华东师大版八年级下册19.1.2矩形的判定同步练习含试卷分析详解
华师版八年级下册数学第19章19.1.2矩形的判定习题课件
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵点C是BE的中点， ∴BC＝CE，∴AD＝CE， 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．
能力提升练
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵AB＝AE， ∴DC＝AE， 又∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形．
基础巩固练
1．【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点
E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连
结EG，FH，则图中的矩形共有( C )
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
基础巩固练
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E， 使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不 能使四边形DBCE成为矩形的是( B )
能力提升练
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩 形？请说明理由． 解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA. ∵E是OB的中点，∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 易知CF⊥OD，
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∴AG∥CF， 由(1)知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF. 又∵AE＝EG，∴CF＝EG， ∴四边形EGCF是平行四边形． ∴四边形EGCF是矩形．
能力提升练
12．【中考·怀化】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD， E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD. ∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
华师大版初中数学八年级下册《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷(含答案解析
华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t=s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．30．如图，在▱ABCD中，AB=DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DFBE是矩形．31．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC 的延长线于点F，且AF=AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．32．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．求证：平行四边形ADBE是矩形．33．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，点E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．34．已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形．35．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．36．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．37．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．38．已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．39．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF 交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．40．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AC=FD，∠CEF=90°．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）求证：四边形BCEF是矩形．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；C、正确；D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠DFA=∠DAF，∴AD=DF=5，在Rt△ADE中，DE=，∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE=4×8=32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，∴t=16﹣t，得t=8，故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t=6，故当t=6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t=6s时，AQ=CQ=CP=AP=16﹣6=10cm，则周长为4×10cm=40cm；面积为10cm×8cm=80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．【分析】利用已知证明∠ABE为90°即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°∴∠ABE=∠EBC=45°∴∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形【点评】本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN．∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°．∴四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC=∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE=∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE=OC，同理：OC=OF，可得结论；（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF=90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；【解答】解：（1）OE=OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠OEC=∠ACE，∴OE=OC，同理可得：OC=OF，∴OE=OF；（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA=OC，OE=OF（已证），∴四边形AECF是平行四边形，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACG，∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∠ABO=∠CDO，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF，∠BAE=∠CDF，∴∠ABO﹣∠BAE=∠CDO﹣∠CDF，即∠EBO=∠DFO，∴BE∥DF，∴四边形EBDF是平行四边形，∵EF=BD，∴平行四边形EBDF是矩形．【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CDF．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．【分析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件．（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．【解答】证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）．（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=AC，OB=OD=BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AO=CO，BO=DO，∵∠1=∠2，∴BO=CO，∴AO=BO=CO=DO，∴AC=BD，∴▱ABCD为矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．【分析】由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD，再得出OA=OB，进而得出AC=BD，证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠BDC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定方法，由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．【分析】首先判定四边形OAEB是平行四边形，再由菱形的性质得出∠AOB=90°，从而判定四边形OAEB是矩形．【解答】证明：∵AE∥BO，BE∥AO，∴四边形OAEB是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB．∴∠AOB=90°，∴平行四边形OAEB是矩形．【点评】此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可推出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AE∥BD，DE∥AB∴四边形ABDE是平行四边形∴AB=DE，AE=BD∵AB=AC∴DE=AC∵点D是BC的中点∴BD=CD AD⊥BC所以AE=DC，AE∥DC∴四边形ADCE是平行四边形∵∠ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】利用平行线的性质得出∠ADC=90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B=90°，进而得出答案．【解答】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°，又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．【分析】连接AC、BD交于点O，连接EO，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EO=AC=BD，从而得到AC=BD，利用矩形的判定定理判定即可．【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接EO，∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴EO=AC=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，难度不大．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA=90°，再利用三角形内角和定理可知∠H=90°，同理∠HEF=∠DEA=90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，∴∠HAB+∠HBA=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题利用了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定，关键是利用三个内角等于90°的四边形是矩形证明．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．又∵点E在DC的延长线上，∴AB∥CE．又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE．又BD=BE，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合条件可求得EF=EC=ED=AE，可证得四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，由矩形和平行四边形的性质可求得EG和BG的长，在Rt△BEG中可求得BE的长．【解答】解：（1）四边形ACFD为矩形，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BF，∴∠DAF=∠CFE，∵∠DAF=∠DCF，∴∠DCF=∠CFE，∴EF=EC，同理可求得DE=EA，∵E为CD的中点，∴CE=DE=AE=FE，∴四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，如图，在矩形ACFD和▱ABCD中，则有CF=AD=BC=4，且FE=FC，∴CG=CF=2，BG=6，∵AE=EF，∴EG=AC=，∴Rt△EBG中，BE==．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和矩形的性质和判定，利用平行线的性质结合角相等求得EC=EF是解题的关键．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形的矩形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△OAB为等边三角形，∴OA=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】只要证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠DAB=90°即可．【解答】证明：∵AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，∴∠CAF=∠CAM，∠CAB=∠CAN，∴∠CAF+∠CAB=（∠CAM+∠CAN）=90°，即∠DAB=90°∵OD=OB，OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查角平分线的定义，矩形的判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于直径基础题．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD即可；（2）由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，得出AE=CD，∠ADC=90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BC、DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AE=BD；（2）证明：由（1）得：AE=BD，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∴AE=CD，∠ADC=90°，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．∴四边形ADCE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC是解决问题的关键．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∴∠BCD=∠A=50°，∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，∴OC=OD，∵BO=CO，OD=OE，∴DE=BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．【分析】（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由EF=DB，可证得四边形DEBF是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF=DB，∴四边形DEBF是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有对角线相等的平行四边形是矩形，首先证得四边形DEBF是平行四边形是关键．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．【分析】依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【解答】证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s 的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t= 6.5s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=8cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．【分析】（1）由AD∥BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26﹣2t，解此方程即可求得答案．（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t﹣（24﹣t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；（3）由菱形的性质得出CD=CQ=PD，得出24﹣t=3t，解得：t=6，得出CD=CQ=18，作DM⊥BC于M，则AB=DM，BM=AD=24，得出CM=BC﹣BM=2，在Rt△CDM 中，由勾股定理求出DM，即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，∴DP=AD﹣AP=24﹣t（cm），BQ=26﹣3t（cm），∵AD∥BC，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，∴t=26﹣3t，解得：t=6.5，即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形；故答案为：6.5；。
2020—2021年华东师大版八年级数学下册矩形的判定与性质同步练习试题.doc
（新课标）华东师大版八年级下册19.1.2矩形的判定与性质一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P 不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．62．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形6．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.58．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+29．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 二．填空题（共5小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是_________ ．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为_________ ．12．（如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是_________ ．13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_________ ．14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是_________ ．三．解答题（共6小题）15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．16．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．求证：四边形EFPH为矩形．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？19.1.2矩形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P 不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D． 6考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．解答：解：如图，连接PA．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵AB•AC=BC•AP，即AP===4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选：B．点评：本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．2．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．解答：解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C．点评：本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用，主要培养学生的判断能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少考点：矩形的判定与性质；垂线段最短．菁优网版权所有分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．解答：解：如图，连接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．解答：解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（1）和（4）．故选C．点评：本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．5．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分．解答：解：A、矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C、对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．6．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选D．点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故选C．点评：此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．8．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+2考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有分析：延长BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．解答：解：延长BC、AD交于O，∵∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B=∠CDO=90°，∠O=30°，∵AB=4cm，CD=2cm，∴OA=2AB=8cm，CO=2CD=4cm，由勾股定理得：OB==4（cm），OD==2（cm），∴BC=（4﹣4）cm，AD=（8﹣2）cm，∴AB+AD+DC+BC=4cm+（8﹣2）cm+2cm+（4﹣4）cm=（10+2）cm，故选A．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，垂直定义，勾股定理的应用，关键是求出BC、AD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．解答：解：连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：×4=×5×AP，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．点评：本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．二．填空题（共5小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 2.4 ．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．解答：解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，即×4×3=×5•CP，解得CP=2.4．故答案为：2.4．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 4.8 ．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP==4.8，故答案为：4.8．点评：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是18 ．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有分析：求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．解答：解：∵AE∥BD，∴∠CDB=∠DAE，∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴∠C=∠ADE=90°，∴DE∥BC，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADE和△DCB中∵，∴△ADE≌△DCB（ASA），∴DE=BC=4，在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，由勾股定理得：DC=3，∴AD=DC=3，∵ED=BC，DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴CD=BE=3，∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18，故答案为：18．点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，关键是求出各个边的长度，本题综合性比较强，有一定的难度．13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．解答：解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴AC•BC=AB•PC，∴PC=．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．点评：本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是2．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由AF=BF得到F为AB的中点，又DF垂直平分AC，得到D为AC 的中点，可得出DF为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的长求出DF的长，由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°，同时由DE与EB垂直，ED与DC垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，由∠A=30°，DF的长，求出AD的长，即为DC的长，由矩形的长BC于宽CD 的乘积即可求出矩形BCED的面积．解答：解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC 的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=2，∴DF=BC=1，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，∴tan30°=，即AD=，∴CD=AD=，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=2．故答案为：2点评：此题考查了矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，是一道多知识的综合性题，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三．解答题（共6小题）15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．解答：证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点评：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．考点：矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．解答：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．求证：四边形EFPH为矩形．考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：求出平行四边形APCE、DEBP，推出HP∥EF，HE∥FP，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．解答：证明：∵在矩形ABCD中，∴AB=DC，AD∥BC，∵ED=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵在矩形ABCD中，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，∴CE=，同理BE=2，∴BE2+CE2=BC2∴∠BEC=90°，∴四边形EFPH是矩形．点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出四边形HPFE是平行四边形和求出∠BEC=90°．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．考点：矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有分析：（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．解答：解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．点评：本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF ≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）∴GH=EF．（1分）∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°﹣α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）∴∠DHG=∠DGH=．（1分）∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）解法二：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴，∴HE∥BD，（1分）同理可证，GH∥AC，（1分）∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定求解．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：动点型．分析：当四边形ABQP为矩形时，则AP=BQ，列式可求得t的值．解答：解：∵在矩形ABCD中，AD=12cm，∴AD=BC=12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ．①当0＜t＜3时，t=12﹣4t，解得，t=；②当3≤t＜6时，t=4t﹣12，解得t=4；③当6≤t＜9时，t=36﹣4t，解得t=；④当9≤t≤12时，t=4t﹣36，解得，t=12．综上所述，当t 为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．点评：本题考查了矩形的性质和平行线的性质．解决本题的关键是理解平行的次数就是Q在BC上往返运动的次数．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。
新课标华东师大版八年级数学下册 19.1～19.2矩形、菱形同步测试 (含解析)
新课标华东师大版八年级数学下册19.1～19.2矩形、菱形同步测试（含解析）一、选择题(每小题4分，共24分)1．下列命题中，是真命题的是( )A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是( )A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DACC．AC⊥BD D．AB＝BC3．如图4－G－1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定．．．正确的是( )A．AB＝CDB．AC＝BDC．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC＝90°时，它是矩形4－G－14－G－2.如图4－G－2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm5．如图4－G－3所示，下列条件能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝AD；④AC＝BD.A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③图4－G－34－G－4.如图4－G－4，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结CP，则∠CPB的度数是( )A．108° B．100° C．90° D．72°二、填空题(每小题4分，共24分)7．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝__________．8．已知菱形的边长为5 cm，一条对角线的长为5 cm，则菱形的最大内角的度数是________．9．如果菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC∶BD＝4∶3，那么对角线AC ＝______cm，BD＝______cm.10．如图4－G－5，在矩形ABCD中，BC＝2AB.以点B为圆心，BC长为半径作弧交AD于点E，连结BE.若AB＝1，则AE的长为________．4－G－54－G－611．如图4－G－6所示，在▱ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，当AC＝________时，四边形ABCD是矩形．图4－G－712．如图4－G－7，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连结EC，CD，若AB＝BC，则以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的是__________(填序号)．三、解答题(共52分)13．(8分)如图4－G－8，四边形ABCD是平行四边形，EB＝EC，EA＝ED，∠AEB＝∠DEC.求证：四边形ABCD是矩形．图4－G－814.(10分)如图4－G－9，在四边形ABCD中，BC＝DC，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．图4－G－915．(10分)如图4－G－10，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC 沿BC方向平移，使点B移到点C的位置，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图4－G－1016．(12分)如图4－G－11所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC 延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE，CF.(1)求证：AF＝CE；(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．图4－G－1117．(12分)如图4－G－12，以△ABC的边AB，AC为边的△ABD和△ACE都是等边三角形，四边形ADFE是平行四边形．(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？(2)当∠BAC满足什么条件时，▱ADFE不存在？(3)当△ABC满足什么条件时，▱ADFE是菱形？图4－G－121．A [解析] 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，又因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项正确，C选项错误；对角线互相垂直且相等的四边形可能是下图所示的情况，所以B，D两个选项错误．故选A.2．A [解析] 要使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是OA＝OB，(对角线相等的平行四边形是矩形)．故选A.3．B 4.D5．A [解析] 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．6．D [解析] 连结PA，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.故选D.7．5 [解析] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O, AC＝10，∴OA＝OB＝12AC＝ 5.∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5.8．120°9.16 1210. 3 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，AB＝1，∴AD＝BC＝2，∠A＝90°，∴BE＝BC＝2，∴AE＝BE2－AB2＝22－12＝ 3.故答案为 3.11.34 cm [解析] 要使▱ABCD为矩形，需要一个角为直角，不妨让∠B＝90°，则在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝32＋52＝34(cm)．12．①②③④13．证明：如图，连结AC ，∵∠AEB ＝∠DEC ，∴∠AEB ＋∠BEC ＝∠DEC ＋∠BEC ， 即∠AEC ＝∠DEB . 在△ACE 和△DBE 中， ⎩⎨⎧EA ＝ED ，∠AEC ＝∠DEB EC ＝EB ，， ∴△ACE ≌△DBE (S.A.S.)， ∴AC ＝BD .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形．14．证明：(1)延长OA 到点E .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ，∴∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ， ∴∠BOE ＝2∠BAO .同理可得∠DOE ＝2∠DAO ，∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO )，即∠BOD ＝2∠BAD . 又∵∠BCD ＝2∠BAD ， ∴∠BOD ＝∠BCD . (2)连结OC .∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO ，∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD .又∵∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ， ∴OB ＝BC .又∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，∴OB ＝BC ＝DC ＝DO ，∴四边形OBCD 是菱形． 15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ， ∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由平移的性质得：DE ＝AC ，CE ＝BC ，DC ＝AB ， ∠ECD ＝∠ABC ＝90°，∴AD ＝CE .在△ACD 和△EDC 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，∠ADC ＝∠ECD ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△EDC .(2)△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝BD ，DE ＝AC ，∴BD ＝DE ， ∴△BDE 是等腰三角形．16．解：(1)证明：∵AF ∥CE ，∴∠FAD ＝∠ECD . ∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD . 又∵∠ADF ＝∠CDE ， ∴△ADF ≌△CDE ， ∴AF ＝CE .(2)若AC ＝EF ，则四边形AFCE 是矩形． 证明：由(1)知AF 綊CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AFCE 是矩形．17．解：(1)当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE 是矩形． (2)当∠BAC ＝60°时，▱ADFE 不存在． (3)当AB ＝AC 时，▱ADFE 是菱形．。
华师大版初中数学八年级下册《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷
华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．17．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4．求CG．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．（1）求证：OE＝OF；（2）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是矩形？请说明理由；（3）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．20．如图：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．22．如图，已知△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形．（1）试判断四边形ADEF的形状并说明理由．（2）当△ABC满足，四边形ADEF是矩形（不需证明）．（3）当△ABC满足，四边形ADEF是菱形（不需证明）．（4）当△ABC满足，四边形ADEF不存在（不需证明）．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）填空：①当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是矩形；②当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是菱形．24．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s 的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？25．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，若∠ABE＝∠BAE＝60°，BC＝4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；（2）求四边形ABFC的周长和面积．26．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF ⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．（1）求证：四边形PECF是矩形．（2）根据矩形的性质，直接写出线段EF的最小值：．28．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．30．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F，当AB，BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试加以证明．31．如图，平行四边形ABCD中，P是AD上一点，E为BP上一点，且AE＝BE＝EP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP＝BC，S△BEF＝5，CD＝4，求CF．32．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：（1）DA⊥AE；（2）AC＝DE．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，延长BC到点E，使得BC ＝CE，连结DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BD＝6，求CD的长．34．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，（1）证明：△ADE≌△DCB；（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；（3）若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是多少？35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB＝DE．36．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ACD＝∠BDC，过点C作CE ⊥BD于点E，交AB于点H，过点A作AF∥BD，交CH的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BO，连接BG、OF，OF交AB于点M．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）四边形BOFG是什么特殊四边形？请说明理由；（3）若AF＝8，GF＝6，AM＝5，∠HCA＝∠HAC，求HF的长．37．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E、F是矩形内两点，BE＝DF＝3，AE ＝CF＝4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，（1）求证：四边形EHFG是矩形；（2）求EF的长．38．如图，沿△ABC的各边想同侧作正三角形ABD、BCF、ACE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEFD是矩形？（3）当△ABC的边满足什么条件时，四边形AEFD是菱形？39．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD，△BEC，△ACF（1）判断四边形ADEF的形状．并证明你的结论；（2）当∠BAC＝时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．40．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）当AB，BC满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？并给出证明．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF＝BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；（2）由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，继而可得四边形ADCF是矩形；（3）根据∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，从而得到AD＝BC＝DC，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF＝BD．∴AF＝DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形．证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定理，难度不大．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【分析】（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE＝DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB＝AC，BD＝CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．【解答】解：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE ＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，根据中点的定义求出DE＝AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND＝MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，四边形AMDN是矩形．∵AM＝1＝AD，∴∠ADM＝30°∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．【解答】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴AD＝CN；②∵∠BAN＝90度，四边形ADCN是平行四边形，∴四边形ADCN是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？【分析】（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．（3）AB＝AC，根据菱形的判定推出即可；（4）当∠BAC＝60°时四边形不存在．【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF．同理可得：△ABC≌△FEC，即EF＝AB＝DA．∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形；（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°，∵∠DAB＝∠F AC＝60°，∴∠BAC＝360°﹣∠DAB﹣∠F AC﹣∠DAF＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；（3）解：当∠BAC≠60°且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFED是平行四边形，∴四边形AFED是菱形；（4）解：当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？【分析】（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE＝OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO＝CO，OE＝OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足AC＝BC时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．【分析】（1）求出∠EAD＝∠CFE，根据AAS证△AED≌△FEC，推出AD＝CF，根据AD ＝BD即可求出答案；（2）根据等腰三角形性质求出∠CDB＝90°，根据平行四边形的判定推出平行四边形BDCF，即可推出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠EAD＝∠CFE，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵在△AED和△FEC中，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AD＝CF，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF．（2）解：在△ABC中添加一个条件：AC＝BC，使四边形BDCF为矩形，理由是：∵BD＝CF，CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴平行四边形BDCF是矩形，故答案为：AC＝BC．【点评】本题考查了矩形、平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，主要考查学生能否熟练地运用性质进行推理，题型较好，难度适中．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB ＝EC，AB∥EC，即可证得四边形ABEC是平行四边形，继而证得结论；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出F A＝FE＝FB ＝FC，AE＝BC，得证．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CE＝DC，∴AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF＝BC；（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴F A＝FE，FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠ADC，∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴F A＝FB，∴F A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．关键是利用平行四边形的性质，通过角的关系证矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案AB＝AC．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，则∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF为等边三角形得AC＝AF，则AF＝DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB＝DF，则AE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；（2）由于四边形DEAF是平行四边形，当∠EAF＝90°时，四边形DEAF为矩形，根据等边三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；（3）由于四边形DEAF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE＝AF时，四边形DEAF 是菱形，此时AB＝AC．【解答】解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，∴∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝DE，∵△ACF为等边三角形，∴AC＝AF，∴AF＝DE，同理可证得△ACB≌△FCD，∴AB＝DF，而AB＝AE，∴AE＝DF，∴四边形DEAF是平行四边形；（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠F AC＝60°∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°∴四边形DEAF是矩形；（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，∴AE＝AF，∴四边形DEAF是菱形．故答案为：AB＝AC．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和平行四边形、矩形的判定．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是150°．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是PB＝PC．【分析】（1）理由全等三角形的性质证明AD＝PE，AE＝PD即可解决问题；（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形；【解答】（1）证明：∵△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，∴BP＝EP，CD＝CP，AC＝CB，∠DCP＝∠BCA＝60°，∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB＝PE，同理可证：AE＝DP，∴四边形AEPD是平行四边形．（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；理由：∵∠EPB＝∠DPC＝60°，∴∠EPD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形AEPD是矩形．故答案为∠BPC＝150°．（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形．理由：∵PB＝PE，PD＝PC，PB＝PC，∴PE＝PD，∴四边形PEAD是菱形．故答案为PB＝PC．【点评】本题考查矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据“矩形的定义”证明结论；（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．【解答】（1）证明∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠A＝90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12＝15•AP．∴AP＝．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝4﹣t，得t＝2故当t＝2s时，四边形ABQP为矩形．。
19.1.2 矩形 华东师大版八年级下册同步练习(含答案)
【精挑】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.1.2.矩形的判定课时练习一、单选题1．下列命题中，不正确的是（ ）A．对角线相等且垂直的四边形是正方形B．有一个角是直角的菱形是正方形C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）.①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组3．下列说法正确的是（ ）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形4．下列命题是假命题的是（ ）A．四个角都相等的四边形是矩形B．四条边都相等的四边形是菱形C．平行四边形的对角线相等D．菱形的对角线互相垂直平分5．下列四个命题中，正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．两组对边分别相等的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形6．下列四个命题中的假命题是( )A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：D．对角线相等的四边形是平行四边形7．下列四个命题中真命题是（ ）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形8．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ）.A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为 （填一个即可）．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件： ，可使它成为矩形．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是 (写出一个即可)14．在平行四边形ABCD中，若再增加一个条件 ，使平行四边形ABCD能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．三、解答题15．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°。
难点详解华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合测评试题(含详解)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法中，不正确的是（ ）A ．四个角都相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形C ．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：①PD =；②四边形PECF 的周长为8；③AP EF =；④EF 的最小值为2222PB PD PA +=；⑥AP EF ⊥．其中正确结论有几个（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63、在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD4、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或65D．2或1255、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角相等B．对角线互相垂直C．对角互补D．对角线相等6、如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（）A．24 B．48 C．D．7ABCD中，点E是对角线AC上一点，且EF AB⊥于点F，连接DE，当22.5ADE∠=︒时，EF=（）A．1 B．2C1D．1 48、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，过点B作BE⊥CD于点E，则BE的长为（）A．125B．245C．6 D．4859、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．1610、如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BHAE的值为（）A．1 B C D．2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且<AM AB ，CBE △由DAM △平移得到，若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得60DHC ∠=︒时，2=BE DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM =；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形；④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135︒以上结论正确的有______（把所有正确结论的序号都填上）．2、如图，菱形OABC 在直角坐标系中，点A 的坐标为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，对角线OB =()0,0k y k x x=≠>经过点C ．则k 的值为______．3、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．4、如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC 的顶点A （3，0），C （0，9），点D 和点E 分别位于线段AC ，AB 上，将△ABC 沿DE 对折，恰好能使点A 和点C 重合．若x 轴上有一点P ，使△AEP 为等腰三角形，则点P 的坐标为________．5、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 在BC 边上，连接MO 并延长交AD 边于点N ．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD 的面积为 _________ ．6、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）7、如图，矩形ABCD 中，10AB =，点E 是AD 上的一点，有5AE =，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是______．8、如图，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得矩形AEFG，连接CF交AD于点P，M是CF的中点，连接AM交EF于点Q，则下列结论：①AM⊥CF；②CDP≌AEQ；③连接PQ，则PQ=；④若AE＝2，MQ=P是CM中点，则PD＝1．其中，正确结论有_____（填序号）．9、菱形的判定：（1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形．几何语言描述：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________，∴四边形ABCD是菱形．（2）对角线互相____________的平行四边形是菱形几何语言描述：∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________，∴ 平行四边形ABCD是菱形．（3）四条边都____________的四边形是菱形．几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________，∴ 平行四边形ABCD是菱形．10、如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__________．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．(1)求证：BD∥AF；(2)若AB＝1，BC＝2，求AH的长．2、如图所示，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，（1）求BF的长；（2）求ECF的面积．∥．3、如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD BC(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)当AC BD ⊥时，若8AC =，6BD =，直接写出四边形ABCD 的周长．4、如图，在△ABC 中，点D 是BC 边的中点，点E 是AD 的中点，过A 点作AF ∥BC ，且交CE 的延长线于点F ，联结BF ．(1)求证：四边形AFBD 是平行四边形；(2)当AB=AC 时，求证：四边形AFBD 是矩形．5、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 为对角线．(1)尺规作图：请作出AC 的垂直平分线，分别交AD ，BC ，AC 于点E ，F ，G ，连接CE ，AF ．不写作法，保留作图痕迹；(2)请判断四边形AFCE 的形状，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；B 、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；C 、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；D 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．2、D【解析】【分析】如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，可说明四边形AMFD 为矩形，AM DF =，BM CF =，MPB △是等腰直角三角形，=BM PM ；①中PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒可得PDF ∆为等腰直角三角形，进而求PD =，由于四边形PECF 是平行四边形，=PF CE ，故可知PD ==；②90BCD ∠=︒，四边形PECF 为矩形，进而可求矩形的周长；③证明ADP CDP △≌△，由全等可知AP PC =，进而可说明AP EF =；④==EF PC AP ，当AP 最小时，EF 最小，即AP BD ⊥时，AP 最小，计算即可；⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，勾股定理求得222PB PM MB =+，222PD PF FD =+将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H ，证明APM △FEP ≌，得MAP PFE ∠=∠，90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，，90PFE HPF ∠+∠=︒，=90PHF ∠︒进而可说明AP EF ⊥．【详解】解：如图，过点P 作PM AB ⊥于点M ，连接PC ，由题意知FM AD DF AB ∥，∥∴四边形AMFD 为平行四边形∵90MAD ∠=︒∴四边形AMFD 为矩形∴AM DF AD MF ==，∵BM AB AM CF CD DF =-=-，∴BM CF =∵4590ABD BMP ∠=︒∠=︒，∴45MPB ∠=︒∴MPB △是等腰直角三角形∴=BM PM①∵PF MF MP AB BM AM DF =-=-==，=90PFD ∠︒∴PDF ∆为等腰直角三角形∴PD =PE BC ⊥，PF CD ⊥∴PE CD PF BC ∥，∥∴四边形PECF 是平行四边形∴=PF CE∴PD =故①正确；②∵90BCD ∠=︒∴四边形PECF 为矩形∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+==故②正确； ③四边形PECF 为矩形PC EF ∴=∵在ADP △和CDP 中∵45AD CD ADP CDP PD PD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADP CDP SAS ≌△△∴AP PC =∴AP EF =故③正确；④∵EF PC AP ==∴当AP 最小时，EF 最小∴当AP BD ⊥时，即1122AP BD ==⨯=EF的最小值等于故④正确；⑤在Rt PBM △和Rt PDF 中，22222PB PM MB PM =+=，2222222PD PF FD FD AM ===+ ∴22222222PB PD PM AM AP +=+=故⑤正确；⑥如图1，延长AP 与EF 交于点H∵在APM △和FEP 中∵AP EF AM PF MP PE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴APM △()FEP SSS ≌∴MAP PFE ∠=∠∵90MAP MPA MPA HPF ∠+∠=︒∠=∠，∴90PFE HPF ∠+∠=︒∴=90PHF ∠︒AP EF ∴⊥故⑥正确；综上，①②③④⑤⑥正确，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．3、B略4、D【解析】【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP 时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=125．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5、B【解析】略6、C【解析】【分析】根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得28AC OA ==，进而勾股定理求得BC ，再根据AB BC ⨯即可求得矩形的面积．【详解】 解：四边形ABCD 是矩形，12OA AC ∴=，90ABC ∠=︒ AB ＝6，OA ＝4BC ∴∴矩形ABCD 的面积为：6AB BC ⨯=⨯故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．7、C【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．8、B【分析】根据菱形的性质求得BD 的长，进而根据菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅，即可求得BE 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是菱形AC BD ∴⊥，142AO CO AC ===，DO BO =，5CD AB == 在Rt AOB 中，5AB =，4AO =3BO ∴26BD BO ∴== 菱形的面积等于12AC BD CD BE ⋅=⋅1168242255AC BD BE CD ⋅⨯∴==⨯= 故选B【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质，求得BD 的长是解题的关键．9、B【分析】根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形的周长为8，∴边长=2，∴菱形的面积=2×2=4，故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．10、B【解析】【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE=HN，AD=EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∵AD=AB，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴△ADE ≌△FDE ，∴DA =DF =DC ，∠DFE =∠A =90°，∠1=∠2，∴∠DFG =90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ），∴∠3=∠4，∵∠ADC =90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG =45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形，∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ，∴∠1=∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DME ≌△EBH （SAS ），Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ，∴EM ，∴BH ，即BHAE ．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．二、填空题1、①②④【解析】【分析】由正方形性质、三角形性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及全等三角形的判定及性质，对结论推理论证即可．【详解】由题意得AM BE =∴AB EM =∵四边形ABCD 是正方形，EH AC ⊥∴EM AD =，90AHE =︒∠，45MEH DAH EAH ∠=∠=∠=︒∴EH AH =∴()MEH DAH SAS ≅△△∴MHE DHA ∠=∠，MH DH =∴90MHD AHE ∠=∠=︒，DHM △为等腰直角三角形∴DM故②正确当60DHC ∠=︒时，604515ADH ∠=︒-︒=︒∴Rt ADM △中，DM =2AM即DM =2BE故①正确∵CD //EM ，AD //DM∴四边形CEMD 是平行四边形∵DM AD >，AD CD =∴DM CD >∴四边形CEMD 不可能为菱形故③错误∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合）且<AM AB∴45AHM BAC ∠<∠=︒∴135CHM ∠>︒故④正确综上所述①②④正确故答案为：①②④．【点睛】本题为四边形内的综合问题，熟悉正方形、三角形、平行四边形、菱形以及全等三角形的等知识点的性质是解题的关键．2、3【解析】【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边都相等，点A 的坐标为5(2，0)，对角线OB =(k 0,x 0)k y x =≠>经过点C ，可设点C 的坐标为(,)a b ，从而可以表示出点B 的坐标，然后列出相应的方程组，即可得a 、b 的值，从而可以得到k 的值．【详解】四边形OABC 是菱形，OA AB BC CO ∴===，设点C 的坐标为(,)a b ，点A 的坐标为5(2，0)，对角线OB =∴点B 的坐标为5(2a +，)b ，52OC =， ∵52OC =,OB =∴2222225()25()2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 解得32a =，2b =， 3232ab ∴=⨯=， 反比例函数(k 0,x 0)k y x =≠>经过点C ，点C 的坐标为(,)a b ，k b a ∴=， 3k ab ∴==．故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题的关键是根据数形结合的思想找到各边之间的关系，k与点C的坐标的关系．3、8【解析】【分析】正方形边长相等设为a，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．【详解】解：设边长为a，对角线为42=+4a28∴=a故答案为：8．【点睛】本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．4、（8，0）或（-2，0）##（-2，0）或（8，0）【解析】【分析】由矩形的性质可得BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，由折叠的性质可得AE=CE，由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形OABC矩形，且点A（3，0），点C（0，9），∴BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，∵将△ABC 沿DE 对折，恰好能使点A 与点C 重合．∴AE =CE ，∵CE 2=BC 2+BE 2，∴CE 2=9+（9-CE ）2，∴CE =5，∴AE =5，∵△AEP 为等腰三角形，且∠EAP =90°，∴AE =AP =5，∴点E 坐标（8，0）或（-2，0）故答案为：（8，0）或（-2，0）【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化-对称，求出AE 的长是本题的关键．5、4+4【解析】【分析】过点N 作NE BC ⊥交于点E ，由矩形ABCD 得OB OD =，OBM ODN ∠=∠，根据ASA 可证BOM DON ≅△△，故可得1CE DN BM ===，由直角三角形30角所对的边为斜边的一半得出122CD EN MN ===，根据勾股定理求出ME ，从而得出BC ，由矩形的面积公式即可得出答案． 【详解】如图，过点N 作NE BC ⊥交于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB OD =，OBM ODN ∠=∠，∵BOM DON ∠=∠，∴()BOM DON ASA ≅，∴1CE DN BM ===，∵30OMC ∠=︒， ∴122CD EN MN ===，∴ME ==∴112BC =+=+∴(224ABCD S =+⨯=+矩形．故答案为：4+【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．6、②③④【解析】【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】 解：12,22CD AB CF BC ====，Rt CDF ∴为等腰直角三角形，45CFD ∴∠=︒，当P 在F 点的左边时，180135EFP CFD ∴∠=︒-∠=︒，当P 在F 点的右边时，45EFP CFD ∴∠=∠=︒，故①错误；过点E 作EG BC ⊥，在Rt ABP 和Rt PGE △中，根据旋转的性质得：AP PE =，90∠+∠=∠+∠=︒，APB BAP APB EPG∴∠=∠，BAP EPG∴≌，Rt ABP Rt PGE AAS()∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，∴∠=︒，45EFG即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DF∴∠=∠=︒，45DCE ECFRt CEF∴为等腰直角三角形，CE EF∴=，2CF=，由勾股定理：222CE EF CF+=，CE∴=故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．7、35 4【解析】【分析】根据HF垂直平分BE，得到BF=EF，设DE=x，根据矩形的性质证明△EDG≌△FCG，得到CF=DE=x，BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，由勾股定理得222EM MF EF+=，即222(2)10(52)x x+=+，求出x可得答案．【详解】解：∵HF垂直平分BE，∴BF=EF，设DE=x，∵G是CD的中点，∴DG=CG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD=BC ，AB=CD ，∴∠EDG =∠FCG ，∵∠EGD =∠FGC ，∴△EDG ≌△FCG ，∴CF=DE=x ，∵5AE =，∴BC=AE +DE =5+x ，过点F 作FM ⊥AD 于M ，则四边形CFMD 是矩形，∴DM=CF=x ，MF=CD=AB =10，∠M =90°，∴EF=BF =5+2x ，∵222EM MF EF +=，∴222(2)10(52)x x +=+，解得x =154， ∴1535544BC =+=， 故答案为：354．【点睛】此题考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．8、①②③④【解析】【分析】AE=AB=CD=FG，AD=EF，AF=AC，∠FAC=90°，即可得到① 正确；证明△AQE≌△MQH可以判断② ；由全等三角形的性质可得到CP=AQ，由等腰直角三角形的性质可以得到PQ，即③正确；由P为CM的中点，得到MP MQ CP===1PD=，即④正确．【详解】解：如图，连接AF，AC，PQ，延长FE交BC于N，取FN中点H，连接MH，∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AEFG，∴AE=AB=CD=FG，AD=EF，AF=AC，∠FAC=90°，∠D=∠AEQ=90°，∵M是CF的中点，∴AM=MC=MF，AM⊥CF，即①正确；∵∠DPC=∠APM，∠DPC+∠DCP=90°，∠APM+∠MAP=90°，∴∠DCP=∠MAP，∵AE =CD ，∠D =∠AEQ =90°，在△CDP 和△AEQ 中，DCP EAQ CD AED AEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CDP ≌△AEQ （ASA ），即②正确；∴CP =AQ ，∴MC -CP =AM -AQ ，∴MP =MQ ，∵222PQ MQ MP =+，∴PQMQ ，即③正确；∵P 为CM 的中点，∴MP MQ CP ===∵AE =CD =2，∴1PD ==，即④正确 ．故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9、 相等 AD 垂直 BD 相等 AD【解析】略10、16【解析】略三、解答题1、 (1)见解析； (2)54AH = 【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ABD EAF ∆≅∆得1EAF ∠=∠，根据旋转的性质可得12∠=∠，从而得2EAF ∠=∠，故可证明结论；（2）证明EH DH =，设EH x =，则DH x =，2AH x =-，运用勾股定理可得方程2221(2)x x +=-，解方程即可进一步求解．(1)证明：如图，由旋转可得AB AE =，1 2.∴∠=∠因为矩形AEFG 由矩形ABCD 旋转而得到，90DAB FEA ︒∴∠=∠=，,AD BC EF ==ABD EAF ∴∆≅∆，1EAF ∴∠=∠2EAF ∴∠=∠BD ∴//AF(2)∵BD//AF∴∠DEF AFE =∠ABD EAF ∆≅∆，∴∠ADE AFE =∠，∴∠DEF ADE =∠∴EH DH =设EH x =，则DH x =，2AH x =-∵∠90HEA ︒=∴2221(2)x x +=- 解得：34x =∴352244AH x =-=-= 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．2、（1）8；（2）83．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD =BC ，CD =AB ，根据折叠的性质可得AF =AD ，利用勾股定理即可求出BF 的长；（2）根据折叠性质可得DE =EF ，可得EF =CD CE -，根据线段的和差关系可得CF 的长，利用勾股定理可求出CE 的长，利用三角形面积公式即可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，AB =6，BC =10，∴AD =BC =10，CD =AB =6，∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，∴AF =AD =10，∴BF ．（2）∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，∴EF =CD CE -，∵BC =10，BF =8，∴CF BC BF =-=2，∵EF 2=CF 2+CE 2，∴222(6)2CE CE -=+， 解得：83CE =，∴S △ECF =12CF CE ⋅=18223⨯⨯=83． 【点睛】本题考查矩形的性质及折叠性质，矩形的对边相等，四个角都是直角；图形折叠前后，对应边相等，对应角相等；正确找出对应边和对应角是解题关键．3、 (1)见解析(2)20【解析】【分析】（1）证()AOD COB AAS ∆≅∆，由全等三角形的性质得OD OB =，即可解决问题；（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD 是菱形，由菱形的周长公式即可得解．(1)解：证明：//AD BC ，ADO CBO ∴∠=∠， O 是AC 的中点，在AOD ∆和COB ∆中，ADO CBO AOD COB OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOD COB AAS ∴∆≅∆，OD OB ∴=，又OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形；(2) 解：四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形，8AC =，6BD =，142AO AC ∴==，132==OB BD ，5AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的周长4520=⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）首先证明△AEF ≌△DEC （AAS ），得出AF =DC ，进而利用AF ∥B D 、AF =BD 得出答案；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案．【小题1】解：证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFC =∠FC D ．在△AFE 和△DCE 中，AEF DEC AFE DCE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△DEC （AAS ）．∴AF =DC ，∵BD =DC ，∴AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形；【小题2】∵AB =AC ，BD =DC ，∴AD ⊥B C ．∴∠ADB =90°．∵四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及矩形的判定方法、全等三角形的判定与性质，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．5、 (1)见解析，(2)菱形，理由见解析【解析】【分析】（1）利用基本作图，作线段AC的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，FA＝FC，AG＝GC，再证明△AGE≌△CGF得到AE＝CF，根据四边相等可判断四边形AFCE为菱形．(1)解：如图，EF、CE、AF为所作；(2)解：四边形AFCE为菱形．理由如下：如图，∵EF垂直平分AC，∴EC＝EA，FC＝FA，AG＝GC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，在△AGE和△CGF中，EAC FCA AG CGAGE CGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGE ≌△CGF （ASA ），∴AE ＝CF ，∴AE ＝EC ＝CF ＝AF ，∴四边形AFCE 为菱形．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质和菱形的判定，熟练掌握基本作图，熟练运用垂直平分线的性质和菱形判定进行推理证明是解题关键．。
19.1 矩形 华东师大版八年级下册同步练习(含解析)
第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形基础过关全练知识点1 矩形的定义与性质1.(2022江西上饶期末)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AC=4,则OB的长为( )A.8B.4C.3D.22.(2022安徽中考)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( )A.α-90°B.α-45°C.180°-αD.270°-α3.(2022河南南阳邓州期末)关于矩形的性质,下列说法不正确的是( ) A.四个角都是直角 B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是中心对称图形4.【教材变式·P100T2变式】(2022河南信阳潢川期中)一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°,对角线长为16 cm,则这个矩形较短边的长为( ) A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm5.(2022重庆巴蜀中学期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD交BD于点E,∠AOB=110°,则∠DAE的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.25°6.【教材变式·P101T3变式】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC、BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A、D重合),过点P 作AC和BD的垂线,垂足分别为E、F,则PE+PF的值是( )A.2.4B.1.2C.0.6D.37.(2021湖南株洲中考)如图所示,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD=2,则AC= .8. (2022北京海淀实验中学期中)在矩形ABCD中,AD=12 cm,AB=18 cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,点C落在点C'处,折痕为EF,则DE= cm.9.(2021广西贺州中考)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,以CD为斜边作Rt△GCD,GD=GC,连结GE,GF.若BC=2GC,则∠EGF= .10.(2022重庆中考B卷)我们知道,矩形的面积等于这个矩形的长乘宽,ah.想法小明想用其验证一个底为a,高为h的三角形的面积公式为S=12是以BC为边作矩形BCFE,点A在边FE上,再过点A作BC的垂线,将其转化为证三角形全等,由全等图形面积相等来验证,按以上思路完成下面的作图与填空.证明:过点A作BC的垂线AD交BC于点D.(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵∠F=90°,∴ ① ,∵EF∥BC,∴ ② ,又∵ ③ ,∴△ADC ≌△CFA (A.A.S.).同理可得, ④ .∴S △ABC =S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah.11.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在矩形ABCD 中,点M 在DC 上,AM =AB ,且BN ⊥AM ,垂足为N.(1)求证:△ABN ≌△MAD ;(2)若AD =3,AN =4,求四边形BCMN 的面积.12.【新独家原创】如图,四边形ABCD 各内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ,若四边形EFGH 是矩形,试判断四边形ABCD 的形状,并说明理由.知识点2 矩形的定义判定法13.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要添加的条件是( )A.∠A+∠B=180°B.∠C+∠B=180°C.∠A=∠BD.∠B=∠D14.(2022福建福州屏东中学期末)如图,在平行四边形ABCD中,DE⊥AB,点F在AB的延长线上,且CF⊥AB.求证:四边形CDEF是矩形.15.(2022山东青岛胶州二模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线GH经过点O,分别与BA、DC的延长线交于点G、H,与AD、CB交于点E、F.(1)求证:△BOG≌△DOH.(2)连结AH、CG、GD,若GH=GD,当点C位于DH上的什么位置时,四边形AHCG是矩形?请说明理由.知识点3 矩形的判定定理116.(2022湖南娄底模拟)如图,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于点B,AE=OB,DE⊥ON于点E,AD=AO,DC⊥OM于点C.求证:四边形ABCD是矩形.17.【新独家原创】如图,已知MD∥NB,AC分别交NB、MD于点A、C,∠DCA、∠BAC的平分线相交于点E,∠MCA、∠NAC的平分线相交于点F.求证:四边形AECF是矩形.知识点4 矩形的判定定理218.(2022四川绵阳三台期末)如图,用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其判断依据是 ( )A.矩形的对角线相等B.矩形的四个角是直角C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线相等的平行四边形是矩形19.(2022河南平顶山一模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.AC⊥BDB.AB⊥BCC.AC=BDD.∠1=∠220.(2022福建厦门逸夫中学期中)如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.21.(2021天津静海联考)如图,在▱ABCD中,将边AB延长至点E,使AB=BE,连结DE,EC,BD,DE交BC于点O,且∠BOD=2∠A.求证:四边形BECD是矩形.22.(2022江苏南京玄武二模)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,连结CE并延长,与BA的延长线交于点F.(1)求证:EF=EC;(2)连结AC,DF,若CA平分∠FCB,求证:四边形ACDF为矩形.能力提升全练23.(2022湖南邵阳中考,15,)已知矩形的一边长为6 cm,一对角线长为10 cm,则矩形的面积为 cm2.24.【新考法】(2022湖南株洲中考,16,)如图所示,矩形ABCD的顶点A、D在y轴上,顶点C在第一象限内,x轴为该矩形的一条对称轴,的图象经过点C,则k的值且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y=kx为 .25.(2022四川内江中考,25,)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是 .26.(2022吉林长春高新区一模,20,)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.27.【方程思想】(2022浙江丽水中考,22,)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.(1)求证:△PDE≌△CDF;(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.素养探究全练28.【推理能力】已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图1所示)时,易证PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究,当点P分别在图2、图3中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系.请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图2、图3证明你的结论.图1 图2 图3答案全解全析基础过关全练BD,∴OB=2,故选D.1.D ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=4,OB=122.C 如图,∵∠3+∠4=90°,∠2+∠4=90°,∴∠2=∠3,∵∠1+∠3=180°,∴∠3=180°-∠1=180°-α,∴∠2=180°-α.故选C.3.C 矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等且互相平分,矩形是中心对称图形,但矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.4.C 如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线长为16 cm,∴AC=BD=16 cm,∴AO=BO=8 cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=BO=8 cm,故矩形较短边的长为8 cm.故选C.5.B ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,∵∠AOB=110°,∴∠ABO=∠OAB=35°,∵AE⊥BD,∴∠BAE=90°-35°=55°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-55°=35°,故选B.6.A 如图所示,连结OP ,过点A 作AG ⊥BD 于G ,∵AB =3,AD =4,∴BD =32+42=5,∵S △ABD =12AB ·AD =12BD ·AG ,∴12×3×4=12×5×AG ,解得AG =2.4,∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =OD ,∵S △AOD =12OA ·PE +12OD ·PF =12OD ·AG ,∴PE +PF =AG =2.4.7.答案 4解析 ∵四边形ADBE 是矩形,∴AB =DE =2OD =4,∵△ABC 为等腰三角形,∴AB =AC =4.8.答案 13解析 ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DAE =90°,根据折叠的性质得,DE =BE ,设DE =BE =x cm,∵AB =18 cm,∴AE =(18-x )cm .在Rt △ADE 中,AD 2+AE 2=DE 2,即122+(18-x )2=x 2,解得x =13,即DE =13 cm .9.答案 45°解析 ∵以CD 为斜边作Rt △GCD ,GD =GC ,∴∠GDC =∠GCD =45°,∠DGC =90°,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC =∠DCB =90°,AD =BC ,∴∠FDG =∠FDC +∠CDG =90°+45°=135°,∠ECG =∠DCB +∠DCG =90°+45°=135°,∵E ,F 分别为BC ,DA 的中点,BC =2GC ,∴DF =DG ,CE =CG ,∴∠DGF =∠DFG =12(180°-∠FDG )=12×45°=22.5°,∠EGC =∠GEC =12(180°-∠ECG )=12×45°=22.5°,∴∠EGF =∠DGC -∠DGF -∠EGC =90°-22.5°-22.5°=45°.10.解析 作图如下:①∠F =∠ADC ;②∠1=∠2;③AC =AC ;④△ADB ≌△BEA (A.A.S.).11.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90°,DC ∥AB ,∴∠BAN =∠AMD ,∵BN ⊥AM ,∴∠BNA =90°,在△ABN 和△MAD 中,∠BNA =∠D =90°,∠BAN =∠AMD ,AB =AM ,∴△ABN ≌△MAD (A.A.S.).(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,∵AD=3,∴BN=3,∵BN⊥AM,AN=4,∴AB2=AN2+BN2=32+42=25=52,∴AB=5,∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.AN·BN=6,∵S△ABN=12∴S△MAD=S△ABN=6,∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=3.12.解析 四边形ABCD是平行四边形,理由如下:∵四边形EFGH是矩形,∴∠HEF=90°,∴∠AED=∠HEF=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°.∵DF、AH分别平分∠ADC、∠DAB,∴∠ADC=2∠EDA,∠DAB=2∠EAD,∴∠ADC+∠DAB=2(∠EDA+∠EAD)=180°,∴AB∥DC.同理,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.13.C A.当∠A+∠B=180°时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;B.当∠C+∠B=180°时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,若∠A=∠B,则∠A=∠B=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,符合题意;D.当∠B=∠D时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意.故选C.14.证明 ∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEA=∠CFB=90°,DE∥CF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴四边形DEFC是平行四边形,∵∠CFB=90°,∴四边形DEFC是矩形.15.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠G=∠H,在△BOG与△DOH中,∠G=∠H,∠BOG=∠DOH, OB=OD,∴△BOG≌△DOH(A.A.S.).(2)当C为DH的中点时,四边形AHCG是矩形.理由:如图,∵△BOG≌△DOH,∴BG=DH,∵AB=CD,∴AG=CH,又∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形.∵GH=GD,C为DH的中点,∴GC⊥CD,∴∠GCH=90°,∴四边形AHCG是矩形.16.证明 ∵AB⊥OM,DC⊥OM,ED⊥ON,∴∠ABC =∠ABO =∠DCB =∠DEA =90°,∵AO =AD ,OB =AE ,∴Rt △ABO ≌Rt △DEA (H.L.),∴∠AOB =∠DAE.∵∠AOB +∠OAB =90°,∴∠DAE +∠OAB =90°,∴∠BAD =180°-(∠DAE +∠OAB )=90°,∴∠BAD =∠ABC =∠DCB =90°,∴四边形ABCD 是矩形.17.证明 ∵MD ∥NB ,∴∠MCA +∠NAC =180°,∵∠MCA 、∠NAC 的平分线相交于点F ,∴∠FAC =12∠NAC ,∠FCA =12∠MCA ,∴∠FAC +∠FCA =12(∠NAC +∠MCA )=90°,∴∠CFA =180°-(∠FAC +∠FCA )=90°,同理,∠AEC =90°,∠FCE =90°,∴∠CFA =∠AEC =∠FCE =90°,∴四边形AECF 是矩形.18.D 四边形ABCD 是平行四边形,若对角线AC =BD ,则根据对角线相等的平行四边形是矩形可判定四边形ABCD 是矩形.19.A A.由四边形ABCD 是平行四边形,AC ⊥BD 不能判定四边形ABCD 是矩形,故选项A 符合题意;B.∵AB ⊥BC ,∴∠ABC =90°,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项B 不符合题意;C.∵AC =BD ,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项C 不符合题意;D.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,∵∠1=∠2,∴OA=OD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选项D不符合题意.故选A.20.证明 ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2AO,BD=2OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.21.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴BE∥CD.∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∠A=∠OCD,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,∴平行四边形BECD为矩形.22.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EAF=∠EDC,∵E是AD的中点,∴AE=DE,∵∠FEA=∠DEC,∴△EAF≌△EDC(A.S.A.),∴EF=EC.(2)如图,∵EF=EC,AE=DE,∴四边形ACDF是平行四边形,∵CA平分∠FCB,∴∠ACE=∠BCA,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∴∠ACE=∠DAC,∴AE=CE,∴AD=FC,∴四边形ACDF为矩形.能力提升全练23.答案 48解析 如图,在矩形ABCD中,BC=6 cm,AC=10 cm,∴在Rt△ABC中,AB=102―62=8 cm,∴S矩形ABCD=AB·BC=8×6=48 cm2.24.答案 3解析 如图所示,设BC与x轴交于点E,∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6,∴四边形DOEC是矩形,且矩形DOEC的面积是3.设C(m,n),则OE=m,CE=n,mn=3,∵点C在反比例函数y=k的图象上,x,∴k=mn,∴n=km∴k=3.25.答案 10解析 如图,延长BC到G,使CG=EF,连结FG,∵EF∥BC,EF=CG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴当A、F、G三点共线时,AF+CE的值最小,为AG的长,由勾股定理得,AG=AB2+BG2=62+(4+4)2=10,∴AF+CE的最小值为10.26.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC,∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,∵E为BC的中点,∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE(A.A.S.),∴AB=CF.∴四边形ABFC是平行四边形,∵AD=BC,AD=AF,∴BC=AF,∴四边形ABFC是矩形.27.解析 (1)证明:由题意得,∠P=∠PDF=∠B=∠ADC=∠C=90°,PD =AB =CD ,∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,即∠PDE =∠CDF ,∴△PDE ≌△CDF (A.S.A.).(2)如图,过点E 作EG ⊥BC 于点G ,∴∠EGC =90°,EG =CD =4 cm,在Rt △EGF 中,EG 2+GF 2=EF 2,∵EF =5 cm,∴GF =3 cm .设CF =x cm,易得BG =AE =PE =CF =x cm,∴DF =BF =(x +3)cm,在Rt △CDF 中,CF 2+CD 2=DF 2,即x 2+42=(x +3)2,解得x =76.∴BC =BG +GF +CF =2×76+3=163 cm .素养探究全练28.解析 结论均是PA 2+PC 2=PB 2+PD 2.证明如下:如图1,过点P 作MN ∥AB ,交AD 于点M ,交BC 于点N ,则四边形ABNM 和四边形NCDM 均为矩形,由题意可得,在矩形ABNM 中,PA 2+PN 2 =PB 2+PM 2,在矩形NCDM 中,PC 2+PM 2=PD 2+PN 2,两式相加得,PA 2+PN 2+PC 2+PM 2=PB 2+PM 2+PD 2+PN 2,∴PA 2+PC 2=PB 2+PD 2.如图2,过点P 作MN ∥AD ,交BA 的延长线于点M ,交CD 的延长线于点N ,则四边形BCNM 和四边形ADNM 均为矩形,由题意可得,在矩形BCNM中,PC2+PM2=PB2+PN2,在矩形ADNM中,PA2+PN2=PD2+PM2,两式相加得,PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2,∴PA2+PC2=PB2+PD2.图1 图2。
2021-2022学年度华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测试试题(含详解)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在MON∠的两边上分别截取OA，OB，使OA OB=；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若2AB=，4OC=，则四边形AOBC的面积是（）A．B．8 C．4 D．5 22、如图，菱形ABCD中，∠BAD= 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（）A ．34B ．214CD ．3、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的两边OA ，OC 落在坐标轴上，反比例函数y ＝k x的图象分别交BC ，OB 于点D ，点E ，且45BD CD ，若S △AOE ＝3，则k 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣403C ．﹣8D ．﹣4、如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．2.5B ．CD 5、如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ，若AB 的长为2，则FM 的长为（ ）A．2 B C D．16、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（）A．7 B．6 C．4 D．87、如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，则BE的长是（）A．4 B．3 C．4或8 D．3或68、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC＝10cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动．设点P的运动时间为t s，△APC的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t 之间函数关系的是（）A．B．C．D．9、如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BH的值为（）AEA ．1BCD ．210、在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AO =COB ．AO =BOC ．AO ⊥BOD ．AB ⊥BC第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别交于AB 、CD 上，AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠OBC =62°，则∠DAC 为____°．2、如图，在正方形ABCD 中，9AB =，M 是AD 边上的一点，:1:2AM MD =．将△BMA 沿BM 对折至△BMN ，连接DN ，则DN 的长是________．3、如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为80，P 是对角线BC 上一点，分别作P 点到直线AB ．AD 的垂线段PE ．PF ，则PE PF +等于______．4、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是______．矩形的性质定理2：矩形的对角线______．5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，且顶点B 的坐标是（1，2），如果以O 为圆心，OB 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点P ，那么点P 的坐标是_______．6、如图，矩形ABCD 中，10AB =，点E 是AD 上的一点，有5AE =，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是______．7、若矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且6cm BD =，120BOC ∠=︒，则矩形ABCD 的面积为_____________2cm ．8、如图，以边长为2的正方形的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 长度的最小值为_________．9、如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在,AB BC 边上，将纸片沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，然后再次折叠纸片使点F 与点B '重合，点C 落在点C '，折痕为GH ，若18C B D AB E ∠'-∠=''︒，则∠=EFC _______度．10、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =，P 是线段AB 边上的动点（不与点A ，B 重合），将BCP 沿CP 所在直线翻折，得到B CP '△，连接B A '，当B A '取最小值时，则AP 的值为________．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，AM //BN ，C 是BN 上一点，BD 平分∠ABN 且过AC 的中点O ，交AM 于点D ， DE ⊥BD ，交BN 于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)若DE =AB =2，求菱形ABCD 的面积．2、数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，222A B C ∆就是由ABC ∆沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）(1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2B …）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）(2)如图2，在长方形ABCD 中，8BC =，点,E F 分别是边,BC AD 中点，点G 在边CD 延长线上，联结,AE FG ，如果GDF ∆是ABE ∆经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a ；联结AG ，线段AG 和直线a 交于点O ，若OGF ∆的面积为3，求此长方形的边长AB 的长．(3)如图3，M 是（2）中的长方形边BC 上一点，如果1BM =，ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再平移2个单位，得到111A B M ∆，联结线段11AA MM 、，分别和“翻移线”a 交于点K 和点H ，求四边形AKHM 的面积．3、在平面直角坐标系xOy 中，对于图形M ，N 给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 和N 的“极大距离”，记为,()d M N ．已知：正方形ABCD ，其中(1,1)A -，(1,1)B --，(1,1)C -，(1,1)D ．(1)已知点(0,)P t ，①若3t =，则d （点P ，正方形)ABCD = ；②若d （点P ，正方形)3ABCD =，则t = ．(2)已知点(,3)E m ，()2,3F m +，若5d <（线段EF ，正方形)ABCD <m 的取值范围．(3)一次函数3y kx =+的图象与x 轴交于点G ，与y 轴交于点H ，求d （线段GH ，正方形)ABCD 的最小值，并直接写出此时k 的取值范围．4、求作：矩形ABCD ，使它的对角线AC a =，且对角线夹角为60°．5、（1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．【详解】==，根据作图，AC BC OA=，∵OA OB===，∴OA OB BC AC∴四边形OACB是菱形，∵2AB =，4OC =， ∴12442OACB S =⨯⨯=菱形．故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．2、B【解析】【分析】过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，连接BD 和BG ，利用菱形及等边三角形的性质，求出DH BG =，BG AB ⊥，在Rt ADH ∆中，求出DH 的长，进而求出BG 的长，设AE GE x ==，在Rt BEG ∆中，利用勾股定理，列方程，求出x 的值即可．【详解】解：过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，连接BD 和BG ，如下图所示：四边形ABCD 是菱形，6AD AB CD BC ∴====，60A C ∠=∠=︒，CD AB ∥，ADB ∴∆与BCD ∆是等边三角形，DH AB ⊥且点G 恰好为CD 边的中点，DH ∴平分AB ，BG CD ⊥，CD AB ∥，DH AB ⊥，BG CD ⊥，DH BG ∴=，BG AB ⊥，在Rt ADH ∆中，132AH AB ==，由勾股定理可知：DH ==BG DH ∴==由折叠可知：AEF GEF ∆∆≌，故有AE GE =，设AE GE x ==，则6BE AB AE x =-=-，在Rt BEG ∆中，由勾股定理可知：222BE BG GE +=，即()(2226x x -+=，解得214x =， 故选：B ．【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这是解决本题的关键．3、D【解析】【分析】设点B 的坐标为（a ，b ），则点D 的坐标为（kb ，b ），点A 的坐标为（a ，0），分别求出BD 、CD 、AB ，找到a ，b ，k 之间的关系，设点E 坐标为（m ，n ），利用三角形的面积表示出点E 的坐标，再利用割补法求出abk =576，进而可得k 值．【详解】解：设点B 的坐标为（a ，b ），则点D 的坐标为（kb，b ），点A 的坐标为（a ，0），∴BD =k a b -，BC =-a ，CD =-k b ，AB =b ， ∵45BD CD =， ∴5×（ka b -）=4×（k b -）， ∴95ab k =，设点E 坐标为（m ，n ），∵S △AOE =3，即132an -=， ∴6n a =-，∵点E 在反比例函数k y x =上， ∴E （6ak -，6a -）， ∵S △AOE =S 矩形OABC -S △OBC -S △ABE =11()()3226ak ab ab b a ------=， ∴abk =36，把abk =36代入95ab k =得，220k =，解得：k =±由图象可知，k ＜0，∴k =-故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质等，解题的关键是利用割补法表示出△AOE 的面积．4、D【解析】【分析】利用矩形的性质，求证明90OAB ∠=︒，进而在Rt AOB ∆中利用勾股定理求出OB 的长度，弧长就是OB 的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】 解：四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可知：222OB OA AB =+，OB ∴==∴故选：D ．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．5、B【解析】【分析】 由折叠的性质可得11122BM BC AB ===，∠BMN =90°，FB =AB =2，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，AB =2， ∴11122BM BC AB ===，∠BMN =90°， ∵四边形ABCD 为正方形，AB =2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB =AB =2，则在Rt △BMF 中，FM =故选B ．【点睛】本题主要考查了正方形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．6、A【解析】【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221m ⨯+-=，∴7m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．7、D【解析】【分析】当CEF △为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时连接AC ，先利用勾股定理计算出10AC =，根据折叠的性质得90AFE B ∠=∠=︒，而当CEF △为直角三角形时，只能得到90EFC ∠=︒，所以点A 、F 、C 共线，即B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，则EB EF =，6AB AF ==，可计算出CF 然后利用勾股定理求解即可；②当点F 落在AD 边上时．此时ABEF 为正方形，由此即可得到答案．【详解】解：当CEF △为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时，如图所示．连接AC ，在Rt ABC 中，6AB =，8BC =，∴10AC =，∵△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴90AFE B ∠=∠=︒，BE =EF ，当CEF △为直角三角形时，只能得到90EFC ∠=︒，∴=180AFE EFC +︒∠∠∴点A 、F 、C 共线，即△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴6AB AF ==，∴1064CF =-=，设BE =EF =x ，则EC =BC -BE =8-x ，∵222CE EF CF =+，∴()22284x x -=+，解得3x =，∴BE =3；②当点F 落在AD 边上时，如图所示，由折叠的性质可知AB =AF ，BE =EF ，∠AEF =∠B =90°，∠FEC =90°，∴ABEF 为正方形，∴6BE AB ==，综上所述，BE 的长为3或6．故选D ．【点睛】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质，正方形的性质与判定以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．8、C【解析】【分析】先求解8,BC = 再分别求解“当03t ≤≤时，点P 在AB 上，当37t <≤时，点P 在BC 上”时的函数解析式，再根据函数解析式判断函数图象即可.【详解】 解： 矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，对角线AC ＝10cm ， 228,BCAC AB 当03t ≤≤时，点P 在AB 上，2,AP t11=288,22S AP BC t t 当37t <≤时，点P 在BC 上，682142,CP t t 11=6142426,22S CP AB t t所以能大致反映S 与t 之间函数关系的是C.故选：C【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，一次函数的图象，矩形的性质，明确“当03t ≤≤时，点P 在AB 上，当37t <≤时，点P 在BC 上”是列函数关系式的关键，也是判断图象的关键.9、B【解析】【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE ≌△ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明△BNH 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ，，∵AD =AB ，∴DM =BE ，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴△ADE ≌△FDE ，∴DA =DF =DC ，∠DFE =∠A =90°，∠1=∠2， ∴∠DFG =90°，在Rt △DFG 和Rt △DCG 中，∵DF DCDG DG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ），∴∠3=∠4，∵∠ADC =90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG =45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ， ∴∠1=∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DME ≌△EBH （SAS ），∴EM =BH ，Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ，∴EM ，∴BH ，即BHAE ．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．10、C【解析】【分析】根据菱形的判定分析即可；【详解】∵四边形ABCD 时平行四边形，AO ⊥BO ，∴ABCD 是菱形；故选C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．二、填空题1、28【解析】【分析】由全等三角形的性质可证△AOM ≌△CON ，可得AO =CO ，由等腰三角形的性质可得BO ⊥AC ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，AB =BC ，BC //AD ，∴∠MAO =∠NCO ，∠BCA =∠CAD ．在△AOM 和△CON 中，MAO NCO AOM CON AM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴AO =CO ，又∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BCO =90°﹣∠OBC =28°=∠DAC ．故答案为：28．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．2【解析】【分析】连接AN 交BM 于点O ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，根据正方形的性质可得AM =3，DM =6，从而得到BM =AN ⊥BM ，AO =NO ，MN =AM =3，再由1122ABM S AB AM AO BM =⋅=⋅，可得AO =2AN AO ==2222AN AH MN MH -=-，从而得到125MH =，进而得到95HN =，2718955DH =-= ，即可求证．【详解】解：如图，连接AN 交BM 于点O ，过点N 作NH ⊥AD 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =90°，AB =AD ，∵9AB =， :1:2AM MD =．∴AM =3，DM =6，∴BM =，∵将△BMA 沿BM 对折至△BMN ，∴AN ⊥BM ，AO =NO ，MN =AM =3， ∵1122ABMS AB AM AO BM =⋅=⋅ ，∴AO =，∴2AN AO ==在Rt AHN 中，由勾股定理得：222HN AN AH =- ，在Rt MHN 中，由勾股定理得：222HN MN MH =- ，∴2222AN AH MN MH -=-，即()222233MH MH -+=- ，解得：125MH = ，∴2735AH MH =+=，95HN = ， ∴2718955DH =-= ，∴DN ==．【点睛】 本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，轴对称图形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．3、8【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD =10，S △ABD =12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为80，∴AB=AD =10，S △ABD =40，∵分别作P 点到直线AB 、AD 的垂线段PE 、PF ， ∴12×AB ×PE +12×PF ×AD =40，∴12×10（PE+PF）=40，∴PE+PF=8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD=S△ABD是解题关键．4、直角相等【解析】略5、0）【解析】【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，∵OB∴OP∴点P0）．故答案为：0）．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．6、35 4【解析】【分析】根据HF垂直平分BE，得到BF=EF，设DE=x，根据矩形的性质证明△EDG≌△FCG，得到CF=DE=x，BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，由勾股定理得222EM MF EF+=，即222(2)10(52)x x+=+，求出x可得答案．【详解】解：∵HF垂直平分BE，∴BF=EF，设DE=x，∵G是CD的中点，∴DG=CG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD BC∥，AD=BC，AB=CD，∴∠EDG=∠FCG，∵∠EGD=∠FGC，∴△EDG≌△FCG，∴CF=DE=x，∵5AE=，∴BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，∴DM=CF=x，MF=CD=AB=10，∠M=90°，∴EF=BF =5+2x ，∵222EM MF EF +=，∴222(2)10(52)x x +=+，解得x =154， ∴1535544BC =+=， 故答案为：354．【点睛】此题考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．7、【解析】【分析】如图，过点O 作OE BC ⊥，根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB OC =，2AB OE =，2BC BE =，由120BOC ∠=︒得30OBE OCE ∠=∠=︒，利用勾股定理求出BE ，由矩形面积得解．【详解】如图，过点O 作OE BC ⊥，∵四边形ABCD 是矩形， ∴13cm 2OB OC OD BD ====，2AB OE =，2BC BE =， ∵120BOC ∠=︒，∴30OBE OCE ∠=∠=︒， ∴13cm 22OE OB ==，∴BE ===，∴3cm AB =，BC =，∴23)ABCD S =⨯=矩形．故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质与勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．8【解析】【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD =∠ODB =45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD =90°，OC =OD ，然后根据同角的余角相等求出∠COA =∠DOB ，再利用“ASA ”证明△COA 和△DOB 全等，根据全等三角形对应边相等可得OA =OB ，从而得到△AOB 是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA ⊥CD 时，OA 最小，然后求出OA解答．【详解】解：如图，∵四边形CDEF 是正方形，45,90,OCD ODB COD OC OD ︒︒∴∠=∠=∠==，OA OB ⊥90AOB ︒∴∠=，90,90COA AOD AOD DOB ︒︒∴∠+∠=∠+∠=COA DOB ∴∠=∠，在ΔCOA 与ΔDOB 中，OCA ODB OC ODAOC DOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ΔΔCOA DOB ASA ∴≌，∴OA =OB ，∵∠AOB =90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB= , 要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，∴CA=DA，∴OA=112CF=,∴AB【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．9、144【解析】【分析】根据将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，得出∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F=90°根据四边形ABCD为矩形，得出AD∥BC，可得∠DBF=∠B′FB=2∠EFB，可求∠AB′E=90°-∠DB′F=90°-2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠CB′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，可得∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，根据18C BD AB E∠'-∠=''︒，列方程180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解方程即可．【详解】解：∵将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，∴∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F=90°∴∠AB′E=90°-∠DB′F∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DB′F=∠B′FB=2∠EFB，∴∠AB′E=90°-∠DBF=90°-2∠EFB，∵GH为对称轴，∴∠C′B′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，∵∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，''︒，∵18-∠=∠'C BD AB E∴180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解得∠EFB=36°，∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-36°=144°．故答案为144．【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键．10【解析】【分析】根据翻转变换的性质可知BC＝C B'＝1，当A、B'、C三点在一条直线上时，A B'有最小值，根据题意作图，过P点作PH⊥BC，PQ⊥AC，得到四边形PQCH是正方形，利用面积法求出PQ的长，再根据勾股定理求出AP的长．【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =∴AC 2=由翻转变换的性质可知：BC ＝C B '＝1，故当A 、B '、C 三点在一条直线上时，A B '有最小值， 过P 点作PH ⊥BC ，PQ ⊥AC ，∴∠ACB =∠PHC =∠PQC =90°∴四边形PQCH 是矩形∵翻转∴△BCP ≌△B 'CP∴PH =PQ∴四边形PQCH 是正方形设PQ =x ，则PH =x∵S △ABC =S △APC +S △PBC ∴111222BC AC BC PH PQ AC ⨯=⨯+⨯ 即1111212222x x ⨯⨯=⨯⨯+⨯ 解得x =23∴AQ =2-23=43∴AP【点睛】本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，根据题意找到B 的位置是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由ASA可证明△ADO≌△CBO，再证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD=AB，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC=DE=2，AD=EC，由菱形的性质得出EC=CB=AB=2，得出EB=4，由勾股定理得BD=【小题1】解：证明：∵点O是AC的中点，∴AO=CO，∵AM∥BN，∴∠DAC=∠ACB，在△AOD和△COB中，DAO BCO AO COAOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADO ≌△CBO （ASA ），∴AD =CB ，又∵AM ∥BN ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AM ∥BN ，∴∠ADB =∠CBD ，∵BD 平分∠ABN ，∴∠ABD =∠CBD ，∴∠ABD =∠ADB ，∴AD =AB ，∴平行四边形ABCD 是菱形；【小题2】由（1）得四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD =CB ，又DE ⊥BD ，∴AC ∥DE ，∵AM ∥BN ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC =DE =2，AD =EC ，∴EC =CB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴EC =CB =AB =2，∴EB =4，在Rt △DEB 中，由勾股定理得BD=∴S 菱形ABCD ＝12AC •BD ＝122⨯⨯ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．2、 (1)“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分(2)3(3)11或10【解析】【分析】（1）画出图形，即可得出结论；（2）作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；（3）分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．(1)解：如图1，连接2AA ，2BB ⋯，则“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分；(2)解：作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，如图2所示：四边形ABCD 是长方形，AB CD ∴=，8AD BC ==，由“翻移运动”的性质得：AB DC GD ==，142AF DF AD ===，O 是AG 的中点，3AOF OGF S S ∆∆∴==， ΔΔ26AFG OGF S S ∴==，AF DF =，ΔΔ6GDF AFG S S ∴==，Δ114622GDF S DG DF DG ∴=⨯=⨯⨯=， 3DG ∴=，3AB ∴=；(3)解：分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形ABEK 的面积ABM -∆的面积HME -∆的面积111(331)4313111222=⨯++⨯-⨯⨯-⨯⨯=； ②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形AFEM 的面积AFK -∆的面积HME +∆的面积111(34)3413110222=⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=； 综上所述，四边形AKHM 的面积为11或10．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质．3、 1-+1-(2)03m <<(3)1k 或1k ≤-【解析】【分析】（1）①根据图形M 和N 的“极大距离”的定义求解即可．②分两种情形，利用勾股定理求解即可．（2）分两种情形：如图2中，当EF 在y 轴的右侧时，如图3中，当EF 在y 轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的m 的值即可解决问题．（3）当d （线段GH ，正方形)ABCD 取最小值，推出d （线段GH ，正方形)ABCD 的最小值d =（点H ，正方形)ABCD =d （点G ，正方形)17ABCD ，当d （点G ，正方形)ABCD (3,0)G 或(3,0)G '-，求出两种特殊位置k 的值，可得结论．(1)解：①如图1中，3t =时，(0,3)P ，d ∴（点P ，正方形)ABCD PB ==②d （点P ，正方形)3ABCD =，当点P 在y 轴的右侧时，2221(1)3t ++=，解得1t =-+1--，当点P 在y 轴的左侧时，2221(1)3t +-=，解得1t =-1+，综上所述，满足条件的t 的值为1-+1-故答案为：1-+1-(2)解：如图2中，当EF 在y 轴的右侧时，若5BF =时，222(21)45m +++=，解得，0m =或6-（舍弃），若BF =时，222(21)4m +++=， 解得，3m =或9-（舍弃），观察图象可知，满足条件的m 的值为03m <<． 如图3中，当EF 在y 轴的左侧时，若5CE =，则有，222(1)45m -+=，解得，2m =-或4（舍弃），若BF =时，222(1)4m -+=，解得，5m =-或7（舍弃），观察图象可知，满足条件的m 的值为52m -<<-．综上所述，满足条件的m 的值为03m <<或52m -<<-．(3)解：如图4中，当d （线段GH ，正方形)ABCD 取最小值，d ∴（线段GH ，正方形)ABCD 的最小值d =（点H ，正方形)ABCD =，d ∴（点G ，正方形)17ABCD ，当d （点G ，正方形)ABCD =(3,0)G 或(3,0)G '-，G 代入3y kx =+，得1k =-，将G '代入3y kx =+，得1k =，观察图形可知，满足条件的k 的值为：1k 或1k -．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形M 和N 的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．4、见详解．【解析】【分析】作线段AC的垂直平分线交AC于点O，作等边△AOB，延长BO，截取OD=OB，连接BC，CD，AD即可．【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5、（1）四边形CODP是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP 是正方形，理由见解析【解析】【分析】（1）先证明四边形CODP是平行四边形，再由矩形的性质可得OD=OC，即可证明平行四边形OCDP是菱形；（2）先证明四边形CODP是平行四边形，再由菱形的性质可得∠DOC=90°，即可证明平行四边形OCDP是矩形；（3）先证明四边形CODP是平行四边形，再由正方形的性质可得BD⊥AC，DO=OC，即可证明平行四边形OCDP是正方形；【详解】解：（1）四边形CODP是菱形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴平行四边形OCDP是菱形；（2）四边形CODP是矩形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠DOC=90°，∴平行四边形OCDP是矩形；（3）四边形CODP是正方形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，DO=OC，∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形，∴菱形OCDP是正方形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定条件．。
八年级数学下册19、1矩形19、1、2矩形的判定习题课件新版华东师大版
【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出 错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或 另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形， 再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形． 【答案】C
10．【中考·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC， BD相 交 于 点 O， AO ＝ OC， BO＝ OD， 且 ∠ AOB ＝ 2∠OAD.
在△ ABE 和△ CDF 中，
∠B＝∠D， ∠AEB＝∠CFD， AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF(A.A.S.)．
(2)求证：四边形AECF是矩形． 解：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°. ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°. ∴四边形AECF是矩形．
12．【2020·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D， E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交 BE的延长线于点F，连接CF.
∵△ACF是等边三角形， ∴AC＝AF.∴DE＝AF. 同理可得△ABC≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.
∵DE＝AF，DA＝EF， ∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ 【点拨】先假设四边形ADEF为矩形，推出所满足的 条件即∠DAF＝90°，然后推出∠BAC＝150°.
(1)求证△BDE≌△FAE； 证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE. 又∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE；
(2)求证：四边形ADCF为矩形． 解：∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD. ∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD. 又∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形．
【点拨】选项C，虽然OA＝OC，OB＝OD，可判定 是平行四边形，但是加AB＝DC不能判定是矩形． 【答案】C
华师大版八年级数学下册课件 19-1-2 矩形的判定
四 课堂小结
矩形的判定定理 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
四边形ABDE是平行四边形，得到DE = AB = AC， 因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形” 这一判定定理.
证明 ∵ AB = AC，AD⊥BC，∴∠B = ∠ACB，BD = DC.
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1 = 1 ∠CAF = 1 (∠B+∠ACB) = ∠B，
由此可以得到判定矩形的一种方法：
矩形的判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形.
思考 现在让我们再思考有关的线段. “对角线相等”
是矩形所特有的性质. 那么从对角线的角度，你可 以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流 一下，看看你们的想法是否一致、可行.
由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平 行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形 是矩形.”
B
C
∴ 四边形EFGH是平行四边形.
∵ EO+OG = FO+OH，即EG = FH，
∴ 四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形
是矩形）.
例 5 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角 形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
D
C
N
M
A
B
分析 由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，
华师版八年级数学下册
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形 2.矩形的判定
一 复习导入
有一个角是直角
华师大版八年级下19.1矩形单元测试题含答案
华师大版八年级下册19.2矩形单元考试题姓名：；成绩：；一、选择题（９题，共２７分）１、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）Ａ、对边平行且相等Ｂ、对角相等Ｃ、对角线互相平分Ｄ、对角线相等２、下列判定矩形中，错误的是（Ｃ）Ａ、三个角是直角是四边形是矩形Ｂ、一个角是直角的平行四边形是矩形Ｃ、对角线相等的四边形是矩形Ｄ、对角线平分且相等的四边形是矩形３、（2015山东泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C．D． 2４、（2014呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O 作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（）A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定５、（2015辽宁省朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A．1或2 B． 2或3C． 3或4D． 4或5６、下列关于矩形的表述中，错误的是（）Ａ、矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形；Ｂ、矩形的对角线把矩形分成四个直角三角形；Ｃ、矩形的２条对称轴把矩形分成四个矩形；Ｄ、矩形的２条对称轴必过矩形的对称中心；７、（2014青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）Ａ、４Ｃ、４.５Ｄ、５８、（2014年江苏南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）９、（2014襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（Ｄ）A．①②B．②③C．①③D．①④二、填空题（６题，１８分）１０、（2014湖南衡阳,第15题3分）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．第１０题第１１题第１２题１１、（2015海南，第18题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为．１２、（2015山东泰安,第23题3分））如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．１３、（2014上海，第18题4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为（用含t的代数式表示）．１４、（2014黑龙江哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为．１５、（2015通辽）在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．三、解答题（６题，５５分）１６、（８分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．１７、（８分）（2015，福建南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．１８、（９分）（2014湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EB C．１９、（９分）（2015云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．２０、（９分）（2015福建龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．２１、（１２分）（2014扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B 落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．华师大版八年级下册19.2矩形单元考试题答案一、选择题ＤＣＢＢＡＢＡＢＤ二、填空题１０、１０；１１、１４；１２、２０；１３、2t；１４、５或６；１５、8cm2或2cm2或2cm2三、解答题１６、３０°；１９、103；２０、２２１、解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B。
八年级数学下册19.1.2矩形的判定同步练习(华东师大版附答案)
八年级数学下册19.1.2矩形的判定同步练习（华东师大版附答案）华东师大版八年级下册第19章矩形、菱形与正方形 19．1 矩形19．1.2 矩形的判定同步练习题1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( ) A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，连结DE，FD，当△ABC满足条件时，四边形AEDF是矩形． 3．如图，在▱ABCD中，点M为CD边的中点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩形．4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角5．平行四边形各内角的角平分线围成的四边形为( ) A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．以上都不对 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线，BE⊥AE，垂足为E. (1)求证：DA⊥AE； (2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．7．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD 8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE 是矩形．9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( ) A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°，这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个组合：；． 11．如图，在矩形ABCD 中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC 满足条件时，四边形PEMF为矩形． 12．如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上，且AE＝CG，AH＝CF. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AB＝AD，且AH＝AE，求证：四边形EFGH是矩形．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为____. 14．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)求证：OE＝OF； (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长； (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．答案：1. B 2. ∠BAC＝90° 3. 易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∠C＋∠D＝180°，∴∠C＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形4. D 5. C 6. (1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC，又∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝12∠BAF，∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝12(∠BAC＋∠BAF)＝12×180°＝90°，即∠DAE＝90°，故DA⊥AE(2)AB＝DE.理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝90°，故四边形AEBD是矩形．∴AB＝DE 7. B 8. 连结BD，EC，∵∠BAD ＝∠CAE，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AB ＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE＝CB，∴四边形BCDE是平行四边形，易证△ABD≌△ACE(SAS)，∴EC＝BD，∴四边形BCDE是矩形9. B 10. ①②⑥ ③④⑥ 11. AB＝12BC 12. (1)在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，又∵AE＝CG， AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF，在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴AB－AE＝CD－CG，AD－AH＝BC－CF，即BE＝DG，DH＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴GH＝EF，∴四边形EFGH是平行四边形 (2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. 设∠A＝α，则∠D＝180°－α，∵AE＝AH，∴∠AHE＝∠AEH＝180°－α2＝90°－α2，∵AD ＝AB＝CD， AH＝AE＝CG，∴AD－AH＝CD－CG，即DH＝DG，∴∠DHG ＝∠DGH＝180°－（180°－α）2＝α2，∴∠EHG＝180°－∠DHG －∠AHE＝90°，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形13. 4.8 14. (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD ＝∠CFO，∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE，∴OE＝OF (2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，∴OC＝12EF ＝132 (3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形，理由：连结AE，AF，由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形。
2020—2021年华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》同步练习题1及答案.docx
（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习一、选择题1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥答案：C解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：∵该四边形的对角线互相平分，∴该四边形是平行四边形，又∵该平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形是矩形，故选B．分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等答案：D解答：对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB ＝BC答案：C解答：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选C．分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B解答：如下图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF ⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．．分析：根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：对角线相等的平行四边形是矩形．分析：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2答案：C解答：A中是邻边相等，不可判定平行四边形ABCD是菱矩形；B中是对角线互相垂直，不可判定平行四边形ABCD是矩形；C中是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D中是对角线平分对角，不可判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．分析：本题主要应用的知识点为，矩形的判定：①对角线相等且相互平分的四边形为矩形；②一个角是90度的平行四边形是矩形．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BDD．AB＝AD答案：A解答：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．分析：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 答案：B解答：如图，连接PA，∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴222BC AB AC=+，∴∠BAC＝90°，又∵PE⊥AB于点E，PF ⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，AP＝EF，当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵12AB•AC＝12BC•AP，即AP＝BCACAB⋅＝6810⨯＝4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选B．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．10．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等答案：C解答：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少答案：C解答：如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC 时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．12．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解答：①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．13．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形答案：B解答：矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A 项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；故选B．分析：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．14．对角线的平行四边形是矩形（）A．互相垂直且平分B．互相平分C．互相垂直D．相等答案：D解答：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选D．分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．15．在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB ＝4，CD ＝2，求四边形ABCD 的周长（ ）A ．1023+B ．825+C ．835+D ．1025+答案：A解答：如下图所示，延长BC 、AD 交于O ，∵∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝∠CDO ＝90°，∠O ＝30°，∵AB ＝4，CD ＝2，∴OA ＝2AB ＝8，CO ＝2CD ＝4，由勾股定理得：228443OB =-=，224223OD =-=，∴434BC =-，823AD =-，∴AB ＋AD ＋DC ＋BC ＝482324341023+-++-=+，故选A ．分析：延长BC 、AD 交于O ，求出OA 、OD 、OC 、OB 的值，求出BC 、AD ，即可求出答案．二、填空题16．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （只填一个）．答案：∠ABC＝90°或AC＝BD（不唯一）解答：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC＝90°或AC＝BD，故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．17．对角线的四边形是矩形．答案：相等且互相平分解答：根据矩形的判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故填“相等且互相平分”．分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线又相等故为矩形．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠A＝90°解答：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A＝90°．分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．19．如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD 是矩形的有（填写序号）．答案：①④解答：能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．分析：矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE 为矩形．答案：60解答：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC，又因为AC＝AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°．分析：本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，AEF EDBEA EBBED AEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△BED（ASA）．（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．答案：四边形AFBD是矩形解答：证明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．22．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ．（1）求证：BD ＝CD ；答案：解答：证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF ＝DC ，∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD ．（2）如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．答案：四边形AFBD 是矩形解答：四边形AFBD 是矩形，理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∵AF ＝BD ，又∵过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，即AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形．分析：（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．23．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD 于点E．（1）求证：OE＝OD；答案：解答：证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED的中点．∴OE＝OD．（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．答案：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形解答：解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．分析：（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB 中，O点为斜边AB的中点．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC＝AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．答案：解答：证明：∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD ＝BE ，∵点E 是BC 的中点，∴EC ＝BE ＝AD ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，点E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，即∠AEC ＝90°，∴平行四边形AECD 是矩形．．分析：先判断四边形AECD 为平行四边形，然后由∠AEC ＝90°即可判断出四边形AECD 是矩形．25．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长至点E ，使CE ＝DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；答案：解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠AEC ，又∵CE ＝CD ，∴AB ＝CE ，在△ABF 和△ECF 中，ABF ECF AFB EFC AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）． （2）连接AC 、BE ，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理答案：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形解答：解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥DC，AB＝DC，∴∠BCE＝∠D，AB∥EC，又∵CE＝DC，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠AFC＝∠FEC＋∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC ＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE＝DC，易证得∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，则可证得△ABF≌△ECF；（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC 是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。
2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专项测试试卷(含答案详解)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果AC ＝6，BD ＝8，那么菱形ABCD 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．482、在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AO =COB ．AO =BOC ．AO ⊥BOD ．AB ⊥BC3、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（ ）A ．20B ．40C ．60D ．804、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．85、如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为144．AE＝13．则DE的长为（）A．B C．4 D．56、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD7、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是（）A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AE D．AE＝CE8、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（）A．2 B．4 C．4或65D．2或1259、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（）A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°10、如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（）A．24 B．48 C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA的大小为_________．2、如图，在数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，点A对应的数是1，以点A为圆心，正方形对角线AB为半径画圆，圆与数轴的交点对应的数是 _____．3、菱形的判定：（1）有一组邻边____________的平行四边形叫做菱形．几何语言描述：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝____________，∴四边形ABCD是菱形．（2）对角线互相____________的平行四边形是菱形几何语言描述：∵在平行四边形ABCD中，AC⊥____________，∴ 平行四边形ABCD是菱形．（3）四条边都____________的四边形是菱形．几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________，∴ 平行四边形ABCD是菱形．4、（1）它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角________，对角线________．（2） 具有矩形的一切性质：四个角都是________，对角线相等．（3）具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相________，每条对角线________一组对角．5、如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△CDM ．若AE ＝2，则MF 的长为_______．6、如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在,AB BC 边上，将纸片沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，然后再次折叠纸片使点F 与点B '重合，点C 落在点C '，折痕为GH ，若18C B D AB E ∠'-∠=''︒，则∠=EFC _______度．7、有一个角是直角的平行四边形叫做______．矩形是______图形，它有______条对称轴．对称轴分别是经过两组对边______的两条直线．8、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE ．其中结论正确的是______．（填序号即可）9、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．10、如图，矩形ABCD 中，10AB =，点E 是AD 上的一点，有5AE =，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是______．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图 1，梯形ABCD ，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，联 结 BD ，点 P 沿梯形的边，从点 A B C D A →→→→ 移动， 设点 P 移动的距离 为 x BP ， 为 y ．(1)当点 P 从点 A 移动到点 C 时，y 与 x 的函数关系如图 2 中的折线 MNQ 所示. 试求 CD 的长；(2)在 (1) 的情况下，点 P 从点 A B C D A →→→→ 移动的过程中，BDP 是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由．(此题无需写括号理由)2、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．3、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD+MN的最小值．4、已知线段AB，用平移、旋转、轴对称画出一个以AB为一边，一个内角是30°的菱形．（不写画法，保留作图痕迹）．5、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＞AB．(1)作∠BCD的角平分线交AD于点E，在BC上截取CF＝CD（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，连接EF，猜想四边形CDEF的形状，并证明你的结论．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形ABCD 的面积＝2AC BD ⨯＝682⨯＝24， 故选：C ．【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．2、C【解析】【分析】根据菱形的判定分析即可；【详解】∵四边形ABCD 时平行四边形，AO ⊥BO ，∴ABCD 是菱形；故选C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．3、B【解析】【分析】根据菱形的面积公式求解即可．【详解】解：这个菱形的面积＝12×10×8＝40．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．4、C【解析】【分析】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；【详解】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小， ∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．5、D【解析】【分析】由旋转性质得△ABF ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质得到S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144进而求得AD =12，再利用勾股定理求解DE 即可．【详解】解：∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△ADE ，∴S △ABF =S △ADE ，∴S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144，∴AD =12，在Rt△ADE 中，AE =13，AD =12，由勾股定理得：DE ，故选：D ．【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出S AECF是解答的关键．正方形ABCD=S四边形6、B【解析】略7、D【解析】【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【详解】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，∴结论正确的是D选项．故选D.【点睛】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．8、D【解析】【分析】根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP 时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=125．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．9、A【解析】【分析】利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．10、C【解析】【分析】根据矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得28AC OA==，进而勾股定理求得BC，再根据⨯即可求得矩形的面积．AB BC【详解】解：四边形ABCD是矩形，12OA AC ∴=，90ABC ∠=︒ AB ＝6，OA ＝4BC ∴∴矩形ABCD 的面积为：6AB BC ⨯=⨯故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．二、填空题1、30°##30度【解析】【分析】根据菱形的性质得到AB BC CD ==，//AB CD ，求得18080BCD ABC ∠=︒-∠=︒，根据等边三角形的性质得到BC BE CE ==，60CBE BCE BEC ∠=∠=∠=︒，求得AB BE =，CD CE =，140DCE ∠=︒，160ABE ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到1(180)202CED CDE DCE ∠=∠=︒-∠=︒，1(180160)102BAE BEA ∠=∠=︒-︒=︒，于是得到结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD ∴==，//AB CD ，18080BCD ABC ∴∠=︒-∠=︒，CBE ∆是等边三角形，BC BE CE ∴==，60CBE BCE BEC ∠=∠=∠=︒，AB BE ∴=，CD CE =，140DCE ∠=︒，160ABE ∠=︒，1(180)202CED CDE DCE ∴∠=∠=︒-∠=︒，1(180160)102BAE BEA ∠=∠=︒-︒=︒， 30DEA BEC DEC BEA ∴∠=∠-∠-∠=︒，故答案为：30．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的性质．2、1【解析】【分析】根据正方形的面积公式得出面积为1，根据正方形面积公式为对角线AB 乘积的一半求出正方形的对角线长，利用点A 的位置，得出圆与数轴的交点对应的数【详解】解：∵以单位长度为边长画一个正方形，∴正方形面积为1， ∴2112AB =，∴AB =∵点A 在1的位置，∴圆与数轴的交点对应的数为1故答案为1【点睛】本题考查数轴上点表示数，正方形性质，算术平方根，图形旋转，掌握数轴上点表示数，正方形性质，图形旋转特征是解题关键3、相等AD垂直BD相等AD 【解析】略4、相等互相平分直角垂直平分【解析】略5、297##147【解析】【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=2，正方形的边长为5，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=7-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为MF的长．【详解】解：∵△ADE逆时针旋转90°得到△CDM，∴∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∵∠EDM=∠EDC+∠CDM=∠EDC+∠ADE=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF FDM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF =MF ，设EF =MF =x ，∵AE =CM =2，且BC =5，∴BM =BC +CM =5+2=7，∴BF =BM -MF =BM -EF =7-x ，∵EB =AB -AE =5-2=3，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2，即32+（7-x ）2=x 2， 解得：297x ， ∴MF =297． 故答案为：297． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．6、144【解析】【分析】根据将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，得出∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F=90°根据四边形ABCD为矩形，得出AD∥B C，可得∠DBF=∠B′FB=2∠EFB，可求∠AB′E=90°-∠DB′F=90°-2∠EFB，根据GH为对称轴，可得∠CB′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，可得∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，根据''︒，列方程180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解方程即可．∠'-∠=C BD AB E18【详解】解：∵将纸片沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，∴∠EB′F=∠B=90°，∠BFE=∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F=90°∴∠AB′E=90°-∠DB′F∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DB′F=∠B′FB=2∠EFB，∴∠AB′E=90°-∠DBF=90°-2∠EFB，∵GH为对称轴，∴∠C′B′F=∠CFB′=180°-∠B′FB=180°-2∠EFB，∵∠C′B′D=∠C′B′F-∠FB′D=180°-2∠EFB-2∠EFB，''︒，∵18-∠=∠'C BD AB E∴180°-2∠EFB-2∠EFB-（90°-2∠EFB）=18°，解得∠EFB=36°，∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-36°=144°．故答案为144．【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键．7、 矩形 轴对称 两 中点【解析】略8、②③④【解析】【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】 解：12,22CD AB CF BC ====， Rt CDF ∴为等腰直角三角形，45CFD ∴∠=︒，当P 在F 点的左边时，180135EFP CFD ∴∠=︒-∠=︒，当P 在F 点的右边时，45EFP CFD ∴∠=∠=︒，故①错误；过点E 作EG BC ⊥，在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，APB BAP APB EPG∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，BAP EPG∴≌，Rt ABP Rt PGE AAS()∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，EG DC，//∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，∴∠=︒，EFG45即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DF45DCE ECF ∴∠=∠=︒，Rt CEF ∴为等腰直角三角形，CE EF ∴=，2CF =，由勾股定理：222CE EF CF +=，CE ∴= 故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．9、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．10、35 4【解析】【分析】根据HF垂直平分BE，得到BF=EF，设DE=x，根据矩形的性质证明△EDG≌△FCG，得到CF=DE=x，BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，由勾股定理得222EM MF EF+=，即222(2)10(52)x x+=+，求出x可得答案．【详解】解：∵HF垂直平分BE，∴BF=EF，设DE=x，∵G是CD的中点，∴DG=CG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD BC∥，AD=BC，AB=CD，∴∠EDG=∠FCG，∵∠EGD=∠FGC，∴△EDG≌△FCG，∴CF=DE=x，∵5AE=，∴BC=AE+DE=5+x，过点F作FM⊥AD于M，则四边形CFMD是矩形，∴DM=CF=x ，MF=CD=AB =10，∠M =90°，∴EF=BF =5+2x ，∵222EM MF EF +=，∴222(2)10(52)x x +=+，解得x =154， ∴1535544BC =+=， 故答案为：354．【点睛】此题考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．三、解答题1、 (1)1(2)能，x 的值为0或14或3或5或203或11或9 【解析】（1）作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE4=，得出CD＝BE＝AB−AE＝1；（3）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．(1)解：由图得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图所示：则DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE4，∴CD＝BE＝AB−AE＝1；(2)解：可能；理由如下：分情况讨论：①点P在AB边上时，当PD＝PB时，P与A重合，x＝0或x＝14；当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，∴x＝3；当BP＝BD时，AP＝5即x＝5②点P在BC上时，存在PD＝PB，此时，x＝5＋53＝203；③点P在AD上时，当BP＝BD时，过点B作BH⊥AD于H，如图所示：则12BH•AD＝12DE•AB，即12×BH×5＝12×3×5，∴BH＝3，∴DH1，∴DP＝2，∴x＝5＋3＋1＋2＝11；当DP＝DB时，x＝5＋3＋19；综上所述：△BDP 可能为等腰三角形，能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值为：0或14或3或5或203或11或9 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．2、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203． 【解析】【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC 上截取DH =BE ，连接AH ，先证△ADH ≌△ABE ，再证△HAF ≌EAF 即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF =BE +DF ．理由：延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，如图①，∵ABCD 是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K为BC边的中点，∴CK=12BC=2，同理可证△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x=43，∴EF=8-43=203．综上，线段EF的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3、 (2)见解析(3)3 【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AE PB =，利用勾股定理求出AE ，再利用面积法求出OB ，可得结论；（2）如图2中，连接DE ，EQ ，过点EZz 作EK QF ⊥于点K ，作//Q BD 交AB 于点J ，在AB 上取一点T ，使得PQ AT =，连接KT ．利用全等三角形的性质证明AB PF =，DQ QK =，证明四边形BEKF 是正方形，推出FT QK =，再证明DQ BJ =，可得结论；（3）如图3中，取AB 的中点O ，连接OD ，延长OD 到J ，使得DJ DC =，连接CJ ，过点N 作NW CJ ⊥于点W ，过点O 作OW CJ '⊥于W '，交O 于点M '，交CD 于点N '．由NW ，推出MN MN NW =+，由OM MN NW OW ++'，推出MN 的最小值OW OM ='-，求出OW '，OM '即可解决问题．(1)解：如图1中，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，OB OD =，AF FB =，2BE BF ==，4AB ∴=，BE AB ⊥，PF AB ⊥，90PFB ABE BOE ∴∠=∠=∠=︒，90ABO EBO ∴∠+∠=︒，90EBO AEB ∠+∠=︒，AEB PBF ∴∠=∠，()ABE PFB ASA ∴∆≅∆，AE PB ∴=，1122AEB S AB BE AE BO ∆=⋅⋅=⋅⋅，BO ∴，OD OB ∴==PD PB BD ∴=-== (2)证明：如图2中，连接DE ，EQ ，过点E 作EK QF ⊥于点K ，作//QJ BD 交AB 于点J ，在AB 上取一点T ，使得PQ AT =．由（1）可知，ABE PFB ∆≅∆，AB PF ∴=，AT PQ =，BT QF ∴=，EK PF ⊥，PF AB ⊥，BE AB ⊥，90EKF KFB FBE ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEKF 是矩形，BE BF =，∴四边形BEKF 是正方形，BF KF ∴=，FT QK ∴=，四边形ABCD 是菱形，ABE ∴∆，ADE ∆关于AC 对称，90ABE ADE ∴∠=∠=︒，EB ED =，90EDQ EKQ ∠=∠=︒，EQ EQ =，EK EB ED ==，Rt EQK Rt EQD(HL)∴∆≅∆，DQ BJ∴=，QJ BD，AD AB//=，∴AQ AJ=，AD AB∴=，AQ AJ∴===，DQ BJ QK FJTJ BF BE∴==，∴==+=+．AQ AJ AT TJ PA BE(3)如图3中，取AB的中点O，连接OD，延长OD到J，使得DJ DC=，连接CJBM AP⊥，∴∠=︒，90AMB∴点M在以AB为直径的圆上运动，四边形ABCD是菱形，60∠=︒，BADABD ∴∆是等边三角形，AO OB =，OD AB ∴⊥，//AB CD ，DJ DC ∴⊥，DJ DC =，DJC ∴∆是等腰直角三角形，过点N 作NW CJ ⊥于点W ，过点O 作OW CJ '⊥于W '，交O 于点M '，交CD 于点N '．NW CW ⊥，45NCW ∠=︒，NW ∴，MN MN NW ∴=+， OM MN NW OW ++'，MN ∴的最小值OW OM ='-， ADB ∆是等边三角形，6AB =，OD ∴=6DJ DC AB ===，6OJ ∴=+OJW ∆'是等腰直角三角形，OW ∴'= 132OM AB '==，3OW OM ∴'-'=，∴的最小值为3．MN【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．4、见解析【解析】【分析】把线段AB绕点A逆时针旋转30°得到线段AD，作直线BD，以直线BD为对称轴，分别作AB、AD的轴对称图形，即可得到所求的菱形ABCD.【详解】解：如图所示：菱形ABCD即为所求.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、轴对称的性质等知识点，理解菱形的性质是解答本题的关键.5、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【小题1】解：如图，射线CE，线段CF即为所求．【小题2】结论：四边形CDEF是菱形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DEC=∠ECF，∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠ECF，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD，∵CF=CD，∴DE=CF，∵DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形，∵CD=CF，∴四边形CDEF是菱形．【点睛】本题考查作图-基本作图，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
2022年精品解析华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专项训练试题(含详解)
八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若6AB =，则BC 的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)ky x x =>的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点.C 若菱形OABC 的面积为9，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，对角线AC ＝10cm ，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿折线AB ﹣BC 向终点C 运动．设点P 的运动时间为t s ，△APC 的面积为S cm 2，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，以点O 为顶点的正方形OEGF 的两边OE ，OF 分别交正方形ABCD 的两边AB ，BC 于点M ，N ，记AOM 的面积为1S ，CON 的面积为2S ，若正方形的边长10AB =，116S =，则2S 的大小为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）A ．长度为B ．边长为2的等边三角形C ．斜边为2的直角三角形D ．面积为4的菱形6、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB =BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB =90°D ．CE ⊥DE7、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，6BC =，BDC ∆面积为21，AB 的垂直平分线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若点P 和点Q 分别是线段MN 和BC 边上的动点，则PB PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88、如图，在正方形ABCD 中，点E 、点F 分别在AD 、CD 上，且AE ＝DF ，若四边形OEDF 的面积是1，OA 的长为1，则正方形的边长AB 为（ ）A ．1B ．2CD ．9、如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为24，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．48510、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿AF 折叠，使B 点落在B '处，若20ADB ∠=︒，要使AB BD '∥，则BAF ∠的度数应为（ ）A ．20°B ．55°C ．45°D ．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在长方形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当CEB'为直角三角形时，BE的长为______．2、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝30cm，将纸片对折后展开得到折痕EF．点P为BC边上任意一点，若将纸片沿着DP折叠，使点C恰好落在线段EF的三等分点上，则BC的长等于_________cm．3、如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上．若函数y =4x(x0>)的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为_______________4、如图，在长方形ABCD中，9DC=．在DC上找一点E，沿直线AE把AED折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若ABF的面积是54，则FCE△的面积=______________．5、有一组邻边相等的平行四边形是____________菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质．6、菱形ABCD 的周长为AC 和BD 相交于点O ，AO ：BO =1：2，则菱形ABCD 的面积为________．7、如图，点O 是正方形ABCD 的称中心O ，互相垂直的射线OM ，ON 分别交正方形的边AD ，CD 于E ，F 两点，连接EF ；已知2AD =．（1）以点E ，O ，F ，D 为顶点的图形的面积为________________；（2）线段EF 的最小值是_______________．8、如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且<AM AB ，CBE △由DAM △平移得到，若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得60DHC ∠=︒时，2=BE DM ；②无论点M 运动到何处，都有DM =；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形；④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135︒以上结论正确的有______（把所有正确结论的序号都填上）．9、如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，AEF 为等边三角形，点E ，F 分别在菱形的边BC ，CD 上滑动，且E ，F 不与B ，C ，D 重合，则四边形AECF 的面积是______．10、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．已知点F 是AB 边上一点，且BF ＝BE ，过点F 作PF ⊥AB 交BD 延长线于点P ，交AD 于点Q ．(1)如图（1），若F 是AB 的中点，且BE ＝2，求PD 的长；(2)如图（2），求证：AQ ＝BE +PQ ；(3)如图（3），在菱形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，AB ＝6．点P 是对角线上的动点，过点B 作BM 垂直直线AP 于点M ．点N 是CD +MN 的最小值． 2、如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE CD =，连接AC ，AE ，过点C 作//CF AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF ．(1)求证：四边形ACFE 是菱形；(2)连接BE ，当4AC =，30ACB ∠=︒时，求BE 的长．3、探索发现如图，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ．(1)求证：PC PE =；(2)CPE ∠=____________°．(3)拓展延伸如图，在菱形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA PE=，120ABC∠=︒，连接CE，请判断线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．4、如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形外一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF＝90°，连结AF．(1)求证：AF＝CE；(2)求证：AF∥EB；(3)若EF12BFCE=，求BC的长．5、（1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．【详解】解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC =2EB ，又∵EC =AE ，AB =AE +EB =6，∴EB =2，EC =4，∴Rt △BCE 中，BC故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC 的长．2、B【解析】【分析】根据题意，可以设出点C 和点A 的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k 的值，本题得以解决．【详解】解：设点A 的坐标为()0a ，，点C 的坐标为k c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴点D 的坐标为22a c k c +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 菱形OABC 的面积为9，9k a c∴⋅=①， 点D 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，22a c k k c +∴⋅=②， 解得，3k =，【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3、C【解析】【分析】先求解8,BC = 再分别求解“当03t ≤≤时，点P 在AB 上，当37t <≤时，点P 在BC 上”时的函数解析式，再根据函数解析式判断函数图象即可.【详解】 解： 矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，对角线AC ＝10cm ， 228,BC AC AB当03t ≤≤时，点P 在AB 上，2,AP t 11=288,22S AP BC t t 当37t <≤时，点P 在BC 上，682142,CP t t 11=6142426,22S CP AB t t所以能大致反映S 与t 之间函数关系的是C.故选：C【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，一次函数的图象，矩形的性质，明确“当03t ≤≤时，点P 在AB 上，当37t <≤时，点P 在BC 上”是列函数关系式的关键，也是判断图象的关键.4、D【分析】由题意依据全等三角形的判定得出△BOM ≌△CON ，进而根据正方形的性质即可得出2S 的大小.【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴OC =OD =BO =AO ，∠ABO =∠ACB =45°，AC ⊥BD ．∵∠MOB +∠BON =90°，∠BON +∠CON =90°∴∠BOM =∠CON ，且OC =OB ，∠ABO =∠ACB =45°，∴△BOM ≌△CON （ASA ），2S =S △BOM ，∴121BOM AOB S S S S S ==++，∵AOB S =14S 正方形ABCD ，正方形的边长10AB =，116S =， ∴2S =14S 正方形ABCD -1S =110101694⨯⨯-=. 故选：D.【点睛】本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．5、D【解析】【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．【详解】解：A、正方形的边长为2，∴对角线长为∴长度为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．6、B【解析】【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意；B 、∵DE ⊥DC ，∴∠EDB =90°+∠CDB ＞90°，∴四边形DBCE 不能为矩形，故本选项符合题意；C 、∵∠ADB =90°，∴∠EDB =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意；D 、∵CE ⊥DE ，∴∠CED =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．7、C【解析】【分析】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，根据垂直平分线的性质得到PA PB =，再根据PB PQ AP PQ AQ +=+≥计算即可；【详解】连接AQ ，过点D 作DH BC ⊥，∵6BC =，BDC ∆面积为21， ∴1212BC DH =， ∴7DH =，∵MN 垂直平分AB ，∴PA PB =，∴PB PQ AP PQ AQ +=+≥，∴当AQ 的值最小时，PB PQ +的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ BC ⊥时，AQ 的值最小， ∵AD BC ∥，∴7AQ DH ==，∴PB PQ +的值最小值为7；故选C ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．8、C【解析】【分析】根据正方形的性质得到AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠DAF ，求得∠AOB =90°，根据三角形的面积公式得到OA =1，由勾股定理即可得到答案．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，在△ABE 与△DAF 中，AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠ABE =∠DAF ，∴∠ABE +∠BAO =∠DAF +∠BAO =90°，∴∠AOB =90°，∵△ABE ≌△DAF ，∴S △ABE =S △DAF ，∴S △ABE -S △AOE =S △DAF -S △AOE ，即S △ABO =S 四边形OEDF =1，∵OA =1，∴BO =2，∴AB故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE ≌△DAF 是解题的关键．9、A【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为24，求出边长，菱形面积为24，求出ABC S的面积，然后利用面积法，=+ABC ABP CBP S S S ，即可求出PE PF +的值．【详解】解：如图所示，连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴2446AB BC ==÷=，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴24212=÷=ABCS ， ∴12=+=ABC ABP CBP SS S ， ∴111222⋅+⋅=AB PF BC PE ，∵AB BC =， ∴()1122⋅+=AB PE PF ，∵6AB =，∴4PE PF +=，【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系．10、B【解析】【分析】设直线AF 与BD 的交点为G ，由题意易得90DAB ∠=︒，则有70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，由平行线的性质可得B AF BGA '∠=∠，然后可得BAF BGA ∠=∠，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF 与BD 的交点为G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵20ADB ∠=︒，∴70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，∵AB BD '∥，∴B AF BGA '∠=∠，∴BAF BGA ∠=∠，∴180552ABG BAF ︒-∠∠==︒； 故选B ．【点睛】 本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．二、填空题1、32或3 【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当A ，B ′，C 共线时，90EB C ∠'=︒．如图2中，当点B ′落在AD 上时，90CEB ∠'=︒，分别求解即可．【详解】解：如图1中，当A ，B ′，C 共线时，90EB C ∠'=︒．四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，5AC ∴，3AB AB ='=，532CB ∴'=-=，设BE EB x ='=，则4EC x =-，在'Rt CEB 中，222CE B E B C ='+'，222(4)2x x ∴-=+，32x ∴=， 如图2中，当点B ′落在AD 上时，90CEB ∠'=︒，此时四边形ABEB '是正方形，3BE AB ∴==，综上所述，满足条件的BE 的值为32或3． 故答案是：32或3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．2、【解析】【分析】分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可【详解】如图：当将纸片沿纵向对折根据题意可得：30AB EF DC DC '====C '为EF 的三等分点22302033EC EF '∴==⨯=∴在Rt DEC '△中有DE =2AD DE ∴==BC AD ∴==如图：当将纸片沿横向对折根据题意得：30AB DC DC '===，11301522DF DC ==⨯=∴在Rt DFC '△中有C F '==C '为EF 的三等分点23C F EF '∴=32EF ∴=⨯=故答案为：【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕EF ，考虑问题应全面，不应丢解．3、8【解析】【分析】过E 作EF AB ⊥于F ，由三角形中位线定理可得2AD EF =，设点D 的横坐标为m ，D 点坐标为4(,)m m ，得出4AD m =，即可得出2EF m =，根据图象上的坐标特征得出E 的横坐标为2m ，继而得出2AB m =，然后根据矩形的面积公式计算即可．【详解】解：过E 作EF AB ⊥于F ，点E 是矩形ABCD 对角线的交点，AE CE ∴=，EF ∴是ABC ∆的中位线，2AD EF ∴=，设点D 的横坐标为m ，且点D 在反比例函数4(0)y x x=>上， D ∴点坐标为4(,)m m，4ADm∴=，2EFm∴=，2(2,)E mm∴，AF m∴=，2AB m∴=，∴矩形ABCD的面积428mm==，故答案为：8．【点睛】主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即1||2S k =．4、6 【解析】【分析】根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=9，BC=AD∵12•AB•BF＝54，∴BF=12．在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，由勾股定理得，15AF．∴BC=AD=AF=15，∴CF=BC-BF=15-12=3．设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．则x2=（9-x）2+32，解得，x=5．∴DE=5．∴EC=DC-DE=9-5=4．∴△FCE的面积=1122CF CE⨯⨯=×4×3=6．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5、菱形平行四边形【解析】略6、4【解析】【分析】根据菱形的性质求得边长，根据AO：BO=1：2，求得对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．【详解】解：如图四边形ABCD是菱形AB AD DC CB ∴===，11,22 AO AC BO BD ==菱形ABCD的周长为AB∴AO：BO=1：2，AB∴1,2AO BO∴==2,4AC BD ==1124422ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形 故答案为：4【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．7、【解析】【分析】（1）连接OA 、OD ，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△OAE ≌△ODF ，利用全等三角形的性质得出四边形EOFD 的面积等于△AOD 的面积即可求解；（2）根据全等三角形的性质证得△EOF 为等腰直角三角形，则EF OE ，当OE ⊥AD 时OE 最小，则EF 最小，求解此时在OE 即可解答．【详解】解：（1）连接OA 、OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OD ，∠AOD =90°，∠EAO =∠FDO =45°，∴∠AOE +∠DOE =90°，∵OE ⊥OF ，∴∠DOF +∠DOE =90°，∴∠AOE =∠DOF ，在△OAE 和△ODF 中，EAO FDO OA ODAOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAE ≌△ODF （ASA ），∴S △OAE =S △ODF ，∴S 四边形EOFD = S △ODE +S △ODF = S △ODE +S △OAE = S △AOD = 14S 正方形ABCD ， ∵AD =2，∴S 四边形EOFD = 14×4=1， 故答案为：1；（2）∵△OAE ≌△ODF ，∴OE=OF ，∴△EOF 为等腰直角三角形，则EFOE ，当OE ⊥AD 时OE 最小，即EF 最小，∵OA=OD ，∠AOD =90°，∴OE =12AD =1，∴EF．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．8、①②④【解析】【分析】由正方形性质、三角形性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及全等三角形的判定及性质，对结论推理论证即可．【详解】由题意得AM BE =∴AB EM =∵四边形ABCD 是正方形，EH AC ⊥∴EM AD =，90AHE =︒∠，45MEH DAH EAH ∠=∠=∠=︒∴EH AH =∴()MEH DAH SAS ≅△△∴MHE DHA ∠=∠，MH DH =∴90MHD AHE ∠=∠=︒，DHM △为等腰直角三角形∴DM故②正确当60DHC ∠=︒时，604515ADH ∠=︒-︒=︒∴Rt ADM △中，DM =2AM即DM =2BE故①正确∵CD //EM ，AD //DM∴四边形CEMD 是平行四边形∵DM AD >，AD CD =∴DM CD >∴四边形CEMD 不可能为菱形故③错误∵点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合）且<AM AB∴45AHM BAC ∠<∠=︒∴135CHM ∠>︒故④正确综上所述①②④正确故答案为：①②④．【点睛】本题为四边形内的综合问题，熟悉正方形、三角形、平行四边形、菱形以及全等三角形的等知识点的性质是解题的关键．9、【解析】【分析】连接AC ，根据菱形的性质及等边三角形的性质证明△ABE ≌△ACF （ASA ），得到S △ABE =S △ACF ，进而得到四边形AECF 的面积=S △ABC ，过点A 作AH ⊥BC 于H ，由勾股定理求出AH ，再利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，∴∠1+∠EAC =60°，∵AEF 为等边三角形，∴∠3+∠EAC =60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD =120°，∴∠ABC =60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB ，∴△ABE ≌△ACF （ASA ），∴S △ABE =S △ACF ，∴四边形AECF 的面积=S △ABC ，过点A 作AH ⊥BC 于H ，则∠BAH =30°， ∴122BH AB ==，∴AH ==∴四边形AECF 的面积=S △ABC =11422BC AH ⨯⨯=⨯⨯=故答案为：【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟记菱形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．10、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．三、解答题1、 (2)见解析(3)3 【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AE PB =，利用勾股定理求出AE ，再利用面积法求出OB ，可得结论；（2）如图2中，连接DE ，EQ ，过点EZz 作EK QF ⊥于点K ，作//Q BD 交AB 于点J ，在AB 上取一点T ，使得PQ AT =，连接KT ．利用全等三角形的性质证明AB PF =，DQ QK =，证明四边形BEKF 是正方形，推出FT QK =，再证明DQ BJ =，可得结论；（3）如图3中，取AB 的中点O ，连接OD ，延长OD 到J ，使得DJ DC =，连接CJ ，过点N 作NW CJ ⊥于点W ，过点O 作OW CJ '⊥于W '，交O 于点M '，交CD 于点N '．由NW ，推出MN MN NW =+，由OM MN NW OW ++'，推出MN 的最小值OW OM ='-，求出OW '，OM '即可解决问题．(1)解：如图1中，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，OB OD =，AF FB =，2BE BF ==，4AB ∴=，BE AB ⊥，PF AB ⊥，90PFB ABE BOE ∴∠=∠=∠=︒，90ABO EBO ∴∠+∠=︒，90EBO AEB ∠+∠=︒，AEB PBF ∴∠=∠，()ABE PFB ASA ∴∆≅∆，AE PB ∴=，1122AEB S AB BE AE BO ∆=⋅⋅=⋅⋅，BO ∴，OD OB ∴==PD PB BD ∴=-== (2)证明：如图2中，连接DE ，EQ ，过点E 作EK QF ⊥于点K ，作//QJ BD 交AB 于点J ，在AB 上取一点T ，使得PQ AT =．由（1）可知，ABE PFB ∆≅∆，AB PF ∴=，AT PQ =，BT QF ∴=，EK PF ⊥，PF AB ⊥，BE AB ⊥，90EKF KFB FBE ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEKF 是矩形，BE BF =，∴四边形BEKF 是正方形，BF KF ∴=，FT QK ∴=，四边形ABCD 是菱形，ABE ∴∆，ADE ∆关于AC 对称，90ABE ADE ∴∠=∠=︒，EB ED =，90EDQ EKQ ∠=∠=︒，EQ EQ =，EK EB ED ==，Rt EQK Rt EQD(HL)∴∆≅∆，DQ BJ ∴=，//QJ BD ，AD AB =， ∴AQ AJ AD AB =，AQ AJ ∴=，DQ BJ QK FJ ∴===，TJ BF BE ∴==，AQ AJ AT TJ PA BE ∴==+=+．(3)如图3中，取AB 的中点O ，连接OD ，延长OD 到J ，使得DJ DC =，连接CJ⊥，BM AP∴∠=︒，90AMB∴点M在以AB为直径的圆上运动，四边形ABCD是菱形，60∠=︒，BAD∴∆是等边三角形，ABD=，AO OB∴⊥，OD ABAB CD，//∴⊥，DJ DCDJ DC=，∴∆是等腰直角三角形，DJC过点N作NW CJ⊥于点W，过点O作OW CJ'⊥于W'，交O于点M'，交CD于点N'．∠=︒，NCWNW CW⊥，45NW ∴，MN MN NW ∴=+， OM MN NW OW ++'，MN ∴的最小值OW OM ='-， ADB ∆是等边三角形，6AB =，OD ∴=6DJ DC AB ===，6OJ ∴=+OJW ∆'是等腰直角三角形，OW ∴'= 132OM AB '==，3OW OM ∴'-'=，MN ∴的最小值为3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题．2、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC ＝90°，求得AE ＝AC ，EF ＝CF ，根据平行线的性质得到∠EAD ＝∠AFC ，求得AE ＝EF ＝AC ＝CF ，于是得到结论；（2）由直角三角形的性质可求AB ＝2，BC ＝(1) 证明：四边形ABCD 是矩形，90ADC ∴∠=︒，AF CE ∴⊥，又CD DE =，AE AC ∴=，EF CF =，EAD CAD ∴∠=∠，//AE CF ，EAD AFC ∴∠=∠，CAD CFA ∴∠=∠，AC CF ∴=，AE EF AC CF ∴===，∴四边形ACFE 是菱形；(2)解：4AC =，30ACB ∠=︒，90ABC ∠=︒，122AB AC ∴==，BC ， 2CD AB DE ===，BE ∴【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．3、 (1)见解析(2)90(3)AP CE =，理由见解析【解析】【分析】（1）根据SAS 证明ADP CDP ≅，由全等的性质得PA PC =，由PA PE =即可得证；（2）由全等的性质得DAP DCP ∠=∠，由PA PE =得DAP DEP ∠=∠，故DCP DEP ∠=∠，由对顶角相等得PFC DFE ∠=∠，故CPF EDF ∠=∠，即可得出答案；（3）根据SAS 证明ADP CDP ≅，由全等的性质得PA PC =，DAP DCP ∠=∠，由PA PE =得DAP DEP ∠=∠，故DCP DEP ∠=∠，由对顶角相等得PFC DFE ∠=∠，故18060CPF EDF ADC ∠=∠=-∠=°°，即可得出PCE 是等边三角形，进而得出AP CE =．(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，45ADP CDP ∠=∠=︒，∵DP DP =，∴()ADP CDP SAS ≅，∴PA PC =，∵PA PE =，∴PC PE =；(2)∵ADP CDP ≅，∴DAP DCP ∠=∠，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵PFC DFE ∠=∠，∴1801809090CPF EDF ADC ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：90；(3)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD CD =，116022ADP CDP ADC ABC ∠=∠=∠=∠=︒， ∵DP DP =，∴()ADP CDP SAS ≅，∴PA PC =，DAP DCP ∠=∠，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴PC PE =，DCP DEP ∠=∠，∵PFC DFE ∠=∠，∴180********CPF EDF ADC ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴PCE 是等边三角形，∴CP CE =，∵PA PC =，∴AP CE =．【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意找出全等三角形得边角关系是解题的关键．4、 (1)见解析；(2)见解析；(3)BC=【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°，AB=BC，得出∠ABF+∠FBC=90°，根据△E BF是等腰直角三角形，BF=BE，∠FBE=90°，得出∠FBC+∠CBE=90°，根据同角的余角相等可得∠ABF=∠CBE，再证△ABF≌△CBE（SAS）即可；（2）根据以BC为斜边作直角三角形BCE，得出∠CEB=90°根据△ABF≌△CBE，得出∠AFB=∠CEB=90°，根据∠EBF＝90°得出∠AFB=∠EBF＝90°利用平行线的判定定理内错角相等两直线平行得出AF∥EB；（3）在等腰直角三角形FBE中，根据勾股定理2222+2EF BF BE BE==，求出BF=1，根据12 BFCE=，得出CE=2BF=2，根据勾股定理求即可．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABF+∠FBC=90°，∵△E BF是等腰直角三角形，∴BF=BE，∠FBE=90°，∴∠FBC+∠CBE=90°，∴∠ABF=∠CBE，在△ABF 和△CBE 中，AB CB ABF CBE FB EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ；(2)证明：∵以BC 为斜边作直角三角形BCE ，∴∠CEB =90°，∵△ABF ≌△CBE ，∴∠AFB =∠CEB =90°，∵∠EBF ＝90°∴∠AFB =∠EBF ＝90°∴AF ∥EB ；(3)解：在等腰直角三角形FBE 中，∴BF =BE ，∵EF根据勾股定理2222+2EF BF BE BE ==，即222BF =，解得BF =1， ∵12BF CE =， ∴CE =2BF =2，在Rt△BCE中，BC【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，平行线判定，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，平行线判定是解题关键．5、（1）四边形CODP是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP 是正方形，理由见解析【解析】【分析】（1）先证明四边形CODP是平行四边形，再由矩形的性质可得OD=OC，即可证明平行四边形OCDP是菱形；（2）先证明四边形CODP是平行四边形，再由菱形的性质可得∠DOC=90°，即可证明平行四边形OCDP是矩形；（3）先证明四边形CODP是平行四边形，再由正方形的性质可得BD⊥AC，DO=OC，即可证明平行四边形OCDP是正方形；【详解】解：（1）四边形CODP是菱形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴平行四边形OCDP是菱形；（2）四边形CODP是矩形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠DOC=90°，∴平行四边形OCDP是矩形；（3）四边形CODP是正方形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，DO=OC，∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形，∴菱形OCDP是正方形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定条件．。
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八年级下册第19章矩形、菱形与正方形19．1矩形19．1.2矩形的判定
同步练习题
1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是()
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，连结DE，FD，当△ABC满足条件时，四边形AEDF是矩形．
3．如图，在▱ABCD中，点M为CD边的中点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩形．
4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是()
A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
5．平行四边形各内角的角平分线围成的四边形为()
A．任意四边形B．平行四边形C．矩形D．以上都不对
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线，BE⊥AE，垂足为
E.
(1)求证：DA⊥AE；
(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．
7．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是()
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB ＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°，这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个组合：；．11．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC 满足条件时，四边形PEMF为矩形．
12．如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上，且AE＝CG，AH ＝CF.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AB＝AD，且AH＝AE，求证：四边形EFGH是矩形．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为____.
14．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
答案：
1. B
2. ∠BAC＝90°
3. 易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∠C＋∠D＝180°，∴∠C＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形
4. D
5. C
6. (1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝1
2∠BAC，又∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝1
2∠BAF，∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝
1
2(∠BAC＋∠BAF)＝
1
2×180°
＝90°，即∠DAE＝90°，故DA⊥AE(2)AB＝DE.理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝90°，故四边形AEBD是矩形．∴AB＝DE
7. B
8. 连结BD，EC，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE＝CB，∴四边形BCDE是平行四边形，易证△ABD≌△ACE(SAS)，∴EC＝BD，∴四边形BCDE是矩形
9. B
10. ①②⑥③④⑥
11. AB＝1
2BC
12. (1)在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，又∵AE＝CG，
AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF，在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴AB －AE＝CD－CG，AD－AH＝BC－CF，即BE＝DG，DH＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴GH＝EF，∴四边形EFGH是平行四边形
(2)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
设∠A＝α，则∠D＝180°－α，∵AE＝AH，
∴∠AHE＝∠AEH＝180°－α
2＝90°－
α
2，∵AD＝AB＝CD，
AH＝AE＝CG，∴AD－AH＝CD－CG，即DH＝DG，
∴∠DHG＝∠DGH＝180°－（180°－α）
2＝
α
2，
∴∠EHG＝180°－∠DHG－∠AHE＝90°，
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形
13. 4.8
14. (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE，∴OE＝OF
(2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝
CE2＋CF2＝122＋52＝13，∴OC＝1
2EF＝
13
2
(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形，理由：连结AE，AF，由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形。