立体几何中的最值与动态问题

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立体几何中的最值问题

立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在

试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值

例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（）

A. B.

5 5

C. 2

D. 1

解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当

OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。又P 在BD 上运动，且当P 运动

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到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B。

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图 1

二、定性分析法求最值

例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。

解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α 于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。故CD ≥ 3 。

2 5

2 5

2 5

3

图 2

三、展成平面求最值

例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA 于点P、Q、R、S，则四边形PQRS 的周长的最小值是（）

A. 2a

B. 2b

C. 2c

D. a+b+c

图3-1

解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，

AD=BC，所以，A 与A’、D 与D’在四面体中是同一点，且AD // BC // A' D'

，AB

// CD'

，A、C、A’共

线，D、B、D’共线，AA'=DD' = 2BD 。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S 在四面体中是同一点。因而当P、Q、R 在S’S 上时，S ' P +PQ +QR +RS 最小，也就是四边形PQRS 周长最小。又S ' A =SA'，所以最小值L =SS '=DD' = 2BD = 2b 。故选B。

图3-2

四、利用向量求最值

例4. 在棱长为1 的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为。

解析：以A 为坐标原点，分别以AB、AD、AE 所在直线为x，y，z 轴，建立如图 4 所示的空间直角坐标

→→

系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则BP=(x-1，0，x)，GP=(x-1，-1，x-1)，那么

2x 2 - 4x +

3 (x - 1) + 0 - 2 ⎛ 2

2 ⎫ ⎝ ⎪ 2 ⎭ 1 +

2

2

2 + 2 AM 2 + AN 2 2

图 4

GP + PB = +

⎛ ⎫

⎪ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎭

式子 ⎛ 2 ⎫ + ⎛ 1 1 ⎫ 可以看成 x 轴正半轴上一点（x ，0，0）到 xAy 平面上两点 1， ，0⎪ 、 ，

，0⎪ 的距离之和，其最小值为 。所以 GP+PB 的最小值为 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭

⋅ = 。

立体几何中的最值问题

一、线段长度最短或截面周长最小问题

例 1. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，各棱长均为 2，M 为 AA 1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.

解析： (1)从侧面到N ，如图 1，沿棱柱的侧棱 AA 1 剪开，并展开，则 MN ＝

＝

＝

2x 2 - 2x + 1

⎛ 1 ⎫2 x - ⎪ + 0 - ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭

(x - 1) + 0

- ⎝

2

⎛ 2

⎫ 2 ⎪ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫2 x - ⎪ + 0 - ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 + 2 2 2 12 + (2 +1)2

10

+

AM 2 + AN 2

- 2 AM ⋅ AN c os120︒ 12 + ( 3)2 + 2 ⨯1⨯ 3 ⨯ 1

2

4 + 3 10

4 + 3 (1 - CP ) 2 + BQ 2

=

(2) 从底面到 N

点，沿棱柱的 AC 、BC 剪开、展开，如图 2.

则 MN ＝

＝

＝

∵

＜ ∴ MN min ＝

.

例 2.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。点 M 在AC 上移动，点 N

在 BF 上移动，若 CM=BN= a (0 < a < 2). （1）求 MN 的长；

（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面 MNB 所成的二面角α的大小。

解析：（1）作 MP ∥AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥AB 交 BE 于点 Q ，连接 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP=NQ ，即 MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴ AC = BF = CP

a BQ ,

1 1

a

即 CP = BQ =a

∴ MN = PQ =

= = (a -

2

)2 + 1

(0 < a < 2) 2 2

（2）由（1）知: 当a = 2 时，MN = 2 2

，即M , N 分别移动到AC , BF 的中点时 2

2

(3) 取 MN 的中点 G ，连接 AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，

∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又 AG = BG =

定理有

6 ，所以由余弦

4

2 +- 1

α= arccos(- 1

)

cos α= 4

4

= -

1 。故所求二面角

3

。

E

F

2 • 6 •

6 3

4 4

4 + 3

2 2

2

(1 - a )2 + ( a )2

=MN