互斥事件、独立事件的概率
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
概率与统计1
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率
第51讲 互斥与独立事件的概率、条件概率
第 51讲 互斥与独立事件的概率、条件概率【考点解读】1．了解互斥事件的概率加法公式. 2．了解独立事件和条件概率的概率公式.【知识扫描】1．不会同时发生的两个事件叫 ．对互斥事件的理解，可以从集合的角度去加以认识.如果A 、B 是两个互斥事件，反应在集合上，是表示A 、B 这两个事件所包含结果组成的集合的交集为空集． 2．不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫 ．当事件A 与事件B 互斥时，有加法公式 ．特别地，若事件A 与B 为对立事件，则P(A)与P(B)之间的关系是 ．3．事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件．4．设A ，B 是两个事件，则A ·B 表示这样一个事件：它的发生，表示事件A ，B ，类似地可以定义事件A 1·A 2·……A n .5．两个相互独立事件A ，B 同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)＝ 一般地，如果事件12n A ,A ,,A 相互独立，那么：P(A 1·A 2……A n )＝ . 6．n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是1k kn k n n P (k )C P (P )-=-．7. 条件概率：“事件A 发生的条件下事件B 发生的概率等价于局限在事件A 发生的范围内考虑事件A 和事件B 同时发生的概率”，从而将条件概率转化为古典概型的概率，用古典概型的概率公式推导出条件概率的计算公式.)()()()()(A P AB P A n AB n A B P ==将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =【考计点拔】牛刀小试：1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0 B.116C.14D.12解析：选B.EF 表示E 与F 同时发生，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116.故选B.2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125B.16125C.48125D.96125解析：选C.由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生，故P (X ＝2)＝C 32·(45)2·(1－45)＝48125.3．（湖北11年高考）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
高中数学概率与统计知识点
高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。
而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。
对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。
2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。
5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。
相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。
2)必然事件与任何事件都是相互独立的。
3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。
6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。
概率与统计中的独立与互斥事件
互斥事件的性质
互斥事件的定 义：两个事件 A和B是互斥的， 如果它们不能
同时发生。
概率与统计中的互斥事件：在决策分析中，互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，即一个事件的发生会阻止另一个 事件的发生。例如，在体育比赛中，每个参赛选手只能获得一个名次，一个选手获得第一名就会阻止其他选手获得该名次。
独立与互斥事件的实例分析：在决策分析中，独立与互斥事件的应用非常广泛。例如，在金融投资中，投资者可以根据不 同投资品种之间的独立性来分散投资风险；在生产管理中，企业可以根据不同生产环节之间的互斥性来优化生产流程。
独立与互斥事件的实例分析
第五章
生活中的独立与互斥事件实例
独立事件实例：抛掷一枚骰子，出现偶数点与出现点数大于3的事件是 独立事件，因为一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：抽奖活动中，中奖与不中奖是互斥事件，因为两个事件 不能同时发生。
独立事件实例：投篮命中与投篮未命中是独立事件，因为一个事件的发 生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：在掷骰子游戏中，出现1、2、3和出现4、5、6是互斥 事件，因为两个事件不能同时发生。
概率论中的经典独立与互斥事件问题解析
蒙提霍尔问题：一个著名的概率论问题，涉及到独立事件和概率计算。
生日悖论：一个经典的独立事件与互斥事件问题，通过实例分析理解概率 论在实际中的应用。
投掷硬币实验：通过投掷硬币的实验，分析独立事件和互斥事件的概率， 理解概率论的基本概念。
独立和互斥的关系图
独立和互斥的关系图如下：
独立和互斥的区别：
1、性质不同：相互独立事件可能是互斥事件，也可能不是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件。
相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率P(A*B)=P(A)*P(B)。
互斥事件指的是不可能同时发生的两个事件。
2、关系不同：互斥事件中的事件个数可以是两个或多个，而对立事件只是针对两个事件而言的，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
3、影响不同：独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。
互斥事件是不可能同时发生的事件即交集为空，但可能会产生相互影响(比如A发生，B就一定不发生了)。
从联系上来说独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥的，而互斥事件一定不是独立事件。
2-互斥事件独立事件的概率(文)
(1(2(3互斥独立事件的概率(文)例,甲、乙两人独立地破译1个密码,他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4,求下列事件的概率： (1)两人都译出密码; （2）两人都译不出密码; （3）恰有一人译出密码; （4）至多一人译出密码； （5）译出密码。
例,有4名学生参加体育达标测验,4人各自合格的概率分别是1/3,1/4,1/5,1/6,求以下的概率: （1）四人中至少有二人合格的概率; （2）四人中恰好只有二人合格的概率.例,如图,电路中每个开关闭合的概率都为0.7,计算这段时间内线路正常工作的概率, 练习:1、从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2.45g 的概率是0.22，质量不小于2.50g 的概率是0.20，那么质量在[)2.45,2.50g 范围内的概率是________.2、甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果他们预报准确的概率分别为0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是___________.3、甲、乙两人下棋,甲不输的概率是80%,两个下成和棋的概率是50%,则甲获胜的概率为_______.4、抛掷一枚骰子，若事件A 为“朝上一面的点数是奇数”，事件B 为“朝上一面的点数不超过3”，求P （A+B ）5、如图:用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成系统N,当元件A 正常工作且元件B 、C 都正常工作,或当元件A 正常工作且元件D 正常工作时,系统N 正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为.4,3,3,2 （1）求元件A 不正常工作的概率; （2）求元件A 、B 、C 都正常工作的概率; （3）求系统N 正常工作的概率.作业：1、某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中耙”的互斥事件是 （ ） （A ）至多有一次中耙 （B ）两次都中耙 （C ）两次都不中耙 （D ）只有一次中耙2、甲、乙两种型号的导弹同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率为 .3、某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，计算这个射手在一次射击中 （1）射中10环或9环的概率 ;（2）不够8环的概率 .4、两个事件互斥是这两个事件对立的______________条件.5、一段外语录音，甲能听懂的概率是80%，乙能听懂的概率是70%，两人同时听这段录音，其中至少有一人能听懂的概率是多少？6,（03天津）有三种产品,合格率分别是0.90，0.95和0.95,各抽取一件进行检验。
互斥事件概率公式
互斥事件概率公式
互斥事件指的是两个事件中只能发生其中一个的情况，因此它们的概率之和等于1。
假设事件A和事件B是互斥事件，它们的概率分别为P(A)和P(B)，则互斥事件概率公式为：
P(A或B) = P(A) + P(B)
这是因为在A和B中只能出现一个事件，因此它们的概率之和等于总概率P(A或B)。
有时候，两个事件虽然不是完全互斥的，但它们之间会有重叠部分。
在这种情况下，它们的概率之和可能大于1。
如果两个事件A和B 不是互斥的，且它们之间有重叠部分，那么它们的概率可以用下面的公式计算：
P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)
其中，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，也称为它们的交集。
这个公式被称为加法公式或容斥原理，它适用于不完全互斥的事件的概率计算。
值得注意的是，互斥事件和独立事件是不同的概念。
独立事件指的是两个事件之间没有任何关系，它们的概率计算采用乘法公式，不会出现概率之和大于1的情况。
相互独立事件的概率计算公式(一)
相互独立事件的概率计算公式(一)相互独立事件的概率在概率论中，相互独立事件是指一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
当我们面对多个相互独立事件时，我们可以使用概率来计算它们同时发生或单独发生的可能性。
下面是一些与相互独立事件的概率计算相关的公式和示例。
1. 事件的概率事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。
通常用P(A)表示事件A的概率。
例子：掷一颗骰子，事件A表示出现1点。
我们知道一颗骰子有六个面，每个面的点数是等概率的，所以P(A) = 1/6。
2. 互斥事件的概率互斥事件是指两个事件不能同时发生。
如果事件A和事件B是互斥事件，那么它们的概率可以通过简单相加来计算。
例子：在一副标准扑克牌中抽取一张牌，事件A表示抽到红心，事件B表示抽到黑桃。
显然，红心和黑桃是互斥的，所以P(A或B) = P(A) + P(B) = 26/52 + 26/52 = 1/2。
3. 相互独立事件的概率相互独立事件是指两个事件的发生不会相互影响。
如果事件A和事件B是相互独立事件，那么它们的概率可以通过简单相乘来计算。
例子：抛一枚硬币两次，事件A表示第一次抛出正面，事件B表示第二次抛出正面。
由于每次抛硬币的结果都是独立的，所以P(A且B) = P(A) * P(B) = 1/2 * 1/2 = 1/4。
4. 多个相互独立事件的概率当面对多个相互独立事件时，我们可以使用相应的概率公式来计算它们的联合概率或条件概率。
联合概率联合概率是指多个事件同时发生的概率，通常用P(A且B)表示。
计算多个相互独立事件的联合概率时，只需要将它们的概率相乘即可。
例子：在一副标准扑克牌中抽取两张牌，事件A表示第一张牌是红桃，事件B表示第二张牌是黑桃。
由于抽取每张牌都是相互独立的，所以P(A且B) = P(A) * P(B) = 26/52 * 26/51 ≈ 。
条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
通常用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下的概率。
互逆互斥独立的关系概率论
互逆互斥独立的关系概率论引言在概率论中，我们经常需要分析事件之间的关系。
其中互逆、互斥和独立是最为常见的三种关系。
本文将深入探讨互逆、互斥和独立关系，并通过实例来解释这些概念。
互逆关系互逆关系指的是两个事件同时发生或者同时不发生的情况。
互逆事件可以用互补事件来描述，即事件A的互补事件为事件A的补集，记作A'。
当事件A发生时，事件A'不发生，反之亦然。
互逆关系中，事件A和事件A'的概率之和等于1。
这是由于在所有可能的情况下，事件A和事件A'必然有一个发生。
设事件A的概率为P(A)，则事件A'的概率为P(A')=1-P(A)。
互斥关系互斥关系指的是两个事件不可能同时发生的情况。
如果事件A和事件B互斥，那么它们的交集为空集。
换句话说，当事件A发生时，事件B必然不发生，反之亦然。
互斥关系中，事件A和事件B的概率之和等于各自概率的和。
设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则事件A和事件B的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
独立关系独立关系指的是两个事件之间没有相互影响的情况。
如果事件A和事件B独立，那么它们的发生与否对对方的概率没有任何影响。
在独立关系中，事件A和事件B的概率乘积等于各自概率的乘积。
设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则事件A和事件B的概率为P(A∩B)=P(A)·P(B)。
实例分析为了更好地理解这些概念，我们来看一个具体的实例。
假设有一副52张标准扑克牌，从中取出一张牌。
事件A表示取到黑桃牌，事件B表示取到红心牌。
现在我们来判断事件A和事件B之间的关系。
首先，黑桃牌和红心牌是互斥的，因为同一张牌不能既是黑桃牌又是红心牌。
所以，P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(黑桃牌)+P(红心牌)=1/4+1/4=1/2。
同时，黑桃牌和红心牌是独立的，因为取到一张黑桃牌的概率与是否取到红心牌没有关系。
所以，P(A∩B)=P(A)·P(B)=1/4·1/4=1/16。
相互独立事件同时发生的概率
解（1）记“在一局比赛中，甲获胜”为 事件A，甲3：0获胜相当于在3次独立重 复试验中事件A发生了3次，根据n次独立 重复试验中事件发生k次的概率公式,甲3： 0获胜的概率是：
P1 P3 (3) C 0 .6 0 .216
3 3 3
答：甲3：0获胜的概率是0.216
(2)甲3：1获胜即甲在前3局中有2局获胜，且 第4局获胜。记 “甲在前3局中有2局获胜”为 A2 ，“甲在第4局获胜”为事件 A1 事件 ，由 于它们是相互独立事件，则甲3：1获胜的概率 是：P2 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
3.对立事件的概率的和等于1。即 P(A)＋P( A )＝1 或P( A )=1-P(A)
4.相互独立事件同时发生的概率公式：
P A B P A P B
问题1：
某射手射击1次，击中目标的概率是0.9。他连 续射击4次,且各次射击是否击中相互之间没有影响， 那么他第二次未击中其它三次都击中的概率是多少？
= P A A A A = P A A A A
P A1 A2 A3 A4 = P A1 A2 A3 A4
1 2 3 4
1
2
3
4
P (1 P )
3
1
归 纳：
某射手射击一次，击中目标的 概率是0.9，求他射击4次恰好击中 目标3次的概率。
三、公式
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率 计算公式：
Pn k C p 1 p
k n k
nk
或 Pn k C p q
k n k
概率与统计中的事件的独立性与互斥性
概率与统计中的事件的独立性与互斥性在概率与统计领域中，事件的独立性与互斥性是两个重要的概念。
独立性指的是两个或多个事件之间的发生没有相互影响；而互斥性则表示两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即不能同时发生。
本文将详细介绍事件的独立性与互斥性的概念、特点以及在概率计算中的应用。
1. 独立性的概念事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与不发生之间没有相互影响。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，并且事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率产生影响，那么我们说事件A和事件B是独立的。
2. 独立性的特点事件的独立性具有以下几个特点：1) 两个事件同时发生的概率等于它们分别发生的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
2) 两个事件同时不发生的概率等于它们分别不发生的概率的乘积。
即P(A'∩B') = P(A') * P(B')。
3) 事件的独立性与事件的互补性无关。
即事件A的独立性与事件A 的补事件（A'）的独立性无关。
3. 独立性的应用独立性在概率计算中有着广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用场景：1) 独立试验：当进行多次独立试验时，我们可以利用独立性的性质来计算事件的概率。
例如，抛掷一枚硬币，每次独立抛掷的结果都是相互独立的，这样我们可以计算出出现正面的概率为1/2。
2) 条件概率的计算：在已知某些事件已经发生的条件下，我们可以利用独立性来计算其他事件发生的概率。
例如，已知某个人患有某种疾病的概率为0.1，而在此疾病患者中，接受某种血液检测的概率为0.8，那么在已知某人接受该血液检测的情况下，他患病的概率为多少？3) 独立事件组合的概率计算：当多个事件之间相互独立时，我们可以利用独立性来计算多个事件同时发生或者同时不发生的概率。
例如，抛掷两枚硬币，求两个硬币都是正面的概率。
4. 互斥性的概念事件的互斥性是指两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即不能同时发生。
高中数学概率和统计知识点
高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ;设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式()mP A n =求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝kn k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kk n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[解答过程]1.20提示:51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例1．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===， ()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例12．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=， 12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为11235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=． （Ⅱ）同解法一．离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则p E 1=ξ，D ξ =2p q 其中q=1-p.例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ，891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ；工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．抽样方法与总体分布的估计 抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 典型例题例1.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= .解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例2．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63．正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 222)(21)(σμπσ--=x ex f ，x R ∈ 其中σ、μ为常数，并且σ＞0，则称ξ服从正态分布，记为~N ξ（μ，2σ）.（2）期望E ξ =μ，方差2σξ=D .（3）正态分布的性质 正态曲线具有下列性质:①曲线在x 轴上方，并且关于直线x ＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.三σ原则即为数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6526 数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544 数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974 （4）标准正态分布当μ=0，σ=1时ξ服从标准的正态分布，记作~N ξ（0，1） （5）两个重要的公式①()1()x x φφ-=-,② ()()()P a b b a ξφφ<<=-.（6）2(,)N μσ与(0,1)N 二者联系.若2~(,)N ξμσ，则~(0,1)N ξμησ-=;②若2~(,)N ξμσ，则()()()b a P a b μμξφφσσ--<<=-.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程，或经验公式为：a bx y+=ˆ.其中,,)(1221x b y a x n xyx n yx b ni ini ii⋅-=--=∑∑==，其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.例1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）解答过程：对正态分布，μ=E ξ=3，σ2=D ξ=1，故P （－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）. 答案：B例2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）. （1）若d=90°，则ξ<89的概率为 ； （2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，则d 至少是 ?（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）.解答过程：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（5.09089-）=Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01.∴Φ（5.080d-）≤0.01=Φ（－2.327）.∴5.080d -≤－2.327.∴d ≤81.1635.故d 至少为81.1635.小结：（1）若ξ～N （0，1），则η=σμξ-～N （0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x<0时，f （x ）为增函数，x>0时，f （x ）为减函数.。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
概率的基本原理和计算
概率的基本原理和计算概率是数学中一个重要的分支，它研究随机事件发生的可能性。
在我们日常生活中，概率无处不在。
例如，我们可以计算掷硬币出现正面的概率，或者计算从一副扑克牌中抽到红心的概率等。
本文将介绍概率的基本原理和计算方法。
一、概率的基本原理概率的基本原理是基于频率的。
频率是指重复试验中某个事件发生的次数与总试验次数之比。
当试验次数足够多时，频率会趋近于一个常数，这个常数就是概率。
概率的大小通常用0到1之间的数值表示，其中0表示不可能发生的事件，1表示一定会发生的事件。
例如，掷一次骰子，出现1的概率是1/6，出现2的概率也是1/6，以此类推。
所有可能的结果概率之和必须等于1。
二、概率的计算方法1. 事件的概率计算公式对于一个随机试验E，如果事件A在试验E中发生的次数为n(A)，总试验次数为n，那么事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A) = n(A) / n2. 互斥事件的概率计算公式互斥事件指的是两个事件不可能同时发生的情况。
如果事件A和事件B是互斥事件，那么事件A或事件B发生的概率可以用如下公式表示：P(A或B) = P(A) + P(B)3. 独立事件的概率计算公式独立事件指的是一个事件的发生不受其他事件的影响。
如果事件A 和事件B是独立事件，那么事件A和事件B同时发生的概率可以用如下公式表示：P(A和B) = P(A) × P(B)三、概率的应用1. 排列组合与概率排列和组合是概率中常用的计算方法。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素的方式，组合是指从一组元素中按照无序的方式选择若干个元素的方式。
在排列与组合中，我们可以通过计算每种情况的概率来得到总体的概率。
例如，从一组数字中选择3个数字，我们可以计算每种数字的概率，然后将它们相加得到最终的概率。
2. 条件概率条件概率是指在已经发生了某个事件的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(A和B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的情况下发生事件A的概率。
互斥事件,独立事件
(2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96,
得 0.96+z=1,∴z=0.04.
由派出医生最少 3 人的概率为 0.44,
得 y+0.2+0.04=0.44,∴y=0.2.
某学校在 2015 年春季田径运动会中,购进了 50 本文学
作品作为奖品.其中有 45 本是中国文学作品,有 5 本是外国文学作品,
−− − − − −
− −−
−−
− −−
(3)P=P(DEF+DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
1
3
2 4
1
2 4
3
1 4
3
2 5
=5×4×3+5×4×3+5×4×3+5×4×3=6.
电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定:前两关至
少过一关才有资格闯第三关,闯关者闯第一关成功得 3 分,闯第二关
55Leabharlann 64B.18
C.
1
16
D.
国家射击队的队员为了在世界射击锦标赛上取得优异
成绩,正在加紧备战.经过近期训练,某队员射击一次命中 7~10 环的
概率如下表所示:
命中环数 10 环 9 环 8 环 7 环
概率
0.32 0.28 0.18 0.12
若该射击队员射击一次,求:
(1)射中 9 环或 10 环的概率;
号箱中取出的是红球”.
则
−
−
4 2
1
3+1 4
3 1
P(B)=2+4=3,P(B)=1-P(B)=3,P(A|B)=8+1=9,P(A|B)=8+1=3,
第49讲--互斥事件和独立事件的概率及条件概率
第49讲 互斥事件和独立事件的概率及条件概率夯实基础【学习目标】1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率．【基础检测】1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.72．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是( )A ．0.35B ．0.42C ．0.85D ．0.153．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是( )A.34B.58C.38D.9164．一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 是“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．(P(B|A)为A 在发生的条件下B 发生的概率)【知识要点】1．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__．(2)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝__P(A＋B)__＝__P(A)＋P(B)__(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪A n)＝__P(A1)∪P(A2)∪…∪P(A n)__或P(A1＋A2＋…＋A n)＝__P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)__．(A1，A2，…，A n互斥)．③对立事件的概率：P(A)＝__1－P(A)__．3．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为__P(B|A)＝P（AB）P（A）__．(2)条件概率具有的性质：①__0≤P(B|A)≤1__；②如果B和C是两个互斥事件，则__P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)__．4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称__事件A与事件B相互独立__．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝__P(B)__，P(AB)＝__P(A)P(B)__．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．5．独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n 个相互独立事件，则P(A1·A2·…·A n)＝P(A1)·P(A2)·…·P(A n)．(2)n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．典 例 剖 析 【p 104】考点1 互斥事件、对立事件的概率计算例1设甲袋装有m 个白球，n 个黑球，乙袋装有m 个黑球，n 个白球，从甲、乙袋中各摸一球，设事件A ：“两球同色”，事件B ：“两球异色”，试比较P (A )与P (B )的大小．考点2 相互独立事件的概率计算例2甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率；考点3 条件概率及其计算例3甲乙两市位于长江下游，根据一百多年来的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率； (2)甲乙两市至少一市下雨的概率．考点4 互斥事件、相互独立事件的综合问题例4甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．考点5 条件概率及n 次独立重复试验与二项分布的概率计算例5(1)抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A|B )等于( )A.25B.12C.35D.45(2)某种节能灯使用了800 h ，还能继续使用的概率是0.8，使用了1 000 h 还能继续使用的概率是0.5，则已经使用了800 h 的节能灯，还能继续使用到1 000 h 的概率是________．例6某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．方法总结【p106】1．准确把握事件之间的运算关系是利用公式求概率的前提，而判断两个事件的关系是解题的关键，要把几个概念的要点分析清楚，可以通过实物和集合的知识从感性到理性来加深理解，要特别注意公式成立的前提条件，并结合正反实例对所学知识进行加深与巩固．2．注意从题目一些字眼，如“互相独立”、“互不影响”中分析各事件是否为独立事件．3．对于n次独立重复实验中事件有X次发生的概率计算，要果断使用公式解题，这样可以节约解题时间．4．注意一些事件如独立重复实验，若随机变量不是“事件发生的次数”，这时就不可盲目套用公式．走进高考【p106】1．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．2．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．3．(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23.每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．考 点 集 训A 组题1．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是4的倍数”，则下列哪对事件是互斥事件但不是对立事件( )A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．B 与D2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.164．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为25，丙及格的概率为23，则三人至少有一个及格的概率为( )A.125B.1675C.2425D.59755．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和小于7}，则P(B|A)＝( )A.13B.49C.59D.236．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为________．7．事件A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝16，P(B －C)＝18，P(AB C －)＝18，则P(B)＝________，P(A －B)＝________．8．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9，11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．B 组题1．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，两次闭合都出现红灯的概率为16.则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是________．2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2，3)的概率是________．3．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p ＝________．4．投掷五枚硬币时，已知至少出现2个正面，则正好出现3个正面的概率为________．5．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为__________．6．某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可以继续参加科目B 的考试．每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书．现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A 成绩合格的概率均为23，每次考科目B 成绩合格的概率均为12.假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X.(1)求X 的分布列和均值；(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率．第49讲 互斥事件和独立事件的概率及条件概率夯实基础 【p 104】【学习目标】1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率． 【基础检测】1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7【解析】摸出黑球的概率等于1－0.42－0.28＝0.3，选C.【答案】C2．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为0.5和0.7，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是( )A ．0.35B ．0.42C ．0.85D ．0.15【解析】由题意两次射击相互独立，可运用对立事件的概率公式求解：因命中目标的概率分别是0.5和0.7，则两次都不命中的概率分别是0.5和0.3，故两次射击中至少有一次命中的概率是1－0.5×0.3＝0.85，应选答案C.【答案】C3．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是( )A.34B.58C.38D.916【解析】当比赛中的一方连续三次取得胜利，则转播商获利不高于80万元， 转播商获利不低于80万元的概率是1－⎝⎛⎭⎫123×2＝34. 【答案】A4．一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 是“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．(P(B|A)为A 在发生的条件下B 发生的概率)【解析】将产品进行编号，1，2，3号为一等品，4号为二等品，用(i ，j)表示第一次、第二次分别取到第i 号、第j 号产品(i ，j ＝1，2，3，4)，则试验的基本事件空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．则事件A 包含9个基本事件，事件AB 包含有6个基本事件，根据条件概率公式P(B|A)＝P （AB ）P （A ）＝69＝23.【答案】23.【知识要点】1．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝)，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A ∩B 为不可能事件，而A ∪B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)互斥事件的概率加法公式：①P(A ∪B)＝__P(A ＋B)__＝__P(A)＋P(B)__(A ，B 互斥)．②P(A 1∪A 2∪…∪A n )＝__P(A 1)∪P(A 2)∪…∪P(A n )__或P(A 1＋A 2＋…＋A n )＝__P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )__．(A 1，A 2，…，A n 互斥)．③对立事件的概率：P(A)＝__1－P(A)__． 3．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为__P(B|A)＝P （AB ）P （A ）__．(2)条件概率具有的性质： ①__0≤P(B|A)≤1__；②如果B 和C 是两个互斥事件，则__P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)__． 4．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称__事件A 与事件B 相互独立__．(2)若A 与B 相互独立，则P(B|A)＝__P(B)__，P(AB)＝__P(A)P(B)__． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 5．独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A ，B 同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n 个相互独立事件，则P(A 1·A 2·…·A n )＝P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )．(2)n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P(X ＝k)＝C k n p k (1－p)n －k ，k ＝0，1，2，…，n.称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率．典 例 剖 析 【p 104】考点1 互斥事件、对立事件的概率计算例1设甲袋装有m 个白球，n 个黑球，乙袋装有m 个黑球，n 个白球，从甲、乙袋中各摸一球，设事件A ：“两球同色”，事件B ：“两球异色”，试比较P (A )与P (B )的大小．【解析】基本事件总数为(m ＋n )2，“两球同色” 可分为“两球皆白” 或“两球皆黑” ，则P (A )＝mn （m ＋n ）2＋mn （m ＋n ）2＝2mn（m ＋n ）2，“两球异色” 可分为“甲白乙黑” 或“甲黑乙白” ， 则P (B )＝m 2（m ＋n ）2＋n 2（m ＋n ）2＝m 2＋n 2（m ＋n ）2，∵P (B )－P (A )＝（m －n ）2（m ＋n ）2≥0，∴P (A )≤P (B )，当且仅当“m ＝n ” 时取等号． 【点评】理解互斥事件的含义是区别事件是否互斥的根本，在实际应用过程中若将复杂事件用分类的方法化归为若干个简单事件进行求解，实质上是化归为互斥事件的和求解．同时应注意应用对立事件研究问题，对立事件应用的问题情境是正面情形类别较多，而反面情形类别相对较少．考点2 相互独立事件的概率计算例2甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率； 【解析】(1)设A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么⎩⎪⎨⎪⎧P （A B －）＝14P （B C －）＝112P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）（1－P （B ））＝14P （B ）（1－P （C ））＝112P （A ）P （C ）＝29，解得P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝23，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为13， 14， 23.(2)设D 为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P (D )＝1－P (D －)＝1－(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝1－23·34·13＝56，即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是56.【点评】相互独立事件同时发生的概率的2种求法 (1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式； (2)间接法：从对立事件入手计算．考点3 条件概率及其计算例3甲乙两市位于长江下游，根据一百多年来的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率； (2)甲乙两市至少一市下雨的概率． 【解析】分别用A ，B 表示事件“甲下雨”和“乙下雨”，按题意有，P (A )＝20%，P (B )＝18%，P (AB )＝12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率为P (A|B )＝P （AB ）P （B ）＝1218＝23.(2)甲乙两市至少一市下雨的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝20%＋18%－12%＝26%.【点评】1.求P (B|A )时，可把A 看作新的基本事件空间来计算B 发生的概率，也就是说把B 发生的样本空间缩小为A 所包含的基本事件．2．若事件B ，C 互斥，则P (B ∪C|A )＝P (B|A )＋P (C|A )，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．考点4 互斥事件、相互独立事件的综合问题例4甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．【解析】 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【点评】理解题意，领会事件的实质是将所求概率的事件分解为互斥事件和与相互独立事件积．考点5 条件概率及n 次独立 重复试验与二项分布的概率计算例5(1)抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A|B )等于( )A.25B.12C.35D.45【解析】在事件B 发生的条件下研究事件A ，总共有5种结果，而事件AB 只含有其中的2种，所以P (A|B )＝n （AB ）n （B ）＝25.【答案】A(2)某种节能灯使用了800 h ，还能继续使用的概率是0.8，使用了1 000 h 还能继续使用的概率是0.5，则已经使用了800 h 的节能灯，还能继续使用到1 000 h 的概率是________．【解析】设“节能灯使用了800 h 还能继续使用”为事件A ，“使用了1 000 h 还能继续使用”为事件B.由题意知P (A )＝0.8，P (B )＝0.5.∵B A ，∴A ∩B ＝B ，于是P (B|A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.50.8＝58.【答案】58【点评】条件概率的2种求法： (1)定义法先求P (A )和P (AB )，再由P (B|A )＝P （AB ）P （A ），求P (B|A )．(2)基本事件法当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B|A )＝n （AB ）n （A ）. 例6某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【解析】令X 表示5次预报中预报准确的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，45，故概率P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫45k ⎝⎛⎭⎫1－455－k(k ＝0，1，2，3，4，5)．(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 05×⎝⎛⎭⎫450×⎝⎛⎭⎫1－455－C 15×45×⎝⎛⎭⎫1－454＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C 14×45×⎝⎛⎭⎫1－453×45≈0.02.【点评】二项分布满足的3个条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．方 法 总 结 【p 106】1．准确把握事件之间的运算关系是利用公式求概率的前提，而判断两个事件的关系是解题的关键，要把几个概念的要点分析清楚，可以通过实物和集合的知识从感性到理性来加深理解，要特别注意公式成立的前提条件，并结合正反实例对所学知识进行加深与巩固．2．注意从题目一些字眼，如“互相独立”、“互不影响”中分析各事件是否为独立事件．3．对于n 次独立重复实验中事件有X 次发生的概率计算，要果断使用公式解题，这样可以节约解题时间．4．注意一些事件如独立重复实验，若随机变量不是“事件发生的次数”，这时就不可盲目套用公式．走 进 高 考 【p 106】1．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出 险次数1234≥5(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ， 则P (A )＝1－P (A －)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55. (2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， 则P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝0.10＋0.050.55＝311.(3)平均保费E (X )＝0.85a ×0.30＋0.15a ＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝0.255a ＋0.15a ＋0.25a ＋0.3a ＋0.175a ＋0.1a ＝1.23a ，∴平均保费与基本保费比值为1.23. 2．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【命题立意】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有哪些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望．列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题．3．(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23.每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解析】(1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“星队至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －. 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×⎝⎛14×23×34×23＋34×13×⎭⎫34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝⎛⎭⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝112，P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝14，可得随机变量X 的分布列为P1144 572 25144 112 512 14所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 考 点 集 训 【p 241】A 组题1．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是4的倍数”，则下列哪对事件是互斥事件但不是对立事件( )A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．B 与D【解析】∵抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”， 事件B 为“落地时向上的数是偶数”， 事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”， 事件D 为“落地时向上的数是4的倍数”， ∴A 与B 是对立事件， B 与C 是相同事件，A 与D 不能同时发生，但A 不发生时，D 不一定发生，故A 与D 是互斥事件但不是对立事件，B 与D 有可能同时发生，故B 与D 不是互斥事件．本题选择C 选项． 【答案】C2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.【答案】A3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16【解析】恰有一个一等品，即一个是一等品另一个不是一等品两种情况．∴P ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512. 【答案】B。
概率与统计中的事件独立性与互斥性的证明
概率与统计中的事件独立性与互斥性的证明概率与统计是数学中重要的分支领域，其中涉及了事件的独立性与互斥性的概念与性质。
本文将简要讨论概率与统计中的事件独立性与互斥性，并给出相应的证明。
1. 事件的独立性概率与统计中，事件的独立性是指两个或多个事件之间的出现是否互相影响。
具体来说，若事件A的发生与否并不影响事件B的发生概率，反之亦然，则称事件A与事件B是相互独立的。
事件的独立性在实际生活中有着广泛的应用，例如掷骰子、抛硬币等场景。
下面我们来证明事件的独立性。
证明：令事件A和B为两个相互独立的事件。
根据事件的定义，我们可以得出以下两个概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)P(B|A) = P(A∩B) / P(A)如果事件A与事件B相互独立，那么P(A|B) = P(A)。
即事件B已经发生的前提下，事件A的概率与事件B发生前的概率是相等的。
同理，P(B|A) = P(B)。
这说明事件的独立性是互相的，即事件A与事件B 相互独立。
2. 事件的互斥性与独立性相对的是事件的互斥性，也称为互不相容性。
当两个事件A和B不能同时发生时，称其为互斥事件。
在概率与统计中，事件互斥性的性质常常用于描述事件之间相互排斥的关系。
下面我们给出事件互斥性的证明。
证明：令事件A和B为互斥事件。
根据事件的定义，我们可以得出以下概率公式：P(A) + P(B) = P(A∪B)如果事件A和B是互斥事件，那么A与B不能同时发生，因此其并集的概率P(A∪B)为每个事件发生的概率之和。
换言之，P(A) + P(B) = P(A∪B)。
这证明了事件A和B的互斥性。
综上所述，我们证明了概率与统计中的事件独立性与互斥性。
事件的独立性与互斥性是概率论和统计学中的重要概念，对于分析和解决实际问题具有重要意义。
在实际应用中，我们可以通过判断事件之间的独立性和互斥性来进行合理的概率计算和统计推断，从而更好地了解和解释事件的发生概率与关联性。
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记为事件 A
例3：从1，2，3，……30这30个数中，随 机抽取一个数，求
（1）能被2整除的概率 （2）能被3整除的概率 （3）能被2或3整除的概率
有6 名献血者参加献血活动，其中A型有2人，O 型有3人，B型有1人，现从这6人中选取4人，其 中三种血型齐全的概率是多少？
用概率思想证明等式： n Cni 2 C2nn i0
2020年4月15日
互斥事件有一个发生 的概率
2020年4月15日
知识点回顾
1、互斥事件：不可能同时发生的两个事件A、B 叫做互斥事件。
如果 A1, A2 , A3 L An 中任何两个都是互斥事 件,则称 A1, A2 , A3 L An 彼此互斥。
2、对立事件：必有一个发生的互斥事件叫
做对立事件。记为：A, A
3、互斥事件有一个发生的概率
需列式）
从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员， 任何人都有同样的当选机会。如果选得同性委员的
1 概率等于 2 ，求男女生相差几名？
袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个， 有放回地抽取三次，计算下列事件的概率：
（1）三次颜色各不相同； （2）三次颜色不全相同； （3）三次取出的球无红色或无黄色。
基础练习
1、下列命题正确的有： （1）两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件 （2）事件A，B的概率都大于0，若A+B是必然事件，则 A、B一定是对立事件
（3）若A、B互斥，则 P( A B) 1
（4）若A、B互斥，概率都大于0，则 A B 为必
然事件
（1）、（4）
2、从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球， 那么互斥不对立的事件是（ ）C A、至少有1个白球与都是白球 B、至少有一个白球与至少有1个红球 C、恰有1个白球与恰有2个白球 D、至少有1个白球与都是红球
练习：在1000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一 等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中买1张奖券， 求 （1）分别得一等奖，二等奖，三等奖的概率 （2）中奖的概率
在900张奖券(其奖券号为100~999的三位自然数) 中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字相 同的奖券，求中奖面是多少？
0.27
例2：四个编号为1，2，3，4的小球放入 编号为1，2，3，4的盒子中，每个盒中1 个球，求至少有一个小球的编号和盒子的 编号相同的概率。
3、掷一个骰子，设A为“出现2点”，Ｂ为“出现
奇数点”则P（A+B）为_______2
3
例题讲解:
例1:苏大例1
另题:有A、B两个口袋，A中有4个白球和两个 黑球，B中有3个白球和4个黑球，从A、B中各 取两个球交换，求A中仍有4个白球的概率。
交换的球必须是相同的球，共有三种可能： 两个白球；两个黑球；一白一黑。