空间两个向量的数量积

C1
D1
CD
（3）当 CC1 的值为多少时，
能使得CA1平面C1BD.
B
A
C
D
二、 课堂回顾
1.已知a 2 2 , b 2 , a b 2 2
则a , b所夹的角为________.
2.判断真假： 1）若a b 0,则a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
rr
rr
叫做 a, b 的夹角，记作 a, b .

b

a

b
B
A

O
a
2 空间向量夹角的性质


(1)显然 a,b b, a ;

(2)规定 a,b 0, ;
(3)当

a,b
0 时，同向;当

a,b
时，

2
称 a b ;当 a,b 时，反向.
3 空间向量数量积的定义
⊥α
l
m
n
α
n
g
l
m Bg
运用一：空间垂直关系的判定经常可以转化为 证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.
例2、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为 菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60.
B1
A1 （1）求证:CC1BD;CA1BD
（2）若CD=CC1=1,求CA1长;
已知空间两个非零向量

a ，b
，|

a
||

b
|
cos


a,

b

叫做向量

a ，b
的数量积,记做

a

b
,

即a b= | a || b | cos a,b .
D'
C'
A'
B'
◆练习 已知正方体AC'边长
为1,求：AA ' AD'
AA ' BD
AA ' CC'
D
C
AA ' C'B
（1）求C、D间的距离;
（2）求异面直线DC,BD'所成的角．
C
运用二：求线段长度常把线 段表示成向量形式，然后通
D
过向量运算求解.
E
运用三：常运用向量数量积的 变形公式求异面直线所成的角. A
D' B
思考题：利用向量知识证明三垂线定理
P
证明：在a上取非零向量a
已在知内：的PO射,OP影A，分aA别是平, 且a面a的O垂A线而，斜P线O，OA是,PA PO a PO a 0
空间向量的夹角
空间向量数量积 的性质
(1)a e | a | cos a, e (2)a b a b 0 (3) | a | a a
空间向量数量积 的运用
用a b＝0证垂直 用|a|2 a a求距离 用cos a,b a b 求夹角
|a||b|
O
OB (OC OA) 0
所以 OA OC OA OB
OB OC OB OA
A
C 所以 OAOC OB OC 0
B
(OA OB) OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
例3、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD'交于 D',DBD’=30.如果AB＝a，AC＝BD＝b，
A
B
4）射影
已知向量AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。作点A在
l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量A B在轴l上的
或在e方向上的正射影，简称射影。 B
A1B1 AB cosa, e a e
e
A1
A
B1
l
注意：AB是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。
4 空间两个向量数量积的性质
(1)a e | a | cos a, e
(2)a b a b 0 (3) | a |2 a a a2 cos a,b a b
| a || b |
5 数量积满足的运算律

(1) a b b a（交换律）
全国名校高二数学优质学案专题汇编（附详解）
9.5 空间向量及其运算
两个向量的数量积
一 复习引入
1 向量的夹角:
已知两个非零向量

a,
b ,
作

OA


a,

OB b
则AOB (0

180
)
叫做向量a
与

b
百度文库的夹角.

b

a

b
B
A

O
a
2 平面向量数量积: 已知两个非零向量 a, b ,它们的夹角
()
3) p2 q2 ( p q)2
()
4) p q p q p2 q2
()
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知 OA BC，OB AC
所以 OA BC 0 , OB AC 0
OA (OC OB) 0
求证：a PA
又OA a,OA a 0
又P O, OA相交，得P O, OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的有序实数对x, y,使
PA xPO yOA
PA a PO a OA a 0 a PA,即a PA.
四 小结
空间向量数量 积的定义
为 ,我们把 | a || b | cos 叫做向量
a,b
的数量积,记做

a

b
,
即

a

b
= | a || b | cos
.
注意：
①两个向量的数量积是数量，而不是向 量.
②零向量与任意向量的数量积等于零
二 新课
rr 1 空间向量的夹角的定义：对于两个 非零向量 a, b ，
uuur r uuur r 在空间任取一点 O，作 OA a ，OB b，则∠AOB




(2)( a) b (a b) a ( b)（数乘结合律）
3a (b c) a b a c.（分配律）
注意： 数量积不满足结合律
（a b)c a (bc)
三 典型例题
例1、已知：m，n是平面内的两条相交直线，直
线 与α的交点为B，且 ⊥m， ⊥n。求证：