4，c=12，d=32，q=16，r=32，∴q=16，r=32.【解析】【分析】根据x5−5qx+4r 被(x−2)2整除，从而可设f（x）= x5−5qx+4r = (x−2)2（ax3+bx2+cx+d），根据待定系数法列出方程，解之即可.16.【答案】解：依题可设：f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5），f(x)=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），∴（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），即ax3+bx2+（2-a）x+（-b-5）=cx3+dx2+（-4c-3）x+（4-4d），∴，解得：.∴这个三次多项式是-x3+3x2+x-8．【解析】【分析】根据题意可设f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），化简，根据待定系数法列出方程，解之即可.17.【答案】解：依题可设：f(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)+1（a≠0），∴f（b）=a(b-a1)(b-a2)(b-a3)+1，∵b为不同于a1、a2、a3的任意整数，∴a(b-a1)(b-a2)(b-a3)≠0，∴f（b）=a(b-a1)(b-a2)(b-a3)+1≠1，即f（b）≠1.【解析】【分析】根据题意设f(x)=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)+1（a≠0），将x=b代入得f（b），由b为不同于a1、a2、a3的任意整数得a(b-a1)(b-a2)(b-a3)≠0，从而得证.。
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-第七节 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：)()()()(x r x q x g x f +⋅=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。
当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解： 余式商的各项的系数82632241264414072++--+--++-∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。
上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。
20.第十三讲整式除法－综合除法－余数定理
第十三讲 整式除法－综合除法－余数定理姓名： 班别： 使用日期： 自主评价：一 基础训练1、填空：（1）当x 时，式子0(2)1x +=；（2）1m n m n x x ++-÷= ；（3）4365______a b a b ⨯=；（4）1321()_____n n n x y xy ++÷=；（5）523353[()]()y y y -÷-⋅= ；（6）若332232()()m n x y x y x y ÷=，则m = ，n = .2、条件求值：（1）已知2m a =，6n a =. 则22m n a -= ；（2）已知103m =，102n =. 则2100m n -= ； （3）已知23m a =，9n b =. 则m = ，n = ；（4）若1232252716(23)288m m n n -++-⨯÷⨯=. 则m = ，n = .3、计算：（1）35246323(1596)(3)a x a x a x a x +-÷-= ；（2）222211(639)(3)m n m n m n m n a b a b a b a b ++++-+÷-= ；（3）2222[5(2)(2)](2)xy x y y x x y ---÷-= ；二 拓展提高【例1】已知311(1)14n n ---=，求n 的值.【例2】已知多项式5432615331x x x x x -+-++除以23x 的余式为1x +，求商式.◆ 被除式＝除式×商式＋余式 ⇒ 商式＝（被除式－余式）÷除式◆ 设被除式为()f x ，除以为()g x ，商式为()q x ，余式为()r x ，则上式可以表示为： ()()()(f x g x q x r x=⨯+；当余式()r x 为常数时，有()()()f x g x q x r =⨯+ 1、当除式()g x x a =-（除式为一次式）时，显然有()()()f x x a q x r =-⨯+； 当x a =时，有()f a r =；我们把这个性质叫做余数定理2、反之当()0f a =，说明()()()0f a x a q x =-=，所以()x a -是()f x 的一个因式， 或者()f x 被x a -整除，我们把这个性质，叫做因式定理【例3】已知32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -的余数为5， 求,a b 的值.解：由余数定理，得：(1)7f -=；(1)5f =，即237235a b a b ---+=⎧⎨-++=⎩ ，解得3,9a b =-=. 【例4】已知多项式432()3811f x x x x kx =++-+被3x +整除，求k 的值解：由因式定理，得：(3)0f -=，即432(3)3(3)8(3)(3)110k -+⨯-+⨯--⨯-+=解得，833k =-. ◆ 综合除法——多项式除以多项式【例5】计算：23(521)(12)x x x +-÷+.◆ 两个多项式相除，先将两个多项式按同一字母降幂排列（若有缺项，可用0补足）.【例6】求543(691418)(4)x x x x x ++-+÷+的商式和余式.◆ 此题可以用余数定理求余数，再求商式；但直接利用综合除法求解更方便！【例7】已知25x =-，求式子4328161x x x x -+-+的值.◆ 此题仍然可以转化为多项式除以多项式来完成！三 竞赛训练1、已知除式为221x x -+，商式为221x x +-，余式为4x ，求被除式.2、已知331x x -=，求代数式4329672999x x x x -+-+的值.3、如果多项式543(3811)(2)x x x x m x ++++÷+所得余式为m -，求实数m 的值.4、已知多项式432235x x ax x b -+++既能被1x +整除，也能被2x -整除， 求实数,a b 的值.5、已知多项式422x mx nx --+被(1)(2)x x ++整除，求,m n 的值.6、已知多项式()f x 除以(1),(2),(3)x x x ---所得的余数分别为1,2,3.求这个多项式()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余数.。
初中数学竞赛余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
七年级超素班第七讲 综合除法 余式定理
七年级超素班第七讲综合除法余式定理7 综合除法综合除法与余式定理代数式3 1.掌握一元多项式的除法2.理解并掌握余氏定理并会应用★★☆综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例1.求多项式f(x)=7-5x 3x 2+除以（x+2）所得的商式和余数。
练习：用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
例2.用综合除法计算()）（12x 8x -7x -6x 234+÷+练习：求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
例3.（1）求x-1除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数 （2）求2x-2除f （x ）=56x -4x -7x 245+所得的余数例4.多项式f （x ）除以x-1，x-2，所得的余数分别为3和5，求f （x ）除以（x-1）（x-2）所得的余式。
例5. 一个关于x 的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
例6.a ，b 是不相等的常数，若关于x 的整式f （x ）被x-a 和x-b 整除，求证：f （x ）也被（x-a ）（x-b ）整除。
综合除法与余数定理(含答案)-
综合除法与余数定理数学运算既要求正确，还要求迅速。
简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。
例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。
同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。
本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。
1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。
由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。
例1 计算（）分析把除式变成形式用综合除法，解：，∴商式为，余式为-38说明用综合除法计算时要注意：（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；（2）除式要变成的形式（b可以是负数）例2用综合除法计算（1）；（2）解：（1）∴商式为，余式为-3（2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。
说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。
2、余数定理若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。
余数定理多项式除以()所得的余数等于。
特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。
由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。
余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。
例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。
解：设由题意得解得 a=3,b=1,c=2。
∴说明因能被整除，所以是的因式，于是可设，再由，，列出a,b的方程求解。
初中数学竞赛重要定理及结论(最新版、最完整版)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论陈氏版平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．【蝴蝶定理】AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP =QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 【垂线定理】2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥ 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 【正弦定理】R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 【余弦定理】C ab b a c cos 2222-+= A cb b c a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=【张角定理】ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
综合除法
综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0 ”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,a n-b n能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，a n-b n被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把a n-b n看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f（a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把a n-b n看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=b n-b n=0，所以f（a）=a n-b n能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-b n=0，所以a n-b n能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-b n=-2b n，故a n-b n被（a+b）除的余数为-2b n．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）=．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（-）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f （x ）的因式．4．令f （x ）=x 3+y 3+z 3-3xyz ，当x=-（y+z ）时，f （x ）=f （-（x+y ））=-（y+z ）3+y 3+z 3+3（y+z ）yz=-（y+z ）3+（y+z ）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z ， 又因为原式是关于x ，y ，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z ）[a （x 2+y 2+z 2）+b （xy+yz+zx ）]，比较两边x 3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b ）， ∴b=-1，故原式=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）． 5．由因式定理有f （- ）=0和f （ ）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．1.設()43224f x x x x =--++，()324369g x x x x =+-+，則(1)()()f x g x +=____________，(2)()()f x g x -=____________。
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
初中数学竞赛——余数定理和综合除法余数定理和综合除法，这两个知识点对于初中生来说非常重要，也是重点。
很多初中生都说余数定理好记，在解答题的时候会经常碰到困难。
今天就给大家讲讲这两个知识点：其中余数=1~7,是余数定理的重点。
我们来看一下关于这几种余数定理的解题步骤。
第一步：如果题目没有要求你把余数字除以3,那么就把它定义为1 (除3以外);如果题目没有说你需要把余数除以4,那么就把它定义为2 (除以3以外);如果没说需要把余数除以6,那么就把它定义为0 (余+1)。
第二步：我们来看一下这道题的题型结构：选择题和填空题，基本每一种题型都有一个相同的步骤。
第三步：在题目中求出这个余数是多少。
第四步：如果题目没有要求我们求出这个余值，那么可以直接写出；如果只是要求求一个余值的话就写一个等号之后再写出来吧。
一、余数定理是关于把一个整数或者一个函数做转化的，所以在解这些题目时时刻刻都要牢记这个结论。
下面给大家介绍一个很简单的解题方法：可以用自己的思维来思考。
也可以去分析一些更好的解题方法。
首先是，先将自己已知的这几种题目转化为余数，然后计算得到我们需要的结果。
对于余数这种题型来说，它的计算步骤是比较简单的。
如果直接来计算（不会思考就直接写),那肯定没有任何问题，所以大家要多去思考和记忆这几种题型。
最后再算一次，我们也可以得出自己所能得到的余数是多少。
所以说，如果我们不知道这个余数可以怎么来理解的话，那还是不要轻易尝试这种方法哦！还有一种更加简单一些、甚至没有用上计算算法或者更简单一些的方法——综合除法。
这个就很好理解了吧！二、余数定理在我们上面说到了余数定理是初中生的重点，很多初中生说这一点都很难，主要是因为没掌握它的知识。
其实只要掌握了它的知识，我们就是初中生了，只要掌握了它，我们也能很容易地解题。
所以如果你想让你的数学能力提高不少，那么掌握它就绝对不是难事了：它给你提供了一些非常简单、非常容易的公式和解题方法，让你可以更快地找到解题的思路和方法；它可以让你在解题中不断地学习新知识或新技能；它也能够让你在解题后对结果有一个更深层次地认识、理解和掌握。
初中数学竞赛辅导资料(16)
初中数学竞赛辅导资料（16）整数的一种分类甲内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。
－9＝5（－2）＋1。
）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。
例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。
4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
乙例题例1. 今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，∴99天后是星期一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳
一．除法定理：
()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使
()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.
二．余数定理：
对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有
()()()()f x x c g x f c =-+
也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .
三．试根法的依据（因式定理）：
如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：
假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.
特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题
一. 多项式的除法
【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得
的商式()Q x 和余式()R x .
【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式
()R x .
二. 综合除法
【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.
【例5】用综合除法求()
f x除以()
g x所得的商式()
Q x和余数R.
（1）2
()253
f x x x
=--，()3
g x x
=-；
（2）32
()321
f x x x
=-+，
1 ()
3
g x x
=+.
【例6】用综合除法计算：432
(6534)(21)
x x x x x
---+÷+.
【例7】先用综合除法求出()
f x除以()
g x所得的商式和余式，不再作除法，写出()
f x除以()
h x的商式
和余式.32
()243
f x x x x
=-+-，()3
g x x
=-.
（1）()2(3)
h x x
=-；（2）
1
()(3)
2
h x x
=-.
三.余数定理和多项式理论
【例8】43
()241
f x x x x
=+++，()2
g x x
=+，求余数R的值.
【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？
【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；
（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.
【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .
【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.
【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.
【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能
被积()()x a x b --整除.
【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的
余式.
【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是
34x --.求这个三次多项式.
【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，
求这个三项式.
【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()
g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.
【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.
【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.
【例21】如果当x取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()
f x.
四.因式分解（试根法）
【例22】分解因式：354
-+.
x x
【例23】分解因式：32
+++.
x x x
6116
【例24】分解因式：432
+--+.
x x x x
2928
【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.
【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++
【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-
【例28】 分解因式：32511133
x x x ---
【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-
【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-
【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+
思维飞跃
【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.
【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式
4234285x x x +++的因子，求()f x .
【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b
--+--））.
【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多
得的余式.
【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =+++
+++整除.
作业
1. 分解因式：
（1）3246a a a -++.
（2）43233116a a a a +---.
（3）4322347136x x y x y xy y --+-.
2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.
3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)
x x x ---所得的余式.
4. 若554x qx r -+能被
22)x -（整除，求q 与r 的值.
5.分解因式：32
+-.
x x
45
6.分解因式：432
x x x x
+--+.
2344
7.分解因式：432
x x x x
+++-.
2744
8.分解因式：5432
+++++.
271214103
x x x x x
9.分解因式：33
---.
x y x y x y
(2)(2)
10.分解因式：3223
x x y xy y
--+.
6532
11.分解因式：32
x a b c x ab bc ca x abc
+++++++.
84()2()
12.分解因式：32
----+-.
(1)(3)(2)
a x ax a x a
13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.
14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.
15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使
123()()()1f a f a f a ===.
又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.
16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。