2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件

3 3 3 3 所以k的取值范围为 (1， ) ( ， ) ( ， 1). 3 3 3 3
【延伸探究】题(2)中若直线l1与双曲线C有且只有一个公共点， k的取值范围如何？
y kx 2， 【解析】联立直线与双曲线方程 2 2 x 3y 3 0，
【解题探究】1.题(1)满足条件|PF2|-|PF1|=2a(2a<|F1F2|)的
点P的轨迹是什么?
2.题(2)直线l1与双曲线C有两个公共点应满足什么条件? 【探究提示】1.满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲 线的左支. 2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
3 所以直线l的方程为 y 2x 210 . 3
②
类型三
双曲线性质的综合应用
【典例3】
2 2 x y (1)已知双曲线 2 2 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 a b sinPF1F2 a F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使 ， sinPF2 F1 c
uur uuu r Q(x2，y2)，则 OPgOQ 0， 得x1x2+y1y2=0. uur uuu r
【自主解答】(1)在△PF1F2中由正弦定理得：
PF2 PF1 sinPF1F2 PF2 a ， ，即 sinPF2 F1 PF1 c sinPF1F2 sinPF2 F1
x 2 y2 【自主解答】(1)由 1，所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 9 16
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6< 10. 当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的 左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为 y 4 x, 对于①③两直线的斜率均为 5 4 , 故①③均与双曲线左支无公
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
2 y2 x 1 ， 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2
x 2 y2 【变式训练】(2014·天津高考)已知双曲线 2 2 =1 a b
(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的 一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为
x 2 y2 A. － 1 5 20 3x 2 3y 2 C. － 1 25 100 x 2 y2 B. － 1 20 5 3x 2 3y 2 D. － 1 100 25
第2课时 双曲线方程及性质的应用
【题型示范】 类型一 直线与双曲线的位置关系
【典例1】
2 2 x y (1)双曲线 1 的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直 9 16
线：①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果 上述直线上存在点P，使|PF2|=|PF1|+6，则满足这样条件的直
y kx 2， ②联立直线与双曲线方程 2 2 x 3y 3 0 ⇒ 1 3k 2 x 2 6 2kx 9 0，


2 2 72k 4 1 3k 9 0, 由题意得 2 1 3k 0, 解得-1<k<1且 k 3 , 3
2
k=2(舍)，所以这样的直线不存在.
2 2 x y 【补偿训练】斜率为2的直线l与双曲线C: 1 交于A，B 3 2
两点，且|AB|=4，求直线l的方程. 【解析】设直线l的方程为y=2x+m,将y=2x+m代入双曲线C的方 程2x2-3y2-6=0得10x2+12mx+3m2+6=0(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
所以 PF1 c PF2 .
a
由双曲线定义知：|PF1|-|PF2|=2a，
2 2a c 则 |PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|= . ca a
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c-a，
2 2a 则 >c-a,即c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0, ca
解得 2 1 e 2 1. 又e∈(1,+≦)，故双曲线的离心率 e 1, 2 1 . 答案：(1, 2 1)
线对应的序号是___________.
2 2 x y (2)(2014·天津高二检测)已知双曲线C: 2 1 (a>0,b>0) 2 a b 的离心率为 2 3 ，且过点 P 6， 1. 3


①求双曲线C的方程；
②若直线l1: y kx 2 与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，
求k的取值范围.
得 k 1 , 满足①式.
4
当直线l的斜率不存在时，不符合题意.
答案：1
4
(2)设点C(x,y),则|CA|-|CB|=〒2,根据双曲线的定义，可知点
2 2 x y C的轨迹是双曲线 1 ， a 2 b2
由2a=2,2c=|AB|= 2 3, 得a2=1,b2=2,
2 y 故点C的轨迹方程是 x 1. 2 2
差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D，E两点，求线
段DE的长.
【解题探究】1.题(1)如何表示线段AB的中点坐标?
2.题(2)若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,
y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗？
【探究提示】1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐
消去y得：1 3k 2 x 2 6 2kx 9 0.
当1-3k2=0,即 k
当 1 3k 2 0, 6 2k 36 1 3k 2 36 36k 2 ,
2

3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点； 3

由Δ=0，即36-36k2=0,所以k=〒1时，直线l1与双曲线C只有一 个公共点. 所以当 k 3 或k=〒1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点.
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 故Δ=8b2+8-16k2>0 ①,1-2k2≠0, 由根与系数的关系知：x1+x2= 则y1+y2=k(x1+x2)+2b=
2b . 2 1 2k 4kb ， 2 1 2k
因为线段AB的中点在直线y=2x上， 所以有
b 4kb , 1 2k 2 1 2k 2
则该双曲线的离心率的取值范围是_______.
(2)(2014·大庆高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲
线C1：2x2-y2=1.
①过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一
条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
②设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求
ຫໍສະໝຸດ Baidu
点，求k的取值范围.
【解析】将y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4,化简得：
(1-k2)x2-2kx-5=0.①
要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则①有两个不相等的
1 k 2 0， 实根，应满足 得 5 k 5 且k≠〒1. 2 2 0，
5 故k的取值范围是 ( 5 ， 1) 11 ， (1， ). 2 2
2 y2 x 1, 由 2 y k x 1 1
得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0.
因为l与双曲线相交于A，B两点，
所以Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0
得 k 3,
2 2k 2k 设A(x1,y1),B(x2,y2)，由根与系数的关系，有x1+x2= , 2 2k 2 若点P是线段AB的中点，则有x1+x2=2,即 2k 2k 解得 2， 2 2k
3
【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一 元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式 . (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点 . (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线有一个公共点.
(
)
【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,
易知直线l过双曲线左焦点,
所以0=-2c+10,即c=5,
又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10, 故有
b =2, a
结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 － =1. 5 20
【补偿训练】若直线y=kx+1与双曲线x2-y2=4有两个相异公共
证：OP⊥OQ.
【解题探究】1.题(1)条件
sinPF1F2 a 如何转化？ sinPF2 F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2 F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为 OPgOQ 0， 即若设P(x1，y1)，


2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组 得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
2
y1 y 2 1 k 2 x1 x 2 .
2
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b,
x2 y2 1 ，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 由 2 y kx b
=
2 g x1 x 2 4x1x 2 4 5.
【方法技巧】求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点
坐标，再利用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公
x 2 y2 式求解，即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C： 2 2 1 (a>0, a b
类型二
直线与双曲线相交弦问题
【典例2】
x2 (1)(2014·温州高二检测)直线l与双曲线 y 2 1 的同一支 2
相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜
率为__________.
(2)已知点 A( 3， 0) 和点 B

动点C到A，B两点的距离之 3， 0，

b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|=
1 1 y1 y 2 . 2 k
1 k 2 x1 x 2
提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况 .
2 y 【变式训练】已知双曲线 x 1, 过点P(1，1)能否作一条 2 2
直线l,与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？ 【解析】设所求直线方程为y=k(x-1)+1,