2007年10月自考试题近世代数浙江试卷

浙江省2007年10月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有3个元素，集合B中含有5个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有___________个元素．( )

A.3

B.5

C.15

D.8

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

ϕ：x→x2，∀x∈R，

则ϕ是从A到B的( )

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

3.以下关系中，哪个是集合A的元间的等价关系？( )

A.A=R(实数集)，关系～：a～b⇔a-b>0

B.A=R(实数集)，关系～：a～b⇔a-b≥0

C.A=Z(整数集)，关系～：a～b⇔a︱b

D.A=Z(整数集)，给定正整数n,关系～：a～b⇔a≡b(mod n)

4.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(12)交换的所有元素有( )

A.(1)，(12)

B.(12)，(13)，(23)

C.(1)，(123)

D.S3中的所有元素

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是( )

A实系数多项式全体Ｒ［x］关于多项式的加法与乘法

B.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法"o"：∀m，n∈Z，mon＝1

C.复数域Ｃ上的n级矩阵全体M n(Ｃ)关于矩阵的加法与乘法

D.Q(i)＝{a＋bi|a，b∈Q，i2＝－1}关于数的加法和乘法

1

2

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设Z 7是模７的剩余类加群，那么Z 7有___________个子群．

7.在５次对称群S 5中，σ＝(13)，τ＝(1243)-1(325)，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)．

8.如果G 是一个含有10个元素的群，那么，根据Lagrange 定理知，对于∀a ∈G ，元素a 的阶只可能是___________．

9.在3次对称群S 3中，H ＝{(1)，(12)}是S 3的一个子群，则(13)H ＝___________．

10.设Z 4＝{［0］，［1］，［2］，［3］}是以4为模的剩余类环，则Z 4中的零因子是___________．

11.剩余类环Z 11的可逆元有___________个.

12.设Z ［x ］是整系数多项式环，则Z ［x ］的理想(2,x )＝___________．

13.唯一分解环与欧氏环的关系是___________.

14.设Q 为有理数域，S ={2+i }，则Q (S )=___________． 15. 3+5在有理数域Q 上的极小多项式是___________．

三、解答题（本大题共3小题，第16小题5分,第17，18小题各12分,共29分）

16.若A ={a ，b ，c }对于代数运算“o ”来说作成群，试作出A 的代数运算表.

17.找出模14的剩余类环Z 14的所有子环，这些子环是否都是理想？

18.设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z ,b a b a 00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x x 000，证明：I 是R 的理想，问商环R /I 由哪些元素组成？

四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20，21小题各10分,共26分）

19.在整数环Ｚ中，证明：(3，7)=(1).

20.证明：若群Ｇ中的每个元都适合方程x 2=e （其中e 是群Ｇ的单位元），则Ｇ是交换群.

21.设R 是主理想环，则N 是R 的非零极大理想的充要条件是N =(p )，其中p 是R 的素元.